5&7u - HFST 5_cur - CONTINUE FUNCTIES [24_09_2024].pdf

HOOFDSTUK 6: CONTINUÏTEIT VAN EEN FUNCTIE 1. HET BEGRIP CONTINUÏTEIT 1.1 Het concept Continuïteit is een wiskundig begrip dat heel vaak fout geïnterpreteerd wordt. Dat een functie continu is, houdt in dat ze aan elkaar hangt. Het is dat aan elkaar hangen dat vaak de p...

HOOFDSTUK 6: CONTINUÏTEIT VAN EEN FUNCTIE 1. HET BEGRIP CONTINUÏTEIT 1.1 Het concept Continuïteit is een wiskundig begrip dat heel vaak fout geïnterpreteerd wordt. Dat een functie continu is, houdt in dat ze aan elkaar hangt. Het is dat aan elkaar hangen dat vaak de problemen oplevert, omdat continuïteit alleen inhoud dat ze aan elkaar hangt daar waar ze gedefinieerd is. Een functie die dus overal waar ze gedefinieerd is, aan elkaar hangt is dus continu. We zullen zien dat continue functies, compacte en samenhangende verzamelingen afbeelden op compacte en samenhangende verzamelingen (hoofdstelling). In het deel toepassingen van dit hoofdstuk zullen we zien dat continuïteit van de waarden een heel belangrijk rol speelt bij het maken van tekenonderzoeken. Het levert ons ook methoden om nulpunten te bepalen en nog veel meer. 1.2 De classificatie van discontinuïteiten (en de oscillatie van een discontinuïteit) Discontinuïteitspunten kunnen in drie soorten worden onderverdeeld: Soort 1: Verwijderbare discontinuïteiten --> in een verwijderbare discontinuïteit is de oscillatie een maat voor de maximale uitwijking in het punt (d.i. de uitwijking van de functiewaarde in het punt tot de continu makende waarde in dat punt) Soort 2: Sprong discontinuïteiten --> in een sprong discontinuïteit is de oscillatie een maat voor de maximale uitwijking in het punt (d.i. de afstand tussen het maximum en het minimum van de verzameling, die de limieten in het punt èn de functiewaarde in het punt bevat) Soort 3: Essentiële discontinuïteiten --> In een essentiële discontinuïteit is de oscillatie een maat voor de maximale uitwijking in het punt (d.i. de afstand tussen de waarden waartussen de functie blijft oscilleren als ze het punt nadert) KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.1  1.3 Grafische definitie van continuïteit in een punt van een functie f Er zijn grafieken die we kunnen tekenen – alwaar ze gedefinieerd zijn – zonder de punt van ons potlood op te heffen, er zijn er ook waar dit niet lukt. Grafische definitie van ‘continu in een punt’: Een functie f is continu in een punt a van het domein van de functie f  er bestaat een eenduidige en eindige functiewaarde in a en de grafiek van f vertoont geen sprong in het punt a Grafische definitie van ‘discontinu in een punt’: Een functie f is discontinu in een punt a van het domein van de functie f  er bestaat een eenduidige en eindige functiewaarde in a en de grafiek van f vertoont een sprong in het punt a 1 3 3 f1 : y  x  x 2 8 2 dom f1 =............ Verzameling van punten waarin de functie discontinu is:.................. Is de functie continu in alle punten van haar domein?...................... 2x  1 f2 : y  x 1 dom f2 =............ Verzameling van punten waarin de functie discontinu is:.................. Is de functie continu in alle punten van haar domein?...................... Een functie f is ofwel continu, ofwel discontinu, in een punt a van haar domein. KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.2  1.4 Voorbeelden van ‘continu in een punt’ van een functie f y  2 x 2 als x  1 y  2 x 2 als x  1 f3 :  2 f4 :  2  y  x  2x  3 als x  1  y  x  2x  4 als x  1 dom f3 =............ dom f4 =............ Verzameling van punten waarin de Verzameling van punten waarin de functie discontinu is:.................. functie discontinu is:.................. Is de functie continu in alle punten Is de functie continu in alle punten van haar domein?...................... van haar domein?...................... y  2 x 2 als x  1 y  2 x 2 als x  1 f5 :  2 f6 :  2  y  x  2x  3 als x  1  y  x  2x  4 als x  1 dom f5 =............ dom f6 =............ Verzameling van punten waarin de Verzameling van punten waarin de functie discontinu is:.................. functie discontinu is:.................. Is de functie continu in alle punten Is de functie continu in alle punten van haar domein?...................... van haar domein?...................... KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.3  y  2 x 2 als x  1 y  2 x 2 als x  1   f7 :  y  x 2  2 x  3 als x  1 f8 :  y  x 2  2 x  4 als x  1   y  3 als x  1 y  4 als x  1 dom f7 =............ dom f8 =............ Verzameling van punten waarin de Verzameling van punten waarin de functie discontinu is:.................. functie discontinu is:.................. Is de functie continu in alle punten Is de functie continu in alle punten van haar domein?...................... van haar domein?...................... x2  1 y  x 1 als x  1 f9 : y  f10 :  x 1 y  4 als x  1 dom f9 =............ dom f10 =........... Verzameling van punten waarin de Verzameling van punten waarin de functie discontinu is:.................. functie discontinu is:.................. Is de functie continu in alle punten Is de functie continu in alle punten van haar domein?...................... van haar domein?...................... KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.4  1.5 Omgeving- en epsilon/delta definitie van continuïteit in een punt van een functie f 1.5.1. Continuïteit in een punt a van een functie f Voorbeeld: We bekijken een functie f die continu is een punt a. y  2x  1 als x  3 W f : y  x  2 als x  3 er is een functiewaarde in het punt 3 en de grafiek van f wordt niet onderbroken in het punt 3 f is continu in het punt 3 V a) Continuïteit in een punt a van een functie f aan de hand van omgevingen: We gaan wiskundig (aan de hand van omgevingen) uitdrukken dat voor alle argumenten “dicht bij 3” de beelden/functiewaarden ook “dicht bij f(3)” terecht komen: Voor iedere omgeving W van f(3) bestaat er minstens één omgeving V van 3, zodanig dat voor alle argumenten uit V, de functiewaarden/beelden binnen W terecht komen. We duiden zo’n omgevingen W en V aan op onze grafiek (zie grafiek boven). Omgevingsdefinitie van continuïteit van een functie f in een punt a: f is continu in a  domf   W Wf(a) : V  Va : f(V)  W b) Continuïteit in een punt a van een functie f aan de hand van basisomgevingen: We kunnen de bovenstaande definitie beter werkbaar maken (zonder aan de inhoud te veranderen) door i.p.v. met omgevingen (die niet symmetrisch en KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.5  bovendien vrijgrenzig zijn) met basisomgevingen te werken. Deze zijn symmetrisch en open(grenzig) en worden daardoor volledig door één parameter bepaald. We kunnen de definitie dan herformuleren aan de hand van twee parameters die de basisomgevingen (epsilon voor de basisomgeving op de y-as en delta voor de basisomgeving op de x-as) vastleggen. Dit geeft ons de volgende definitie van continuïteit: Epsilon/delta definitie van continuïteit van een functie f in een punt a: f is continu in a domf    ε  0 : δ  0 : x  dom f: x-a  δ  f(x)- f(a)  ε In woorden gezegd (continu): voor ieder (klein) strikt positief getal …… , bestaat er een (voldoende klein) strikt positief getal …… , zodanig dat voor alle argumenten tussen ……………… en ……………… de functiewaarden/beelden tussen ……………… en ……………… terecht komen. Opmerking: In de definitie zie je dat de “0 infimum en supremum bereikt (Weierstrass)  GESLOTEN NA DEZE STELLINGEN WEET JE AL: GESLOTEN INTERVALLEN NAAR EINDIGE UNIES VAN GESLOTEN INTERVALLEN KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.11  Samenhangend naar samenhangend => tussenwaarden  SAMENHANGEND Gevolg: Bolzano Gevolg: Oneindige tussenwaardestelling e.a. NA DEZE STELLING WEET JE: GESLOTEN INTERVAL NAAR INTERVAL HOOFDSTELLING COMBINEREN VAN DE TWEE BOVENSTAANDE: GESLOTEN INTERVAL NAAR GESLOTEN INTERVAL Hieronder volgen nu de stellingen (per individuele stelling wordt er aangegeven waarom het misloopt als f niet continu is). Stelling (begrensdheidsstelling): Als de functie f continu is op een gesloten interval I=[a,b], dan is de verzame- ling f(I) een begrensde deelverzameling van. f is continu in I= [a, b] g is niet continu in I= [a, b] y y g(I) g(b) f(b) g(a) f(I) f(a) x a b x a V.A. b Het loopt goed: f(I) is een begrensde Het loopt mis: f(I) is geen begrensde deelverzameling van deelverzameling van Stelling van Weierstrass (geslotenheidsstelling): Als de functie f continu is op een gesloten interval I=[a,b], dan worden het supremum en het infimum van f(I) bereikt door argumenten van f binnen I. Opmerking: In de vorige stelling hebben we gezien dat het beeld van een gesloten interval een begrensde deelverzameling van is. De vraag is nu of het supremum en infimum van deze begrensde deelverzameling bereikt worden. Als het supremum (resp. infimum) van een verzameling bereikt wordt, dan behoort het tot de verzameling en is het supremum (resp. infimum) het maximum (resp. minimum) van de verzameling. f is continu in I= [a, b] g is niet continu in I= [a, b] y y M g(I) g(b) f(b) g(a) f(I) m f(a) m x a b x a V.A. b KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.12  Het loopt goed: er bestaan Het loopt mis: er bestaat geen argumenten in I waarin het infimum m argument in I waarin een eventueel en het supremum M van f(I) worden supremum M van f(I) wordt bereikt ; bereikt ; f(I) heeft dus een minimum f(I) heeft dus geen maximum. en een maximum. De stelling van Weierstrass zal later gebruikt worden om de stelling van Rolle te bewijzen. Tussenwaarde stelling (intermediate value theorem) (IN WOOREN) Stel dat I=[a,b] een gesloten interval is en dat f continu is op I; dan wordt elke getalwaarde tussen f(a) en f(b) ten minste eenmaal bereikt door een argument uit I. (IN SYMBOLEN) Stel dat I=[a,b] een gesloten interval is en dat f continu is op I; dan r  [f(a), f (b)]: c  I : f (c)  r f is continu op I= [a, b] g is niet continu op I= [a, b] y y f(b) g(b) r r f(I) er bestaat geen c g(I) in I , die r als f(a) g(a) resultaat oplevert c x b x a b a Het loopt goed: voor elke functie- Het loopt mis: niet voor elke functie- waarde r tussen f(a) en f(b) bestaat er waarde r tussen f(a) en f(b) bestaat er een argument c binnen I een argument c binnen I De eerste twee stellingen van hierboven bespreken het behoud van compactheid bij continue functies op , onder de vorm van behoud van begrensdheid en geslotenheid. De laatste stelling hierboven bespreekt het behoud van samenhangendheid bij continue functies op , onder de vorm van de tussenwaardestelling. Deze beide resultaten (het behoud van compactheid en het behoud van samen- hangendheid) kunnen nu samen worden gefromuleerd, als een behoud van compactheid en samenhangendheid bij continue functies op , dit gebeurt in de hoofdstelling. KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.13  Hoofdstelling Als een functie f continu is in een gesloten interval I=[a,b], dan is het beeld van I door f ook een gesloten interval f is continu in I= [a, b] g is niet continu in I= [a, b] f(x) f(x) M f e d m c x a b x a b f ([a, b])  [m,M] g([a, b])  [ c, d [  [ e, f ] KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.14  4. CONTINUÏTEIT BIJ BASISFUNCTIES EN BIJ BEWERKINGEN MET FUNCTIES 4.1 CONTINUÏTEIT VAN EEN AANTAL BASISFUNCTIES Continuïteit van basisfuncties: De volgende basisfuncties zijn continu in elk element van hun domein: de constante functie f :y  c met c  de identieke functie f :y  x 1 de omkeerfunctie f :y  x de vierkantswortelfunctie f :y  x de kwadraatfunctie f : y  x2 de absolute waarde functie f :y  |x| Bewijs: (grafisch) vanuit de grafieken 4.2 CONTINUITEIT EN BEWERKINGEN MET FUNCTIES Behoud van continuïteit bij basisbewerkingen met functies: f continu in a ∧ g continu in a  f+g continu in a f -g continu in a f g continu in a f continu in a als g(a)  0 g Bewijs: zie bijlage Behoud van continuïteit bij samenstellen van functies: f continu in a ∧ g continu in b  f (a)  g f continu in a Bewijs: zie bijlage Behoud van continuïteit bij inverteren van functies: f is een inverteerbare functie    f -1 is continu in b f is continu in a met f (a)  b  Ter herinnering: Een inverteerbare functie is een functie waarvan de inverse relatie f-1 opnieuw een functie is. Als f-1 een functie is, noemt men deze de inverse functie van f. De grafiek van de inverse relatie verkrijg je (in een orthonormaal assenstelsel) door de grafiek van f te spiegelen om de eerste bissectrice. KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.15  Bewijs: Formeel bewijst men het bovenstaande resultaat aan de hand van de hoofdstelling. 1 (intuïtief bewijs) Als de grafiek van f geen onderbreking vertoont in het punt (a,b), dan zal (als f een functie 1 is) de grafiek van f ook geen onderbreking vertonen in het punt (b,a). Behoud van continuïteit bij machtsverheffing en worteltrekking van functies f continu in a  continu in a (met n )  continu in a (met n ) 4.3 CONTINUITEIT VAN ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES Continuïteit van algebraïsche functies: Veeltermfuncties zijn continu in elk element van hun domein (en dus in ) (  veeltermfuncties zijn dus wat men noemt ‘continue functies’) Rationale functies zijn continu in elk element van hun domein Irrationale functies zijn continu in elk element van hun domein Bewijs: Veeltermfuncties: de constante functie en de identieke functie zijn continu in Iedere veeltermfunctie is een som van producten van constante en identieke functies. Uit de eigenschappen over continuïteit en bewerkingen met functies volgt het gestelde. Rationale functies: analoog Irrationale functies: analoog KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.16  5. UITBEREIDING VAN DE TUSSENWAARDESTELLING Opmerking: Eigenlijk kan je de tussenwaardestelling algemeen formuleren als: van interval naar interval (en niet alleen maar van ‘gesloten interval’ naar ‘gesloten interval’). De eenvoudigheidsbeperking die vaak wordt opgelegd (d.w.z. van gesloten interval naar gesloten interval) verhindert dit echter. 5.1 UITBEREIDING VAN DE TUSSENWAARDESTELLING Uitbereiding 1 van de tussenwaardestelling: Oneindige tussenwaarde stelling Stel dat f continu is op ]a,b[ en dat lim f (x)   en dat lim f (x)   x a x b dan bestaat er voor elke een x0 ]a,b[ zo dat f(x0)= Bewijs: Kies een   x1  a, b : f (x1 )   (want lim f (x)   ) xa en een x 2  a, b : f (x 2 )   (want lim f (x)   ) xb Nu is ofwel x1  x 2 ofwel x1  x 2 , laat ons eerst aannemen dat x1  x 2 Dan is f continu op [x1 , x 2 ] en f (x1 )    f (x 2 ). Uit de gewone tussenwaardenstelling volgt dan dat x 0  x1 , x 2  zodanig dat f (x 0 )   Omdat x1 , x 2  a, b zal x 0  ]a, b[ en dus x 0  a, b zodanig dat f (x 0 )   Het geval x1  x 2 is volledig analoog uit te werken. Op dezelfde manier kunnen nog een aantal ander stellingen worden bewezen met half open intervallen, die aan één kant naar oneindig gaan. Op die manier bekom je dan de uitgebreide tussenwaardestelling. Uitgebreide tussenwaarde stelling (IN WOOREN) Stel dat I een interval is en dat f continu is op I; dan wordt elke getalwaarde tussen f(a) en f(b) ten minste eenmaal bereikt door een argument uit I. 6. GEVOLGEN EN TOEPASSINGEN 6.1 GEVOLGEN VAN CONTINUÏTEIT VOOR OPSTELLEN VAN TEKENSCHEMA’S Gevolgen van de uitgebreide tussenwaardestellingen: De uitgebreide tussenwaardestelling heeft een belangrijk gevolg voor het bespreken van het tekenverloop van een functie. Deze stelling leidt tot één grote vaststelling, namelijk dat functies op continue delen niet van teken kunnen wisselen, daaruit kunnen we dan concluderen dat KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.17  functies alleen van teken kunnen wisselen over randpunten van het domein, over nulpunten of over discontinuïteitspunten. Dat is dan ook een heel belangrijk resultaat met betrekking tot tekenonderzoek, aangezien het aantoont dat je het gedrag van de functie alleen in deze punten moet gaan bekijken, aangezien de functie tussen deze punten niet van teken wisselt, vandaar dan ook dat er voor het opstellen van een tekentabel eerst deze punten worden berekend en daarna het teken van de tussenliggende delen van de functie wordt bepaald. 6.2 TOEPASSING: CONTINU UITBREIDEN VAN EEN FUNCTIE Functies die niet overal continu zijn kunnen soms (om bepaalde redenen) worden vervangen door een functie die de continue uitbreiding is van de eerste. We gaan daarbij op zoek naar ‘continu makende waarden’. Voorbeeld 1: In het vijfde en zevende voorbeeld (zie voorbeelden vooraan in het hoofdstuk) kan de gegeven functie f in 1 continu worden gemaakt/uitgebreid tot een nieuwe functie + door de functie f5 uit te breiden in 1, door in 1 als functiewaarde de continu makende waarde te nemen, wordt een nieuwe en continu uitgebreide functie f5 bekomen die continu is in 1 + door bij de functie f7 de bestaande functiewaarde in 1 weg te nemen en te vervangen door zijn continu makende waarde wordt een nieuwe en continu uitgebreide functie f7 bekomen die continu is in 1 Voorbeeld 2: Voor de functie f8 uit het achtste voorbeeld bestaat er in 1 geen continu makende waarde, de functie kan in 1 dus niet continu worden uitgebreid. + De functie f8 kan in 1 wel rechtscontinu worden uitgebreid tot een functie f8 , als functiewaarde kiezen we dan de rechtscontinu makende waarde. + De functie f8 kan in 1 ook linkscontinu worden uitgebreid tot een functie f8 , als functiewaarde kiezen we dan de linkscontinu makende waarde. KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.18  5.3 TOEPASSING: HET (NUMERIEK) BEPALEN VAN NULPUNTEN Een belangrijk gevolg van de tussenwaardestelling, is de stelling van Bolzano. Gevolg van de tussenwaardestelling: Stelling van Bolzano (nulpuntstelling) Stel dat I=[a,b] een gesloten interval is en dat f continu is op I, veronderstel aanvullend ook nog dat f(a) en f(b) verschillende tekens hebben; dan heeft f ten minste één nulpunt in het open interval ] a , b [. f is continu in I= [a, b] g is niet continu in I= [a, b] y y f(b) g(b) c x x a b a b f(a) g(a) Het loopt goed: f heeft één nulpunt Het loopt mis: g heeft geen nulpunt (namelijk c) In sommige gevallen is het niet mogelijk om nulpunten exact te bepalen. In die gevallen zegt de stelling van Bolzano ons wel waar we deze kunnen vinden, maar niet hoe we ze kunnen gaan bepalen. Bolzano heeft wel een methode ontwikkeld om deze nulpunten numeriek te gaan bepalen (methode van Bolzano). Nadien zijn er nog veel efficiëntere methodes ontwikkeld, waaronder “Regula Falsi”. Methode 1: Methode van Bolzano Voorbeeld: f (x)  x3  2x  4 KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.19  Op de grafiek lezen we af dat de functie een nulwaarde heeft in het interval [1,2] We kunnen dit ook controleren door gebruik te maken van de stelling van Bolzano: f (1)  1  0 f (2)  8  0 We berekenen het beeld van het midden m van het dit interval [1,2] : 12 m   1,5 f (m)  2,375  0 2 De gezochte nulwaarde ligt ofwel in de eerste helft, ofwel in de tweede helft van het interval [1,2]. Door de tekens te vergelijken van f (1), f (m) en f (2) vinden we dat de gezochte nulwaarde in de eerste helft moet liggen. We werken dus verder met het kleinere interval [1; m]  [1 ;1,5] en berekenen opnieuw het beeld van het midden van dit nieuwe interval. Deze methode zetten we verder totdat de intervallen zo klein worden dat bijvoorbeeld de eerste 4 cijfers na de komma niet meer veranderen bij het bereken van het midden van een nieuw interval. In dat geval vinden we dan een nulwaarde op 0,001 nauwkeurig (het vierde cijfer gebruiken we om af te ronden) Vervolledig nu de tabel: stap a f(a) m f(m) b f(b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 De exacte waarde van de nulwaarde op 0,001 nauwkeurig is 1,179: de methode van het midden is een "trage" benaderingsmethode. Deze methode noemt men ook de methode van Bolzano. KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.20  Methode 2: Methode ‘Regula Falsi’ We vertrekken opnieuw van twee startwaarden waarvoor f (a) en f (b) een verschillend teken hebben. Op het interval [a, b] vervangen we de grafiek door de koorde [PQ] en we berekenen de abscis m van het snijpunt van die koorde met de x-as. Dit getal m is een benadering voor de nulwaarde van f. We berekenen nu m (het pijltje  betekent “heeft als vergelijking”): f (b)  f (a) PQ  y  f (a)  (x  a) ba f (b)  f (a)  y  f (a)  (x  a) ba Het snijpunt met de x-as krijgen we als y  0 : f (b)  f (a) f (a)  (x  a)  0 ba ... a  f (b)  b  f (a)  x f (b)  f (a) Dus: a  f (b)  b  f (a) m f (b)  f (a) Door de tekens te vergelijken van f (a), f (m) en f (b) kunnen we beslissen of de gezochte nulwaarde in [a, m] of in [m, b] ligt. We herstarten de methode in dit nieuwe interval. KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.21  Pas deze methode nu toe op de functie uit vorig nummer: f ( x)  x 3  2 x  4 We vertrekken in het interval  a, b  met a = 1 en b = 2. Vervolledig nu de tabel: stap a f(a) m f(m) b f(b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 De exacte waarde van de nulwaarde op 0,001 nauwkeurig is 1,179: de methode van regula falsi is een “snellere” methode dan de methode van Bolzano. KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.22  OEFENINGEN 1) Bewijs telkens met behulp van de  ,  -definitie: a) de functie f : y  x2 is continu in 2. b) de functie f : y  x is continu in 4. c) de functie f : y  x3 is continu in 1 1 d) de functie f : y  is continu in 5 x e) de functie f : y  x2  2x  1 is continu in 2 x 8 f) de functie f : y  is continu in 4 x 1 2) Gegeven is de functie  y  ax  4 als x  2 f : 2  y  x  2 als x  2 a) Bepaal a zo dat f continu is in b) Teken in dat geval de grafiek van f 3) De volgende functie is gegeven door haar grafiek. 0 5 10 16 a) Noteer het domein van de functie (notatie!) b) Noteer de verzameling van de randpunten van het domein van de functie (notatie!) c) Noteer de verzameling van de punten waarin de functie discontinu is (notatie!) d) Noteer de verzameling van de punten waarin de functie continu is (notatie!) e) Noteer de verzameling van de punten waarin de functie niet continu, maar wel linkscontinu is f) Noteer de verzameling van de punten waarin de functie niet continu, maar wel rechtscontinu is 4) Bepaal met een benaderingsmethode de nulwaarden van de volgende functies op 0,001 nauwkeurig en controleer je resultaat met Derive: a) f (x)  x3  4x2  x  5 b) f (x)  x3  2x2  7 KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.23  BIJLAGE Bewijs stelling optellen van twee continue functies Domein: x  dom ( f  g )  x  dom f  x  dom g (1) f continu in a  a  dom f    a  dom( f  g ) wegens (1) g continu in a  a  dom g  We moeten dus nog bewijzen dat:  :  : x  dom ( f  g ) : | x  a |   | ( f  g )( x)  ( f  g )(a) |  We weten:  f is continu in a    : 1 : x  dom f : | x  a | 1  | f ( x)  f (a ) | 2 (dom ( f  g )  dom f )    : 1 : x  dom ( f  g ) : | x  a | 1  | f ( x)  f (a ) | (2) 2  g is continu in a    :  2 : x  dom g : | x  a |  2  | g ( x)  g (a) | 2 (dom ( f  g )  dom g )    :  2 : x  dom ( f  g ) : | x  a |  2  | g ( x)  g (a) | (3) 2 uit (2) en (3) volgt met   min{1 ,  2 }    :  : x  dom ( f  g ) : | x  a |   | f ( x)  f (a) |  | g ( x)  g (a) | 2 2  | f ( x)  f (a ) |  | g ( x)  g (a) |  (linkerlid wordt kleiner wegens eig. abs waarde)  | f ( x)  f (a )  g ( x)  g (a) |   | [ f ( x)  g ( x)]  [ f (a)  g ( a)] |   | ( f  g )( x)  ( f  g )(a) |  KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.24  Bewijs stelling samenstellen van twee continue functies Domein: x  dom ( g f )  x  dom f  f ( x)  dom g (1) f continu in a  a  dom f    a  dom ( g f ) wegens (1) g continu in b  f (a)  f (a)  dom g  We moeten dus nog bewijzen dat:  :  : x  dom ( g f ) : | x  a |   | ( g f )( x)  ( g f )(a) |  We weten:  g is continu in b  f (a)   :  2 : u  dom g : | u  b |  2  | g (u )  g (b) |  (we nemen voor u enkel getallen f ( x) met x  dom f  f ( x )  dom g  x  dom ( g f ))   :  2 : x  dom ( g f ) : | f ( x)  f (a) |  2  | g ( f ( x))  g ( f (a)) |  (2)  f is continu in a  1 : 1 : x  dom f : | x  a | 1  | f ( x)  f (a ) |  (we nemen voor x enkel getallen met x  dom f  f ( x)  dom g  x  dom ( g f ))  1 : 1 : x  dom ( g f ) : | x  a | 1  | f ( x)  f (a) |  (maak nu een speciale keuze voor 1 : neem 1   2 uit (2))   : x  dom ( g f ) : | x  a |   | f ( x)  f (a) |  2 (3) uit (2) en (3) volgt nu:  :  : x  dom( g f ) : | x  a |   | f ( x)  f (a) |  2 wegens (3)  | g ( f ( x))  g ( f (a)) |  wegens (2)  | ( g f )( x)  ( g f )(a ) |  wegens definitie g f KAMortsel – B. Popleu – 5 ASO 7u wiskunde – Reële Analyse (2021-2022) H6 - Continuïteit 6.25