2.pdf

‫جمهورية العراق‬ ‫وزارة التربية‬ ‫المديرية العامة للمناهج‬ ‫‪9‬‬ ‫الجزء ال...

‫جمهورية العراق‬ ‫وزارة التربية‬ ‫المديرية العامة للمناهج‬ ‫‪9‬‬ ‫الجزء الثاني‬ ‫ سل سلة كتب الريا ضيات للمرحلة المتو سطة‬ ‫الريا ضيات‬ ‫لل صف الثالث المتو سط‬ ‫الم ؤلفون‬ ‫رجب‬ ‫ شعبان‬ ‫طارق‬ ‫د‪.‬‬ ‫د‪.‬أمير عبد المجيد جا سم‬ ‫د‪.‬منير عبد الخالق عزيز‬ ‫د‪.‬ســـميـــر قـــــا ســم ح ســـــن‬ ‫زيـــــــنة عبد االمـــير ح ســـين‬ ‫ح سيــــن صــــادق كاظـــــــــــم‬ ‫‪١٤٤٠‬هـ ‪ ٢٠١٩ /‬م‬ ‫الطبعة الثانية‬ ‫المتخ ص صين‬ ‫ّ‬ ‫فريق من‬ ‫المتو سطة) على أيـــــدي ٍ‬ ‫ِ‬ ‫للمرحلة‬ ‫ِ‬ ‫ات‬ ‫الريا ض ّي ِ‬ ‫ُ‬ ‫( سل سلة ُك ُت ِب ّ‬ ‫و ص ِّم َمتْ‬ ‫ُبنِيتْ ُ‬ ‫الجامعات في‬ ‫ِ‬ ‫م شاركة َ‬ ‫متخ ّ ص صينَ من أ ساتذ ِة‬ ‫ِ‬ ‫للمناهــج و ِب‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫العامة‬ ‫ُ‬ ‫‪/‬المديرية‬ ‫ّربية‬ ‫في وزار ِة الت ِ‬ ‫المنهج‬ ‫ِ‬ ‫العالمية ِل ُتحق َِّق َ‬ ‫أهداف بناءِ‬ ‫ِ‬ ‫والبحث العلمي على وفق المعايير‬ ‫ِ‬ ‫ّعليم العالي‬ ‫وزار ِة الت ِ‬ ‫الب‪:‬‬ ‫الط ِ‬‫جعل ّ‬‫لة في ِ‬ ‫الحديث المتم ِّث ِ‬ ‫ِ‬ ‫ ُمتع ِّلميــنَ ناجحيــــنَ مـــــدى الحـيــــا ِة‪.‬‬ ‫ أفـــــــراد ًا واثـقـيـــــــــنَ ب ِ‬ ‫أنـف س ِهــــم‪.‬‬ ‫ مواطنينَ عراقيينَ ي ش ُعرونَ بال َف ِ‬ ‫ـخر ‪.‬‬ ‫الفني على ّ‬ ‫الطبع‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫الم شرف‬ ‫العلمي على ّ‬ ‫الطبع‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫الم شرف‬ ‫م‪.‬م‪.‬يا سر منذر محمد سعيد حبه‬ ‫د‪.‬أمير عبد المجيد جا سم‬ ‫تاب‬ ‫ُم ص ِّم ُم ال ِك ِ‬ ‫بير ال ّل ُّ‬ ‫غوي‬ ‫َ‬ ‫الخ ُ‬ ‫تي سير عبد الإله ابراهيم‬ ‫علي م صطفى ابراهيم‬ ‫والر سو ُم الهند س ّي ُة‬ ‫ُ‬ ‫الغالف ّ‬ ‫م‪.‬م‪.‬يا سر منذر محمد سعيد‬ ‫ سارة خليل ابراهيم‬ ‫استنادا ً إىل القانون يوزّع مجاناً ومينع بيعه وتداوله يف األسواق‬  ‫المقدمة‬ ‫ت‬ ‫ب الكفايا ِ‬ ‫الطالب على اكتسا ِ‬ ‫َ‬ ‫ت ِم َن الموا ِد الدراسي ِة األساسي ِة التي تُساع ُد‬ ‫تُ َع ُّد مادة الرياضيا ِ‬ ‫المواقف‬ ‫ِ‬ ‫التعامل م َع‬ ‫ِ‬ ‫ت‪ ،‬ويساعدهُ على‬ ‫التفكير َوحل المشكال ِ‬ ‫ِ‬ ‫التعليمية الالزم ِة لهُ‪ ،‬لتَنمي ِة قُدرات ِه على‬ ‫الحياتية المختلف ِة‪.‬‬ ‫لتطوير المناهج‬ ‫ِ‬ ‫للمناهج‬ ‫ِ‬ ‫االهتمام الذي تُوليه وزارةُ التربية متمثلةً بالمديري ِة العام ِة‬ ‫ِ‬ ‫من ُمنطَ ِ‬ ‫لق‬ ‫َو ْ‬ ‫ت‬ ‫ت العلميةَ والتكنولوجيةَ في مجال ِ‬ ‫تواكب التطورا ِ‬ ‫َ‬ ‫ت لكي‬ ‫مناهج الرياضيا ِ‬ ‫ِ‬ ‫بصور ٍة عامة والسيما‬ ‫ث‪،‬‬ ‫ب الرياضيات للمراحل الدراسية الثال ِ‬ ‫لتأليف سلسلة ُكت ِ‬ ‫ِ‬ ‫وضعت خطة‬ ‫ِ‬ ‫الحيا ِة المختلفة‪ ،‬فَقَ ْد‬ ‫ب المرحل ِة‬ ‫بتاليف كت ِ‬ ‫ت منها كتبُ المرحلة االبتدائي ِة َوبَدأ العمل على استكمال السلسلة‬ ‫نجز ْ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫وأ ِ‬ ‫المتوسط ِة‪.‬‬ ‫اإلطار العام للمناهج تُعز ُز القيم‬ ‫ِ‬ ‫ضمن‬ ‫َ‬ ‫ت العراقية الجديدة ومن‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫إن سلسلةَ كت ِ‬ ‫َ‬ ‫واحترام الرأي والرأي اآلخر والعدال ِة‬ ‫ِ‬ ‫والتسامح‬ ‫ِ‬ ‫بااللتزام بالهوي ِة العراقي ِة‬ ‫ِ‬ ‫االساسية التي تتمثل‬ ‫والتعلم‬ ‫ِ‬ ‫التفكير‬ ‫ِ‬ ‫ت‬ ‫تعزيز كفايا ِ‬‫ِ‬ ‫للتميز واإلبداع‪ ،‬كما تعملْ على‬ ‫ِ‬ ‫االجتماعية‪ ،‬وتوفير فرص متكافئ ٍة‬ ‫والعمل‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ت المواطن ِة‬ ‫ت الشخصي ِة واالجتماعية وكفايا ِ‬ ‫والكفايا ِ‬ ‫ت العراقي ِة على محوري ِة الطالب في عمليتي التَعلي ْم والتَ َعلُ ْم َو َعد ُّه‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫ت سلسلةُ كت ِ‬ ‫بُنيَ ْ‬ ‫المعايير العالمي ِة‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫وفق‬ ‫ِ‬ ‫الرئيس في العملي ِة التربوي ِة على‬ ‫َ‬ ‫المحو َر‬ ‫ت‬ ‫الدروس على س ِ‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم‬ ‫ِ‬ ‫ت العراقي ِة للمرحل ِة المتوسط ِة في‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫ت سلسلةُ كت ِ‬ ‫تَمي َز ْ‬ ‫وح ّل مسائ َل حياتيةً ‪ ،‬فَ ِّكرْ ‪ ،‬اُكتبْ ‪.‬‬ ‫ك ‪ ،‬تَد َربْ َو ِح ّل التمرينات ‪ ،‬تَد َربْ ِ‬ ‫من فِه ِم َ‬ ‫ت‪ :‬تَ َعلَّ ْم ‪ ،‬تَأك ْد ِ‬ ‫فقرا ٍ‬ ‫المتوسط مشتمالً على أربعة محاور أساسية‪ :‬محو ُر‬ ‫ِ‬ ‫للصف الثالث‬ ‫ِ‬ ‫ت‬ ‫يأتي كتابُ الرياضيا ِ‬ ‫ت من‬ ‫والقياس‪ ،‬ومحو ُر اإلحصا ِء واالحتماال ِ‬ ‫ِ‬ ‫الجبر‪ ،‬ومحور الهندسة‬ ‫ِ‬ ‫ت‪ ،‬ومحو ُر‬ ‫األعدا ِد والعمليا ِ‬ ‫ض َمن الكتابُ جزأين‪ :‬الجزء األول يحتوي على ثالثة فصول‬ ‫من األوزان النسبية لكل محور‪َ ،‬وتَ َ‬ ‫ض َ‬ ‫ِ‬ ‫فصل تمريناته‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫فصول ولكل‬ ‫ِ‬ ‫فصل تمريناته‪ ،‬كذلك الجزء الثاني يحتوي على ثالثة‬ ‫ٍ‬ ‫لكل‬ ‫والتشويق‪ ،‬التي‬ ‫ِ‬ ‫بأساليب حديث ٍة‪ ،‬تَتَوف ُر فيها عناصر الجذ ِ‬ ‫ب‬ ‫َ‬ ‫تَتَمي ُز هذ ِه الكتبُ بأنها تع َرضُ المادةُ‬ ‫ت ومسائ َل حياتي ٍة‪،‬‬ ‫ت وتمرينا ٍ‬ ‫التفاعل معها‪ ،‬عن طريق ما تُق ِدمهُ من تدريبا ٍ‬ ‫ِ‬ ‫الطالب على‬ ‫َ‬ ‫تُساع ُد‬ ‫ت‬‫ت والتمرينا ِ‬ ‫تلف عن التدريبا ِ‬ ‫ب وهي تَ ْخ ُ‬ ‫تمرينات الفصول في نهاية الكتا ِ‬ ‫ُ‬ ‫اضافة إلى ذلك تَ َم َوض ُع‬ ‫اختيار من متعد ٍد وهذا بدور ِه‬ ‫ٍ‬ ‫ك لكونها موضوعية فاإلجابة عنها تكون عن طريق‬ ‫الدروس وذل َ‬ ‫ِ‬ ‫في‬ ‫ت الدولي ِة‪.‬‬ ‫الطالب للمشارك ِة في المسابقا ِ‬ ‫َ‬ ‫يهيِّئ‬ ‫دعائم‬ ‫ِ‬ ‫ب الرياضيات المطور ِة للمرحل ِة االبتدائي ِة ودعامةً من‬ ‫يمث ُل هذا الكتاب امتداداً لسلسل ِة ُكت ِ‬ ‫ب‬ ‫أن يُ ْس ِه َم تَنفي ُذها في اكتسا ِ‬ ‫المدرس‪ ،‬وعليه نأم ُل ْ‬ ‫ِ‬ ‫دليل‬ ‫ب ِ‬ ‫ت إلى جان ِ‬ ‫المطور في الرياضيا ِ‬ ‫ِ‬ ‫المنهج‬ ‫ِ‬ ‫ت العلمية والعملية َوتنمي ِة ميولهم لدراس ِة الرياضيات‪.‬‬ ‫ب المهارا ِ‬ ‫الطال ِ‬ ‫اللهم وفقنا لخدم ِة عراقِناْ العزيز وأبنائِ ِه ‪...‬‬ ‫المؤلفون‬  ‫الفصلُ‬ ‫‪4‬‬ ‫الهندسة االحداثية‬ ‫‪Coordinate Geometric‬‬ ‫التمثيل البياني للمعادالت في المستوي االحداثي‪.‬‬ ‫الدرس ‪4-1‬‬ ‫الدرس ‪ 4-2‬ميل المستقيم‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-3‬معادلة المستقيم‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-4‬المستقيمات المتوازية والمتعامدة‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-5‬المسافة بين نقطتين‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-6‬النسب المثلثية‪.‬‬ ‫الدرس ‪ 4-7‬خطة حل المسألة (تحديد معقولية االجابة)‪.‬‬ ‫تعد رياضة التزلج من الرياضات الممتعة في الكثير من مناطق العالم‪ ،‬اذ توفر المنحدرات الجبلية مثاالً جيداً عن الميل‪.‬‬ ‫فكلما زاد ميل المنحدر تطلب مهارة اكبر من المتزلجين‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Pretest‬‬ ‫االختبا ُر القبل ّي‬ ‫عين النقاط على المستوي االحداثي وحدد موقعها في االرباع او المحاور لكل مما ياتي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪A (3, 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪B (-3, - 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪C (0, 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪D (-3, 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪E (-4, 2‬‬ ‫)‪6 F (3, - 2‬‬ ‫عين النقاط على المستوي االحداثي‪ ،‬ثم تعرف الى الشكل الناتج لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪A (0, 3), B (3, 0) C (-3, 0).‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A (1, 4), B (2, 4) C (4, 4), D (6, 4).‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪A (-2, 4), B (-2, - 3) C (1, 4), D (1, - 3).‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪A (0, 3), B (3, 0) C (0, - 3), D (-3, 0).‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 11‬اكتب احداثيات النقاط المؤشرة في المستوي االحداثي المجاور‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مثل الجداول التالية بالمستوي االحداثي‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد قيمة ‪ y‬في كل مما يلي‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪y = 2x - 5 , x = 0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪y = -x + 7 , x = - 1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪y = x2 + x + 2 , x = 1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3y - x 2 = 9, x = -2‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫اذا كانت )‪ A (x 1, y 1), B (x 2, y 2‬جد القيمة العددية للمقدار ‪ x 2 - x 1‬لكل مما يلي‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫)‪A (3, - 5), B (-2, 1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫)‪A (-1, 5), B (4, 5‬‬ ‫‪5‬‬  ‫التمثيل البياني للمعادالت في المستوي االحداثي‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫‪Graphical Represention of the Equations in the Coordinate Plane‬‬ ‫[‪]4-1‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫في دراسة لتحديد كمية الحليب التي تحتاج‬ ‫ تمثيل المعادلة الخطية في‬ ‫اليها جراء آكل النمل حديثو الوالدة باللترات‬ ‫المستوي االحداثي‪.‬‬ ‫على مدى بضعة أيام‪ ،‬توصل الباحث الى‬ ‫ تمثيل المعادلة التربيعية‬ ‫المعادلة‪:‬‬ ‫في المستوي االحداثي‪.‬‬ ‫‪ 2y - x = 0‬حيث ‪ x‬عدد االيام‪ y ،‬كمية‬ ‫المفردات‬ ‫الحليب باللترات‪.‬‬ ‫ الزوج المرتب‪.‬‬ ‫ المستوي االحداثي‪.‬‬ ‫كيف يمكنني تمثيل العالقة بالمستوي‬ ‫ المعادلة الخطية‪.‬‬ ‫االحداثي؟‬ ‫ المعادلة الربيعية‪.‬‬ ‫[‪ ]4-1-1‬التمثيل البياني للمعادلة الخطية في المستوي االحداثي‬ ‫‪Graphical Represention of linear Equation in the Coordinate plane‬‬ ‫المعادلة الخطية‪ :‬الصيغة العامة للمعادلة الخطية هي‪ ax + by + c = 0, a, b, c ! R :‬حيث ‪ a,b‬التساوي صفراً معا ً‬ ‫والمتغيرات فيها التكون مرفوعة لقوة اكبر من ‪ 1‬وان‪ ،‬تمثيلها بالمستوي االحداثي يمثل مستقيماً‪.‬‬ ‫لتمثيل المعادلة ‪ 2y - x = 0‬في المستوي االحداثي نتبع مايأتي‪:‬‬ ‫ ‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫الخطوة (‪ :)1‬نجعل المعادلة بشكل )‪( y = f (x‬أي ‪ y‬بداللة ‪)x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2y - x = 0 & 2y = x & y = 2 x‬‬ ‫الخطوة (‪ :)2‬اختار في االقل قيمتين للمتغير ‪ x‬ولتكن ‪ x=2, x=4‬نعوضهما في المعادلة للحصول على أزواج مرتبة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪x = 2 & y = 2 (2) & y = 1 & P1 (2, 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪x = 4 & y = 2 (4) & y = 2 & P2 (4, 2‬‬ ‫الخطوة (‪ :)3‬نعمل جدول بالقيم الناتجة ونمثل االزواج المرتبة في المستوي االحداثي ونصل بين النقطتين‪ ،‬الشكل‬ ‫الناتج يمثل مستقيماً‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫‪P2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P1(2,1‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪P2(4,2‬‬ ‫مالحظة‪ :‬معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة االصل‪ ،‬خالية من الحد المطلق‪.‬‬ ‫‪6‬‬  ‫مثل المعادالت التالية في المستوي االحداثي‪ ،‬ماذا تالحظ؟‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪i) y - 3x + 5 = 0‬‬ ‫‪ii) y = 4‬‬ ‫‪iii) x = -3‬‬ ‫‪i) y - 3x + 5 = 0 & y = 3x - 5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y=3x-5‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3(0)-5=-5‬‬ ‫)‪P1(0,-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3(3)-5=4‬‬ ‫)‪P2(3,4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المستقيم يقطع محور السينات والصادات‬ ‫واليمر بنقطة االصل‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ii) y = 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y=4‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪P1(0,4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪P2(3,4‬‬ ‫المستقيم يوازي محور السينات وعمودي على محور الصادات عند‬ ‫‪y‬‬ ‫النقطة )‪(0, 4‬‬ ‫‪iii) x = -3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المستقيم ‪ x=-3‬يوازي محور الصادات وعمودي على محور السينات‬ ‫عند النقطة )‪(-3, 0‬‬ ‫يمكن وضع ما تقدم في الجدول اآلتي‪:‬‬ ‫العالقة مع المحورين‬ ‫المعادلة‬ ‫المستقيم يقطع المحورين واليمر بنقطة االصل‬ ‫‪ax+by+c=0‬‬ ‫المستقيم يقطع المحورين في نقطة االصل‬ ‫‪ax+by=0‬‬ ‫‪ y = k, k d R‬المستقيم يوازي محور السينات وعمودي على محور الصادات ويمر بالنقطة )‪(0, k‬‬ ‫‪ x = h, h d R‬المستقيم يوازي محور الصادات وعمودي على محور السينات ويمر بالنقطة )‪(h, 0‬‬ ‫[‪ ]4-1-2‬التمثيل البياني للمعادلة التربيعية في المستوي االحداثي‬ ‫‪Graphical Representation of the Quadratic Equation in the Coordinate Plane‬‬ ‫الصيغة العامة للمعادلة التربيعية هي‪ y = ax 2 + bx + c :‬حيث ‪a ! 0, a, b, c ! R‬‬ ‫سوف نتطرق في هذا البند الى المعادلة التربيعية بالصيغة ‪ y = ax 2 + c‬حيث ‪a ! 0, a, c ! R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = ax2 + c‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫وطريقة تمثيلها‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫لتمثيل المعادلة ‪ y = ax + c‬نعمل الجدول المجاور‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫االزواج‬ ‫قيم افتراضية‬ ‫تعويض قيم ‪x‬‬ ‫الناتج‬ ‫‪0‬‬ ‫ويكون التمثيل البياني للمعادلة هو‪ j‬او ‪k‬‬ ‫المرتبة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬  ‫مثل المعادلة ‪y = -x 2‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = -x2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪-(-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪(-2,-4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-(-1)2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(-1,-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-(0)2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-(1)2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(1,-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-(2)2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪(2,-4‬‬ ‫مثل المعادلة ‪y = 2x 2 - 5‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = 2x2-5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(x,y‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2(-2) -5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(-2,3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2(-1)2-5‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪(-1,-3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2(0)2-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪(0,-5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2(1)2-5‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫)‪(1,-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2(2)2-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(2,3‬‬ ‫مثل المعادالت الخطية التالية في المستوي االحداثي وبين عالقتها بالمحورين‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = 3x + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = -4x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y + 3x - 2 = 0‬‬ ‫االسئلة (‪ )1-6‬مشابه‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y = 1 - 3x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y+5 = 0 6‬‬ ‫‪x-5 = 0‬‬ ‫للمثالين (‪:)1,2‬‬ ‫مثل المعادالت التربيعية التالية في المستوي االحداثي ‪.‬‬ ‫االسئلة (‪ )7-9‬مشابه‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y = x2 + 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y = x2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪y = 1 - 3x 2‬‬ ‫للمثالين (‪:)3,4‬‬ ‫مثل المعادالت الخطية التالية في المستوي االحداثي وبين عالقتها بالمحورين‪:‬‬ ‫ت‬ ‫تدرب وح ّل التمرينا ِ‬ ‫ْ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪y = -x + 4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪y+x-1 = 0‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪y-x-3 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪x+y = 0‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪x=-2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫مثل المعادالت التربيعية التالية في المستوي االحداثي ‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪y = x2 - 1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪y = 2x 2 + 3‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪y = -3x 2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪y = 2x 2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪4y = x 2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪x 2 + 5y = 1‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪y - 2x 2 = 0‬‬ ‫‪8‬‬  ‫تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫ْ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 24‬درجات حرارة ‪ :‬المعادلة ‪ Fc = 5 Cc + 32‬تبين العالقة بين درجات‬ ‫الحرارة السيليزية ودرجات الحرارة الفهرنهايتية لها‪ ،‬مثل المعادلة بيانياً‪.‬‬ ‫‪ 25‬هندسة ‪ :‬مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين‪ ،‬طول ضلعه القائم ‪ x‬وحدة‪،‬‬ ‫(‪ f(x‬تمثل مساحته‪ )i.‬اكتب العالقة (‪ f(x‬بداللة ‪.x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ )ii‬مثل العالقة (‪ f(x‬في المستوي االحداثي‪.‬‬ ‫‪ 26‬فيزياء ‪ :‬يمثل القانون ‪ F = 9.8m‬القوة الناجمة على تأثير جاذبية االرض‬ ‫‪x‬‬ ‫على جسم‪ ،‬حيث ‪ F‬القوة بالنيوتن‪ m ،‬كتلة الجسم بالكيلوغرام‪ ،‬مثل القانون‬ ‫بالمستوي االحداثي‪.‬‬ ‫‪ 27‬اعمال ‪ :‬تتقاضى شركة معدات بناء ‪ 10‬االف دينار كتأمين‪ ،‬يضاف اليها‬ ‫‪ 5‬االف دينار عن كل ساعة‪ ،‬اكتب المعادلة التي تعبر عن المسألة‪ ،‬ثم مثلها‬ ‫بيانيا ً في المستوي االحداثي‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫فَ ِّك ْ‬ ‫ـر‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 28‬اكتشف الخطأ‪ :‬مثل محمد المعادلة الخطية التالية ‪ y=-3x+9‬بالشكل البياني‬ ‫‪o‬‬ ‫المجاور‪.‬اكتشف خطأ محمد وصححه‪.‬‬ ‫‪ 29‬مسألة مفتوحة‪ :‬أعط مثاالً لمعادلة خطية على صورة ‪ ax+by+c=0‬لكل حالة‪:‬‬ ‫‪i) a = 0‬‬ ‫‪ii) b = 0‬‬ ‫‪iii) c = 0‬‬ ‫‪ 30‬تح ٍد‪ :‬شكلت االزواج المرتبة التالية (‪ )-1,2(,)1,6(,)0,4‬مستقيماً‪ ،‬ما نقطة تقاطع هذا المستقيم مع محور‬ ‫السينات؟‬ ‫‪ 31‬تبرير‪ :‬بين اذا كانت االزواج المرتبة اآلتية‪" (2, 4), (1, 1), (0, 0), (-1, 1), (-2, 4) , :‬‬ ‫تمثل دالة خطية ام تربيعية‪.‬‬ ‫‪ 32‬حس عددي‪ y = x + 1, y = x + 1 :‬ايهما تمثل دالة تربيعية؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اُ ْ‬ ‫كتب‬ ‫خطوات تبين ان ‪ y=4x+3‬معادلة خطية؟‬ ‫‪9‬‬  ‫‪Slope of a Line‬‬ ‫ميل المستقيم‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫[‪]4-2‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫المنحدرات الجبلية تُع ّد مثالً جيداً‬ ‫ ايجاد ميل المستقيم‬ ‫ ايجاد المقطع الصادي‬ ‫على الميل‪ ،‬فكلما زاد ارتفاع الجبل‬ ‫ ايجاد المقطع السيني‬ ‫زاد الميل‪.‬‬ ‫المفردات‬ ‫كيف يمكننا تحديد ميل المنحدرات؟‬ ‫ التغير العمودي‬ ‫ التغير االفقي‬ ‫ المقطع السيني‬ ‫ المقطع الصادي‬ ‫ الميل‬ ‫‪Finding the Slope of the line‬‬ ‫[‪ ]4-2-1‬ايجاد ميل المستقيم‬ ‫الميل‪ :‬يُعرف ميل المستقيم غير الرأسي بانه النسبة بين التغير العمودي والتغير االفقي‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫التغير العمودي‪ :‬هو التغير الصادي ويساوي ‪y2-y1‬‬ ‫) ‪(x , y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫التغير االفقي‪ :‬هو التغير السيني ويساوي ‪x2-x1‬‬ ‫‪y -y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫التغير الصادي‬ ‫الميل =‬ ‫التغير السيني‬ ‫) ‪(x , y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x -x‬‬ ‫اي‪ m = y 2 - y 1 :‬حيث ‪= 0‬‬ ‫‪x2 - x1 Y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x -x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ :m‬هو ميل المستقيم المار بالنقطتين )‪(x 1, y 1), (x 2, y 2‬‬ ‫يمكن ان يكون ميل المستقيم موجبا ً او سالبا ً اذا لم يكن افقيا ً او رأسيا ً وقد يكون صفراً (افقياً) او غير‬ ‫محدد (رأسيا ً)‪.‬‬ ‫مثال (‪ )1‬جد ميل المستقيم المار بنقطتين في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪i) A (5, 7) , B (-2, 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪1-7‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫‪m = -2 - 5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪m = -7‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪m= 7‬‬ ‫لذا ميل ‪ AB‬هو ‪( 6‬موجب)‬ ‫‪7‬‬ ‫الميل موجب (المستقيم نحو االعلى)‬ ‫عند التحرك من اليسار الى اليمين‬ ‫قيم ‪ y‬تتزايد‪.‬‬ ‫‪10‬‬  ‫‪y‬‬ ‫)‪ii) A (-1, 5) , B (4, 2‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪2-5‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪= 4 - (-1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪= 5‬‬ ‫لذا ميل ‪ AB‬هو ‪( -53‬سالب)‬ ‫الميل سالب (المستقيم نحو االسفل) عند التحرك من اليسار الى‬ ‫اليمين‪ ،‬قيم ‪ y‬تتناقص‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪iii) A (1, - 2) , B (4, - 2‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪-2 - (-2‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫‪= 4 -1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫لذا ميل ‪ AB‬هو ‪0‬‬ ‫‪= 3 =0‬‬ ‫الميل صفر (المستقيم افقي) يوازي محور السينات‪ ،‬قيم ‪y‬‬ ‫)‪iv) A (-2, 3) , B (-2, - 3‬‬ ‫ثابتة‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪-3 - 3‬‬ ‫)‪= (-2) - (-2‬‬ ‫نعوض بالنقطتين‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫اليجوز القسمة على ‪ 0‬لذا ميل ‪ AB‬غير محدد ‪= 0‬‬ ‫الميل غير محدد (المستقيم شاقولي) يوازي محور الصادات‪ ،‬قيم ‪ x‬ثابتة‬ ‫يمثل الجدول المجاور تغير درجات الحرارة بالزمن (بالساعات)‪ ،‬جد ميل المستقيم واشرح مايعنيه‪.‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫الزمن (الساعات)‬ ‫درجات الحرارة‬ ‫)‪(x 1, y 1) = (1, - 2‬‬ ‫اختار اي نقطتين من الجدول ولتكن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫)‪(x 2, y 2) = (3, 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4+2 6‬‬ ‫التعويض والتبسيط‬ ‫‪= 3-1 = 2 =3‬‬ ‫بما ان ميل المستقيم ‪ 3‬فان درجات الحرارة تزداد ‪ 3‬درجات سيليزية كل ساعة‪.‬‬ ‫[‪ ]4-2-2‬تقاطع المستقيم مع المحورين في المستوي االحداثي‬ ‫‪Intersection the Line with axes in Coordinate plane‬‬ ‫يمكنك ان تمثل بسهولة معادلة المستقيم من خالل ايجاد نقطتي تقاطع المستقيم مع المحورين‪.‬‬ ‫المقطع السيني‪ :‬هو قيمة ‪ x‬من تقاطع المستقيم مع محور السينات‪ ،‬اي بالتعويض من ‪.y = 0‬ونقطة التقاطع‬ ‫(‪)x,0‬‬ ‫المقطع الصادي‪ :‬هو قيمة ‪ y‬من تقاطع المستقيم مع محور الصادات‪ ،‬اي بالتعويض من ‪.x = 0‬ونقطة التقاطع‬ ‫)‪(0, y‬‬ ‫‪11‬‬  ‫جد المقطع السيني والصادي للمستقيم ‪.3x + 5y =15‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫المقطع السيني‬ ‫المقطع الصادي‬ ‫‪3x + 5y = 15‬‬ ‫المعادلة‬ ‫‪3x + 5y = 15‬‬ ‫المعادلة‬ ‫‪3x + 5 (0) = 15‬‬ ‫نعوض من ‪y = 0‬‬ ‫‪3 (0) + 5y = 15‬‬ ‫نعوض من ‪x = 0‬‬ ‫‪3x = 15‬‬ ‫تبسيط‬ ‫‪5y = 15‬‬ ‫تبسيط‬ ‫‪15‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادلة على ‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادلة على ‪5‬‬ ‫‪x= 3‬‬ ‫‪y= 5‬‬ ‫‪x=5‬‬ ‫‪y=3‬‬ ‫لذا المقطع السيني هو ‪.5‬‬ ‫لذا المقطع الصادي هو ‪.3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ونقطة التقاطع مع محور السينات هي‪(5, 0) :‬‬ ‫ونقطة التقاطع مع محور الصادات هي‪(0, 3) :‬‬ ‫المقطع الصادي‬ ‫"‬ ‫‪x‬‬ ‫"‬ ‫المقطع السيني‬ ‫جد المقطع السيني والصادي ان وجد لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪i) x = -2‬‬ ‫‪ii) y = 4‬‬ ‫‪ x=-2‬يمثل المقطع السيني ونقطة التقاطع (‪)-2,0‬‬ ‫‪ y=4‬تمثل المقطع الصادي ونقطة التقاطع (‪)0,4‬‬ ‫المستقيم ‪ //‬محور الصادات‬ ‫المستقيم ‪ //‬محور السينات‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫جد ميل المستقيم المار بالنقطتين‪ ،‬أموجب الميل أم سالب أم صفر أم غير محدد‪ ،‬ثم حدد اتجاه حركته لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(-2, - 2), (-4, 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(0, 0), (3, 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(-4, 4), (2, - 5‬‬ ‫االسئلة (‪ )1-6‬مشابهة‬ ‫للمثالين(‪:)1,2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(5, 0), (0, 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(4, 3), (4, - 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(-6, - 1), (-2, - 1‬‬ ‫جد المقطع السيني والمقطع الصادي لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫االسئلة (‪ )7-18‬مشابهة‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3x + 6y = 18‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y + 2 = 5x - 4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪y = -4x‬‬ ‫للمثالين (‪:)3,4‬‬ ‫‪10 y = -x + 8‬‬ ‫‪5x = y - 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪y = -4x-5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2x + 6y = 12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪y + 4 = 2x - 4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪y = -5x‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫‪3y = -6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪y = -2x+4‬‬ ‫‪12‬‬  ‫ت‬ ‫تدرب وح ّل التمرينا ِ‬ ‫ْ‬ ‫جد ميل المستقيم المار بالنقطتين‪ ،‬أموجب الميل أم سالب أم صفر أم غير محدد ثم حدد اتجاه حركته لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫‪19‬‬ ‫)‪(4, 4), (2, 3‬‬ ‫‪20‬‬ ‫)‪(6, 2), (0, 2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫)‪(-2, 4), (5, 5‬‬ ‫)‪(-2, - 3), (2, 4‬‬ ‫)‪(3, - 5), (0, 0‬‬ ‫‪3 1 3 3‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫) ‪( 2 , 4 ), ( 2 , 4‬‬ ‫جد المقطع السيني والمقطع الصادي لكل مما ياتي‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪2x + 4y = 12‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪3y - 7x = 9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪y = -3.5x + 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x = -4‬‬ ‫‪0 = y+3‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪y=-2x‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪30‬‬ ‫كمية السائل المتسرب‬ ‫تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫ْ‬ ‫حجم السائل ‪m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الزمن (ثوان)‬ ‫‪40‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 31‬فيزياء‪ :‬يمثل الجدول المجاور كمية السائل المتدفق من حوض خالل‬ ‫‪52‬‬ ‫‪13‬‬ ‫فترة زمنية‪ ،‬جد ميل المستقيم الذي يمثله الجدول‪.‬وفسر مايعنيه‪.‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪ 32‬نبات‪ :‬اذا كان طول نبتة ‪ ،30cm‬في غضون كل شهرين تنمو‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الزمن‬ ‫بمقدار ثابت ‪ 4cm‬اخرى‪.‬‬ ‫طول النبتة‬ ‫‪ )i‬اكمل الجدول‪.‬‬ ‫‪ )ii‬ما ميل المستقيم الذي تمثله العالقة بين طول النبتة والزمن؟‬ ‫‪ )iii‬اكتب الدالة الخطية التي يمثلها الجدول‪.‬‬ ‫‪ )iv‬مثل الدالة في المستوي االحداثي‪.‬‬ ‫فَ ِّك ْ‬ ‫ـر‬ ‫‪ 33‬تح ٍد‪ :‬جد قيمة ‪ a‬التي تجعل ميل المستقيم المار بنقطتين )‪ (1, 6), (-5, a‬يساوي ‪. 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 34‬تفكير ناقد‪ :‬هل يمكنك تحديد ميل مستقيم يمر بالنقطتين )‪ (7, - 3), (7, 3‬؟‬ ‫اكتشف‬ ‫‪3-0‬‬ ‫هو ‪3‬‬ ‫‪ 35‬اكتشف الخطأ‪ :‬ميل المستقيم الذي يمر في النقطتين )‪(0, 3), (3, - 1‬‬ ‫‪3 - (-1) = 4‬‬ ‫الخطأ وصححه‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 36‬مسألة مفتوحة‪ :‬اذكر نقطتين على مستقيم يكون ميله = ‪- 3‬‬ ‫تفكير ناقد‪ :‬من الشكل البياني المجاور حدد اتجاه المستقيم‪.‬‬ ‫‪37‬‬ ‫اُ ْ‬ ‫كتب‬ ‫باسلوبك ماذا يعني الميل يساوي صفراً‪ ،‬والميل غير محدد‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪The Equation of the Line‬‬ ‫معادله المستقيم‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫]‪[4-3‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫ايجاد معادلة مستقيم علم منه‪:‬‬ ‫يقطع راكب دراجة هوائية ‪ 20‬كيلو متراً‬ ‫ نقطتان‬ ‫في ساعتين و يقطع ‪ 50‬كيلو متراً في‬ ‫ ميل ‪ -‬نقطة‬ ‫خمس ساعات‪ ،‬ما المعادلة الخطية التي‬ ‫ ميل ‪ -‬مقطع‬ ‫تربط بين المسافة و الزمن؟‬ ‫المفردات‬ ‫ الميل‬ ‫ المقطع‬ ‫[‪ ]4-3-1‬كتابة معادلة مستقيم بمعرفة نقطتين منه‬ ‫‪Writing Equation of Line with two Points of it‬‬ ‫معادله مستقيم يمر بالنقطتين )‪B (x 2, y 2), A (x 1, y 1‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫تعلمت سابقا ً ايجاد ميل مستقيم يمر بالنقطتين ‪ A,B‬حيث ‪m = x 2 - x 1‬‬ ‫‪y - y1‬‬ ‫على فرض ان النقطة )‪ C (x, y‬تقع علي المستقيم فيكون ميل المستقيم المار بالنقطتين ‪ A,C‬هو ‪m = x - x 1‬‬ ‫من المعلوم ان ميل المستقيم ثابت في جميع نقاطه لذلك فإن‪:‬‬ ‫‪y - y1 y2 - y1‬‬ ‫‪x - x1 = x2 - x1‬‬ ‫هذه المعادلة تمثل معادلة المستقيم ‪.AB‬‬ ‫نجد المعادلة الخطية في فقرة (تعلم)‪:‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫‪C (x, y) d AB , B (5, 50) ,‬‬ ‫)‪A (2, 20‬‬ ‫نفرض ان‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x 2 = 5, y 2 = 50‬‬ ‫‪x 1 = 2, y 1 = 20‬‬ ‫‪y - y1 y2 - y1‬‬ ‫‪x - x1 = x2 - x1‬‬ ‫كتابة معادلة المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪y - 20 50 - 20‬‬ ‫التعويض من )‪(x 2, y 2), (x 1, y 1‬‬ ‫‪x-2 = 5-2‬‬ ‫‪y - 20 30‬‬ ‫‪x-2 = 3‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪y - 20 = 10x - 20‬‬ ‫الضرب التبادلي‬ ‫‪y = 10 x‬‬ ‫اذن معادلة المستقيم هي ‪y - 10x = 0‬‬ ‫[‪ ]4-3-2‬كتابة معادلة المستقيم بمعرفة ميله ونقط منه‬ ‫‪Writing Equation of Line with the Slop and one Point of it‬‬ ‫معادلة مستقيم ميله ‪ m‬ويمر بالنقطة )‪: (x 1, y 1‬‬ ‫‪y - y1 y2 - y1‬‬ ‫‪x - x1 = x2 - x1‬‬ ‫تعلمت سابقا ً معادلة مستقيم يمر بنقطتين و التي هي‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫وتعلمت ان ميل مستقيم مار بالنقطتين )‪ (x 2, y 2), (x 1, y 1‬هو‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫‪y - y1‬‬ ‫لذلك يمكن كتابة المعادلة في أعاله بشكل‬ ‫‪x - x1 = m‬‬ ‫وبالضرب التبادلي نحصل على المعادلة المطلوبة )‪y - y 1 = m (x - x 1‬‬ ‫‪14‬‬  ‫مثال (‪ )2‬استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪i) y - 3 = - 5 (x - 2‬‬ ‫‪ii) y + 7 = 5 x‬‬ ‫)‪y - 3 = - 5 (x - 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪y - (-7) = 5 (x - 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪y - y 1 = m (x - x 1‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة )‪y - y 1 = m (x - x 1‬‬ ‫)‪m = -5, (x 1, y 1) = (2, 3‬‬ ‫بالمقارنة‬ ‫‪2‬‬ ‫بالمقارنة )‪m = 5 , (x 1, y 1) = (0, - 7‬‬ ‫مثال (‪ )3‬جد معادلة المستقيم الذي ميله ‪ 1‬ومقطعه السيني يساوي ‪. -1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪y - y 1 = m (x - x 1‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m= 2,‬‬ ‫‪x 1 = -1,‬‬ ‫)‪y 1 = 0 & p (-1, 0‬‬ ‫الميل‪ ،‬النقطة‬ ‫‪1‬‬ ‫))‪y - 0 = 2 (x - (-1‬‬ ‫بالتعويض من الميل والنقطة‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪y = 2 (x + 1‬‬ ‫تبسيط‬ ‫‪2y = x + 1‬‬ ‫ضرب طرفي المعادلة في ‪2‬‬ ‫‪2y - x = 1‬‬ ‫معادلة المستقيم المطلوب‬ ‫ ‬ ‫[‪ ]4-3-3‬كتابة معادلة المستقيم بمعرفه ميله ومقطعه مع أحد المحورين‬ ‫‪Writing Equation of the Line with the Slope of it and one intercept with axes‬‬ ‫معادلة المستقيم بداللة ميله ‪ m‬ومقطعه الصادي ‪ k‬هي‪y = mx + k :‬‬ ‫استعمل معادلة الميل و المقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه‪:‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪i) 2x + 3y = 6‬‬ ‫‪ii) 5x = 7y + 8‬‬ ‫‪iii) y = x‬‬ ‫‪iv) y = 1‬‬ ‫‪v) y = 0 vi) y + x = 5‬‬ ‫(‪i‬‬ ‫(‪ii‬‬ ‫‪2x + 3y = 6 & 3y = -2x + 6‬‬ ‫بقسمة المعادلة ‪ 5x = 7y + 8 & 7y = 5x - 8‬بقسمة طرفي المعادلة‬ ‫على ‪7‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ y = 5 x - 8‬على ‪3‬‬ ‫‪y = 3 x+2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع ‪7 07‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪`m= 3 , k=2‬‬ ‫‪`m = 7, k = 7‬‬ ‫‪iii( y = x & y = 1x + 0‬‬ ‫(‪iv‬‬ ‫‪y = 0x + 1‬‬ ‫‪y = 1x + 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪` m = 1, k = 0‬‬ ‫‪` m = 0, k = 1‬‬ ‫(‪v‬‬ ‫(‪vi‬‬ ‫‪y = 0x + 0‬‬ ‫‪y = -1x + 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المقارنة مع معادلة الميل ‪ -‬مقطع ‪0‬‬ ‫‪` m = 0, k = 0‬‬ ‫‪` m = -1, k = 5‬‬ ‫‪15‬‬  ‫مثال (‪ )5‬مستقيم يمر في النقطة )‪ (5, - 1‬وميله ‪. -52‬جد مقطعه ومعادلته‪.‬‬ ‫الطريقة االولى‬ ‫الطريقة الثانية‬ ‫‪y = mx + k‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬المقطع‬ ‫)‪y - y 1 = m (x - x 1‬‬ ‫معادلة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪m= 5‬‬ ‫)‪ m = 5 , p (5, - 1‬معطى‬ ‫معطى‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪y = 5 x+k‬‬ ‫بالتعويض من النقطة والميل )‪ y - (-1) = -2 (x - 5‬بالتعويض من الميل‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1 = 5 (5) + k‬‬ ‫‪ 5y + 5 = -2x + 10‬بالتعويض بالنقطة‬ ‫بضرب المعادلة في ‪5‬‬ ‫بقسمة المعادلة على ‪ 5‬بعد التبسيط ‪5y = -2x + 5‬‬ ‫‪-1 = -2 + k‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪-2‬‬ ‫معادلة المستقيم‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪y = 5 x+1‬‬ ‫معادلة المستقيم ‪y = 5 x + 1‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫جد معادلة المستقيمات التي يمر كل منها بنقطتين فيما يأتي‪:‬‬ ‫االسئلة (‪)1-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(-3, 1), (2, - 1‬‬ ‫)‪2 (0, 2), (2, - 4‬‬ ‫مشابه للمثال ‪1‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها‪:‬‬ ‫االسئلة (‪)3-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪y - 1 = 2 (x - 3‬‬ ‫‪4 y + 1 = -x + 4‬‬ ‫مشابه للمثال ‪2‬‬ ‫جد معادلة المستقيم لكل مما يلي ثم جد مقطعه‪:‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪6 (-1, - 3), 1‬‬ ‫االسئلة (‪)5-6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(4, 6), 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مشابه للمثالين ‪3،5‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه‪:‬‬ ‫االسئلة (‪)7-8‬‬ ‫‪7 5y = -2x - 1‬‬ ‫‪8 -y = 7x‬‬ ‫مشابه للمثال ‪4‬‬ ‫ت‬ ‫تدرب وح ّل التمرينا ِ‬ ‫ْ‬ ‫جد معادلة المستقيمات التي يمر كل منها بنقطتين فيما يأتي‪:‬‬ ‫)‪9 (0, 0), (-3, 7‬‬ ‫)‪10 (0, 7), (-5, 0‬‬ ‫)‪11 ( 1 , 3), ( 3 , - 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة المار بها‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪12 y + = -5 (x - 8‬‬ ‫‪13 y - x = 8‬‬ ‫)‪14 3 y = 5 (x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جد معادلة المستقيم لكل مما يلي ثم جد مقطعه‪:‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫الميل = ‪15 (-3, 7) , -3‬‬ ‫الميل = ‪16 (1, - 4) , 2‬‬ ‫استعمل معادلة الميل والمقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه‪:‬‬ ‫‪17 y + 7 = 3x + 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3 y = -5x - 1‬‬ ‫‪16‬‬  ‫تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫ْ‬ ‫‪ 19‬أحياء ‪ :‬ينمو ناب الفيل طول حياته بمعدل ‪ 1cm‬لكل شهر‪.‬افرض أنك بدأت‬ ‫بمراقبه فيل عندما كان طول نابه ‪.100cm‬اكتب على صورة الميل ‪ -‬النقطة‬ ‫معادلة تمثل نمو ناب الفيل بعد ‪ n‬شهر من المراقبة‪.‬‬ ‫‪ 20‬فيزياء ‪ :‬التمثيل البياني المجاور يمثل كمية المياه المتسربة من خزان خالل مدة‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫زمنية محددة‪.‬اكتب على صورة نقطتين‪ ،‬معادلة تمثل تسرب المياه بعد ‪ n‬ثانية‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5 10 15 20‬‬ ‫‪ 21‬نقود‪ :‬يريد شخص تسديد مبلغ قدره ‪ 30‬مليون دينار‪ ،‬بدفعات شهرية متساوية‬ ‫مقدارها ‪ 1.5‬مليون دينار‪.‬المعادلة الخطية اآلتية ‪ y = -1.5x + 30‬حيث ‪y‬‬ ‫القيمة الباقية من المبلغ‪ x،‬عدد االشهر‪ ،‬استعمل معادلة الميل ‪ -‬المقطع لتحديد‬ ‫ميله ومقطعه‪.‬‬ ‫‪ 22‬صحة‪ :‬في دراسة حديثة توصلت الى ان الشخص يفقد ‪ 2‬ساعة من عمره عند‬ ‫استهالكه علبة سكائر واحدة‪.‬اكتب المعادلة التي تمثل ذلك‪ ،‬ومثلها بيانيا ً‬ ‫‪ 23‬هندسة‪ :‬استعمل المعلومات في الشكل المجاور وجد معادلة المستقيم في‬ ‫الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫‪ )iii‬ميل ‪ -‬مقطعه الصادي‬ ‫‪ )ii‬ميل ‪ -‬نقطة‬ ‫‪ )i‬نقطتان‬ ‫فَ ِّك ْ‬ ‫ـر‬ ‫تفكير ناقد‪ :‬هل يوجد مستقيم ميله ‪ 4‬ويمر في النقطتين )‪(5, 7), (8, - 2‬؟ إن وجدت مستقيما ً كهذا فاكتب‬ ‫‪24‬‬ ‫معادلته وإال فعلل جوابك‪.‬‬ ‫تح ٍّد‪ :‬مستقيم تقاطعه األفقي النظير الجمعي لتقاطعه العمودي‪ ،‬ويمر في النقطة )‪.(2, 3‬اكتب معادلة الميل‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ -‬النقطة لهذا المستقيم‪.‬‬ ‫‪ 26‬ايهما صحيح‪ :‬معادلة مستقيم ميله ‪ 35‬ويمر بالنقطة )‪. (-1, 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫كتب احمد المعادلة بشكل )‪y - 7 = 3 (x + 1‬‬ ‫وكتب محمد المعادلة بشكل )‪ y - 7 = 35 (x + 1‬أيهما اجابته صحيحة؟‬ ‫اُ ْ‬ ‫كتب‬ ‫مسألة من واقع الحياة يمكن تمثيلها بمعادلة الخط المستقيم‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪Parallel and Perpendicular Lines‬‬ ‫المستقيمات المتوازية والمتعامدة‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫]‪[4-4‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫ التمييز بين المستقيمات‬ ‫يظهر في الشكل المجاور عدة مستقيمات‬ ‫المتوازية‪.‬‬ ‫منها ما هي متوازية وومنها ماهي متعامدة‪.‬‬ ‫ التمييز بين المستقيمات‬ ‫المتعامدة‪.‬‬ ‫كيف نميز بين توازي هذه المستقيمات او‬ ‫المفردات‬ ‫تعامدها؟‬ ‫ المستقيمات المتوازية‪.‬‬ ‫ المستقيمات المتعامدة‪.‬‬ ‫‪Parallel Lines‬‬ ‫[‪ ]4-4-1‬المستقيمات المتوازية‬ ‫تعرفت سابقا ً الى توازي المستقيمات والشروط الالزمة لذلك‪:‬‬ ‫فالمستقيمان المتوازيان‪ :‬يقعان في مستوي واحد وليس بينهما نقطة مشتركة‪.‬‬ ‫في هذا الدرس سوف نميز المستقيمان المتوازيان من خالل ميلهما‪:‬‬ ‫يكون اي مستقيمين متوازيين عندما يتساوى ميلهما بشرط انهما غير عاموديين‪:‬‬ ‫‪L1 ' L2 + m1 = m2‬‬ ‫الصيغة الرياضية‪:‬‬ ‫مثال (‪ )1‬بين ان النقط )‪ A (-2, 3), B (-1, 4), C (2, - 1), D (1, - 2‬رؤوس متوازي االضالع ‪ABCD‬‬ ‫باستعمال الميول‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫قانون الميل بين نقطتين‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫‪4-3‬‬ ‫)‪-2 - (-1‬‬ ‫)‪mAB = -1 - (-2‬‬ ‫= ‪ m CD‬بالتعويض‬ ‫‪1-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪mAB = 1‬‬ ‫‪ m CD = -1‬بالتبسيط‬ ‫‪mAB = 1‬‬ ‫‪mCD = 1‬‬ ‫` ‪AB ' CD‬‬ ‫‪m AB = m CD a‬‬ ‫و بالطريقة نفسها‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪mAD = 3‬‬ ‫‪mBC = 3‬‬ ‫` ‪AD ' BC‬‬ ‫` الشكل ‪ ABCD‬متوازي اضالع (تعريف متوازي االضالع)‬ ‫مثال (‪ )2‬اثبت ان النقط‪ A (-2, - 1), B (-1, 0), C (2, 3) :‬تقع على استقامة واحدة‪(.‬تقع على مستقيم واحد)‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪y -y‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫‪ m = 2 1‬قانون الميل بين نقطتين‬ ‫‪x2 - x1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪0 - (-1‬‬ ‫‪3-0‬‬ ‫)‪mAB = -1 - (-2‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫)‪mBC = 2 - (-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪mAB = 1 = 1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪mBC = 3 = 1‬‬ ‫‪ ` m AB = m BC a‬النقط ‪ A,B,C‬تقع على استقامة واحدة‪(.‬اي تمثل خط مستقيم)‬ ‫‪18‬‬  ‫جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ C(5,3‬والموازي للمستقيم المار بالنقطتين )‪. A (4, 5), B (2, - 3‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫نجد ميل المستقيم المار بالنقطتين ‪A,B‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪-3 - 5 -8‬‬ ‫‪m L 1 = 2 - 4 = -2 = 4‬‬ ‫‪ a‬المستقيمان متوازيان‪ `.‬ميل المستقيم المطلوب ‪( mL 2 = 4‬الميل نفسه)‪.‬‬ ‫نجد معادلة المستقيم المطلوب‪.‬‬ ‫)‪y - y 1 = m (x - x 1‬‬ ‫معادلة مستقيم ميل ‪ -‬نقطة‬ ‫)‪y - 3 = 4 (x - 5‬‬ ‫التعويض‬ ‫معادلة المستقيم المطلوب‪.‬‬ ‫‪y = 4x - 17‬‬ ‫التبسيط‬ ‫مثال (‪ )4‬ليكن‪ L 1: y = -5 x + 4, L 2: y = 5 x + 4, L 3: y = -5 x - 4 :‬أي المستقيمات متوازية‪.‬ولماذا؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ميله ومقطعه الصادي‬ ‫‪L 1: y = 3 x + 4 & m 1 = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k1 = 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ميله ومقطعه الصادي‬ ‫‪L 2: y = 3 x + 4 & m 2 = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k2 = 4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪L 3: y = 3 x - 4 & m 3 = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k 3 = -4‬‬ ‫ميله ومقطعه الصادي‬ ‫‪m1 = m3 & L1 ' L3 , k1 Y‬‬ ‫‪= k3‬‬ ‫‪Perpendicular Lines‬‬ ‫[‪ ]4-4-2‬المستقيمات المتعامدة‬ ‫تعرفت سابقا ً الى ان المستقيمين المتعامدين يلتقيان في نقطة واحدة ويصنعان اربعة زوايا قائمة ويقعان في مستو واحد‪.‬‬ ‫في هذا الدرس سوف نميز المستقيمات المتعامدة من خالل ميلهما بشرط أال يوازي اي منهما المحوريين االحداثيين‪.‬‬ ‫يكون المستقيمان متعامدين عندما يكون ميل احدهما مقلوب ميل االخر بعكس االشارة‪(.‬حاصل ضربهما يساوي = ‪)-1‬‬ ‫الصيغة الرياضية‪:‬‬ ‫‪ L 1 = L 2 + m 1 = m‬أو ان‪m 1 # m 2 = -1 :‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪ )5‬بين ان النقط‪ A (2, 4), B (-4, 2), C (-2, - 4) :‬رؤوس لمثلث قائم الزاوية‪.‬حدد الزاوية القائمة فيه‪.‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪-4 - 4‬‬ ‫‪-4 - 2‬‬ ‫‪m AB = -4 - 2‬‬ ‫بالتعويض )‪m AC = -2 - 2 m BC = -2 - (-4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪= -6‬‬ ‫‪= -4‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪1 -3‬‬ ‫‪& 3 # 1 = -1 & m AB # m BC‬‬ ‫‪& AB = BC & m+B = 90c‬‬ ‫‪19‬‬  ‫مثال (‪ )6‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ C(3,-4‬والعمودي على المستقيم المار )‪A (0, 3), B (2, - 2‬‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫بالنقطتين‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫بالتعويض في الميل والمستقيم ‪-2 - 3 -5‬‬ ‫‪mL 1 = 2 - 0 = 2‬‬ ‫المار بنقطتين‬ ‫‪ a‬المستقيمان متعامدان ` ‪( m L 2 = 25‬مقلوب ميل ‪ L 1‬بعكس االشارة)‬ ‫)‪y - y 1 = m (x - x 1‬‬ ‫معادلة مستقيم ميل ‪ -‬نقطة‬ ‫‪2‬‬ ‫التعويض‬ ‫)‪y + 4 = 5 (x - 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪26‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪ y = 5 x - 5‬معادلة المستقيم المطلوب‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مثال (‪ )7‬جد قيمة ‪ a‬التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين)‪ (a, - 4), (3, 1‬عمودي على المستقيم الذي ميله ‪. - 5‬‬ ‫بما ان المستقيمين متعامدان‪ ،‬اذن ميل المستقيم المطلوب هو ‪( 5‬مقلوبه بعكس االشارة)‬ ‫‪y2 - y1‬‬ ‫‪5 -4 - 1‬‬ ‫ميل المستقيم المار بنقطتين وبالتعويض‬ ‫‪m = x2 - x1‬‬ ‫&‬ ‫‪1 = a-3‬‬ ‫‪5a - 15 = -5‬‬ ‫الضرب التبادلي‬ ‫‪5a = 10‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادل على ‪5‬‬ ‫‪a=2‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫االسئلة (‪)1-2‬‬ ‫‪ 1‬المستقيم ‪ AB‬يمر بالنقطتين )‪، A (-2, 4), B (a, 6‬عمودي على المستقيم ‪ CD‬الذي يمر بالنقطتين‬ ‫مشابهة للمثال ‪7‬‬ ‫)‪ ، C (6, - 6), D (2, - 7‬جد قيمة ‪.a‬‬ ‫‪ 2‬جد قيمة ‪ a‬التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين )‪ (3, 2), (6, a‬يساوي ‪. -1‬‬ ‫السؤال ‪ 3‬مشابه‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 3‬برهن ان الشكل ‪ ABCD‬متوازي اضالع حيث‪. A (3, 0), B (0, 4), C (-3, 0), D (0, - 4) :‬للمثال ‪1‬‬ ‫السؤال ‪ 4‬مشابه‬ ‫‪ 4‬برهن ان ‪ ABC 3‬حيث‪ A (-5, - 7), B (-8, - 2), C (-4, - 3) :‬قائم الزاوية‪ ،‬ثم حدد الزاوية القائمة‪.‬للمثال ‪5‬‬ ‫السؤال ‪ 5‬مشابه‬ ‫‪ 5‬أثبت ان النقط‪ A (0, - 1), B (4, 2), C (8, 5) :‬تقع على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫للمثال ‪2‬‬ ‫‪ (3,‬السؤال ‪ 6‬مشابه‬ ‫‪ 6‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (‪ )-4,0‬والعمودي على المستقيم المار بالنقطتين )‪. - 2), (6, 0‬‬ ‫للمثالين ‪3,6‬‬ ‫ت‬ ‫تدرب وح ّل التمرينا ِ‬ ‫ْ‬ ‫‪ 7‬المستقيم ‪ AB‬حيث )‪ A (0, 2), B (3, 0‬المستقيم ‪ CD‬حيث )‪ C (6, - 2), D (9, - 4‬والمستقيم ‪ EF‬حيث‬ ‫)‪ E (0, - 5), F (2, - 2‬ماعالقة ‪ AB‬بالمستقيمين ‪ EF,CD‬؟ بين ذلك‪.‬‬ ‫ ‪ A (0, - 7),‬تقع على مستقيم واحد؟ بين ذلك‪.‬‬ ‫‪ 8‬هل النقط )‪B (1, - 1), C (2, 3‬‬ ‫‪ 9‬برهن ان الشكل ‪ ABCD‬مستطيل حيث‪. A (1, 4), B (2, 6), C (8, 3), D (7, 1) :‬‬ ‫‪. (3, - 2), (6,‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 10‬جد معادلة المستقيم المار بالنقطة )‪ (1, - 1‬والموازي للمستقيم المار بالنقطتين )‪0‬‬ ‫‪20‬‬  ‫تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫ْ‬ ‫المياه المتدفقة‬ ‫‪ 11‬فيزياء ‪ :‬يمثل الجدو