2015 XISAAB FASALKA 8AAD FINAL 2015 PDF

Buugga Ardayga 3 y 𝑦𝑦 = 2.5𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 1.5𝑥𝑥 A B...

Buugga Ardayga 3 y 𝑦𝑦 = 2.5𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 1.5𝑥𝑥 A B Fasalka 8 2 D E 1 C C x E D -3 -2 -1 1 2 3 F -1 H G A B -2 O -3 F G Tirooyika lakab ℚ Abyoone ℤ 2 c r Tiro idil 𝕎𝕎 c Joog b2 b Tiro tirsiimo a ℕ r a2 −3 5 0 1 2 3 4 5 5−3 = 2 DAWLADA DEEGAANKA SOOMAALIDA XAFIISKA WAXBARASHADA 2 Tirooyinka Lakab Buuggan Ilaali oo daryeel Buuggani waa hantida Dugsigiina Daryeel si aynan waxyeelo u gaadhin ama u lumen Hoos waxa kuxusan 10 fikradood oo ah talooyin kaa caawinaya sidaad buugga u ilaa lin lahayd una daryeelaysid 1. Buugga ku jaldiyee jaldi ku haboon dhawrista sida Balaastiga waraqad adag sida magaasinada la akhristay. 2. Markasta meeshaad buuga dhigaysaa waa in ay ahaataa meel nadiif ah oo engagan. 3. Buugga marka aad isticmaalaysid waa in ay gacmahaagu nadiif ahaadaan. 4. Waxna ha ku qorin buugga jaldigiisa ama boggaga dhaxdiisa. 5. Isticmaal waraaqad yar ama kaardi yar markaad bog calaamadaysanaysid. 6. Waligaa ha ka jeexin ama haka gooynin sawir ama bog. 7. Boggaga jeexma ku kab. Xabag ama balastar. 8. Buugga markaad dugsiga u qaadanaysid boorsada ama shayga aad ku qaadanaysid qumaati u dhaxdhig si uunan u jacdadin ama u jajabin. 9. Buugga markaad qof kale u dhibaysid si taxadar leh ugu dhiib. 10. Buugga cusub marka ugu horeysa ee aad isticmaalkiisa bilaabaysid dhiniciisa ay boggagiisa u dan beeya ay ku yaaliin u jiifi kadibna markiiba dhawr bog fur ama bannee. Marka aad bog rogaysid, Cidhifka uu ka taxan yahay gacanta kale ku yar xaji. Sidaasina daryeelka jaldiga buugga ayey u wanaagsan tahay. Qorayaasha Buugga 1. Cabdi Salaad 2. Ismaaciil Maxamed Ducaale Tafatirayaasha Buugga 1. _________________________________ 2. _________________________________ Isku dubaridayaasha 1. _________________________________ 2. _________________________________ Naqshada Buugga 1. Axmed Saalax Nuur 4 Tirooyinka Lakab MAHADNAQ Marka hore, waxaan si sharaf iyo maamuus leh mahadnaq ballaaran u soo jedinaynaa Cid kasta oo gacan ka geysatay soo saarista Buuggan, gaar ahaan Mas’uuliyiinta heerarka kala duwan haday noqota Xukuumada DDS & Hogaaminta Xafiiska Waxbarashada DDS. Waxaan sidoo kale mahadnaq usoo jeedinaynaa Hawlwadeenada Barnaamijka Horumarinta tayada Waxbarashada ee GEQIP-E oo Gacan dhaqaale ka gaystay diyaarinta Manhajkan Cusub barnaamijka. Ugu dambayntii, waxaa mahadnaq naga mudan dhammaan shaqaalaha Waaxda Horumarinta Manhajka & Cilmi baadhista Xafiiska Waxbarashada DDS oo Wakhti iyo Maskaxba galiyay Manhajkan Cusub iyo Aqoonyahannadii ka qaybqaatay diyaarinta Manhajka cusub, gaar ahaan Qoreyaashii Buuggan. -------------------------------------------------------------------------------------------------- © 2014 T.I Xafiiska waxbarashada ee Dawlada Deegaanka Soomaalida. Xuquuqda buuggani waxay u dhawran tahay Xafiiska Waxbarashada ee DDS. Buuggan qayb ka mid ah ama isaga oo dhan midna lama guurin karo lama daabici karo lamana baahin karo, iyada oo la adeegsanayo qalabyada elektiroonika iyadoo ogolaansho qoraal ah aan laga haysanin Xafiiska Waxbarashada ee DDS.  i Cutubka 1aad 1. Tirooyinka Lakabka leh………………………………….………1 1.1. Macnaha Tirooyinka Lakabka leh……………………………..…2 1.2. Isbarbardhigga iyo horsanaanta Tirooyinka Lakabka leh…….…13 1.3. Xisaabfallada iyo astaamaha Tirooyinka Lakabka leh………….19 1.4. Adeegsiga Tirooyinka Lakab ee furfurista masalooyinka taabanaya nolol maalmeedkeena. …………….…41 Cutubka 2aad 2. Labajibbaarka, Xidid Labajibbaarka, Saddexjibbaarka iyo Xidid Saddexjibbaarka …………………………………...45 2.1. Laba jibbaarka iyo xidid laba-jibbaarka……… ………………46 2.2. Seddexjibbaarka iyo xidid seddex jibbaarka……………….….59 2.3. Adeegsiga labajibbaarka, xidid labajibbaarka, seddex jibbaarka iyo xidid seddex jibbaarka. …………………..……..63 Cutubka 3aad 3. Isle`egyada iyo Dheeliyada…………………………… …..…..67 3.1. Naqtiinka habdhiska kulanada dhidibada kaartis…… ……….68 3.2. Garaafka isle`egyada toosan………………………..… ….….….71 3.3. Furfurista dheeliyada toosan……………………..……… ….….76 3.4. Adeegsiga isle`egyada iyo dheeliyada toosan….……….…. …...84 Cutubka 4aad 4. Isu – Ekaanshaha Shaxannada……………………… …….91 4.1. Shaxannada sallaxa ee isu-eg ………………………………92 4.2 Bedka iyo wareegga saddexagallada isu-eg ………………….108 6 ii Tirooyinka Lakab Cutubka 5aad 5. Aragtiinnada sadexagallada …………………………….…119 5.1. Wadarta cabbirka xaglaha gudaha ee sadexagalka …….…..120 5.2. Xidhiidhka xaglo gudeedka iyo xaglo dibadeedka sadexagalka………………………………………………...125 5.3. Aragtiinnada sadexagalka qumman………………………..132 Cutubka 6aad 6. Xarriiqaha iyo Xaglaha ku yaal Goobada………………163 6.1 Goobooyinka………………………………………………..164 6.2 Adeegsiga Goobada……………………………………..…189 Cutubka 7aad 7. Shaxannada adkaha iyo cabbiraadda ………………….199 7.1. Shaxannada adkaha ah……………………………………200 7.2. Bed duleedka iyo mugga shaxannada adkaha ah. …..…212 Cutubka 8aad 8. Barashada Itimaalka ………………………..… ……….237 8.1 Macnaha Itimaalka …………………………… ………..238 8.2 Itimaalka waqdhaco fudud ……………….…… ……… 247 8.3 Adeegsiga Itimaalka xagga……………………… … …257  1 aad Cutubka 1 1 Tirooyinka Lakab leh Ujeedooyinka Cutubka Cutubkani marka uu dhammaado ardaydu waxay awoodi doonaan in ay:-  Qeexaan Tirooyinka Lakab, kuna muujiyaan xariiqa tirada.  Gartaan xidhiidhka ka dhexeeya tirooyinka idil (W), abyoonayaasha ( ℤ) iyo Tirooyinka Lakab(ℚ)  Horsanaan u qoraan Tirooyinka Lakab.  Furfuraan ama xaliyaan masalooyinka isugeynta, kalagoynta, iskudhufashada isuqaybinta tirooyinka Lakab.  U adeegsadaan tirooyinka lakabka leh furfurista masalooyinka la xidhiidha nolosha dhabta ah. Ciwaannada muhiimka ah ee Cutubka: 1.5. Macnaha tirooyinka lakab 1.6. Isbarbardhigga iyo horsanaanta tirooyinka lakab. 1.7. Xisaabfallada iyo astaamaha tirooyinka Lakab. 1.8. Adeegsiga Tirooyinka Lakab ee furfurista masalooyinka taabanaya nolol maalmeedkeena. Ereyada ama weedhaha Cusub ee cutubka Soo koobidda Cutubka Laylis Guud 2 Tirooyinka Lakab HORDHAC Inta badan hawlaha aynu nolosheena ku maareyneyo waxaan kala kulanaa arrimo inaga hor yimaad oo aynaan ku xalin karin ururada xisaabeed ee ay ka mid yihin, ururada tirooyinka tirsiimo (ℕ), tirooyinka idil (𝕎𝕎) ama ururka tirooyinka abyoonayaasha iyo jajabyada togan midnaba. Tusaale ahaan, haddii aan dooneyno in aan xal u raadino furfurista isle’egta ah x + 2 = 13, tirada qiimaha x = 11, waa tiro tirsiimo oo isle’ega run ka dhigeysa. Haddii aan tusaale kale soo qaadano isle’egta ah 𝒙𝒙 + 5 = 5, furfurista isle’egtani waxayna siineysaa qiimaha 𝑥𝑥 oo ah 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, markaa eber ma aha tiro tirsiimo, haddii aan tiro tirsiimo keliya raadineney, waxaa inoo soo baxay eber oo ah tiro idil. Haddii aan qaadano isle’eg kale oo ah 𝒙𝒙 +18 = 5 qiimaha x ma xalinayo haddii ay tahay tiro idil sababtoo ah 𝑥𝑥 = −13, taasina ma aha tiro idil. Isle’egyadaas dhowrka ah iyo qaar kale oo la mid ah, furfuristooda waxa inagaga filan isticmaalka tirooyinka, lakabka leh oo dhammaan ururada kale ee xisaabeed ka tirsan yihiin, ha noqoto tiro tirsiimo, tiro idil iyo abooynayaasha togan ama taban. Masalo Furfurista isle`egta x + 2 =1 soo saar qiimaha x nooca tirada ay tahay 3 3 b. Tiro tirsiimo j. Abyoone t. Tiro idil x. Midna 1.1. Macnaha Tirooyinka Lakabka leh Ka hor inta aadan bilaabin casharkan, marka hore naqtiin ku samee abyooneyaasha Naqtiin: Muujinta iyo Horsanaanta Abyooneyaasha Fasalka 7aad waxa aad ku soo baratay Abyooneyaasha sida macnahooda, horsanaantooda, muujintooda xarriiqda tirada dusheeda iyo xisaabfalladooda. Ma xusuusan tahay Horsanaanta abyooneyaasha iyo sida loogu muujiyo xarriiqda tirada dusheeda? Adiga iyo saaxiibbadaa si wada jir ah uga dooda una wada falanqeeya hawlgalkan soo socda: Cutubka 1aad 3 Hawlgal 1.1 1. Xariiqa tirada dusheeda ku muuji abyooneyaashan: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. 2. Abyooneyaasha soo socda u qor hoorsanaanta fanata iyo hoorsanaanta degta. −201 , −199 , −302 , −184 , −211 , −84 , −98 , −101 , −110 , 0 , −74 3. Ku buuxi meelaha bannaan summada < ama >. b 25 3 t – 25 −3 Fiiro gaar ah Ururka tirooyinka ka kooban, ururka tirooyinka tirsiimo, lidkooda iyo 0 ayaa loo yaqaanaa ururka abyooneyaasha, waxaana loo qoraa ℤ = {... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3... } U fiirso i. Ururka tirooyinka tirsiimo waxay ku jiraan ururka tirooyinka idil. ii. Ururka tirooyinka idil wuxuu ku jiraa ururka abyoonayaasha. Marka ururka abyooneyaasha lagu dul muujiyo xarriiqda tirada wuxuu noqonayaa sidan: –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Jaan 1.1 Horsanaanta Abyoonayaasha: Sida ku cad jaantuska 1.1 i Xariiqa tirada, tiroba tirada ay bidix ka xigto way ka yar tahay sida (2 < 3) ii Xariiqa tirada tiroba tirada ay midig ka xigto wey ka weyn tahay sida (5 > 3). Tusaale 1 Adeegso xariiqa tirada oo ku buuxi meelaha bannaan summada dheeliga < ama >. b. 5 0 t. –5 −3 j. −2 −4 x. −3 1 Furfuris –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Jaan 1.2 b. 5>0 waayo 5 midig bay ka xigtaa 0 4 Tirooyinka Lakab t. −5 < −3 waayo −5 bidix bay ka xigtaa −3 j. −2 > − 4 waayo −2 midig bay ka xigtaa −4 x. −3 < 1 waayo −3 bidix bay ka xigtaa 1. Qeexidda Tirooyinka Lakab Fasaladii hore waxaad ku soo baratay jajabyada, Jajab-tobanleyaasha iyo Abyooneyaasha. Bal dib u xasuuso oo ka shaqeeya hawlgalkan soo socda: Hawlgal 1.2 Adiga iyo saaxiibbadaa kooxdiina ah wada falanqeeya Jawaabaha su’aalaha soo socda: 1. Waa maxay tiro lakab leh? Maxaa looga jeedaa macnaha lakab? 2. Qor magac lagu middayn karo abyooneyaasha, Jajabyada iyo Jajab-tobanleyaasha 3. Abyooneyaasha ma loo qori karaa sansaanta ah a ? b 4. Tirooyinkan u qor sansaanta a b 1 1 b. 3 t. −5 j. 3.25 x. 1 kh. −1.6 d. + 0.6 2 2 5. U fiirso seddexagaladan soo socda Jaan.1.3 b. Jajab intee ah ayaa dhammaan saddexagaladan hadhaysan t. Jajab intee ah ayaan seddex xagaladan hadhaysnayn Tiro kasta waxa loo qori karaa sansaanta jajabka ee ah a.Tusaale ahaan −3 waxa loo qori b 3 1 25 8 karaa − , 3 waxa loo qori karaa , −1.6 waxa loo qori karaa −. 1 8 8 5 Tirooyinka noocan ah ee qaababka kala duwan leh ee loo qori karo sansaanta ah a ayaa loo b yaqaan tirooyinka lakabka leh. Magaca lakab waxa looga jeedaa in tiro loo qori karo saamiga laba abyoone ama Isuqaybinta laba abyoone. Cutubka 1aad 5 Qeexid 1.1 a Tiro lakab leh waa tirada loo qori karo sansaanta , halka b ≠ 0 isla markaana a iyo b ay b yihiin laba abyoone. Ururka Tirooyinka Lakab waxa loo asteeyaa xarafka “ℚ” waxa loo qoraa sidan: 𝒂𝒂 ℚ = , 𝒃𝒃 ≠ 𝟎𝟎, 𝒂𝒂, 𝒃𝒃, ∈ ℤ 𝒃𝒃 2 3 23 Tusaale ahaan, tirooyinkani 2; −3; ;− ; ; 0.6; --- waa tusaaleyaasha Tirooyinka Lakab 3 4 10 1.1.1. Muujinta Tirooyinka Lakab ee Xariiqda tirada Dusheeda Sida ku cad Jaantusyada 1.1 iyo 1.2, waxaad soo baratay sida abyoonayaasha loogu muujiyo xariiqa tirada dusheed. Halkan waxa aad ku baran doontaa sida xariiqa tirada loogu muujiyo Tirooyinka Lakabka leh. Hawlgal 1.3 1. U fiirso xariiqda tirada Jaan 1.4 1 b. Xarriiqda OA u qaybi Laba qaybood oo isle’eg kadibna ku dul muuji. 2 1 2 t. Xarriiqda OA u qaybi saddex qaybood oo isle’eg kadibna ku dul muuji iyo. 3 3 2 3 5 j. Xarriiqda OA u qaybi Shan qaybood oo isle’eg, kadibna ku dul muuji , iyo. 5 5 5 1 5 8 x. Xarriiqda OA u qaybi Sagaal qaybood oo isle’eg kadibna ku dul muuji , iyo. 9 9 9 2. Soo minguuri Xariiqda tirada ee ku xusan Jaan. 1.4, una fidi dhinaca bidix ee 0 kadibna ku muuji tirooyinkan lakabka leh ee soo socda: 1 2 2 3 5 1 5 7 8 b. − iyo − t. − , − iyo j. − , − , − iyo 3 3 5 5 5 9 9 9 9 3. Sidee xarriiqda tirada loogu dul muujiyaa tiro lakab leh? 4. Qor tallaabooyinka la raaco marka tiro lakab lagu dul muujinayo xarriiqda tirada 6 Tirooyinka Lakab Marka xarriiqda tirada lagu dul muujinayo Tiro lakab leh waxaa laga duulaa hooseeyaha iyo sarreeyaha tiradaas. Hooseeyuhu wuxuu tilmaamayaa inta qaybood ee loo qaybinayo xarriiqda tirada, sarreeyuhuna wuxuu tilmaamayaa tirada qaybaha ee la qaadanayo. Haddaba, marka tiro lakab leh lagu dul muujinayo xarriiqda tirada waxaad raaci kartaa tallaabooyinka soo socda: 1) Isuqaybi sarreeyaha iyo hooseeyaha 2) Soo saar labada abyoone ee tiradaasi ay u dhexayso 3) Sawir xarriiqda tirada, kadibna. Ku muuji labada abyoone ee tiradaasi ay u dhexayso 4) Xarriiqda u qaybi tirada inta hooseeyuhu yahay 5) Tirada sarreeyuhu muujinayo oo tallaabo u soco midig ama bidix oo qor tirada. Haddii sarreeyuhu togan yahay midig u socol haddii uu taban yahayna u soco bidix Tusaale 2 3 Xarriiqda tirada ku dul qor − 5 Furfuris Raac tallaabooyinka soo socda 3 1) Isuqaybi −3 iyo 5: − = − 0.6 5 2) − 0.6 waxay u dhexaysaa −1 iyo 0, waayo −1 < 0.6 < 0 3) Sawir xarriiqda tirada oo ku muuji −1 iyo 0, sida ka muuqata Jaan.1.5 4) Maadaama hooseeyuhu yahay 5, Xarriiqda u qaybi 5 qaybood oo isle’eg 3 5) Adiga oo 0 ka bilaabaya, 3 tallaabo bidix u soco, kadibna bartaas ku qor − 5 𝟑𝟑 −1 − 0 𝟓𝟓 Jaan.1.5 Cutubka 1aad 7 Tusaale 3 37 Ku dul qor xariiqda tirada 11 Furfuris: Raac tallaabooyinka kor ku xusan 37 4 4 =3 =3+ 11 11 11 Jaan 1.6 4 0 1 2 3 3 4 11 Tusaale 4 Tirooyinkan lakabka leh mid kasta ku muuji xariiqda tirada. 2 37 1 ; −3.6; −1.445; ; − iyo 4.6 3 11 4 Furfuris Jaan 1.7 Hawlgal 1.4 1. Sawir Xariiqda tirada kadibna ku muuji tirooyinkan lakabka leh ee soo socda 3 3 1 1 b. 2 t. −2 j. 3 x. −3 4 4 2 2 2. Tirooyinka lakab ee ku qoran su’aasha 1aad, kuwee baa ah tirooyin lakab oo isku lid ah? Waayo? Tirooyinka isku lidka ah fogaan isle’eg ma u jiraan 0? 3. Haddii aad doonayso in xarriiqda tirada aad ku muujiso barta ah − 8.85, ma waxaad dhigaysaa dhinaca bidix mise dhinaca midig ee − 8.8? Sharrax ka bixi Gabagabada ururka tirooyinka Lakab wuxuu ka kooban yahay tirooyinka Lakab ee togan, Eber (0) iyo tirooyinka Lakab ee taban. Ururka Tirooyinka Lakab (ℚ) wuxuu ka kooban yahay ururka Tirooyinka Lakab ee togan (ℚ+ ), Eber “0” iyo ururka Tirooyinka Lakab ee taban (ℚ− ). 8 Tirooyinka Lakab Laylis 1.1 1. Weedhahan soo socda tii run ah ku qor “√” tii been ahna ku qor “x”. a b.____ Tiro lakab leh waa tiro kasta oo loo qori karo sansaanta ah. b t.____ Ururka Abyooneyaashu kuma jiro ururka tirooyinka lakabka leh. j._____ Xariiqda tirada dusheeda dhammaan tirooyinka bidix ka xiga “0” waxa la yidhaa Tirooyinka Lakab ee taban. 1 1 x._____Haddii hooyadaa ku siiso 3 Birr, markaa 3 waa tiro lakab leh. 2 2 kh. ____ U fiirso “−2” ma aha tiro lakab leh d._____ Dhammaan Tirooyinka Lakab ee taban waxa lagu asteeyaa summadda tabane ama “−“oo dhinaca bidix laga raaciyo tirada. r. _____ “0” waa tiro lakab oo togan s._____ Xariiqda tirada dusheeda, tiro kasta oo lakab iyo lidkeedu fogaan isle’eg ayey u jiraan barta “0”. sh. ____4.5 waa tiro lakab leh. 3 dh.____U fiirso “−3” waa tiro lakab oo taban waayo waxa loo qori kara −. 1 2. Qeex ururka abyoonayaasha, ka dibna sheeg qaybaha uu ka kooban yahay adiga oo adeegsanaya xariiqda tirada. 3. Qor horreeyaha iyo dambeeyaha tiro kasta oo ka mid ah abyoonayaashan soo socda. b) −7 t) −4 j) 0 x) 2 kh) 4 d) −50 r) −200 s) 500 sh) 1000 4. Qeex tirooyinka lakabka leh kadibna qor Qaybaha ay ka kooban yihiin 5. Tirooyinka lakab ee soo socda mid kasta ku dul muuji xarriiqda tirada 3 3 1 1 b. t. − j. 5 x. −5 4 4 2 2 6. U fiirso xarriiqdan tirada kadibna qor tiro kasta iyo lidkeeda iyo fogaanta ay isu jiraan 𝟕𝟕 1 3 1 1 3 5 7 − –3 − –2 − –1 − 0 2 3 𝟐𝟐 2 2 2 2 2 2 2 7. Haddii “ℚ’” u taagan tahay ururka Tirooyinka Lakab isla markaana Cutubka 1aad 9  2 1 2 1 2 1 1 1 2  ℚ = −3, −2 , −2 , −2, −1 , −1 , −1, − , − , 0, ,1,1 , 2, 2 ,3  3 3 3 3 3 3 3 3 3  Markaa qor: b. Tirooyinka Lakab ee togan t. Tirooyinka Lakab ee taban j. Lidka tiro kasta oo ka mid ah ‘ℚ’ x. Ku muuji xariiqa tirada ururkaas 1.1.2. Xidhiidhka u Dhexeeya W, ℤ iyo ℚ: Hawlgal 1.5 𝒂𝒂 1. Tirooyinkan idil ee soo socda mid kasta u qor sansaanta ah (a iyo b waa laba abyoone) 𝒃𝒃 b) 2 t) 3 j) 5 x) 8 kh) 11 D) 15 𝒂𝒂 2. Abyoonayaashan soo socda mid kasta u qor sansaanta ah (a iyo b waa laba abyoone) 𝒃𝒃 b) −8 t) −3 j) −13 x) 3 3. Tirooyinka ku qoran qodobka 1aad iyo qodobka 2aad ma yihiin tirooyin lakab? Waayo? 4. Tilmaan tirooyinkan soo socda kuwa aan ahayn abyooneyaal b) 3 t) 1 j) −5 x) 0 kh) 2.5 1 𝟑𝟑𝟑𝟑 d) −3 r) s) 6.04 2 𝟕𝟕 Ururada tirooyinka ee aad soo baratay ilaa hadda waa afar urur- tiro oo kala ah:- 1. ℕ  Waa ururka tirooyinka tirsimo 2. W Waa ururka tirooyinka idil 3. ℤ  Waa ururka abyooneyaasha 4. ℚ  Waa ururka Tirooyinka Lakab. Haddaba waa maxay xidhiidhka ka dhexeeya ururadaas tirooyinka? Ururkee baa ugu weyn? Ururkee baa ugu yar? Haddii aan ka jawaabno su’aalahaas waxaan helaynaa sidan:-  Ururka ugu weyn afartaas urur waa ururka Tirooyinka Lakab (ℚ) waxana ugu yar ururka tirooyinka tirsiimo (ℕ).  Sida ku cad Jaantuskan hoose, Xidhiidhka ka dhexeeya ururadaas waxa weeye:- (b) Ururka tirooyinka tirsiimo (ℕ) waxay ku jiraan ururka tirooyinka idil (W) 10 Tirooyinka Lakab (t) Ururka tirooyinka idil waxay ku jiraan ururka abyooneyaasha (ℤ). (j) Ururka abyoonayaasha waxay ku jiraan ururka tirooyinka lakabka leh (ℚ) Tirooyika lakab ℚ Abyoone ℤ Tiro idil 𝕎𝕎 Tiro tirsiimo ℕ Jaan 1.9 Tusaale 5 4 1 Tirooyinka −0.25; 2; 1.8; 0; −5; − ; −2; iyo 15; kala sheeg kuwee ayaa ah. 3 8 b. Tiro idil? J. Tiro lakab? t. Abyoone? Furfuris b. 0, 2 iyo 15 waa tirooyin idil t. 0, 2, −5, −2, iyo 15 waa abyooneyaal j. Dhammaan waa tirooyin lakab leh. Laylis 1.2 I. Weedhahan soo socda tii run ah ku qor “Run” tii been ahna ku qor “Been”. b) ______Ururka tirooyinka idil waxay ku jiraan ururka abyooneyaasha. t) _______Ururka abyooneyaashu waxay ku jiraan ururka tirooyinka lakabka leh. j) _______Tiro idil oo kasta ma aha tiro lakab leh. x)_______ Abyoone kasta waa tiro lakab leh, laakiin tiro lakab oo kasta ma aha abyoone. kh) ______Waxaa jirta tiro lakab oo aan ahayn abyoone, balse ah tiro idil. d) ______Waxaa jirta tiro lakab oo aan ahayn tiro idil, balse ah abyoone. Cutubka 1aad 11 II. Goobo geli xarafka ku habboon ee jawaabta uug saxsan weedhahan soosocda. 1. Haddii ℕ, W, ℤ and ℚ ay yihiin ururada tirooyinka, markaa kuwan soo socda teebaa beenka ah? b) ℕ oo idil waxay ku jirtaa ℚ t) W oo idil waxay ku jirtaa ℚ j) ℤ oo idil waxay ku jirtaa ℚ x) ℕ oo idil waxay ku jirtaa ℤ kh) ℕ oo idil waxay ku jirtaa W d) ℤ oo idil waxay ku jirtaa W 2. Dhextaalka ururka tirooyinka idil iyo ururka abyooneyaasha waa b) Ururka abyooneyaasha t) Ururka tirooyinka idil j) Ururka Tirooyinka Lakab x) Midnaba 3. Isutagga ururka Tirooyinka Lakab iyo ururka abyooneyaasha waa b) Ururka Tirooyinka Lakab t) Ururka tirooyinka idil j) Ururka abyooneyaasha x) Midnaba 4. Suurtagal ma tahay in tiro aan ahayn abyoone, balse ah tiro idil ay noqoto Tiro lakab? Sharrax ka bixi oo faahfaahi jawaabtaada 5. Tirooyinka lakabka ah ee hoos ku qoran tee baan abyoone ahayn shaqo ku muuji 0 18 12 b) 0 t) j) x) 9 3 8 12 Tirooyinka Lakab 1.1.3. Qiimaha Sugan ee Tirooyinka Lakab Hawlgal 1.6 Adiga oo fiirinaya xariiqda tirada ee Jaan 1.10 ka jawaab su`aalahan soo socda. b. Barta A waxaa imisa kulankeedu. t. Barta B xagee ayay ka xigaan barta unugga. j. Barta C xagee ayay ka xigaan barta unugga. x. Baraha A iyo B ma fogaan kala duwan ayay u jiraan unugga. kh. Waa imisa fogaanta u dhaxaysa Baraha A iyo B, fogaanta u dhaxaysa Baraha A iyo B. C A B –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Jaan. 1.10 U fiirso jaantuska sare ku xusan Waa xariiqda tirada oo lagu muujiyey tirooyinka −4, 0 iyo 4 , islamarkaana −4 iyo 4 waa laba tiro oo isu lid ah.Hase yeeshee bal cabbir fogaanta u dhexaysa barta A iyo barta B, sidaas oo kale cabbir fogaanta u dhexaysa barta A iyo C waxaad helaysaa in : Fogaanta AB = 4 Fogaanta AC = 4 jihadu ha kala duwanaatee Taas macnaheedu waxa weeye: Qiimaha sugan ee tiro ku taalla xariiqa tirada dusheeda, waa fogaanta u dhxaysa barta ‘0’ iyo baraha tiradaas. Tusaale ahaan qiimaha sugan waa 4, waa fogaanta u dhexaysa tirada 4 iyo 0 oo ah 4, sidaas oo kale qiimaha sugan ee u dhexeeya 0 iyo 4 waa 4. Fogaanta u dhexaysa waxaan kala soo bixi karnaa xaqiiqooyinkan soo oscda:- 1. Qiimaha sugan ee tiro kastaa waa tiro togan. 2. Qiimaha sugan ee tirooyinka isku lidka ah way isle’eg yihiin. Guud ahaan haddii 𝑎𝑎/𝑏𝑏 ay u taagan tahay tiro kasta oo lakab, marka qiimaha sugan ee 𝑎𝑎 𝑎𝑎 waa fogaanta u dhexeysa 0 iyo. 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝒂𝒂 𝒂𝒂 0 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Jaan 1.11 Cutubka 1aad 13 𝒂𝒂 Qeexid 1.2 Qiimaha sugan ee tirooyinka lakab 𝒃𝒃 waa fogaanta u dhxeysa eber iyo 𝑎𝑎 barta a/b ee ku dul qoran xariiqa tirada, waxaa lagu asteeyaa waxaana loo qoraa 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝒂𝒂 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝒃𝒃 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 < 0 𝑏𝑏 𝑏𝑏. Tusaale 6 Soo saar qiimaha sugan ee tirooyinkan: b. |2| t. |−2| j. |0| x. |−56| Furfuris Raac qeexidda b |2| = 2 t |−2| = −(−2) = 2 sababtoo ah −2 < 0 j |0| = 0 x |−56| = − (−56) = 56. Tusaale 7 Soo saar qiimaha sugan ee tirooyinkan soo socda: 1 3 1 3 b t − j − x – 12 2 4 2 11 Furfuris 1 1 1 1 1 b = j – = − ( − ) = 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 t – = − ( − )= x −12 = − −12 = 12 4 4 4 11 11 11. Laylis 1.3 I. Weedhahan soo socda meelaha bannaan ku buuxi tii run ah ku qor “R” tii been ahna ku qor “B”. b. Qiimaha sugan ee tiro kasta oo lakab iyo lidkeedu waa isku mid ____ t. Qiimaha sugan ee tiro kastaa waa tiro togan __________ j. Qiimaha sugan ee “x” waxa loo soo gaabiyaa |𝐱𝐱| _________ x. Xariiqda tirad adusheeda, qiimaha sugan ee tiro waa fogaanta u dhexeysa barta “0” iyo barta ay ku qoran tahay lidka tiradaasi ______________. 14 Tirooyinka Lakab II. Soo saar qiimaha sugan ee tirooyinkan soo socda:- 6 8 b. |20| t. |−10| j. |−20| x. − kh. − 7 13 6 15 26 40 40 d. r. s. − sh. − dh. 7 19 43 10 −10 III. Dhamaystir shaxdan hoose x −3 −1.5 4 1 −1 −4.5 −0.8 3 7 3 2 12 |𝑥𝑥|. 1.2 Isbarbardhigga iyo Horsanaanta Tirooyinka Lakab leh Qaytan waxaan ku baran doonaa isbarbardhigga iyo horsanaanta Tirooyinka Lakab. Xariiqada tirada waa qodobka ugu muhiimsan ee loo adeegsado fahamka iyo ka shaqaynta horsanaanta tirooyinka. Hawlgal 1.7 1. U fiirso xariiqdan tirada, ka dibna ka jawaab su’aalaha lagu weydiiyey –3 –2 –1 0 1 2 3 Jaan 1.12 b) Tirooyinka ku muujisan xariiqa tirada, tiradee ugu weyn? Waayo? t) Tirooyinka midig ka xiga “0” tiradee ugu weyn? Tiradeese ugu yar? Waayo? j) Tirooyinka bidix ka xiga “0” tirada ugu weyn? Tiradeese ugu yar? Waayo? 2. Mar kale u fiirso xariiqdan tirada jaan (1.13) kadibna ka jawaab su’aalaha soo socda 𝟕𝟕 3 1 1 3 5 7 − –3 –2 – –3 – 0 2 3 𝟐𝟐 2 Jaan 2 1.13 2 2 2 2 (b) Tirooyinka ku qoran xaqiiqda tirada, tiradee ugu weyn tiradeese ugu yar? Waayo? (t) Tirooyinka midig ka xiga “0” tiradee ugu weyn tiradeese ugu yar? Waayo 5 3 (j) Labadan tiro ee xariiqda tirada ku qoran − iyo − tiradee baa weyn? 1 2 3 4 7 (x) Tirooyinka , iyo tiradee ugu weyn, tiradeese ugu yar? Waayo? 4 5 10 Cutubka 1aad 15 Xariiqda tirada ee jaantuska 1.13 ee hawlgalka.Waxaan hore u soo baraney tiroba tirada ay bidix ka xigto way ka yar tahay, tusaale ahaan:- −3 bidix ayey ka xigtaa −2 sidaas awgeed −3 < −2 −2 bidix ayey ka xigtaa 1 sidaas awgeed −2 < −1 −1 bidix ayey ka xigtaa 0 sidaas awgeed −1 < 0 0 bidix ayey ka xigtaa 1 sidaas awgeed 0 < 1 1 bidix ayey ka xigtaa 2 sidaas awgeed 1 5 > 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > −1 > -2 > −3 > −4 > −5 > −6 Waxaana la yidhaahdaa Horsanaanta degta. Xariiqda tirada waxa kale oo loo adeegsadaa isbarbardhiga Tirooyinka Lakab si loogu qoro horsanaanta. 1.2.1. Isbarbardhigga Tirooyinka Lakab Hawlgal 1.8 3 1. Jajabyada soo socda kuwee baa u dhigma. 5 6 20 12 15 b t j x 10 30 20 25 2. U qor laba jajab oo u dhigma mid kasta oo tirooyinka lakab ee soo socda. 1 2 4 b t j − x −(1) 4 3 5 3. Tirooyinkan 0.2; 0.8; and 0.4 u qor horsanaan fanata 4. Ku muuji xariiqda tirada adiga oo adeegsanaya hannaanka horsanaanta. 3 1 1 1 3 − , − , 0, , − ,. 2 2 4 4 2 16 Tirooyinka Lakab Marka xariiqda tirada loo adeegsado isbarbardhigga iyo horsanaanta waxa hore u soo aragnay in tiroba tirada ay bidix ka xigto ka yar tahay. Isbarbardhiga Tirooyinka Lakab hooseeyayaasha iyo sarreeyeyaasha ayaa la isbarbardhigayaa.Waxaana loo kala qaybiyaa laba qodob oo kala ah: I. Marka hooseeyeyaashoodu isku mid yihiin iyo II. Marka hooseeyeyaashoodu kala duwan yihiin. I. Marka hooseeyeyaasha isku mid yihiin: Tirooyinka Lakab ee la isbarbardhigayo, haddii hooseeyeyaashoodu ay isku mid yihiin markaa waxa la isbarbardhigayaa sarreeyeyaasha. Tusaale 8 Tirooyinkan lakabka leh ee soo socda tirada ugu weyn? Tirada ugu yar? U qor horsanaanta. 5 7 11 9 14 4 6 2 b. iyo t. , iyo j. − ,− iyo − 6 6 10 10 10 7 7 7 Furfuris 5 7 b. iyo , hooseeyeyaashoodu waa isku mid waana 6, markaa waxaa la 6 6 Isbarbardhigayaa keliya sarreeyeyaashooda oo ah 5 iyo 7, 5 < 7 𝟓𝟓 𝟕𝟕 Sidaas darted < 𝟔𝟔 𝟔𝟔 11 9 14 t. , iyo , hooseeyeyaashoodu waa isku mid , sidaas awgeed 10 10 10 𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 9 < 11 < 14 marka horsanaantooda waxay noqoneysaa: < < 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 4 6 2 j. − ,− iyo − , hooseeyeyaashoodu waa isku mid sidaas darteed 7 7 7 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟐𝟐 −6 < −4 < −2 markaa horsanaantoodu waxay noqoneysaa: − < − < − 𝟕𝟕 𝟕𝟕 𝟕𝟕. Tusaale 9 7 11 157 57 Hubi in b) < t) − 6 t 2𝑥𝑥 − 3 < 13 2. Furfurista dheeliyada su`aasha 1aad maxaad adeegsatay ama sidee ayaad u furfurtay, ma xeerar dheeligu leeyahay ayaad adeegsatay? 3. Lammaanaha dheeliyada hoose ku xusan ma dheeliyo isu dhigmaa. 3 3 9 b 𝑥𝑥 + 4 < 9 iyo 𝑥𝑥 > 5 t 3𝑥𝑥 − < iyo 3𝑥𝑥 < 8 4 8 Cutubka 3aad 79 Fasalkii 7aad waxaad ku soo baratey xareerka isku bedelidda isle’egyada toosan ee isu dhigma iyo sida xeerarkaas loogu adeegsado furfurista isle’egyada toosan. Haddaaba, xeerarka isku bedelidda dheeliyada isu dhigma waxa ay lamidyiiin xareerka isku bedelidda isle’egyada isu dhigma marka laga reebo xeerka ah markaa dheelliga labadiisa dhinac lagu dhufto ama loo qaybiyo tiro taban (eeg xeerka 3aad soo socda) Qeexida 1aad dheeliyada isu dhigma Laba dheeli ama kabadan waxa layidhaa waa “dheeliyo isu dhigma” haddii iyo haddii oo kaliya ay leeyihiin urur-furfuris oo iskumid ah Tusaale 6 b. 𝑥𝑥 − 4 > 5 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥 > 9 waa laba dheeli oo isku dhigma waayo ururka furfuristoodu waa isku mid waana u.f{10,11,12,13,14…………..} t. 2𝑥𝑥 < 8 iyo 𝑥𝑥 < 4 waa laba dheeli oo isu dhigma,waayo waxay leeyihiin urur furfuris isku mid ah waaana sidan u.f={……..1,2,3} –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 j. 2x+1≥ 7 iyo 2x≥ 6 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥 ≥ 3 waa saddex dheeli oo isu dhigma waayo waxay leeyihiin urur furfuris isku mid ah waana sidan U.F{3,4,5,6,7,8,9,10} x.3x+13≤ 1,3𝑥𝑥 ≤ −12 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥 ≤ −4 waa saddex dheeli oo isu dhigma,waayo waxay leeyihiin urur furfuris isku mid ah waana sidan. U.f ={…-7,-6,-5,-4,} –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 Tusaaleyaashan sare ku xusan waxay noo muujinayaan in dheeliyada isku dhigmaa ay ururka furfuristoodu raaligelinayso dheeliyada, ka soo qaad tusaalaha (b) dheeliyada x-4 > 5 iyo 𝑥𝑥 > 9 waxay isku dhigmaan keliya marka x lagu badelo 10 iyo wixii ka sarreeya. Sidaas si la mid ah ayaa kuwa kalena ansax kuyihiin uruurka furfuristooda. Waxa jira xeerarka lagu soo saaro dheeliyada isu dhigma, waxaana layidhaa xeerarka isku bedelida dheeliyada isu dhigma, xeerarkaasina waa kuwan hoos ku qoran 80 Isle’egyada iyo dheeliyada toosan Xeerka 1aad Haddii dheeliga labadiisa dhinac loo geeyo ama laga gooyo tiro iskumida ah,markaa summadii iskumida dheeliga waxba iskama bedelayaan,waxana soo baxaya dheeli cusub oo u dhigma dheelligii hore Tusaale ahaan xeerkani si uu dhab unoqdo oo aan u ogaano in summada waxba iska bedeleyn ufiirso:- b. 2 > −1 waa dheeli,haddii aad dheelligan labadiisa dhinac u geyso”2” waxaad helaysaa 2 > −1 ⇒ 2 + 2 > −1 + 2 ⇒ 4 > 1 Summadda dheeliga waxba iskama bedelin markaana dheeliga cusub eesoo baxay oo ah 4 > 1 waa dheeli udhigma dheeligii hore 2>-1 t. −2 < 3 waa dheeli haddii aad dheeligan labadiisa dhinac ka goyso 3 waxaad helaysaa −2 < 3 ⇒ −2 − 3 < 3 − 3 ⇒ −5 < 0 Summadda dheeliga waxba iskama bedelin islamarkana dheeliga cusub ee soo baxay −5 < 0 waa dheeli u dhigma dheeligii hore ee ahaa −2 < 3 Tusaale 7 Soo saar dheeliga u dhigma midkasta oo kamid ah dheeliyadan soo socda b. 𝑥𝑥 − 3 > 0 t. 𝑥𝑥 + 3 < 10 Furfuris:- b. adeegso xeerka 1aad 𝑥𝑥 −3>0…………dheliga labadiisa dhinac u gee”3” kadibna fududee 𝑥𝑥 − 3 > 0 ⇒ (𝑥𝑥 − 3) + 3 > 0 + 3 ⇒ 𝑥𝑥 − 3 + 3 > 0 + 3 = 𝑥𝑥 > 3 u fiirso labada dheeli 𝑥𝑥 − 3 > 0 iyo dheeliga cusub x>3 way isku dhigmaan 𝑥𝑥 − 3 > 0 ⇒ 𝑥𝑥 > 3 𝑥𝑥 > 3 1 2 3 4 5 6 7 8 t. 𝑥𝑥 + 9 < 10…dheeligan labadiisa dhinac ka goo “9” kadibna fududee 𝑥𝑥 +9 4 haddii dheeligan labadiisa dhinac lagu dhufto tiro togan oo ah 2 waxaad haleysaa 6 > 4 ⇒ 2(6) > 4(2) ⇒ 12 > 8 u fiirso summadda dheeligan waxba iskama badelin, haddii ay run ahayd iyo haddii been ahaydba waa sideedii waxaana kuu soo baxay dheeli cusub oo ah 12 > 8 sidaas awgeed 6 > 4 iyo 12 > 8 waa laaba dheeli oo isku dhigma. t. 8 < 16, haddii dheeliga labadiisa dhinac aad uqaybiso 4 oo ah tiro togan waxaad helaysaa 8 < 16 ⇒ 8 4 < 16 ⇒2 6 j. x≤4 x. x ≥ 20 2 Furfuris:- Adeegso xeerka 2aad ee kor ku xusan 1 b. 𝑥𝑥 < 5 … … …. dheelliga labadiisa dhinac ku dhufto tiro togan 2. 2 1 1 2× x < 2 × 5 ⇒ x < 10 dheelliga cusub 𝑥𝑥 < 10 iyo dheelliga hore ee ahaa 2 𝑥𝑥 < 5 2 1 waa laba dheeli oo isku dhigma ∴ x < 5 ⇒ x < 10 2 82 Isle’egyada iyo dheeliyada toosan t. 3𝑥𝑥 > 6……………… dheelliga lbadiisa dhinac u qaybi tiro togan sida 3. 3𝑥𝑥 > 3𝑥𝑥 6 6⇒ > ⇒ 𝑥𝑥 > 2 ufiirso labada dheeli ee 3𝑥𝑥 >6 iyo 𝑥𝑥 >2 waa laba dheeli oo isku 3 3 dhigma ∴ 3𝑥𝑥 > 6 ⇒ 𝑥𝑥 > 2 j. x≤ 4 …dheelliga labadiisa dhinac ku dhufo tiro togan sida 3 markaa 𝑥𝑥 ≤ 4 ⇒ 3(𝑥𝑥) ≤ 3(4) ⇒ 3𝑥𝑥 ≤ 12 dheelliyada x≤ 4 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 3𝑥𝑥 ≤ 12 waa laba dheeli oo isku dhigma x. x ≥ 20 … dheelliga ladadiisa dhinac u qaybi tiro togan sida 4 markaa ⇒ 1 4 𝑥𝑥 ≥ 5 Dheelliyada x≥ 20 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 1 4 𝑥𝑥 ≥ 5 waa laba dheeli oo 𝑥𝑥 20 𝑥𝑥 ≥ 20 ⇒ ≥ 4 4 isku dhigma labada xeer ee (1aad iyo 2aad) ee aan soo baraney waxay si cad inoogu muujinyeen in calaamadaha dheeliga waxba iska badelin marka dheeliyada labadiisa dhinac tiro isku mid ah loo geeyo ama laga gooyo,sidoo kale calaamadaha dheelliga waxba iska beddeli maayaan, haddii dheelliga labadiisa dhinac lagu dhufto ama loo qaybiyo tiro isku mid ah. Haddaba xeerkan 3aad ee soo socda uu ka duwanyahay labada xeer ee ka horeeyey.waayo? xeerka 3aad Haddii dheelliga labadiisa dhinac lagu dhufto ama loo qaybiyo tiro taban oo isku mida ah markaa summaddii dheeliga waa ay isbedelaysaa (> waxay isubedelaysaa ‘ −8 Furfuris:- −3𝑥𝑥 + 7 > −8……. Dheeliga labadiisa dhinac ka goo -7 -3x+7-7>-8-7⇒ −3𝑥𝑥 > −15 dheelligan cusub dhinac kasta u qaybi -3. −3𝑥𝑥 −15 −15 ⇒ >− > ⇒ 𝑥𝑥 < 5 waayo calaamadii way isbedeshay (xeerka 3aad ) −3 −3 −3 𝑥𝑥 < 5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Dhammaan tirooyinka ka yar 5 waa furfurista dheeligan Cutubka 3aad 83. Tusaale 10 Soo saar dheeliga u dhigma mid kasta oo kamid ah dheeliyadaan soo socda −1 b. 𝑥𝑥 > −5 t. −2𝑥𝑥 < 10 3 Furfuris:- Adeegso xeerka 3aad ee dheeliyada −1 b. 𝑥𝑥 > −5 …Dheeligan labadiisa dhinac ku dhufto −3 kadibna fududee 3 −1 3 𝑥𝑥(−3) > −5(−3) 𝑥𝑥 < 15 ⇒ 𝑥𝑥 < 15 3 3 𝑥𝑥 < 15 11 12 13 14 15 16 17 t. −2𝑥𝑥 < 10 … dheeligan labadiisa dhinac u qaybi−2 kadibna fududee−2𝑥𝑥 < 10 ⇒ −2𝑥𝑥 10 > ⇒ 𝑥𝑥 > −5 −2 −2 𝑥𝑥 > −5 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 Laylis 3.3 1. weedhahan soo socda tii run ah ku qor “run” tii been ahna ku qor “been” meelaha bannan b._______dheeliyadani waa hawraaro furan oo ay ku jiraan summadaha “>”, 4 dhinac kasta lagu dhufto -3 markaa dheelliga cusub waa −18 > − 12 s._________ haddii dhelliga labadiisa dhinac loogeeyo ama laga gooyo tiro taban ama tiro togan oo isku mida ah,markaa summaddii dheelliga waxba iskama bedelayaan 2. goobo geli xarafka ku habbon jawaabta ugu sxsan su’aalaha soo socda 1.dheelligan 3𝑥𝑥 ≥ 6 dheelliga u dhigma waxa uu yahay b. 𝑥𝑥 ≥ 2 t. 3𝑥𝑥 + 2 ≥ 8 j. −6𝑥𝑥 ≤ −2 x. 6𝑥𝑥 ≥ 12 kh. 3𝑥𝑥 − 8 ≥ −2 d. Dhammaan 3. summadda dheelliga waxay bedelikartaa oo keliyamarkaa dhelliga labadiisa dhinac b. lagu dhufto ama loo qaybiyo tiro taban t. lagu dhufto ama loo qaybiyo tiro togan j. loo geeyo ama laga gooyo tiro togan x. loo geeyo ama laga gooyo tiro taban 1 4. dheelligan 8 − 𝑥𝑥 ≤ 0 dheelliyada u dhigma waxa lagu helikaraa marka dheeligaas 2 labadiisa dhinac b. loo geeyo ama loo qaybiyo tiro taban t. lagu dhufto ama loo qaybiyo tiro togan j. loo geeyo ama laga gooyo tiro togan x. loo geeyo ama laga gooyo tiro taban 5. soo saar ugu yaraan shan (5) dheeli oo u dhigma midkasta oo kamida ah dheelliyadan soo socda adiga oo adeegsanaya xeerarka isu bedelida dheelliyada b. 𝑥𝑥 > 4 t. 𝑥𝑥 < 0 j. 𝑥𝑥 < −2 x. 𝑥𝑥 ≥ 1 kh. 𝑥𝑥 + 2 < 4 1 3 7 d. 𝑥𝑥 − 5 > r. 𝑥𝑥 + ≤ 2 4 4 6. dheelliyadan soo socda furfur oo garaaf ku muuji b. 2𝑥𝑥 > 14 t. 4𝑥𝑥 < 24 j. 5x ≥ 35 x. 3𝑥𝑥 − 2 ≤ 13 kh. 6𝑥𝑥 + 5 ≥ 11 3 d. 𝑥𝑥 − 1 > 5 r. −2𝑥𝑥 + 4 < 1 s. 5 − 7𝑥𝑥 ≥ −30 4. Cutubka 3aad 85 Tusaale 11 Furfur dheelliyadan soo socda adiga oo adeegsanaya xeerrka isku bedellida 1 b. 11 − 𝑥𝑥 < 4 t. 2𝑥𝑥 ≥ 18 j. 𝑥𝑥 + 1 > 11 3 Furfuris:- b. 11 − 𝑥𝑥 < 4… dheelligan labadiisa dhinac ka goo 11, kadibna fududee 11 − 𝑥𝑥 < 4 ⇒ −𝑥𝑥 < −7 … … … … dheelligan labadiisa dhinac ku dhufo −1 − 𝑥𝑥 < −7 ⇒ (−𝑥𝑥) − 1) > (−7)(−1) ⇒ 𝑥𝑥 > 7 Calaamaadii way isbedeshay haddaba garaafka dheelligani waxa uu noqonayaa ama u furan yahay 7 wixii ka badan 𝑥𝑥 > 7 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Jaan 20 t. 2𝑥𝑥 ≥ 18 … dheelligan labadiisa dhinacba u qaybi 2 kadiban fududee 2𝑥𝑥 18 2x ≥ 18 ⇒ ≥ ⇒ 𝑥𝑥 ≥ 9 garaafkeedu wax uu noqonayaa sidan. 2 2 𝑥𝑥 ≥ 9 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Jaan 21 1 j. 𝑥𝑥 + 2 > 11 … dheelligan labadiisa dhinacba ka goo 2. 3 1 1 1 𝑥𝑥 + 2 > 11 ⇒ 𝑥𝑥 + 2 − 2 > 11 − 2 ⇒ 𝑥𝑥 > 9 … Dheelligan labadiisa dhinac ku 3 3 3 1 dhufto 3 oo ku siisa 𝑥𝑥(3) > 9(3)⇒ 𝑥𝑥 > 27 garaafkeedu waxaa uu noqonayaa 3 𝑥𝑥 > 27 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Jaan 22. 86 Isle’egyada iyo dheeliyada toosan 3.4 Adeegsiga isle’egyada iyo dheelliyada toosan:- isle’egyada iyo dheelliyada toosan waxan udeegsan karaa, furfurista arimha la xidhiidha xisaabaadka khuseeya nolasha aadamiga.waxay inaga caawisaa xalinta dhibaatooyinka nolol maalmeedka lasoo darsa.sida xisaabaadka ganacsiga mid kale waxay masalooyinka qaarkood furfuristooda u bahaantahay aqoon xisaabeed.masalooyinku waxay u qoran yihiin erayo,waxa loo bahan yahay in eradaas loo badelo astaamo xisaabeed,qaabka isleegta toosan leh,kadibana aad furfurto isleegyadaas hawlgalka 3.9 iskuday in aad ka shaqeyso. Hawlgal 3.7 1. Anigu waxaan ahay abyoone haddii la iigeeyo tiro toban ah waxay wadartaydu noqotaa 2, haddaba anigu tirada baan ahay? 2. Saddex-laabka tiro oo lagu gooyey 5 waxay le’eg tahay laba-laabka tiradaas oo loo geeyey 5, haddaba soo saar tiradaas? 3. Haddii tiro la saddex laabo oo laga gooyo 5 waxay le`egtahay 16 waa imisa tiradaasi Markaad xalineyso masalo xisaabeedka waxaad u baahan tahay in aad masalo xisaabeedka u qortid tibixo si aad u qeexdo isleegta erayadu tilmaamayaan, intaas kaddib waxaad gelaysaa furfurista masalo xisaabeedka. Si-ay kuugu fududaato furfurista masalooyinka noocan oo kale ah waxaad raacaysaa tallabooyinkan hoos kuqoran 1. Masalada lagu siiyey si dagan u akhri markaad fahanto qor waxa lagu siiyey iyo waxa la doonayso 2. Tirooyinka aan la garaneyn ku calaamadi xarfaha ay kamid yihiin x,y,q,r or s I.W.M 3. Tallaabo-tallabo u badel weedhaha masalada tiro xisaabeedka waafaqsan 4. Xiriir xisaabeedka algebrada ah ee qodobka 3aad isugo gee isleeg hal doorsoome leh 5. Furfur isleegta oo soosaar tirada aan la garaneyn 6. Jawaabtaasna hubi Cutubka 3aad 87 Tusaale 12 Ardayda tiradoodu tahay 77 ardey ayaa ku jiraa fasal 8aad ah haddii tirada wiilashu kayar tahay 7 laba-laabka tirada gabdhaha waa imisa tirada wiilasha iyo tirada gabdhaha fasalka ku jiraa Furfuris:- U qaado tirada gabdhaha x, markaa tirada wiilashu waa 2𝑥𝑥 − 7 masaladu waxay tilmaamaysaa tirada wiilasha+tirada gabdhaha=77 Markaa, 𝑥𝑥 + (2𝑥𝑥 − 7) = 77 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 7 = 77 3𝑥𝑥 − 7 = 77 3𝑥𝑥 = 77 + 7 ⇒ 3𝑥𝑥 = 84 𝑥𝑥 = 28 tirada gabdhaha tirada wiilashu waa 2(𝑥𝑥) − 7 ⇒ 2(28) − 7 ⇒ 56 − 7 = 49 tiradu wiilasha Hubin:- Tiradu wiilasha+tirada gabdhaha= 77 49 + 28 = 77 77 = 77. Tusaale 13 Ubax oo ah ardeyda dhigata fasalka 8aad ayaa 10 buug kusoo iibsatey lacag dhan 27birr.haddii qayb kamida ah tobankaas buug ay ku soo iibsatey 2.50birr buugiiba,qaybta kalena waxay kusoogadatey 3birr buugiiba markaa waa imisa tirada buugta ayka soo bixisay 3birr Furfuris:- Markaad aad akhrido masaladan ee aad sifiican u fahamto, weydiimaha iyo siismada labadaba.masaladani waxay u dhismaysaa isleeg ahaansidan soo socda: i. Kasooqaad “x” waxay u taagan tahay tirada buugta qiimahooda yahay 3birr buugiiba ii. Tirada buugta qiimahooda yahay 2.50birr buugiiba waa “10-x” 88 Isle’egyada iyo dheeliyada toosan iii. Buugta x qiimahoodu waa “3x” sidoo kale buugta 10-x qiimahoodu waa 2.5(10-x) iv. Wadarta buugta qiimahoodu kala duwan yahay waa 3𝑥𝑥 +2.5(10−𝑥𝑥) =27 Intaas kadib furfur isleegta aad dhistey 3𝑥𝑥 + 2.5(10 − 𝑥𝑥) = 27…kasaar barakidka 3𝑥𝑥 + 25 − 2.5𝑥𝑥 = 27 3𝑥𝑥 − 2.5𝑥𝑥 = 27 − 25 0.5𝑥𝑥 2 0.5𝑥𝑥 =2⇒ = ⇒ 𝑥𝑥 = 4 waa tirada buugta qiimahoodu yahay 3birr 0.5 0.5 buugiiba -Tirada buugta qiimahoodu yahay 2.50 buugiiba waa 10-4=6buug Hubin:- Isleegta sare x ku bedel 4 markaa 3𝑥𝑥 + 2.5(10 − 𝑥𝑥) = 27 3(4) + 2.5(10 − 4) = 27 12 + 2.5(6) = 27 13 + 15 − 27 ⇒ 27 = 27 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. Laylis 3.4 Furfur dhamaan weedha xisaabeedyadan soo socda adiga oo raacaya tallaabooyinka fufuris weedh-xisaabeedka. 1. Anigu waxaan ahey tiro abyoone ah haddii la ii geeyo15 wadarteydu waa 21 2. Tiro abyoone ah, haddii loo geeyo “-25” wadartoodu waxay noqotaa “-101” waa maxay tirdaas abyoone? 3. Tiro ayaan laba-laabay, haddii lagu dhufto “4” kadibna tarantooda laga gooyo “6”waxay le’egtahay wadarta tiradii iyo “14”oo lagu dhuftey “2” haddaba tiradaasi waa imisa? 4. Laba tiro oo kisi ah oo isku xiga ayey wadartoodu tahay 116.haddaba raadi labadaas tiro 5. Tiro ayaan maskaxda ku qabsaday, haddii aan tiraadaas ka gooyo 8, markaa kadibna aan faraqooda ku dhufto 3, waxay natiijo soo baxaan 21, waa maxay tirada aan qabsaday? Cutubka 3aad 89 Furaha tibxaha  Dhidibada kaartis  Ururka furfurista dheelliyada  Sallaxa xy  Garaafka dheelliyada  Dhidibka-x  Ururka furfurista dheelliyada  Dhidibka-y  Garaafka isleegtaa toosan  Isleegta tooosan  Lammaanayaasha horsan(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)  Dheelliga toosan  Astaanta abyooneyaasha(ℤ)  Dheeliyada isu dhigma  Astaanta tiro idil(𝕎𝕎)  Kullanka dhidibada  Astaanta tiro tirsiimo(ℕ)  Astaamaha dheeliga  Astaanta tiro lakab leh (ℚ)  Horaadka  Doorsoome  Xeerarka dheelliyada  Isleegta sansaanteeda 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏  Furfurista dheelliyada 90 Isle’egyada iyo dheeliyada toosan Gabagabada cutubka 3aad  Bar bilowga dhidibada kaartis waa (0, 0)  Tiro kasta oo u qoran lammaane hoorsan  (x, 0) waa dhidibka “x” iyo dhidibka “y” oo ah eber.  (0, y) waa dhidibka “y” iyo dhidibka “x” oo ah eber.  Tiro kasta oo madoorsoome ah “C” oo C ∈ ℚ. Markaa, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 waa isle`egta xariiqa jiifa ama waa xariiq barbaro la ah dhidibka x.  Tiro kasta oo madoorsoome ah “C” oo C ∈ ℚ. Markaa, 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 waa isle`egta xariiqa qotoma waana waa xariiq barbaro la ah dhidibka y.  Isle`egta xariiqda toosan saansaanteedu waa 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 ama 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚.  Qaabka dheeliga toosan wuxuu la mid yahay qaabka isle`egta toosan, markaa calaamadaha dheeligu waa (, ≥).  Heerarka furfurista dheeliyada i. U gaynta iyo kagoynta tiro ama tibix labada dhinac ee dheeliga waxay u beddelaan dheeliyo isu dhigma. ii. Ku dhufashada ama u qaybinta tiro togan labada dhinac waxay dheeliga u beddeshaa dheeliyo isu dhigma. iii. Ku dhufashada ama u qaybinta tiro taban labada dhinac dheeligu wuxuu isu beddelaa dheeliyo isu dhigma iyada oo calaamada dheeligu isu beddelayso mid lid keeda ah.  Dheeliyada isle`egtooda waxaa lagu dul muujin karaa xariiqda tirada. Cutubka 3aad 91 Layliska guud ee cutubka 1. Qeex ereyada hoos ku xusan b. Tibix t. Tibxaale j. Isle`eg x. Dheeli kh. Doorsoome d. Horaad r. ururka furfurista 2. Qeex tusaalena ka bixi kuwa soo socda b. Isle`egyo isu dhigma t. Dheeliyo isu dhigma j. Xeerarka isku beddelida dheeliyada toosan ee isu dhigma x. Talaabooyinka furfurista weed xisaabeedyada 3. Isle`egyadan toosan furfur adigoo adeegsanaya xeerarka isku beddelka isle`egyada. b. 2𝑥𝑥 − 3 = −5 t. 3𝑥𝑥 + 7 = 1 j. 5(𝑥𝑥 − 4) + 10 = 3𝑥𝑥 − 6 3 5 1 1 x. 𝑥𝑥 + = 𝑥𝑥 − 4 4 2 6 1 kh. 12 + 3(1 − 2𝑥𝑥) − 𝑥𝑥 = 2(𝑥𝑥 − 10) + 5 2 4. Isle`egyadan toosan furfur adigoo adeegsanaya xeerarka isku beddelka isle`egyada. b. 3𝑥𝑥 − 4 > 𝑥𝑥 − 2 t. 4 − 3(2𝑥𝑥 + 7) < 5 − 3𝑥𝑥 2 4 5 7 1 2 5 j. 3𝑥𝑥 > 5𝑥𝑥 + 6 x. + 𝑥𝑥 − ≥ − 6𝑥𝑥 + 3 5 4 4 2 3 6 5. Raadi ururka furfurista isle`egyada soo socda adigoo adeegsanaya horaadka lagu siiyey. b. 𝑥𝑥 + 3 = 15 ……………………Horaadku waa ℕ t. 2𝑥𝑥 + 8 = 𝑥𝑥 − 2 ……………Horaadku waa 𝕎𝕎 j. 3(5 − 3𝑥𝑥) − 18 = 2(7 − 3𝑥𝑥)……………Horaadku waa ℕ 3 x. 5𝑥𝑥 − 4 − 𝑥𝑥 = 5(−𝑥𝑥 + 2) + 1……………Horaadku waa ℤ 4 6. Raadi ururka furfurista dheeliyada soo socda adigoo adeegsanaya horaadka lagu siiyey. b. 3(𝑥𝑥 − 5) > 0 ……………………Horaadku waa ℕ t. 5𝑥𝑥 − 12 < 2(3𝑥𝑥 − 6) ……………Horaadku waa 𝕎𝕎 1 j. 2 𝑥𝑥 − 4 ≥ 3(1 − 𝑥𝑥) − 3……………Horaadku waa ℤ 2 92 Isle’egyada iyo dheeliyada toosan  93 aad Cutubka 4 4 Isu – Ekaanshaha Ujeedooyinka Cutubka Cutubkani marka uu dhammaado kadib, ardaydu waxay awoodi doonaan in ay:-  Ogaadaan shaxannada isu-eg iyo erey-bixinta la xidhiidha.  Fahmaan shuruuddaha ay sadexagalladu ku noqon karaan kuwo isu-eg.  Dabbakhaan xeerarka lagu hubiyo in laba sadexagal ay isu-eg yihiin in kale.  Ku dabbakhaan furfuriddaa masalooyinka joomateriga ee xaaladda nolosha dhabta ah Ciwaanada Muhiimka ah ee Cutubkan 4.1. Shaxannada sallaxa ee isu-eg 4.1.1 Qeexidda iyo sawiridda shaxannada sallaxa ee isu-eg. 4.1.2. Sadexagallada isu-eg 4.1.3 Xeerarka isu-ekaanshaha sadexagallada 4.2 Bedka iyo wareegga saddexagallada isu-eg Ereyada Cusub Soo koobidda Cutubka Laylis guud 94 Isu – Ekaanshaha HORDHAC Nolol maalmeedkeena maalin kasta waxaynu la kulannaa walxo kala duwan oo leh qaabab (muuqaalo) isku mid ah isla markaana leh xajmi (cabbir) kala duwan. Haddii aad u fiirsato walxaha agagaarkaaga laga helo, waxaa laga yaabaa in aad aragto walxo muuqaal ahaan isku mid ah, balse cabbir ahaan kala duwan. Tusaale ahaan, meelaha sawirrada waxaad ka heli kartaa laba masawir oo isku mid ah, balse kala weyn, meelahaas. Meelaha alaabooyinka waxaaad ka heli kartaa laba geesoole oo leh qaabab isku mid ah, balse leh cabbirro kala duwan. Haddaba marka aad la kulanto walxaha noocaas ah waxaad oran kartaa “walxahani way isu- eg yihiin”. Sidaas awgeed, cutubkan waxaaad ku baran doontaa shaxannada sallaxa ee isu-eg. Cutubkani wuxuu ka kooban yahay laba qaybood: Qaybta hore waxa aad ku baran doontaa qeexidda iyo sawiridda shaxannada isu-eg; isu- ekaanshaha sadexagallada iyo xeerarka isu-ekaanshaha sadexagallada. Qaybta dambena waxa aad ku baran doontaa wareegga iyo bedka sadexagallada isu-eg 4.1. Shaxannada Sallaxa ee Isu-eg Qaybtan waxaad ku baran doontaa qeexidda iyo sawiridda shaxannada sallaxa ee isu-eg; xeerarka (dhardhaarada) lagu hubiyo isu-ekaanshaha laba sadexagal iyo weliba furfuridda masalooyinka la xidhiidha. 4.1.1 Qeexidda iyo Sawiridda Shaxannada Sallaxa ee Isu-eg Waa maxay shaxannada Isu-eg? Hawlgal 4.1 Qeexidda shaxannada sallaxa ee isu-eg  Soo qaado laba waraaqood oo isku mid ah  Labada waraaqood mid ka mid ah isku lab oo u kala jar laba gobal oo isle’eg.  Soo qaado warqaddii kale iyo gobal ka mid ah warqaddii aad kala jartay, kadibna isbarbardhig. Ma isu-eg yihiin?  Muuqaalkoodu isku mid ma yahay?  Cabbirkoodu (xajmigoodu) ma kala duwan yahay? Waayo?  Ma la odhan karaa warqadda weyn iyo warqadda yar waa isu-eg yihiin?  Waa maxay shaxannada isu-eg? Cutubka 4aad 95 Warqadda weyn iyo warqadda yar muuqaalkoodu waa isku mid, laakiin cabbirkoodu wuu kala duwan yahay.Ma la odhan karaa labada warqadood way isu-eg yihiin? Waayo? Hawlgal 4.2 : Qeexidda Shaxannada Sallaxa ee Isu-eg U fiirso shaxannada ka muuqda shaxanka 4.1 ee hoose 4 1 2 3 7 5 6 Shaxanka 4.1 Kadibna soo sooc shaxannada isu-eg Shaxannadee ayaa isu-eg? Waayo? Maxaad ka fahamtay? Waa maxay shaxannada isu-eg? Qeexid 4.1 Shaxannada Isu-eg: Laba shaxan waxaa la odhan karaa waa isu-eg yihiin, haddii muuqaalkoodu isku mid yahay balse cabbirkoodu kala duwan yahay. Tusaale ahaan, shaxannada ku cad shaqo kooxeedka 4.1,  Shaxan (1) iyo shaxan (4) waa isu-eg yihiin, waayo labaduba waa labajibbaaraneyaal muuqaalkoodu waa isku mid , balse cabbirkoodu wuu kala duwan yahay  Shaxan (2) iyo shaxan (7) waa isu-eg yihiin, waayo labaduba laydi, muuqaalkoodu waa isku mid, cabbirkooduna wuu kala duwan yahay.  Fiirogaar ah: Shaxan (5) ma jiro shaxan u eg oo ku jira halkan. Laylis 4.1 1) Waa maxay shaxannada isu-eg? 2) Shaxannada soo socda ka soo sooc shaxannada lammaan ee isu-eg. Sababee jawaabtaada. b) t) j) x) kh) d) Shaxanka 4.2 96 Isu – Ekaanshaha 3) U fiirso walxaha aad la kulanto maalin walba kana soo sooc sadex lammaane oo ah walxo isu-eg. 4.1.2 Saddexagallada Isu-eg Casharkii hore waxaan ku soo baratay shaxannada sallaxa ee isu-eg. Waxaadna ku soo aragtay qeexidda shaxannada sallaxa ee isu-eg iyo isbarbardhigga laba shaxan oo isu-eg. Haddaba, casharkan waxa aad ku falanqayn doontaa isu-ekaanshaha saddexagallada, maadaama saddexagalladu yihiin nooca ugu fudud ee shaxannada sallaxa. Hawlgal 4.3 Dhinacyada Gudboon iyo Xaglaha Gudboon ee laba Saddexagal Soo minguuri labada sadexagal ee hoos ka muuqda oo ku sawir buugaaga A F D B C E Shaxanka 4.3 Adiga iyo saaxiibbadaa kooxdiina ah isweydiiya su’aalaha soo socda, kadibna wada falanqeeya jawaabaha su’aal kasta: 1) Immisa lammaane oo dhinacyo gudboon ah ayey leeyihiin ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃? 2) Immisa lammmaane oo xaglo gudboon ah ayey leeyihiin ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃? 3) Sheeg dhinacyada gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃. A 4) Sheeg xaglaha gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃. 5) Dhinacyada gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 ma yihiin 𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo 𝐃𝐃𝐃𝐃; 𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo 𝐃𝐃𝐃𝐃; 𝐁𝐁𝐁𝐁 iyo 𝐄𝐄𝐄𝐄? 6) Xaglaha gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 , ma yihiin ∡𝐀𝐀 iyo ∡𝐃𝐃; ∡𝐁𝐁 iyo ∡𝐄𝐄; iyo ∡𝐂𝐂 iyo ∡𝐅𝐅? Cutubka 4aad 97 Shaqo-kooxeedkan marka aad si fiican uga falanqaysaan isla markaana aad go’aamisaan jawaabaha su’aalaha ku xusan, kadib u gudba shaqo-kooxeedka 4.3 ee soo socda. Hawlgal 4.4 Saamiga Dhinacyada Gudbon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 Mar kale u fiirso labada sadexagal ee hoos lagugu siiyey. Weydii saaxiibbadaa su’aalaha soo socda, kadibna wada falanqeeya jawaabahood. A D E C B F Shaxanka 4.4 1) Waa maxay macnaha saamiga dhinacyada gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃? 2) Macnaha saamiga dhinacyada gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 ma yahay isuqaybinta dhererrada dhinacyada gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃? 3) Qor saamiga dhinacyada gudboon ee labadaas sadexagal. 4) Haddii 𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo 𝐃𝐃𝐃𝐃 ay yihiin dhinacyo gudboon, saamigoodu ma yahay 𝐀𝐀𝐀𝐀 𝐃𝐃𝐃𝐃 ama ? 𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐀𝐀𝐀𝐀 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝐃𝐃𝐃𝐃 5) Haddii 𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo 𝐃𝐃𝐃𝐃 ay yihiin dhinacyo gudboon, samaigoodu ma yahay ama ? 𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐀𝐀𝐀𝐀 𝐁𝐁𝐁𝐁 𝐅𝐅𝐅𝐅 6) Haddii 𝐁𝐁𝐁𝐁 iyo 𝐅𝐅𝐅𝐅 ay yihiin dhinacyo gudboon, saamigoodu ma yahay ama ? 𝐅𝐅𝐅𝐅 𝐁𝐁𝐁𝐁 98 Isu – Ekaanshaha Hawlgal 4.5 Qeexidda isu-ekaanshaha Sadexgallada Saabaan: Mastarad, Qalin qori, xagal-beeg Buuggaaga ku sawir labada sadexagal ee hoos k amuuqda, kadibna ka jawaab hawlaha laguu xilsaaray iyo su’aalaha lagu weydiiyey A D B C E F Shaxanka 4.5 1) Adiga oo adeegsnaaya mastarad cabbir dhererrada dhinacyada sadexagal kasta oo ka mid ah labadaas saddexagal, ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 (b) Soo saar saamiga dhererrada dhinacyada gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 (t) Ma isle’eg yihiin saamiyada dhinacyada gudboon ee labadaas sadexagal, ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 2) Adiga oo adeegsanaya xagal-beeg, cabbir xaglaha sadexagal kasta, kadibna isbarbardhig cabbirrada xaglaha gudboon ee ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃. Xaglaha gudboon ee labadaas sadexagal ma isku sargo’an yihiin? 3) Adiga oo ka duulaya jawaabaha aad ka bixisay su’aasha 1aad iyo su’aasha 2aad ee kor ku xusan, qor qeexidda isu-ekaanshaha laba sadexagal. Hawlgalka 4.5 haddii cabbiraadaadu tahay mid sax ah, waxa aad helaysaa in:  Xaglaha gudboon ee labadaas sadexagal: ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃, ay isku sargo’an yihiin :- ∡A ≅ ∡D; ∡B ≅ ∡E; iyo ∡C ≅ ∡F.  Saamiyada dhinacyadooda gudboon ay isle’eg yihiin ama ay saamigal isu yihiin. 𝐀𝐀𝐁𝐁 𝐁𝐁𝐁𝐁 𝐀𝐀𝐀𝐀 Taas oo ah = =. 𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐄𝐄𝐄𝐄 𝐃𝐃𝐃𝐃 Sidaas awgeed, labada sadexagal ee noocaas waxaa la odhan karaa waa saddexagallo isu- eg. Cutubka 4aad 99 Qeexid 4.2 Sadexagalada Isu-eg: Laba saddexagal waxaa la odhan karaa waa isu’eg yihiin haddii xaglahooda gudboon ay isku sar go’an yihiin islamarkaana dhinacyadooda gudboon ay Saamigal isu yihiin. Tusaale ahaan, sida ku cad qeexidda kore, A S Q B C R Shaxanka 4.6 Saddexagalka ABC wuxuu u eg yahay saddexagalka QRS, haddii iyo haddii oo keliya: ∡𝐀𝐀 ≅ ∡𝐐𝐐 ∡𝐁𝐁 ≅ ∡𝐑𝐑 ∡𝐂𝐂 ≅ ∡𝐒𝐒 AB AC BC Islamarkaana = = = k (madoorsoome) QR QS RS Fiiro gaar ah: Sumadda loo adeegsado Isu-ekaanshaha shaxannada waa “~” taas oo macnaheedu yahay “waa isu-eg yihiin”. Tusaale ahaan, ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 wuxuu u eg yahay ∆𝐐𝐐𝐐𝐐𝐐𝐐, waxaa loo soo gaabiyaa: ∆ABC ~ ∆QRS Ogow marka sumad ahaan loo qorayo isu-ekaanshaha sadexagallada waxaa la raacaa isku beegnaanta dhinacyada gudboon iyo xaglaha gudboon. Taas macnaheedu waxaa weeye xarfaha lama kala hormarin karo. Tusaale ahaan u fiirso jaantuskan hoose oo muujinaya sida ay xarfuhu isugu beegan yihiin: ∆ABC ~ ∆QRS Shaxanka 4.7 100 Isu – Ekaanshaha  Qeexidda Isu-ekaanshaha saddexagallada waxaa loo adeegsadaa furfuridda mas’alooyin farabadan Tusaale 1 Saddexagallada hoos ka muuqda, waxay muujinayaa xaglaha gudboon iyo dhererrada dhinacyada ee labadaas saddexagal. Haddaba tus in labadaas sadexagal ay isu eg yihiin iyo in kale A M 15 12 5 4 N Q B C 3 9 Shaxanka 4.8 Furfuris: Waxaa lagu ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌. Marka la raaco isku beegnaanta xaglaha gudboon ee labadaas sadexagal, xaglahooda gudboon way isku sargo’an yihiin: ∡A ≅ ∡M; ∡B ≅ ∡N; iyo ∡C ≅ ∡Q. Marka la isbarbardhigo dhererrada dhinacyada gudboon waxaynu helaynaa saamiga dhererrada dhinacyada gudboon, kuwaas oo kala ah: AB 15 3 = = ; MN 5 1 AC 12 3 = = ; MQ 4 1 BC 9 3 = = NQ 3 1 Haddaba, waxaynu si cad u aragnaa in saamiyada dhinacyada gudboon ee labadaas sadexagal ay isle’eg yihiin ama ay saamigal isu yihiin, waayo AB AC BC 3 = = =. MN MQ NQ 1 Sidaas awgeed, ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌 waa laba saddexagal oo isu-eg ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌 Cutubka 4aad 101 Tusaale 2 Waxaa lagu siiyey ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 iyo ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃. Haddii ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃, markaa i) Raadi dhererka 𝐃𝐃𝐃𝐃 ii) Raadi dhererka 𝐄𝐄𝐄𝐄 A D 8 4 6 B 6 C F E Shaxanka 4.9 Furfuris: Haddii ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃, markaa AB AC BC = =. DE DF EF Haddaba, adeegso samaiyada dhinacyada la gudboon dhinacyada dhererkooda lagu weydiiyey AB AC AB BC i) = ii) = DE DF DE EF 4 8 4 6 ⇒ = ⇒ = 6 DF 6 EF ⇒ 4 × DF = 8 × 6 ⇒ 4 × EF = 6 × 6 ⇒ 4 × DF = 48 ⇒ 4 × EF = 36 48 36 ⇒ DF = ⇒ EF = 4 4 ⇒ DF = 12sm ⇒ EF = 9 sm Dhererka 𝐃𝐃𝐃𝐃 waa 12 sm Dhererka 𝐄𝐄𝐄𝐄 waa 9 sm 102 Isu – Ekaanshaha Laylis 4.2 1) U fiirso ∆MNO iyo ∆WXY, kadibna weedhaha soo socda ku qor Run ama Been. b) 𝐌𝐌𝐌𝐌 iyo 𝐖𝐖𝐖𝐖 waa dhinacyo gudboon ____________ t) 𝐌𝐌𝐌𝐌 iyo 𝑿𝑿𝑿𝑿 waa dhinacyo gudboon _____________ M W X Y N O Shaxanka 4.10 j) 𝐍𝐍𝐍𝐍 iyo 𝐖𝐖𝐖𝐖 waa dhinacyo gudboon __________ x) 𝐌𝐌𝐌𝐌 iyo 𝐖𝐖𝐖𝐖 waa dhinacyo gudboon___________ kh) ∡M iyo ∡W waa xaglo gudboon ____________ d) ∡O iyo ∡X waa xaglo gudboon ______________ r) ∡N iyo ∡W waa xaglo gudboon ______________ s) ∡O iyo ∡Y waa xaglo gudboon ______________ 𝐌𝐌𝐌𝐌 𝐍𝐍𝐍𝐍 𝐌𝐌𝐌𝐌 sh) Saamiyada dhinacyada gudboon waa ; iyo ______ 𝐖𝐖𝐖𝐖 𝐗𝐗𝐗𝐗 𝐖𝐖𝐖𝐖 𝐖𝐖𝐖𝐖 𝐗𝐗𝐗𝐗 𝐖𝐖𝐖𝐖 dh) Saamiyada dhinacyada gudboon waa ; iyo ______ 𝐌𝐌𝐌𝐌 𝐍𝐍𝐍𝐍 𝐌𝐌𝐌𝐌 𝐌𝐌𝐌𝐌 𝐍𝐍𝐍𝐍 𝐌𝐌𝐌𝐌 c) Saamiyada dhinacyada gudboon waa ; iyo ______ 𝐗𝐗𝐗𝐗 𝐖𝐖𝐖𝐖 𝐖𝐖𝐖𝐖 2) Haddii ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆, markaa b) Qor dhinacyada gudboon ee labadaas saddexagal t) Qor xaglaha gudboon ee labadaas saddexagal. 3) Hawraaraha soo socda tee baa been ah i) Dhammaan sadexagallada isku sargo’an waa sadexagallo isu-eg ___ ii) Dhammaan sadexagallada isu-eg waa sadexagallo isku sargo’an ___ iii) Dhammaan sadexagallada siman waa sadexagallo isu-eg _______ Cutubka 4aad 103 iv) Haddii ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃, islamarkaana ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆, markaa ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆𝐆 ______ 4) Tus in saddexagallada isku sargo’an yihiin saddexagallo isu-eg 5) Tus in labada sadexagal ee hoose ay yihiin saddexagallo isu-eg A D 5 10 3 6 F 4 E C B 8 Shaxanka 4.11 6) U fiirso labadan saddexagal, Haddii ∆𝐌𝐌𝐐𝐐𝐐𝐐 ~ ∆𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒, markaa soo saar dhererrada 𝐒𝐒𝐒𝐒 iyo 𝐓𝐓𝐓𝐓 Q T 3 5 S 4 N M R 7 Shaxanka 4.12 7) Haddii ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ ∆𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃, islamarkaana BC = 18sm; DF = 15sm; EF = 12sm; iyo DE = 9sm, markaa soo saar dhererrada labada dhinac ee ∆ABC. 8) U fiirso shaxanka 4.13 ee hoose, ∆𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 ~ A ∆𝐀𝐀𝐐𝐐𝐐𝐐, haddii AN = 4 sm; AQ = 3 sm; CQ = 6 sm; iyo BC = 12 sm, markaa soo saar dhererrada dhinacyada kala Q R ah: i) AB