Funciones y Modelos Matemáticos - 4 - Colegio Nuevo Santander - PDF

Funciones y Modelos 4 - Modelos Matemáticos Colegio Nuevo Santander 5to Semestre César Iván Saldaña Lara < [email protected] > Explicando Fenómenos Físicos Un modelo matemático es una descripción que usa, por lo general, una...

Funciones y Modelos 4 - Modelos Matemáticos Colegio Nuevo Santander 5to Semestre César Iván Saldaña Lara < [email protected] > Explicando Fenómenos Físicos Un modelo matemático es una descripción que usa, por lo general, una función o ecuación de un fenómeno real tales como la demanda de un producto, el tamaño de una población, la concentración de sustancias en una reacción química, la esperanza de vida de una persona al nacer, etc. César Saldaña - Cálculo Diferencial Explicando Fenómenos Físicos El propósito de un modelo es comprender el fenómeno y, en ocasiones, realizar predicciones sobre su comportamiento en el futuro. La siguiente figura ilustra el proceso del modelado matemático. Identificamos el problema que deseamos analizar César Saldaña - Cálculo Diferencial Explicando Fenómenos Físicos El propósito de un modelo es comprender el fenómeno y, en ocasiones, realizar predicciones sobre su comportamiento en el futuro. La siguiente figura ilustra el proceso del modelado matemático. Con conocimiento previo o recopilación de datos se buscan patrones. César Saldaña - Cálculo Diferencial Explicando Fenómenos Físicos El propósito de un modelo es comprender el fenómeno y, en ocasiones, realizar predicciones sobre su comportamiento en el futuro. La siguiente figura ilustra el proceso del modelado matemático. Se aplican las herramientas matemáticas necesarias. César Saldaña - Cálculo Diferencial Explicando Fenómenos Físicos El propósito de un modelo es comprender el fenómeno y, en ocasiones, realizar predicciones sobre su comportamiento en el futuro. La siguiente figura ilustra el proceso del modelado matemático. Analizamos la información obtenida para brindar explicaciones o predicciones César Saldaña - Cálculo Diferencial Explicando Fenómenos Físicos El propósito de un modelo es comprender el fenómeno y, en ocasiones, realizar predicciones sobre su comportamiento en el futuro. La siguiente figura ilustra el proceso del modelado matemático. Se ponen a prueba las predicciones comparando contra nuevos datos reales. Si las predicciones no coinciden con una buena aproximación con la realidad, se debe afinar el modelo o formular uno nuevo y empezar otra vez el ciclo. César Saldaña - Cálculo Diferencial  Explicando Fenómenos Físicos 𝐿 Modelo Maltusiano: 𝑃 𝑡 = 𝐶 ⋅ 𝑒 𝑎𝑡 Modelo Logístico: 𝑃 𝑡 = 1 + 𝑘𝑒 −𝑎𝑡 𝑃(𝑡) Capacidad de carga (L) 𝑃(𝑡) Población Población Producción de Alimentos Tiempo (𝑡) Tiempo (𝑡) César Saldaña - Cálculo Diferencial ¡Importante! Un modelo matemático no es necesariamente una representación completamente precisa de una situación física: es una idealización. 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑚0 𝑎 𝐹= 𝑣 2 1− 𝑐 César Saldaña - Cálculo Diferencial ¡Importante! Un buen modelo mantiene un balance entre la simplificación de la realidad para permitir hacer cálculos matemáticos, y la precisión para proporcionar valiosas conclusiones. Es importante percatarse de las limitaciones del modelo. Quasigeostrophic Omega Equation (vertical motions in the atmosphere) 𝜕 2 𝜔 𝜕𝑣𝑔 𝜕 𝑅𝑑 2 𝐻ሶ 2 𝛻𝑝 𝜎𝜔 + 𝑓02 2 = −2𝛻𝑝 ∙ 𝑄 + 𝛽𝑓0 − 𝑓0 𝑘 ∙ 𝛻𝑝 × 𝐹Ԧ − 𝛻𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑝 𝑐𝑝𝑑 Deformación Arrastre de la Efectos debido a Efectos debido geoestrófica que vorticidad la fricción al intercambio actúa en los planetaria por el de calor gradientes de viento térmico temperatura César Saldaña - Cálculo Diferencial  Tipos de Modelos Hay muchos tipos diferentes de funciones que pueden utilizarse para modelar relaciones observadas en el mundo real, pero las principales son: Modelos Lineales y Polinomiales Modelos Potencia y Exponenciales Modelos Algebraicas Modelos Trigonométricas César Saldaña - Cálculo Diferencial  Ejemplo de Modelado Matemático La tabla muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón, en el Observatorio Mauna Loa desde 1980 a 2008. ¿Cuál será la concentración en 2024? César Saldaña - Cálculo Diferencial  Ejemplo de Modelado Matemático La tabla muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón, en el Observatorio Mauna Loa desde 1980 a 2008. ¿Cuál será la concentración en 2024? Con conocimiento previo o recopilación de datos se buscan patrones. ¡Grafiquemos los datos! César Saldaña - Cálculo Diferencial  Ejemplo de Modelado Matemático La tabla muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón, en el Observatorio Mauna Loa desde 1980 a 2008. ¿Cuál será la concentración en 2024? Nivel de CO2 y = 1.6543x - 2938.1 R² = 0.9943 390 𝑪𝑶𝟐 𝒕 = 𝟏. 𝟔𝟓𝟒𝟑𝒕 − 𝟐𝟗𝟑𝟖. 𝟏 380 370 𝐶𝑂2 2024 = 360 350 340 330 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 César Saldaña - Cálculo Diferencial  Ejemplo de Modelado Matemático Se ponen a prueba las predicciones comparando contra nuevos datos reales. Si las predicciones no coinciden con una buena aproximación con la realidad, se debe afinar el modelo o formular uno nuevo y empezar otra vez el ciclo. César Saldaña - Cálculo Diferencial Ejemplo de Modelado Matemático César Saldaña - Cálculo Diferencial  Ejemplo de Modelado Matemático La tabla muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón, en el Observatorio Mauna Loa desde 1980 a 2008. ¿Cuál será la concentración en 2024? Nivel de CO2 y = 0.0388e0.0046x 𝑪𝑶𝟐 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟖𝟖𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟔𝒕 R² = 0.9963 390 380 370 𝐶𝑂2 2024 = 360 350 340 330 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 César Saldaña - Cálculo Diferencial  Actividad III Realice una predicción acerca de en qué instante tocará el suelo una pelota que se deja caer desde la plataforma de observación de la Torre CN, a 450 𝑚 por encima del suelo, considerando que se tomaron los siguientes datos: César Saldaña - Cálculo Diferencial