01__AOK__Ushtrime 1__Paraqitja e të dhënave brenda sistemit kompjuterik -- MSc. Valdrin Haxhiu.pdf

Kolegji UBT Arkitektura dhe organizimi i kompjuterëve Ushtrime 1 Paraqitja e të dhënave brenda sistemit kompjuterik MSc. Valdrin Haxhiu MSc. Valdrin Haxhiu 2. Paraqitja e të dhënave brenda sistemit kompjuterik 2.1 Paraqitja e numrave të plotë brenda sistemit kompjuterik Sistemi kompjuterik si sistem...

Kolegji UBT Arkitektura dhe organizimi i kompjuterëve Ushtrime 1 Paraqitja e të dhënave brenda sistemit kompjuterik MSc. Valdrin Haxhiu MSc. Valdrin Haxhiu 2. Paraqitja e të dhënave brenda sistemit kompjuterik 2.1 Paraqitja e numrave të plotë brenda sistemit kompjuterik Sistemi kompjuterik si sistem digjital njeh vetëm 2 gjendje, gjendjen ka rrymë ose gjendjen nuk ka rrymë apo gjendjen 1 ose gjendjen 0. Çdo përmbajtje brenda sistemit kompjuterik paraqitet (ruhet, përpunohet dhe lëviz brenda sistemit kompjuterik) vetëm në formë binare. Për ruajtjen e të dhënave brenda sistemit kompjuterik në formë binare, janë përdorur disa modele. Secili prej modeleve ka përparësitë dhe mangësitë e veta. Simbolet e ndryshme që përdoren gjatë punës me kompjuter gjithashtu ruhen vetëm si grupe të bitëve 1 ose 0. Gjatë punës me kompjuter ne përdorim numra të ndryshëm si: 20, -8, 24.11, këta numra dhe numrat tjerë duhet të shndërrohen në formë binare për t’u ruajtur dhe përdorur nga kompjuteri. Paraqitja e numrave të plotë (pa pikë dhjetore) pozitiv brenda sistemit kompjuterik nuk kërkon ndonjë model të veçantë të paraqitjes. Në një sistem që simbolet i ruan me gjatësi 8 bit, numri decimal 20 ruhet si 00010100. Paraqitja e numrave jo të plotë negativ kërkon model të veçantë e të përshtatshëm të paraqitjes. 2.1.1 Paraqitja përmes modelit shenjë-madhësi (sign magnitude) Modeli shenjë-madhësi e trajton bitin me peshën më të madhe të një numri binar si bit të shenjës. Nëse kemi numrin binar 111011002 me peshat e bitëve 27 26 25 24 23 22 21 20, biti 1 (majtas) me peshën më të madhe 27 tregon shenjën e numrit decimal që është ruajtur në kompjuter. Në këtë shembull bëhet fjalë për numrin decimal -10810. Shenja minus ruhet përmes bitit 1 dhe shenja plus ruhet përmes bitit 0. Pjesa tjetër e numrit binar paraqet pjesën e madhësisë (magnitudës). Nëse sistemi e trajton një simbol si grup me 8 bit, numri binar negativ -1012 trajtohet në formën 100001012. Numrit binar me gjatësi më të vogël se 8 bit i shtohet në pozitën më majtas biti i shenjës dhe pjesa tjetër mbushet me bit 0 deri te biti i parë majtas i numrit binar. Nga kjo del se numri decimal 0 i ka dy paraqitje: +010 = 000000002 dhe -010 = 100000002. Modeli shenjë-madhësi e ka si mangësi paraqitjen e numrit 0 në dy forma. Kompjuteri e ka më të vështirë të testojë vlerën 0 nëse numri 0 paraqitet në dy forma. 1 MSc. Valdrin Haxhiu 2.1.3 Paraqitja përmes 2-komplementit (2’s complement) Një model i përshtatshëm që përdoret në sistemet kompjuterike për paraqitjen e numrave negativ të plotë është 2-komplementi. Në një sistem me 8 bit, numri i plotë negativ -410 mund të paraqitet me anë të 2-komplementit si grup me 8 bit duke gjetur së pari 1-komplementin e numrit binar të numrit 4. Ky model nuk përdoret për paraqitjen e numrave pozitiv të plotë. 1-komplementi (vlera inverze) i një numri binar gjendet duke ndryshuar bitin 1 në 0 dhe bitin 0 në 1. Numri 4 në sistemin numerik binar paraqitet përmes bitëve 1002 dhe si grup me 8 bit shkruhet 000001002. Duke ndjekur rregullën për llogaritje të vlerës së 1-komplementit fitojmë numrin 111110112. Vlerës së 1-komplementit duhet t’i shtohet numri 1. Duke mbledhur numrat 111110112 dhe 12 fitohet numri 111111002 që paraqet 2-komplementin e numrit -410. Biti 1 majtas në këtë rast tregon shenjën minus të numrit -4. 2.2 Paraqitja e numrave decimal në kompjuter si numra binarë 32 bit me pikë lëvizëse sipas standardit IEEE 754 Shembull 1: Paraqitja e numrit decimal 25.7510 në një regjistër me gjatësi 32 bit brenda në kompjuter. Së pari bëhet shndërrimi i numrit decimal në numër binar. Shndërrimi i pjesës 25 para pikës dhjetore në numër binar: 25 : 2 = 12 mbetja 1 12 : 2 = 6 mbetja 0 6:2 =3 mbetja 0 3:2 =1 mbetja 1 1: 2 = 0 mbetja 1 Pra: 2510 = 110012 Shndërrimi i pjesës 0.75 pas pikës dhjetore në numër binar: 0.75 ∙ 2 = 1.50 → 0.50 tepron 1 0.50 ∙ 2 = 1.00 → 0.00 tepron 1 Pra: 0.7510 = 0.112 2 MSc. Valdrin Haxhiu Pas shndërrimit fitohet: 25.7510 = 11001.112 Sipas standardit 754 të IEEE, numri binar duhet të normalizohet (të paraqitet në formë eksponenciale ose shkencore). Pas normalizimit, numri binar 11001.11 duket në formën 1.100111 ∙ 24. Pas shndërrimit të eksponentit 4 në numrin binar 0100 kemi 1.100111 ∙ 20100. Për një numër binar themi se është normalizuar nëse forma eksponenciale e paraqitjes së tij përmban vetëm një numër binar 1 para pikës binare (forma 1.f ∙ 2eskponenti). Në Figura 1 kemi paraqitur skemën e paraqitjes së numrit binar të normalizuar në regjistër me gjatësi 32 bit. signifikandi shenja eksponenti i ndikuar 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 bit 8 bit 23 bit Figura 1 – Regjistri me gjatësi 32 bit Numri 1.100111 ∙ 20100 është numër pozitiv. Në skemën e paraqitur lart, 1 bit majtas është i rezervuar për paraqitjen e shenjës së numrit. Në shembullin tonë vlera e bitit të shenjës është 0. Biti i shenjës ka vlerën 0 nëse numri është pozitiv dhe ka vlerën 1 nëse numri është negativ. Sipas standardit 754 të IEEE, 8 bit tjerë nga majtas–djathtas janë të rezervuar për paraqitjen e eksponentit të ndikuar të numrit. Eksponenti me vlerë të ndikuar (ang. biased exponent) i ruajtur në regjistër ka vlerën: 100000112 = 13110. Vlera e eksponentit të ndikuar llogaritet përmes shprehjes: eksponenti i ndikuar = eksponenti + vlera për ndikim (1) Në këtë shembull kemi: eksponenti i ndikuar = eksponenti + vlera për ndikim = 4 + 127 = 13110. Vlera për ndikim (ang. bias) llogaritet përmes shprehjes: vlera për ndikim = 2k-1- 1 (2) ku: parametri k paraqet numrin e bitëve të eskponentit të ndikuar. Te versioni 32 bit i standardit 754 të IEEE, 8 bit nga 32 bit janë të rezervuar për eksponentin e ndikuar, pra k = 8. Përmes shprehjes (2) kemi: vlera për ndikim = 28-1- 1 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127. Në pjesën e mbetur të regjistrit me gjatësi 32 bit është ruajtur vlera që quhet signifikand (pjesa e numrit pas pikës binare). Për vlerën e signifikandit rezervohen 23 bit. Vlera 100111 që ndodhet pas pikës binare të numrit binar në shembullin tonë harxhon vetëm 6 nga 23 bit të mbetur, pjesa tjetër e vendeve të mbetura mbushet me vlerën 0. 3 MSc. Valdrin Haxhiu Standardi 754 i IEEE për paraqitje të numrave me pikë lëvizëse, kërkon që së pari numri binar i fituar të shndërrohet në atë formë ashtu që para pikës binare të jetë vetëm një vlerë binare 1. Meqë çdo herë forma e normalizuar përmban vlerën 1 para pikës binare, atëherë numri 1 para pikës nuk ruhet në regjistrin 32 bit, pra kursehet një bit. Te versioni 32 bit i standardit 754 të IEEE për numra me pikë lëvizëse, vlera e eksponentit mund të jetë prej -126 deri në 127. Ndërsa vlera e eksponentit të ndikuar mund të jetë prej 1 deri në 254. Te versioni 64 bit i standardit 754 të IEEE për numra me pikë lëvizëse, 1 bit rezervohet për shenjën e numrit, 11 bit për eksponentin e ndikuar dhe 52 bit për signifikandin. Përmes shprehjes (2) mund të llogaritet se vlera për ndikim (për k = 11) te versioni 64 bit është 1023 dhe vlera e eksponentit mund të jetë prej -1022 deri në 1023. Ndërsa vlera e eksponentit të ndikuar mund të jetë prej 1 deri në 2046. Shembull 2: Nëse pika binare gjatë normalizimit të një numri binar me pikë binare lëviz në anën e djathtë atëherë eksponenti ka vlerë negative. Të normalizohet numri binar 0000.0010102 Së pari shikohet pozita e pikës. Nëse majtas pikës binare ka ndonjë numër binar 1 atëherë pika lëviz te numri binar 1 që ndodhet më majtas (në fund majtas për të fituar formën 1.f ∙ 2eskponenti). Nëse majtas pikës binare nuk ka ndonjë numër binar 1 atëherë pika lëvizet djathtas. Normalizimi i numrit të dhënë bëhet kur pika binare të vendoset pas numrit binar 1 të parë që gjendet duke lëvizur pikën djathtas. Pas lëvizjes së pikës binare për një pozitë djathtas fitojmë formën 00000.01010 ∙ 2-1. Pas lëvizjes së pikës binare edhe për një pozitë djathtas fitojmë formën 000000.1010 ∙ 2-2. Pas lëvizjes së pikës binare edhe për një pozitë djathtas dhe largimit të numrave 0 para numrit të parë 1 fitojmë formën e normalizuar 1.010 ∙ 2-3. Paraqitja e këtij numri në një regjistër 32 bit sipas standardit 754 të IEEE bëhet ngjashëm sikur te shembulli 1. 4 MSc. Valdrin Haxhiu Shembull 3: Paraqitja e numrit binar me pikë lëvizëse në formën e normalizuar pasi ai numër të jetë vendosur në një regjistër 32 bit sipas standardit 754 të IEEE mund të bëhet përmes shprehjes: (-1)s ∙ 1.f ∙ 2e – 127 (3) ku: parametri s (sign) tregon shenjën e numrit binar dhe mund të ketë vlerën 0 për shenjën + ose 1 për shenjën - parametri f (fraction ose significand) tregon pjesën e numrit pas pikës binare parametri e (exponent) tregon eksponentin e ndikuar (biased exponent) prej të cilit duhet të zbritet vlera për ndikim 127. Nëse e kemi të dhënë regjistrin nga Figura 1, atëherë prej atij regjistri përmes shprehjes (3) mund të gjejmë se cili numër është ruajtur brenda regjistrit. Nga Figura 1 lexojmë se biti i shenjës s është 0 (s = 0), eksponenti i ndikuar e = 100000112 = 13110 dhe signifikandi f = 1001112. Duke zëvendësuar këto vlera në shprehjen (3) gjejmë numrin e ruajtur: (-1)s ∙ 1.f ∙ 2e – 127 = (-1)0 ∙ 1.f ∙ 2e – 127 = 1 ∙ 1. 100111 ∙ 2131 – 127 = 1. 100111 ∙ 24. 5