Wykład 12, 22.11.2024 PDF

## Twierdzenie 4.34. Jeśli funkcja *f(x)* jest ciągła w punkcie *a* oraz funkcja *g(y)* jest ciągła w punkcie *f(a)*, to funkcja *g o f(x)=g(f(x))* jest ciągła w punkcie *a*. **Dowód:** * **Z definicji Heinego:** * *g o f: E → R i a ∈ E* * *x_n → a* * *y_n → f(a)* * *y_n = f(x...

## Twierdzenie 4.34. Jeśli funkcja *f(x)* jest ciągła w punkcie *a* oraz funkcja *g(y)* jest ciągła w punkcie *f(a)*, to funkcja *g o f(x)=g(f(x))* jest ciągła w punkcie *a*. **Dowód:** * **Z definicji Heinego:** * *g o f: E → R i a ∈ E* * *x_n → a* * *y_n → f(a)* * *y_n = f(x_n) → f(a)* * *g(y_n) = g(f(x_n)) → g(f(a))*. * **Z definicji Cauchy'ego:** * Dla *ε > 0* ustalamy *τ > 0* takie, że *∀y (|y - f(a)| < τ ⇒ |g(y) - g(f(a))| < ε)*. * Dla tego *τ > 0* istnieje *δ > 0* takie, że *∀x (|x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < τ)*. Zauważmy, że *|x - a| < δ* to *|f(x) - f(a)| < τ* i wtedy *|g(f(x)) - g(f(a))| < ε*. --- ## Przykład 4.35. Funkcja *f(x) = |x² + x - 2|* jest ciągła. * *f(x) = x² + x - 2* jest ciągła w *∀x ∈ R* * *g(y) = |y|* jest ciągła (*g(y) = y* dla *y > 0*, *g(y) = -y* dla *y < 0*, *g(y) → 0* gdy *y → 0*) * Złożenie *g(f(x)) = |x² + x - 2|* jest ciągła w każdym punkcie. --- ## Definicja 4.36. Mówimy, że funkcja *f(x)* jest ciągła na przedziale otwartym *(a,b)* jeśli jest ciągła we wszystkich punktach *x ∈ (a,b)*. Zbiór funkcji ciągłych na przedziale *(a,b)* oznaczamy *C(a,b)*. Możemy mieć *(a,b) = (-∞, ∞)* lub *(a, ∞)* lub *(-∞, b)*. ## Definicja 4.37. Mówimy, że funkcja *f(x)* jest ciągła na przedziale **domkniętym** *(a,b)* jeśli jest ciągła we wszystkich punktach *x ∈ (a,b)* oraz: * *f(a) = lim_(x→a⁺) f(x), f(b) = lim_(x→b⁻) f(x)*. Zbiór funkcji ciągłych na przedziale *[a,b]* oznaczamy *C[a,b]*. Możemy podobnie myśleć o ciągłości na *(a, ∞)*. --- ## Przykład 4.38. 1. Funkcja *f: (0,1) → R, f(x) = 1 / (x(1-x))* jest ciągła na *(0,1)*. 2. Funkcja *g: [0,1] → R, g(x) = √(x(1-x))* jest ciągła na *[0,1]*. --- ## Jednostajna ciągłość **Definicja 4.39.** Niech *E* będzie podzbiorem *R*. Funkcja *f: E → R* jest jednostajnie ciągła na zbiorze *E*, jeśli: * *∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x,x′ ∈ E (|x − x′ | < δ ⇒ |f(x) − f(x')| < ε)*. **Ciągłość w zbiorze E:** * *∀x∈E ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x'∈E (|x-x'| < δ ⇒ |f(x) - f(x')| < ε)*. --- ## Uwaga 4.40. Jeśli *f* jest jednostajnie ciągła na pewnym zbiorze *E*, to jest ciągła w każdym punkcie zbioru *E*. * *∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ E (|x − x′| < δ ⇒ |f(x) − f(x')| < ε)*. Jeśli dla *ε > 0* mamy *δ > 0* , dobrano dla *wszystkich x* -ów, to dla dowolnych *x* i *ε > 0* , ta sama *δ > 0* działa. * (∃δ ∀x ⇒ ∀x ∃δ)* ## Uwaga 4.41. W jednostajnej ciągłości wielkość *δ* dobieramy **uniwersalną** tylko na podstawie wartości *ε*. W definicji ciągłosci w punkcie wielkość *δ* może zależeć zarówno od *ε* jak i od punktu, w którym badamy ciągłość. --- ## Twierdzenie 4.42. Funkcja ciągła zdefiniowana na odcinku domkniętym *[a, b]* jest jednostajnie ciągła. **Dowód:** Niech *f: [a,b] → R* będzie ciągła. Załóżmy nie wprost, że: * *∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x,x' ∈[a, b] (|x - x'| < δ ∧ |f(x) - f(x')| ≥ ε)*. Ustalmy *ε > 0* zgodnie z powyższym i weźmy *δ_n = 1/n*. Istnieją *x_n,x_n' ∈ [a,b]* takie, że: * *|x_n - x_n'| < 1/n* oraz *|f(x_n) - f(x_n')| ≥ ε*. Z twierdzenia Weierstrassa istnieje podciąg *x_n_k* taki, że *x_n_k → x_0*. *x_0 ∈ [a, b]* (z **dwukonksistości** odcinka) Jednak *f* było ciągła w *x_0*, więc mamy sprzeczność, bo: * *x_n_k → x_0* i *x_n_k' → x_0* * *f(x_n_k) → f(x_0), f(x_n_k') → f(x_0)* * *0 ← |f(x_n_k)-f(x_n_k')| ≥ ε* (Sprzeczność!) --- ## Uwaga 4.43. Powyższe twierdzenie nie zachodzi na prostej, półprostej, ani na odcinku otwartym. --- ## Przykład 4.44. a) Funkcja *f(x) = x⁻¹* nie jest jednostajnie ciągła na *(0,1]*. b) Funkcja *g(x) = x²* nie jest jednostajnie ciągła na *[0,∞]*. c) Funkcja *h(x) = sin(1/x)* nie jest jednostajnie ciągła na przedziale *(0,1]*. d) Funkcja *k(x) = √|x|* jest jednostajnie ciągła na *R* (uwaga na przyszłość: mimo tego, że jej pochodna nie jest ograniczona i nachylenie koło zera jest dowolnie blisko pionowego). **a)** * *f(x) = 1/x, f: (0,1] → R*. * Niech *ε = 1* i weźmy punkty *x_n = 1/n, x_n' = 1/2n*. * *|f(x_n) - f(x_n')| = |n - 2n| = n ≥ 1*. * (ang. *zoprescrene* wov (*J.C*) zachodzi, bo dla dowolnego *δ > 0* istnieje para punktów *x, x'* t.ż *|x - x'| < δ* i *|f(x) - f(x')| ≥ 1*) **c)** * *x_n* jest dowolnie blisko *x_n'* * *|f(x_n) - f(x_n')| = 2* **d)** * *k: [-1,1] → R* * *k* jest ciągła, więc z tw. 4.42 jest jednostajnie ciągła. --- ## Lemat 4.45. Jeśli funkcja *f: E → R* spełnia warunek Lipschitza, tzn: * *(L) ∃L ∀x,x′∈ E |f(x) − f(x')| < L|x − x'|,* to funkcja jest jednostajnie ciągła na *E*. **Dowód:** Niech *ε > 0* i *δ = ε / (L + 1)*. Wtedy dla *|x - x'| < δ* mamy: * *|f(x) - f(x')| ≤ L|x - x'| ≤ L * δ ≤ L*ε / (L + 1) ≤ ε*. --- ## Uwaga 4.46. a) Warunek *(L)* oznacza, że sieczne wykresu funkcji mają ograniczone nachylenie. b) Warunek *(L)* nie jest konieczny do jednostajnej ciągłości (np. *f(x) = √x* dla *x ∈ [0,1]*) c) Uwaga na przyszłość: jeśli pochodna funkcji jest ograniczona, to warunek *(L)* jest spełniony i za *L* można przyjąć supremum wartości pochodnej. d) Pewnym uogólnieniem warunkou *(L)* jest warunek **Höldera z wykładnikiem *α > 0* **, który zakłada, że: * *H) ∃L ∀x,x′∈D |f(x) − f(x')| ≤ Ca|x − x′|α*. * (ograniczona pochodna ⇒ war. Lipschitza ⇒ jednostajna ciągłość) --- ## Twierdzenie 4.47. **(Twierdzenie Weierstrassa)** Funkcja ciągła *f* określona na przedziale domkniętym *[a, b]* jest ograniczona i osiąga swoje kresy, tzn. istnieją *c, d ∈ [a, b]*, takie, że: * *f(c) = inf_(x ∈ [a,b])f(x), f(d) = sup_(x ∈ [a,b]) f(x)*. **Dowód:** 1. **Ograniczoność:** Z twierdzenia 4.42 wiemy, że *f* jest jednostajnie ciągła na *[a, b]*. Dla *ε = 1* istnieje *δ > 0*, takie, że *∀x,x' ∈ [a,b] (|x - x'| < δ ⇒ |f(x) - f(x')| < 1)*. Niech *x ∈ [α, α+δ]*. Wtedy: * *|f(x)| ≤ |f(x) - f(a)| + |f(a)| ≤ |f(a)| + 1* Dla *x ∈ [a+δ, a+2δ]*, wiemy, że *|f(x)| ≤ 1*. * *|f(x)| ≤ |f(x) - f(a+δ)| + |f(a+δ)| ≤ |f(a)| + 2* ... i tak dalej, gdy *x ∈ [a+kδ, a+(k+1)δ]*, to *|f(x)| ≤ |f(a)| + k + 1*. Dla ostatniego odcinka *N = ⌊(b-a) / δ⌋*, *x ∈ [a+(N-1)δ, b]* to *|f(x)| ≤ |f(a)| + N*. Czyli *|f(x)| ≤ |f(a)| + N* dla *x ∈ [a,b]*. 2. **f osiąga swoje supremum:** Załóżmy nie wprost, że *∀x ∈ [a,b] f(x) < M*. Rozważmy funkcję: *g: [a,b] → R, g(x) = M - f(x)*. Funkcja g jest ciągła. Z twierdzenia 4.47 *g* jest ograniczona. Zatem istnieje *T*, takie, że *∀x ∈ [a,b] g(x) ≤ T*. Wiemy, że: * *1/(M-f(x)) ≤ T* * *M - f(x) ≥ 1/T* * *f(x) ≤ M - 1/T* Sprzeczność z definicją supremum. --- ## Definicja 4.48. Funkcja *f* określona na przedziale (otwartym lub domkniętym) prostej lub półprostej ma **własność Darboux**, jeśli dla dowolnych *a, b* z dziedziny przechodzi od wartości *f(a)* do wartości *f(b)* przez wszystkie wartości pośrednie, tzn. dla dowolnej liczby *w* leżącej pomiędzy *f(a)* i *f(b)*, *f(a) ≠ f(b)*, istnieje punkt *c ∈ (a, b)*, dla którego *f(c) = w*. --- ## Twierdzenie 4.49. Funkcja ciągła na przedziale *[a, b]* ma własność Darboux. **Dowód:** Bez straty ogólności: * *a < b* i *f(a) < f(b)*. Niech *w ∈ [f(a), f(b)]*. Załóżmy nie wprost, że: * *∀x∈ [a, b] f(x) ≠ w*. Rozważmy funkcję: *g: [a,b] → R, g(x) = 1/(f(x) - w)*. Funkcja *g* jest ciągła (iloraz funkcji ciągłych). Z twierdzenia 4.47 *g* jest ograniczona. Zatem istnieje *M* takie, że *∀x ∈ [a,b] g(x) ≤ M*. Wiemy, że: * *1/|f(x) - w| ≤ M* * *|f(x) - w| ≥ 1/M* Z jednostajnej ciągłości *f* (z tw. 4.42) wiemy, że dla *ε = 1/M* istnieje *δ > 0*, takie że *∀x,x’ ∈[a, b] (|x - x'| < δ| ⇒ |f(x) - f(x')| < 1/M*) Niech *|x_i - x_(i+1)| < δ* i rozważmy ciąg *x_0 = a, x_1 = a+δ, x_2 = a+2δ, ..., x_N = b*. Wiemy, że *|f(x_0) - w| ≤ 1/M* i *|f(x_N) - w| ≥ 1/M*. Wiemy również, że: * *|f(x_0) - f(x_1)| < 1/M* oraz * *|f(x_1) - f(x_2)| < 1/M* oraz * ... * *|f(x_(N-1)) - f(x_N)| < 1/M* Stąd: * *|f(x_N) - f(x_0)| ≤ |f(x_0) - f(x_1)| + |f(x_1) - f(x_2)| ...+ |f(x_(N-1)) - f(x_N)| < N/M*. Z czego: * *|f(x_N) - f(x_0)| < 1/M* Sprzeczność z faktem, że *|f(x_N) - w| ≥ 1/M*. --- ## Wniosek 4.50. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy swoimi kresami dolnym i górnym.