Ciągłość funkcji i złożenia

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Która z poniższych funkcji nie jest jednostajnie ciągła na podanym przedziale?

h(x) = sin(1/x) na (0,1] (correct)

f(x) = x² na [0, ∞) (correct)

k(x) = √|x| na R

g(x) = x³ na [-1,1]

Warunek Lipschitza jest wystarczający do zapewnienia jednostajnej ciągłości funkcji.

True

Podaj przykład funkcji, która nie jest jednostajnie ciągła na otwartym przedziale.

f(x) = 1/x na (0,1]

Funkcja ___ jest jednostajnie ciągła na R, mimo że jej pochodna nie jest ograniczona.

k(x) = √|x| Signup and view all the answers

Powiąż funkcję z jej określeniem jednostajnej ciągłości:

f(x) = 1/x = Nie jest jednostajnie ciągła na (0,1] g(x) = x² = Nie jest jednostajnie ciągła na [0,∞) h(x) = sin(1/x) = Nie jest jednostajnie ciągła na (0,1] k(x) = √|x| = Jest jednostajnie ciągła na R Signup and view all the answers

Jakie jest znaczenie warunku Höldera dla funkcji ciągłej?

Funkcja jest jednostajnie ciągła. Signup and view all the answers

Jakie założenie prowadzi do sprzeczności w dowodzie twierdzenia 4.42?

∃ε > 0 ∀δ > 0 Signup and view all the answers

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga swoje minimum.

True Signup and view all the answers

Funkcja g(x) = x² jest jednostajnie ciągła na przedziale otwartym (0,1).

False Signup and view all the answers

Jak brzmi własność Darboux dla funkcji f?

Funkcja f przechodzi od wartości f(a) do wartości f(b) przez wszystkie wartości pośrednie. Signup and view all the answers

Jaką wartość można przyjąć za L, jeśli pochodna funkcji jest ograniczona?

Supremum wartości pochodnej Signup and view all the answers

Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest __________.

ograniczona Signup and view all the answers

Dopasuj właściwości funkcji do odpowiednich twierdzeń:

Twierdzenie Weierstrassa = Funkcja osiąga supremum i infimum Własność Darboux = Przechodzi przez wszystkie wartości pośrednie Warunek Höldera = Jednostajna ciągłość funkcji Twierdzenie o ciągłości = Funkcja jest ciągła w każdym punkcie Signup and view all the answers

Jak kluczowe jest założenie, że f(a) ≠ f(b) w kontekście własności Darboux?

Umożliwia przechodzenie funkcji przez wszystkie wartości pośrednie. Signup and view all the answers

Funkcja g(x) = 1/(f(x) - w) jest ciągła, jeśli f(x) ≠ w dla wszystkich x.

True Signup and view all the answers

Co oznacza ograniczoność funkcji w kontekście Twierdzenia Weierstrassa?

Funkcja osiąga granice wartości w pewnym przedziale. Signup and view all the answers

Jakie warunki muszą być spełnione, aby funkcja złożona $g(f(x))$ była ciągła w punkcie $a$?

Wszystkie powyższe. Signup and view all the answers

Funkcja $f(x) = x^2 + x - 2$ jest ciągła dla każdego $x eq 2$.

False Signup and view all the answers

Czym jest jednostajna ciągłość funkcji?

Funkcja jest jednostajnie ciągła, jeśli dla każdego $orall ext{ } ε > 0$ istnieje $orall ext{ } δ > 0$ takie, że dla wszystkich $x, x' ext{ w } E$, jeżeli $|x - x'| < δ$, to $|f(x) - f(x')| < ε$. Signup and view all the answers

Funkcja $f(x)$ jest ciągła na przedziale otwartym $(a, b)$, jeśli jest ciągła we wszystkich punktach $x ext{ } ∈ (a, b)$. Zbiór funkcji ciągłych na tym przedziale oznaczamy ______.

C(a, b) Signup and view all the answers

Kiedy mówimy, że funkcja $f(x)$ jest ciągła na przedziale domkniętym $[a, b]$?

Kiedy jest ciągła w $(a, b)$ oraz $f(a) = ext{lim}{x o a^+} f(x)$ i $f(b) = ext{lim}{x o b^-} f(x)$. Signup and view all the answers

Dopasuj funkcje do ich ciągłości:

f(x) = |x^2 + x - 2| = Ciągła na R g(x) = √(x(1-x)) = Ciągła na [0, 1] f(x) = 1 / (x(1-x)) = Ciągła na (0, 1) h(x) = |y| = Ciągła na R Signup and view all the answers

Jakie są graniczne definicje ciągłości dla punktu $a$ w funkcji ciągłej na przedziale domkniętym?

f(a) = lim_{x→a^+} f(x), f(b) = lim_{x→b^-} f(x) Signup and view all the answers

Study Notes

Twierdzenie 4.34

Jeśli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie a oraz funkcja g(y) jest ciągła w punkcie f(a), to funkcja g o f(x) = g(f(x)) jest ciągła w punkcie a.
Dowód wykorzystuje dwie definicje Heinego i Cauchy'ego.
Dowód pokazuje, że ciągłość funkcji złożonej wynika z ciągłości funkcji składowych.

Przykład 4.35

Funkcja f(x) = |x² + x − 2| jest ciągła dla każdego x ∈ ℝ.
Funkcja f(x) = x² + x − 2 jest ciągła (jest wielomianem).
Funkcja g(y) = |y| jest ciągła.
Złożenie funkcji g(f(x)) jest ciągłe.

Definicja 4.36

Funkcja f(x) jest ciągła na przedziale otwartym (a, b), jeśli jest ciągła w każdym punkcie x ∈ (a, b).
Zbiór funkcji ciągłych na przedziale (a, b) oznaczamy C(a, b).

Definicja 4.37

Funkcja f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym [a, b] jeśli jest ciągła w każdym punkcie x ∈ (a, b) oraz spełnia warunek:
- f(a) = lim (x → a+) f(x)
- f(b) = lim (x → b−) f(x)
Zbiór funkcji ciągłych na przedziale [a, b] oznaczamy C[a, b].

Przykład 4.38

Funkcja f(x) = 1 / (x(1 − x)), zdefiniowana na przedziale (0, 1), jest ciągła.
Funkcja g(x) = √x(1 − x), zdefiniowana na przedziale [0, 1], jest ciągła.
Funkcja f(x) = sin(x), zdefiniowana na przedziale (0, 1], jest ciągła.

Jednostajna ciągłość

Funkcja f: E → R jest jednostajnie ciągła na zbiorze E, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla wszystkich x, x' ∈ E takich, że |x − x'| < δ, zachodzi |f(x) − f(x')| < ε.
Zauważ, że δ nie zależy od punktu x.

Uwaga 4.40

Jeżeli funkcja f jest jednostajnie ciągła na zbiorze E, to jest ciągła w każdym punkcie zbioru E.

Uwaga 4.41

W jednostajnej ciągłości wielkość δ dobieramy uniwersalnie dla całego zbioru E, natomiast w definicji ciągłości w punkcie δ może zależeć od ε oraz punktu x.

Twierdzenie 4.42

Funkcja ciągła zdefiniowana na odcinku domkniętym [a, b] jest jednostajnie ciągła.

Uwaga 4.43

Twierdzenie o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłej nie zachodzi na prostej, półprostej ani na odcinku otwartym.

Przykład 4.44

Podane są przykłady funkcji, które nie są jednostajnie ciągłe na określonych zbiorach. (np. f(x) = 1/x na (0, 1], g(x) = x² na [0, ∞), h(x) = sin(1/x) na (0, 1]).

Lemat 4.45

Jeżeli funkcja f spełnia warunek Lipschitza, tzn. istnieje stała L taka, że |f(x) − f(x')| ≤ L|x − x'| dla wszystkich x, x' ∈ E, to funkcja f jest jednostajnie ciągła na E.

Uwaga 4.46

Warunek Lipschitza jest wystarczającym, ale nie koniecznym warunkiem dla jednostajnej ciągłości.
Pochodna funkcji może być nieograniczona, a funkcja może być jednostajnie ciągła.

Twierdzenie 4.47

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym [a, b] jest ograniczona i osiąga swoje kresy.
Istnieją punkty c, d ∈ [a, b] takie, że f(c) = inf f(x) i f(d) = sup f(x).

Twierdzenie 4.49

Funkcja ciągła na przedziale [a, b] ma własność Darboux.
Oznacza to, że funkcja przyjmuje każdą wartość pośrednią pomiędzy wartościami funkcji na końcach przedziału.

Wniosek 4.50

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy swoimi kresami dolnym i górnym.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Quiz dotyczący twierdzenia o ciągłości funkcji złożonej. Zawiera przykłady oraz definicje dotyczące funkcji ciągłych na przedziałach otwartych i domkniętych. Sprawdź swoją wiedzę na temat ciągłości funkcji i jej zastosowań.