Ciągłość funkcji i złożenia

Funkcja g o f(x)=g(f(x)) jest ciągła w punkcie a, jeśli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie a oraz funkcja g(y) jest ciągła w punkcie f(a).

Funkcja f(x) jest ciągła na przedziale otwartym (a, b), jeśli jest ciągła we wszystkich punktach x ∈ (a, b).

Funkcja f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym (a, b), jeśli jest ciągła we wszystkich punktach x ∈ (a, b) oraz f(a) = lim_(x→a⁺) f(x), f(b) = lim_(x→b⁻) f(x).

Funkcja f: E → R jest jednostajnie ciągła na zbiorze E, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszystkich x, x′ ∈ E z |x − x′| < δ mamy |f(x) − f(x′)| < ε.

Jeśli funkcja jest jednostajnie ciągła na danym zbiorze, to jest też ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

W jednostajnej ciągłości wartość δ jest dobierana tylko na podstawie wartości ε, nie zależy od konkretnego punktu x.

Funkcja ciągła na odcinku domkniętym jest jednostajnie ciągła.

Funkcja f spełnia warunek Lipschitza, jeśli istnieje stała L (stała Lipschitza) taka, że dla dowolnych x, x' należących do dziedziny funkcji, |f(x) - f(x')| < L|x - x'|. Oznacza to, że nachylenie siecznych wykresu funkcji jest ograniczone.

Funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła.

Twierdzenie o jednostajnej ciągłości nie zachodzi na prostych, półprostych i odcinkach otwartych. Funkcje zdefiniowane na tych zbiorach mogą być ciągłe, ale nie jednostajnie ciągłe.

Funkcja f(x) = 1/x nie jest jednostajnie ciągła na przedziale (0, 1]. Dla dowolnie małego δ, można znaleźć punkty x, x' w przedziale (0, 1] takie, że |x - x'| < δ, ale |f(x) - f(x')| ≥ 1. Oznacza to, że funkcja może zmieniać się o więcej niż 1 w zbieżnych do siebie punktach.

Funkcja g(x) = x² nie jest jednostajnie ciągła na przedziale [0, ∞]. Dla dowolnie małego δ, można znaleźć punkty x, x' w przedziale [0, ∞] takie, że |x - x'| < δ, ale |f(x) - f(x')| ≥ 1. Oznacza to, że funkcja może zmieniać się o więcej niż 1 w zbieżnych do siebie punktach.

Funkcja h(x) = sin(1/x) nie jest jednostajnie ciągła na przedziale (0, 1]. Funkcja oscyluje bardzo szybko w pobliżu zera. Dla dowolnie małego δ, zawsze można znaleźć punkty x, x' w przedziale (0, 1] takie, że |x - x'| < δ, ale |f(x) - f(x')| ≥ 1.

Warunek Höldera z wykładnikiem α > 0 to uogólnienie warunku Lipschitza. Zakłada, że istnieje taka stała C, że dla dowolnych punktów x i x' z dziedziny funkcji f, różnica wartości funkcji f(x) - f(x') jest ograniczona przez C pomnożone przez |x - x'| podniesione do potęgi α. Innymi słowy, zmiana wartości funkcji jest ograniczona przez pewną potęgę różnicy między argumentami.

Twierdzenie Weierstrassa mówi, że każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym [a, b] jest ograniczona i osiąga swoje kresy. To znaczy, że istnieje punkt c w tym przedziale, dla którego wartość funkcji jest minimalna, oraz punkt d, dla którego wartość funkcji jest maksymalna.

Funkcja f ma własność Darboux, jeśli dla dowolnych punktów a i b z dziedziny funkcji, f przechodzi przez wszystkie wartości pośrednie między f(a) i f(b). Oznacza to, że dla dowolnej liczby w leżącej między f(a) i f(b), można znaleźć punkt c między a i b, dla którego f(c) = w.

Dowód twierdzenia Weierstrassa o ograniczoności funkcji ciągłej na przedziale domkniętym wykorzystuje jednostajną ciągłość. Jeśli funkcja jest jednostajnie ciągła, to dla dowolnego ε > 0 można znaleźć δ > 0 takie, że różnica wartości funkcji jest zawsze mniejsza niż ε dla argumentów odległych o mniej niż δ. To pozwala pokazać, że funkcja jest ograniczona na przedziale.

Dowód twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów funkcji ciągłej na przedziale domkniętym wykorzystuje założenie, że funkcja nie osiąga kresów. To prowadzi do sprzeczności z faktem, że funkcja jest ograniczona.

Dowód, że każda funkcja ciągła na przedziale [a, b] ma własność Darboux, wykorzystuje definicję ciągłości i własność Darboux. Założenie, że funkcja nie ma własności Darboux, prowadzi do sprzeczności.

Funkcja g(x) = 1/(f(x) - w) jest ciągła i ograniczona na przedziale [a, b], ponieważ f(x) jest ciągła i f(x) ≠ w. Ograniczoność funkcji g jest sprzeczna z faktem, że g(x) zmierza do nieskończoności, gdy x zbliża się do punktu, w którym f(x) = w. Zatem funkcja f musi przyjmować wartość w.

Twierdzenie Weierstrassa ma wiele zastosowań, np. w zadaniach optymalizacyjnych. Pozwala ono na znalezienie minimalnej lub maksymalnej wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym.