Verjetnost Teorija PDF

1. Definirajte slučajni dogodek in pojasnite kdaj je dogodek A način dogodka B, kaj je produkt dogodkov A in B, kdaj sta dogodka A in B nezdružljiva in kaj je nasprotni dogodek dogodka A! 2. Zapišite vse tri definicije verjetnosti: klasično, geometrijsko in aksiomatsko! 3. Definirajte moment...

1. Definirajte slučajni dogodek in pojasnite kdaj je dogodek A način dogodka B, kaj je produkt dogodkov A in B, kdaj sta dogodka A in B nezdružljiva in kaj je nasprotni dogodek dogodka A! 2. Zapišite vse tri definicije verjetnosti: klasično, geometrijsko in aksiomatsko! 3. Definirajte moment reda n glede na točko a ∈ R, začetni moment reda n in centralni moment reda n. 4. Pojasnite Pascalovo porazdelitev! V posebnem primeru, ko je m = 1 (geometrijska porazdelitev) še dokažite, da je to res slučajna spremenljivka. 5. Pojasnite Pascalovo porazdelitev, če nas zanima m izvedb dogodka A, ki se v poskusu zgodi z verjetnostjo p ∈ (0, 1)! Kakšno porazdelitev dobimo, če je m = 1? Isto kot 4, ampak lahko bo vprašanje tudi o ostalih DSS porazdelitvah. 6. Kako je z gostoto verjetnosti definirana eksponentna zvezna porazdelitev X? Pokažite, da je to res porazdelitev in določite se njeno porazdelitveno funkcijo FX(x) za x>0: 7. Izračunajte disperzijo in standarden odklon za Poissonovo porazdelitev X ~ P(λ) Poissonova porazdelitev: 8. Kako je definirana normalna porazdelitev X ~ N(a, σ) (skica!)? Kako je X povezana s standardno normalno porazdelitvijo Y ~ N(0,1)? Kako uporabljamo tabelo za izračun Y? V tabelah so shranjene vrednosti za Φ(X) s temi vrednosti z uporabo zveze (zgoraj) dobimo vrednost za porazdelitveno funkcijo FY(X). 9. Kako je definiran diskretno porazdeljen slučajni vektor X = (X1X2)? v tem primeru (x11, x12, …, x1i) ki jih zasede X1 & (x21,x22, …, x2j) ki jih zasede X2 10. Opišite kaj je to ničelna hipoteza in kaj alternativna hipoteza! Kaj sta napaka prve vrste in kaj napaka druge vrste. Pri parametričnih testih tvorimo dve nasprotujoči si hipotezi pri čemer predpostavljamo, da je ničelna hipoteza pravilna. Izračunamo testno statistiko podatkov, pri čemer preverjamo ali bomo sprejeli ničelno ali alternativno hipotezo. Napaka prve vrste je, ko zavrnemo pravilno hipotezo. Napaka druge vrste je, ko sprejmemo nepravilno hipotezo. 11. Kateri test uporabimo za določanje intervala zaupanja za populacijsko povprečje μ, če imamo vzorec z n = 22 elementi? (Pozor na razliko, ko je standardni odklon znan/neznan!) Mali vzorci (n30): 12. Definirajte pogojno verjetnost P(A|B) dogodka A ob pogoju, da se je zgodil dogodek B. Kako izračunamo P(A|B)? Kdaj sta dogodka neodvisna? 13. Zapišite in pojasnite Bayesovo formulo! Želimo najti Verjetnost P(Hi | A). Začnemo Z P(A | Hi): 𝑃(𝐻𝑖 ) 𝑃(𝐴|𝐻𝑖 ) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐻𝑖 ) 𝑃(𝐴|𝐻𝑖 ) ⋅ 𝑃(𝐻𝑖 ) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐻𝑖 ) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐻𝑖 ) = 𝑃(𝐻𝑖 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐻𝑖 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐻𝑖 |𝐴) ⋅ 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐻𝑖 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐻𝑖 |𝐴) = 𝑃(𝐴) Dobimo: Vstavimo formulo popolne verjetnosti: S tem dobimo Bayesovo formulo. 14. Kaj je slučajna spremenljivka X in kako je definirana njena porazdelitvena funkcija FX(x)? 15. Pojasnite binomsko porazdelitev b(n, p)! 16. Kako je definirano matematično upanje slučajne spremenljivke X? Zapišite še njegove lastnosti! 17. Opišite centralni limitni izrek! Slučajna spremenljivka 𝑋̅ se pri velikih vzorcih porazdeljuje približno normalno glede na porazdelitev slučajne spremenljivke 𝑋 18. Kaj je popoln sistem dogodkov in kako ga uporabimo za izračun P(A) s formulo popolne verjetnosti? 19. Kako je definirana disperzija slučajne spremenljivke X in kaj je standardni odklon? Zapišite še njune lastnosti! 20. Kako je definirano matematično upanje diskretne slučajne spremenljivke? Izračunajte ga za Poissonovo porazdelitev X ~ P(λ) Matematično upanje definicija – glej odg višje (vprašanje 16) Za Poissonovo – glej odg višje (vprašanje 7) 21. Kako je definirana kovarianca slučajnih spremenljivk X in Y? Naštejte tudi lastnosti kovariance! 22. Kako določimo število frekvenčnih razredov (Sturgesovo pravilo) in širino frekvenčnih razredov pri diskretnih podatkih? Kaj pa naredimo pri zveznih spremenljivkah? Optimalno število razredov K za n enot vzorca najlažje določimo s pomočjo Sturgesovega pravila: 𝐾 = 1 + 3,3 𝑙𝑜𝑔 𝑛 𝑋 −𝑋 Nato lahko širino razreda določimo s formulo Δ𝑋 = 𝑚𝑎𝑥𝐾 𝑚𝑖𝑛 , kjer sta 𝑋𝑚𝑖𝑛 in 𝑋𝑚𝑎𝑥 najmanjši in največji podatek. Pri zveznih spremenljivkah pa vrednosti razporedimo v razrede oblike [𝑋𝑘−1 , 𝑋𝑘 ). Ti razredi imajo navadno enako širino, ki jo označimo z Δ𝑋 = 𝑋𝑘 − 𝑋𝑘−1 23. Katere parametre je potrebno upoštevati pri računanju intervala zaupanja za populacijsko povprečje µ in kateri test se v teh primerih uporabi? 𝜎 – standardni odklon n – število vzorcev v elementu Za teste glej gor (vprašanje 11) (na eštudiju - intervalno ocenjevanje parametrov.pdf) 24. Kaj je slučajni vektor? porazdelitvena funkcija & lastnosti 25. Kako je definiran zvezno porazdeljen slučajni vektor? 26. Potenčno porazdelite X! 27. Kaj je zvezna slučajna spremenljivka? Naštej njene lastnosti! 28. Matematično upanje in disperzija zveznih slučajnih spremenljivk. 29. Kdaj sta slučajni spremenljivki neodvisni?