Slučajni dogodki: verjetnost in definicije

Slučajni dogodki

• Naključni dogodek je dogodek, ki ni gotov ali nemogoč.
• Dogodek A je način dogodka B, če ob vsaki izvedbi A se izvede tudi B.
  • Oznaka: A ⊆ B
  • Velja:
    • A ⊆ A (refleksivnost)
    • Če A ⊆ B in B ⊆ C, potem A ⊆ C (tranzitivnost)
    • A = B natanko tedaj, ko A ⊆ B in B ⊆ A (antisimetričnost)
• Produkt dogodkov A in B (A ∩ B) se zgodi, ko se zgodita oba, A in B.
  • Velja:
    • A ∩ B = B ∩ A (komutativnost)
    • A ∩ A = A (idempotentnost)
    • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativnost)
    • A ∩ Ω = A in A ∩ N = N
    • Če A ⊆ B, potem A ∩ B = A

Nezdružljivi dogodki in nasprotni dogodki

• Dogodka A in B sta nezdružljiva, kadar se ne moreta zgoditi v istem poskusu.
  • Oznaka: A + B
  • Za nezdružljiva dogodka A in B velja A ∩ B = N. A in Ā sta nezdružljiva.
• Nasprotni dogodek Ā se zgodi, kadar se A ne zgodi.
  • Velja A ∩ Ā = N in A ∪ Ā = G
• De Morganova zakona:
  • (A ∪ B) = Ā ∩ B̄
  • (A ∩ B) = Ā ∪ B̄

Definicije verjetnosti

Klasična definicija

• Če imamo popoln sistem dogodkov {E₁, E₂, ..., Eₙ}, ki nastopajo simetrično, lahko dogodek A zapišemo kot A = Eᵢ₁ ∪ Eᵢ₂ ∪ ... Eᵢₖ.
• Verjetnost dogodka A je P(A) = k/n = (število ugodnih možnosti za A) / (število vseh možnosti).
  • P(A) ≥ 0 (nenegativnost)
  • P(A) ≤ 1 (normalizacija)
  • P(N) = 0 in P(G) = 1
  • Če sta A in B nezdružljiva, je P(A ∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B).

Geometrijska definicija

• Dogodke se izraža s površino, volumnom ali v višjih dimenzijah
• P(A) se definira kot (ugodna površina za A) / (vsa površina) ali (ugoden volumen za A) / (ves volumen).
  • P(A) ≥ 0
  • P(A) ≤ 1
  • P(N) = 0 in P(G) = 1
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  • A in B nezdružljiva: P(A ∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B)

Aksiomatska definicija

• Naj bo X poskus in P preslikava iz množice vseh dogodkov poskusa X v realna števila
• P je verjetnost, če za vsaka A, B ⊆ Ω velja:
  • P(A) ≥ 0
  • Če sta A in B nezdružljiva, potem je P(A + B) = P(A) + P(B)
  • P(Ω) = 1

Momenti slučajne spremenljivke

• Za zvezno slučajno spremenljivko se momenti definirajo podobno kot pri diskretni slučajni spremenljivki (DSS).
  • mₙ(a) = E((X - a)ⁿ) - moment reda n
  • Zₙ = E(Xⁿ) - začetni moment reda n
  • mₙ(E(X)) = E((X - E(X))ⁿ) - centralni moment reda n
• Rezultati iz DSS se za momente smiselno prenesejo tudi na zvezne slučajne spremenljivke.

Pascalova porazdelitev

• Opisuje število poskusov, potrebnih za dosego m-tega uspeha
• Izvaja se neskončno mnogo poskusov, v katerih se dogodek A zgodi z verjetnostjo p
• Vrednosti: {m, m+1, m+2,...}
• P(X = k) = (k-1Cm-1) * p^m * (1-p)^(k-m)
  • k je poskus, v katerem se A zgodi m-tič
  • (k-1Cm-1) je število načinov, na katere se lahko A zgodi (m-1)-krat v (k-1) poskusih
• Za geometrijsko porazdelitev (m = 1): P(X = k) = p * (1-p)^(k-1)
  • Velja ∑ P(X = k) = 1

Eksponentna porazdelitev

• Gostota verjetnosti:
  • f(x) = λe^(-λx) za x ≥ 0
  • f(x) = 0 za x < 0
• Porazdelitvena funkcija:
  • F(x) = 1 - e^(-λx) za x > 0
  • F(x) = 0 za x ≤ 0

Poissonova porazdelitev

• Izračun disperzije in standardnega odklona za Poissonovo porazdelitev X ~ P(λ)
  • P(k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
  • E(X) = λ
  • D(X) = λ
  • Standardni odklon = √λ

Normalna porazdelitev

• Normalna porazdelitev X ~ N(a, σ) je definirana z gostoto verjetnosti:
  • P(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^((-1/2) * ((x-a)/σ)²)
• Za a = 0 in σ = 1 govorimo o standardizirani normalni porazdelitvi Y ~ N(0, 1).
• Povezava med X in Y: Y = (X - a) / σ
• V tabelah so shranjene vrednosti za Φ(X), s temi vrednostmi dobimo vrednost za porazdelitveno funkcijo FY(X).

Diskretni slučajni vektor

• Diskretni slučajni vektor X = (X₁, X₂, ..., Xₙ) je vektor, katerega vse komponente so diskretne slučajne spremenljivke.
• P(X = xᵢ, Y = yⱼ) je verjetnost, da X zavzame vrednost xᵢ in Y zavzame vrednost yⱼ.

Testiranje hipotez

• Ničelna hipoteza (H₀) in alternativna hipoteza (H₁) sta nasprotujoči si trditvi
• Pri parametričnih testih se predpostavlja, da je ničelna hipoteza pravilna
• Izračuna se testna statistika podatkov, s katero se preveri, ali se sprejme ničelno ali alternativno hipotezo
• Napaka prve vrste: zavrnitev pravilne ničelne hipoteze
• Napaka druge vrste: sprejetje napačne ničelne hipoteze

Intervali zaupanja za populacijsko povprečje

• Za vzorec z n <= 30 elementov:
  • Če je populacijski standardni odklon σ znan, je testna statistika Z = (X̄ - μ) / (σ / √n) ~ N(0, 1).
  • Če σ ni znan, je testna statistika T = (X̄ - μ) / (S / √n) ~ t(n - 1).
• Za vzorce z n > 30 elementov:
  • Če je populacijski standardni odklon znan, je testna statistika Z = (X̄ - μ) / (σ / √n) ~ N(0, 1).
  • Če σ ni znan, je testna statistika Z = (X̄ - μ) / (S / √n) ~ N(0, 1).

Pogojna verjetnost

• Pogojna verjetnost P(A|B) je verjetnost dogodka A ob pogoju, da se je že zgodil dogodek B
• Izračun: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
• Dogodka A in B sta neodvisna, če je P(A|B) = P(A)

Bayesova formula

• Bayesova formula: P(Hᵢ|A) = (P(A|Hᵢ) * P(Hᵢ)) / ∑(P(A|Hⱼ) * P(Hⱼ))
• P(A) = ∑(P(A|Hᵢ) * P(Hᵢ)) - formula popolne verjetnosti

Slučajna spremenljivka

• Slučajna spremenljivka je preslikava iz verjetnostnega prostora v realna števila
• Njena vrednost je odvisna od naključja
• Porazdelitveni zakon je predpis, ki določa verjetnosti, s katerimi slučajna spremenljivka zavzema svoje vrednosti
• Porazdelitvena funkcija Fₓ(x) je definirana kot Fₓ(x) = P(X < x) za vsak x ∈ ℝ

Binomska porazdelitev

• Binomska porazdelitev b(n, p) opisuje število uspehov v n neodvisnih poskusih, kjer je verjetnost za uspeh enaka p
• P(X = k) = (n над k) * pᵏ * (1 - p)^(n-k)

Matematično upanje

• Matematično upanje ali pričakovana vrednost diskretne slučajne spremenljivke je število E(X) = ∑ xₖ * Pₖ, kjer je Pₖ = P(X = xₖ)
  • E(X+a) = E(X)+a
  • E(aX)=aE(X)
  • E(X+Y)= E(X)+ E(X)

Centralni limitni izrek

• Se pri velikih vzorcih porazdeljuje približno normalno glede na porazdelitev slučajne spremenljivke X

Popolni sistem dogodkov

• Popolni sistem dogodkov je množica dogodkov S = {E₁, E₂, ..., Eк}, pri čemer se v vsaki izvedbi poskusa zgodi natanko eden izmed dogodkov.
• Formula popolne verjetnosti: P(A) = ∑ P(A|Hᵢ) P(Hᵢ)

Disperzija in standardni odklon

• Disperzija slučajne spremenljivke: D(X) = E((X - E(X))²)
• Standardni odklon: σ(X) = √D(X)
• Lastnosti:
  • D(x+a)=D(X) in g(x+a) = g(X)
  • D(ax)= a²D(x) in g(ax) = |a|g(x)

Matematično upanje diskretne slučajne spremenljivke

• Matematično upanje diskretne slučajne spremenljivke: glej vprašanje 16

Kovarianca

• Definirana za slučajne spremenljivke X in Y, za katere obstaja matematično upanje E(X) in E(Y)
  • K(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))
  • K(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
  • K(X, X) = D(X)
  • K(X + Z, Y) = K(X, Y) + K(Z, Y)
  • K(X, Y + Z) = K(X, Y) + K(X, Z)
  • |K(X, Y)| <= √(D(X)D(Y))

Število frekvenčnih razredov

• Število frekvenčnih razredov K (za n enot vzorca) se določi s Sturgesovim pravilom: K = 1 + 3.3 * log(n)
• Širina razreda: ΔX = (Xmax - Xmin) / K
• Pri zveznih spremenljivkah se vrednosti razporedijo v razrede oblike [Xk-1, Xk), ki imajo enako širino: ΔX = Xk - Xk-1

Parametri za interval zaupanja

• Parameter za izračun intervala zaupanja za populacijsko povprečje μ in test:
  • Standardni odklon (σ)
  • Število vzorcev v elementu (n)

Slučajni vektor

• Slučajni vektor z vrednostmi v ℝⁿ je vektor spremenljivk
  • Porazdelitveno funkcijo definiramo po koordinatah
  • Ima več lastnosti

Zvezno porazdeljen slučajni vektor

• X je zvezno porazdeljen slučajni vektor dolžine O obstaja funkcija, ki ji pravimo gostota verjetnosti

Kratek pregled naključnih dogodkov, nezdružljivih dogodkov in nasprotnih dogodkov. Razložene so definicije, oznake in najpomembnejše lastnosti povezanih množic. Poudarek je na De Morganovih zakonih.