Verjetnostni račun PDF

## Matematika za poslovne in ekonomske vede ### Verjetnostni račun 17. december 2021 Teorija verjetnosti obravnava situacije, ki jim pravimo poskusi in pri katerih je izid odvisen od naključja. **Dogodki** so pojavi, ki v posamezni izvedbi poskusa lahko nastopijo ali pa tudi ne. **Zgled:** met k...

## Matematika za poslovne in ekonomske vede ### Verjetnostni račun 17. december 2021 Teorija verjetnosti obravnava situacije, ki jim pravimo poskusi in pri katerih je izid odvisen od naključja. **Dogodki** so pojavi, ki v posamezni izvedbi poskusa lahko nastopijo ali pa tudi ne. **Zgled:** met kocke * poskus: igralno kocko vržemo nad ravno površino, * dogodki: vržemo šestico, vržemo liho število pik, ... **Zgled:** tečaj dolar-euro * poskus: nakupni tečaj dolar-euro na Londonski borzi FOREX v ponedeljek ob 12:00, * dogodki: tečaj je večji kot 1,2200, tečaj nižji kot 1,2000, ... Gre torej za poenostavitev opisa dogajanja, za katero se odločimo, če: * je določitev poteka prezahtevna (met kocke), * ne poznamo vseh vplivov (gibanje tečajev na borzi). Za poljuben dogodek **A** iz nekega poskusa je mogoče troje: * **A** se zgodi pri vsaki izvedbi poskusa, **gotov dogodek**, * **A** se ne zgodi pri nobeni izvedbi poskusa, **nemogoč dogodek**, * **A** se včasih zgodi, včasih pa ne, **slučajen dogodek**. **Zgled:** pri metu kocke je * dogodek, da vržemo vsaj eno piko, gotov, * dogodek, da vržemo 7 pik, nemogoč, * dogodek, da vržemo eno piko, slučajen. Kadar v vsaki izvedbi poskusa velja, da če se zgodi **A**, se zgodi tudi **B**, pravimo, da je dogodek **A** način dogodka **B**, označimo **A C B** **Zgled:** pri metu kocke je * **A** (vržemo eno piko) C **B** (vržemo liho število pik). Med dogodkoma, ki se vselej zgodita hkrati, ne razlikujemo **A=B ⇔ (ACB in BCA)**. **Zgled:** V klobuku imamo oštevilčene obarvane listke. Listki s sodimi števili so rdeči, ostali so modri. Poskus je slepo izbiranje enega listka. * (potegnemo listek s sodim številom) = (potegnemo rdeč listek) Dogodek natanko določimo, če povemo, kdaj vse se zgodi in kdaj ne. Iz danih dogodkov lahko tvorimo nove. * **Ā** je negacija dogodka **A** (nasprotni dogodek dogodka **A**) * **Ā** se zgodi ⇔ **A** se ne zgodi. * **A + B** je vsota dogodkov **A** in **B** (AUB) * **A + B** se zgodi ⇔ (**A** se zgodi ali **B** se zgodi). * **A. B** je produkt dogodkov **A** in **B** * **A. B** se zgodi ⇔ (**A** se zgodi in **B** se zgodi). **Zgled:** V poskusu dva strelca ustrelita proti tarči. Označimo z **A** dogodek, da prvi zadene, in z **B** dogodek, da drugi zadene tarčo. * (tarča je zadeta) = **A** + **B** * (tarča je zadeta dvakrat) = **A**. **B** * (tarča ni zadeta dvakrat) = **A** + **B** Oznaka: gotov dogodek označimo z **G**, nemogoč dogodek označimo z **N**. Dogodka **A** in **B** sta **nezdružljiva**, če velja: * **A**. **B** = **N**. Če sta dogodka **B** in **C** nezdružljiva in je **A** = **B** + **C**, pravimo, da je dogodek **A** sestavljen iz dogodkov **B** in **C**. Dogodek, ki ni sestavljen iz dveh dogodkov, ki nista nemogoča, je **elementaren dogodek** oziroma **izid**. **Zgled:** pri metu kocke je * (vržemo sodo število pik) = * (vržemo 2) + (vržemo 4) + (vržemo 6) Dogodki na desni strani so **izidi**. Če se v vsaki izvedbi poskusa zgodi natančno eden od dogodkov iz množice: **S** = {**A1**, **A2**, ..., **An**} pravimo, da je **S** **popoln sistem dogodkov**. Drugače povedano, dogodki iz **S** morajo zadoščati: * če je **i** ≠ **j**, potem je **Ai**. **Aj** = **N**, * **A1** + **A2** + ... + **An** = **G**. **Zgled:** {**A**, **Ā**} je popoln sistem dogodkov za vsak dogodek **A**, množica vseh izidov v poljubnem poskusu je popoln sistem dogodkov. Denimo, da ima nek poskus samo končno mnogo različnih izidov. Vsak dogodek **B** lahko enolično (do vrstnega reda natančno) zapišemo kot vsoto izidov, **B** = **Ai1** + **Ai2** + ... + **Aik** Pravimo, da so izidi **Ai1**, **Ai2**, ..., **Aik** **ugodni** za dogodek **B**. Vseh (različnih) dogodkov v poskusu z n izidi je **2n**. **Zgled:** Pri metu kocke je * (vržemo vsaj 5) = (vržemo 5) + (vržemo 6) Vseh dogodkov je **26** = **64**, slučajnih pa **62**. Če izide poskusa grafično predstavimo s točkami, dobimo **vzorecni prostor poskusa**. Dogodki so tedaj predstavljeni z **množicami točk**, ki ustrezajo za dogodek ugodnim izidom. **Zgled:** Verjetnost je **številsko ovrednotenje** tega, kateri dogodki se nam zdijo verjetnejši oziroma se pri velikem številu ponovitev poskusa pogosteje zgodijo. Naj bo **A** množica vseh dogodkov pri nekem poskusu. Verjetnost je funkcija **P : A → R** z lastnostmi: * **P(A) ≥ 0**, * če sta dogodka **A** in **B** **nezdružljiva**, je * **P(A + B) = P(A) + P(B)**, * **P(G) = 1**. Te lastnosti se imenujejo **aksiomi Kolmogorova**. Velja: * **P(Ā) = 1 − P(A)**, * **P(A) ≤ 1** za vsak dogodek **A**, * **P(N) = 0**. Popoln sistem dogodkov **S** = {**A1**, **A2**, ..., **An**} je **simetričen**, če velja: * **P(A1) = P(A2) = ... = P(An)**. Če za poskus obstaja simetričen popoln sistem dogodkov {**A1**, **A2**, ..., **An**}, potem za dogodek **B** = **Ai1** + **Ai2** + ... + **Aim** velja: * **P(B)** = * št. ugodnih možnosti * št. vseh možnosti V vsakem poskusu tvori **množica vseh izidov popoln sistem dogodkov**, vsak dogodek je vsota nekaterih od izidov. **Klasična definicija verjetnosti:** V poskusu s **simetričnim popolnim sistemom izidov** je verjetnost dogodka enaka **razmerju** med številom zanj ugodnih izidov in številom vseh izidov sistema. **Zgled:** Kolikšna je verjetnost dogodka **A**, da s kocko vržemo sodo število pik? Kolikšna je verjetnost dogodka **B**, da vržemo več kot eno piko? Vsi izidi pri metu kocke so enako verjetni, zato je **P(A) = P(B)= 3/6 = 1/2** **Zgled:** Kolikšna je verjetnost, da bo jutri torek? **Zgled:** Kolikšna je verjetnost, da bo naslednji velik potres na torek? Za uporabo te formule je bistveno, da so dogodki popolnega sistema enako verjetni! **Zgled:** Vržemo dve kocki. Kolikšna je verjetnost dogodka **A**, da je vsota pik na obeh kockah enaka 7? * Možnih vsot je 11, vendar vsote niso enako verjetne. * Vseh možnih izidov je 6. 6 = 36 * Tistih pri katerih je vsota pik enaka 7 je 6: * (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) Zato je **P(A) = 6/36 = 1/6** **Drugi aksiom** **P(A + B) = P(A) + P(B)** govori o vsoti **nezdružljivih dogodkov**. V splošnem velja **P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A. B)** **Zgled:** V klobuku je 100 listkov, označenih s števili od 1 do 100. Na slepo potegnemo en listek. Kolikšna je verjetnost, da je število na njem deljivo s 3 ali 5? **P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A. B) = 33/100 + 20/100 - 6/100 = 47/100** Recimo, da pri metu kocke upoštevamo samo mete, pri katerih vržemo sodo število pik. Kolikšna je verjetnost, da (pri prvem metu, v katerem res vržemo sodo število pik) vržemo šestico? Pravimo, da nas zanima **pogojna verjetnost** dogodka, da vržemo šestico, pri pogoju, da vržemo sodo število pik. S **P(A|B)** označimo **pogojno verjetnost dogodka A pri pogoju B**, torej verjetnost dogodka **A**, če upoštevamo samo tiste izvedbe poskusa, v katerih se zgodi dogodek **B**, oziroma verjetnost dogodka **A**, če vemo, da se je dogodek **B** zgodil. **Zgled:** Označimo z **S** dogodek, da pade pri metu kocke sodo število pik, z **A** dogodek, da pade šestica in z **B** dogodek, da pade manj kot 5 pik. Kolikšna je pogojna verjetnost dogodka **A** pri pogoju **S** in pogojna verjetnost dogodka **B** pri pogoju **S**? Kako pogojno verjetnost izraziti z brezpogojno verjetnostjo? **P (A|B) = P (A. B) / P (B)** S pomočjo zgornje formule lahko izračunamo verjetnosti produkta dogodkov. **P(A. B) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A)**. **Zgled:** Med izdelki neke tovarne je 80% prvorazrednih. V neki trgovini imajo v svoji zalogi tega artikla 40% izdelkov iz te tovarne. Na slepo izberemo en izdelek v tej trgovini. Kolikšna je verjetnost, da je prvorazreden in narejen v omenjeni tovarni? **P(A. B) = P(A|B) · P(B) = 0,8 · 0,4 = 0,32** Če velja **P(A|B) = P(A)** pravimo, da sta dogodka **A** in **B** **neodvisna**. **Izrek** Dogodka **A** in **B** sta neodvisna natanko takrat, ko je **P(A. B) = P(A) · P(B)** **Zgled:** Iz kompleta 52 kart na slepo potegnemo eno karto. Ali sta dogodka, da potegnemo asa, in, da potegnemo križa, neodvisna? * **A**: potegnemo asa * **P(A) = 4/52 = 1/13** * **B**: potegnemo križa * **P(B) = 13/52 = 1/4 * **P(A. B) = P(A) · P(B) = 1/13 · 1/4 = 1/52** => dogodka sta neodvisna. P(Zn+zz) = (2)+P(z) ↓ P(ZnZz) = 0,8+0,6 (0,8.96) = 992 ↓ 0,48 Zgled: Dva strelca (hkrati) ustrelita proti tarči. Verjetnost, da zadene prvi je 0, 8, da zadene drugi pa 0,6. Kolikšna je verjetnost, da bo tarča zadeta? Če sta neodvisna dogodka **A** in **B**, sta neodvisna tudi **A** in **B**, dogodka **A** in **B**, ter dogodka **Ā** in **B**. Zgled: Študent se nauči snovi, potem pa neha študirati. Na izpitu dobi eno vprašanje. Kolikšna je verjetnost, da (prej ali slej) naredi izpit? B = **An** + **An**. **Az** + **Ān**. **Az**. **A3** + .... P(B) =+ + (1/2)^2 + (1/2)^3 + ... = 1 + (1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + ... = ^1/2^1-1/^1-1/2^ = ^1/2^ 1 + (1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + ... = 1 / (1-1/2) =1 **Dvofazni poskusi** so poskusi, pri katerih razplet prve faze vpliva na potek druge faze. Naj bodo **H1**, **H2**, ..., **Hn** vsi možni izidi poskusa v prvi fazi, **A** pa dogodek iz druge faze. Velja: **P(A) = P(A|H1).P(H1)+P(A|H2).P(H2)+...+ P(A|Hn).P(Hn)** **Zgled:** **Zgled:** Izdelek proizvajajo v dveh tovarnah. V prvi tovarni je 80% proizvodnje prvorazredne, v drugi pa 60%. V neki trgovini 60% zaloge tega izdelka izvira iz prve, 40% pa iz druge tovarne. Slučajno izbran izdelek je prvorazreden. Kolikšna je verjetnost, da je bil narejen v drugi tovarni? **P(A) = P(H₁) · P(A|H₁) + P(H₂) · P(A|H₂) = 0,6 · 0,8 + 0,4 · 0,6 = 0,72.** **P(H₂|A) = P(H₂) · P(A|H₂) / P(A) = 0,4 · 0,6 / 0,72 = 1/3** Bayesova formula: Če so v prvi fazi možni izidi **H1**, **H2**, ..., **Hn** in se v drugi fazi zgodi dogodek **A**, je pogojna verjetnost, da se je v prvi fazi zgodil **Hi** pri pogoju **A** (verjetnost hipoteze **Hi**) enaka **P(Hi|A) = (P(A|Hi) · P(Hi)) / (Σ^(n)_i=1P(A|Hj) · P(Hj))** **Zgled:** Na tržnici kupujemo solato, ki jo prodajata dve branjevki, Francka in Micka. Verjetnost, da kupimo solato pri Francki, je 40%, verjetnost, da jo kupimo pri Micki, pa 60%. Francka ima 10%, Micka pa 20% nagnite solate. V soboto smo kupili nagnito glavo solate. Kolikšna je verjetnost, da smo jo kupili pri Micki? **P(A) = 0,4 · 0,1 + 0,6 · 0,2 = 0,16** **P(H2|A) = (P(A|H₂) · P(H₂)) / P(A) = (0,2 · 0,6)/0,16 = 3/8 = 75%.** **Bernoullijevo zaporedje poskusov** je zaporedje neodvisnih poskusov, ki imajo vsi * sistem izidov {A, Ā} * verjetnost **P(A) = p** pa se ne spreminja. Največkrat vzamemo, da gre za neodvisne ponovitve istega poskusa. **Zgled:** Trikrat vržemo kovanec. Kolikšna je verjetnost, da pri tem dvakrat pade cifra? **P(CCC) = G+C.G.C + G.C.C) = 3.P(c) · (1-P(C))^2 = p=n3k=2** Označimo z **P(n, p, k)** verjetnost, da se v n ponovitvah poskusa dogodek z verjetnostjo **p** zgodi **k-krat**. Velja: **P(n, p, k) = (n k) · pk · (1-p)^(n-k)** n=5 k=3 **P(n,p,k) = (k)•pk.(1-7) = (53) · (1/6)^3 · (5/6)^2 = 5.4.3.5^2 / 3! · 6^5 = 250/7776 = 0,03215** **Zgled:** Petkrat vržemo kocko. Kolikšna je verjetnost, da pri tem trikrat pade šestica? **0,03215** **Zgled:** Stokrat vržemo kocko. Kolikšna je verjetnost, da pri tem dvajsetkrat pade šestica? **P(100, 1/6, 20) = (100 20) · (1/6)^20 · (5/6)^80 = 0,067862** Pogosto označimo **q = 1 - p**. **Zgled:** Študent Janez bo šel v prvem roku na štiri izpite. Za vsakega od izpitov je verjetnost, da uspešno opravi, enaka !. Posamezni izpiti so neodvisni. * Kolišna je verjetnost, da naredi natanko dva izpita? * Kolišna je verjetnost, da naredi vsaj dva izpita? Po izpitih Janez izve, da je naredil vsaj dva izpita. Kolikšna je tedaj verjetnost, da je naredil vsaj tri izpite?