จำนวนจริง PDF

จำนวนจริ ง 1 May 2019 สารบัญ จำนวนชนิดต่ำงๆ...................................................................................................................................................................... 1 สมบัติกำรเท่ำกัน................................................................

จำนวนจริ ง 1 May 2019 สารบัญ จำนวนชนิดต่ำงๆ...................................................................................................................................................................... 1 สมบัติกำรเท่ำกัน...................................................................................................................................................................... 5 สมบัติกำรบวกและคูณ............................................................................................................................................................ 7 พหุนำม..................................................................................................................................................................................... 9 กำรแยกตัวประกอบพหุนำม................................................................................................................................................. 13 สมกำรตัวแปรเดียว............................................................................................................................................................... 17 สมบัติกำรไม่เท่ำกัน............................................................................................................................................................... 25 ช่วง......................................................................................................................................................................................... 28 อสมกำรตัวแปรเดียว............................................................................................................................................................. 30 ค่ำสัมบูรณ์............................................................................................................................................................................. 38 สมกำร อสมกำร ค่ำสัมบูรณ์................................................................................................................................................. 41  จำนวนจริง 1 จำนวนชนิดต่ำงๆ จำนวนเต็ม (I) คือ จำนวนที่ลงตัวเป็ นเลขเต็มหน่วย ไม่มีสว่ นทีเ่ ป็ นเศษส่วนหรื อทศนิยม จำนวนเต็ม (I) เต็มบวก (I + ) เต็มศูนย์ (I 0 ) เต็มลบ (I − ) จำนวนเต็ม แบ่งเป็ น 3 กลุม่ ได้ แก่  จำนวนเต็มบวก (I + ) หรื อ จำนวนนับ หรื อ จำนวนธรรมชำติ (N) ได้ แก่ 1, 2, 3,...  จำนวนเต็มศูนย์ (I 0 ) ได้ แก่ 0  จำนวนเต็มลบ (I − ) ได้ แก่ −1, −2, −3,... หมำยเหตุ: จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สดุ คือ 1 แต่จะไม่มจี ำนวนเต็มบวกที่มำกที่สดุ จำนวนเต็มลบที่มำกที่สดุ คือ −1 แต่จะไม่มจี ำนวนเต็มลบที่น้อยทีส่ ดุ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ (Q) คือ จำนวนที่เขียนในรูป จำนวนเต็ม ได้ (เมื่อตัวส่วน ≠ 0) จำนวนตรรกยะ (Q) จำนวนเต็ม (I) เศษส่วน ทศนิยม รู้จบ เต็มบวก (I + ) เต็มศูนย์ (I 0 ) เต็มลบ (I − ) ทศนิยม ไม่ร้ ูจบ ซ ้ำ จำนวนตรรกยะ ประกอบด้ วย จำนวนเต็ม 5 −2  จำนวนเต็ม เพรำะเขียนเป็ น 1 ได้ เช่น 5 = 1 , −2 = 1 จำนวนเต็ม  เศษส่วน ที่อยูใ่ นรูป (หรื อทำให้ อยูใ่ นรูป) จำนวนเต็ม ได้ (เมื่อตัวส่วน ≠ 0)  ทศนิยม รู้จบ เพรำะเขียนเป็ น สิจบำนวนเต็ ม ร้ อย พัน 7 ได้ เช่น 0.7 = 10 153 , 1.53 = 100  ทศนิยม ไม่ร้ ูจบ ซ ้ำ เพรำะมีสตู รแปลงเป็ นเศษส่วนได้ เช่น 0. 3̇ = 39 , 0. 3̇26̇ = 326 999 , 12356−12 12344 0.123̇56̇ = 99900 = 99900 จำนวนอตรรกยะ (Q′) คือ จำนวนที่เขียนในรูป จจำนวนเต็ ม ำนวนเต็ม ไม่ได้ ซึง่ ประกอบด้ วย  ทศนิยม ไม่ร้ ู จบ ไม่ซ ้ำ เช่น 1.010010001… , 2.21452301520136455202…  พวกถอดรำกไม่ลงตัว เช่น √2 , √3 , √5 , √10 , …  ค่ำคงที่พิเศษบำงตัว เช่น 𝜋 , 𝑒 22 หมำยเหตุ: 𝜋 ไม่ได้ เท่ำกับ หรื อ 3.14 แต่ 𝜋 มีคำ่ ประมำณ 22 7 7 หรื อ 3.14 ค่ำ 𝜋 จริ งๆ มีคำ่ เท่ำกับ 3.141592653589793238462643383279502884197169399… หมำยเหตุ2: ควรจำค่ำประมำณของ √2 และ √3 ให้ ได้ (√2 ~ 1.414 , √3 ~ 1.732) 2 จำนวนจริง กำรบวกลบคูณหำร ของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ จะได้ ผลลัพธ์ดงั นี ้  จำนวนตรรกยะ บวกลบคูณหำรกัน ได้ ผลลัพธ์ เป็ นจำนวนตรรกยะเสมอ (เมื่อตัวหำร ≠ 0)  จำนวนอตรรกยะ บวกลบคูณหำรกัน มีสท ิ ธิเป็ น ตรรกยะ หรื อ อตรรกยะ ก็ได้ เช่น √2 × √3 = √6 → อต × อต = อต √2 × √8 = √16 = 4 → อต × อต = ต  ตรรกยะ บวกลบ อตรรกยะ ได้ อตรรกยะ เสมอ ตรรกยะ คูณหำร อตรรกยะ ได้ อตรรกยะ เสมอ ยกเว้ น กรณีที่จำนวนตรรกยะนันเป็ ้ นศูนย์ จำนวนจริ ง (R) คือ จำนวนที่มีอยูจ่ ริ งๆ (บนเส้ นจำนวน) ซึง่ ประกอบด้ วย จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ดังรูป จำนวนจริง (R) จำนวนตรรกยะ (Q) จำนวนอตรรกยะ (Q′ )  ทศนิยม ไม่ร้ ูจบ ไม่ซ ้ำ จำนวนเต็ม (I) เศษส่วน  พวกถอดรำกไม่ลงตัว ทศนิยม รู้จบ เต็มบวก (I + ) เต็มศูนย์ (I 0 ) เต็มลบ (I − )  ค่ำคงที่พิเศษ บำงตัว เช่น 𝜋 ทศนิยม ไม่ร้ ูจบ ซ ้ำ และเรำสำมำรถเติมเครื่ องหมำย + หรื อ − ไปบนหัว R หรื อ Q ได้  R+ หมำยถึง จำนวนจริ งที่เป็ นบวก  R− หมำยถึง จำนวนจริ งที่เป็ นลบ  Q+ หมำยถึง จำนวนตรรกยะที่เป็ นบวก  Q− หมำยถึง จำนวนตรรกยะที่เป็ นลบ หมำยเหตุ: จำนวนทุกจำนวนที่เรำรู้จกั ในชันนี ้ ้ จะเป็ นจำนวนจริงทังหมด ้ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริ ง ได้ แก่ รำกที่คขู่ องจำนวนลบ เช่น √−1 ซึง่ จะได้ เรี ยนในเรื่ องจำนวนเชิงซ้ อน แบบฝึ กหัด 1. ข้ อใดถูกต้ อง 1. −1 เป็ นจำนวนจริ ง 2. √2 เป็ นจำนวนตรรกยะ 𝜋 3. 5 เป็ นจำนวนตรรกยะ 4. 2 เป็ นจำนวนตรรกยะ 30 5. 6 เป็ นจำนวนนับ 6. 0 เป็ นจำนวนอตรรกยะ 22 7. √25 เป็ นจำนวนอตรรกยะ 8. 7 เป็ นจำนวนอตรรกยะ 9. 12.45254 เป็ นจำนวนตรรกยะ 10. 1.212121… เป็ นจำนวนอตรรกยะ 2 11. 5 เป็ นทังจ ้ ำนวนตรรกยะ และจำนวนจริ ง 12. 0 เป็ นทังจ ้ ำนวนเต็มบวก และจำนวนเต็มลบ  จำนวนจริง 3 13. 1 เป็ นทังจ ้ ำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และจำนวนจริ ง 14. 1 + √2 เป็ นจำนวนอตรรกยะ 15. √3 − √2 เป็ นจำนวนตรรกยะ 1+√2 16. √2 ∙ √18 เป็ นจำนวนอตรรกยะ 17. 3 เป็ นจำนวนอตรรกยะ 18. จำนวนนับบำงจำนวน เป็ นจำนวนอตรรกยะ 19. จำนวนอตรรกยะทุกจำนวน เป็ นจำนวนจริ ง จำนวนเต็ม 20. จำนวนตรรกยะบำงจำนวน เป็ นจำนวนเต็ม 21. ทศนิยมซ ้ำทุกตัว เขียนในรูป จำนวมเต็ม ได้ 2. จงหำค่ำของจำนวนต่อไปนี ้ (ถ้ ำมี) 1. จำนวนเต็มลบ ที่มำกที่สดุ 2. จำนวนเต็ม ที่น้อยที่สดุ 3. จำนวนเต็มบวก ที่น้อยที่สดุ ที่มำกกว่ำ 3 4. จำนวนเต็มลบ ที่น้อยที่สดุ ที่มำกกว่ำ −1 5. จำนวนเต็มลบ ที่มำกที่สดุ ที่น้อยกว่ำ 8 6. จำนวนเต็มบวก ที่มำกที่สดุ ที่มำกกว่ำ 5 7. จำนวนตรรกยะ ที่มำกที่สดุ ที่น้อยกว่ำ 2 8. จำนวนอตรรกยะ ที่มำกที่สดุ ที่น้อยกว่ำ 2 5 3. ให้ 𝐴 = √2 − 1.4 , 𝐵 = 𝜋 − 3.1 และ 𝐶 = − 1.63̇ 3 จงเรี ยงลำดับ 𝐴, 𝐵, 𝐶 จำกน้ อยไปมำก [O-NET 56/3] 4. ข้ อใดต่อไปนี ้มีจำนวนตรรกยะอยูเ่ พียงสองจำนวน [O-NET 56/2] 1. −√4 , 𝜋 − 22 7 , 1.010010001 2. 3√2 , √8 , 𝜋 2 3. 𝜋 + 1 , √16 , 0.101001000100001… 4. 119 , 1.11111… , 3 √8 5. 0.8̇ , √8 − √2 , 3√3 4 จำนวนจริง 5. ข้ อใดถูกต้ องบ้ ำง [O-NET 53/3] 1. จำนวนทีเ่ ป็ นทศนิยมไม่ร้ ูจบบำงจำนวนเป็ นจำนวนอตรรกยะ 2. จำนวนทีเ่ ป็ นทศนิยมไม่ร้ ูจบบำงจำนวนเป็ นจำนวนตรรกยะ 6. ให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนตรรกยะที่แตกต่ำงกัน ให้ 𝑐 และ 𝑑 เป็ นจำนวนอตรรกยะที่แตกต่ำงกัน ข้ อสรุปใดต่อไปนี ้ถูกต้ องบ้ ำง [O-NET 52/5] 1. 𝑎 − 𝑏 เป็ นจำนวนตรรกยะ 2. 𝑐 − 𝑑 เป็ นจำนวนอตรรกยะ −2 7. ค่ำของ (√3 − 1) เป็ นจริ งตำมข้ อใดต่อไปนี ้บ้ ำง [O-NET 54/4] 1. เป็ นจำนวนอตรรกยะ 2. เป็ นจำนวนที่น้อยกว่ำ 1.8 8. ข้ อสรุปใดต่อไปนี ้ถูกต้ องบ้ ำง [O-NET 52/1] 1. มีจำนวนตรรกยะที่น้อยที่สดุ ที่มำกกว่ำ 0 2. มีจำนวนอตรรกยะที่น้อยที่สดุ ที่มำกกว่ำ 0  จำนวนจริง 5 สมบัติกำรเท่ำกัน จำนวนจริ ง มีสมบัติเกี่ยวกับกำรเท่ำกันอยู่ 5 ข้ อ ดังนี ้  สมบัติกำรสะท้ อน 𝑎 = 𝑎 เสมอ  สมบัติกำรสมมำตร ถ้ ำ 𝑎 = 𝑏 แล้ ว 𝑏 = 𝑎  สมบัติกำรถ่ำยทอด ถ้ ำ 𝑎 = 𝑏 และ 𝑏 = 𝑐 แล้ ว 𝑎 = 𝑐  สมบัติกำรบวกด้ วยตัวเท่ำ ถ้ ำ 𝑎 = 𝑏 แล้ ว 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐  สมบัติกำรคูณด้ วยตัวเท่ำ ถ้ ำ 𝑎 = 𝑏 แล้ ว 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 ที่ผำ่ นมำ เรำได้ ใช้ สมบัติเหล่ำนี ้โดยไม่ร้ ูตวั เช่น ในกำรแก้ สมกำร 2𝑥 − 3 = 7 บวกด้ วยตัวเท่ำ 2𝑥 − 3 + 3 = 7+3 2𝑥 = 10 1 1 คูณด้ วยตัวเท่ำ 2𝑥 ∙ 2 = 10 ∙ 2 𝑥 = 5 แบบฝึ กหัด 1. จงบอกชื่อสมบัติที่ทำให้ กำรเท่ำกันในแต่ละข้ อต่อไปนี ้เป็ นจริ ง 1. 3 = 3 2. ถ้ ำ 𝑥−1 = 5 แล้ ว 𝑥−1+1 = 5+1 3. ถ้ ำ 𝑧 = −1 แล้ ว −1 = 𝑧 4. ถ้ ำ 𝑥 = 𝑦 + 1 และ 𝑦+1=𝑧+2 แล้ ว 𝑥 = 𝑧 + 2 5. ถ้ ำ 𝑥 = 6 แล้ ว 3𝑥 = 18 6. ถ้ ำ 𝑥 + 1 = 2𝑎 + 𝑏 และ 2𝑎 + 𝑏 = 5 แล้ ว 𝑥 + 1 = 5 𝑥 7. ถ้ ำ 𝑥 + 2 = 6 8. ถ้ ำ 2 = 3 แล้ ว 𝑥 = 6 แล้ ว 𝑥 + 2 + (−2) = 6 + (−2) 9. ถ้ ำ 𝑥+3 = 4 แล้ ว 𝑥 = 1 10. 7 × (9 − 1) = 7 × (9 − 1) 6 จำนวนจริง 11. ถ้ ำ 3(𝑥 + 1) = 6 แล้ ว 𝑥+1 = 2 12. ถ้ ำ 𝑥+𝑦 = 𝑥 แล้ ว 𝑥 = 𝑥+𝑦 2. จงเติมสมบัติทใี่ ช้ ในกำรแก้ สมกำรต่อไปนี ้ 5 − 3𝑥 = 23 1......................... 5 = 23 + 3𝑥 2......................... −18 = 3𝑥 3......................... −6 = 𝑥 4......................... 𝑥 = −6  จำนวนจริง 7 สมบัติกำรบวกและคูณ จำนวนจริ ง มีสมบัติเกี่ยวกับกำรบวกและกำรคูณอยู่ 11 ข้ อ ดังนี ้ กำรบวก กำรคูณ สมบัติปิด จำนวนจริงบวกกัน ยังคงได้ ผลลัพธ์ จำนวนจริงคูณกัน ยังคงได้ ผลลัพธ์ เป็ นจำนวนจริง เป็ นจำนวนจริง สมบัติสลับที่ 𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 𝑎×𝑏=𝑏×𝑎 สมบัติเปลี่ยนกลุม่ (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) สมบัติกำรมีเอกลักษณ์ มีเอกลักษณ์กำรบวก คือ 0 มีเอกลักษณ์กำรคูณ คือ 1 สมบัติกำรมีอินเวอร์ ส จำนวนจริงทุกตัว มีอินเวอร์ สกำรบวก จำนวนจริงทุกตัว (ยกเว้ น 0) มีอินเวอร์ ส ที่เป็ นจำนวนจริง กำรคูณที่เป็ นจำนวนจริง สมบัติกำรแจกแจง 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐) จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริ ง อำจมีหรื อไม่มีสมบัติปิด ก็ได้ เช่น จำนวนเต็ม มีสมบัติปิดกำรบวก เพรำะ ถ้ ำเรำเอำจำนวนเต็มมำบวกกัน จะยังคงได้ ผลลัพธ์เป็ นจำนวนเต็มอยู่ จำนวนคู่ มีสมบัติปิดกำรคูณ เพรำะ ถ้ ำเรำเอำจำนวนคูม่ ำคูณกัน จะยังคงได้ ผลลัพธ์เป็ นจำนวนคูอ่ ยู่ จำนวนอตรรกยะ ไม่มีสมบัติปิดกำรคูณ เพรำะ มีจำนวนอตรรกยะบำงคูค่ ณ ู กันแล้ วไม่ใช่อตรรกยะ เช่น √3 × √3 = √9 = 3 “เอกลักษณ์” หมำยถึง ตัวเลขที่ไม่มีคำ่ ไม่วำ่ เอำไปทำกับอะไรก็ได้ คำ่ เท่ำเดิม  เอกลักษณ์กำรบวก คือ 0 เพรำะ 0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 = 𝑎  เอกลักษณ์กำรคูณ คือ 1 เพรำะ 1 × 𝑎 = 𝑎 × 1 = 𝑎 “อินเวอร์ ส” หมำยถึง ตัวตรงข้ ำม ที่จะหักล้ ำงค่ำให้ หำยไป กลำยเป็ นเอกลักษณ์ เช่น อินเวอร์ สกำรบวก ของ 2 คือ −2 เพรำะ 2 + (−2) = (−2) + 2 = 0 อินเวอร์ สกำรบวก ของ −7 คือ 7 เพรำะ (−7) + 7 = 7 + (−7) = 0 √3 √3 อินเวอร์ สกำรบวก ของ 2 คือ − 2 เพรำะ √23 + (− √23) = (− √23) + √23 = 0 อินเวอร์ สกำรบวก ของ 0 คือ 0 เพรำะ 0 + 0 = 0 + 0 = 0 1 อินเวอร์ สกำรคูณ ของ 2 คือ 2 เพรำะ 2 × 12 = 12 × 2 = 1 √3 2 อินเวอร์ สกำรคูณ ของ 2 คือ √3 เพรำะ √23 × √23 = √23 × √23 = 1 2 3 อินเวอร์ สกำรคูณ ของ − 3 คือ − 2 เพรำะ (− 23) × (− 32) = (− 32) × (− 23) = 1 อินเวอร์ สกำรคูณ ของ 0 จะหำไม่ได้ เพรำะ ไม่มีอะไรเลย ที่คณ ู กับ 0 แล้ วได้ 1 8 จำนวนจริง แบบฝึ กหัด 1. จำนวนต่อไปนี ้ มีสมบัติปิด กำรบวก และ / หรื อ กำรคูณ หรื อไม่ 1. จำนวนคู่ 2. จำนวนคี่ 3. จำนวนนับ 4. จำนวนเต็ม 5. จำนวนเต็มลบ 6. จำนวนที่หำรด้ วย 3 ลงตัว 7. จำนวนตรรกยะ 8. จำนวนอตรรกยะ 2. ข้ อใดต่อไปนี ้ ถูกต้ อง 1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 เป็ นจริ งตำมสมบัตกิ ำรสลับที่กำรบวก 2. 𝑥∙2 = 2∙𝑥 เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรสลับที่กำรคูณ 3. 2 + (3 + 4) = (3 + 4) + 2 เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรเปลีย่ นกลุม่ กำรบวก 4. จำนวนจริ งบำงจำนวน ไม่มีอินเวอร์ สกำรคูณ 5. ถ้ ำ 𝑎 เป็ นอินเวอร์ สกำรบวกของ 𝑏 แล้ ว จะได้ วำ่ 𝑏 เป็ นอินเวอร์ สกำรบวกของ 𝑎 ด้ วย 6. 𝑥 + (𝑦 ∙ 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧) เป็ นจริงตำมสมบัติกำรแจกแจง 3. จงเติมคำตอบทีถ่ กู ต้ อง 1. อินเวอร์ สกำรบวกของ 8 คือ 2. อินเวอร์ สกำรคูณของ 2 คือ 3. อินเวอร์ สกำรบวกของ 12 คือ 4. อินเวอร์ สกำรคูณของ −2 คือ 5. อินเวอร์ สกำรบวกของ 0 คือ 6. อินเวอร์ สกำรบวกของ −1 คือ 7. อินเวอร์ สกำรคูณของ 1 คือ 8. อินเวอร์ สกำรคูณของ √2 คือ 9. อินเวอร์ สกำรบวกของ √12 คือ 10. 𝑥 อินเวอร์ สกำรคูณของ 𝑥+1 คือ 4. ข้ อสรุปใดต่อไปนี ้ถูกต้ องบ้ ำง [O-NET 52/4] 1. สมบัติกำรมีอินเวอร์ สกำรบวกของจำนวนจริงกล่ำวว่ำ สำหรับจำนวนจริ ง 𝑎 จะมีจำนวนจริ ง 𝑏 ที่ 𝑏 + 𝑎 = 0 = 𝑎 + 𝑏 2. สมบัติกำรมีอินเวอร์ สกำรคูณของจำนวนจริงกล่ำวว่ำ สำหรับจำนวนจริ ง 𝑎 จะมีจำนวนจริ ง 𝑏 ที่ 𝑏𝑎 = 1 = 𝑎𝑏  จำนวนจริง 9 พหุนำม หัวข้ อนี ้ จะทบทวนคำศัพท์ทคี่ วรทรำบในเรื่ องพหุนำม  เอกนำม คือ กำรคูณกันของ ตัวเลข กับ ตัวแปรยกกำลัง เต็มบวก หรื อ ศูนย์ เช่น 2𝑥 5 , −3𝑎4 𝑏2 , √5𝑥 3 𝑦2 𝑧 , 𝑥 2 , 6 , −𝑥 , 2−1 𝑥𝑦 , 0  “สัมประสิทธิ์” คือ ส่วนที่เป็ นตัวเลข , “ดีกรี ของเอกนำม” คือ ผลบวกของเลขชี ้กำลังของตัวแปร เอกนำม 2𝑥 5 −3𝑎4 𝑏 2 √5𝑥 3 𝑦 2 𝑧 𝑥2 6 −𝑥 2−1 𝑥𝑦 0 สัมประสิทธิ์ 2 −3 √5 1 6 −1 2 −1 0 ดีกรี 5 6 6 2 0 1 2 หำไม่ได้  บวกลบเอกนำม บวกได้ เฉพำะเอกนำมที่มชี ดุ ตัวแปรเหมือนกัน โดยให้ เอำสัมประสิทธิ์มำบวกกัน เช่น 2𝑥 5 + 3𝑥 5 = 5𝑥 5 3𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑏 = 4𝑎2 𝑏 2𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 = 2𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 (บวกลบกันไม่ได้ เพรำะชุดตัวแปรไม่เหมือนกัน) 3 3 3−2 1 2 𝑥𝑦𝑧 2 − 𝑧 2 𝑥𝑦 = (2 − 1) 𝑥𝑦𝑧 2 = ( 2 ) 𝑥𝑦𝑧 2 = 2 𝑥𝑦𝑧 2  คูณหำรเอกนำม ให้ เอำสัมประสิทธิ์ คูณหำร สัมประสิทธิ์ และเอำตัวแปร คูณหำร ตัวแปร ได้ เลย เช่น 2𝑎2 𝑏 × 3𝑎𝑏𝑐 = 6𝑎3 𝑏2𝑐 3𝑥𝑦 2 𝑧 × 𝑎2 𝑏𝑐 = 3𝑎2 𝑏𝑐𝑥𝑦 2 𝑧 1 2 4 2 6𝑥 3 𝑦𝑧 3𝑥 2 𝑦 2 𝑥 × 3 𝑥2 = 3 𝑥4 2𝑥𝑧 3 = 𝑧2  พหุนำม คือ กำรบวกกันของเอกนำม ตังแต่ ้ 1 ตัวขึ ้นไป เช่น 2𝑥 5 + 4𝑥 + 5 , 3𝑎2 𝑏 + 𝑏2 − 2 , 6 − 3𝑥 2 , 2−3  เรำจะเรี ยกเอกนำมแต่ละตัวทีม่ ำบวกกันเป็ นพหุนำม ว่ำ “พจน์” เช่น 2𝑥 5 + 4𝑥 + 5 มี 3 พจน์ โดยพจน์แรกคือ 2𝑥 5 , พจน์ที่สองคือ 4𝑥 , พจน์ที่สำมคือ 5  ดีกรี ของพหุนำม คือ ดีกรี ของเอกนำมที่ดกี รี สงู สุดแค่พจน์เดียว พหุนำม 2𝑥 5 + 4𝑥 + 5 3𝑎2 𝑏 + 𝑏 2 − 2 6 − 3𝑥 2 2−3 ดีกรี 5 3 2 0  เรำนิยมแทน พหุนำม ด้ วยสัญลักษณ์ 𝑃(𝑥) , 𝑄(𝑥) , 𝑅(𝑥) และสัญลักษณ์ 𝑃(𝑐) จะหมำยถึง ค่ำของ 𝑃(𝑥) เมื่อแทน 𝑥 ด้ วย 𝑐 เช่น ถ้ ำให้ 𝑃(𝑥) = 2𝑥 5 + 4𝑥 + 5 จะได้ 𝑃(1) = 2(1)5 + 4(1) + 5 = 11 5 𝑃(−2) = 2(−2) + 4(−2) + 5 = −67 ถ้ ำให้ 𝑄(𝑥) = 6 − 3𝑥 2 จะได้ 𝑄(0) = 6 − 3(0)2 = 6 𝑄(1) = 6 − 3(1)2 = 3 10 จำนวนจริง  บวกลบพหุนำม ให้ บวกลบเฉพำะเอกนำมที่บวกลบกันได้ ถ้ ำบวกลบกันไม่ได้ ก็ให้ ปล่อยไว้ เหมือนเดิม เช่น (2𝑥 5 + 4𝑥 + 5) + (𝑥 5 − 𝑥 2 − 2𝑥) = 3𝑥 5 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 (𝑥 2 − 2𝑥 − 1) − (2𝑥 2 − 𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 2 = −𝑥 2 − 𝑥 + 1  คูณพหุนำม ให้ ใช้ หลักกำรกระจำย เช่น (2𝑥 2 + 4𝑥 + 5)(𝑥 2 − 2) = 2𝑥 4 − 4𝑥 2 + 4𝑥 3 − 8𝑥 + 5𝑥 2 − 10 = 2𝑥 4 + 4𝑥 3 + 𝑥 2 − 8𝑥 − 10 สังเกตว่ำ ดีกรี ของผลลัพธ์ จะเท่ำกับ ผลรวมดีกรี ของพหุนำมทีม่ ำคูณกัน เสมอ  หำรพหุนำม ให้ ตงหำรยำว ั้ 𝑥−4 เช่น (𝑥 2 − 2𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 2) 𝑥+2 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 โดยจะได้ ตัวตัง้ = (ตัวหำร × ผลหำร) + เศษ 𝑥 2 + 2𝑥 −4𝑥 + 5 นัน่ คือ 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) + 13 −4𝑥 − 8 13 สังเกตว่ำ ดีกรี ของผลลัพธ์ จะเท่ำกับ ดีกรี ตวั ตัง้ − ดีกรี ตวั หำร เสมอ  กำรเทียบสัมประสิทธิ์ ทำได้ เมื่อ พหุนำมมีคำ่ เท่ำกัน ไม่วำ่ จะแทน 𝑥 ด้ วยอะไร เช่น ถ้ ำ 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5 สำหรับ ทุกๆ 𝑥 เรำจะได้ ทนั ทีวำ่ 𝑎 = 2 , 𝑏 = −3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 5 แบบฝึ กหัด 1. กำหนดให้ 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 1 , 𝑄(𝑥) = 3𝑥 + 2 , 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) จงหำค่ำของ 𝑅(2) 2. ถ้ ำ 𝑃(𝑥) หำรด้ วย 2𝑥 − 1 ลงตัว ได้ ผลลัพธ์ 𝑥+2 แล้ ว จงหำ 𝑃(𝑥) 3. ถ้ ำ 𝑃(𝑥) หำรด้ วย 𝑥2 − 1 ได้ ผลลัพธ์ 2𝑥 + 3 เศษ 𝑥−1 แล้ ว จงหำ 𝑃(𝑥)  จำนวนจริง 11 4. ถ้ ำ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) แล้ ว จงหำค่ำของ 𝑎+𝑏+𝑐 5. ถ้ ำ (𝑎𝑥 + 2)(𝑥 − 𝑏) = 3𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 10 แล้ ว จงหำค่ำของ 𝑎+𝑏+𝑐 6. ถ้ ำ (𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 4𝑥 2 − 12𝑥 + 𝑐 และ 𝑎>0 แล้ ว จงหำค่ำของ 𝑎+𝑏+𝑐 2 7. ถ้ ำ (𝑃(𝑥)) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑐 แล้ ว จงหำค่ำ 𝑐 12 จำนวนจริง 8. กำหนดให้ 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 3 ถ้ ำ 𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 1)𝑄(𝑥) แล้ ว จงหำค่ำ 𝑃(1) 9. ถ้ ำ 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 และ 𝑑 เป็ นจำนวนจริงซึง่ (𝑥 − 1)2 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑐𝑥 3 + 𝑑𝑥 + 4 ทุกจำนวนจริง 𝑥 แล้ ว 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 เท่ำกับเท่ำใด [O-NET 54/25]  จำนวนจริง 13 กำรแยกตัวประกอบพหุนำม “กำรแยกตัวประกอบ” คือ กำร “เขียนให้ อยูใ่ นรูปผลคูณ” ของพหุนำมย่อยๆ เช่น 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) เป็ นต้ น เทคนิคกำรแยกตัวประกอบ จะมีหลำยวิธี ดังนี ้ 1. ดึงตัวร่วม ดูวำ่ แต่ละพจน์ มีอะไรบ้ ำงที่มเี หมือนๆกัน แล้ วดึงสิง่ ที่มใี นทุกๆพจน์ออกมำ เช่น 3𝑎2 𝑏𝑐 − 12𝑎2 𝑏2 + 6𝑎𝑏2 𝑐 = (3𝑎𝑏)(𝑎𝑐 − 4𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐) 2𝑥 4 − 4𝑥 3 + 3𝑥 2 = (𝑥 2 )(2𝑥 2 − 4𝑥 + 3) 2. จัดหมูด่ งึ ตัวร่วม คือกำรจัดกลุม่ เป็ นกลุม่ ย่อยๆ ทีล่ กั ษณะคล้ ำยกัน ดึงตัวร่วมแต่ละกลุม่ ย่อย ให้ เกิดตัวร่วมในทุกกลุม่ ย่อย เช่น 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6 = (𝑥 3 − 2𝑥 2 ) + (3𝑥 − 6) = 𝑥 2 (𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = (𝑥 2 + 3)(𝑥 − 2) 𝑥 3 − 𝑥 2 − √3𝑥 + √3 = (𝑥 3 − 𝑥 2 ) − (√3𝑥 − √3) = 𝑥 2 (𝑥 − 1) − √3(𝑥 − 1) = (𝑥 2 − √3)(𝑥 − 1) 3. ใช้ สตู ร น2 + 2นล + ล2 = (น + ล)2 น − ล = (น − ล)(น + ล) 2 2 น2 − 2นล + ล2 = (น − ล)2 น3 − ล3 = (น − ล)(น2 + นล + ล2 ) น3 + 3น2 ล + 3นล2 + ล3 = (น + ล)3 น3 + ล3 = (น + ล)(น2 − นล + ล2 ) น3 − 3น2 ล + 3นล2 − ล3 = (น − ล)3 เช่น 𝑥2 − 1 = (𝑥)2 − (1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 2 4𝑥 2 − 3 = (2𝑥)2 − (√3) = (2𝑥 − √3)(2𝑥 + √3) 8𝑥 3 − 27 = (2𝑥)3 − (3)3 = (2𝑥 − 3)(4𝑥 2 + 6𝑥 + 9) 64𝑥 6 − 1 = (8𝑥 3 )2 − (1)2 = (8𝑥 3 − 1)(8𝑥 3 + 1) = ((2𝑥)3 − 13 )((2𝑥)3 + 13 ) = (2𝑥 − 1)(4𝑥 2 + 2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1)(4𝑥 2 − 2𝑥 + 1) 4. กรณีพหุนำมอยูใ่ นรูป 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 หำตัวเลข 2 ตัว ที่ คูณกันได้ 𝑐 + × บวกกันได้ 𝑏 (𝑥 + ? )(𝑥 + ? ) เช่น 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝑥 2 + 7𝑥 + 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 6) 14 จำนวนจริง 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 4) 𝑎2 − 2𝑎 − 8 = (𝑎 − 4)(𝑎 + 2) 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 𝑥 4 − 6𝑥 2 + 8 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 − 2) 5. กรณีพหุนำมอยูใ่ นรูป 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 แตก 𝑎 เป็ น น1 × น2 แตก 𝑐 เป็ น ล1 × ล2 (น1 𝑥 + ล1 )(น2 𝑥 + ล2 ) เช็คว่ำ (ใกล้ × ใกล้ ) + (ไกล × ไกล) ได้ 𝑏 ไหม ถ้ ำไม่ได้ ให้ กลับไปแตก น1 , น2 , ล1 , ล2 ใหม่ จนกว่ำจะได้ 𝑏 เช่น 2𝑥 2 + 7𝑥 + 6 = (2𝑥 + 3)(𝑥 + 2) 6𝑥 2 − 17𝑥 − 3 = (6𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 4𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 3) 4𝑥 2 − 11𝑥 + 6 = (4𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 6 − 𝑛 − 2𝑛2 = (3 − 2𝑛)(2 + 𝑛) 2𝑥 4 − 5𝑥 2 + 2 = (2𝑥 2 − 1)(𝑥 2 − 2) 6. ทำเป็ นกำลังสองสมบูรณ์ 6.1. เติมตัวหลัง ÷2 𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 𝑥 2 − 2(3)(𝑥) + 32 − 32 − 7 น2 ± 2นล + ล2 = (น ± ล)2 = (𝑥 − 3)2 − 32 − 7 = (𝑥 − 3)2 − 16 = (𝑥 − 3)2 − 42 น2 − ล2 = (น − ล)(น + ล) = (𝑥 − 3 − 4)(𝑥 − 3 + 4) = (𝑥 − 7)(𝑥 + 1) 3 3 2 3 2 เช่น 𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 𝑥 2 + 2(1)𝑥 + 12 − 12 − 5 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 2 ( ) 𝑥 + ( ) − ( ) + 1 2 2 2 = (𝑥 + 1)2 − 12 − 5 3 2 3 2 = (𝑥 + 1)2 − 6 = (𝑥 + ) − ( ) + 1 2 2 = (𝑥 + 1 − √6)(𝑥 + 1 + √6) 3 2 5 = (𝑥 + ) − 2 4 3 √5 3 √5 = (𝑥 + − ) (𝑥 + + ) 2 2 2 2 7 1 2𝑥 2 − 7𝑥 − 1 = 2 (𝑥 2 − 𝑥 − ) 2 2 2 7 7 2 7 2 1 𝑥 2 − 4𝑥 + 7 = 𝑥 2 − 2(2)𝑥 + 22 − 22 + 7 = 2 (𝑥 − 2 ( ) 𝑥 + ( ) − ( ) − ) 4 4 4 2 = (𝑥 − 2)2 − 22 + 7 7 2 57 = 2 ((𝑥 − ) − ) = (𝑥 − 2)2 + 3 4 16 7 √57 7 √57 = แยกไม่ได้ (เข้ ำสูตร น2 − ล2 ไม่ได้ ) = 2 (𝑥 − − ) (𝑥 − + ) 4 4 4 4 6.1. เติมตัวกลำง เติม 𝑥 4 + 𝑥 2 + 1 = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 12 − 2𝑥 2 + 𝑥 2 = (𝑥 2 + 1)2 − 𝑥2 = (𝑥 − 𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) 2  จำนวนจริง 15 แบบฝึ กหัด 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนำมต่อไปนี ้ 1. 𝑥 2 + 𝑥 − 12 2. 𝑥 2 − 6𝑥 − 16 3. 3𝑥 2 + 𝑥 − 24 4. 4𝑥 2 − 19𝑥 + 12 5. 6𝑥 2 − 3𝑥 − 18 6. 𝑥 4 − 5𝑥 3 + 6𝑥 2 7. 3𝑚3 𝑛2 − 24𝑛2 8. 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 8𝑥 − 4 9. 𝑚4 − 20𝑚2 + 64 10. 𝑎6 + 7𝑎3 − 8 16 จำนวนจริง 11. 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 6𝑥 + 8 12. 𝑥 2 + 5√2𝑥 + 12 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนำมต่อไปนี ้ ด้ วยวิธีทำเป็ นกำลังสองสมบูรณ์ 1. 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 2. 𝑥 2 − 4𝑥 + 1  จำนวนจริง 17 สมกำรตัวแปรเดียว กำรแก้ สมกำร คือ กำรหำค่ำที่เมือ่ แทนในตัวแปรแล้ วทำให้ สมกำรเป็ นจริ ง เรำจะเรี ยกค่ำที่แทนในตัวแปรแล้ วทำให้ สมกำรเป็ นจริ ง ว่ำ “คำตอบของสมกำร” หรื อ “รำกของสมกำร” เนื่องจำกคำตอบที่ทำให้ สมกำรเป็ นจริ ง อำจมีได้ หลำยตัว บำงทีเรำจะใช้ คำว่ำ “เซตคำตอบ” ของสมกำร “เซตคำตอบ” ของสมกำร ก็คือ เซตของค่ำที่แทนในตัวแปรแล้ วทำให้ สมกำรเป็ นจริ งนัน่ เอง เช่น เซตคำตอบของสมกำร 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 คือ {1, 2} เพรำะเมื่อแทน 1 กับ 2 ลงไปใน 𝑥 จะทำให้ สมกำรเป็ นจริง กำรแก้ สมกำรดีกรี 1 ให้ จดั แบ่งข้ ำง ให้ ตวั แปรอยูฝ่ ั่งหนึง่ ตัวเลขอยูอ่ ีกฝั่งหนึง่ ย้ ำยข้ ำงให้ ฝั่งตัวแปรเหลือ 𝑥 เพียงตัวเดียว เช่น 4𝑥 + 5 = 2𝑥 − 13 4𝑥 − 2𝑥 = −13 − 5 2𝑥 = −18 −18 𝑥 = 2 = −9 กำรแก้ สมกำรดีกรี 2 ให้ จดั ฝั่งหนึง่ ให้ เป็ นศูนย์ ให้ สมกำรอยูใ่ นรูป 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จำกนัน้ แยกตัวประกอบ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 แล้ วจับให้ แต่ละวงเล็บเท่ำกับ 0 เพื่อหำคำตอบ ในกรณีที่แยกตัวประกอบไม่ได้ ให้ ใช้ สตู ร −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 เช่น 5 + 2𝑥 2 = 9 − 4𝑥 − 𝑥 2 5 + 2𝑥 2 = 9 − 4𝑥 − 𝑥 2 2 2 3𝑥 + 4𝑥 − 4 = 0 3𝑥 + 4𝑥 − 4 = 0 (3𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 หรือ 𝑎=3 𝑏 = 4 𝑐 = −4 3𝑥 − 2 = 0 𝑥+2 =0 −4±√42 −4(3)(−4) 𝑥 = 2 𝑥 = −2 𝑥 = 2(3) 3 2 −4±√64 −4±8 𝑥 = , −2 = 6 = 6 3 4 −12 = , 6 6 2 = 3 , −2 สูตรหำจำนวนคำตอบ  สมกำร 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จะมีคำตอบได้ ไม่เกิน 2 คำตอบที่แตกต่ำงกัน o ถ้ ำ 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 สมกำรนี ้ จะมี 2 คำตอบ o ถ้ ำ 2 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 0 สมกำรนี ้ จะมี 1 คำตอบ o ถ้ ำ 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 สมกำรนี ้ จะไม่มคี ำตอบ เช่น สมกำร 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 จะมี 2 คำตอบ เพรำะ (−3)2 − 4(1)(2) = 9 − 8 = 1 > 0 18 จำนวนจริง สูตรผลบวกรำก - ผลคูณรำก  ถ้ ำสมกำร 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 มี 2 คำตอบที่แตกต่ำงกันแล้ ว o ทัง้ 2 คำตอบจะบวกกันได้ − 𝑏𝑎 o ทัง้ 2 คำตอบจะคูณกันได้ 𝑎𝑐 (−3) 2 เช่น สมกำร 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 จะมีคำตอบที่บวกกันได้ − 1 =3 และคูณกันได้ 1 =2 ตัวอย่ำง ถ้ ำสมกำร 2𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑚 = 0 มีเพียงคำตอบเดียวแล้ ว จงหำค่ำ 𝑚 วิธีทำ สมกำร 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จะมี 1 คำตอบ เมื่อ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 จะเห็นว่ำข้ อนี ้ 𝑎 = 2 , 𝑏 = −4 , 𝑐 = 𝑚 ดังนัน้ (−4)2 − 4(2)(𝑚) = 0 16 − 8𝑚 = 0 2 =𝑚 # ตัวอย่ำง ถ้ ำสมกำร 2𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 6 = 0 มีคำตอบหนึง่ คือ 32 จงหำอีกคำตอบหนึง่ วิธีทำ ข้ อนี ้ ทำได้ หลำยวิธี ดังนี ้ 3 2 3 3 2( ) − 𝑘( ) + 6 =0 วิธีที่ 1 โจทย์บอกว่ำ 2 เป็ นคำตอบหนึง่ ของสมกำร 2 9 2 3𝑘 − +6 =0 ้ ำแทน 32 ลงไปที่ 𝑥 จะต้ องทำให้ สมกำรเป็ นจริ ง ดังนันถ้ 2 2 9 − 3𝑘 + 12 =0 ซึง่ จะทำหำค่ำ 𝑘 ออกมำได้ 21 = 3𝑘 𝑘 =7 จำกนัน้ แทนค่ำ 𝑘 กลับเข้ ำไปในสมกำร 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0 แล้ วหำคำตอบที่เหลือ (2𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0 3 𝑥= , 2 จะได้ อีกคำตอบของสมกำรนี ้ คือ 2 2 # วิธีที่ 2 เรำจะทำย้ อนกลับจำกคำตอบ 32 3 𝑥 = , ? 2 (2𝑥 − 3)(? 𝑥 + ? ) = 0 โดยสืบกลับไปหำสำเหตุของคำตอบนี ้ 2𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 6 = 0 จะเห็นว่ำ 2𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 6 ต้ องแยกตัวประกอบได้ เป็ น (2𝑥 − 3)(? 𝑥 + ? ) 2𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 6 × × (2𝑥 − 3)(? 𝑥 + ? ) ดังนัน้ อีกตัวประกอบต้ องเป็ น 𝑥 − 2 1 −2 นัน่ คือ อีกคำตอบคือ 2 นัน่ เอง # วิธีที่ 3 จำกสูตรผลบวกรำก - ผลคูณรำก คำตอบของสมกำร 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จะบวกกันได้ − 𝑏𝑎 และคูณกันได้ 𝑐 𝑎 ดังนัน้ คำตอบของสมกำร 2𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 6 = 0 จะคูณกันได้ 62 = 3  จำนวนจริง 19 เนื่องจำกคำตอบหนึง่ คือ 32 3 3 𝑥 = 3 ดังนัน้ อีกคำตอบต้ องคูณกับ 2 แล้ วได้ 3 2 𝑥 = 3× 2 = 2 3 นัน่ คือ จะได้ อีกคำตอบคือ 2 # กำรแก้ สมกำรดีกรี สงู กว่ำ 2 จะทำแบบเดียวกัน คือให้ จดั รูปให้ ฝั่งหนึง่ เป็ นศูนย์ แยกตัวประกอบให้ ถึงที่สดุ ให้ แต่ละวงเล็บเป็ นดีกรี 1 หรื อ ดีกรี 2 จับให้ แต่ละวงเล็บเท่ำกับ 0 เพื่อหำคำตอบ ตัวอย่ำง จงหำเซตคำตอบของสมกำร 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 12 = 0 วิธีทำ จัดทำงขวำให้ เป็ น 0 แล้ วแยกตัวประกอบ 𝑥 2 (𝑥 − 3) − 4(𝑥 − 3) = 0 (𝑥 2 − 4)(𝑥 − 3) = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 0 𝑥 = 2, −2, 3 ดังนัน้ เซตคำตอบ คือ {2, −2, 3} # สิง่ ที่เป็ นปั ญหำมำกสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ก็คือเรื่ อง “โจทย์สมกำร” ในเรื่ องนี ้ โจทย์จะไม่ให้ สมกำรมำตรงๆ แต่จะสร้ ำงเรื่ องรำวมำเป็ นฉำกๆ แล้ วถำมสิง่ ที่โจทย์ต้องกำร ขันตอนในกำรท ้ ำโจทย์สมกำร มีดงั นี ้ 1. สมมติให้ 𝑥 แทนปริ มำณอะไรบำงอย่ำง  ส่วนใหญ่จะให้ 𝑥 แทนสิง่ ที่โจทย์ถำม เพื่อให้ เมื่อแก้ หำค่ำ 𝑥 ได้ จะได้ ตอบได้ เลย  หลักสำคัญคือ ให้ 𝑥 แทนสิง่ ที่เป็ นพื ้นฐำนของกำรหำปริ มำณต่ำงๆที่โจทย์กล่ำวถึง 2. อ่ำนโจทย์ แล้ วเขียนปริ มำณต่ำงๆที่โจทย์กล่ำวถึง ในรูปของ 𝑥 3. จับควำมสัมพันธ์ของปริ มำณต่ำงๆที่เขียนออกมำในขันตอนที ้ ่ 2 แล้ วสร้ ำงสมกำร 4. แก้ สมกำร หำค่ำ 𝑥 ตัดค่ำ 𝑥 ที่ใช้ ไม่ได้ ทิ ้งไป (เช่น ควำมยำว เป็ นเลขติดลบไม่ได้ , จำนวนคน เป็ นทศนิยมไม่ได้ ) แล้ วนำค่ำ 𝑥 ไปคำนวณหำสิง่ ที่โจทย์ถำม ตัวอย่ำง ที่ดินแปลงหนึง่ มีด้ำนยำว ยำวกว่ำสองเท่ำของด้ ำนกว้ ำงอยู่ 3 เมตร ถ้ ำที่ดินแปลงนี ้มีพื ้นที่ 90 ตำรำงเมตร จง หำว่ำที่ดินแปลงนี ้ กว้ ำงและยำว กี่เมตร วิธีทำ 1. สมมติ 𝑥 เรำจะให้ 𝑥 แทนด้ ำนกว้ ำง นัน่ คือ ให้ ที่ดินแปลงนี ้กว้ ำง 𝑥 เมตร 2. เขียนปริ มำณต่ำงๆที่โจทย์กล่ำวถึง ในรูปของ 𝑥 “สองเท่ำของด้ ำนกว้ ำง” จะเท่ำกับ 2𝑥 เมตร ดังนัน้ ด้ ำนยำว ต้ องยำวกว่ำ 2𝑥 อยู่ 3 เมตร ดังนัน้ ที่ดินแปลงนี ้ยำว 2𝑥 + 3 เมตร ดังนัน้ ที่ดินแปลงนี ้ มีพื ้นที่ = กว้ ำง × ยำว = (𝑥)(2𝑥 + 3) ตำรำงเมตร 3. จับควำมสัมพันธ์ สร้ ำงสมกำร โจทย์บอกว่ำที่ดินแปลงนี ้ มีพื ้นที่ 90 ตำรำงเมตร ดังนัน้ สมกำรคือ (𝑥)(2𝑥 + 3) = 90 20 จำนวนจริง 4. แก้ สมกำร แล้ วตอบ (𝑥)(2𝑥 + 3) = 90 ได้ 𝑥 = − 15 2 กับ 6 2𝑥 2 + 3𝑥 = 90 2 2𝑥 + 3𝑥 − 90 = 0 แต่ควำมกว้ ำง เป็ นเลขติดลบไม่ได้ ดังนัน้ เหลือ 6 ค่ำเดียว (2𝑥 + 15)(𝑥 − 6) = 0 15 นัน่ คือ ที่ดินกว้ ำง = 𝑥 = 6 เมตร 𝑥=− , 6 2 และยำว = 2𝑥 + 3 = 2(6) + 3 = 15 เมตร # แบบฝึ กหัด 1. จงหำคำตอบของสมกำรต่อไปนี ้ 9 1. 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 0 2. 4𝑥 2 − 3𝑥 = 2 3. (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 11 − 4𝑥 4. 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 = 0 5. 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 6. 𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 0 2. จงพิจำรณำว่ำสมกำรต่อไปนี ้ มีคำตอบที่แตกต่ำงกันกี่คำตอบ พร้ อมทังหำผลบวกและผลคู ้ ณของคำตอบนัน้ 1. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 2. 𝑥 2 = 9  จำนวนจริง 21 3. 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 4. 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6 = 0 5. 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 0 6. 𝑥2 + 1 = 0 3. ถ้ ำสมกำร 𝑎𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0 มีคำตอบหนึง่ คือ 12 จงหำอีกคำตอบหนึง่ 4. ถ้ ำสมกำร 𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 9 = 0 มีรำกเพียง 1 รำกแล้ ว จงหำค่ำ 𝑘 5. สมกำรในข้ อใดต่อไปนี ้ มีคำตอบที่เป็ นจำนวนจริ งมำกกว่ำ 2 คำตอบ [O-NET 51/6] 1. (𝑥 − 2)2 + 1 = 0 2. (𝑥 2 + 2)(𝑥 2 − 1) = 0 3. (𝑥 − 1)2 (𝑥 2 + 2) = 0 4. (𝑥 2 − 1)(𝑥 + 2)2 = 0 22 จำนวนจริง 𝑥−1 6. ผลบวกของรำกทังหมดของสมกำร ้ 𝑥+2 +𝑥 = 1 เท่ำกับเท่ำใด [O-NET 57/9] 7. ถ้ ำสมกำร (𝑥 2 + 1)(2𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑐) = 0 มีรำกที่เป็ นจำนวนจริงเพียง 1 รำก ค่ำของ 𝑐 จะอยูใ่ นช่วงใด ต่อไปนี ้ [O-NET 54/7] 1. (0 , 3) 2. (3 , 6) 3. (6 , 9) 4. (9 , 12) 8. ถ้ ำ 34 เป็ นผลเฉลยหนึง่ ของสมกำร 4𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 6 = 0 เมื่อ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ งแล้ ว อีกผลเฉลยหนึง่ ของสมกำรนี ้มี ค่ำเท่ำใด [O-NET 53/6] 9. ถ้ ำ 𝑥 = − 12 เป็ นรำกของสมกำร 𝑎𝑥 2 + 3𝑥 − 1 = 0 แล้ ว รำกอีกรำกหนึง่ ของสมกำรนี ้ มีคำ่ เท่ำใด [O-NET 50/6]  จำนวนจริง 23 10. ต้ องกำรล้ อมรัว้ รอบที่ดินรูปสีเ่ หลีย่ มผืนผ้ ำซึง่ มีพื ้นที่ 65 ตำรำงวำ โดยด้ ำนยำวของที่ดินยำวกว่ำสองเท่ำของด้ ำน กว้ ำงอยู่ 3 วำ จะต้ องใช้ รวั ้ ที่มีควำมยำวกี่วำ [O-NET 52/21] 11. ถ้ ำรูปสีเ่ หลีย่ มผืนผ้ ำมีด้ำนยำว ยำวกว่ำ ด้ ำนกว้ ำงอยู่ 3 ฟุต และเส้ นแทยงมุมยำวกว่ำด้ ำนกว้ ำงอยู่ 7 ฟุต แล้ ว เส้ นรอบรูปของรูปสีเ่ หลีย่ มนี ้ยำวกี่ฟตุ [O-NET 56/11] 12. รูปสำมเหลีย่ มมุมฉำกรูปหนึง่ มีพื ้นที่ 600 ตำรำงเซนติเมตร ถ้ ำด้ ำนประกอบมุมฉำกด้ ำนหนึง่ ยำวเป็ น 75% ของ ด้ ำนประกอบมุมฉำกอีกด้ ำนหนึง่ แล้ ว เส้ นรอบรูปสำมเหลีย่ มมุมฉำกรูปนี ้ ยำวกี่เซนติเมตร [O-NET 53/14] 24 จำนวนจริง 13. โรงพิมพ์แห่งหนึง่ คิดค่ำจ้ ำงในกำรพิมพ์แผ่นพับแยกเป็ น 2 ส่วนคือ ส่วนที่หนึง่ เป็ นค่ำเรี ยงพิมพ์ ซึง่ ไม่ขึ ้นกับจำนวน แผ่นพับที่พิมพ์ กับส่วนที่สองเป็ นค่ำพิมพ์ ซึง่ ขึ ้นอยูก่ บั จำนวนแผ่นพับที่พิมพ์ โดยโรงพิมพ์เสนอรำคำดังนี ้ ถ้ ำสัง่ พิมพ์ 100 ใบ จะคิดค่ำจ้ ำงรวมทังหมดเป็ ้ นเงิน 800 บำท และ ถ้ ำสัง่ พิมพ์ 200 ใบ จะคิดค่ำจ้ ำงรวมทังหมดเป็ ้ นเงิน 1,100 บำท โรงพิมพ์คิดค่ำเรียงพิมพ์กี่บำท [O-NET 56/35] 14. ห้ องประชุมแห่งหนึง่ จัดที่นงั่ เป็ นแถวโดยนำโต๊ ะมำเรี ยงต่อกันเป็ นแถว แถวละ 5 ตัว หลังจำกจัดแล้ วได้ ที่นงั่ ทังหมด ้ 60 ที่นงั่ ถ้ ำจำนวนแถวน้ อยกว่ำจำนวนที่นงั่ ในแต่ละแถวอยู่ 4 ห้ องประชุมนี ้มีโต๊ ะทังหมดกี ้ ่ตวั [O-NET 57/38] 15. แม่ค้ำนำเมล็ดมะม่วงหิมพำนต์ 1 กิโลกรัม ถัว่ ลิสง 3 กิโลกรัม และเมล็ดฟั กทอง 4 กิโลกรัม มำผสมกัน แล้ วแบ่งใส่ถงุ ถุงละ 100 กรัม ถ้ ำแม่ค้ำซื ้อเมล็ดมะม่วงหิมพำนต์ ถัว่ ลิสง และเมล็ดฟั กทองมำในรำคำกิโลกรัมละ 250 บำท 50 บำท และ 100 บำท ตำมลำดับแล้ ว แม่ค้ำจะต้ องขำยเมล็ดพืชผสมถุงละ 100 กรัมนี ้ ในรำคำกี่บำท จึงจะได้ กำไร 20 % เมื่อขำยหมด [O-NET 51/37]  จำนวนจริง 25 สมบัติกำรไม่เท่ำกัน เมื่อก่อน เรำเรี ยนสมบัติกำรเท่ำกันมำแล้ ว ครำวนี ้มำเรี ยนสมบัติกำรไม่เท่ำกันบ้ ำง  สมบัติกำรถ่ำยทอด ถ้ ำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑏 < 𝑐 แล้ ว 𝑎 < 𝑐  สมบัติกำรบวกด้ วยตัวเท่ำ ถ้ ำ 𝑎 < 𝑏 แล้ ว 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐  สมบัติกำรคูณด้ วยตัวเท่ำ o ถ้ ำคูณด้ วยเลขบวก ได้ เหมือนปกติ ถ้ ำ 𝑎 < 𝑏 แล้ ว 5𝑎 < 5𝑏 o ถ้ ำคูณด้ วยเลขลบ ต้ องกลับเครื่ องหมำย ถ้ ำ 𝑎 < 𝑏 แล้ ว −5𝑎 > −5𝑏 สิง่ ที่ต้องระวังคือ ห้ ำม คูณทังสองข้ ้ ำง จนกว่ำจะรู้วำ่ ตัวทีม่ ำคูณเป็ นบวกหรื อลบ เพรำะไม่ร้ ูวำ่ ต้ องกลับเครื่ องหมำยหรื อไม่ เรำสำมำรถนำอสมกำรมำบวกกันได้ กล่ำวคือ ถ้ ำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 < 𝑑 แล้ ว เรำสำมำรถสรุปได้ วำ่ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 แต่เรำไม่สำมำรถนำอสมกำรมำลบกันได้ เพรำะ กำรลบ แฝงไว้ ด้วยกำรคูณด้ วยเลขลบ กล่ำวคือ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) ทำให้ ต้องกลับ >↔< ดังนัน้ ถ้ ำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 < 𝑑 แล้ ว เรำไม่สำมำรถสรุปได้ วำ่ 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑑 ถ้ ำอยำกจะลบอสมกำร ให้ แบ่งเป็ น 2 ขัน้ คือ คูณ −1 ก่อน แล้ วค่อยเอำอสมกำรมำบวกกัน ตัวอย่ำง กำหนดให้ 6 < 𝑎 < 15 และ 1 < 𝑏 < 4 จงหำค่ำทีเ่ ป็ นไปได้ ของ 𝑎 − 𝑏 วิธีทำ เรำไม่สำมำรถนำอสมกำรมำลบกันได้ ถ้ ำจะหำ 𝑎 − 𝑏 ต้ องคูณ −1 แล้ วนำอสมกำรมำบวกกัน 6 < 𝑎 < 15 6 < 𝑎 < 15 1 < 𝑏 < 4 −1 > −𝑏 > −4 −4 < −𝑏 < −1 5 < 𝑎 − 𝑏 < 11  2 < 𝑎 − 𝑏 < 14  (ห้ ำมทำแบบนี ้) ดังนัน้ ค่ำทีเ่ ป็ นไปได้ ของ 𝑎−𝑏 คือ 2 < 𝑎 − 𝑏 < 14 # กำรนำอสมกำรมำคูณหรื อหำร กัน ทำได้ เมื่อมีทงสองอสมกำรเป็ ั้ นค่ำบวก กล่ำวคือ ถ้ ำ 0 < 𝑎 < 𝑏 และ 0 < 𝑐 < 𝑑 แล้ ว เรำสำมำรถสรุปได้ วำ่ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑 กำรนำอสมกำรมำหำรกัน ต้ องแบ่งทำเป็ น 2 ขัน้ คือ กลับเศษเป็ นส่วนก่อน แล้ วค่อยเอำอสมกำรมำคูณกัน กล่ำวคือ ถ้ ำ 0 < 𝑎 < 𝑏 และ 0 < 𝑐 < 𝑑 แล้ ว ห้ ำมสรุปว่ำ 𝑎𝑐 < 𝑑𝑏 0< 𝑎 < 𝑏 0< 𝑎 < 𝑏 1 1 0< 𝑐 < 𝑑 0< < 𝑑 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 < 𝑑  𝑎 𝑑 < 𝑏 𝑐  (ห้ ำมทำแบบนี ้) 26 จำนวนจริง โจทย์ยอดนิยมในเรื่ องนี ้ คือ โจทย์ข้อใดถูกข้ อใดผิด สิง่ ที่ห้ำมลืม คือ กฎที่เกี่ยวกับกำรคูณหำรจำนวนมำก จะใช้ ไม่ได้ กบั เลขลบ ดังนัน้ ก่อนจะตอบว่ำข้ อไหนถูก ลองแทนทังเลขบวกและเลขลบ ้ ลงไปให้ คลุมหลำยๆกรณีดกู ่อน แบบฝึ กหัด 1. ข้ อใดถูกต้ อง 1 1 1. ถ้ ำ 𝑎 < 𝑏 แล้ ว 𝑎𝑏 < 𝑏 2 2. ถ้ ำ 𝑎 0 − + − + + − + − + −3 −1 2 −3 −1 2 5 เซตคำตอบ คือ (−∞, −3) ∪ (−1, 2) เซตคำตอบ คือ (−∞, −3) ∪ (−1, 2) ∪ (5, ∞) แบบผึกหัด 2. จงแก้ อสมกำรต่อไปนี ้ 1. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 < 0 2. 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 > 0 1 1 3. 𝑥2 − 4 > 0 4. 𝑥+2 < 𝑥+1  จำนวนจริง 33 ในกรณีที่เป็ น ≥ หรื อ ≤ ให้ ทำเหมือนเดิม แต่ให้ รวมจุดบนเส้ นจำนวนไปในคำตอบด้ วย พูดง่ำยๆคือ ให้ ใช้ จุดทึบ แทนที่จะเป็ นจุดกลวง เหมือนก่อน ยกเว้ น ตัวที่มำจำก “ส่วน” ห้ ำมใช้ จดุ ทึบ เช่น 𝑥2 + 𝑥 − 6 ≤ 0 (𝑥−2)(𝑥+3) (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) ≤ 0 (𝑥+1)(𝑥−5) ≥ 0 + − + + − + − + −3 2 −3 −1 2 5 เซตคำตอบ คือ [−3, 2] เซตคำตอบ คือ (−∞, −3] ∪ (−1, 2] ∪ (5, ∞) แบบฝึ กหัด 3. จงแก้ อสมกำรต่อไปนี ้ 1. 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 ≤ 0 2. 6𝑥 2 + 5𝑥 − 1 ≥ 0 3. 𝑥(2𝑥 − 1) ≥ 15 4. 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 ≤ 0 3𝑥−5 3𝑥−5 5. 𝑥+1 ≥ 0 6. 𝑥+1 ≥ 1 34 จำนวนจริง ในกรณีที่มี (วงเล็บ)ยกกำลังคู่ อยู่ ตอนที่สลับ + − + … ให้ ไม่ต้องสลับตรงจุดทีม่ ำจำก (วงเล็บ)ยกกำลังคู่ โดยให้ ใช้ เครื่ องหมำยเดิมเดียวกับช่องทำงขวำ เช่น (𝑥−3)2 (2𝑥−1) ≤0 (𝑥−1)4 (𝑥−2)3 >0 (𝑥+2)(𝑥+1) (𝑥−3)2 (𝑥−4) ไม่ต้องสลับ ไม่ต้องสลับ ไม่ต้องสลับ − + − + + + + − − + −2 1 −1 3 1 2 3 4 2 1 เซตคำตอบ คือ (−∞, −2) ∪ (−1, ] ∪ {3} 2 เซตคำตอบ คือ (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (4, ∞) แบบฝึ กหัด 4. จงแก้ อสมกำรต่อไปนี ้ (𝑥−1)2 (𝑥−2) 1. (𝑥 + 1)3 (𝑥 − 2)4 (𝑥 + 3)5 < 0 2. 𝑥+1 ≥ 0 (𝑥−1)4 (𝑥−2)3 3. (𝑥 2 − 1)(𝑥 + 1) ≥ 0 4. (𝑥−3)2 (𝑥−4) ≥ 0 ในกรณีที่ 𝑥 ตัวซ้ ำยสุด (ที่ยกกำลังสูงสุด) มีเลขลบคูณอยู่ ให้ จดั รูปใหม่ให้ เป็ นบวก โดยกำรคูณ −1 ทังสองข้ ้ ำง แล้ วสลับเครื่ องหมำย มำกกว่ำ ↔ น้ อยกว่ำ เช่น −2𝑥 + 3𝑥 + 2 ≤ 0 2 → 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 ≥ 0 (−𝑥 + 2)(𝑥 + 1) > 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) < 0 (−𝑥 + 2)(−𝑥 + 1) > 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) > 0 (คูณ −1 สองครัง้ ) (−𝑥 + 2)4 (−𝑥 + 1) > 0 → (𝑥 − 2)4 (𝑥 − 1) < 0 (ยกกำลังคู่ (−𝑥 + 2)4 = (𝑥 − 2)4)  จำนวนจริง 35 แบบฝึ กหัด 5. จงแก้ อสมกำรต่อไปนี ้ 1. 4 − 𝑥 2 ≥ 0 2. (𝑥−1)(𝑥+2) 2−𝑥 ≥ 0 (3−𝑥)2 (1−2𝑥) (1−𝑥)4 (2−𝑥)3 3. (−𝑥−2)(𝑥+1) ≤ 0 4. (3−𝑥)2 (𝑥−4) > 0 และในกรณีทมี่ ีตวั ที่แยกตัวประกอบไม่ได้ (เช่น 𝑥 2 + 1) ตัวเหล่ำนี ้ จะเป็ นบวกเสมอ จึงย้ ำยข้ ำงแบบคูณหำรได้ โดยไม่ ต้ องระวังเรื่ องกำรสลับเครื่ องหมำย มำกกว่ำ ↔ น้ อยกว่ำ เช่น (𝑥 2 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) > 0 → เอำ 𝑥 2 + 1 หำรตลอดได้ เพรำะ 𝑥 2 + 1 เป็ นบวกเสมอ ไม่ต้องกลับมำกกว่ำเป็ นน้ อยกว่ำ เหลือ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) > 0 เป็ นต้ น แบบฝึ กหัด 6. จงแก้ อสมกำรต่อไปนี ้ 3𝑥−5 𝑥 3 −𝑥 2 +𝑥−1 1. 𝑥 2 +5 ≥ 0 2. 𝑥−2 ≥ 0 36 จำนวนจริง 3. 𝑥2 + 4 > 0 4. 𝑥2 + 4 ≤ 0 7. เซตคำตอบของอสมกำร −1 ≤ √2 + 1−𝑥√2 ≤ 1 คือเซตในข้ อใดต่อไปนี ้ [O-NET 51/4] 1. [√2 − 1, 1] 2. [√2 − 1, 2] 3. [3 − 2√2, 1] 4. [3 − 2√2, 2] 8. ให้ 𝐴 = { 𝑥 | (2𝑥 + 1)(4 − 3𝑥) > 0 } ข้ อใดเป็ นเซตย่อยของ 𝐴 [O-NET 56/6] 1. (–1.2, –0.2) 2. (–0.9, 0.3) 3. (–0.6, 1.2) 4. (0.4, 1.5) 5. (0.3, 1.3)  จำนวนจริง 37 9. เซตของจำนวนจริ ง 𝑚 ซึง่ ทำให้ สมกำร 𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 4 = 0 มีรำกเป็ นจำนวนจริ ง เป็ นสับเซตของเซตใดต่อไปนี ้ [O-NET 50/26] 1. (−5, 5) 2. (−∞, − 4) ∪ [3, ∞) 3. (−∞, 0) ∪ [5, ∞) 4. (−∞, − 3) ∪ [4, ∞) 10. พี่มีเงินมำกกว่ำน้ อง 120 บำท ถ้ ำทังสองคนมี ้ เงินรวมกันไม่เกิน 1,240 บำท แล้ ว พี่มีเงินมำกที่สดุ ได้ กี่บำท [O-NET 56/36] 11. แม่ค้ำขำยก๋วยเตีย๋ วชำมละ 25 บำท โดยมีคำ่ เช่ำร้ ำนวันละ 120 บำท และต้ นทุนค่ำวัตถุดิบทังหมดคิ ้ ดเป็ นชำมละ 18 บำท ถ้ ำต้ องกำรให้ ได้ กำไรไม่ต่ำกว่ำวันละ 500 บำท เขำต้ องขำยให้ ได้ อย่ำงน้ อยวันละกี่ชำม [O-NET 57/37] 38 จำนวนจริง ค่ำสัมบูรณ์ “ค่ำสัมบูรณ์” ของ 𝑥 แทนด้ วยสัญลักษณ์ |𝑥| หมำยถึง “ค่ำที่เป็ นบวก” ของ 𝑥 เช่น |−2| = 2 , |5| = 5 , |−√3| = √3 สูตรสำหรับหำ |𝑥| จะเป็ นดังนี ้ |𝑥| = { 𝑥 เมื่อ 𝑥 ≥ 0 ถ้ ำ 𝑥 เป็ นบวกอยูแ่ ล้ ว |𝑥| จะได้ เท่ำเดิม −𝑥 เมื่อ 𝑥 < 0 ถ้ ำ 𝑥 เป็ นลบอยู่ จะถูกทำให้ เป็ นบวกโดยคูณลบเข้ ำไป (ใช้ หลักว่ำลบคูณลบได้ บวก) สมบัติที่สำคัญของค่ำสัมบูรณ์ คือ  กำรยกกำลังสอง กำจัดเครื่ องหมำยค่ำสัมบูรณ์ได้ กล่ำวคือ |𝑥|2 = 𝑥 2 𝑥 |𝑥|  กระจำยในคูณหำรได้ |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦| |𝑦| = |𝑦| แต่กระจำยในบวกลบไม่ได้ |𝑥 + 𝑦| ≠ |𝑥| + |𝑦| |𝑥 − 𝑦| ≠ |𝑥| − |𝑦|  |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| เสมอ  √𝑥 2 = |𝑥| เวลำทำโจทย์ประเภท ข้ อใดถูกข้ อใดผิด ให้ ระวังเรื่ องเลขบวกเลขลบให้ ดี ในบำงที เรำอำจต้ องแบ่งคิดเป็ นสองกรณี คือ กรณีที่ 𝑥 ≥ 0 กับกรณี 𝑥 < 0 แบบฝึ กหัด 1. ข้ อใดถูกต้ อง 1. 𝑎 < |𝑎| 2. 𝑎|𝑏| = |𝑎|𝑏 |𝑎| 𝑎 3. 𝑎 = |𝑎| 4. (𝑎 − |𝑎|)2 ≤ 4𝑎2 5. ถ้ ำ 𝑎 0 ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ องบ้ ำง [O-NET 54/6] 1. 𝑎𝑐 > 0 2. 𝑏𝑐 > 0 6. กำหนดให้ 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เป็ นจำนวนจริ งใดๆ ข้ อใดถูกต้ องบ้ ำง [O-NET 57/1] 1. ถ้ ำ 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 แล้ ว 𝑏 = 𝑐 2. ถ้ ำ 𝑎|𝑏𝑐| < 0 และ 𝑏 < 0 แล้ ว |𝑎𝑏|𝑐 < 0 3. ถ้ ำ 𝑎 > 0 และ 𝑏 > 0 แล้ ว 𝑎 + 𝑏 ≥ √2𝑎𝑏 40 จำนวนจริง 7. ถ้ ำ 𝑥 ≤ 5 แล้ ว ข้ อใดต่อไปนี ้ถูก [O-NET 50/4] 1. 𝑥 2 ≤ 25 2. |𝑥| ≤ 5 3. 𝑥|𝑥| ≤ 25 4. (𝑥 − |𝑥|)2 ≤ 25 1 2 1 2 8. จำนวนสมำชิกของเซต {𝑥 | 𝑥 = (𝑎 + |𝑎|) − (|𝑎| − 𝑎) เมื่อ 𝑎 เป็ นจำนวนจริ งซึง่ ไม่เท่ำกับ 0} เท่ำกับเท่ำใด [O-NET 51/21] 9. ถ้ ำช่วงเปิ ด (𝑎 , 𝑏) เป็ นเซตคำตอบของอสมกำร |𝑥 − 1| + |6 − 3𝑥| < 17 และ 𝑥>2 แล้ ว 𝑎 + 𝑏 เท่ำกับเท่ำใด [O-NET 54/27]  จำนวนจริง 41 สมกำร อสมกำร ค่ำสัมบูรณ์ หลักในกำรแก้ คือ ต้ องกำจัดเครื่องหมำยค่ำสัมบูรณ์ออกไปให้ ได้ ซึง่ มีวิธีดงั นี ้ 1. สมกำรในรูป | | = แปลว่ำ = หรื อ = − และคำตอบต้ องทำให้ ≥0 ตัวอย่ำง จงหำเซตคำตอบของสมกำร |𝑥 2 + 2𝑥 − 1| = 2 วิธีทำ จะได้ 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 2 หรื อ 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = −2 และคำตอบต้ องทำให้ 2≥0 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0 ยังไงก็จริง (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 0 (𝑥 + 1)2 = 0 𝑥 = 1, −3 𝑥 = −1 ดังนัน้ ใช้ ได้ ทกุ คำตอบ ดังนัน้ เซตคำตอบ คือ {−3, −1, 1} # ตัวอย่ำง จงหำเซตคำตอบของส?