Brojevi PDF

Sadrºaj 1 Skupovi, relacije, funkcije 1 2 Skupovi brojeva...

Sadrºaj 1 Skupovi, relacije, funkcije 1 2 Skupovi brojeva 3 2.1 Skup prirodnih brojeva N......................................... 3 2.2 Skup celih brojeva Z............................................ 5 2.3 Skup racionalnih brojeva Q........................................ 6 2.4 Skup iracionalnih brojeva I........................................ 7 2.5 Skup realnih brojeva R........................................... 9 2.6 Skup kompleksnih brojeva C........................................ 10 3 Funkcije 11 1 Skupovi, relacije, funkcije Skup je osnovni pojam u matematici (ozna£ava se velikim ²tampanim slovom, A npr.). Element skupa se ozna£ava malim slovom (ako element a pripada skupu A pi²emo a ∈ A, a ako ne pripada zapisujemo a ∈ / A). Logi£ke operacije: ∨, ∧, ⇒, ⇔, ¬ Univerzalni kvantikator: ∀ Egzistencijalni kvantikator: ∃ Osnovni pojmovi: - skup X je podskup skupa Y : X ⊆ Y (x ∈ X ⇒ y ∈ Y za svaki elemenat skupa X ) - prazan skup: ∅ - unija skupova: X ∪ Y = {x|x ∈ X ∨ y ∈ Y } - presek skupova: X ∩ Y = {x|x ∈ X ∧ y ∈ Y } - razlika skupova: X \ Y = {x|x ∈ X ∨ y ∈/ Y } - komplement skupa X : X̄ ili X C Dekartov proizvod skupova X i Y (u oznaci X × Y ) je skup svih uredjenih parova (x, y) gde x ∈ X i y ∈ Y : X × Y = {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }. Za proizvoljan podskup ρ ⊆ X × Y kaºemo da je ρ relacija skupa X u odnosu na skup Y. funkcija f pridruºuje svakom elementu x skupa X ta£no jedan elemenat y skupa Y. Preciznije: Denicija. Neka su X i Y neprazni skupovi, a f relacija skupa X u odnosu na skup Y , tj. f ⊆ X × Y. Za relaciju f kaºemo da je funkcija iz X u Y i pi²emo f : X → Y ako su zadovoljeni slede¢i uslovi: 1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ f , 2. ((x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ) ⇒ y = z.  Funkcijama opisujemo neku zavisnost. Na primer: 1. povr²ina kruga P zavisi od polupre£nika kruga r, pa imamo P = r2 π , 2. broj ljudi koji nasevaljavaju planetu zavisi od godina t, 3. po²tarina zavisi of teºine paketa, 4. preženi put zavisi od proteklog vremena,... za (x, y) ∈ f pi²emo y = f (x) skup X naziva se domen, a skup Y kodomen X i Y su skupovi. Kakvi oni mogu biti? 2 Skupovi bro jeva 2.1 Skup prirodnih brojeva N N = {1, 2, 3, 4,...} Skup prirodnih brojeva N je najmanji podskup skupa realnih brojeva R koji sadrºi 1 i ima osobinu da ako n ∈ N, onda n + 1 ∈ N. Princip matemati£ke indukcije. Neka su dati iskazi P (n), n ∈ N. Ako vaºi: 1. Iskaz P (1) je ta£an (istinit). 2. Iz pretpostavke da je iskaz P (k) istinit (za bilo koje k ∈ N) sledi da je iskaz P (k + 1) istinit. Tada je iskaz P (n) istinit za sve prirodne brojeve. Primer 1. n(n + 1) Zbir prvih n prirodnih brojeva je jednak. 2 Re²enje:  U N deni²emo operacije sabiranja i mnoºenja i relaciju poretka ≤. Neke osobine: reeksivnost: (∀x ∈ N)(x ≤ x) antisimetri£nost: (∀x, y ∈ N)(x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y) tranzitivnost: (∀x, y, z ∈ N)(x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z) (i) Sabiranje je zatvorena (ako x, y ∈ N onda x + y ∈ N), komutativna i asocijativna operacija (algebarska struktura (N, +) je komutativni grupoid) - £esto posmatramo skup N0 = N ∪ {0} sa neutralnim elementom za sabiranje: (∀x ∈ N) (x + 0 = x) (ii) Mnoºenje je zatvorena, komutativna i asocijativna operacija sa neutralnim elementom 1 tj. (∀x ∈ N) (x · 1 = 1 · x = x) (algebarska struktura (N, +) je komutativni grupoid) (iii) vaºi distributivnost druge operacije prema prvoj: x · (y + z) = x · y + x · z i (x + y) · z = x · z + y · z (iv) relacija ≤ je poredak na N i vaºi (a) totalnost uredjenja: x ≤ y ∨ y ≤ x (b) saglasnost sa operacijama: iz x ≤ y sledi x + z ≤ y + z i x · z ≤ y · z U N nije uvek mogu¢e re²iti jedna£ine a + x = b i a · x = b (npr. 2 + x = 1 i 2 · x = 1)  podsetimo se: prost broj je prirodan broj ve¢i od 1 koji je deljiv samo sa samim sobom i sa 1 (npr. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...) Svaki prirodan broj moºe se na jedinstven na£in rastaviti na proste £inioce, tj. za svaki prirodan broj n ≥ 2 postoje jedinstveno odreženi prosti brojevi p1 < p2... < pk−1 < pk i prirodni brojevi α1 < α2 <... < αk−1 < αk tako da vaºi: αk−1 x = pα1 1 · pα2 2 ·... · pk−1 · pαk k. 2.2 Skup celih brojeva Z - skup u kojem se nalaze re²enja svih mogu¢ih jedna£ina oblika a + x = b, a, b ∈ N (−N) = {−n | n ∈ N} Denicija. Skup celih brojeva je Z = (−N) ∪ {0} ∪ N. (i) Sabiranje je zatvorena, komutativna i asocijativna operacija - Suprotan broj broju a je re²enje jedna£ine a + x = 0 i ozna£ava se sa x = −a. Suprotan broj je ujedno i inverzni element sabiranja. - 0 je neutralni elemenat (∀x ∈ N) (x + 0 = x) (ii) Mnoºenje je zatvorena, komutativna i asocijativna operacija sa neutralnim elementom 1 tj. (∀x ∈ N) (x · 1 = 1 · x = x) (iii) vaºi distributivnost druge operacije prema prvoj: x · (y + z) = x · y + x · z i (x + y) · z = x · z + y · z (iv) relacija ≤ je poredak na Z i vaºi (a) totalnost uredjenja: x ≤ y ∨ y ≤ x (b) saglasnost sa operacijama: iz x ≤ y sledi x + z ≤ y + z iz x ≤ y i 0 ≤ z sledi x · z ≤ y · z sada je jedna£ina a + x = b re²iva za svako x, ali ne i jedna£ina a · x = b (npr. 2 · x = 1) Algebarska struktura (Z, +, ·, ≤) je totalno urežen prsten jer: - (Z, +) je Abelova (komutativna grupa) - (Z, ·) je komutativni grupoid - vaºi distributivnost - relacija poretka ima gore navedene osobine 2.3 Skup racionalnih brojeva Q m Denicija. Brojevi oblika m · n−1 = , m ∈ Z, n ∈ N, nazivaju se racionalni brojevi. Skup svih racionalnih n brojeva ozna£ava se sa Q. Jasno N ⊂ Z ⊂ Q, pa u Q vaºi sve ²to vaºi i u Z. Dodatno: - Znamo da za svaki ceo broj x ∈ Z postoji njemu suprotan broj −x ∈ Z takav da je njihov zbir jednak neutralnom elementu za sabiranje x + (−x) = 0. - Analognu situaciju imamo i kod mnoºenja u Q: za svaki racionalni broj x ∈ Q \ {0} postoji njemu inverzan koji ozna£avamo x−1 ∈ Q, takav da je njihov proizvod jednak jedini£nom elementu za mnoºenje x · x−1 = 1. - Sada moºemo da re²imo jedna£inu a · x = b, a, b ∈ Z, a 6= 0. Algebarska struktura (Q, +, ·, ≤) je totalno ureženo polje jer: - (Q, +) je Abelova (komutativna grupa) - (Q \ {0}, ·) je Abelova (komutativna grupa) - vaºi distributivnost - relacija poretka ima prethodno navedene osobine Decimalni zapis a , a, b > 0 ∈ Z pridruºujemo q, q1 q2... , q ≥ 0 ∈ Z, qi ∈ {0, 1,... , 9} b Teorema. Za svaka dva cela broja a i b, gde je b > 0, postoji jedinstveni par brojeva q i r tako da a = b q + r i 0 ≤ r < b. r = 0, postupak je zavr²en r > 0, deli se 10r sa b: 10r = q1 b + r1 , 0 ≤ r1 < b i 0 ≤ q1 < 10  r = 0, postupak je zavr²en.  r > 0, deli se 10r1 sa b: 10r1 = q2 b + r2 , 0 ≤ r2 < b i 0 ≤ q2 < 10..  rn = 0, dobija se ab = q, q1 q2... qn 00...  rn 6= 0 ni za jedno n, niz je periodi£an! Obrnuto, 10n q + 10n−1 q1 + · · · + 100 qn q, q1 q2... qn 00 · · · = 10n 10n q + 10n−1 q1 + · · · + 100 qn s q, q1 q2... qn ss · · · = n + 10 9 · 10n !!! Isti razlomak se dodeljuje decimalnom zapisu sa nulama na kraju, kao i periodi£nom zapisu kod koga je poslednja cifra koja nije nula manja za jedan, a nakon toga se ponavlja broj 9. 2.4 Skup iracionalnih brojeva I Da li postoje brojevi koji nisu racionalni? 1. Kolika je duºina dijagonale d jedini£nog kvadrata? √ Zaklju£ak: 2 nije racionalan broj! On je algebarski broj. Denicija. x∗ je algebarski broj ako postoji polinom Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · + a1 x + a0 , ak ∈ Z, k = 0, 1,... , n, takav da je Pn (x∗ ) = 0.  2. Poluobim jedini£ne kruºnice? π = 3.14159... (35 cifara iza decimalnog zapisa) nije racionalan broj ali nije ni algebarski. Takvi brojevi se nazivaju trancedentni. Ovim problemom se bavio jo² Arhimed, ali je poluobim jedini£ne kruºnice izra£unat tek u 16. veku. 17761. godine Lambert je dokazao da π nije racionalan broj, a 1882. godine Linderman je dokazao da π nije re²enje algebarske jedna£ine. Jo² jedan primer: e = 2.71828... Zanimljivo je da je lak²e konstruisati primer transcedentnog broja nego utrditi da je taj broj transcedentan. Na primer, jo² uvek nije poznato da li je Ojlerova konstanta γ transcedentan broj. Denicija. Skup iracionalnih brojeva £ine oni brojevi koji se predstavljaju preko beskona£nog neperiodi£nog decimalnog zapisa. algebarski (nule polinoma sa celobrojnim koecijentima) i transcedentni iracionalni brojevi (π, e,...) 2.5 Skup realnih brojeva R Denicija. Skup realnih brojeva je R = Q ∪ I. U strukturi (R, +, ·, ≤) koja je totalno ureženo polje vaºe slede¢e aksiome: Svojstva operacije + 1. (∀x, y ∈ R)(x + y = y + x) (komutativnost) 2. (∀x, y, z ∈ R)((x + y) + z = x + (y + z)) (asocijativnost) 3. (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R)(0 + x = x + 0 = x) (neutralni element za sabiranje) 4. (∀x ∈ R)(∃(−x) ∈ R)(x + (−x) = (−x) + x = 0) (inverzni element za sabiranje) Svojstva operacije · 1. (∀x, y ∈ R \ {0})(x · y = y · x) (komutativnost) 2. (∀x, y, z ∈ R \ {0})((x · y) · z = x · (y · z)) (asocijativnost) 3. (∃1 ∈ R \ {0})(∀x ∈ R \ {0})(1 · x = x · 1 = x) (neutralni element za mnoºenje) 4. (∀x ∈ R \ {0})(∃x ∈ R \ {0})(x · x = x · x = 1) −1 −1 −1 (inverzni element za mnoºenje) Distributivnost (∀x, y, z ∈ R)(x · (y + z) = x · y + x · z) Relacija poretka ≤ 1. (∀x ∈ R)(x ≤ x) (reeksivnost) 2. (∀x, y ∈ R)(x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y) (antisimetri£nost) 3. (∀x, y, z ∈ R)(x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z) (tranzitivnost) 4. (∀x, y ∈ R)(x ≤ y ∨ y ≤ x) (totalnost ureženja) Slaganje operacija sa relacijom ≤ 1. (∀x, y, z ∈ R)(x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z) 2. (∀x, y ∈ R)(0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y) Sve aksiome do sada vaºe i u Q. Naredna aksioma pravi razliku izmežu realnih i racionalnih brojeva Aksioma kompletnosti. Ako su X i Y neprazni podskupovi skupa R takvi da je x ≤ y za sve x ∈ X , y ∈ Y , tada postoji element z ∈ R takav da je x≤z≤y za sve x ∈ X, y ∈ Y. Denicija. Neprazan podskup X ⊆ R je ograni£en sa gornje strane ako postoji c ∈ R tako da je za sve x ∈ X , x ≤ c. Broj c se naziva gornje ograni£enje ili majoranta skupa X. Ako postoji majoranta skupa X koja pripada tom skupu, ona se zove najve¢im elementom skupa X. Denicija. Elemenat c ∈ X , X ⊆ R, je najve¢i elemenat (maksimum) skupa X ako je za sve x ∈ X , x ≤ c. Tada pi²emo c = max X. Denicija. Najmanje gornje ograni£enje (ako postoji) naziva se supremum skupa X. Denicija. Neprazan podskup X ⊆ R je ograni£en sa donje strane ako postoji c ∈ R tako da je za sve x ∈ X , x ≥ c. Broj c se naziva donje ograni£enje skupa X. Denicija. Elemenat c ∈ X , X ⊆ R, je najmanji elemenat (minimum) skupa X ako je za sve x ∈ X , x ≥ c. Tada pi²emo c = min X. Denicija. Najve¢e donje ograni£enje (ako postoji) naziva se inmum skupa X. Posledice aksiome kompletnosti Princip supremuma. Svaki neprazan sa gornje strane ograni£en podskup skupa R ima supremum u R. Princip inmuma. Svaki neprazan sa donje strane ograni£en podskup skupa R ima inmum u R. Kantorov princip. Neka je [an , bn ], n ∈ N niz intervala takvih da [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ]. Tada je \ [an , bn ] 6= ∅. n∈N 2.6 Skup kompleksnih brojeva C Denicija. Skup kompleksnih brojeva C je skup svih ureženih parova (a, b) realnih brojeva. Dva kompleksna broja data sa (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ R × R su jednaka ako i samo ako je a1 = a2 i b1 = b2. Za bilo koja dva urežena para (a, b), (c, d) ∈ R × R deni²emo  operaciju sabiranja (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)  operaciju mnoºenja (a, b) · (b, c) = (a · c − b · d, a · d + b · c) imaginarna jedinica i = (0, 1). Vaºi i2 = −1. i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = −1, i4k+3 = −i, k∈Z (a, b) = a + ib  Broj a nazivamo realni deo kompleksnog broja z = a + ib (oznaka Re z )  Broj b nazivamo imaginarni deo kompleksnog broja z = a + ib (oznaka Im z ) Sledi C = {x + i · y | x, y ∈ R}, Operacije zbir: (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) razlika: (x1 + iy1 ) − (x2 + iy2 ) = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ) mnoºenje: (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) deljenje: Ako je z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 i za bar jedan od brojeva x2 , y2 vaºi x2 6= 0, y2 6= 0, tada je njihov koli£nik z1 x 1 x 2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 = +i z2 x22 + y22 x22 + y22 Vaºi Kantorov princip u C Svaki polinom sa koecijentima iz C ima nulu u C. Kompleksan broj x − ib se naziva konjugovano kompleksan broj kompleksnog broja z = a + ib i ozna£ava se sa z̄ = a − ib. Svakom kompleksnom broju se jednozna£no moºe pridruºiti A(x, y) u xy−ravni i obrnuto. Kompleksan broj z = x + iy se moºe zapisati -u trigonometrijskom obliku: z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), gde x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Broj ρ se naziva moduo kompleksnog broja z i ozna£avamo ga ρ = |z|. Vaºi z z̄ = a2 + b2 = |z|2. Ugao ϕ = argz ∈ [0, 2π] se naziva argument kompleksnog broja z. -u eksponencijalnom obliku: z = ρeiϕ 3 Funkcije Op²ta denicija podsetimo se: Dekartov proizvod skupova X i Y (u oznaci X × Y ) je skup svih uredjenih parova (x, y) gde x ∈ X i y ∈ Y : X × Y = {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }. Za proizvoljan podskup ρ ⊆ X × Y kaºemo da je ρ relacija skupa X u odnosu na skup Y. funkcija f pridruºuje svakom elementu x skupa X ta£no jedan elemenat y skupa Y. Preciznije: Denicija. Neka su X i Y neprazni skupovi, a f relacija skupa X u odnosu na skup Y , tj. f ⊆ X × Y. Za relaciju f kaºemo da je funkcija iz X u Y i pi²emo f : X → Y ako su zadovoljeni slede¢i uslovi: 1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ f , 2. ((x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ) ⇒ y = z. za (x, y) ∈ f pi²emo y = f (x) skup X naziva se domen, a skup Y kodomen Denicija. Funkcija f : X → Y je injekcija ("1-1") ako (∀x1 , x2 ∈ X) (f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ). Grak injektivne funkcije svaka horizontalna prava se£e najvi²e jednom! Denicija. Funkcija f : X → Y je sirjekcija ("na") ako (∀y ∈ Y )(∃x ∈ X) y = f (x). Denicija. Funkcija f : X → Y je bijekcija ako je i injekcija i sirjekcija. Denicija. Za funkcije f : X → Y i g : Y → Z funkcija g ◦ f : X → Z data sa (g ◦ f )(x) = g(f (x)), za sve x ∈ X, naziva se kompozicija funkcija f i g (ili sloºena funkcija od f i g ). Teorema. Funkcija f : X → Y ima inverznu funkciju f −1 : Y → X tj. takvu da (∀x ∈ X) (f −1 ◦ f )(x) = x i (∀y ∈ Y ) (f ◦ f −1 )(y) = y, ako i samo ako je bijekcija. Realne funkcije U ovom kursu ¢emo posmatrati... X, Y ⊆ R Denicija. Realna funkcija jedne realne promenljive je svaka funkcija f : X → R, gde je X ⊆ R. za domen uzimamo naj²iri podskup od R za koji izraz kojim je data funkcija ima smisla - taj skup se naziva prirodni domen funkcije f , u oznaci Df za kodomen uzimamo naj£e²¢e ceo skup R funkcije mogu biti zadate: eksplicitno, implicitno i parametarski Osobine realnih funkcija Denicija. Funkcija f : X → R je ograni£ena sa gornje (donje) strane ako (∃M ∈ R)(∀x ∈ X) f (x) ≤ (≥)M. Funkcija je ograni£ena ako je ograni£ena i sa gornje i sa donje strane. Za skup X ⊆ R kaºemo da je simetri£an (prema koordinatnom po£etku) ako za sve x ∈ X vaºi i da −x ∈ X. Denicija. Funkcija f : X → R denisana na simetri£nom skupu X ⊆ R je parna ako (∀x ∈ X) f (−x) = f (x), a neparna ako (∀x ∈ X) f (−x) = −f (x). Grak parne funkcije je simetri£an u odnosu na y− osu, a grak neparne u odnosu na koordinatni po£etak! Funkcija denisana na simetri£nom skupu moºe se zapisati u obliku zbira parne i neparne funkcije: f (x) + f (−x) f (x) − f (−x) f (x) = +. 2 2 Ako domen funkcije nije simetri£an (u odnosu na koordinatni po£etak), onda ona nije ni parna ni neparna. Primer. Ispitati parnost slede¢ih funkcija: (a) f (x) = x2 + 2 (b) g(x) = x3 − x (c) h(x) = 3x − x2. Denicija. Za funkciju f : X → R, X ⊆ R kaºemo da je periodi£na ako postoji pozitivan broj T (koji se naziva periodom funkcije f ), takav da za sve x ∈ X i x + T ∈ X vaºi da je f (x + T ) = f (x). Najmanji takav pozitivan broj naziva se osnovni period funkcije f. Na primer, funkcija f (x) = sin x je periodi£na sa osnovnim periodom 2π. Primer. Date su funkcije f (x) = x2 i g(x) = x − 3. Prona¢i kompozicije f ◦ g i g ◦ f. Primer. Neka je f (x) = 2x − 7. Da li je ova funkcija bijekcija? Ako jeste, na¢i njoj inverznu funkciju f −1 (y), a zatim uporediti f −1 (y) i f (y). 1 Elementarne funkcije Matemati£ki model je matemati£ki opis (preko funkcija ili jedna£ina) nekog realnog fenomena (veli£ina popu- lacije, traºnja za nekim proizvodom, brzina padaju¢eg objekta,...). Svrha modela je da opi²e taj fenomen i moºda predvidi budu¢e pona²anje. Da bismo odredili model neophodno je: - odrediti nezavisne i zavisne promenljive - odrediti jedna£ine koje povezuju promenljive (koriste¢i zi£ke zakone ili na primer, sakupljanjem podataka). Matemati£ki model nikada nije idealan i ne moºe u potpunosti precizno da opi²e dati zi£ki proces (uvek se poja- vljuje nesigurnost). Mežutim, dobar matemati£ki model treba da bude dovoljno upro²¢en ali i dovoljno precizan. Da bismo to mogli da postignemo, neophodno je da dobro poznajemo funkcije i njohove osobine. Osnovne elementarne funkcije su: * konstantna f (x) = c = const, * stepena f (x) = xa ,  a = n, n ∈ N √  a = n1 , n ∈ N (korena funkcija f (x) = x1/n = n x)  a = −n, n ∈ N * eksponencijalna f (x) = ax , a > 0, * logaritamska f (x) = loga x, a > 0, a 6= 1, x > 0, * trigonometrijske, sin x cos x f (x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = tg x = , k(x) = ctg x = cos x sin x * inverzne trigonometrijske funkcije f (x) = arcsin x, g(x) = arccos x, h(x) = arctg x, k(x) = arcctg x ostale funkcije dobijaju se od osnovnih elementarnih funkcija primenom kona£no mnogo sabiranja, oduzima- nja, mnoºenja, deljenja i kompozicija Na primer:  polinomi (linearne, kvadratne funkcije) P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn , an 6= 0  racionalne funkcije P (x) R(x) = , P (x) i Q(x) su polinomi , Q(x) 6= 0 Q(x)  po delovima denisane funkcije (npr. f (x) = |x|)