অধ্যায় ১_ বাস্তব সংখ্যা PDF

অধ'ায়-০১ বাস্তব সংখ'া MAIN TOPIC বাস্তব সংখ*া মূ লদ অম...

অধ'ায়-০১ বাস্তব সংখ'া MAIN TOPIC বাস্তব সংখ*া মূ লদ অমূ লদ পূ ণর্ ভগ্নাংশ ধনাতব্ক 0 ঋনাতব্ক সাধারণ দশিমক অসীম অনাবৃ ত্ত দশিমক েমৗিলক 1 েযৗিগক পৰ্কৃত অপৰ্কৃত িমশৰ্ সসীম অসীম আবৃ ত্ত বাস্তব সংখ'া িনেয় সামিগৰ্ক আেলাচনা : সব্াভািবক সংখ*া (Natural Numbers) : সকল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ*াই সব্াভািবক সংখ*া। সব্াভািবক সংখ*াগ‌ুেলা সাধারণত গণনাকারী সংখ*া। সব্াভািবক সংখ*ার েসটেক 𝑁 দব্ারা পৰ্কাশ করা হয়। এবং 𝑁 = {1, 2, 3, … … } দৰ্ষ্টব* : (i) অখন্ড বলেত ভগ্নাংশ আকােরর নয় এমন সংখ*া সকল েজাড়, িবেজাড়, েমৗিলক ও েযৗিগক সংখ*ােক েবাঝায় যা িনেয় সব্াভািবক সংখ*ার েসট গিঠত। (ii) শূ ন* (0) সব্াভািবক সংখ*ার অন্তভূ র্ক্ত নয়। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 1 েমৗিলক সংখ*া (Prime Numbers) : 1 এর েচেয় বড় েয সকল সংখ*ার 1 এবং ঐ সংখ*ািট ব*তীত অন* েকােনা উৎপাদক বা গ‌ুণনীয়ক েনই তাই েমৗিলক সংখ*া। েযমন : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 … … ইত*ািদ। দৰ্ষ্টব* : 1 েমৗিলক সংখ*া নয়। িকন্তু 2 একমাতৰ্ েজাড় ও সবেচেয় েছাট েমৗিলক সংখ*া। েযৗিগক সংখ*া (Compound Numbers) : েয সকল সংখ*ার 1 এবং ঐ সংখ*া ব*তীত আেরা গ‌ুণনীয়ক বা উৎপাদক িবদ*মান তাই েযৗিগক সংখ*া। এককথায় যা েমৗিলক নয় তাই েযৗিগক সংখ*া। দৰ্ষ্টব* : 1 েমৗিলক বা েযৗিগক েকােনািটই নয়। পূ ণর্সংখ*া (Integers) : শূ ন*সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ*াসমূ হেক পূ ণর্ সংখ*া বলা হয়। অথর্াৎ, … − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 … ইত*ািদ। পূ ণর্সংখ*ার েসটেক 𝑍 দব্ারা পৰ্কাশ করা যায়। দৰ্ষ্টব* : সকল সব্াভািবক সংখ*া (𝑁), পূ ণর্ সংখ*ার (𝑍) মেধ* অন্তভূ র্ক্ত। পূ ণর্ সংখ*ােক দু ই ভােগ ভাগ করা যায়। ধনাত্মক পূ ণর্ সংখ*া (𝒁+) (Positive Integers) : এগ‌ুেলােক সব্াভািবক সংখ*া বেল। এগ‌ুেলার মান সবর্দাই শ‌ুন* অেপক্ষা বড়। অথর্াৎ, 𝑍+ = {1, 2, 3, … … } ঋণাত্মক পূ ণর্ সংখ*া (𝒁−) (Negative Integers) : শূ ন* অেপক্ষা েছাট সকল পূ ণর্সংখ*াই ঋণাত্মক পূ ণর্সংখ*া। অতএব 𝑍− = {… … − 4, − 3, − 2, − 1, } দৰ্ষ্টব* : শূ ন* (0), ধনাত্মক িকংবা ঋণাত্মক েকােনা ধরেনর পূ ণর্সংখ*ারই অন্তভূ র্ক্ত নয়। এিট অঋণাত্মক পূ ণর্ সংখ*ার অন্তভূ র্ক্ত। অঋণাত্মক পূ ণর্ সংখ*া, (Non-negative Integers) : শ‌ুন*সহ সকল ধনাত্মক পূ ণর্ সংখ*ােক অঋণাত্মক সংখ*া বলা হয়। েযমন, 0, 1, 2, 3, … ইত*ািদ। অঋণাত্মক পূ ণর্ সংখ*ার েসটেক 𝑍0 দব্ারা পৰ্কাশ করা হয়। সহেমৗিলক (Coprime) : দু ইিট সংখ*ার মেধ* 1 ব*তীত অন* েকােনা সাধারণ গ‌ুণনীয়ক না থাকেল সংখ*া দু ইিট পরস্পর সহেমৗিলক। েযমন, 2 ও 3, 4 ও 9, 7 ও 20, 12 ও 41 ইত*ািদ সংখ*াগ‌ুেলারর মেধ* 1 ব*াতীত েকােনা সাধারণ গ‌ুণনীয়ক েনই। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 2  ! ভগ্নাংশ সংখ*া (Fractional Numbers) : 𝑝, 𝑞 পরস্পর সহেমৗিলক, 𝑞 ≠ 0 এবং 𝑞 ≠ 1 হেল " # % &' আকােরর সংখ*ােক ভগ্নাংশ সংখ*া বেল। েযমন : $ , $ , % ইত*ািদ ভগ্নাংশ সংখ*া। িব : দৰ্ : 𝑝 < 𝑞 হেল ভগ্নাংশেক পৰ্কৃত ভগ্নাংশ এবং 𝑝 > 𝑞 হেল ভগ্নাংশেক অপৰ্কৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। েযমন : # # $ # % ( ' ' , , , , … … … ইত*ািদ পৰ্কৃত ভগ্নাংশ এবং , , , , … … … ইত*ািদ অপৰ্কৃত ভগ্নাংশ। $ % % ( $ % % ( ! মূ লদ সংখ*া (Rational Numbers) : 𝑝 ও 𝑞 পূ ণর্সংখ*া এবং 𝑞 ≠ 0 হেল আকােরর সংখ*ােক মূ লদ " সংখ*া বলা হয়। % ## ' েযমন, = 3, = 5.5, = 1.666 … ইত*ািদ মূ লদ সংখ*া। মূ লদ সংখ*ােক দু ইিট পূ ণর্সংখ*ার অনু পাত # $ % িহেসেব পৰ্কাশ করা যায়। সু তরাং সকল পূ ণর্সংখ*া এবং সকল ভগ্নাংশ সংখ*া হেব মূ লদ সংখ*া। মূ লদ সংখ*া েক 𝑄 দব্ারা পৰ্কাশ করা হয়। মুলদ সংখ*া েচনার উপায়ঃ (1) েযেকােনা পুণর্ সংখ*া মুলদ সংখ*া । েযমনঃ 3,0,1,54,128 ইত*ািদ। ## # (2) েয েকান সংখ*ার দশিমক িবন্দুর পের িনিদর্ষ্ট সংখ*ক অঙ্ক থাকেল তা মূ লদ। েযমনঃ 5.112, ,− $ * #++ # (3) ভাগফল আবৃ ত দশিমক ।েযমনঃ 5.020222202, , ,− % ! অমূ লদ সংখ*া (Irrational Numbers) : েয সংখ*ােক আকাের পৰ্কাশ করা যায় না , েযখােন 𝑝, 𝑞 " পূ ণর্সংখ*া এবং 𝑞 ≠ 0, েস সংখ*ােক অমূ লদ সংখ*া বলা হয়। পূ ণর্বগর্ নয় এরূপ েযেকােনা সব্াভািবক সংখ*ার বগর্মূল একিট অমূ লদ সংখ*া। ' েযমন, 2 = 1.414213 … … , 3 = 1.732 … … , $ = 1.58113 ইত*ািদ অমূ লদ সংখ*া। অমূ লদ সংখ*ােক দু ইিট পূ ণর্সংখ*ার অনু পাত িহেসেব পৰ্কাশ করা যায় না। অমূ লদ সংখ*ােক 𝑄 ) দব্ারা পৰ্কাশ করা হয়। দৰ্ষ্টব* : সকল মূ লদ (𝑄) ও অমূ লদ (𝑄 ) ) সংখ*া িনেয় বাস্তব সংখ*া গিঠত। অমুলদ সংখ*া েচনার উপায়ঃ ! (1) " আকাের না থাকেল, (2) অসমাপ্ত দশিমক, সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 3  (3) অসীম মান (েপৗনঃপুিনক নয়)। দশিমক ভগ্নাংশ সংখ'া মূ লদ সংখ*া ও অমূ লদ সংখ*া দশিমেক পৰ্কাশ করা হেল এেক দশিমক ভগ্নাংশ বলা হয়। ' #+ েযমন : 3 = 3.0, $ = 2.5, % = 3.333, 3 = 1.732 ইত*ািদ। দৰ্ষ্টব* : পৰ্েত*ক বাস্তব সংখ*ােক দশিমক ভগ্নাংেশ পৰ্কাশ করা যায়। দশিমক ভগ্নাংশ সংখ*ার পৰ্কারেভদ : দশিমক ভগ্নাংশ িতন পৰ্কার। যথা : (ক) সসীম দশিমক ভগ্নাংশ : দশিমক িবন্দুর পর অঙ্ক সংখ*া সসীম হেল এেদরেক সসীম দশিমক ভগ্নাংশ বেল। েযমন: 0.52, 3.1432, 1.326 ইত*ািদ। (খ) অসীম দশিমক ভগ্নাংশ: দশিমক িবন্দুর পর অঙ্ক সংখ*া অসীম হেল এেদরেক অসীম দশিমক ভগ্নাংশ বলা হয়। েযমন: 1.33 … … , 3.1415 … … ইত*ািদ। িব: দৰ্: পূ ণর্বগর্ নয় এমন সব্াভািবক সংখ*ার বগর্মূল সবর্দাই অসীম দশিমক ভগ্নাংশ সংখ*ার উদাহরণ। আবার অসীম দশিমক ভগ্নাংশ সংখ*াগ‌ুেলার মেধ* দশিমক িবন্দুর পর অঙ্কগ‌ুেলা পুনরাবৃ িত্ত হেল এেদরেক অসীম আবৃ ত দশিমক ভগ্নাংশ এবং অঙ্কগ‌ুেলার পুনরাবৃ িত্ত না হেল এেদর অসীম অনাবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ সংখ*া বলা হয়। ̇ 4̇ ইত*ািদ অসীম আবৃ ত দশিমক ভগ্নাংশ এবং 0.5230 … 2.1342 … েযমন: 1.2323 … , 5.65 ইত*ািদ অনাবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ। (গ) আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ : আবৃ ত্ত দশিমেক দশিমক িচেহ্নর ডানিদেকর অঙ্কগ‌ুেলা বা অংশিবেশষ বারবার থাকেব। েযমন: 3.333 … , 2.454545 … , 5.127127127 … ইত*িদ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ। এেদরেক 3. 3,̇ 2. 4̇ 5,̇ ও 5. 1̇ 2̇ 7̇ আকােরও পৰ্কাশ করা যায়। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 4 দৰ্ষ্টব* : সসীম দশিমক ও আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ মূ লদ সংখ*া। অসীম দশিমক ভগ্নাংশ অমূ লদ সংখ*া। েকােনা অমূ লদ সংখ*ার মান েযেকােনা দশিমক স্থান পযর্ন্ত িনধর্ারণ করা যায়। েকােনা ভগ্নাংেশর লব ও হরেক সব্াভািবক সংখ*ায় পৰ্কাশ করেত পারেল ঐ ভগ্নাংশিট মূ লদ সংখ*া। পূ ণর্বগর্ নয় এরূপ সংখ*ার বগর্মূল অসীম দশিমক ভগ্নাংশ। যথা: 2, 3 … … ইত*ািদ। মন্তব* : আবৃ ত্ত দশিমক সবসময় ভগ্নাংেশ পিরণত করা যায়। সকল আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ মূ লদ সংখ*া। বাস্তব সংখ*া (Real Number) : সকল মূ লদ সংখ*া এবং অমূ লদ সংখ*ােক বাস্তব সংখ*া বলা হয়। েযমন: # % 0, ±1, ±2, ±3, − $ , − $ , − 2, … … ইত*ািদ বাস্তব সংখ*া। বাস্তব সংখ*ােক 𝑅 দব্ারা পৰ্কাশ করা হয়। ধনাতব্ক সংখ*া (Positive Numbers) : শূ ন* অেপক্ষা বড় সকল বাস্তব সংখ*ােক ধনাতব্ক সংখ*া বলা হয় । # % এেক 𝑅! দব্ারা পৰ্কাশ করা হয় । েযমন : 1,2, , , 2, 0.415,0. 6̇ 2,̇ 4.120345061 … … ইত*ািদ ধনাতব্ক $ $ সংখ*া। ঋনাতব্ক সংখ*া (Negative Numbers) : শূ ন* অেপক্ষা েছাট সকল বাস্তব সংখ*ােক ঋনাতব্ক সংখ*া বলা হয় । এেক 𝑅" দব্ারা পৰ্কাশ করা হয় । েযমন : # % −1, −2, − $ , − $ , − 2, −0.415, −0. 6̇ 2,̇ −4.120345061 … ইত*ািদ ঋনাতব্ক সংখ*া। অঋনাতব্ক সংখ*া (Non-Negative Numbers) : শূ ন*সহ সকল ধনাতব্ক সংখ*ােক অঋনাতব্ক সংখ*া বলা হয়। েযমন : 0, 3, 1/2, 0.6112, 1.3,̇ 2.120345 … … ইত*ািদ অঋনাতব্ক সংখ*া। এেক 𝑅+ দব্ারা পৰ্কাশ করা হয় । আবৃ ত্ত ভগ্নাংশ েলখার িনয়ম : (i) আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংেশ েয অংশ বারবার আেস এেক আবৃ ত্ত অংশ বেল। েযমন: 3.333 … ও 2.555. সংখ*াদব্েয়র আবৃ ত্ত অংশ 3 ও 5। (ii) আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংেশ এক অঙ্ক আবৃ ত্ত হেল েস অেঙ্কর উপর েপৗন:পুিনক িবন্দু (@) েদওয়া হয়। েযমন : 3.333 … ও 2.555 … সংখ*ােক েলখা হয় 3. 3̇ ও 2. 5। ̇ iii) একািধক অঙ্ক আবৃ ত্ত হেল েকবলমাতৰ্ পৰ্থম ও েশষ অেঙ্কর উপর েপৗন:পুিনক িবন্দু েদওয়া হয়। েযমন: 3.124124124 … ও 5.186186186 … সংখ*ােক েলখা হয় 3. 12 ̇ 4̇ ও 5. 18 ̇ 6̇ । দৰ্ষ্টব* : দশিমক ভগ্নাংেশ দশিমক িবন্দুর পর আবৃ ত্তাংশ ছাড়া অন* েকােনা অঙ্ক না থাকেল; এেক িবশ‌ুদ্ধ েপৗন:পুিনক বেল িকন্তু একািধক অঙ্ক থাকেল এেক িমশৰ্ েপৗন:পুিনক বেল। েযমন: 1. 3̇ িবশ‌ুদ্ধ েপৗন:পুিনক ভগ্নাংশ এবং 4.2351̇ 2̇ িমশৰ্ েপৗন:পুিনক ভগ্নাংশ। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 5 আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশেক সাধারন ভগ্নাংেশ রূপান্তেরর িনয়ম : িনেণর্য় ভগ্নাংেশর লব = পৰ্দত্ত দশিমক ভগ্নাংেশর দশিমক িবন্দু বাদ িদেয় পৰ্াপ্ত সংখ*া এবং অনাবৃ ত্ত অংশ দব্ারা গিঠত সংখ*ার িবেয়াগফল। িনেণর্য় ভগ্নাংেশর হর = দশিমক িবন্দুর পের আবৃ ত্ত অংেশ যতগ‌ুেলা অঙ্ক আেছ ততগ‌ুেলা নয় (9) এবং অনাবৃ ত্ত অংেশ যতগ‌ুেলা অঙ্ক আেছ ততগ‌ুেলা শ‌ুন* (0) দব্ারা। গিঠত সংখ*া। লব দশিমক ও েপৗন∶ পুিনক িচহ্ন বােদ পুেরা সংখ7া # অনাবৃ ত্ত অংশ ∴সাধারন ভগ্নাংশ = হর = দশিমেকর পর যতগ‌ুেলা আবৃ ত্ত সংখ7া ততগ‌ুেলা 9 এবং যতগ‌ুেলা অনাবৃ ত্ত আেছ ততগ‌ুেলা শূ ন7 ̇ 6̇ েকসাধারন ভগ্নাংেশ রূপান্তর কর, 45.234 (i) দশিমক ও েপৗন:পুিনক বােদ পুেরা সংখ*া 452346 (ii) অনাবৃ ত্ত অংশ 452 (iii) দশিমেকর পর আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া িতনিট (যা 3, 4 ও 6 ) 452346 − 452 451894 225947 1172 ̇ 6̇ = ∴ 45.234 = = = 45 9990 9990 4995 4995 ̇ 7̇ সংখ*ািটেত অনাবৃ ত্ত অংশ 645 আবার দশিমেকর পর আবৃ ত্ত অঙ্ক সংখ*া চারিট (যা অনু রুপভােব 6.45373 3, 7, 3 ও 7 ) এবং অনাবৃ ত্ত অঙ্ক সংখ*া দু ইিট (যা 4 ও 5 ) ̇ 7̇ = 6453737−645 6453092 15973 ∴6.45373 999900 = 999900 = [ 404 দব্ারা ভাগ কের ] 2475 সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ : আবৃ ত্ত দশিমকগ‌ুেলােত দশিমক িবন্দুর পর অনাবৃ ত্ত অংশ ও আবৃ ত্ত অংশ উভেয়র অঙ্ক সংখ*া সমান হেল তােদর সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ বেল। েযমন: i) 12. 4̇ 5̇ ও 6. 3̇ 2̇ সংখ*াদব্েয়র উভয় সংখ*ার দশিমক িবন্দুর পর আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া দু ইিট এবং অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া শূ ন*। অতএব, সংখ*াদব্য় সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক সংখ*া। (ii) 9.453̇ ও 125.897̇ উভয় সংখ*ার েক্ষেতৰ্ দশিমক িবন্দুর পর আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া একিট এবং অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া দু ইিট কের। অতএব, সংখ*াদব্য় সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক। িবসদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ : েকােনা আবৃ ত্ত দশিমক সংখ*া সদৃ শ আবৃ ত্ত না হেল তােদর িবসদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ বেল। যথা : (ক) 0.345 ̇ 6̇ ও 7.4578 ̇ 9̇ সংখ*া দু ইিট উভেয়র (i) দশিমক িবন্দুর পর আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক িতনিট। (ii) অনাবৃ ত্ত অংেশর অেঙ্কর সংখ*া যথাকৰ্েম 1 ও 2 িট। ∴ সংখ*াদব্য় িবসদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক সংখ*া। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 6 (খ) 6.35̇ 7̇ ও 2.8934 ̇ 5̇ সংখ*া দু ইিটেত দশিমক িবন্দুর পর (i) আবৃ ত্ত অংেশর সংখ*া যথাকৰ্েম 2 িট ও 3 িট (ii) অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া যথাকৰ্েম 1 িট ও 2 িট ∴ সংখ*াদব্য় িবসদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক সংখ*া। িবসদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমকগ‌ুেলােক সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমেক পিরবতর্েনর িনয়ম : সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক সংখ*া হেলা সংখ*াগ‌ুেলার দশিমক িবন্দুর পর আবৃ ত্ত ও অনাবৃ ত্ত উভয় অংেশর অঙ্ক সংখ*া সমান। সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমেক পিরবতর্ন করেত হেল িনেচর িনয়ম অনু সরণ করেত হেব। ধাপ-১ : দশিমক িবন্দুর পর েয সংখ*ায় অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া সবর্ািধক পৰ্িতিট সংখ*ার অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া তেতা হেব। ধাপ-২ : দশিমক িবন্দুর পর সংখ*াগ‌ুেলার আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*ার ল.সা.গ‌ু িনণর্য় করেত হেব। ল.সা.গ‌ুর মােনর সমান সংখ*ক আবৃ ত্ত অংশ পৰ্িতিট সংখ*া িবদ*মান থাকেব। বাস্তব সংখ*ার গ‌ুণন পৰ্িকৰ্য়ার েমৗিলক ৈবিশষ্ট* : ১. 𝑎, 𝑏 বাস্তব সংখ*া হেল, (i) 𝑎 + 𝑏 বাস্তব সংখ*া এবং (ii) 𝑎𝑏 বাস্তব সংখ*া ২. 𝑎, 𝑏 বাস্তব সংখ*া হেল, (i) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 বাস্তব সংখ*া এবং (ii) 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 বাস্তব সংখ*া ৩. 𝑎, 𝑏, 𝑐 বাস্তব সংখ*া হেল, (i) ( 𝑎 + 𝑏 ) + 𝑐 = 𝑎 + ( 𝑏 + 𝑐 ) বাস্তব সংখ*া এবং (ii) (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) ৪. 𝑎 বাস্তব সংখ*া হেল, েকবল দু ইিট বাস্তব সংখ*া 0 ও 1 আেছ েযখােন (i) 0 ≠ 1, (ii) 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 এবং (iii) 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎 # ৫. 𝑎 বাস্তব সংখ*া হেল, (i) 𝑎 + (−𝑎) = 0 (ii) 𝑎 ≠ 0 হেল 𝑎 ⋅ - = 1 ৬. 𝑎, 𝑏, 𝑐 বাস্তব সংখ*া হেল, 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 ৭. 𝑎, 𝑏 বাস্তব সংখ*া হেল, 𝑎 < 𝑏 অথবা 𝑎 = 𝑏 অথবা 𝑎 > 𝑏 ৮. 𝑎, 𝑏, 𝑐 বাস্তব সংখ*া এবং 𝑎 < 𝑏 হেল, 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 ৯. 𝑎, 𝑏, 𝑐 বাস্তব সংখ*া এবং 𝑎 < 𝑏 হেল, (i) 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 যখন 𝑐 > 0 (ii) 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 যখন 𝑐 < 0 সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 7  TYPEWISE MATH Type-01 Model example-01: 𝟓. 𝟔,̇ 𝟕. 𝟑𝟒̇ 𝟓̇ , ও 𝟏𝟎. 𝟕𝟖𝟒𝟐 ̇ 𝟑̇ েক সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংেশ পিরণত কর। সমাধান : 5. 6̇ এ অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া যথাকৰ্েম 0 এবং আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া 1 7.34̇ 5̇ এ অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া যথাকৰ্েম 1 এবং আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া 2 ̇ 3̇ এ অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া যথাকৰ্েম 2 এবং আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া 3 10.7842 এখােন,অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া সবেচেয় েবিশ হল 2 এবং আবৃ ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া 1,2,3 ও এর ল.সা.গ‌ু. 6। অথর্াৎ ভগ্নাংশগ‌ুেলােক সদৃ শ আবৃ ত দশিমেক পিরবতর্ন করেত হেল , অনাবৃ ত্ত অংেশ অঙ্ক সংখ*া হেব 2 এবং আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া হেব 6। সু তরাং, 5. 6̇ = 5.6666666 ̇ 6̇ 7.34̇ 5̇ = 7.3454545 ̇ 4̇ ̇ 3̇ = 10.7842342 10.7842 ̇ 3̇ ̇ িনেণর্য় সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশসমূ হ যথাকৰ্েম 5.6666666 ̇ 6,̇ 7.34545454̇ ও 10.7842342 ̇ 3̇ িনেজ কর ̇ 3̇ , ও 7.525̇ 6̇ েক সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংেশ পিরবতর্ন কর। 3.467, 2.0124 সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 8  Type-02 ধাপ-১ : পৰ্থেম সংখ*াগ‌ুেলােক সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমেক পিরবতর্ন করেত হেব। ধাপ-২ : অত:পর সসীম দশিমেকর িনয়েম েযাগ করেত হেব। ধাপ-৩ : পৰ্কৃত েযাগফল েপেত হেল আবৃ ত্ত দশিমক েয অংশ হেত শ‌ুরু (বাম েথেক) েস অংেশর অঙ্কগ‌ুেলার েযাগ করেল হােত েয সংখ*ািট থােক তা সবর্েশষ আবৃ ত্ত অংেশর অেঙ্কর সােথ েযাগ করেত হেব। Model example-01: 𝟑. 𝟖̇ 𝟗,̇ 𝟐. 𝟏𝟕̇ 𝟖̇ ও 𝟓. 𝟖𝟗𝟕𝟗 ̇ 𝟖̇ েযাগ কর। ধাপ-১ : সংখ*াগ‌ুেলা দশিমক িবন্দুর পর অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া সবর্ািধক দু ই। আবার দশিমেকর পর আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া হেলা 2, 2 ও 3 এবং এেদর ল.সা.গ‌ু. 6। ∴ সংখ*াগ‌ুেলার সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমেক দশিমক িবন্দুর পর অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া হেব 2 এবং আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া হেব 6 । 3. 8̇ 9̇ ̇ = 3.89898989̇ ∴ 2.17̇ 8̇ ̇ = 2.17878787̇ ধাপ- ১ ̇ 8̇ 5.8979 ̇ = 5.89798798̇ ̇ 11.97576574 } ধাপ- ২ +2 } ধাপ- ৩ ̇ 11.97576576̇ ধাপ-৩ এর ব*াখ*া : (১) সসীম দশিমেকর িনয়েম েযাগ করার পর পৰ্কৃত েযাগফল েপেত 2 েযাগ করা হেয়েছ। কারণ আবৃ ত্ত দশিমক েযখান হেত শ‌ুরু (বাম হেত) েস অংেশর অঙ্কগ‌ুেলার েযাগফল 8 + 8 + 7 + 2 = 25 যােত, পূ েবর্র েযাগফেলর হােত 2 আেছ। (২) পৰ্াপ্ত সংখ*া 2 সবর্ডােনর আবৃ ত্ত অেঙ্কর সােথ েযাগ কের পৰ্কৃত েযাগফল িনণর্য় করা হেয়েছ। দৰ্ষ্টব* : সবর্ডােন 2 েযােগর ধারণা েবাঝাবার জন* এ েযাগিট অন* িনয়েম করা হেলা : সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 9  3. 8̇ 9̇ ̇ = 3.89898989̇ ǀ 89 ∴ 2.17̇ 8̇ ̇ = 2.17878787̇ ǀ 87 ̇ 8̇ 5.8979 ̇ = 5.89798798̇ ǀ 79 ̇ 11.97576576̇ ǀ 55 এখােন আবৃ ত্ত অংশ েশষ হওয়ার পর আরও 2 অঙ্ক পযর্ন্ত সংখ*ােক বাড়ােনা হেয়েছ। আতিরক্ত অঙ্ক গ‌ুেলােক একটা খাড়া েরখা দব্ারা আলাদা কের েদওয়া হেয়েছ। এরপর েযাগ করা হেয়েছ। খাড়া েরখার ডােনর অেঙ্কর েযাগফল েথেক হােতর 2 এেস খাড়া েরখার বােমর অেঙ্কর সােথ েযাগ হেয়েছ। খাড়া েরখার ডােনর অঙ্কিট এবং েপৗন:পুিনক িবন্দু শ‌ুরু হওয়ার অঙ্কিট একই। তাই দু ইিট েযাগফলই এক। িনেজ কর ̇ 8̇ খ) 1.345,̇ 0.3157 ক) 2.09̇ 7̇ ও 5.1276 ̇ 6̇ ও 8.0567̇ 8̇ Type-03 ধাপ-১ : পৰ্থেম সংখ*াগ‌ুেলােক সদৃ শ আবৃ ত্ত দশিমেক পিরবতর্ন করেত হেব। ধাপ-২ : অত:পর সসীম দশিমেকর িনয়েম িবেয়াগ করেত হেব। ধাপ-৩ : েপৗন:পুিনক িবন্দু েযখােন শ‌ুরু (বাম হেত) েসখােন হােতর েকােনা সংখ*া থাকেল তা সবর্ডােনর অঙ্ক েথেক 1 িবেয়াগ করেত হেব । Model example-01: 𝟖. 𝟐𝟒̇ 𝟑̇ েথেক 𝟓. 𝟐𝟒𝟔𝟕 ̇ 𝟑̇ িবেয়াগ কর। সমাধান : এখােন অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া হেব 2 এবং আবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া হেব 2 ও 3 এর ল.সা.গ‌ু 6। এখন দশিমক সংখ*া দু ইিটেক সদৃ শ কের িবেয়াগ করা হেলা। 8.24̇ 3̇ ̇ = 8.24343434̇ ̇ 3̇ 5.2467 ̇ = 5.24673673̇ ̇ 2.99669761 [3 েথেক 6 িবেয়াগ করেল হােত 1 িনেত হেব] −1 ̇ 2.99669760̇ সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 10  ̇ িনেণর্য় িবেয়াগফল 2.99669760̇ মন্তব* : েপৗন:পুিনক িবন্দু েযখােন শ‌ুরু েসখােন িবেয়াজন সংখ*া িবেয়াজ* সংখ*া েথেক েছাট হেল সব সময় সবর্ডােনর অঙ্ক েথেক 1 িবেয়াগ করেত হেব। দৰ্ষ্টব* : সবর্ডােনর অঙ্ক েথেক 1 েকন িবেয়াগ করা হয় তা েবাঝাবার জন* িনেচ অন*ভােব িবেয়াগ কের েদখােনা হেলা : 8.24̇ 3̇ ̇ = 8.24343434̇ ǀ 34 ̇ 3̇ 5.2467 ̇ = 5.24673673̇ ǀ 67 ̇ 2.99669760̇ ǀ 67 ̇ িনেণর্য় িবেয়াগফল 2.99669760̇ ǀ 67 এখােন দু ইিট িবেয়াগফলই এক। িনেজ কর ক) 3. 4̇ − 2.13̇ খ) 5. 1̇ 2̇ − 3.45̇ গ) 8.49 − 5.35̇ 6̇ ঘ) 19.345̇ − 13.234 ̇ 9̇ Type-04 আবৃ ত্ত দশিমেকর গ‌ুণ : আবৃ ত্ত দশিমেকর গ‌ুণফল িনণর্েয় িনেম্নাক্ত িবষয়গ‌ুেলা জরুির। ধাপ-১ : আবৃ ত্ত দশিমকগ‌ুেলােক সাধারণ ভগ্নাংেশ পিরণত কের গ‌ুেণর কাজ সমাধান করেত হেব। ধাপ-২ : পৰ্াপ্ত ভগ্নাংশিটেক দশিমেক পৰ্কাশ কের আবৃ ত্ত দশিমক আকাের পৰ্কাশ করেত হেব (সম্ভব হেল)। Model example-01: : 𝟒. 𝟑̇ েক 𝟓. 𝟕̇ দব্ারা গ‌ুণ কর। সমাধান : সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 11  43 − 4 39 13 4. 3̇ = = = 9 9 3 ধাপ-১ পৰ্েয়াগ। 57 − 5 52 5. 7̇ = = 9 9 #% '$ *.* ̇ ∴ 4. 3×5. 7̇ = % × , = $. = 25.037037037 [ক*ালকুেলটর ব*বহার কের] পৰ্াপ্ত দশিমক ভগ্নাংেশ 037 অংশ পুনরাবৃ ত্ত হেয়েছ। ̇ 7̇ ∴ িনেণর্য় আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ = 25. 03 মন্তব* : আবৃ ত্ত দশিমেকর গ‌ুণফল আবৃ ত্ত দশিমক হেতও পাের নাও হেত পাের। িনেজ কর ক) 1.13̇ েক 2.6 দব্ারা গ‌ুণ কর। ̇ খ) 0. 2×1. 1̇ 2×0.0 ̇ 8̇ 1̇ = কত ? Type-5 ধাপ-১: আবৃ ত দশিমকগ‌ুেলােক সাধারণ ভগ্নাংেশ পিরণত কের ভােগর কাজ সমাধান করেত হেব। ধাপ-২: পৰ্াপ্ত ভগ্নাংশিটেক দশিমক ভগ্নাংেশ পৰ্কাশ করেলই আবৃ ত্ত দশিমকগ‌ুেলার ভাগফল পাওয়া যােব। Model example-01: 𝟕. 𝟑̇ 𝟐̇ েক 𝟎. 𝟐𝟕̇ দব্ারা ভাগ কর।.%$&..$' সমাধান : 7. 3̇ 2̇ = = ,, ,, $.&$ $' ' এবং 0.27̇ = ,+ = ,+ = #/ 725 5 725 18 290 ∴ 7. 3̇ 2̇ ÷ 0.27̇ = ÷ = × = = 26.36363636 99 18 99 5 11 ∴ িনেণর্য় ভাগফল = 26. 3̇ 6। ̇ িনেজ কর ক) 0. 3̇ ÷ 0. 6̇ খ) 0.35̇ ÷ 1. 7̇ গ) 2.37̇ ÷ 0.45̇ ঘ) 1. 18 ̇ 5̇ ÷ 0. 2̇ 4̇ সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 12  Type-6 Model example-01: 𝟑 এবং 𝟒 এর মেধ* দু ইিট অমূ লদ সংখ*া িনণর্য় কর। সমাধান : এখােন, 3 = 1.7320508 … 3+4 3+4+4 মেন কির, 𝑎 = 2 ≈ 2.866 এবং 𝑏 = 3 ≈ 3.244 স্পষ্টত 𝑎 ও 𝑏 উভয়ই বাস্তব সংখ*া এবং উভয়ই 3 অেপক্ষা বড় এবং 4 অেপক্ষা েছাট। কারণ 𝑎 হেলা অসমান সংখ*া 3 এবং 4 এর গড়, এবং 𝑏 হেলা 3, 4 এবং 4 এর গড়। অথর্াৎ 3 < 2.866 ⋯ < 4 এবং 3 < 3.244 < 4 ⋯ আবার 𝑎 ও 𝑏 েক ভগ্নাংশ আকাের পৰ্কাশ করা যায় না। ∴ 𝑎 ও 𝑏 দু ইিট িনেণর্য় অমূ লদ সংখ*া। আসেল এরূপ অসংখ* অমূ লদ সংখ*া িনণর্য় করা যায়। Model example-02: পৰ্মাণ কর েয, েকােনা চারিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*ার গ‌ুণফেলর সােথ 𝟏 েযাগ করেল েযাগফল একিট পূ ণর্বগর্ সংখ*া হেব। সমাধান : মেন কির, চারিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*া যথাকৰ্েম 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3 । কৰ্িমক সংখ*া চারিটর গ‌ুণফেলর সােথ 1 েযাগ করেল পাওয়া যায়, 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + 1 = 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) + 1 = 𝑥 $ + 3𝑥 𝑥 $ + 3𝑥 + 2 + 1 = 𝑎(𝑎 + 2) + 1 [ এবার 𝑥 $ +3𝑥 = 𝑎 ধের ] = 𝑎$ + 2𝑎 + 1 = (𝑎 + 1)$ = 𝑥 $ + 3𝑥 + 1 $ যা একিট পূ ণর্বগর্ সংখ*া। সু তরাং েয েকােনা চারিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*ার গ‌ুণফেলর সােথ 1 েযাগ করেল েযাগফল একিট পূ ণর্বগর্ সংখ*া হেব। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 13  SOLVED CQ 1. 1, 3, 5, 7, 9 … … … … ইত*ািদ িবেজাড় সব্াভািবক সংখ*া। ক. সংখ*াগ‌ুেলােক একিট সাধারণ রািশর মাধ*েম পৰ্কাশ কর। খ. েদখাও েয, পৰ্দত্ত েযেকােনা সংখ*ার বগর্ সবর্দা িবেজাড় সংখ*া। গ. পৰ্মাণ কর েয, পৰ্দত্ত েযেকােনা সংখ*ার বগর্েক ৪ দব্ারা ভাগ করেল পৰ্িতেক্ষেতৰ্ ভাগেশষ 1 থােক। (ক) েদওয়া আেছ, ১ম সংখ*া = 1 = 2 × 1 − 1 ২য় সংখ*া = 3 = 2 × 2 − 1 ৩য় সংখ*া = 5 = 2 × 3 − 1 ৪থর্ সংখ*া = 7 = 2 × 4 − 1 𝑛 তম সংখ*া = 2 × 𝑛 − 1 = 2𝑛 − 1. িনেণর্য় সাধারণ রািশ (2𝑛 − 1 ), েযখােন 𝑛 𝜖 ℕ উওর: (2𝑛 − 1) (খ) ‘ক’ হেত পাই, উদ্দীপেক উেল্লিখত সংখ*াগ‌ুেলার সাধারণ রািশ = 2𝑛 − 1 েযখােন 𝑛 𝜖ℕ এখােন পৰ্দত্ত েয েকােনা সংখ*ার বগর্ িবেজাড় সংখ*া েদখােনার জন* এটা পৰ্মাণ করাই যেথষ্ট হেব েয, 2𝑛 − 1 $ একিট িবেজাড় সংখ*া। এখন, (2𝑛 − 1)$ = 4𝑛$ − 4𝑛 + 1 = 4𝑛$ − 4𝑛 + 2 − 1 = 2 2𝑛$ − 2𝑛 + 1 − 1 = 2𝑚 − 1 [ 2𝑛$ − 2𝑛 + 1 = 𝑚 ধের েযখােন 𝑚 𝜖 ℕ ] 𝑚 এর েযেকােনা মােনর জন* 2𝑚 − 1 একিট িবেজাড় সংখ*া। সু তরাং পৰ্দত্ত েযেকােনা সংখ*ার বগর্ সবর্দা িবেজাড় সংখ*া। (েদখােনা হেলা) সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 14 (গ) পৰ্দত্ত সংখ*াগ‌ুেলা হেলা িবেজাড় সব্াভািবক সংখ*া। ধির, 𝑥 েযেকােনা িবেজাড় সব্াভািবক সংখ*া। ∴ 𝑥 = 1 হেল, 𝑥 $ = 1$ = 1 যােক 8 দব্ারা ভাগ করেল 1 ভাগেশষ থাকেব। এখন, 𝑥 > 1 হেল, 𝑥 = 2𝑛 + 1 েলখা যায় েযখােন 𝑛 𝜖 𝑁 ∴ 𝑥 $ = (2𝑛 + 1)$ = 4𝑛$ + 4𝑛 + 1 = 4𝑛(𝑛 + 1) + 1 এখােন 𝑛 এবং 𝑛 + 1। রািশ দু ইিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*া। সু তরাং এেদর মেধ* একিট েজাড় সংখ*া হেবই। ∴ 4 𝑛(𝑛 + 1 ) রািশিট 4×2 বা, ৪ দব্ারা িবভাজ*। ফেল 4 𝑛(𝑛 + 1) + 1 রািশিটেক 8 দব্ারা ভাগ করেল 1 ভাগেশষ থাকেব। অতএব, পৰ্দত্ত েযেকােনা সংখ*ার বগর্েক ৪ দব্ারা ভাগ করেল পৰ্িতেক্ষেতৰ্ 1 ভাগেশষ থাকেব। (পৰ্মািণত) 2. সব্াভািবক সংখ*াগ‌ুেলা হেলা 1, 2, 3, 4, ….ইত*ািদ ক. কৰ্িমক েজাড় সব্াভািবক সংখ*াগ‌ুেলা িলখ। খ. পৰ্মাণ কর েয, দু ইিট কৰ্িমক েজাড় সংখ*ার গ‌ুণফল ৪ দব্ারা িবভাজ*। গ. পৰ্মাণ কর েয, চারিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*ার গ‌ুণফেলর সােথ 1 েযাগ করেল েযাগফল একিট পূ ণর্বগর্ সংখ*া হেব। (ক) কৰ্িমক েজাড় সব্াভািবক সংখ*াগ‌ুেলা হেলা 2, 4, 6, 8 … ইত*ািদ। (Ans.) (খ) মেন কির, 𝑥 েযেকােনা সব্াভািবক সংখ*া। ∴ 2𝑥 হেব েজাড় সব্াভািবক সংখ*া। এখন 2𝑥, 2𝑥 + 2 দু ইিট কৰ্িমক েজাড় সব্াভািবক সংখ*া। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 15 তাহেল, 2𝑥(2𝑥 + 2) = 2.2𝑥(𝑥 + 1) = 4𝑥(𝑥 + 1). েযেহতু 𝑥 একিট সব্াভািবক সংখ*া। তাহেল 𝑥 ও (𝑥 + 1) দু ইিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*া, েযখােন একিট অবশ*ই েজাড় সংখ*া হেব। ফেল 𝑥(𝑥 + 1) একিট েজাড় সংখ*া হেব। মেন কির, 𝑥(𝑥 + 1) = 2𝑚; েযখােন, m সব্াভািবক সংখ*া। 4𝑥(𝑥 + 1) = 4 × 2𝑚 বা, 2𝑥(2𝑥 + 2) = 8𝑚 যা 8 দব্ারা িবভাজ* অতএব, দু ইিট কৰ্িমক েজাড় সংখ*ার গ‌ুণফল ৪ দব্ারা িবভাজ*। (পৰ্মািণত) (গ) মেন কির, চারিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*া যথাকৰ্েম 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3 কৰ্িমক সংখ*া চারিটর গ‌ুণফেলর সােথ 1 েযাগ করেল পাওয়া যায়, 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + 1 = 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) + 1 = 𝑥 $ + 3𝑥 𝑥 $ + 3𝑥 + 2 + 1 = 𝑎(𝑎 + 2) + 1; 𝑥 $ + 3𝑥 = 𝑎 = 𝑎$ + 2𝑎 + 1 = (𝑎 + 1)$ = 𝑥 $ + 3𝑥 + 1 $ যা একিট পূ ণর্বগর্ সংখ*া। ∴ চারিট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*ার গ‌ুণফেলর সােথ 1 েযাগ করেল েযাগফল একিট পূ ণর্বগর্ সংখ*া হেব। (পৰ্মািণত) সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 16 3. m$ + 3m + 1 $ একিট পূ ণর্ বগর্ রািশ এবং 𝑚 𝜖 𝑁। ক. রািশিটর চলেকর সেবর্াচ্চ ঘাত কত? খ. পৰ্াপ্ত রািশ েথেক 1 িবেয়াগ করেল রািশিট চারিট কৰ্িমক সংখ*ার গ‌ুণফল আকাের পৰ্কািশত হয়। কৰ্িমক সংখ*াগ‌ুিল িনণর্য় কর। গ. যিদ 𝑚 < 10 হয় তেব 𝑚 এর েকান মােনর জন* রািশর বগর্মূেলর মান েযৗিগক সংখ*া হেব? (ক) পৰ্দত্ত রািশ 𝑚$ + 3𝑚 + 1 $ = 𝑚( + 9𝑚$ + 1 + 6𝑚% + 6𝑚 + 2𝑚$ = 𝑚( + 6𝑚% + 11𝑚$ + 6𝑚 + 1 পৰ্দত্ত রািশর চলক 𝑚 এর সেবর্াচ্চ ঘাত 4 Ans. 4 (খ) পৰ্দত্ত রািশ েথেক 1 বাদ িদেল রািশিট দাঁড়ায় = 𝑚$ + 3𝑚 + 1 $ −1 = 𝑚$ + 3𝑚 + 1 $ − (1)$ = 𝑚$ + 3𝑚 + 1 + 1 𝑚$ + 3𝑚 + 1 − 1 = 𝑚$ + 3𝑚 + 2 𝑚$ + 3𝑚 = 𝑚$ + 2𝑚 + 𝑚 + 2 𝑚$ + 3𝑚 = {𝑚(𝑚 + 2) + 1(𝑚 + 2)}𝑚(𝑚 + 3) = 𝑚(𝑚 + 1)(𝑚 + 2)(𝑚 + 3) েযেহতু 𝑚 𝜖 ℕ সু তরাং 𝑚, (𝑚 + 1), (𝑚 + 2), ও (𝑚 + 3) কৰ্িমক সংখ*া। Ans. 𝑚, 𝑚 + 1, 𝑚 + 2, 𝑚 + 3 সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 17 (গ) পৰ্দত্ত রািশর বগর্মূল = 𝑚$ + 3𝑚 + 1 $ = 𝑚$ + 3𝑚 + 1 𝑚$ + 3𝑚 + 1 রািশেত 𝑚 = 1, 2, …. 9 পযর্ন্ত মানগ‌ুেলা বসাই, 𝑚 = 1 হেল (1$ + 3 × 1 + 1) = 5, যা েযৗিগক সংখ*া নয়। 𝑚 = 2 হেল (2$ + 3 × 2 + 1) = 11, যা েযৗিগক সংখ*া নয়। 𝑚 = 3 হেল (3$ + 3 × 3 + 1) = 19, যা েযৗিগক সংখ*া নয়। 𝑚 = 4 হেল (4$ + 3 × 4 + 1) = 29, যা েযৗিগক সংখ*া নয়। 𝑚 = 5 হেল (5$ + 3 × 5 + 1) = 41, যা েযৗিগক সংখ*া নয়। 𝑚 = 6 হেল (6$ + 3 × 6 + 1) = 55, যা েযৗিগক সংখ*া। ∴ 𝑚 = 6 হেল পৰ্দত্ত রািশর বগর্মূল একিট েযৗিগক সংখ*া। Ans. 6 4. 𝑛 একিট িবেজাড় সব্াভািবক সংখ*া হেল, 𝑛 = 2𝑥 − 1. েযখােন 𝑥 𝜖 ℕ ক. সব্াভািবক সংখ*া কী? খ. েদখাও েয, পৰ্দত্ত সংখ*ার বগর্ একিট িবেজাড় সংখ*া। গ. েদখাও েয, পৰ্দত্ত সংখ*ার বগর্েক ৪ দব্ারা ভাগ করেল পৰ্িতেক্ষেতৰ্ ভাগেশষ 1 হেব। (ক) 1, 2, 3, 4, … … … ইত*ািদ সংখ*াগ‌ুেলােক সব্াভািবক সংখ*া বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ*া বেল। সব্াভািবক সংখ*ার েসটেক ℕ দব্ারা। পৰ্কাশ করা হয়। অথর্াৎ, ℕ = {1, 2, 3, 4, … … …} (খ) মেন কির, 2𝑥 − 1 একিট িবেজাড় পূ ণর্সংখ*া, েযখােন 𝑥 𝜖 ℕ. তাহেল (2𝑥 − 1) এর বগর্ = (2𝑥 − 1)$ = (2𝑥)$ − 2.2𝑥 ⋅ 1 + (1)$ সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 18  = 4𝑥 $ − 4𝑥 + 1 = 4𝑥(𝑥 − 1) + 1 = 2.2𝑥 (𝑥 − 1) + 1 েযেহতু 𝑥 𝜖 ℕ সু তরাং 2.2𝑥(𝑥 − 1) একিট েজাড় সংখ*া। ∴ 2.2𝑥(𝑥 − 1) + 1 সংখ*ািট িবেজাড়। সু তরাং, 2𝑥 − 1 (𝑥 𝜖 ℕ) এর বগর্ একিট িবেজাড় সংখ*া। (েদখােনা হেলা) (গ) এখােন (2𝑥 − 1) এর বগর্ = (2𝑥 − 1)$ = (2𝑥)$ − 2.2𝑥 ⋅ 1 + (1)$ = 4𝑥 $ − 4𝑥 + 1 = 4𝑥(𝑥 − 1) + 1 এখােন, 𝑥 এবং (𝑥 − 1) দু িট কৰ্িমক সব্াভািবক সংখ*া। সু তরাং এেদর েয েকান একিট অবশ*ই েজাড় সংখ*া হেব। এেদর গ‌ুণফলও েজাড়সংখ*া হেব। ∴ 𝑥(𝑥 − 1), 2 দব্ারা িবভাজ*। 4𝑥(𝑥 – 1), 4 × 2 = 8 দব্ারা িবভাজ*। সু তরাং 4𝑥(𝑥 − 1) + 1 েক ৪ দব্ারা ভাগ করেল পৰ্িতেক্ষেতৰ্ 1 অবিশষ্ট থাকেব। ∴ (2𝑥 − 1) এর বগর্েক ৪ দব্ারা ভাগ করেল পৰ্িতেক্ষেতৰ্ 1 অবিশষ্ট থাকেব। (েদখােনা হেলা) সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 19 িনেজ কর #.0 ## 1. i. 𝑥 = $ + 3 ii. 𝑦 =.& ## ক. (i) হেত 𝑥 এর মান চার দশিমক স্থান পযর্ন্ত েবর কর। খ. (ii) হেত 𝑦 এর মান িতন দশিমক স্থান পযর্ন্ত িনণর্য় কর এবং 𝑥 ও 𝑦 এর মােঝ দু ইিট মূ লদ সংখ*া েবর কর। গ. (ii) 𝑥 ও 𝑦 এর মােঝ একিট অমূ লদ সংখ*া িনণর্য় কর । 2. 3 এবং 5 দু িট অমূ লদ সংখ*া। ক. অমূ লদ সংখ*া কােক বেল? খ. পৰ্মাণ কর েয, 5 একিট অমূ লদ সংখ*া। %& $ গ. %0 $ এর মান চার দশিমক স্থান পযর্ন্ত িনণর্য় কর। 3. (3. 4̇ − 2.13) ̇ + (42. 1̇ 8×0.2 ̇ ̇ 5̇ ÷ 0. 2̇ 4) ̇ ÷ (1. 18 8) ̇ ক. পৰ্দত্ত রািশমালার ২য় অংেশর দু ইিট ভগ্নাংশ েক সমান* ভগ্নাংেশ পিরণত কর। খ. রািশমালািটর পৰ্থম অংেশর মান েবর কের তার সােথ তৃতীয় অংেশর মান েযাগ কর। গ. পৰ্দত্ত রািশমালার মান েবর কর। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া  SOLVED MCQ 1. 2,3,5,7 ইত*ািদ সংখ*াগ‌ুেলােক েকান সংখ*া বেল ? ক) েযৗিগক সংখ*া খ) েমৗিলক সংখ*া গ) সব্াভািবক িবেজাড় সংখ*া ঘ) অমূ লদ সংখ*া ব*াখ*া : 2, 3, 5, 7 সংখ*াগ‌ুেলার পৰ্েত*কিটর 1 এবং উক্ত সংখ*া ছাড়া অন* েকােনা গ‌ুণনীক েনই। তাই এগ‌ুেলােক েমৗিলকসংখ*া বেল। েযৗিগক সংখ*া : েয সংখ*াগ‌ুেলার 1 ও ঐ সংখ*া ব*তীত অন* েযেকােনা একিট গ‌ুণনীয়ক থােক তােদরেক েযৗিগক সংখ*া বেল। সব্াভািবক সংখ*া : সকল ধনাতব্ক অখন্ড সংখ*ােক সব্াভািবক সংখ*া বেল। ! অমূ লদ সংখ*া : েয সংখ*ােক " আকাের পৰ্কাশ করা যায় না, েযখােন 𝑝, 𝑞 পূ ণর্সংখ*া এবং 𝑞 ≠ 0 েস সংখ*ােক অমূ লদ সংখ*া বলা হয়। 2. িনেচর েকানগ‌ুেলা েযৗিগক সংখ*া? ক) 1, 3, 5, 7 খ) 1, 2, 3, 4, 5 গ) 4, 6, 8, 9 ঘ)−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 Note : উপেরর ১ নং পৰ্েশ্নর ব**াখ*ায় েদখুন। 3. িনেচর েকানিট েমৗিলক সংখ*া? ক) 8 খ) 15 গ) 21 ঘ) 37 Note : উপেরর ১ নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*ায় েদখুন। 37 সংখ*ািটর 1 ও 37 ব*াতীত অন* েকােনা গ‌ুণনীয়ক েনই। সু তরাং 37 েমৗিলক সংখ*া। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 21 4. িনেচর েকানিট ব*ািতকৰ্ম ? ক) 8 খ) 6 গ) 10 ঘ) 2 ব*াখ*া : 2, 6, 8, 10 সংখ*াগ‌ুেলার পৰ্েত*ক েজাড় সব্াভািবক সংখ*া িকন্তু এেদর মেধ* 2 হেলা েমৗিলক সংখ*া। বািক গ‌ুেলা েযৗিগক সংখ*া। 5. িনেচর েকান েমৗিলক সংখ*ািট ব*ািতকৰ্ম ? ক) 2 খ) 3 গ) 5 ঘ) 7 ব*াখ*া : 2 হেলা একমাতৰ্ েজাড় েমৗিলক সংখ*া। বািক সব েমৗিলক সংখ*াই িবেজাড়। 6. িনেচর েকানিট অমূ লদ সংখ*া ? ' ক) 2 খ) 2 গ) ঘ) −3 % ব*াখ*া : 2 একিট অমূ লদ সংখ*া, কারণ 2 = 1.414213 … … ! যােক " আকাের পৰ্কাশ করা যােবনা এবং যা েপৗন:পুিনক নয়। 2 সব্াভািবক বা ধনাতব্ক অখন্ড সংখ*া। ' ! % মূ লদ কারণ এিট " আকাের পৰ্কািশত েযখােন 𝑝 = 5, 𝑞 = 3 উভয় পূ ণর্সংখ*া এবং 𝑞 ≠ 0. −3 একিট ঋণাতব্ক পূ ণর্সংখ*া। 7. িনেচর েকানিট মূ লদ সংখ*া ? ক) 7 খ) ' গ) 6 ঘ) 8 % &# 8. $ ,− 3, −5.63 সংখ*া গ‌ুেলা েকান ধরেনর? ক) অঋণাতব্ক সংখ*া খ) ধনাতব্ক সংখ*া গ) সব্াভািবক সংখ*া ঘ) ঋনাতব্ক সংখ*া ব*াখ*া : শূ ন* অেপক্ষা েছাট সকল বাস্তব সংখ*ােক ঋণাতব্ক সংখ*া বলা হয়। েযেহতু এেত শূ ন* েনই এরা ঋণাতব্ক সংখ*া। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 22 9. িনেচর েকান দশিমক ভগ্নাংশ গ‌ুেলা সদৃ শ? ক) 3.83, 3.8 ̇ 9̇ , 0.6284̇ খ) 0. 52 গ) 12.34,̇ 12.68̇ ঘ) 20, 0.2 ব*াখ*া : েযেহতু 12.34̇ এবং 12.68̇ ভগ্নাংশদব্েয়র দশিমেকর পের আবৃ ত্ত ও অনাবৃ ত্ত অংেশর অঙ্ক সংখ*া সমান সু তরাং 12.34 এবং 12.68 দশিমক ভগ্নাংশগ‌ুেলা সদৃ শ। 10. 3.78̇ েক সামান* ভগ্নাংেশ পৰ্কাশ করােল িনেচর েকানিট হেব? ক) 3.+ খ) $.# 71 ,, #' গ) ,+ ঘ) 3 90 ̇ 11. 0. 3×0. 6̇ = কত? ক) 0. 2̇ খ) 0. 4̇ গ) 0. 5̇ ঘ) 0. 6̇ ব*াখ*া : 3−0 6−0 1 2 2 ̇ 0. 3×0. 6̇ = × = × = 9 9 3 3 9 = 0.2222 … … … = 0. 2̇ 12. 1.1 এবং 1.11 এর মােঝর সংখ*া েকানিট ? ক) 1.1101 খ) 1.002 গ) 1.12 ঘ) 1.1001 ব*াখ*া : 1.1101 > 1.11, 1.002 < 1.1, 1.12 > 1.11 এবং 1.1 < 1.1001 < 1.11 13. বাস্তব সংখ*ার েসটেক িক দব্ারা পৰ্কাশ করা হয় ? ক) 𝑁 খ) 𝑅 গ) 𝑄 ঘ) 𝑍 Note : পৰ্াথিমক আেলাচনা দৰ্ষ্টব*। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 23 14. সব্াভািবক সংখ*ার েসটেক িক দব্ারা পৰ্কাশ করা হয় ? ক) 𝑁 খ) 𝑅 গ) 𝑍 ঘ) 𝑄 Note : পৰ্াথিমক আেলাচনা দৰ্ষ্টব*। 15. 𝑛 𝜖 𝑁 এর জন* েকানিট সবর্দাই িবেজাড় সংখ*া ? ক) 𝑛 + 2 খ) 𝑛 + 1 গ) 2𝑛 + 1 ঘ) 2𝑛 ব*াখ*া : 𝑛 𝜖 𝑁 েযখােন 𝑁 সব্াভািবক সংখ*া। এখন, 𝑛 েজাড় বা িবেজাড় যাই েহাক 2𝑛 সবর্দা েজাড় সংখ*া। ∴ 2𝑛 + 1 সবর্দাই িবেজাড় সংখ*া। 16. দু ইিট কৰ্িমক েজাড় সংখ*ার গ‌ুণফল কত দব্ারা িবভাজ* ? ক) 7 খ) 5 গ) 6 ঘ) 8 ব*াখ*া : উপপাদ* : দু ইিট কৰ্িমক েজাড় সংখ*া গ‌ুণফল সবর্দাই 8 দব্ারা িবভাজ* েযমন : 4×6 = 24, 8× 10 = 80, 20×22 = 440 … … ….24, 80, 440 এরা পৰ্েত*েক 8 দব্ারা িবভাজ*। 17. িনেচর েকানিট অমূ লদ সংখ*া ? &% / ক) 0.5 খ) ' গ) ঘ) 72 $ # &% / / $ ! ব*াখ*া : 0.5 = , $ ' , $ = $ = 4 = 2 = # এরা পৰ্েত*েক " আকােরর েযখােন 𝑝, 𝑞 পূ ণর্সংখ*া ও &% / 𝑞 ≠ 0 সু তরাং 0.5, ও পৰ্েত*েক মূ লদ সংখ*া। িকন্তু 72 = 36×2 = 6 2 যা অমূ লদ সংখ*া। ' $ 18. চারিট কৰ্িমক সংখ*ার গ‌ুণফেলর সােথ কত েযাগ করেল েযাগফল পূ ণর্বগর্ সংখ*া হেব ? ক) 1 খ) 2 গ) 3 ঘ) 0 ব*াখ*া : চারিট কৰ্িমক সংখ*ার গ‌ুণফেলর সােথ 1 েযাগ করেল েযাগফল পূ ণর্বগর্ সংখ*া হেব। েযমন : 1×2×3×4 + 1 = 25 যা পূ ণর্বগর্। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 24 19. িনেচর েকানিট অপৰ্কৃত ভগ্নাংশ ? ক) 0.10 খ) 0.90 গ) 1.0 ঘ) 1.10 ব*াখ*া : অপৰ্কৃত ভগ্নাংশ দশিমক রূপান্তর করেল তা অবশ*ই 1 অেপক্ষা বড় হেব। 2 20. 3 3 এর আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ িনেচর েকানিট ? ক) 0. 1̇ 6̇ খ) 0. 6̇ 3̇ গ) 3. 6̇ ঘ) 3.53̇ 2 11 ̇ ব*াখ*া : 3 = 3 3 = 3.666 … = 3. 6 21. িনেচর েকানিট পৰ্কৃত ভগ্নাংশ ? 1 25 1 1 ক) 2 খ) 7 গ) 1 2 ঘ) 2 2 ব*াখ*া : েয ভগ্নাংেশর লব েছাট হর বড় তােক পৰ্কৃত ভগ্নাংশ বেল। 1 ∴ 2 পৰ্কৃত ভগ্নাংশ। েজেন নাও : পৰ্কৃত ভগ্নাংেশর মান সবর্দা 1 েথেক েছাট। 22. 0. 3̇ েক 0. 6̇ দব্ারা ভাগ করেল িনেচর েকানিট পাওয়া যায় ? ক) 0.6 খ) 1.2 গ) 0.5 ঘ) 1.3 ̇ 6=̇ 3−0 6−0 1 2 1 3 1 ব*াখ*া : 0.3÷0. 9 ÷ 9 = 3 ÷ 3 = 3 × 2 = 2 =0.5 23. 𝑎, 𝑏, 𝑐 বাস্তব সংখ*া 𝑎 < 𝑏 এবং 𝑐 < 0 হেল, িনেচর েকানিট সিঠক? ক) 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 খ) 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 গ) 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 ঘ) 𝑎𝑐 ≯ 𝑏𝑐 ব*াখ*া : 𝑎, 𝑏, 𝑐 বাস্তব সংখ*া, 𝑎 < 𝑏 এবং 𝑐 < 0 হেল 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 কারণ েযেকােনা অসমতােক ঋণাতব্ক সংখ*া দব্ারা গ‌ুণ বা ভাগ করেল এর িদক পালেট যায়। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 25 24. িনেচর েকানিট আবৃ ত্ত দশিমক ভগ্নাংশ ? ক) 1.4142135 … … খ) 2.1356124 … …. গ) 2.282471 … … ঘ) 5.12765765 … … ব*াখ*া : আবৃ ত্ত দশিমেক দশিমক িচেহ্নর ডানিদেকর অঙ্কগ‌ুেলার বা অংশ িবেশষ বারবার থাকেব। এেক্ষেতৰ্ 5.12765765 … … = 5.1276 ̇ 5̇ 25. সকল পূ ণর্ এবং ভগ্নাংশ সংখ*ােক বলা হয় -- ক) অমূ লদ সংখ*া খ) মূ লদ সংখ*া গ) সব্াভািবক সংখ*া ঘ) অঋণাতব্ক সংখ*া ব*াখ*া : সকল পূ ণর্ সংখ*া এবং ভগ্নাংশ মূ লদ সংখ*ার অন্তভূ র্ক্ত। 26. সব্াভািবক সংখ*া েসেটর ক্ষুদৰ্তম সদস* েকানিট ? ক) −1 খ) 0 গ) 1 ঘ) −∞ ব*াখ*া : সব্াভািবক সংখ*ার েসট 𝑁 = {1, 2, 3 … …. } এর ক্ষুদৰ্তম উপাদান হেলা 1 । 27. েকানিট সব্াভািবক সংখ*া ? ক) −1 5 খ) 2 গ) 2 ঘ) 3 Note : পূ েবর্র পৰ্েশ্নর ব*াখ*ায় েদখুন। 28. সকল মূ লদ ও অমূ লদ সংখ*ােক িক বেল ? ক) সব্াভািবক সংখ*া খ) েমৗিলক সংখ*া গ) পূ নর্সংখ*া ঘ) বাস্তব সংখ*া ব*াখ*া : বাস্তব সংখ*ােক পৰ্থমত মূ লদ ও অমূ লদ দু ই েশৰ্িণেত ভাগ করা যায়। অথর্াৎ সকল মূ লদ ও অমূ লদ সংখ*া বাস্তব সংখ*ার অন্তগর্ত। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 26 29. িনেচর েকানিটেত সবগ‌ুেলা সংখ*াই পূ ণর্সংখ*া ? # ক) −3, −2, 0, 1, 2 খ) 1, $ , 4, 3, 5 গ) 3, 1, 0, 3, 6 ঘ) 6.5, 3.2, 1, 0 ব*াখ*া : পূ ণর্সংখ*ার েসট, 𝑍 = {… … − 3, −2, 0, 1, 2, 3, … … }. 30. #$ েকান ধরেনর সংখ*া ? ক) মূ লদ খ) অমূ লদ গ) সব্াভািবক ঘ) জিটল.. ব*াখ*া : #$ = 0.5833333 … … = 0.583̇ ; যা একিট আবৃ ত্ত দশিমক সংখ*া। তাই #$ একিট মূ লদ সংখ*া। 31. িনেচর েকানিট অপৰ্কৃত ভগ্নাংশ ? 9 11 7 5 ক) 4 , 2 খ) 9 , 11 গ) 4, 6, 9 ঘ) 0.5 ব*াখ*া : অপৰ্কৃত ভগ্নাংশ : েয ভগ্নাংেশর লব হর অেপক্ষা বড় তােক অপৰ্কৃত ভগ্নাংশ বেল। এখােন (ক) অপশেন পৰ্দত্ত ভগ্নাংশগ‌ুেলা লব হর অেপক্ষা বড় হওয়ায় এগ‌ুেলা অপৰ্কৃত ভগাংশ। 9 লব েজেন রাখা ভােলা : 4= হর 32. িনেচর েকানিট মূ লদ সংখ*া ? 3 12 ক) 2 3 খ) 7 গ) ঘ) 2 3 সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 27  12 ব*াখ*া : একিট মূ লদ সংখ*া। 3 ! মুলদ সংখ*া : " আকােরর েকান সংখ*ােক মূ লদ সংখ*া বলা হয়।েযখােন, 𝑝 ও 𝑞 পূ ণর্সংখ*া এবং 𝑞 ≠ 0। সকল পূ ণর্সংখ*া (সব্াভািবক সংখ*া, শূ ন*, ঋণাত্মক পূ ণর্সংখ*া)-ই মূ লদ সংখ*া। সকল ভগ্নাংশই মূ লদ সংখ*া। সসীম দশিমক ও আবৃ ত দশিমক সৰ ভগ্নাংশ-ই মূ লদ সংখ*া। মূ লদ সংখ*ােক সহ েমৗিলক সংখ*ার অনু পাত িহসােব পৰ্কাশ করা যায় । ! অমূ লদ সংখ*া : েয সংখ*ােক " আকাের পৰ্কাশ করা যায় না, েযখােন 𝑝 ও 𝑞 পূ ণর্সংখ*া এবং 𝑞 ≠ 0; তােক অমূ লদ সংখ*া বলা হয়। পূ ণর্বগর্ নয় এরূপ েয েকােনা সব্াভািবক সংখ*ার বগর্মূল িকংবা তার ভগ্নাংশ একিট অমূ লদ সংখ*া। অসীম দশিমক ভগ্নাংশ গ‌ুেলা অমূ লদ সংখ*া। েকােনা অমূ লদ সংখ*ােক দু িট সংখ*ার অনু পাত িহেসেব পৰ্কাশ করা যায় না। পৰ্েশ্নর (ক) অপশন : 2 3 = 3.4641016 … … যা একিট অসীম দশিমক সংখ*া। েযেহতু সকল অসীম দশিমক সংখ*াই অমূ লদ সংখ*া, েসেহতু 2 3 অমূ লদ সংখ*া। পৰ্েশ্নর (খ) অপশন : 7 = 2.6457513 … … যা একিট অসীম দশিমক সংখ*া। েযেহতু সকল অসীম দশিমক সংখ*াই অমূ লদ সংখ*া, েসেহতু 7 অমূ লদ সংখ*া। % পৰ্েশ্নর (গ) অপশন : $ = 1,2247448 … … যা একিট অসীম দশিমক সংখ*া। েযেহতু সকল অসীম % দশিমক সংখ*াই অমূ লদ সংখ*া, েসেহতু $ অমূ লদ সংখ*া। #$ (×% (× % পৰ্েশ্নর (ঘ) অপশন : % = % = % = 4 = 2 যা একিট পূ ণর্সংখ*া। েযেহতু সকল পূ ণর্সংখ*াই #$ মূ লদ সংখ*া তাই % একিট মূ লদ সংখ*া। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 28 33. িনেচর েকানিট মূ লদ সংখ*া ? * / $. ক) 11 খ) % গ) ঘ). (/ ব*াখ*া : 11 = 3.3166 … যা অমূ লদ সংখ*া। * * % = 0.81649 … যা অসীম দশিমক সংখ*া। তাই % একিট অমূ লদ সংখ*া। / /. = 1.06904 … যা অসীম দশিমক সংখ*া। তাই. একিট অমূ লদ সংখ*া। $. ,×% % % % $. (/ = #*×% =( % = ( যা দু িট পূ ণর্সংখ*ার অনু পাত তাই (/ একিট মূ লদ সংখ*া। 34. িনেচর েকানিট অমূ লদ সংখ*া ? #* # *( % ক) 4 খ) গ) ঘ) $ , / ব*াখ*া : 4 যা মূ লদ সংখ*া। #* ( , = % , যা মূ লদ সংখ*া। # *( # # = 8= 2×2×2 / # = 2% $ = 2%×# = 2# = 2; যা পূ ণর্ সংখ*া অথর্াৎ মূ লদ সংখ*া। % $ = 2.12132 … … … … … , যা অমূ লদ সংখ*া। িবস্তািরত জানেত 33 নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*া েদখুন। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 29 35. িনেচর েকানিট মূ লদ সংখ*া ?. ক) 729 খ) 11 গ) ঘ) 3.2354678 … … % ব*াখ*া : 729 = 27 যা পূ ণর্ সংখ*া অথর্াৎ মূ লদ সংখ*া। 11 = 3.3166 … … যা অমূ লদ সংখ*া. % = 0.8819 … … যা অমূ লদ সংখ*া 3.2354678 … … যা অমূ লদ সংখ*া িবস্তািরত জানেত 33 নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*া েদখুন। 36. িনেচর েকানিট মূ লদ সংখ*া ? ক) 5 খ) # 8 গ) 3 ঘ) # 7 ব*াখ*া : 5 = 2.23606 … … যা অমূ লদ সংখ*া $ 2% = 2%×# = 2# = 2, যা পূ ণর্ সংখ*া অথর্াৎ মূ লদ সংখ*া। # # # 8= 2×2×2 = 3 = 1.73205 … … যা অমূ লদ সংখ*া # 7 = 1.91293 … … যা অমূ লদ সংখ*া িবস্তািরত জানেত 33 নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*া েদখুন। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 30 37. িনেচর েকানিট মূ লদ সংখ*া ? #$ / ' #/ ক) % খ) গ) ঘ) $ ' $ ব*াখ*া : এখােন, #$ $ % % = % যা অমূ লদ সংখ*া। / (×$ (× $ $× $ $ = $ = $ = $ = 2; যা একিট অমূ লদ সংখ*া ' '× ' = = 5 যা অমূ লদ সংখ*া ' ' #/ $×, % $ $ = $ = $ = 3; যা একিট মূ লদ সংখ*া। িবস্তািরত জানেত 33 নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*া েদখুন। 38. িনেচর েকানিট মূ লদ সংখ*া ? ক) 0.4 খ) 0.9 গ) 0.04 ঘ) 0.025 ব*াখ*া : 0.4 = 0.63245 … … অথর্াৎ অমূ লদ সংখ*া। 0.9 = 0.94868 … … অথর্াৎ অমূ লদ সংখ*া # 0.04 = 0.2 = ; অথর্াৎ মূ লদ সংখ*া ' 0.025 = 0.15811 … … অথর্াৎ অমূ লদ সংখ*া িবস্তািরত জানেত 33 নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*া েদখুন। 39. মূ লদ সংখ*া েকানিট ? ক) 13 খ) 14 গ) 15 ঘ) 16 সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 31 ব*াখ*া : 13 = 3.6055 … … যা একিট অমূ লদ সংখ*া 14 = 3.74165 … … যা একিট অমূ লদ সংখ*া 15 = 3.8729; যা একিট অমূ লদ সংখ*া 16 = 4 যা সব্াভািবক অথর্াৎ মূ লদ সংখ*া িবস্তািরত জানেত 33 নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*া েদখুন। $ 40. কী ধরেনর সংখ*া ? #/ ক) অমূ লদ খ) মূ লদ গ) েমৗিলক সংখ*া ঘ) েযৗিগক সংখ*া $ $ $ # # ব*াখ*া : = = = = % যা মূ লদ সংখ*া #/ $., $3 , %% িবস্তািরত জানেত 33 নং পৰ্েশ্নর ব*াখ*া েদখুন। সাধারণ গিণত – অধ*ায় ০১ – বাস্তব সংখ*া 32