Trigonometria PDF

TRIGONOMETRIA La goniometria è una branca della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e le funzioni trigonometriche. L'elemento fondamentale su cui essa trova perno è la circonferenza goniometrica, che rappresenta graficamente le relazioni tra gli angoli e le funzioni goniometriche. Ques...

TRIGONOMETRIA La goniometria è una branca della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e le funzioni trigonometriche. L'elemento fondamentale su cui essa trova perno è la circonferenza goniometrica, che rappresenta graficamente le relazioni tra gli angoli e le funzioni goniometriche. Questa circonferenza unitaria (i.e. con raggio pari a 1) consente di definire in modo preciso i valori delle funzioni goniometriche di un angolo qualsiasi. Queste funzioni risultano inoltre di enorme utilità quando applicate nella risoluzione dei triangoli, si parla allora di trigonometria. La trigonometria gioca un ruolo cruciale nello studio della fisica: rappresenta la base dell'analisi vettoriale, un aspetto fondamentale ed imprescindibile su cui si basa tutta la fisica. Sulla goniometria e trigonometria, inoltre, si basano molti fenomeni fisici fondamentali come, ad esempio, il moto dei corpi. Radianti e Funzioni goniometriche Radianti I radianti sono l'unità di misura degli angoli utilizzata nella goniometria. Sono definiti come il rapporto tra la lunghezza dell'arco e il raggio della circonferenza goniometrica. In particolare, i radianti rappresentano la misura dell'arco tracciato dall'angolo sulla circonferenza di raggio unitario: se un angolo di 360° traccia un arco pari alla lunghezza dell'intera circonferenza, c = 2π, a 180° corrisponderà un arco lungo π, a 90° π/2 e così via. La circonferenza goniometrica viene suddivisa in quattro quadranti (I, II, III, e IV) come indicato nella figura a lato. Funzioni goniometriche Le funzioni goniometriche principali sono seno, coseno e tangente. Queste funzioni, vengono definite come da figura a lato. Il valore di seno e coseno varia da -1 a 1, mentre la tangente da -∞ a +∞. Inoltre, vigono le seguenti relazioni fondamentali della goniometria: Grafico delle Funzioni Goniometriche Seno e Coseno Tangente Le funzioni seno e coseno sono periodiche con periodo 2π e La funzione tangente è periodica con periodo π. Il suo grafico è sfasate di π/2. Il grafico del seno è una curva sinusoidale che una curva che interseca l'asse x in multipli dispari di π/2, dove oscilla tra -1 e 1, mentre il grafico del coseno è una curva presenta asintoti verticali. Essendo, per la seconda relazione cosinusoidale che oscilla tra 1 e -1. fondamentale, il rapporto tra seno e coseno, Il suo segno è dato dal segno di questo rapporto, quindi è positiva nel primo e terzo quadrante e negativa altrove. Archi Associati e Angoli Noti Angoli Positivi e Negativi Gli angoli possono essere positivi o negativi a seconda del 1 verso di rotazione sulla circonferenza goniometrica. Conoscere il segno dell'angolo è essenziale per determinare correttamente i valori delle funzioni goniometriche. Archi Associati Esistono relazioni tra angoli diversi che portano agli stessi 2 valori delle funzioni goniometriche. Comprendere queste relazioni consente di semplificare l'analisi di espressioni e equazioni goniometriche. Angoli Notevoli Alcuni angoli particolari, come 0°, 30°, 45°, 60° e 90°, hanno 3 valori noti delle funzioni goniometriche. Conoscere questi valori facilita è fondamentale per la risoluzione dei problemi matematici. Espressioni Goniometriche, simmetrie e funzioni inverse Le espressioni goniometriche sono espressioni matematiche nelle quali compaiono gli operatori goniometrici. Queste vanno semplificate utilizzando le relazioni goniometriche ed utilizzando le simmetrie ottenibili dallo studio della circonferenza goniometrica e le comuni regole dell'aritmetica e dell'algebra. Arcoseno, Arcocoseno e Simmetrie Arcotangente Si possono ricavare le simmetrie tra le funzioni Le funzioni inverse del seno, coseno e tangente goniometriche mediante lo studio della sono rispettivamente l'arcoseno, l'arcocoseno e circonferenza goniometrica: l'arcotangente. Queste funzioni inverse consentono di determinare l'angolo (o arco associato) a partire dal valore della funzione trigonometrica corrispondente. y = sen x x = arcsen y y = cos x x = arccos y y = tan x x = arctan y Esempio Esercitazione Equazioni e Disequazioni Goniometriche Equazioni Goniometriche Le equazioni goniometriche richiedono l'applicazione di tecniche specifiche, come l'uso delle identità fondamentali e l'utilizzo delle relazioni di simmetria, per isolare la variabile trigonometrica e trovare le soluzioni mediante l'individuazione degli archi associati. Disequazioni Goniometriche Le disequazioni goniometriche, come le equazioni, possono essere risolte mediante l'applicazione delle proprietà delle funzioni trigonometriche, delle loro inverse e lo studio grafico nella circonferenza goniometrica. Trigonometria: Applicazione ai Triangoli Rettangoli 1 Seno Il seno di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa. 2 Coseno Il coseno di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa. 3 Tangente La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente.