ΘΕΩΡΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά PDF

ΘΕΩΡΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΖΕΡΒΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι ονομάζουμε συνάρτηση ; Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι...

ΘΕΩΡΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΖΕΡΒΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι ονομάζουμε συνάρτηση ; Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία f , με την οποία κάθε στοιχείο x  A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f (x). Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ; Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x  A , λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f ( A). Είναι δηλαδή: f ( A)  { y | y  f ( x) για κάποιο x  A}. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M ( x, y) για τα οποία ισχύει y  f (x) , δηλαδή το σύνολο των σημείων M ( x, f ( x)) , x  A , λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με C f. Πότε δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε x  A ισχύει f ( x)  g ( x). Πως ορίζονται οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων ; Ορίζουμε ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο, αντίστοιχα , δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους : ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) , ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) , f  f ( x)  ( x)  ( fg )( x)  f ( x) g ( x) ,. Το πεδίο ορισμού των f  g , f  g και fg είναι η τομή g g ( x) A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο f ορισμού της είναι το σύνολο {x | x  A και x  B , με g ( x)  0}. g Τι ονομάζουμε σύνθεση συναρτήσεων ; Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof , τη συνάρτηση με τύπο: ( gof )( x)  g ( f ( x)). Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα ; Μια συνάρτηση f λέγεται :  γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2  Δ με x1  x 2 ισχύει: f ( x1 )  f ( x 2 )  γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2  Δ με x1  x 2 ισχύει: f ( x1 )  f ( x 2 ) Πότε μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο ; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:  Παρουσιάζει στο x 0  A (ολικό) μέγιστο, το f ( x0 ) , όταν f ( x)  f ( x 0 ) για κάθε x  A.  Παρουσιάζει στο x 0  A (ολικό) ελάχιστο, το f ( x0 ) , όταν f ( x)  f ( x 0 ) για κάθε x  A. ΓΕΩΡΓΙΟΣ Θ.ΖΕΡΒΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1 1 ;  Μια συνάρτηση f : A R λέγεται συνάρτηση 1 1 , όταν για οποιαδήποτε x1 , x 2  A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1  x 2 , τότε f ( x1 )  f ( x 2 ).  Ισοδύναμος ορισμός: Μια συνάρτηση f : A R είναι συνάρτηση 1 1 , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1 , x 2  A ισχύει : αν f ( x1 )  f ( x 2 ) , τότε x1  x 2. Τι ονομάζουμε αντίστροφη συνάρτηση; Έστω μια 11 συνάρτηση f : A R. Tότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f (A) , της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f ( x)  y. Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : A R με την οποία κάθε y  f (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x  A για το οποίο ισχύει f ( x)  y. H g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f 1. Επομένως έχουμε f ( x)  y  f 1 ( y)  x. ΟΡΙΑ Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού του ορίου ; (α) lim f ( x)    lim ( f ( x)  )  0 (β) lim f ( x)    lim f ( x 0  h)   x x0 x x0 x x0 h 0 Πως συνδέεται το όριο με τα πλευρικά όρια ; Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0 )  ( x0 , β ) , τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f ( x)    lim f ( x)  lim f ( x)   x x0 x x0 x x0 Ποιες ανισότητες ισχύουν στα όρια ; (όριο και διάταξη)  Αν lim f ( x)  0 , τότε f ( x)  0 ενώ αν lim f ( x)  0 , τότε f ( x)  0 , κοντά στο x 0 x x0 x x0  Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο x 0 και ισχύει f ( x)  g ( x) κοντά στο x 0 , τότε lim f ( x)  lim g ( x) x x0 x x0 Ποιες είναι οι ιδιότητες των ορίων αν το χ τείνει στο χ 0 ; Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x 0 , τότε: 1. lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) x x0 x x0 x x0 2. lim (κf ( x))  κ lim f ( x) , x x0 x x0 για κάθε κR lim f ( x) f ( x ) x x0 3. lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) 4. lim  , εφόσον lim g ( x)  0 x x0 x x0 x x0 x x0 g ( x) lim g ( x) x x0 x x0 5. lim | f ( x) |  lim f ( x) 6. lim k f ( x)  k lim f ( x) , όταν f ( x)  0 κοντά στο x 0. x x0 x x0 x x0 x x0 ν 7. lim [ f ( x)] ν   lim f ( x) , ν  N* x x0  x x0  Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής. Έστω οι συναρτήσεις f , g , h. Αν h( x)  f ( x)  g ( x) κοντά στο x 0 και lim h( x)  lim g ( x)   , x x0 x x0 τότε lim f ( x)  . x x0 ΓΕΩΡΓΙΟΣ Θ.ΖΕΡΒΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Ποια είναι τα βασικά τριγωνομετρικά όρια ; ημx συν x  1 α) lim 1 β) lim 0 x 0 x x 0 x Πως υπολογίζουμε το όριο σύνθετης συνάρτησης ; Για να υπολογίσουμε το lim f ( g ( x)) , της σύνθετης συνάρτησης f  g στο σημείο x 0 , τότε x x0 εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u  g (x) και υπολογίζουμε το u 0  lim g ( x) και το   lim f (u) (αν υπάρχουν). x x0 uu0 Αποδεικνύεται ότι, αν g ( x)  u 0 κοντά στο x 0 , τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με  , δηλαδή ισχύει: lim f ( g( x ))  lim f (u). x x0 uu0 Ποιες είναι οι ιδιότητες των ορίων αν το x τείνει στο  ;  Αν lim f ( x)   , τότε f ( x)  0 , ενώ αν lim f ( x)   , τότε f ( x)  0 κοντά στο x 0. x x0 x x0  Αν lim f ( x)   , τότε lim ( f ( x))   , ενώ αν lim f ( x)   , τότε lim ( f ( x))  . x x0 x x0 x x0 x x0 1  Αν lim f ( x)   ή  , τότε lim 0. x x0 x x0 f ( x) 1  Αν lim f ( x)  0 και f ( x)  0 κοντά στο x 0 , τότε lim   , ενώ αν f ( x)  0 κοντά στο x x0 x x0 f ( x) 1 x0 , τότε lim  . x x0 f ( x)  Αν lim f ( x)   ή  , τότε lim | f ( x) |   και αν lim f ( x)   , τότε lim k f ( x)  . x x0 x x0 x x0 x x0  lim 1 1   και γενικά lim 2 ν   ,  * x 0 x 2 x 0 x  lim 1   και γενικά lim 1 2ν 1   , ενώ lim 1   και lim 1 2ν 1   ,  * x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x  δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της f ( x)  1 2 ν 1 ,  *. x  Οριο αθροίσματος και γινομένου το όριο της f είναι: αR αR  -  - και το όριο της g είναι:  -  - -  τότε το όριο της f  g είναι:  -  - ; ; το όριο της f είναι: α>0 α0 α