Guide d'apprentissage de Mathématiques - PDF

Mathématique Guide d’apprentissage Évaluations Corrigé des exercices Corrigés des évaluations Mathématique  TABLE DES MATIÈRES Volume 10 Mathématique Guide d’apprentissage Résolutions de problèmes Suivi de l’étudiant Chapitre 1 : La n...

Mathématique Guide d’apprentissage Évaluations Corrigé des exercices Corrigés des évaluations Mathématique  TABLE DES MATIÈRES Volume 10 Mathématique Guide d’apprentissage Résolutions de problèmes Suivi de l’étudiant Chapitre 1 : La numération Chapitre 2 : Les opérations arithmétiques Chapitre 3 : La règle de trois Chapitre 4 : Les fractions Chapitre 5 : Les pourcentages, les diagrammes. Probabilités Chapitre 6 : Les mesures temporelles Chapitre 7 : La géométrie Corrigés des exercices Chapitre 1 : La numération Chapitre 2 : Les opérations arithmétiques Chapitre 3 : La règle de trois Chapitre 4 : Les fractions Chapitre 5 : Les pourcentages, les diagrammes. Probabilités Chapitre 6 : Les mesures temporelles Chapitre 7 : La géométrie Évaluations Chapitre 1 : La numération Évaluation #1 Évaluation #2 Chapitre 2 : Les opérations arithmétiques Évaluation #1 Évaluation #2 Chapitre 3 : La règle de trois Évaluation #1 Évaluation #2 Chapitre 4 : Les fractions Évaluation #1 Évaluation #2 Chapitre 5 : Les pourcentages, les diagrammes. Probabilités Évaluation #1 Évaluation #2  Chapitre 6 : Les mesures temporelles Évaluation #1 Évaluation #2 Chapitre 6 : La géométrie Évaluation #1 Évaluation #2 Feuille réponse de l’évaluation Corrigés des évaluations Chapitre 1 : La numération Chapitre 2 : Les opérations arithmétiques Chapitre 3 : La règle de trois Chapitre 4 : Les fractions Chapitre 5 : Les pourcentages, les diagrammes. Probabilités Chapitre 6 : Les mesures temporelles Chapitre 7 : La géométrie Bibliographie  MATHÉMATIQUES (Résolutions de problèmes) Étapes de résolution de problèmes : Définir ce que l’on cherche; Déterminer toutes les opérations qui seront nécessaires pour solutionner le problème et les écrire sommairement sur une feuille brouillon; Effectuer les calculs : de préférence, faire les calculs qui sont isolés ou qui doivent être faits en premier puis insérer le résultat dans la chaîne d’opérations; Vérifier la réponse d’abord : on peut se demander si la réponse est sensée, puis s’assurer du résultat en effectuant une estimation ou un calcul à rebours. Exemple : Henri achète 4 pains et 12 croissants à la boulangerie de son quartier. Ses achats ont coûté 17,88$. Si le prix d’un croissant est de 0,75$, quel est le prix d’un pain? Ce que l’on cherche : prix pour un pain ($) Déterminer les opérations = 17,88$ - (12 x 0,75) ÷ 4 = Calculer = 17,88$ - (9) ÷ 4 = 2,22$ Vérifier (calcul à rebours) : (2,22$ x 4) + (12 x 0,75) = 17,88$ Suivi de l’étudiant :_______________________________________________________________ Mathématique Exercices Évaluation 1 Évaluation 2 Remarque Note Date Note Date Note Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7  CHAPITRE 1 LA NUMÉRATION Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération La numération A. Les nombres naturels Les nombres naturels sont ceux qui servent à compter, auxquels s’ajoute le zéro : 0,1,2,3,4,… Ce sont les premiers nombres qui furent utilisés par l’homme. B. La valeur des chiffres dans un nombre Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur différente selon la position qu’il occupe. Le tableau suivant expose les valeurs de position de chaque chiffre contenu dans un nombre. Position Centaines Dizaines de Unités de Centaines Dizaines Unités de mille mille mille Valeur de 100 000 10 000 1 000 100 10 1 position Afin de déterminer la valeur de chaque chiffre dans un nombre, il suffit de multiplier chaque chiffre par sa valeur de position. Exemple : Dans le nombre 498 625, le chiffre 6 occupe la position des centaines. Par conséquent, sa valeur est égale à 6 centaines = (6x100) = 600. Nombre 4 9 8 6 2 5 Position Centaines Dizaines Unités de Centaines Dizaines Unités de mille de mille mille Valeur de 100 000 10 000 1 000 100 10 1 position Valeur de 400 000 90 000 8 000 600 20 5 chaque chiffre (4x100 000) (9x10 000) (8x1 000) (6x100) (2x10) (5x1) 1 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération Exercice 1 1. Écris le nombre qui convient. Exemple : 7 dizaines = 7x10 = 70 5 centaines = 5 dizaines = 7 unités de mille = 7 centaines de mille = 3 centaines = 9 dizaines = 2 dizaines de mille = 8 centaines de mille = 15 dizaines = 15 centaines = 521 dizaines = 34 centaines = 2. Complète les équations. Exemple : 4 centaines + 4 dizaines + 4 unités = 400 + 40 + 4 = 444 a) 3 centaines + 2 dizaines + 1 unité = _________ + ________ + ______= ________ b) 7 unités de mille + 9 centaines + 4 dizaines + 2 unités = _____________ + _________ + ________ + ____ = __________ c) 2 dizaines de mille + 8 unités de mille + 8 centaines + 8 dizaines + 3 unités = _______________ + _____________ + _________ + ________ + ______ = _________ 2 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération 3. Écris chaque nombre dans le tableau en plaçant ses chiffres à la bonne position. Positions Centaines Dizaines de Unités de Centaines Dizaines Unités de mille mille mille 8 902 678 46 23 450 4 142 798 4. Dans le nombre 5 927 : Le chiffre 9 est à la position des et sa valeur est. Le chiffre 7 est à la position des et sa valeur est. Le chiffre 5 est à la position des et sa valeur est. Le chiffre 2 est à la position des et sa valeur est. 5. Qui suis-je? J’ai un 3 à la position des unités, un 8 à la position des dizaines, un 1 à la position des centaines, un 6 à la position des unités de mille, et un 4 à la position des dizaines de mille. _________________ 3 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération C. La décomposition des nombres Chaque nombre peut se décomposer en unités, en dizaines, en centaines, en unités de mille, en dizaines de mille, … Exemple : 621 359 =(6x100 000)+(2x10 000)+(1x1 000)+(3x100)+(5x10)+(9x1) = 600 000 + 20 000 + 1 000 + 300 + 50 + 9 Nombre de centaines = (600 000÷100)+(20 000÷100)+(1 000÷100)+(300÷100) = 6 000 + 200 + 10 + 3 Donc, 621 359 = 6 213 centaines Afin de procéder plus rapidement, il suffit de déterminer le chiffre qui occupe la position des centaines, puis d’éliminer les chiffres qui sont à sa droite. Dans l’exemple précédent, c’est le chiffre 3 qui occupe la position des centaines. On élimine donc le 5 et le 9 afin d’obtenir le nombre de centaines : 621 359 = 6 213 Voici la décomposition du nombre 621 359 : Nombre d’unités 621 359 = 621 359 unités Nombre de dizaines 621 359 = 62 135 dizaines Nombre de centaines 621 359 = 6 213 centaines Nombre d’unités de mille 621 359 = 621 unités de mille Nombre de dizaines de mille 621 359 = 62 dizaines de mille Nombre de centaines de mille 621 359 = 6 centaines de mille 4 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération Exercice 2 1. Décompose les nombres suivants puis réponds aux questions. a) 438 = ________ + _______ + _______ Combien y a-t-il de centaines? _______ Combien y a-t-il de dizaines? _______ b) 2 453 = ________ + _______ + _______ + _______ Combien y a-t-il d’unités de mille? _______ Combien y a-t-il de centaines? _______ Combien y a-t-il de dizaines? _______ c) 9 350 = _______ + _______ + _______ + _______ Combien y a-t-il d’unités de mille? _______ Combien y a-t-il de centaines? _______ Combien y a-t-il de dizaines? _______ 2. Souligne le chiffre à la position des dizaines et encadre le nombre de dizaines. 342 461 43 2 670 1 346 21 362 425 201 3 040 20 001 809 3. Souligne le chiffre à la position des centaines et encadre le nombre de centaines 342 461 43 956 2 670 1 346 21 362 425 201 3 040 20 001 809 5 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération 4. Complète le tableau suivant. Nombre de Nombre de Nombre Nombre de Nombre de Nombre centaines de dizaines de d’unités de centaines dizaines d’unités mille mille mille 12 832 128 124 124 2 435 305 678 45 231 200 588 351 7 509 5. Recompose les nombres suivants. a) (2 x 10 000)+ (4 x 1 000)+(5 x 100)+(3 x 10)+(2 x 1) = b) 500 000 + 30 000 + 1 000 + 300 + 90 = c) 37 centaines + 5 dizaines + 3 unités = d) 512 dizaines + 4 unités = e) 22 unités de mille + 3 dizaines = f) 51 dizaines + 25 unités = 6 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération D. La comparaison des nombres Comparer deux nombres, c’est établir lequel est le plus grand et lequel est le plus petit. Afin de comparer deux nombres, on utilise les symboles suivants : < : plus petit que > : plus grand que = : égal à ≤ : plus petit ou égal à ≥ : plus grand ou égal à N.B. La pointe du symbole est toujours orientée vers le plus petit nombre. Exemples : 5 692 < 9264 45 = 45 9388 > 9 386 Lorsque l’on compare plusieurs nombres, on peut les ordonner en ordre croissant ou décroissant. Dans l’ordre croissant, les nombres sont ordonnés du plus petit au plus grand, tandis que dans l’ordre décroissant, ils sont ordonnés du plus grand au plus petit. *Ordre croissant : pense à la croissance d’une plante, elle débute petite puis devient de + en + grande. Exemple : Soit les 6 nombres suivants : 93 537, 100 803, 45 572, 25, 21 399, 164 489 Ordre croissant : 25 < 21 399 < 45 572 < 93 537 < 100 803 < 164 489 Ordre décroissant : 164 489 > 100 803 > 93 537 > 45 572 > 21 399 > 25 7 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération Exercice 3 1. Encadre dans chaque série (ligne) le nombre le plus grand et souligne le plus petit. a) 523 487 52 487 5 231 487 5 232 b) 450 712 214 731 256 489 352 227 c) 121 793 29 999 121 341 29 935 d) 989 761 1 000 000 1 967 435 988 897 2. Compare les nombres ci-dessous en écrivant les symboles < ou >. a) 741 ___ 714 b) 2 234 ___ 2 243 c) 45 678 ___ 54 678 d) 65 780 ___ 655 780 e) 2 990 780 ___ 299 870 f) 312 451 ___ 312 541 3. Complète par un nombre qui convient. 345 612 < ___________ < 345 621 564 871 > ___________ > 546 871 536 305 < ___________ < 536 350 560 324 > ___________ > 506 324 4. Pour chaque nombre, écris l’unité de mille qui précède et l’unité de mille qui suit. Exemple : 32 000 < 32 425 < 33 000 ____________ < 5 678 < ____________ ____________ < 10 790 < ____________ ____________ < 245 185 < ____________ ____________ < 30 267 < ____________ 8 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 1 La numération 5. a) Classe les nombres suivants dans l’ordre croissant en les séparant par le symbole. 4 510 062 5 201 121 5 021 121 4 545 062 510 221 __________________________________________________________________________ 6. Écris les nombres qui conviennent. a) 23 456 23 546 23 654 23 450 < ___________ < 23 460 < ___________ < 23 550 < ___________ b) 452 540 542 514 524 540 545 504 > ___________ > 542 504 > ___________ > 454 250 > ___________ 9  CHAPITRE 2 LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques Les opérations arithmétiques A. Les 4 opérations arithmétiques Il existe 4 opérations arithmétiques : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. L’addition (+) La réponse de l’addition s’appelle la somme. Additionner veut dire : Trouver le total Donner la somme Calculer le tout, l’ensemble Ajouter Augmenter Exemple : La somme des chiffres 5 et 8 est 13. La soustraction (-) La réponse de la soustraction est le reste. Soustraire veut dire : Trouver la différence Enlever Ôter, retirer Moins Retrancher Diminuer, réduire Exemple : Trouvez la différence entre 10 et 7. Réponse : 3 1 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques La multiplication ( x, *,· ) La réponse de la multiplication est le produit. Multiplier veut dire : Chercher le résultat d’un certain nombre de fois plus d’une même quantité. Exemple 1: 12 est le produit de 3 et 4. Exemple 2 : Luc a 2$. Paul a 5 fois plus d’argent. Paul a donc 5 x 2$=10$ La division ( ÷, / ) La réponse de la division s’appelle le quotient. Diviser veut dire : Partager Chercher un certain nombre de fois moins Chercher le nombre de fois qu’une quantité est contenue dans une autre Exemple 1 : Lorsque je divise ou partage 40 par 4, le quotient est 10. Exemple 2 : Éric a 3 fois moins de billes que Martin qui en a 45. Éric a donc 45÷3=15 billes. 2 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques EXERCICE 1 Pour chacun des problèmes suivants, Souligne les mots clés Indique l’opération arithmétique à effectuer Effectue les calculs appropriés Indique ta réponse, sans oublier les unités Exemple : Marie-Claude possède 24 timbres. Cindy en a 10 de moins que Marie-Claude. Combien en possède Cindy? Opération : Soustraction Calculs : 24-10 = 14 Réponse : 14 timbres 1. Chantal a 27 ans et son amie Isabelle a 22 ans. Quel est leur différence d’âge? Opération : Calculs : Réponse : 2. Jonathan partage 33 042 $ entre 3 personnes. Combien chacune recevra-t-elle? Opération : Calculs : Réponse : 3. J’achète une paire de chaussures à 69,98$, un chandail à 22,99$ et une paire de jeans à 45,99$. Quel sera le montant total de ma facture? Opération : Calculs : Réponse : 3 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques 4. En une semaine, Pierre consomme 63 litres d’essence. Combien en consomme-t-il en une seule journée? Opération : Calculs : Réponse : 5. Actuellement, mon loyer est de 305$. L’an prochain, il sera augmenté de 15$. Quel sera le nouveau montant de mon loyer? Opération : Calculs : Réponse : 6. Nathalie possède 98,76$ à la caisse. Elle retire un montant de 40$ au guichet automatique. Combien lui reste-t-il d’argent dans son compte? Opération : Calculs : Réponse : 7. Je suis âgée de 22 ans et mon oncle Arthur est deux fois plus âgé que moi. Quel âge a Arthur? Opération : Calculs : Réponse : 8. Combien de contenants de 1,5 litres peut-on remplir avec une cruche de 18 litres d’eau? Opération : Calculs : Réponse : 4 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques 9. Émilie a un rouleau de 56,8 mètres de tissu. Elle en utilise 14,3 mètres. Combien lui en reste-t-il? Opération : Calculs : Réponse : 10. Maryse pesait 8 livres à sa naissance. Elle pèse maintenant trois fois plus. Combien pèse- t-elle maintenant? Opération : Calculs : Réponse : 11. Hugues possède 2 539$ à la banque. Il effectue un dépôt de 1 321$. Combien a-t-il maintenant? Opération : Calculs : Réponse : 12. La semaine dernière, Martin a travaillé 10 heures. Cette semaine, il a travaillé deux fois plus que la semaine passée. Combien d’heures a-t-il travaillé durant ces 2 semaines? Opérations : (Attention! Il y en a deux!) Calculs : Réponse : 5 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques B. La priorité des opérations (+, -, x, ÷) Parfois, une expression mathématique contient plusieurs opérations. L’ordre dans lequel on effectue ces opérations est très important. Lorsqu’il y a plusieurs opérations arithmétiques à effectuer, les étapes à suivre sont les suivantes : 1) S’il y a des parenthèses, on doit commencer par effectuer les opérations entre les parenthèses. Pour chacune des parenthèses, on doit procéder ainsi :.Effectuer les multiplications et divisions dans l’ordre où elles apparaissent (de gauche à droite)..Lorsqu’il n’y a plus de multiplications et de divisions, effectuer les additions et les soustractions, toujours en allant de gauche à droite. 2) Une fois les parenthèses éliminées, on doit effectuer les multiplications et divisions dans l’ordre où elles apparaissent. 3) Finalement, effectuer les additions et les soustractions en procédant de gauche à droite. * Au début, il est important de recopier sous chacune des lignes toutes les opérations qui sont en attente afin de ne pas les oublier. De plus, souligner l’opération en cours (une seule par ligne) et inscrire le résultat sur la ligne suivante. Ce résultat devrait être le seul changement de la ligne précédente. Exemples : 18 - ( 5x3-2 )+ 2 x 17 = 18 - 5 x 3 - 2 + 2 x 17 = 18 - ( 15-2 ) + 2 x 17 = 18 - 15 - 2 + 2 x 17 = 18 - 13 + 2 x 17 = 18 - 15 - 2 + 34 = 18 - 13 + 34 = 3 - 2 + 34 = 5 + 34 = 39 1 + 34 = 35 * Ces 2 exemples présentent les mêmes nombres et opérations pourtant le résultat est différent. Bien déterminer l’ordre des opérations est donc très important. 6 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques EXERCICE 2 1-Effectue les opérations suivantes. a) 139 – 27 + 3 + 58 = _________ b) 18 + 12 – 9 + 101 – 10 = _________ c) 66 + 16 + 6 – 23 + 15 = _________ d) 574 – 238 + 339 –1 = _________ e) 1 121 + 3 – 595 – 384 = __________ 2-Réduis les expressions suivantes, sans oublier la priorité des opérations. a) 200 – 4 x 25 + 6 x 8 = b) 15 x 15 + 208 ÷ 4 – 93 = c) 516 ÷ 4 x 3 – 231 + 8 x 12 = d) 821 – 693 ÷ 3 x 2 + 1500 ÷ 4 = e) 6 + 93 x 4 – 237 + 12 x 12 ÷ 9 = f) 6 + 93 x 4 – (237 + 12) x 12 ÷ 9 = 7 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 2 Les opérations arithmétiques 3-Que valent les expressions suivantes? Une fois de plus, n’oublie pas la priorité des opérations! a) (13 x 13) – (4 x 25) = b) 832 ÷ (3836 - 3832) – 99 = c) 746 – (105 + 83 x 3) + 108 = d) (2145 ÷ 429) x (150 – 16 x 9) – 9 x 3 = e) 211 x 2 + 809 – (443 + 378 ÷ 63) = f) 211 x 2 + 809 – 443 + 378 ÷ 63 = 8  CHAPITRE 3 LA RÈGLE DE TROIS Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois A.Généralités La règle de trois est une technique pour calculer une (1) valeur inconnue à partir de 3 données connues. Les données sont liées et ont une influence les unes sur les autres. Si l’une augmente ou diminue, les autres doivent aussi augmenter ou diminuer. La règle de trois est l’outil le plus utile pour résoudre les problèmes mathématiques usuels tel que : achats, salaires, recettes, taxes, quantités, temps-travail, etc. EXEMPLES : 1. En 2 heures, tu parcours 180 kilomètres. Combien de kilomètres parcourras-tu en 7 heures? 2. Tu gagnes 440$ pour 40 heures de travail. Si tu travailles 48 heures, quel sera ton salaire? 3. J’utilise 125 ml de beurre pour faire 24 muffins. J’aurai besoin de combien de ml de beurre pour faire 100 muffins. 4. Pour construire une maison, 12 hommes ont travaillé 6 jours. Combien de jours auraient- ils été nécessaires à 8 hommes pour construire une maison identique? 5. Aujourd’hui, 2 employés ont pris 9 heures pour tondre la pelouse. La prochaine fois, ils seront 3 employés. Combien d’heures leur faudra-t-il? 6. Lucie veut acheter des tuiles de céramique pour couvrir le plancher de sa cuisine. La tuile qu’elle a choisi coûte 5,79$ avec l’économie de 2,21$ du fabricant à l’achat de 4 tuiles. Combien payera-t-elle pour l’achat de 124 tuiles? 7. En forêt, Vincent roule à une vitesse de 65km à l’heure (65km/h). Combien d’heures lui faudra-t-il pour parcourir une distance de325 kilomètres? 8. Je paie 3,24$ de taxes à l’achat de 2 couvertures. Quel sera le montant des taxes pour l’achat de 5 couvertures identiques? 1 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois La résolution d’un problème n’exige pas toujours l’emploi de la règle de trois. Parfois, il suffit d’utiliser une ou plusieurs opérations ( + , − , X , ÷ ) pour résoudre le problème. EXEMPLES : 1. Il y a deux mois, Pierre a gagné 500$ à la loterie. Ce mois-ci, il a gagné seulement 10$. Combien Pierre a-t-il gagné en tout? La règle de trois ne s’applique pas puisque le nombre de mois n’a pas d’influence sur le montant gagné. Pour résoudre le problème, il s’agit d’additionner 500$ et 10$ = 510$. 2. Dominic parcourt 255 kilomètres en 3 heures. Combien de kilomètres aura-t-il parcouru en 8 heures s’il conserve la même vitesse? La règle de trois s’applique puisque le temps a une influence sur la distance parcourue. 2 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXERCICE 1 : 1. Dans les exemples suivants, souligne les 3 données connues et encadre la valeur recherchée. a) En 2 heures, tu parcours 180 kilomètres. Combien de kilomètres parcourras-tu en 7 heures? b) Tu gagnes 440$ pour 40 heures de travail. Si tu travailles 48 heures, quel sera ton salaire? c) J’utilise 125 ml de beurre pour faire 24 muffins. J’aurai besoin de combien de ml de beurre pour faire 100 muffins. d) Pour construire une maison, 12 hommes ont travaillé 6 jours. Combien de jours auraient- ils été nécessaires à 8 hommes pour construire une maison identique? e) Aujourd’hui, 2 employés ont pris 9 heures pour tondre la pelouse. La prochaine fois, ils seront 3 employés. Combien d’heures leur faudra-t-il? f) Lucie veut acheter des tuiles de céramique pour couvrir le plancher de sa cuisine. La tuile qu’elle a choisi coûte5,79$ au lieu de 7,15$ pour 3 tuiles. Combien payera-t-elle pour l’achat de 124 tuiles? g) En forêt, Vincent roule à une vitesse de 65km à l’heure (65km/h). Combien d’heures lui faudra-t-il pour parcourir une distance de325 kilomètres? h) Je paie 3,24$ de taxes à l’achat de 2 couvertures. Quel sera le montant des taxes pour l’achat de 5 couvertures identiques? 3 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXERCICE 1 (suite) : 2. Pour chacun des problèmes, indique par oui ou par non si la règle de trois s’applique. Exemple :Étienne a gagné 572$ ce mois-ci. OUI NON Il a payé son loyer 350$ et 129$ d’épicerie. Combien lui reste-t-il? Non, car les dépenses n’ont pas d’influence sur le salaire gagné. Il s’agit de soustraire le montant total des dépenses de son salaire. a) Isabelle a lu 29 pages de son livre en 45 minutes. Combien de temps cela lui prendra pour terminer son livre qui contient 236 autres pages? b) L’an dernier, Jonathan a récolté 12,5 kg de tomates avec 5 plants. Cette année, il voudrait récolter 18 kg. Combien de plants doit-t-il cultiver? c) Au Grand Prix de Montréal, les coureurs automobiles prennent habituellement 27 minutes pour faire les 10 premiers tours de piste. Combien de temps cela prendra pour compléter les 69 tours? d) Linda a acheté 6 planches de 3,5 m et 2 planches de 4,5 m. De combien de mètres de planches dispose-t-elle? e) Un poulet de 1,4kg coûte 3,99$. Combien coûtera un poulet de 900g? f) Avec 45 l d’essence, Nathalie parcourt 550 km. Combien lui faudra-t-il de litres pour se rendre à Gaspé qui se trouve à 930 km de chez elle? g) Pascal a travaillé 40 heures à 8,20$ de l’heure et 5 heures à 12,30$ de l’heure. Combien a-t-il gagné cette semaine? h) Lundi, un livreur a parcouru 275 km. Mardi, il a parcouru le double de cette distance. Combien de kilomètres a-t-il parcouru pour les deux jours. i) Il faut 8 manœuvres pour décharger un bateau en 9 heures. Combien faudrait-il de personnes pour faire le même travail en 7 heures? 4 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois B. Démonstration de la règle de trois : ramener à l’unité Pour résoudre un problème avec la règle de trois, il faut s’habituer à ramener à l’unité (1). Autrement dit connaître la valeur recherchée pour 1 unité. Le vocabulaire qui permet de choisir l’opération à utiliser est : ……fois moins que : ÷ il faut diviser par le nombre avant le mot fois. ……fois plus que : X il faut multiplier par le nombre avant le mot fois. Pour permettre une comparaison entre 2 ou plusieurs items, il faut d’abord ramener à l’unité (1) chacun des items. EXEMPLES : 1. Une douzaine d’œuf coûte 1,92$. Combien coûte 1 œuf? Données : si 12 œufs = 1,92$ alors 1 œuf = ? $ Solution : il faut décider si l’opération à effectuer sera une division ou une multiplication. 1 œuf coûtera 12 fois plus ou 12 fois moins ? La réponse est 12 fois moins, donc je divise par 12 Calcul : 1,92$ ÷ 12 = 0,16$ 2. Un vendeur de sapins de Noël coupe 44 sapins en 4 heures. Combien en coupera-t-il en 8 heures? Données : si 44 sapins = 4 heures, alors 1 heure = ? sapins Solution : faut-il diviser ou multiplier? En 1 heure coupera-t-il 4 fois plus ou 4 fois moins de sapins qu’en 4 heures? La réponse est 4 fois moins, donc je divise par 4 Calcul : 44 ÷ 4 = 11 sapins en 1 heure Données : si 1 heure = 11 sapins, alors 8 heures = ? sapins Solution : faut-il diviser ou multiplier? En 8 heures coupera-t-il 8 fois plus ou 8 fois moins de sapins qu’en 1 heure? La réponse est 8 fois plus, donc je multiplie par 8 Calcul : 11 X 8 = 88 sapins en 8 heures 5 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXERCICE 2: 1. Résous les problèmes suivants en indiquant les donnés et les solutions puis effectue le calcul approprié. a) Tu dépenses 45$ pour l’achat de 3 gilets. Combien coûteront 5 gilets? Données : si … gilets = …..$, alors 1 gilet = ? $ Solution : faut-il diviser ou multiplier? 1 gilet coûtera 3 fois plus ou 3 fois moins que 3 gilets? La réponse est 3 fois…………, donc je …………..par 3 Calcul : Données : si 1 gilet = …..$, alors 5 gilets = ? $ Solution : faut-il diviser ou multiplier? 5 gilets coûteront 5 fois plus ou 5 fois moins que 1 gilet? La réponse est 5 fois ………., donc je ……………. par 5 Calcul : 2. Pour construire une maison, 12 hommes ont travaillé pendant 10 jours. Combien de jours auraient-ils été nécessaires à 8 hommes pour construire une maison identique? Données : si ….. hommes = ….. jours, alors 1 homme = ? jours Solution : faut-il diviser ou multiplier? 1 homme prendra-t-il 12 fois plus ou 12 fois moins de temps que 12 hommes? La réponse est 12 fois ……….…, donc je ………….. par 12 Calcul : Données : si 1 homme = …….. jours, alors 8 hommes = ? Jours$ Solution : faut-il diviser ou multiplier? 8 hommes prendront-ils 8 fois plus ou 8 fois moins de temps que 1 homme? La réponse est 8 fois ……….…., donc je ………….. par 8 Calcul : 3. Quel est le meilleur achat? Une bouteille de 200ml de sirop pour 4,35$ ou une bouteille de 500ml pour 10,20$? Pour pouvoir comparer les prix, il faut déterminer le coût pour 1ml de chacune des bouteilles. Données pour la bouteille de 200ml : Données pour la bouteille de 500ml : Solution : Solution : Calcul : Calcul : 6 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois 4. La famille Gagnon a parcouru 280 kilomètres. Elle a utilisé 15 litres d’essence. Combien de kilomètres aurait-t-elle parcouru avec 7 litres d’essence? Arrondir au kilomètre près. Données : Solution : Calcul : Données : Solution : Calcul : 5. Il en coûte 140,00$ pour nourrir une famille pendant 7 jours. Combien en coûtera-t-il pour nourrir cette famille pendant 1 an. Données : Solution : Calcul : Données : Solution : Calcul : 6. Charles devra débourser 228$ d’intérêt pour son emprunt s’il rembourse en 12 mois. Quel montant devra-t-il débourser s’il rembourse en 5 mois? Données : Solution : Calcul : Données : Solution : Calcul : 7 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXERCICE 3 : Sur une autre feuille, indique clairement les données et la solution en répondant à la question fois plus ou fois moins que.. Termine en indiquant tous les calculs effectués. N’oublie pas de passer par 1. 1. La compagnie Construx profite d’un rabais sur les madriers. Elle les paie 46$ pour 5. Combien coûtera 1 madrier? Combien coûteront 62 madriers? 2. J’ai 5 tablettes de chocolat pour 4,25$. Quel est le prix pour 1 tablette? Le prix pour 12 ? 3. Luc parcourt 110 km en 65 minutes. Combien de km parcourt-il en 1 minute? En 1 heure? Arrondir au kilomètre. 4. En 18 heures, 4 ouvriers ont finalisé un travail. Combien d’heures pour 1 ouvrier? Ce travail aurait été terminé en combien de temps avec 9 ouvriers? 5. Pour couvrir un plancher, Jeanne a acheté 126 tuiles pour 283,50$. Combien coûte chaque tuile? Quel serait le prix pour 300 tuiles? 6. Quel est le meilleur achat? Un rôti de 2,2 kg pour 17,60$ ou un rôti de 3kg pour 23,97$? 7. Trois couturières terminent 351 boutonnières en 8 heures. En 8 heures, combien de boutonnières seront terminées par 1 couturière puis par 8 couturières? 8. André utilise 6 litres de peinture pour peindre une pièce de 250 pi2. Combien de ml est nécessaire pour 1 pi2? Combien de litres pour peindre une surface de 169 pi2 ? 9. 7 hommes nettoient un bâtiment en 22 heures. Combien de temps prendra 1 homme? Combien de temps prendront 4 hommes? 10. Pauline veut acheter 5m de soie au coût de 95,25$. Quel est le prix du mètre? Quel serait le prix pour 8 mètres? 11. Philippe obtient un rabais de 15% sur ses achats et il a ainsi économisé 90$. Avec 1% de rabais, il aurait économisé combien d’argent? Par contre, s’il avait obtenu un rabais de 25%, combien aurait-il économisé? 12. Lors d’un rallye, Noémie a parcouru 280km en 3,2 heures ou 3h12. Combien de kilomètres a-t-elle parcouru en 1 heure? À la même vitesse, combien de kilomètres aura-t- elle parcouru en 6 heures? 13. Julie achète 500ml de jus pour 2,30$. Combien coûte 1ml? Quel est le prix pour une bouteille de 750ml ? 14. Céline achète 33 cm de ruban pour 0,99$. Combien coûte chaque cm? Quel serait le prix pour 70cm de ce même ruban? 8 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois C. RÈGLE DE TROIS : RACCOURCIS Maintenant que tu connais le fonctionnement de la règle de trois en passant par 1 (unité), nous te proposerons, dans les pages suivantes des raccourcis qui te permettront de solutionner plus rapidement les problèmes reliés à la règle de trois. Afin de choisir le raccourci approprié, il est très important de reconnaître quelle influence aura la variation d’une donné sur la valeur recherchée. Une donnée augmente ↑ alors la valeur recherchée augmente ↑ Influence directe : Une donnée diminue ↓ alors la valeur recherchée diminue ↓ Nous retrouvons cette influence dans la majorité des problèmes solutionnés par la règle de trois. Les données font référence à : - salaire/temps travaillé - quantité/coût - taxes, rabais, intérêt/prêt $/durée du prêt - recette, mélange, - distance/temps/essence - quantité/besoin, etc. Le raccourci utilisé pour ce genre de problème sera la règle de trois simple (produit croisé). Une donnée augmente ↑ alors la valeur recherchée diminue ↓ Influence inverse : Une donnée diminue ↓ alors la valeur recherchée augmente ↑ Nous retrouvons cette influence principalement dans 3 cas dont les données font références à : - durée d’un travail / nombre de personnes - quantité nécessaire / format utilisé - durée d’un parcours / vitesse Puisque la variation d’une donnée a une influence inverse sur la valeur recherchée, le raccourci utilisé pour ce genre de problème sera la règle de trois inverse. Pour l’instant, nous te proposons des exemples qui te permettront de visualiser plus facilement le genre d’influence qu’une variation d’une donnée aura sur la valeur recherchée. 9 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXEMPLES : influence directe ou inverse 1. Salaires : influence directe Si 350$ pour 35 heures Alors ? ($) pour 20 heures (nombre d’heures diminue → salaire diminue) Alors ? ($) = 42 heures (nombre d’heures augmente → salaire augmente) 2. Achats : influence directe Si 10 crayons pour 4,25$ Alors 4 crayons pour ? ($) (nombre de crayons diminue → coût diminue) Alors 24 crayons = ? ($) (nombre de crayons augmente → coût augmente) 3. Quantité nécessaire: influence directe Si 12 litres de peinture pour 3 pièces Alors ? (litres) pour 2 pièces (nombre de pièces diminue → quantité diminue) Alors ? (litres) = 5 pièces (nombre de pièces augmente → quantité augmente) 4. Intérêts-taxes : influence directe Si 90$ d’intérêt pour 1 000$ Alors ? ($) d’intérêt pour 2 200$ ($ prêt augmente → $ d’intérêt augmente) Alors ? ($) d’intérêt = 700$ ($ prêt diminue → $ d’intérêt diminue) 5. Temps/nombre de personnes : influence inverse Si 3 peintres pour 5 jours Alors 2 peintres pour ? (jours) (nombre de peintres diminue→ temps augmente) Alors 6 peintres = ? (jours) (nombre de peintres augmente→ temps diminue) 6. Recette : influence directe Si 500 ml de lait pour 24 galettes Alors ? (ml) pour 18 galettes (nombre de galettes diminue → quantité diminue) Alors ? (ml) = 120 galettes (nombre de galettes augmente → quantité augmente) 7. Quantité selon format : influence inverse Si 4,5m pour format 115cm Alors ? (m) pour format 90cm ( format diminue→ quantité augmente) Alors ? (m) = format 150cm ( format augmente→ quantité diminue) 8. Vitesse : influence inverse Si 100km/h = 3 heures Alors 80km/h = ? (heures) ( vitesse diminue→ durée augmente) Alors ? (km/h) = 2h30 ( durée diminue →) vitesse augmente) 10 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois La règle de trois simple ou produit croisé Ce raccourci s’applique à la majorité des problèmes reliés à cette règle. Tu peux utiliser le produit croisé seulement pour les problèmes où la variation d’une donnée a une influence directe sur la valeur recherchée. Méthode : tu devras multiplier les 2 données connues placées en diagonale puis diviser par la donnée qui est placée en diagonale avec le ? (valeur recherchée) Il est très important de mettre les données de même nature dans la même colonne. Données : Si 1 600 tonnes en 30 jours Alors ? tonnes en 4 jours Calcul : 1 600 X 4 = 6 400 ÷ 30 = 213,3 tonnes EXEMPLES : produit croisé ou règle de trois simple. 1. Un peintre peut peindre 2 maisons complètes en 18 jours. Combien de jours cela lui prendra-t-il pour peindre 3 maisons? Données : Si 2 maisons = 18 jours Alors 3 maisons = ? jours Calcul : 18 X 3 = 54 ÷ 2 = 27 jours 11 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois 1. Une compagnie emploie 400 ouvriers pour effectuer un contrat en 60 jours. Combien d’ouvriers devra-t-elle engager pour effectuer un contrat similaire en 45 jours.? Données : Si 400 ouvriers = 60 jours Alors ? ouvriers = 45 jours Calcul : 400 X 45 = 18 000  60 = 300 ouvriers Vérifie souvent la logique de ta réponse. Est-il logique que le nombre d’ouvriers nécessaires pour effectuer le travail en 45 jours soit plus petit que le nombre d’ouvriers nécessaires pour le même travail exécuté en 60 jours? La réponse est NON, alors tu ne peux faire le produit croisé puisque l’influence est inverse. 2. Anne utilise 500 ml de lait pour faire 24 galettes. Combien de ml de lait aura-t-elle besoin pour 120 galettes? Données : Si 500 ml = 24 Alors 120 = ? ml Calcul : 120 X 24 = 2 880  500 = 5,76 ml Est-il logique qu’Anne utilise moins de lait pour faire plus de galettes? Pourtant le nombre de galettes a une influence directe sur la quantité de lait nécessaire donc l’influence est directe. Vérifie si les données sont bien placées. Corrige la situation. 3. Pour Noël, François achète 14 casquettes pour offrir aux employés de son département. Elles se vendent 370$ pour une caisse de 20 casquettes. La facture de François s’élèvera à combien? Données : Si 370$ = 20 casquettes Alors ? $ = 14 casquettes Calcul : 370 X 14 = 5 180  20 = 259$ 12 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXERCICE 4 : Attention! Si tu ne peux pas utiliser le produit croisé, indique NON à la réponse. 1. Un paquet de biscuits de 364g coûte 2,08$. Combien coûtera un paquet de 630 g des mêmes biscuits? Données : Si ……. = ……... Alors ….… = ….….. Calcul : Rép. : 2. Dans les banques, tu paies environ 7,5% d’intérêt pour un prêt personnel. Si un emprunt de 1 000$ a coûté 75$ d’intérêt, quel sera le montant à payer pour un emprunt de 3 200$? Données : Si ……. = …..…. Alors …..… = …….. Calcul : Rép. : 3. Si Luc a gagné 350$ pour une semaine de 30 heures de travail. Combien gagnera-t-il pour une semaine de 42 heures? Données : Si ……. = ……... Alors …..… = ……... Calcul : Rép. : 4. Paul utilise 10 litres de peinture pour peindre 2½ pièces. Combien de litres aura-t-il besoin pour peindre 6 pièces identiques? Données : Si ……. = ……... Alors …..… = ……... Calcul : Rép. : 13 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois 5. Isabelle a lu 15 pages de son livre en 25 minutes. Combien de temps cela lui prendra pour terminer son livre qui contient 297 autres pages? Données : Si ……. = …..…. Alors …..… = ….….. Calcul : Rép. : 6. Une compagnie de construction profite d’un rabais sur les poutrelles. Elle les paie 5 pour 39$. Combien coûteront 44 poutrelles? Données : Si ……. = …..…. Alors …..… = ……... Calcul : Rép. : 7. J’ai 5 tablettes de chocolat pour 4,25$. Combien de tablettes j’achèterai avec 11,05$? Données : Si ……. = ……... Alors …..… = ……... Calcul : Rép. : 8. Pour couvrir un plancher, Jeanne a acheté 126 tuiles pour 141,75$. Quel serait le prix pour 198 tuiles? Données : Si ……. = …….... Alors …..… = ……... Calcul : Rép. : 14 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois Règle de trois inverse Maintenant, tu peux adapter le produit croisé ou règle de trois simple pour résoudre aussi les problèmes où la variation d’une donnée a une influence inverse sur la valeur recherchée. C’est le cas pour les problèmes dont les données représentent : Temps-travail selon le nombre de personnes; Quantité selon le format utilisé Temps ou distance selon la vitesse Pour adapter le produit croisé à ce genre de problèmes, on doit : décroiser ou bien inverser les données connues Les 2 méthodes proposées auront cet effet inverse sur le raccourci. Tu devras choisir la méthode qui te convient le mieux et utiliser toujours la même. 1ère méthode : faire les mêmes opérations mais sur les données décroisées. Pour ce faire, tu devras multiplier les 2 données connues placées vis-à-vis ( sur la même ligne) puis diviser par la donnée placée sur la même ligne que la valeur recherchée ( ? ). 2ième méthode : influence inverse, donc tu dois inverser (basculer) les 2 données connues placées l’une sur l’autre. Ensuite seulement, tu procèdes de la même façon que la règle de trois simple. EXEMPLES : 1. Pour le nettoyage d’un édifice, 3 ouvriers ont travaillé pendant 30 jours. Combien de jours auraient-ils été nécessaires avec 5 ouvriers? 1ère méthode 2ième méthode Si 3 ouvriers  X 30 jours Si 3 = 30 jours 5 = 30 jours Alors 5 ouvriers   ? jours Alors 5 = ? jours 3 = ? jours Calcul : 3 X 30 = 90  5 = 18 jours Calcul : 3 X 30 = 90  5 = 18 jours 2. Isabelle veut confectionner des rideaux. Le tissus choisi se vend en 2 largeurs. Elle a besoin de 4,5 m pour le tissus de 115 cm de largeur. Si Isabelle achète le même tissus mais de 150 cm de largeur, elle aura besoin de combien de mètres de tissus? 1ère méthode 2ième méthode Si 115 cm  X 4,5 m Si 115 cm = 4,5 m 150 = 4,5 m Alors 150 cm   ? m Alors 150 cm = ? m 115 = ? m Calcul : 115 X 4,5 = 460  150 = 3,45 m Calcul : 115 X 4,5 = 460  150 = 3,45 m 15 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXEMPLES : (suite) 3. En roulant à une vitesse de 100 km/h, Annie a parcouru la distance entre Chibougamau-St- Félicien en 3 heures. Combien de temps aurait duré le même trajet si Annie avait roulé à une vitesse de 120 km/h? 1ère méthode 2ième méthode Si 100 km/h ← X → 3 heures Si 100 km/h = 3h → 120 = 3h Alors 120 km/h ← ÷ → ? heures Alors 120 km/h = ? h → 100 = ? h Calcul : 100 X 3 = 300 ÷ 120 = 2,5h Calcul : 100 X 3 = 300 ÷ 120 = 2,5h EXERCICE 5 Utilise une des deux méthodes seulement. 1. Une compagnie de construction emploie 400 ouvriers pour finaliser un contrat en 60 jours. Combien d’ouvriers, cette compagnie devra-elle employer pour terminer un contrat similaire en 32 jours? Si Alors Calcul : 2. Pour construire une petite cabane dans un arbre, Martin a besoin de 9 planches de contreplaqué de 4 pieds de largeur. Par contre, Martin peut acheter des planches de 8 pieds de largeur. Combien de planches de 8 pieds seront alors nécessaires? Si Alors Calcul : 16 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois 3. Pour construire une maison, 7 hommes ont travaillé 128 heures. Combien d’heures auraient été nécessaires à 16 hommes pour construire une maison identique? Si Alors Calcul : 4. Pour faire le ménage de la cuisine, ma fille et moi avons pris 2 heures. Combien de personnes auraient été nécessaires pour terminer le ménage en 30 minute? Si Alors Calcul : 5. Aujourd’hui, 3 employés ont pris 12 heures pour tondre la pelouse. La prochaine fois, ils seront 2 employés. Combien d’heures seront alors nécessaires? Si Alors Calcul : 17 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois 6. Lors d’une course, Vincent a complété le parcours en 80 minutes avec une vitesse moyenne de 45km/h. Mélanie a terminé le même trajet en 75 minutes. Quelle était la vitesse moyenne de Mélanie pour ce parcours? Si Alors Calcul : 7. Mes 2 frères ont pris 2 semaines et 1 jour pour faucher le foin. Combien de jours aurait-il fallu à 5 personnes pour faire le même travail? Si Alors Calcul : 8. Pour copier sa recherche, Alexandre utilise 12 feuilles de 32 lignes de texte chacune pour un format 8½ X 11. Ensuite, il décide plutôt d’utiliser des feuilles de format 8½ X 14 contenant 48 lignes de texte. Avec ce format, combien de feuilles seront nécessaires? Si Alors Calcul : 18 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois D. CAS PARTICULIERS Cas particulier #1 : Lorsqu’une donnée du problème est une fraction, souvent on te demandera de trouver la valeur de l’entier correspondant. Parfois, cette valeur de l’entier est sous-entendue et tu devras la déterminer au préalable. EXEMPLES : ¼ valeur de l’entier correspondant est 4/4 O,2 valeur de l’entier correspondant est 1 30% valeur de l’entier correspondant est 100% Conseil pour faciliter les calculs : utilise ta calculatrice pour transformer une fraction ordinaire en fraction décimale en divisant le numérateur par le dénominateur. 1/4 = 1 ÷4 = 0,25 2/5 = 2÷5 = 0,4 1/3 = 1÷3 = 0,333…. EXEMPLES : 1. Éric vend sa maison 15% de plus que le prix de l’achat qui était de 78 000$. Quel profit a- t-il réalisé? On sous-entend que 78 000$ égale 100% du prix. Données : Si 78 000$ = 100% Alors ? $ = 15% Calcul : 78 000 X 15 = 1 170 000 ÷ 100 = 11 700 $ 2. Dans son examen, Jonathan a obtenu 61 bonnes réponses sur un total de 72 questions. Quel est son résultat en pourcentage? On sous-entend que 72 bonnes réponses égaleront 100%. Données : Si 72 questions = 100% Alors 61 questions = ? % Calcul : 61 X 100 = 6 100 ÷ 72 = 84,72% 19 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois EXERCICE 6 1. Une famille a dépensé 20% de son budget mensuel pour se nourrir. Quel était le budget si cette famille a dépensé 425$ pour payer l’épicerie pendant ce mois? Données : Si = Alors = Calcul : 2. Marie place dans un sac 80 billes. Les 2/5 des billes sont blanches. Combien de billes blanches le sac contient-il? Données : Si = Alors = Calcul : 3. La famille Simard dépense 35% de son budget mensuel qui se chiffre à 2 100$ pour le loyer. Quel est le coût du loyer? Données : Si = Alors = Calcul : 4. Charles a bien répondu à 21 questions dans son examen. Il a obtenu la note de 70%. Combien de questions contenait l’examen? Données : Si = Alors = Calcul : 5. Sébastien cueille des pommes. Les pommes rouges représentent 0,8 de sa cueillette et le reste sont des pommes vertes. Quel est le nombre de pommes vertes sur les 240 pommes cueillies? Données : Si = Alors = Calcul : 20 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois Cas particulier #2 Lorsque l’unité de mesure n’est pas identique pour les données de même nature, il est important de placer les données de même nature dans la même colonne. EXEMPLES : 1. Pour obtenir le vert désiré, je mélange 5 parties de blanc à 2 parties de vert foncé. Combien de vert foncé dois-je ajouter à 750ml de peinture blanche pour obtenir le vert choisi? Données : Si 5 parties de blanc pour 2 parties de vert Alors 750 ml de blanc pour ? ml de vert Calcul : 750 x 2 = 1500 ÷ 5 = 300 ml EXERCICE 7 1. Pour faire du béton, Pierre-André mélange 3 parties de gravier pour 2 parties de ciment. Quelle quantité de gravier Pierre-André devra-t-il ajouter à 28 kg de ciment? Données : Si pour Alors pour Calcul : 2. Pour sa recette de crêpe, Jacques mélange 40% de produit sec à 60% de lait. Quelle sera la quantité de lait nécessaire s’il utilise 3 tasses de produit sec? Données : Si pour Alors pour Calcul : 21 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 3 La règle de trois Cas particulier #3 Pour connaître la nouvelle quantité d’un item dans un mélange, il faut d’abord calculer la quantité totale de ce mélange. EXEMPLES : 1. Pour faire sa recette de punch, Émilie mélange 750 ml de jus d’orange, 500 ml de jus de pamplemousse, 500 ml de jus d’ananas et 250 ml de boisson gazeuse. Combien de jus d’ananas aurait-elle besoin pour faire 16 litres de punch? Solution : la somme des items = 750 + 500 + 500 + 250 = 2 000ml ou 2 litres de punch. Données : Si 500 ml ananas pour 2 litres de punch Alors ? ml ananas pour 16 litres de punch Calcul : 500 x 16 = 8 000 ÷ 2 = 4 000ml = 4 litres EXERCICE 8 1. Julie place 5 suçons rouges, , 2 verts et 1 noir dans un sac brun. Quelles sont les chances en % de piger un suçon rouge. Arrondir la réponse au dixième près. Solution : Données : Si pour Alors pour Calcul : 2. Pour un tirage, 80 livrets de 6 billets et 20 billets individuels se sont vendus. Quelles sont les chances en % que Madeleine gagne si elle a acheté 1 livret? Solution : Données : Si pour Alors pour Calcul : 22  Chapitre 4 Les fractions Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions A. Généralités Les fractions font partie de notre quotidien puisqu’il est souvent nécessaire d’exprimer une quantité qui n’est pas entière. Donc, une fraction désigne une ou plusieurs parties d’un tout partagé en un nombre de parties égales. En effet, pour qu’une quantité représente une fraction, il faut absolument que le tout soit partagé en parties égales. EXEMPLES : Ce carré est bien partagé en 2, mais il est faux de dire que la partie 1 ombragée représente la demie ( ) de celui-ci. 2 Dans ces exemples, la partie ombragée représente bien une 1 fraction, c’est-à-dire , puisque le tout est partagé en 2 parties 2 égales. Les fractions ordinaires se composent de 2 entiers placés l’un au-dessus de l’autre et séparés par une barre de division puisqu’une fraction est l’expression de la division d’un tout. Le chiffre du haut est appelé le numérateur. Il indique combien de parts sont prélevées sur un objet ou un ensemble d’objets. Pour se rappeler du terme, on associe numérateur à nuage (haut). Le chiffre du bas se nomme dénominateur. Il indique en combien de parts égales l’objet a été partagé ou combien d’objets font partie de l’ensemble. 1 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions EXEMPLES 2 NUMÉRATEUR = 2 parts d’un tout divisé en 5 parties égales 5 DÉNOMINATEUR 1 NUMÉRATEUR = 1 part d’un tout divisé en 3 parties égales 3 DÉNOMINATEUR Il est important de reconnaître et d’utiliser le vocabulaire réservé aux fractions, qu’elles soient ordinaires ou décimales, afin de pouvoir constater que la quantité exprimée n’est pas entière. Fractions ordinaires : On exprime d’abord le numérateur en nommant simplement le chiffre qui occupe cette position. Ensuite, on exprime le dénominateur en ajoutant la terminaison “ième” à ce chiffre. Le vocabulaire pour exprimer une fraction sera toujours le même sauf pour les trois dénominateurs suivants: Un tout partagé en 2 parties égales: demi Un tout partagé en 3 parties égales: tiers Un tout partagé en 4 parties égales: quart Fractions décimales : Le 1er chiffre après la virgule indique que l’entier a été partagé en 10 parts égales donc des dixièmes. Lorsqu’il y a 2 chiffres après la virgule, cela indique que l’entier a été partagé en 100 parts égales donc des centièmes. Pense aux cents du dollar. Le 3ième et le 4ième chiffres représentent respectivement des millièmes et des dix millièmes. EXEMPLES : 13 numérateur se lit treize vingt-deuxièmes 22 dénominateur 2 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions 1 3  se lit une demie se lit trois demies 2 2  1 3 se lit un tiers 2 3 se lit deux tiers. 1 4 se lit un quart 3 4 se lit trois quarts B. Fraction décimale Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 : 10, 100, 1000, 10000, … Le nombre de chiffres après la virgule détermine la puissance de 10 qui divise l’unité. Petit truc : Pour se rappeler le nombre de division de l’unité, il suffit de placer autant de zéros à un (1) qu’il y a de chiffres après la virgule. EXEMPLES 6 0,6 : 1 chiffre après la virgule donc 1 zéro au dénominateur = et se lit six dixièmes. 10 3 0,03 : 2chiffres après la virgule donc 2 zéros au dénominateur = et se lit trois centièmes. 100 25 0,025 : 3 chiffres après la virgule donc 3 zéros au dénominateur = et se lit vingt-cinq 1000 millièmes. 68 0,0068 : 4 chiffres après la virgule donc 4 zéros au dénominateur = et se lit 10000 soixante-huit dix millièmes 3 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions C. Nombre décimal Un nombre décimal est composé d’une partie représentant les entiers et d’une partie fractionnaire. Ces deux parties sont séparées par une virgule et on l’énonce en ajoutant et entre les deux parties. EXEMPLES 4 2,4 = 2 : se lit deux et quatre dixièmes 10 2 5,02 = 5 : se lit : cinq et deux centièmes 100 D. Déplacement de la virgule Lorsqu’on déplace la virgule dans un nombre décimal, la position de chaque chiffre est modifiée. Ce nombre sera alors augmenté de 10 fois (x10) ou diminué de 10 fois (÷10) et ceci pour chaque bond de la virgule. - Chaque bond de la virgule vers la droite a pour effet de multiplier par 10 le nombre décimal. - Chaque bond de la virgule vers la gauche a pour effet de diviser le nombre par 10. Rappel : Comme la position d’un chiffre détermine sa valeur dans un nombre, la virgule détermine la valeur de la fraction décimale. Unités Centaines Dizaines Unités , Dixièmes Centièmes Millièmes Dix de millièmes mille 1 2 1 7 5 , 2 8 0 6 2 1 7 5 2 , 8 0 6 0 6 La valeur du 6 dans l’exemple 1 est 0,0006 ou 10000 6 La valeur du 6 dans l’exemple 2 est 0,006 ou 1000 4 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions EXEMPLES : 108,036 déplacement de la virgule vers la droite : 1 080,36 (le nombre est 10 fois plus grand) ; 108,036 déplacement d’une position vers la gauche : 10,8036 (10 fois plus petit) 108,036 déplacement de 2 positions vers la droite : 10 803,6 (100 fois plus grand) 108,036 déplacement de 2 positions vers la gauche : 1,08036 (100 fois plus petit) Donc, à chaque changement de position de la virgule, le nombre décimal est multiplié ou divisé par 10. * Au besoin, on peut ajouter des zéros soit à la fin ou au début d’un nombre décimal sans modifier sa valeur mais seulement la façon d’énoncer la partie fractionnaire. EXEMPLES : 108, 36 se lit cent huit et trente-six centièmes 0108, 360 se lit cent huit et trois cent soixante millièmes 6,3 X 1 000 3 déplacements vers la droite : 6,3000 X 1 000 = 6 300,0 18,05 ÷100 2 déplacements vers la gauche : 018,05÷100 = 0,1805 4,5 X 10 000 4 déplacements vers la droite : 4,5000 X 10 000 = 45 000 4,5 ÷ 10 000 4 déplacements vers la gauche : 00004,500 ÷ 10 000 = 0,00045 5 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions Exercice 1 1.Multiplie chaque nombre décimal par 10, 100 et 1000. a) 3,4 X 10 = _________ 3,4 X 100 = _________ 3,4 X 1000 = _________ b) 12,03 X 10 = _________ 12,03 X 100 = _________ 12,03 X 1000 = _________ c) 208,103 X 10 = ________ 208,103 X 100 = _________ 208,103 X 1000 = ________ d) 0,179 X 10 = _________ 0,179 X 100 = __________ 0,179 X 1000 = __________ e) 5,06 X 10 = _________ 5,06 X 100 = __________ 5.06 X 1000 = ___________ 2. Divise chaque nombre décimal par 10, 100 et 1000. a) 103,5 ÷ 10= _________ 103,5 ÷ 100 = _________ 103,5 ÷ 1000 = _________ b) 4,09÷ 10 = _________ 4,09 ÷ 100 = _________ 4,09 ÷ 1000 = _________ c) 78,54 ÷ 10 = _________ 78,54 ÷ 100 = _________ 78,54 ÷ 1000 = _________ d) 6,2 ÷ 10 = __________ 6,2 ÷ 100 = _________ 6,2 ÷ 1000 = _________ e) 3,01 ÷ 10 = __________ 3,01 ÷ 100 = __________ 3,01 ÷ 1000 = __________ 3. Jean-Luc doit remettre 264$ à 10 personnes. Chaque personne recevra combien d’argent ? 4. Lors d’un spectacle, 1000 billets à 27,50$ ont été vendus. Quelle recette a généré ce spectacle ? 6 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions E. Transformation Transformation décimale en ordinaire 1. Fraction décimale en fraction ordinaire : Pour transformer une fraction décimale en fraction ordinaire, il s’agit d’abord d’énoncer la fraction à voix haute. Le premier terme sera le numérateur et le terme terminé en ième sera placé au dénominateur de la fraction. Ne pas oublier de simplifier la fraction obtenue. 2. Nombre décimal en nombre fractionnaire : On transforme un nombre décimal en nombre fractionnaire en plaçant le nombre avant la virgule comme entier devant la partie fractionnaire. Ensuite, on procède à la transformation de la partie fractionnaire(voir 1). Ne pas oublier de simplifier la partie fractionnaire au besoin. EXEMPLES : 7 0,7 : se lit sept dixièmes = 10 28 7 0,28 : se lit vingt-huit centièmes = ou 100 25 405 81 0,405 : se lit quatre cent cinq millièmes = ou 1000 200 3 0,0003 : se lit trois dix millièmes = 10000 8 4 5,8 : se lit cinq et huit dixièmes = 5 ou 5 10 5 9 213,09 : se lit deux cent treize et neuf centièmes = 213 100 202 101 37,202 : se lit trente sept et deux cent deux millièmes = 37 ou 37 1000 500 7 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions Transformation ordinaire en décimale 1. Fraction ordinaire en fraction décimale : L’utilisation de la calculatrice rend cette transformation simple puisqu’il s’agit de diviser le numérateur par le dénominateur et le résultat s’affiche sous la forme décimale. Sans calculatrice, il faut alors effectuer la division et poursuivre l’opération jusqu’à la disparition du reste. a) On divise jusqu’à l’obtention du reste. b) Pour continuer, on ajoute une virgule après la réponse (quotient) et un zéro au reste. Ce qui permet de poursuivre la division. On peut ajouter un autre zéro au nouveau reste et ce jusqu’à la disparition de celui-ci. Habituellement, on limite la réponse à deux chiffres après la virgule, c’est-à- dire au centième près. 2. Nombre fractionnaire en nombre décimal : Pour transformer un nombre fractionnaire en nombre décimal, on place la partie entière devant la virgule puis on transforme la partie fractionnaire (voir 1) et on ajoute le résultat après la virgule. EXEMPLES : 4 = 4 ÷ 6 = 0,666…= 0,66 6 13 = 13 ÷ 15 = 0,8666…= 0,86 15 1 1 2 = = 1 ÷ 5 = 0,2 + 2 = 2,2 5 5 6 6 6 = = 6 ÷ 7 = 0,857 + 6= 6,86 7 7 1 1 23 = = 1 ÷ 3 = 0,333.. + 23= 23,33 3 3 8 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions Exercice 2 1. Transforme les fractions suivantes en fractions décimales. Au besoin, affiche le résultat au millième près. 9 1 5 a) = _________ c) = _________ e) = _________ 11 2 7 3 21 4 b) = _________ d) = ________ f) = _________ 4 25 17 2. Transforme les nombres décimaux en nombres fractionnaires. Au besoin, affiche le résultat au centième près. a) 4,02 = __________ c) 18,3 = _________ e) 1,056 = __________ b) 7,0408 = _________ d) 359,06 = __________ f) 10,305 = __________ 3. Transforme les nombres fractionnaires en nombres décimaux. 2 5 1 a) 24 = __________ c) 8 = ____________ e) 12 = ____________ 3 8 4 3 1 9 b) 108 = __________ d) 10 = ____________ f) 13 = ____________ 20 6 13 4. Transforme les fractions suivantes en fractions ordinaires. a) 0,48 = ____________ c) 0,306 = ____________ e) 0,6 = _____________ b) 0.02 = ____________ d) 0,0018 = ___________ f) 0,512 = ___________ 9 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions F. Opérations sur les fractions et nombres décimaux (facultatif pour TDG) Addition et soustraction Il est très important de bien aligner les virgules avant d’effectuer une addition et soustraction puisque la virgule détermine la valeur de chaque chiffre qui compose un nombre décimal. Il ne faut pas oublier qu’un zéro ajouté à la droite de la partie fractionnaire ne change pas sa valeur. Étapes : a) On dispose, en colonne, chaque nombre décimal en respectant l’alignement des virgules et en ajoutant des zéros à la droite au besoin ; b) On effectue l’opération demandée ; c) On supprime les zéros inutiles au résultat, s’il y a lieu. EXEMPLES : 1. 81,285 + 120,4 + 2,14 = ? 3. 25,89 - 14,7 = ? 81,285 25,89 + 120,400 - 14,70 2,140 11,19 203,825 2. 18,49 + 201,2 + 5,71 = ? 4. 47 - 22,48 = ? 18,49 47,00 + 201,20 - 22,48 5,71 24,52 225,40 ou 225,4 10 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions Multiplication Lorsqu’on multiplie des fractions et nombres décimaux, on effectue l’opération sans se soucier des virgules comme si les termes étaient des entiers. À la réponse seulement, on additionne le nombre de chiffres après les virgules des 2 termes qui se multiplient et on applique cette quantité après la virgule du produit. En résumé, s’il y a 3 chiffres après la ou les virgules dans les 2 termes qui se multiplient, il y aura 3 chiffres après la virgule au produit. Au besoin, on ajoute des zéros à gauche de la réponse et on place la virgule. EXEMPLES : 1. 2,34 2 chiffres après la virgule X _16 _ 0 chiffre après la virgule 1404 + 234_ 3744 le produit doit compter 2 chiffres après la virgule = 37,44 2. 0,103 3 chiffres après la virgule X _0,42_ 2 chiffres après la virgule 0206 + 0412 0000___ 004326 le produit doit compter 5 chiffres après la virgule = 0,04326 11 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions Division Pour effectuer une division de fractions ou de nombres décimaux, il faut : a) S’assurer que les 2 termes (dividende et diviseur) contiennent le même nombre de chiffres après la virgule. Pour ce faire, on complète l’un ou l’autre avec des zéros. b) Ensuite, on élimine les virgules des 2 termes puis on divise comme si c’était des entiers. c) Lorsqu’il n’y a plus de chiffre à abaisser, on poursuit la division en plaçant une virgule au quotient (réponse) tout en ajoutant un (1) zéro au reste. On peut continuer ainsi en ajoutant un zéro à la fois au nouveau reste obtenu et ce jusqu’à la disparition de celui-ci ou jusqu’à la partie fractionnaire demandée (centième près, millième près, etc.) EXEMPLES : 1. 29,33 ÷ 2,412 29,33 Le dividende possède 2 chiffres après la virgule. 2,412 Le diviseur possède 3 chiffres après la virgule. a) On ajoute 1 zéro au dividende : 29,330. 29330 2412 b) On élimine les virgules puis on effectue la division : -2412 12,16 5210 -4824 c) On met une virgule au quotient et on ajoute un zéro au reste. 3860 On ajoute un zéro à la fois au nouveau reste pour continuer la division et -2412 obtenir la partie fractionnaire du quotient désirée. 14480 12 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions 2. 0,493 ÷ 0,2 a) On ajoute 2 zéros au diviseur : 0,493 ÷ 0,200 = 493 200 b) On élimine les virgules et les zéros superflus puis on effectue la division. - 400 2,465 930 c) On met une virgule au quotient et on ajoute un zéro au reste. - 800 1300 On ajoute un autre zéro au nouveau reste pour continuer la division. -1200 1000 - 1000 = 0 Exercice 3 1. Effectue les multiplications demandées. a) 3,04 b) 167,4 c) 32,04 x_ 6,5_ x 11,7 x 12,48 2. Trouve la somme. a) 20,67 + 4,054 + 105 = b) 1217 + 121,7 + 12,17 = c) 608,3 + 589,101 = 13 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions 3. Effectue les soustractions suivantes. a) 403,28 – 69,308 = b) 76,901 – 4,92 = c) 534,16 – 53,416 = 4. Effectue les divisions demandées. Au besoin, affiche un résultat au centième près. a) 31,72 ÷ 6,1 b) 12,8 ÷ 5,43 c) 0,825 ÷ 2,5 14  CHAPITRE 4 LES FRACTIONS ORDINAIRES (CAHIER FALCUTATIF) Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires L’étude des notions sur les fractions ordinaires n’est pas essentielle pour la préparation au TDG car l’utilisation de la calculatrice est permise. Par contre, savoir transformer les fractions, les expressions et les nombres fractionnaires en décimales est recommandé. D’autre part, ce cahier sera un outil appréciable pour toutes personnes qui désirent entreprendre une formation professionnelle où les fractions ordinaires sont souvent utilisées (cuisine, menuiserie, etc.). Aussi, il s’avèrera utile pour les personnes qui veulent réviser avant de poursuivre une formation générale ou pour utilité personnelle. 1 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires A. Types de fractions ordinaires I. Fraction ordinaire : toute fraction qui a un numérateur inférieur au dénominateur. Ces fractions expriment une partie d’un tout plus petite que l’entier. 1 4 12 EXEMPLES: , , 2 9 17 II. Expression fractionnaire: c’est une fraction qui a un numérateur supérieur ou égal au dénominateur. Ces expressions fractionnaires expriment alors une partie plus grande ou égale à l’entier. * Quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction correspond à un entier (1). De plus, lorsque le numérateur est divisible par le dénominateur sans reste, l’expression fractionnaire équivaut alors à un entier plus grand que 1. 3 6 5 6 EXEMPLES: , , , = 6 ÷ 2 = 3 entiers, 3 2 4 2 III. Nombre fractionnaire : c’est un entier accompagné d’une fraction. * On exprime un nombre fractionnaire en utilisant ET pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. 5 3 4 EXEMPLES : 1 , 2 , 11 8 4 5 5 1 se lit un et cinq huitièmes 8 3 2 se lit deux et trois quarts 4 4 11 se lit onze et quatre cinquièmes 5 2 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires Exercice 1 Classe chaque terme selon le type de fraction. 2 1 4 1 6 24 2 11 9 5 5 21 , 3 , ; 23 , , ; 5 , , , 2 , , 3 7 2 4 7 8 9 13 6 12 3 24 Fractions ordinaires Expressions fractionnaires Nombres fractionnaires 3 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires B. Transformation des nombres et des expressions fractionnaires Les expressions fractionnaires et les nombres fractionnaires sont en fait deux manières différentes d’exprimer une quantité égale ou supérieur à l’entier. Il est recommandé de donner une réponse sous la forme d’un nombre fractionnaire puisqu’il est alors plus facile d’évaluer l’ordre de grandeur. 5 1 EXEMPLES : ou 2 2 2 I. La transformation d’une expression fractionnaire en nombre fractionnaire : a) On divise le numérateur par le dénominateur (diviseur) b) Le quotient devient la partie entière du nombre fractionnaire et le reste déterminera la partie fractionnaire. * Le reste de la division représente alors le numérateur séparé par une barre de division du dénominateur qui demeure le même que dans l’expression fractionnaire. 14 2 EXEMPLES : → 14 ÷ 3 = 4 reste 2 = 4 3 3 8 3 → 8 ÷ 5 = 1 reste 3 = 1 5 5 II. La transformation d’un nombre fractionnaire en expression fractionnaire : a) On multiplie le dénominateur par l’entier b) On additionne le numérateur de la partie fractionnaire au produit c) On pose le résultat sur le dénominateur de la partie fractionnaire 3 1 EXEMPLE 1 : 4 EXEMPLE 2 : 9 7 3 7 × 4 = 28 3 × 9 = 27 28 + 3 = 31 27 + 1 = 28 31 28 7 3 4 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires Exercice 2 1. Transforme les expressions fractionnaires en nombres entiers ou fractionnaires. 44 72 15 a) = ___________ c) = ___________ e) = ___________ 8 24 3 15 54 38 b) = ___________ d) = ___________ f) = ___________ 4 23 12 2. Transforme les nombres fractionnaires suivants en expressions fractionnaires. 1 1 21 a) 20 = ___________ c) 5 = ___________ e) 1 = ___________ 3 2 27 3 5 11 b) 4 = ___________ d) 12 = ___________ f) 2 = ___________ 5 7 13 C. Fractions équivalentes Pour comparer ou effectuer des opérations sur les fractions, tu dois être en mesure de trouver des fractions équivalentes à celles qui te sont données. Afin d’obtenir des fractions équivalentes à une fraction ou une expression fractionnaire donnée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même chiffre. 2× 2 4 2×3 6 2× 4 8 EXEMPLES : = = = 5 × 2 10 5 × 3 15 5 × 4 20 2 4 6 8 On peut donc dire que , , , sont toutes des fractions équivalentes car elles représentent la 5 10 15 20 même quantité. 5 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires Pour vérifier l’équivalence entre deux fractions, on effectue deux multiplications croisées. Les fractions sont équivalentes si les produits sont égaux. 4 24 4 × 42 = 168 EXEMPLES : et → Les fractions sont équivalentes. 7 42 7 × 24 = 168 9 18 9 × 9 = 81 et → Les fractions ne sont pas équivalentes. 4 9 4 × 18 = 72 De la même façon, on peut augmenter une fraction pour obtenir une autre fraction avec soit un dénominateur ou numérateur prédéterminé. Pour ce faire, les deux numérateurs ou les deux dénominateurs connus des fractions doivent être divisibles entre eux et sans reste. EXEMPLES : 3 × ? ?? = 42 ÷ 7 = 6 donc en multipliant chaque terme de la première 7 × ? 42 fraction par 6, tu obtiendras une fraction équivalente ayant 42 au 18 dénominateur, soit. 42 2 × ? 26 = 26 est divisible par 2 donc en multipliant les deux termes de la 5 × ? ?? 2 2 fraction par 13, tu obtiendras une fraction équivalente à ayant 5 5 26 26 au numérateur, soit. 65 5 × ? ?? = 16 n’est pas divisible par 9, donc aucune fraction ayant 16 comme 9 × ? 16 5 dénominateur ne sera équivalente à. 9 6 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires Exercice 3 1. Trouve 2 fractions équivalentes à chacune des fractions ou expressions fractionnaires suivantes. 2 a) = = 9 7 b) = = 6 3 c) = = 7 2. Relie 2 par 2 les fractions ou expressions fractionnaires équivalentes. 2 6 a) 5 4 3 9 b) 4 12 3 4 c) 2 10 7 5 d) 8 15 1 21 e) 3 24 7 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires 3. Dans chaque rangée, encercle la fraction ou l’expression fractionnaire qui n’est pas équivalente aux autres. 5 25 15 20 35 a) , , , , 4 20 12 18 28 5 1 8 6 1 b) , , , , 10 2 16 12 4 8 15 6 12 3 c) , , , , 12 20 8 16 4 4. Complète la fraction ou l’expression fractionnaire équivalente demandée ou indique “NON” si l’augmentation est impossible. 1 4 a) = d) = 2 14 3 16 3 2 b) = e) = 5 30 3 36 3 5 c) = f) = 8 40 6 96 8 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires D. Réduction de fractions Réduction ou fraction simplifiée Lorsque les nombres sont élevés dans une fraction, il est parfois possible de les réduire afin d’exprimer une même quantité mais plus simplement. Par exemple, il reste 4 pointes d’une pizza partagée en 16 1 parts égales. Il est plus facile d’évaluer la quantité lorsqu’on mentionne qu’il reste de la pizza plutôt 4 4 que. Ainsi, tu simplifies une fraction en trouvant la plus petite fraction équivalente : 16 1. On trouve un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur sans reste. 2. On divise les deux termes de la fraction par ce diviseur commun. 3. On répète ces opérations jusqu’à l’obtention d’une fraction n’ayant plus de diviseur commun. * On peut dire qu’une fraction est irréductible ou réduite à sa plus simple expression lorsque le seul nombre qui peut diviser à la fois le numérateur et le dénominateur sans reste est 1. 14 ÷ 2 7 ÷ 7 1 EXEMPLES : = = 42 ÷ 2 21 ÷ 7 3 36 ÷ 2 18 ÷ 3 6 = = 30 ÷ 2 15 ÷ 3 5 9 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires Remarque : lorsque les termes d’une fraction sont élevés, tu évites plusieurs étapes en trouvant le plus grand commun diviseur (PGCD). Pour déterminer le PGCD, tu trouves tous les diviseurs (sans reste) pour chacun des termes, puis tu choisis comme diviseur le plus grand de ceux qui se retrouvent à la fois au numérateur et au dénominateur. 36 EXEMPLE 1 : Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 96 Diviseurs de 96 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 En simplifiant cette fraction par le PGCD trouvé, tu obtiendras une fraction équivalente irréductible. 36 ÷ 12 3 = 96 ÷ 12 8 136 EXEMPLE 2 : Diviseurs de 136 : 1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136 102 Diviseurs de 102 : 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 136 ÷ 34 4 = 102 ÷ 34 3 10 Regroupement Bouches à Oreilles Chapitre 4 Les fractions ordinaires Exercice 4 1. Simplifie chacune des fractions ou expressions fractionnaires suivantes. 20 48 63 a) c) e) 36 56 84 49 6 64 b) d) f) 14 27 72 2. Relie les fractions équivalentes entre elles. Attention, tu dois augmenter ou simplifier les fractions. 1 10 a) 2 12 5 2 b) 6 5 6 3 c) 15 6 3 15 d) 4 36 5 3 e) 12 9 9 12 f) 27 16