Estructura Aditiva: Dificultades en el Aprendizaje (PDF)

TEMA 1.2 ESTRUCTURA ADITIVA: DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Grado en Maestro en Educación Primaria Universidad de La Laguna  Didáctica de la Numeración, de la Es...

TEMA 1.2 ESTRUCTURA ADITIVA: DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Grado en Maestro en Educación Primaria Universidad de La Laguna  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades ÍNDICE Dificultades en el conteo 3 Dificultades en la representación del sistema de numeración decimal 5 Dificultades relacionadas con la comprensión del enunciado de los problemas 7 Dificultades relacionadas con la ejecución de los algoritmos 10 Para saber más 12 2  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades DIFICULTADES EN EL CONTEO Las dificultades de aprendizaje del número natural se ponen de manifiesto mediante errores visibles durante las experiencias de conteo, representación y comparación de cantidades. Durante el proceso de aprendizaje del número natural, se dan una serie de errores asociados a las distintas fases de desarrollo del escolar en relación con tres acciones: conteo, representación y comparación de números. Agrupamos los errores de conteo en cuatro categorías: Errores de recitado Errores de coordinación Errores de conservación Errores de partición Errores de recitado Los errores de recitado se producen cuando el escolar recita incorrectamente la secuencia numérica. Consisten en saltarse palabras numéricas, decirlas en otro orden, repetirse o incluso pueden deberse a no tener asumido el orden idéntico en el que se debe recitar la serie numérica o a una memorización incorrecta del tramo numérico que se recita. Errores de coordinación Los errores de coordinación se producen cuando hay una falta de correspondencia entre la emisión de la palabra y el señalamiento del objeto al contar. Por ejemplo, podemos ver en las imágenes que el escolar dice “cua - tro”, señalando dos objetos. O dice, “dos tres” señalando un único objeto. Estos errores pueden deberse al desconocimiento del principio de correspondencia uno a uno, a no saber dónde empiezan y acaban las distintas palabras numéricas, o a una falta de coordinación entre la emisión vocal y el movimiento de la mano. 3  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades Errores de conservación Los errores de conservación se producen cuando el escolar vincula la cantidad de objetos con otras cualidades de la colección como, por ejemplo, su aspecto o disposición física. Por ejemplo, ante una situación como la parte superior de la imagen, el escolar es capaz de establecer una correspondencia término a término entre ambas hileras. Pero si las fichas se separan o se juntan, como se indica en la parte inferior de la imagen, el escolar renuncia a la equivalencia numérica y piensa que hay más fichas en la fila roja que en la fila azul. Los errores de partición se producen cuando el escolar no lleva la cuenta de los objetos correctamente. Es decir, no distingue lo ya contado de lo que falta por contar. Errores de partición Consiste en volver a contar un objeto ya contado o dejar objetos sin contar. En estos casos, el escolar no es consciente de que ha de usar técnicas auxiliares de conteo como: ordenar los objetos en fila, separar los objetos ya contados, realizar una partición, etcétera. En el caso de la imagen, puede verse que el escolar cuenta un objeto dos veces y deja otros sin contar. 4  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades ¿Cómo ayudar a superar estos errores? Para ayudar a los estudiantes a superar estos errores, se recomienda seguir un orden en la enseñanza, en el que se comience por memorizar oralmente la serie numérica y se continúe trabajando la coordinación entre la verbalización de cada número con el señalamiento de cada elemento de una colección. Seguidamente, se lleva a cabo la técnica de recolocar la colección para ponerla de una forma cómoda que permita no repetir ni dejar sin contar objetos y, a continuación, se representa explícitamente el cardinal de la colección. Finalmente, se establecen comparaciones entre distintas colecciones para dar sentido a las ideas de más que, menos que, que son equivalentes, son distintos, este sigue a otro, etcétera. DIFICULTADES EN LA REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Los escolares encuentran numerosas dificultades para memorizar los símbolos de las cifras. Es frecuente que, al comienzo del aprendizaje del número natural, los escolares incurran en errores de inversión de la grafía, por ejemplo, que confundan el 6 con el 9, o que escriban en espejo como se muestra en la imagen. Esta dificultad, generalmente, desaparece hacia los siete años. Teniendo en cuenta el carácter social de la representación de los números, los escolares también han de aprender cuál es el recorrido habitual del trazo que se realiza para escribir una cifra. Realizar recorridos distintos cada vez fomenta los errores de inversión comentados anteriormente. Además, los escolares que tengan poco desarrollada la relación perceptivo-motora presentarán dificultades para conectar lo que ven con lo que escriben, ya que no podrán coordinar adecuadamente su visión con los correspondientes movimientos de las manos, por lo que les resultará complicado copiar números. Otro tipo de error es el cambio del orden de las cifras en el número, por ejemplo, escribir 14 en lugar de 41. De nuevo, la memorización de la regla arbitraria de escritura de los números de izquierda a derecha, requiere un tiempo. Además, se mejora la memorización con el apoyo de materiales como el ábaco vertical, en el que se pone de manifiesto el orden de la escritura de las cifras. También son útiles otras técnicas sencillas como escribir con bolígrafo de distinto color las decenas y las unidades, por ejemplo, las decenas en color rojo a la izquierda y las unidades en color azul a la derecha. 5  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades La escritura de números con más de una cifra a partir de su expresión oral presenta numerosas dificultades. Por ejemplo, algunos escolares incurren en errores como los siguientes: escribir 61 como 601 o 123 como 10023. Esta dificultad está relacionada con el carácter aditivo multiplicativo del registro oral, que es distinto del escrito. A los 7 años, la mayoría de los estudiantes incurren en estos errores en números mayores que 100, aunque escriben correctamente los números por debajo de 100. Una forma de ayudar a los estudiantes a superar este tipo de error es pedirles que escriban los valores leídos 100, 20 y 3 y que lo sumen. También se producen errores al pasar de lo escrito a lo oral, es decir, en la lectura de números. Por ejemplo, algunos estudiantes leen 1008 como 108. La lectura de números tiene una fuerte componente memorística, pues basta separar las cifras de tres en tres mediante alguna señal, por ejemplo, un punto, y saber qué palabras hay que decir cuando se llega a esas señales. En el caso de 1008, se escribiría como 1.008 y el estudiante debe conocer que al llegar al punto ha de decir la palabra mil. El desconocimiento del valor posicional de las cifras conlleva numerosos errores. Algunos escolares interpretan erróneamente los números de varios dígitos como números de una cifra concatenados, sin considerar el valor posicional de cada cifra. Por ejemplo, una cantidad de 23 manzanas sería interpretada como dos y tres manzanas. Este es un error importante y muy frecuente que tiene consecuencias sobre el aprendizaje de la suma y la resta. El apoyo de recursos como el material multibase, los atados de palillos o cualquier otro material en el que se muestre explícitamente la agrupación de diez unidades en un único paquete ayuda a superar esta dificultad. Otro grupo de errores proviene de la dificultad para establecer relaciones entre la decena, centena, etcétera. Escolares de siete años que leen y escriben correctamente números de tres cifras incurren en errores cuando se les pregunta cuántas decenas hay en 342 6  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades unidades. Responden que hay tres decenas o cuarenta y dos decenas. Otros comienzan a contar de 10 en 10 llevando la cuenta de la cantidad de dieces que van contando, pero cuando llegan a 340, no saben si han de continuar. Algunos siguen contando hasta 350 con lo cual añaden una decena más y responden que hay 35 decenas y otros, incluso, añaden dos decenas más contando las dos unidades 341 y 342 como decenas, y respondiendo que hay 36 decenas. El uso del ábaco vertical proporciona un apoyo interesante para que los escolares superen este error. DIFICULTADES RELACIONADAS CON LA COMPRENSIÓN DEL ENUNCIADO DE LOS PROBLEMAS Cuando planteamos el enunciado de un problema que se resuelve mediante adición o sustracción ocurren los siguientes errores. Los escolares toman como solución uno de los datos proporcionados en el enunciado del problema, este tipo de error proviene de una dificultad cognitiva por falta de comprensión de la relación aditiva parte-todo y la dificultad de representar adecuadamente las relaciones entre las cantidades del problema. Por ejemplo: Elena y Mar tienen siete libros entre las dos. Si Elena tiene 4 libros, ¿cuántos libros tiene Mar? Los escolares dan como solución que Mar tiene siete libros. El error se produce al interpretar erróneamente que la cantidad total siete es la cantidad que tiene cada persona. Un segundo error relacionado con la dificultad para comprender el enunciado de un problema se produce cuando el escolar hace un uso inadecuado de palabras claves. Cuando aparecen en el texto palabras como: más, añadir o combinar; algunos escolares concluyen que es un problema de suma, al igual que: quitar, eliminar o disminuir; lo relacionan con un problema de resta. Este error está ligado a una comprensión parcial del problema, posiblemente fomentado en la enseñanza. Ante el enunciado: Quique tiene cinco lápices, tiene tres más que María, ¿cuántos lápices tiene María? El escolar al leer el término “más” se limita a sumar cinco más tres. Un tercer error relacionado con la dificultad para comprender el enunciado de un problema consiste en utilizar la operación opuesta a la que es adecuada para resolver el problema. A diferencia del error que consiste en el uso inadecuado de palabras clave, el alumno no se fija en un término específico sino en la relación global del problema, pero presenta limitaciones para revertir la secuencia temporal. 7  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades Por ejemplo: He encontrado dos caramelos en el fondo de mi mochila, ahora tengo siete, ¿cuántos tenía antes? El escolar responde dos más siete igual a nueve en lugar de buscar el número que sumado a dos da siete. Además de las dificultades anteriores numerosos estudios han correlacionado las dificultades de comprensión del enunciado de un problema con la categoría semántica a la que pertenece: problemas de combinación, problemas de cambio y problemas de comparación e igualación. Dentro de cada una de las categorías también se puede establecer un orden de dificultad dependiendo de cuál sea la cantidad desconocida en el problema. Así, sabemos que los escolares comprenden mejor los problemas de combinación y de cambio que los de comparación e igualación. Dentro de los problemas de combinación si la pregunta se refiere al total, el problema es más sencillo que si se refiere a una de las partes. Problemas de combinación: Hay cuatro chicos y tres chicas alrededor de una mesa, ¿cuántas personas hay en total? Son muy sencillos para los escolares porque identifican que la cantidad desconocida, “¿cuántas personas hay?”, es el total o la suma de las dos partes o cantidades conocidas. Hay siete chicos y chicas alrededor de una mesa, tres de ellas son chicos, ¿cuántas chicas hay? La dificultad para comprender este enunciado es mayor que con el problema anterior. En este caso aportamos la cantidad total de personas, siete chicos y chicas, y una de las partes, la cantidad de chicos, y la cantidad desconocida es una de las partes. En los problemas de cambio, en los que la situación suele seguir una secuencia temporal, los problemas son más sencillos cuando se pregunta por la cantidad final. Problemas de cambio: Juan tenía once euros en su bolsillo, gastó siete euros, ¿cuántos euros le quedan? Los escolares pueden abordarlo más fácilmente porque la pregunta corresponde con la secuencia temporal de la situación. En cambio, si el problema es el siguiente: Juan ha gastado cuatro euros, ahora tiene siete euros en su bolsillo, ¿cuántos euros tenía antes? Se sabe que la capacidad para resolver este problema se adquiere entre uno o dos años más tarde que para el problema anterior. Puede observarse que la cantidad desconocida 8  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades no es la última en la secuencia temporal de la situación, de esta manera el problema es de mayor complejidad para el estudiante. Los problemas de comparación e igualación son más sencillos si se pregunta por la diferencia entre dos cantidades, que si se pregunta por una de ellas conociendo la diferencia. Problemas de comparación e igualación solo se resuelven correctamente al final de la etapa primaria. Roberto tiene tres caramelos y Juan tiene ocho, ¿cuántos caramelos más tiene Juan? En este caso el escolar puede identificar que para responder la pregunta necesita calcular la diferencia entre las cantidades tres y ocho. Roberto tiene tres caramelos, tiene cinco caramelos menos que Juan, ¿cuántos caramelos tiene Juan? Puede verse que en este problema no se pregunta por la diferencia entre cantidades, sino que se aporta esa diferencia como dato y se pregunta por una de ellas. De esta manera el problema es de una complejidad mayor. Es importante que los docentes planteen una variedad de tipos de problemas y enfrenten a los escolares a las situaciones que puedan generarles los conflictos que acabamos de presentar. La pluralidad de experiencias resueltas por los escolares en relación con la suma y la resta mejora su aprendizaje. Otra idea útil para ayudar a los escolares a superar este tipo de errores es la utilización de esquemas que les permitan representar el tipo de problema y las cantidades que en él aparecen. Por ejemplo, en un problema de combinación se puede aportar al escolar un esquema que le ayude a colocar las cantidades conocidas y desconocidas, y facilitar la identificación de la operación necesaria para resolver el problema. DIFICULTADES RELACIONADAS CON LA EJECUCIÓN DE LOS ALGORITMOS Debemos saber que la gran mayoría de los escolares tiene dificultades durante el aprendizaje de la suma y la resta, siendo la realización de restas con llevadas uno de los procesos más complejos para los escolares los primeros años de escolaridad básica primaria. Un primer error que ocurre asociado a esta dificultad está relacionado con el valor de posición de los números y consiste en colocar de forma incorrecta los números en las 9  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades columnas, para los algoritmos tradicionales, sumando o restando cifras de diferentes órdenes. La utilización del ábaco vertical para representar las cantidades ayuda a superar esta dificultad, pues al colocar cada orden en una barra permite a los estudiantes identificar cuáles son las cantidades que han de sumarse o restarse. Un segundo error está relacionado con la comprensión de las llevadas. En la segunda columna de la resta 347 menos 176 los escolares, ante la imposibilidad de hacer cuatro menos siete, invierten el orden y restan siete menos cuatro. También puede ocurrir que hagan bien la resta individualmente en una columna, pero no tomen en cuenta la llevada en la columna siguiente. Por ejemplo, en la resta de 326 menos 138 aplican correctamente la regla por columnas, de 8 a 16 en la primera y de 3 a 12 en la segunda, pero no utilizan la llevada en las columnas segunda y tercera. Acompañar estas operaciones con la utilización de algún material concreto, por ejemplo, los atados de palillos, ayuda a los escolares a recomponer las cantidades cuando se encuentran con las llevadas. Por otra parte, el uso de distintos tipos de algoritmos permite una mayor comprensión de las operaciones evitando estos errores procedimentales. En resumen…. La mayoría de los escolares tiene dos tipos de dificultades durante el aprendizaje de la estructura aditiva. El primer tipo está relacionado con la comprensión del enunciado de los problemas, destaca aquí la dificultad para identificar la operación aritmética que hay que realizar. La 10  Didáctica de la Numeración, de la Estadística y del Azar Estructura Aditiva. Dificultades utilización de esquemas para cada tipo de problemas ayuda al escolar a organizar los datos conocidos y desconocidos facilitándole la identificación de la operación. El segundo tipo agrupa las dificultades relacionadas con la ejecución de los algoritmos. La problemática de la llevada en la resta concentra el mayor número de errores. La utilización del método de pedir prestado y la representación de cantidades mediante materiales concretos como el ábaco o los atados de palillos ayudan a los escolares a dar significado a los pasos del algoritmo. Referencias González López, M. J. (2020). Errores y dificultades en el aprendizaje de la adición y la sustracción. [vídeo]. Coursera: Aprendizaje de las matemáticas de primaria. https://www.coursera.org Para saber más… Ramírez, M. (2015). Desarrollo de conocimientos matemáticos informales a través de resolución de problemas aritméticos verbales en primer curso de Educación Primaria. Tesis doctoral. https://eprints.ucm.es/id/eprint/40461/1/T38125.pdf 11