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MATH : INTRO Introduction La dyscalculie est un trouble spécifique de l'apprentissage centré sur la cognition mathématique, moins connu que la dyslexie car elle a été étudiée plus tardivement. Elle a>ecte environ 6 % des enfants, un pourcentage similaire à celui des dyslexiques. Contrairement aux tro...

MATH : INTRO Introduction La dyscalculie est un trouble spécifique de l'apprentissage centré sur la cognition mathématique, moins connu que la dyslexie car elle a été étudiée plus tardivement. Elle a>ecte environ 6 % des enfants, un pourcentage similaire à celui des dyslexiques. Contrairement aux troubles non spécifiques qui touchent plusieurs domaines, la dyscalculie concerne exclusivement les compétences mathématiques. Remarque importante : On parle aujourd'hui de "trouble de la cognition mathématique" pour mettre en avant le rôle des processus cognitifs dans les di>icultés de calcul et de compréhension mathématique. Qu'est-ce que la cognition ? La cognition désigne l'ensemble des activités cérébrales impliquées dans la réflexion et le traitement de l'information. Elle inclut toutes les opérations mentales mobilisées pour comprendre, apprendre ou résoudre des problèmes. Qui sont les enfants présentant des troubles mathématiques ? Critères du DSM-5 1. Accès di?icile au sens du nombre : Di>iculté à associer un nombre à une quantité concrète (ex. : comprendre que "36" correspond à 36 objets). 2. Di?iculté à construire la suite des nombres. 3. Absence de représentations mentales : Besoin constant de supports concrets pour comprendre les concepts. 4. Problèmes de compréhension des énoncés : Liés à des faiblesses en langage oral, en vocabulaire ou en structuration des phrases. 5. Anxiété face aux mathématiques : Provoque un rejet de la matière. Diagnostic : Les tests de langage oral et écrit sont systématiquement menés pour exclure d'autres causes de di>icultés. Trouble ou retard ? Trouble : Persiste sur une longue durée et résiste aux e>orts de rémédiation. Le DSM-5 établit des critères clairs pour son diagnostic. Retard : Di>iculté temporaire qui peut se résorber avec une intervention appropriée. Composantes clés des compétences mathématiques 1. Champ sémantique : Comprendre la valeur quantitative d’un nombre. Cette représentation devient imprécise pour les grands nombres. 2. Système approximatif de numérosité (ANS) : Capacité innée à estimer approximativement des quantités. Un ANS sous-développé est fréquent chez les enfants dyscalculiques. 3. Opérations logiques : Comprennent des compétences comme la sériation, la classification et le raisonnement logique. 4. Système symbolique : Les nombres sont des symboles arbitraires qu’il faut apprendre à interpréter. 5. Système positionnel en base 10 : Comprendre le passage des unités aux dizaines. 6. Opérations arithmétiques : Addition, soustraction, multiplication et division. 7. Problèmes arithmétiques : Capacité à analyser et résoudre des problèmes complexes. 8. Domaines associés : Compétences en langage, mémoire, fonctions exécutives, raisonnement et représentations visuo-spatiales. Types de dyscalculie 1. Dyscalculie primaire : Di>icultés limitées à la cognition mathématique. Exemple : ne pas comprendre que 6 = 5 + 1. 2. Dyscalculie secondaire : Liée à des troubles sous-jacents comme des problèmes de langage ou d’attention. Remarque : Les troubles liés à un AVC ou à un accident sont des troubles acquis et non une dyscalculie. Pour être bon en mathématiques, il faut : 1. Bases de raisonnement : Capacité à suivre des étapes logiques. 2. Processus cognitifs adaptés : o Langage écrit et oral. o Compétences visuo-spatiales. o Raisonnement et mémoire. 3. Règles et structure : Respect des procédures. 4. Capacité d'anticipation : Prévoir les étapes d'un raisonnement. 5. Cheminement en pensée : Structurer le raisonnement de manière séquentielle. Évaluation de la cognition mathématique 1. Tests normés : Comparaison avec un échantillon standardisé. 2. Analyse qualitative et quantitative : Identifier les déficits spécifiques. 3. Diagnostic par exclusion : Exclure les causes secondaires avant de conclure à une dyscalculie primaire. Prise en charge 1. Planification : Objectifs à court et long terme basés sur les résultats des bilans. 2. Collaboration : Implication des parents, enseignants et intervenants. 3. Approche EBP (Evidence-Based Practice) : o Utilisation des évidences scientifiques. o Adaptation au contexte de l'enfant. o Expertise clinique du praticien. Exemple de question PIO → (prise en charge → intervention → objectif) « Pour un enfant présentant des di>icultés en mathématiques, quelle intervention spécifique pourrait améliorer la compréhension des concepts mathématiques ?  Les Modèles Cognitifs Les modèles cognitifs expliquent comment les individus traitent l'information. Ils permettent de comprendre le développement des compétences et de concevoir des stratégies d'enseignement adaptées. Modèle de McCloskey : Modèle de Traitement des Nombres et des Calculs Objectif Ce modèle explique comment l'humain comprend et produit des nombres sous forme symbolique. Mécanisme L'entrée se fait via la présentation d'un nombre, soit : o Orale : le nombre est prononcé. o Visuelle : le nombre est montré sous forme de chi>res arabes. Compréhension et Production des Nombres Les humains comprennent et produisent des nombres sous forme symbolique (« 4 » ou « quatre »). Les noms de nombres sont arbitraires, mais les représentations visuelles (comme " ") sont analogiques. Système Verbal 1. Système Syntaxique o Ordre des mots/nombres pour transmettre une quantité : d'abord les dizaines, puis les unités. o Basé sur la base 10 : regroupe par dizaines, centaines, milliers. 2. Lexiques o Graphémique : transcription des phonèmes (écritures comme "trois", "douze").  o Phonologique : mots inventés pour nommer les nombres oralement (ex. « neuf »). § Classes dans le lexique phonologique : § Unités (0-9). § Dizaines (10, 20, …). § Multiplicateurs (100, 1000). § Nombres particuliers (11, 12, …). Système des Nombres Arabes 1. Lexique Arabe o Une seule classe : 0 à 9. Tous les nombres peuvent être écrits à partir de ces éléments. o Di>érence entre chi>re (0-9) et nombre (10+). 2. Système Syntaxique o Ordre des chi>res dans un nombre pour attribuer une valeur. Représentation Sémantique Idée claire de ce qu’est une quantité (ex. « 4 »). Procédure de calcul : ex. 4+1+1+1 = 7. Stock des faits arithmétiques : mémoire des petits calculs faciles. Système positionnel : la place du chi>re donne sa valeur (ex. 852 = 8x100 + 5x10 + 2x1). Critiques Utile pour comprendre comment l'enfant traite les nombres. Débat actuel : la représentation sémantique est-elle nécessaire dans les tâches de transcodage (dictée ou lecture de nombres) ? Modèle du Triple Code Ce modèle propose trois sous-modules pour expliquer la manière dont on se représente les nombres. Trois Codes 1. Forme Numérique Visuelle Arabe o Représentation visuelle des nombres en chi>res arabes. o Exemple : « 63 » est interprété comme une quantité, pas comme les chi>res « 6 » et « 3 ». 2. Forme Auditivo-Verbale o Représentation issue d'une entrée orale. o Exemple : entendre « soixante-trois » permet de comprendre la quantité associée. 3. Représentation Analogique de la Magnitude o Basée sur des quantitsés préverbales : ex. 63 jetons ou pommes. Localisations Cérébrales Code Analogique : zones pariétales inférieures bilatérales (au-dessus de l’occipital). Code Verbal : hémisphère gauche (aires de Broca et lobe temporal inférieur). Code Arabe : régions associées au traitement visuo-spatial. Tâches Associées 1. Code Analogique : estimation, comparaison de quantités, calcul approximatif. 2. Code Verbal : comptage, faits arithmétiques (« 2+2 »), calcul exact. 3. Code Arabe : jugement de parité (paire/impaire), arithmétique écrite. Modèle de Von Aster et Shalev : Étapes de Développement des Compétences Numériques 1. Représentation Analogique de la Quantité o Avant 4-5 ans. o Compétences : subitizing (reconnaissance rapide de quantités), approximation, comparaison. 2. Système Verbal o Période préscolaire. o Compétences : faits arithmétiques, dénombrement, comptage oral. 3. Code Arabe o Apprentissage des chi>res et calculs écrits (1ère à 5ème primaire). o Compétences : compter avec les doigts (indicateur précoce), calcul écrit. 4. Ligne Numérique Mentale o Développement à mi-primaire. o Indicateur de représentations sémantiques matures. E?ets de Taille et de Distance Distance : 36 vs 143 plus facile que 36 vs 39. Taille : 3 vs 9 plus simple que 72 vs 78. Dyscalculie Déficit dans le système numérique approximatif (SNA). Di>icultés à placer des nombres correctement sur une ligne numérique. Exemple : placer 50 sur une ligne de 0 à 100, erreur de proportion. Applications Pratiques Testing : utilisation du principe de l'entonnoir, évaluation de la ligne numérique. Rééducation : cibler les points faibles directement. Comorbidités : évaluer langage oral, écrit, et mathématiques.  Les Compétences Logiques La Classification Définition La classification consiste à regrouper des éléments présentant une ou plusieurs qualités communes. Par exemple : Par taille : un groupe pour ceux mesurant moins de 1 mètre, un autre pour ceux entre 1 m et 1,5 m, etc. Par possession : ceux qui portent des lunettes et ceux qui n'en portent pas. Une classe peut être définie de plusieurs façons : En listant tous les éléments de l'ensemble. En donnant la propriété caractéristique des éléments. Une classe existe dès qu'il y a au moins un élément. Types de Classes Disjointes : aucun élément en commun. Avec intersections : certains éléments sont communs à plusieurs classes. Incluses : une classe fait partie d'une autre. Étapes de Développement 1. Sensori-moteur : classifications simples. 2. Préopératoire : capacités de classification en augmentation. 3. Opératoire concret : intégration des classes et relations dans un seul système. 4. Opératoire formel : plus besoin de matériel concret. Importance La classification est essentielle pour : Comprendre les notions mathématiques comme les dizaines, unités, centaines. Développer les capacités d'organisation et de pensée logique. Progression Pour maîtriser la classification, l'enfant doit :  Repérer une propriété commune. S'y tenir. A>iner sa perception. Nommer les regroupements. Explorer de nouvelles organisations. La Sériation Définition La sériation consiste à ordonner des éléments selon une progression (croissante ou décroissante). Par exemple, organiser des objets du plus petit au plus grand. Importance Nécessaire pour de nombreuses activités quotidiennes (ex : trier des vêtements). Fondement de la structure logique liée à l'ordre des nombres. Développe la notion de transitivité : comprendre les relations entre les éléments (ex : si A < B et B < C, alors A < C). Étapes de Construction 1. 8-9 mois : premiers essais d'encastrement avec du matériel adapté. 2. Maternelle : développement des notions comme "avant" et "après". Les enfants donnent une direction à la série (ex : du plus petit au plus grand). 3. 3-4 ans : sériation globale (ex : regrouper des bâtons 2 par 2 plutôt que de faire une série unique). 4. 5-6 ans : sériation intuitive basée sur l'essai-erreur. L'enfant commence à développer la notion de transitivité. La Conservation Définition La conservation est la capacité de comprendre qu'une quantité reste la même, même si son apparence change (ex : une boule de pâte à modeler aplatie reste de même poids). Types de Quantités Quantités continues : grandeur, taille, poids. Quantités discontinues : éléments comptables (ex : 40 personnes). Importance Nécessaire pour développer une pensée mathématique solide. Progression 1. 5-6 ans : conservation des quantités discontinues. 2. 6-9 ans : conservation des longueurs et liquides. 3. 9-11 ans : conservation des masses. 4. Après 11 ans : conservation des aires et volumes. Stades 1. Stade 1 : l'enfant est centré sur l'apparence et ne comprend pas la conservation. 2. Stade 2 : période de transition avec des réussites partielles. 3. Stade 3 : maîtrise complète de la conservation. L'Inclusion Définition Comprendre qu'un ensemble peut contenir des sous-ensembles. Exemple : dans 10, on trouve 1, 2, 3, 4,..., 10. Importance Fondamentale pour comprendre la soustraction. Sert à développer la compréhension des relations entre les nombres. La Décomposition Additive Définition Un ensemble peut être décomposé en sous-ensembles (ex : 10 peut être décomposé en 4 et 6). Progression  Les enfants apprennent par étapes, souvent en décomposant un terme pour faciliter leurs calculs. La décomposition additive est une étape clé pour maîtriser les opérations mathématiques. Nouveautés dans l'Approche L'attention portée aux compétences logiques est moindre. On parle désormais de TSAM (trouble spécifique d'apprentissage mathématique) au lieu de "dyscalculie". Types de TSAM 1. Avec trouble au sens du nombre. 2. Avec troubles cognitifs généraux.  Comptage et Dénombrement Acquisition de la Chaîne Numérique Définitions et Caractéristiques : Lexique limité : Chaque mot correspond à un élément unique.  Pas d'ambiguïté sémantique : Significations claires des termes. Syntaxe simple : Structure facilement compréhensible. Relation multiplicative (« relation de produit ») : Exemple : 3000 = 3 x 1000. Relation additive (« relation de somme ») : Exemple : 56 = 50 + 6. Processus : Le langage verbal oral est le premier code symbolique maîtrisé par l’enfant. L'enfant associe des capacités sémantiques des petits nombres aux mots- nombres (par ex. : lien entre « 3 » et « trois »). La chaîne numérique se développe sur cette base. Le Code Verbal/Oral : Spécifique à chaque langue, contrairement au code arabe (universel). En français : o Base 10. o Particularités entre 11 et 16. o Di>érences entre France, Belgique et Suisse pour certains nombres irréguliers. Phases d’Acquisition (et non d’élaboration) : Entre 2 et 5 ans, l’enfant comprend qu’il existe des mots pour compter. Trois étapes : 1. Chaîne stable et conventionnelle : Exemple : « 1, 2, 3, 4, 5, 6 ». 2. Chaîne stable et non conventionnelle : Exemple : « 1, 2, 3, 4, 7, 8 ». 3. Chaîne non stable et non conventionnelle : Exemple : « 1, 2, 3, 6, 7 ». Niveaux d’Élaboration de la Chaîne Numérique : 1. Chaîne chapelet : Comptage mécanique sans signification. 2. Chaîne insécable (à 4-5 ans) : Départ forcé à 1, mais peut s’arrêter. 3. Chaîne sécable (à 6 ans) : Peut commencer et s’arrêter à n’importe quel nombre. 4. Chaîne terminale (à 6-9 ans) : Comptage par paquets (par ex. : de 2 en 2). 5. Chaîne bidirectionnelle (à 9 ans) : Comptage en avant, à rebours et par pas. Procédures de Quantification Capacités Innées : Les nourrissons (3-4 jours) reconnaissent visuellement de petites quantités (« fichiers d’objets »). Di>érenciation des collections éloignées (rapport 1/3) mais pas proches (rapport 1/2). Catégories d'Enfants : 1. Non-knowers : Ne reconnaissent aucun nombre. 2. 1-knowers : Reconnaissent « 1 ». 3. 2-knowers : Reconnaissent « 2 », mais pas « 3 ». Quantification : Associer une quantité à un cardinal pour : Comparer deux collections. Créer une collection d’une quantité donnée. Trois Méthodes : 1. Subitizing : Reconnaître immédiatement de petites quantités sans compter. o Capacité innée (jusqu’à 3 éléments chez les nourrissons). o Chez les adultes : Jusqu’à 20 éléments si organisés (ex. : points sur un dé). 2. Dénombrement : o Processus précis applicable à toutes les tailles de collections. o Implique les cinq principes fondamentaux (voir ci-dessous). 3. Estimation : o Utilise le SNA (Système Numérique Approximatif). o Approximatif mais e>icace pour de grandes collections. Les 5 Principes du Dénombrement 1. Correspondance Terme à Terme : o Associer chaque élément à un mot-nombre. o Importance des procédures de pointage (digitale, oculaire). 2. Ordre Stable :  o Utiliser les mots-nombres dans un ordre fixe. o Exemple : 1, 2, 3, 4 (pas 1, 2, 3, 6). 3. Cardinalité : o Le dernier mot-nombre indique la quantité totale. o Exemple : « Alors, il y en a combien ? » 4. Abstraction : o Compter tous les éléments sans distinction qualitative. o Exemple : Compter des élèves sans considérer leur couleur de cheveux. 5. Non Pertinence de l’Ordre : o Peu importe l’ordre de comptage, le total reste identique. Stratégies et Difficultés Stratégies : Proximale : Commencer par les éléments proches. Distale : Commencer par les éléments éloignés. Linéaire : Organiser les éléments en ligne ou colonne. Di?icultés : Erreur de pointage/marquage : Double comptage ou oubli d’éléments. Erreur de coordination : Di>iculté à associer un mot-nombre à un élément. Représentation des Numérosités Numérosités : Représentation mentale des quantités pour estimer ou comparer. SNA : Capacités innées et évolutives. Utilité :  Estimer de grandes quantités. Comparer deux nombres (oralement ou écrit). E?ets : Distance : Comparaison plus di>icile pour des nombres proches. Taille : Comparaison plus facile pour de petites quantités. Concepts Complémentaires Quantités continues et discontinues : o Continu : Domaine de la mesure (ex. : 1m à 2m, incluant 1,5m). o Discontinu : Domaine des nombres (ex. : 1 jeton à 2 jetons, rien entre les deux). Distinction Cardinal/Ordinal : Cardinal : Quantité exacte (« 6 pommes »). Ordinal : Position dans un classement (« 3e fille »).  Le Système de Numération Définition Le système de numération désigne les symboles et les manières que l’on a choisis pour compter les nombres. Par exemple, le code arabe ou le code oral. Ces choix sont arbitraires : il n’y a aucune raison intrinsèque pour que le nombre 60 soit appelé « soixante ». Historiquement, les quantités étaient représentées de manière analogique (par des traits ou des symboles). Cependant, avec l'augmentation des quantités, cette approche est devenue impraticable, ce qui a conduit au développement des systèmes de numération tels que les nombres arabes. Le système de base 10 est largement utilisé aujourd’hui. Bien qu’il paraisse intuitif, il peut être di>icile à comprendre pour certains enfants, même en P4 ou P5. Principes de base 1. Règle de somme et de produit : o Exemple : 300 représente 3 × 100. o Pour comprendre 24, un enfant doit réaliser que 24 = 20 + 4. 2. Relations additive et multiplicative : o Additive : addition et soustraction. o Multiplicative : multiplication et division. 3. Apprentissage explicite : o Le système de numération n’est pas inné. Sans explications ou apprentissage scolaire, un enfant pourrait commettre des erreurs (écrire 6100 au lieu de 600, par exemple). Types de systèmes 1. Système numérique verbal 2. Système numérique arabe Historique 1. Préhistoire : o Premiers codages de quantités il y a 35 000 ans (exemple : 35 traits gravés pour représenter 35 animaux). o Base 5 : regroupements par 5 sur des os gravés. 2. Antiquité : o Les Égyptiens ont développé leur propre système de numération. o Les Romains utilisaient des chi>res combinant symboles et analogies. o En Chine, des signes distincts existaient pour chaque multiplicateur (1, 10, 100, 1000). Cette méthode était trop complexe pour une utilisation étendue. 3. Indo-arabes : o Introduction d'un système positionnel en base 10. La base 10 1. Définition : o La notion de regroupement par 10 permet d’écrire les nombres à l’infini. o Cela repose sur un algorithme rigoureux : une suite finie d’actions élémentaires e>ectuées dans un ordre défini pour résoudre un problème. 2. Implications sur les calculs : o Décomposition des nombres en dizaines et unités. o Compréhension des passages à la dizaine et des reports. o Compréhension des emprunts. Conceptions des nombres 1. Conception unitaire : o L’enfant perçoit le nombre comme un tout, sans le subdiviser. 2. Conception basée sur le code verbal : o Exemple : pour 26, il comprend qu'il y a 20 unités et 6 unités.  3. Conception séquentielle : o Décomposition des dizaines et unités. 4. Conception intégrée : o L’enfant combine les dizaines et unités tout en maintenant leur distinction. Pièges du langage 1. Cent et mille : o Ces termes expriment des classes et des ordres, mais le « un » est souvent omis (« cent » et non « un cent »). 2. Un et unité : o « Un » : adjectif numéral. o « Unité » : point de référence (exemple : passer de 9 à l’unité suivante, soit 10). o Problème : les enfants pensent souvent que l’unité est le chi>re à droite. 3. Valeur du zéro : o Le zéro a une valeur positionnelle mais ne représente rien. o Exemple : 304 est di>érent de 34. Signes d’intégration du système de numération 1. Passage d’une unité de comptage à une autre. o Exemple : 5 paquets de 10 et 3 unités = 53. 2. Lien avec les modalités verbales : o Lire et écrire des nombres (transcodage). 3. Compréhension du rapport de 1 à 10. 4. Équivalence entre di>érentes expressions d’un nombre (exemple : 100 = 1 × 100 = 10 × 10 = 1000 × 0,1). 5. Mobilité de pensée : o Capacité à passer d’une représentation à une autre. Prérequis pour comprendre le système de numération 1. Système de position : o Comprendre les relations entre les nombres (exemple : si A > B et B > C, alors A > C). 2. Représentations mentales : o Imaginer quelque chose qui n’est pas visible. 3. Équivalences : o Exemple : 6 œufs = 1 boîte de 6 œufs. 4. Algorithme de la base 10 : o Comprendre que les groupes se forment tous les 10. 5. Travail en base : o Passer à l’unité suivante lorsqu’on atteint la base choisie. 6. Système symbolique : o Transcodage entre symboles et représentations analogiques. Systèmes alternatifs En plus des nombres entiers, le système de numération couvre : Système décimal. Virgules. Fractions. Système métrique. Conclusion La base 10 est un pilier fondamental pour le développement de la cognition mathématique. Sa compréhension est essentielle pour accéder à des concepts plus avancés en mathématiques.  Le Transcodage Définition Le transcodage est la capacité à passer d'un code à un autre, par exemple du code arabe au code verbal ou inversement. Exemples : Code oral (à comprendre) → Code arabe (à produire) : Dictée de nombres. o Utilisation du lexique phonologique. o Activation du système syntaxique. Code arabe (à comprendre) → Code oral (à produire) : Lecture à voix haute. Concepts liés : Lexique graphémique : Représentation écrite (« douze »). Lexique phonologique : Représentation orale (). o Graphème : Transcription d'un phonème. o Morphème : Plus petite unité de sens. Les Grandes Étapes du Transcodage 1. Code oral (à comprendre) → Code arabe (à produire) o Dictée de nombres. o Utilisation du lexique phonologique et du système syntaxique. 2. Code arabe (à comprendre) → Code verbal (à produire) o Lecture à voix haute. Le Modèle de l’ADAPT Description Ce modèle explique le processus de transcodage sous dictée, c’est-à-dire la conversion d’un nombre entendu en sa représentation arabe. Modèle asémantique : Il n'inclut pas la représentation sémantique des nombres (contrairement au modèle du triple code) et s’oppose au modèle de McCloskey.  Modèle développemental : Il reconnaît que le transcodage évolue avec l’âge et le développement cognitif. Modèle procédural : Il repose sur un ensemble d’étapes systématiques pour transcoder. Fonctionnement 1. Perception de la séquence verbale : o Le nombre entendu est immédiatement capté et ne peut être ignoré. o Cette séquence est stockée temporairement dans une mémoire tampon (mémoire à court terme). 2. E?et de fréquence : o Les nombres fréquemment entendus (ég. 9) sont plus rapidement identifiés que les nombres rares (6523). 3. Parsing : o La séquence verbale est découpée en primitives lexicales (unités de sens). o Exemple : « Trente-quatre » est décomposé en « trente » et « quatre ». o Chaque primitive est assignée à une position (ex. : 30 correspond à la position des dizaines, 4 à celle des unités). 4. Utilisation de la mémoire de travail : o La mémoire de travail assemble les primitives lexicales et applique les règles de combinaison pour produire le nombre. o Exemple : Pour « trente-quatre », la mémoire de travail associe les positions (« 30 » pour les dizaines, « 4 » pour les unités). 5. Stockage temporaire dans le bu?er : o Le bu>er maintient le nombre jusqu’à ce qu’il soit écrit ou prononcé. Exemple : Nombre « 34 » : o « 3 » est assigné à la position des dizaines. o « 4 » est assigné à la position des unités. o La mémoire de travail applique la règle additive (« 30 + 4 ») pour former « 34 ». Prédictions du Modèle 1. Erreurs selon la procédure : o Plus il y a de procédures impliquées, plus les erreurs sont probables. 2. Types d’erreurs : o Erreur lexicale : Échec de récupération en mémoire à long terme. o Erreur syntaxique : Échec d’application des procédures. 3. E?et de la taille des nombres : o Les nombres longs ou complexes augmentent la probabilité d’erreur. → En conclusion, le transcodage est un processus fondé sur des étapes bien définies impliquant la mémoire à court terme, la mémoire à long terme et des règles procédurales. Le modèle de l’ADAPT o>re une vision claire de la manière dont ces étapes s'articulent pour permettre une conversion e>icace entre les codes numériques.  Opérations arithmétiques Opérations arithmétiques Relations relatives à l’addition Caractéristiques principales : Opération la plus facile Partout définie : Possible dans tous les ensembles. Commutative : L’ordre des termes peut être inversé. Associative : On peut regrouper les termes dans n’importe quel ordre. Élément neutre (0) : Ne change pas le résultat. Deux types de réalités : 1. Réunion (dans l’espace) : Exemple : Lucie a 5 billes et Hugo en a 3. Combien en ont-ils en tout ? 2. Processus temporel (dans le temps) : Exemple : Hugo a 4 billes et il en gagne 3. o Cette approche demande de retenir et de se souvenir. o Plus compliquée pour les enfants, surtout ceux ayant des troubles en mathématiques. Stratégies de résolution pour les additions simples : 1. Manipulation : o L’ensemble des objets représente les nombres à compter (ex. utilisation des doigts). 2. Comptage verbal et par les doigts : o Counting all : Compter tout. o Counting on (ou max) : Compter à partir du premier nombre. o Counting in (ou min) : Compter à partir du plus grand nombre (1ère primaire). 3. Récupération des faits arithmétiques : o Procédure rapide de réponse sans signe de comptage apparent.  o Facteurs importants : Fréquence, stratégies de comptage, e>et de taille, e>et de similarité. Erreurs courantes : Erreurs proches : Exemple, 5 + 2 = 8. Erreurs « tout » : Exemple, 4 + 1 = 41. Confusion d’opération ou de table. TSAM (Trouble Spécifique des Apprentissages Mathématiques) Peut provenir de di>icultés initiales dans le dénombrement. Anxiété liée à l’apprentissage des tables. Hypersensibilité à l’interférence, risque de confusion. Propriétés des opérations : Addition et multiplication : Commutatives. Soustraction et division : Non commutatives. Relations relatives à la multiplication Stratégies de résolution : 1. De départ : o Additions répétées : 2 + 2 + 2 + 2 + 2. o Compter par n : 2, 4, 6, 8, 10. o Faits arithmétiques : Réponse rapide. 2. Plus sophistiquées : o Usage de règles : § x10 : Se termine par 0. § x5 : Se termine par 5 ou 0. § x2 : Nombre pair. o Faits dérivés : Utilisation de stratégies basées sur des faits connus. Multiplications complexes : Basées sur les connaissances et les stratégies. Calcul écrit. Compensation : Exemple, 5 x 19 → 5 x 20 - 5. Décomposition : Exemple, 6 x 14 = 6 x 10 + 6 x 4. Erreurs courantes : Erreurs proches. Confusions de tables. Confusions d’opérations. La division Di?icultés principales : Aspect psychologique complexe : Comprendre le partage égal. Comprendre que chaque tas doit être identique. Sémantique de partage : La réponse représente un contenu (ce qu’il y a dans chaque tas). Exemple : 52 cartes à distribuer à 4 enfants → chaque enfant aura 13 cartes. Contenu et contenant : o Contenu : Ce qu’on a dans un tas. o Contenant : Le nombre de tas. Exemple : Si on distribue 13 cartes à chacun des 4 enfants, le contenu est 13, le contenant est 4. Répartition : Sans anticipation : On distribue puis compte pour déduire le résultat. Avec anticipation : On calcule d’abord pour distribuer directement. Sémantique de regroupement : Ici, on cherche le contenant. Exemple : 80 personnes à organiser en tables de 10. Stratrégies de résolution : 1. Par récupération des faits multiplicatifs inverses :  o Nécessite une connaissance parfaite des tables de multiplication. 2. Manipulation : Utilisation de jetons pour répartir les objets. 3. Calculs écrits : o Pose l’opération. o Remémore la procédure. o E>ectue le calcul. Sources d’erreurs : Alignement des nombres. Confusion d’opérations. Erreurs de procédures. Erreurs sur les faits arithmétiques. Les fractions Définition : Une fraction est une suite d’opérations : Division suivie d’une multiplication. Di?icultés principales : 1. Conceptuelles : o Biais du nombre entier : Risques de considérer 2/3 comme 23 ou 2,3. o Confusion sur l’augmentation du numérateur ou du dénominateur. 2. Procédurales : o Les méthodes di>èrent selon les opérations (addition, soustraction, multiplication, division). Réalités des fractions : Inclusive : Exemple, 3/4 de la tarte. Comparative : Exemple, il fait 2/3 de la taille de Marie. Importance des mathématiques élémentaires : La maîtrise des fractions est cruciale pour la suite des études et la carrière.  Une bonne base en mathématiques augmente les opportunités professionnelles et le niveau de vie.  Les problèmes arithmétiques Introduction Pourquoi les problèmes arithmétiques sont-ils di>iciles à résoudre ? Évocation : Se représenter mentalement quelque chose sans l’avoir sous les yeux est complexe. Aspect déstructurant des problèmes : Ils nécessitent de décomposer le problème en éléments distincts (situation initiale, situation finale, étapes intermédiaires). Compétences métacognitives : Réfléchir à ce qu’on fait en temps réel, ajuster sa démarche et évaluer la cohérence de sa logique. o Exemple : Méta-phonologie (conscience des phonèmes). o Les compétences métacognitives et les fonctions exécutives sont de bons prédicteurs de la réussite scolaire. Les facteurs qui rendent les problèmes difficiles 1. Contexte phrastique : La formulation des énoncés influence la compréhension. Exemple : o Jean avait 8 billes et en a donné 5 à Pierre. Combien en a-t-il maintenant ? o Jean et Pierre ont ensemble 8 billes. Jean en a 5. Combien Pierre en a-t-il ? Chaque énoncé amène un taux de réussite di>érent selon sa clarté. 2. Type de problème : o Problème de changement, de combinaison, ou de comparaison. o Certains types (ex. comparaison) sont plus complexes que d’autres. 3. Élément inconnu : L’élément à rechercher peut influencer la di>iculté (ex. état initial ou transformation). 4. Type d’opérations : Les opérations nécessaires (addition, multiplication) a>ectent également la résolution. Les fonctions cognitives impliquées 1. Perception : Recevoir et capter les informations données. 2. Mémoire : o Mémoire de travail : Manipuler les données en temps réel. o Mémoire à long terme : Mobiliser les connaissances (ex. notion de mammifère). 3. Compréhension : o Décodage du langage écrit et compréhension orale. 4. Raisonnement : o Appliquer la métacognition et expliquer ses choix. o Fonctions exécutives mobilisées : inhibition, régulation émotionnelle, planification, flexibilité mentale, activation. Traduction et compréhension des problèmes 1. Langage utilisé : o Interaction entre langage écrit et langage mathématique. o Notions univoques en mathématiques (ex. une droite est toujours une droite). 2. Caractéristiques des problèmes mathématiques : o Lexique réduit avec mots-clés (ex. "soustraire"). o Données numériques et syntaxe précise. o Organisation des informations pour faciliter la résolution. 3. Stratégie SQRQCQ : o Survol : Lecture rapide pour comprendre le contexte général. o Question : Identifier les informations nécessaires. o Relecture : Relever les données pertinentes. o Question : Déterminer les opérations à e>ectuer. o Calcul : Exécuter les opérations avec une planification.  o Question : Vérifier la réponse et la formuler clairement. Résolution et contrôle 1. Auto-contrôle : o Confronter le but recherché avec le résultat obtenu. o Vérifier les unités et identifier les erreurs potentielles. 2. Aides et adaptations : o Proposer des outils (ex. tables de multiplication pour les élèves en di>iculté). o Réduire les doubles tâches non automatisées. Typologie des problèmes Problèmes additifs : 1. Changement : o Recherche de la situation finale : Pierre avait 12 billes. Il en a perdu 9. Combien lui reste-t-il ? o Recherche de la transformation : Pierre avait 12 billes et en a maintenant 3. Combien en a-t-il perdu ? 2. Comparaison : o Recherche de la relation : Rémi a 12 voitures, Paul en a 9. Combien Rémi en a-t-il de plus ? 3. Combinaison : o Il y a 9 sapins et 3 chênes dans un parc. Combien d’arbres y a-t-il en tout ? 4. Égalisation : o Jean a 3 billes, Pierre en a 8. Combien Jean doit-il en avoir pour égaler Pierre ? Problèmes multiplicatifs : 1. Proportionnalité simple :  o Recherche de la valeur multipliée : 5 BD coûtent 9€ chacune. Quel est le coût total ? o Recherche de la valeur unitaire : 45€ pour 5 BD. Combien coûte une BD ? 2. Comparaison multiplicative : o Rapport scalaire : Jean a 3 fois plus de billes que Paul. Si Paul en a 5, combien Jean en a-t-il ?  Le Trouble Spécifique des Apprentissages Mathématiques (TSAM) Définition Le TSAM, anciennement appelé dyscalculie développementale ou trouble développemental de l'apprentissage avec di>icultés mathématiques, est un trouble neurodéveloppemental a>ectant les compétences mathématiques. Neurodéveloppemental : Développement atypique au niveau cérébral, présent dès la naissance. Prévalence : Entre 3 % et 7 %, soit environ 1 enfant par classe. Caractéristiques : Trouble spécifique, persistant et sévère. o Spécifique : Di>icultés circonscrites aux mathématiques. o Persistant : Di>icultés malgré une aide mise en place depuis au moins 6 mois (instituteur, parent, logopède). o Sévère : Résultats inférieurs à deux écarts-types par rapport à la moyenne. Étiologie Aucun consensus, mais plusieurs hypothèses : Trouble cognitif spécifique touchant le sens du nombre. Trouble cognitif général. Hypothèse neurobiologique : Activation anormale au niveau du sillon intra- pariétal, confirmée par de nombreuses études. Critères diagnostiques selon le DSM-V 1. Symptomatologie o Di>icultés dans : § Le sens du nombre. § L'arithmétique. § Le raisonnement mathématique.  o Di>icultés dans divers contextes : estimation, comparaison de nombres, résolution de problèmes. o Symptômes présents depuis au moins six mois malgré des interventions adaptées. 2. Impact o Di>icultés ayant un impact significatif sur les performances scolaires ou universitaires. o Évalué à l'aide de tests standardisés. o Répercussions observées dans la vie quotidienne (gestion du temps, de l'argent, etc.). 3. Début des di?icultés o Apparition pendant la scolarité. o Persistance des di>icultés dans le temps. o Symptômes parfois masqués par des stratégies de compensation (ex. : compter sur les doigts), mais deviennent évidents lorsque les notions abstraites sont introduites. 4. Spécificité o Di>icultés non explicables par : § Un handicap intellectuel. § Des troubles sensoriels (vue, audition). § Des troubles neurologiques, mentaux ou sociaux. § Une mauvaise maîtrise de la langue. § Un enseignement inadéquat. o Possible comorbidité avec le TDA/H, le TSLE, le TDL, ou des di>icultés visuo-spatiales. Impact à long terme Gestion du temps : Di>icultés à estimer les durées ou à planifier. Gestion de l'argent : Di>icultés à comprendre la valeur des sommes ou à e>ectuer des calculs financiers.  Anxiété mathématique : Peur ou avoidance des situations impliquant des calculs. Difficultés et Symptômes Capacités numériques 1. Capacités de base o SNA (Système Numérique Approximatif) : Plus faible chez les enfants avec TSAM. o Subitizing : Di>icultés à reconnaître rapidement les patterns canoniques (ex. : savoir qu'il y a 8 points sans compter). 2. Chaîne numérique verbale o Retard dans le développement de la comptine numérique. o Di>icultés à utiliser la chaîne sécable (ex. : compter à partir d'un nombre donné ou jusqu'à un certain point). 3. Dénombrement o Retard dans les stratégies de dénombrement. o Di>icultés à respecter les principes du dénombrement (non-pertinence de l'ordre, pointage). 4. Estimation o Capacitsés d'estimation faibles. 5. Ligne numérique o Représentation imprécise, plus logarithmique que linéaire. 6. Représentation en base 10 o Di>icultés à identifier et manipuler les grands nombres. Transcodage et Arithmétique Transcodage : Erreurs lexicales ou syntaxiques fréquentes (ex. : écrire 4100 comme 400100). Stratégies immatures : Besoin de matériel pour e>ectuer des calculs simples. Résolution de problèmes : Di>icultés à traiter les informations superflues ou à choisir la bonne opération. Nombres rationnels Di>iculté à comprendre la magnitude des pourcentages, fractions, ou décimaux. Processus cognitifs généraux 1. Langage o Fort lien entre compétences langagières et numériques. o Di>icultés accrues chez les enfants avec un trouble d’acquisition du langage (TDL). 2. Mémoire o Déficit du contrôle exécutif et du calepin visuo-spatial. 3. Domaine visuo-spatial o Nécessaire pour : § Alignement des nombres dans les calculs écrits. § Géométrie, surface, et aires. 4. Raisonnement o Essentiel pour résoudre des problèmes complexes. 5. Fonctions exécutives o Flexibilité mentale, planification, inhibition, et activation. Conclusion Le développement numérique et l’apprentissage des mathématiques reposent sur des processus fondamentaux : des capacités numériques de base, mais aussi sur de nombreux domaines cognitifs généraux.