Loi Binomiale - Chapitre 6 - PDF

Chapitre 6 : Loi binomiale I- Epreuve de Bernoulli 1) Modéliser la succession d’épreuves indépendantes Activité : Décrire une succession d’épreuves indépendantes : 1 p.364. Définition Dans une succession d’épreuves, lorsque l’issue d’une épreuve ne dépend pas des épreuves précédente...

Chapitre 6 : Loi binomiale I- Epreuve de Bernoulli 1) Modéliser la succession d’épreuves indépendantes Activité : Décrire une succession d’épreuves indépendantes : 1 p.364. Définition Dans une succession d’épreuves, lorsque l’issue d’une épreuve ne dépend pas des épreuves précédentes, on dit que ces épreuves sont indépendantes. Propriété  Lors de la succession d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue (𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝒏 ) est égale au produit des probabilités des composantes 𝒙𝟏 , … , 𝒙𝒏.  La succession de deux épreuves indépendantes d’univers respectifs 𝛀𝟏 et 𝛀𝟐 a pour univers le produit cartésien 𝛀𝟏 × 𝛀𝟐. Méthode 1 : Modéliser une succession d’épreuves indépendantes, la représenter et calculer une probabilité On lance un dé tétraédrique équilibré dont les quatre sommets sont numérotés de 1 à 4 et on note le numéro du sommet obtenu. Ensuite on tire au hasard un jeton d’un sac contenant un jeton 𝐴 et deux jetons 𝐵. 1) Donner l’univers et la loi de probabilité de la première expérience aléatoire. 2) Donner l’univers et la loi de probabilité de la deuxième expérience aléatoire. 3) Ces épreuves sont-elles indépendantes ? 4) Quel est l’univers de la succession de ces deux expériences aléatoires ? 5) Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré. 6) Etablir la liste des issues possibles. 7) Donner la loi de probabilité de la succession de ces deux épreuves. 8) Quelle est la probabilité de l’issue (1, 𝐵) ? 2) Epreuve et loi de Bernoulli Définition  Une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝒑 est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées succès (notée 𝑺) et échec (notée 𝑬 ou ̅𝑺), de probabilités respectives 𝒑 et 𝒒 = 𝟏 – 𝒑.  La variable aléatoire qui prend la valeur 𝟏 en cas de succès et 𝟎 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.  La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre 𝒑. 𝒙𝒊 0 1 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊 ) 1−𝑝 𝑝 Propriété Une variable aléatoire 𝑿 de Bernoulli de paramètre 𝒑 a pour  Espérance mathématique : 𝑬(𝑿) = 𝒑.  Variance : 𝑽(𝑿) = 𝒑(𝟏 – 𝒑).  Ecart-type : 𝝈(𝑿) = √𝒑(𝟏 − 𝒑). Méthode 2 : reconnaître une loi de Bernoulli On lance un dé à six faces et on considère comme succès "obtenir un six" et comme échec "ne pas obtenir un six". Soit 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de six obtenus. 1) Quelle est la loi suivie par 𝑋 ? 2) Déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type de 𝑋. 1 II- Loi binomiale Activité : Introduire la loi binomiale : 3 p.365. 1) Schéma de Bernoulli Définition Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes. 2) Loi binomiale 𝑛 Activité : Reprendre l’activité 3 p.365 et conjecturer une formule donnant 𝑃(𝑌 = 𝑘) en fonction de ( ). 𝑘 Définition Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres 𝒏 et 𝒑. On associe à l’expérience la variable aléatoire 𝑿 qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de 𝑿 est appelée loi binomiale de paramètres 𝒏 et 𝒑. On la note 𝑩(𝒏, 𝒑). Propriété Si une variable aléatoire 𝑿 suit une loi binomiale 𝑩(𝒏, 𝒑), alors pour tout entier naturel 𝒌 compris entre 𝟎 et 𝒏, la probabilité que 𝑿 soit égale à 𝒌 est : 𝑛 𝑷(𝑿 = 𝒌) = ( ) 𝒑𝒌 (𝟏 – 𝒑)𝒏−𝒌. 𝑘 Démonstration (Au programme) Méthode 3 : Modéliser une situation par une loi binomiale et calculer des probabilités Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes. Une expérience consiste à tirer au hasard 5 fois de suite une boule et de la remettre. On appelle 𝑋 la variable aléatoire qui associe le nombre de tirages gagnants. 1) Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule gagnante. 3) Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule gagnante. 4) Calculer la probabilité d’obtenir entre 2 et 4 boules gagnantes (inclus). TICE : Utiliser la calculatrice pour calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale : p.372-373. Méthode 4 : Déterminer un intervalle 𝑰 pour lequel 𝑷(𝑿 ∈ 𝑰)est inférieure à une valeur donnée 𝜶 ou supérieure à 𝟏 − 𝜶, si 𝑿 suit une loi binomiale 𝑋 suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 200 et 𝑝 = 0.3. 1) Déterminer le plus petit entier 𝑎 tel que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) > 0,005. 2) Déterminer le plus petit entier 𝑏 tel que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) ≥ 0,995. 3) En déduire un intervalle 𝐼 tel que 𝑃(𝑋 ∈ 𝐼) ≥ 0.99. 4) Déterminer le plus petit entier 𝑐 tel que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑐) < 0,995. Je dois savoir Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques. Représenter la situation par un arbre. Calculer une probabilité en utilisant l’indépendance, des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales. Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale. Dans le cadre d’une résolution de problème modélisé par une variable binomiale 𝑋, calculer numériquement une probabilité du type 𝑃(𝑋 = 𝑘), 𝑃(𝑋 ⩽ 𝑘), 𝑃(𝑘 ⩽ 𝑋 ⩽ 𝑘’), en s’aidant au besoin d’un algorithme ; chercher un intervalle 𝐼 pour lequel la probabilité 𝑃(𝑋 ∈ 𝐼) est inférieure à une valeur donnée 𝛼, ou supérieure à 1 − 𝛼. 2