La loi normale PDF

Rappel: la loi normale Sert à modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ, et d’écart type σ est donnée par : 1 * -). )+( / ) ! " =...

Rappel: la loi normale Sert à modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires La densité de probabilité de la loi normale d'espérance μ, et d’écart type σ est donnée par : 1 * -). )+( / ) ! " = ( % 2' On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale: variance 1~3(4, % + ) Rappel: la loi normale est exacte quand les variables sont continues, mais peut être utilisée en approximation pour décrire le comportement des variables discrètes dans certains cas Propriétés de la loi normale source: wikipedia 64.2 % d’évènements à ±1 ! du centre 91.4 % d’évènements à ±2 ! du centre 95.6 % d’évènements à ±3 ! du centre Rappel: pour la correspondance entre valeur de ! et probabilité utiliser la table de la loi normale avec la variable centrée réduite: $−& "= ! Propriétés de la loi normale somme des variances Additivité des deux lois normales: Si !" ~$(&" , (") ) et !) ~$(&) , ()) ), alors !" + !) ~$(&" + &) , (") + ()) ) Théorème central limite (TCL): Si n variables !, indépendantes et identiquement distribuées avec une espérance & et un écart-type (, alors leur valeur moyenne: ∑1./0 2. 45 ~$ &, (de plus en plus vrai pour grands n) 3 3 Peu importe la loi de distribution des variables !, !! Risque ɑ - latéral Comment décider si une valeur obtenue est compatible ou incompatible avec une hypothèse? Question: La valeur obtenue Vo est-elle compatible avec cette distribution ou devons nous accepter que les variables suivent une loi différente, supposant que la vrai distribution de densité de probabilité peut être centrée plus à droite? - Vo Vo Nous appelons « risque ɑ » la probabilité de se tromper si nous acceptons la deuxième hypothèse risque ! Risque ɑ - bilatéral Comment décider si une valeur obtenue est compatible ou incompatible avec une hypothèse? Question: La valeur obtenue Vo est-elle compatible avec cette distribution ou devons nous accepter que les variables suivent une loi différente, supposant que la vrai distribution de densité de probabilité peut être centrée plus à droite ou plus à gauche? - Vo Vo Nous appelons « risque ɑ » la probabilité de se tromper si nous acceptons la deuxième hypothèse ! ! risque risque " " Quel risque ɑ accepter? En général, nous acceptons on risque de 5% üOn rejette l’hypothèse de si on calcule qu’on n’a que 5% de ce tromper Comment calculer le risque ɑ? #$%& Calculer la valeur de la variable centrée réduite: ! = puis: ' Se référer à la table de la loi normale pour trouver la probabilité lui correspondant ( Comparer cette probabilité avec ɑ (latéral) ou (bilatéral) ) Ou, pour valeur fixe de ɑ: comparer directement ! à 1.96 (correspond a 2.5% en bilatéral) 1.64 (correspond a 5% en latéral) Ex. précédent (bilatéral): on rejette le lot de pièces si à partir d’un échantillon significatif on obtient une valeur moyenne Vo éloignée d’au moins 1.96* de la valeur attendue (μ) Tests de fréquence: la loi binomiale Soit ! la probabilité théorique d’avoir une pièce défectueuse Selon la loi binomiale, dans un échantillon de " pièces, la probabilité d’avoir # pièces La probabilité théorique défectueuses est: d’avoir une pièce défectueuse est de 10% or dans un échantillon de 24 on en trouve qu’une. Est-ce que nous pouvons conclure que ce 10% a été amélioré? Exemple: La probabilité d’obtenir un échantillon avec autant de pièce défectueuses ou moins est supérieure à 5%: rien ne dit qu’on a eu une amélioration Une multitude de tests statistiques La puissance de ce test Supposant que la valeur moyenne pour ce nouveau type de ressorts est réellement 1.31 N, avec toujours un écart-type de 0.1, nous avions presque 60% de chances d’avoir un test significatif avec un échantillon de 4 pièces Plus on augmente sa taille, plus cette probabilité est élevée