La Loi Normale de Laplace-Gauss et ses Applications PDF

CHAPITRE VI LA LOI NORMALE DE LAPLACE-GAUSS ET SES APPLICATIONS Moivre (1667-1754) Pierre-Simon de Laplace Carl Friedrich Gauss (1749-1827) (1777- 1855) 1. Définition (pas à connaître) Pour μ et σ deux réels avec 0 < σ, la variable...

CHAPITRE VI LA LOI NORMALE DE LAPLACE-GAUSS ET SES APPLICATIONS Moivre (1667-1754) Pierre-Simon de Laplace Carl Friedrich Gauss (1749-1827) (1777- 1855) 1. Définition (pas à connaître) Pour μ et σ deux réels avec 0 < σ, la variable aléatoire X suit la loi normale si et seulement si 𝑋 − µ suit la loi normale 𝜎 centrée réduite N(0,1). Il existe alors deux réels a et b tels que X = a + bU où U suit la normale centrée réduite. 2 On démontre qu’une variable normale est de la forme X = µ - 𝜎U ou encore 𝑋−µ U= 𝜎 (ou µ et 𝜎 désignent la moyenne et l’écart-type de X) suit la loi normale centrée réduite si X suit la loi normale. 3 2. L’une des plus célèbres des lois statistiques Historique En 1733, Abraham de Moivre fut le premier qui obtint la loi normale comme approximation à loi binomiale pour calculer les probabilités de gain à différents jeux de hasard. À la suite de Moivre, Pierre Simon de Laplace étudia cette loi et obtint un résultat plus général que l’approximation de Moivre. Gauss étudia cette distribution dans la cadre des problèmes de mesure en astronomie. Ses travaux de 1809 et 1816 ont établi des techniques fondées sur la distribution normale qui deviendront des méthodes courantes durant le 19 siècle. Signalons que Galilée avait trouvé que les erreurs d’observation étaient 4 distribuées de façon symétrique et tendaient à se grouper autour de leur vraie valeur. Dénomination de la loi normale De nombreuses dénominations ont été proposées. Adolphe Quételet1 (1796- 1874) parlait de la « courbe des possibilités » ou « loi des possibilités ». Francis Galton (1822-1911 britannique) parlait de « loi de fréquence des erreurs » ou de « loi de déviation d’après une moyenne » (voir Stigler (1980) : Stigler’s law of eponymy, Transactions of the New York Academy of Sciences, 2nd series, 39, pp. 147-157). 1 Sur l'homme et le développement de ses facultés, essai d'une physique sociale. 5 La loi normale est fondamentale dans le domaine de la statistique Une multitude de phénomènes associés à des variables continues peuvent être approximés correctement par cette loi. (Exemple : le Quotient Intellectuel QI) 6 L’expression loi normale ne signifient pas qu’il y a quelque chose de normal ou d’anormal dans le phénomène étudié. Elle exprime : -le fait que les sujets se situent en majorité autour de la moyenne; -le fait que plus l'on s'éloigne de la moyenne, moins il y a de sujets. 7  3. Propriétés de la loi normale 1. L’aire sous la courbe et l’axe horizontale est =1 2. Le tracé de la courbe normale est symétrique par rapport à la droite d’abscisse μ (moyenne) 3. Le mode=la médiane=la moyenne 4. La loi normale est entièrement définie par deux paramètres la moyenne (μ) et l’écart-type  (sigma). 5. Plus la variance est élevée, plus la courbe sera aplatie. 6. La loi normale est unimodale 8 7. Le domaine de variation va de -∞ à +∞ 8. La courbe se rapproche à droite et à gauche de l’axe des abscisses sans jamais l’atteindre. 9 Propriétés de la courbe de Gauss aire = 0,5 aire = 0,5 10 4 – Formalisation mathématique (Elle n’est pas à connaître) 1 – La courbe de Laplace-Gauss constitue une loi de distribution continue de probabilités 𝝅 et e sont deux constantes : 𝝅 = 3,14… e = 2,711828…. 𝜎 = écart-type de la distribution  = moyenne de la distribution x : valeur de la variable L’aire totale sous la courbe vaut 1 5. Exemples de courbes normales avec une moyenne identique mais un écart-type différent écart-type moyenne Exemples de courbes normales avec une moyenne (espérance) et un écart-type différents 6. La courbe normale permet de calculer des probabilités par le calcul d’aires Pratiquement, lorsque la distribution des individus dans une population obéit à la loi normale : 68% des individus sont compris dans un intervalle compris entre la moyenne et + ou – 1 écart-type 90% des individus sont compris dans l’intervalle compris entre la moyenne et + ou – 1,64 écart-type 95% des individus sont compris dans l’intervalle compris entre la moyenne et + ou – 1,96 écart-type 99 % des individus sont compris dans l’intervalle compris entre la moyenne et + ou – 2,58 écart-type 99,9 % des individus sont compris dans l’intervalle compris entre la moyenne et + ou – 3,29 écart-type 15 ILLUSTRATION 1 ILLUSTRATION 2 17 ILLUSTRATION 3 µ 7. Tous les IFI (Intervalles de fluctuation des individus) IFI 68% = [  - 1 * ;  - 1 * ] IFI 90% = [µ – 1.64 * ; µ + 1.64 * ] IFI 95% =[µ – 1.96 * ; µ + 1.96 * ] IFI 99% = [µ – 2.58* ; µ + 2.58* ] 19 IFI 99,9% = [µ – 3.29 * ; µ + 3.29 * ] 20 8. Aires et probabilités (suite) P(X = x) = 0 P(X > x ) = P (X  x), puisque :P(X  x) = P(X > x) + P(X = x) = P(X>x) + 0 21 Aires et probabilités P(X x) = aire à droite de x P(X > x) + P(X < x) = 1(aire sous la courbe vaut 1) P(X > x) = 1 - P(X < x) 23 Symétrie de la courbe par rapport à μ P(X < μ) = P(X > μ) = 0.50 P(X < μ - a) = P(X > μ +a) 24 9. Il existe une infinité de distributions normales avec des moyennes et des écarts- types différents Notations : X ~N (μ; σ²) "La variable X suit approximativement une loi normale de moyenne μ et de variance σ²". 25 Pour faciliter les calculs de probabilités, on utilise une table dite table de la loi normale centrée réduite. Cette table permet d’obtenir aisément les probabilités associées à toute variable aléatoire. La standardisation des données permet de ramener toute distribution normale à un modèle connu. Pour standardiser, il suffit d’effectuer un changement d’origine et un changement d’échelle. 26  Changer d’origine et d’échelle Toute variable aléatoire normale X de moyenne  (mu) et d’écart-type  (sigma) peut être transformée en une nouvelle variable Z dite variable aléatoire normale centrée réduite à l’aide de l’expression 𝒙− Z= ≠0  X = Z +  27 La variable X est centrée par rapport à  (changement d’origine) et réduite en divisant (X - ) par  (changement d’échelle). La loi normale centrée réduite a pour moyenne 0 et pour écart-type 1. 28 10. La distribution normale centrée réduite (ou loi normale standard) a pour moyenne 0 et pour écart-type 1 y 0,36 0,32 0,28 0,24 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 -8 -7 -6 -5 -4 -3 C’est N (0; 1) -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -0,04 28 -0,08  11. Table de la loi normale centrée réduite On peut toujours s’y ramener: Si X ~ N (μ, σ²) et X −  sa centrée réduite Z =  Alors Z ~ N (0, 1) 29  Lecture de la table : Pour z=1.24 (intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.04), on a la proportion P (Z < 1,24) = 0.8925 P (Z > 1,96) = 0,025 P (Z > 2,58) = 0,005 P (Z > 3,29) = 0,0005 (Z > 1.96) =.025 P(Z > 2.58) =.005 P(Z > 3.29) =.0005 Rappels 1/ P(Z > z) = 1 - P(Z < z) et 2/ P(Z < -z) = P(Z > z) Exemple: Sachant P(Z < 1,24) = 0,8925, on en déduit: 1/ (P(Z > 1,24) = 1 - P(Z < 1,24) = 1- 0,8925 = 0,1075 2/ P(Z < -1,24) = P(Z > 1,24) = 0,1075 30  z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 4,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998 31  Exemple X une Note X ~ N (5, 2²) P(X < 8) = ? 8−5 P( X  8) = P(Z  ) = P(Z  1,50) = 0,9332 2 93% des enfants ont une note < 8 32  Aujourd’hui Avec les calculatrices actuelles on obtient les probabilités d’une loi normale sans table sans avoir à se référer à la loi standard centrée réduite. 33  Comment utiliser le module de la loi normale sur la calculatrice TI36XPRO ? Touches Etape 1 2nd data DISTR Normal CDF Etape 2 Rentrer la moyenne mu Etape 3 Rentrer l’écart type sigma Etape 4 Rentrer la valeur de la borne inférieure LOWER Etape 5 Rentrer la valeur de la borne supérieure UPPER ENTER 34 12. La loi normale constitue un instrument statistique théorique mais fiable pour modéliser des données empiriques. 1 - Un objet jamais observé Aucune variable observée n'a exactement une distribution normale La distribution normale est : une approximation un modèle des données 35 Validité d’une approximation par une loi normale (dossier « Spatial ») Nbre d'obs. Peut-on faire l’approximation X ~ N (25; 6,8²) ? 36  Calcul de P(X > 37,5) avec les données réelles P(X > 37,5) = ? Données empiriques: Xi 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 ni 153 83 93 68 74 42 20 12 8 4 3 1 0 1 0 165 (74+42+20+12+8+4+3+1+1) garçons ont un score > 37.5 P(X > 37,5) = 165/5154 (effectif total) = 0,032 3,2% 37 Calcul de P(X > 37,5) avec la loi normale Approximation X~ N (25; 6,8²) Avec la calculatrice P( X  37,5) = 0,0330  3,3% 38 Calcul de P(X > 35,5) avec les données empiriques P(X > 35,5) = ? Données empiriques: Xi 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Ni 153 83 93 68 74 42 20 12 8 4 3 1 0 1 0 (326 personnes ont une note > 35,5) P(X > 35,5) = 326/5154 = 0,063  6,3% 39 Calcul de P(X > 35,5) avec la loi normale Approximation X~ N (25; 6,8²) Avec la calculatrice P(X > 35,5) = 0,0613 ≈ 6,1% 40  2 - L'ex. du QI QI = X ~ N (100, 15²) lire « la variable X suit approximativement une loi normale de moyenne 100 et de variance 15² » P(X < 90) = 0,2525 ≈ 25 % Environ 25% des scores au QI sont inférieurs à 90 pour le QI, Q1 = 90 et Q3 = 110 41 Pour toute distribution normale de moyenne µ et d’écart-type 𝜎, on peut affirmer que 68,26% des données se situent dans l’intervalle [µ - 1𝜎, µ +1𝜎] P(μ – σ < X < μ + σ) ≈ 2/3 P( −   X   +  ) = P(100 −15  X  100 +15) = P(85  X  115) = 0.6826  2 / 3 environ 2/3 des sujets ont un QI entre 40  P(μ – 1.96*σ < X < μ + 1.96*σ) = 95% QI = X ~ N (100, 15²) P(100 – 1.96*15 < X < 100 + 1.96*15) = P(70.6