Support de Cours sur l'Acquisition et le Traitement Numérique des Signaux Biomédicaux (PDF)

ACQUISITION ET TRAITEMENTS NUMÉRIQUES DES SIGNAUX BIOMÉDICAUX CI GB : S3 M231 Pr. EL MOUZOUN EL IDRISSI Mouad Année Universitaire : 2024-2025 PLAN I. Théorie du traitement de signal 1. Rappels 2. Sér...

ACQUISITION ET TRAITEMENTS NUMÉRIQUES DES SIGNAUX BIOMÉDICAUX CI GB : S3 M231 Pr. EL MOUZOUN EL IDRISSI Mouad Année Universitaire : 2024-2025 PLAN I. Théorie du traitement de signal 1. Rappels 2. Séries & Transformée de Fourier 3. Convolution, Corrélation & densité spectrale 4. Filtres analogiques 5. Signaux aléatoires 6. Numérisation des signaux 7. Filtres numériques II. Acquisition & traitement des signaux biomédicaux I. Théorie du traitement de signal 1. Rappels I. Théorie du traitement de signal 1. Rappels Un signal ? Est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son destinataire. Il sert de vecteur à une information. Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force, température, pression, etc.). Un signal est caractérisé par : Sa forme, Son amplitude, Sa fréquence, et sa phase. Le bruit ? Est défini comme tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation d’un signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interférence, bruit de fond, etc.). La différentiation entre le signal et le bruit est artificielle et dépend de l’intérêt de l’utilisateur. Ondes Radioastronomes Signal Satellites Ondes EM Ing. Télécomm. Bruit galactiques I. Théorie du traitement de signal 1. Rappels La théorie du signal ? A pour objectif fondamental la « description mathématique » des signaux. Cette représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses principales caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les modifications subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux. Le traitement du signal Est la discipline technique qui s’appuyant sur les ressources de l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée pour l’élaboration et l’interprétation des signaux. Son champ d’application se situe donc dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou l’exploitation des informations véhiculées par ces signaux. I. Théorie du traitement de signal 1. Rappels Principales fonctions du traitement du signal Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories : - L’élaboration des signaux (incorporation des informations); - L’interprétation des signaux (extraction des informations). Les principales fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes : ➤ Élaboration des signaux Synthèse : création de signaux de forme appropriée en procédant par exemple à une combinaison de signaux élémentaires; Modulation/changement de fréquence : moyen permettant d’adapter un signal aux caractéristiques fréquentielles d’une voie de transmission ; Codage : traduction en code binaire (quantification), etc. I. Théorie du traitement de signal 1. Rappels ➤ Interprétation des signaux Filtrage : élimination de certaines composantes fréquentielles indésirables ; détection : extraction du signal d’un bruit de fond (corrélation) ; Identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement définies ; Analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles d’un signal de forme complexe (transformée de Fourier) ; Mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un certain degré de confiance (valeur moyenne, etc.).  Dit Dit Bonjour Bonjour Bzzz Bzzz OK ! Bzzz BzzDitBzzBon Bonjour Bzzjour !!! Transmission sans perturbation Transmission avec perturbation Les systèmes numériques Les qualités actuelles du traitement numérique de l’information conduisent à son développement pour résoudre tout types de problèmes afin de contrôler et commander des procédés industriels ou d’autre catégories : Exemple simple : Processus Information Commande Système numérique de contrôle (ordinateur) Entrée des consignes De manière générale Information Information Actionneur Processus physique Capteur Signal analogique Signal quantifié Échantillonneur-Bloqueur Convertisseur Signal échantillonné numérique-analogique (CNA) Convertisseur analogique-numérique Système numérique (CAN) de contrôle Signal numérique (ordinateur) Signal numérique Représentation des signaux 1. Modélisation des signaux Un signal expérimental est une grandeur physique et doit donc être physiquement réalisable. Les mesures macroscopiques analogiques comme ceux réalisées à partir d’appareils de mesures comme un oscilloscope, fournissent des courbes « tension en fonction du temps ». Représentation des signaux 1. Modélisation des signaux Ces signaux physiques sont représentés par des fonctions s(t) à valeurs réelles d’une variable réelle t. Par conséquent, le signal possède les caractéristiques suivantes : Energie bornée ; Amplitude bornée ; Continu temporellement ; Causal (s(t) = 0 pour t < 0) ; Spectre du signal borné (tend vers 0 lorsque la fréquence tend vers l’infini). Signal s(t) Fonction bornée Temps t Représentation des signaux 1. Modélisation des signaux Mais sur le plan théorique, pour la commodité du calcul et l’étude de certains phénomènes, les signaux sont représentés par des fonctions : à énergie théorique infinie ; avec des discontinuités (signal carré) ; définies sur l’ensemble des réels (signaux non causaux) ; à spectre du signal infini ; à valeurs complexes : s(t) = 𝐴𝑒 = A (cos wt + j sin wt) Représentation des signaux 2. Classification des signaux Pour faciliter l’étude des signaux, différents modes de classification ou de modélisation peuvent être envisagés : représentation temporelle des signaux : représentation spectrale : Représentation des signaux 2. Classification des signaux caractéristique énergétique ; caractéristique morphologique (continu ou discret). On caractérise un signal électrique par : La forme, La période (ou fréquence), et la phase, L’amplitude, (y compris sa valeur moyenne ou sa composante continue). Représentation des signaux 2. Classification des signaux a. Représentation temporelle des signaux La première classification, basée sur l’évolution du signal en fonction du temps, fait apparaître deux types fondamentaux : les signaux certains (ou déterministes) dont l’évolution en fonction du temps peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. Ces signaux proviennent de phénomènes pour lesquels on connaît les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prévoir le résultat ; les signaux aléatoires (ou probabilistes) dont le comportement temporel est imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d’observations statistiques.  Représentation des signaux Signaux physiques Signaux certains Signaux aléatoires (déterministes) (probalistes / stochastiques) Signaux Signaux non Signaux Signaux périodiques périodiques stationnaires non stationnaires Signaux Signaux Signaux Signaux sinusoïdaux périodiques transitoires pseudo-périodiques Signaux Signaux complexes ergodiques non ergodiques Les signaux aléatoires sont dits stationnaires lorsque leur valeur moyenne est indépendante du temps, c’est-à-dire que les résultats de leur analyse statistique restent les mêmes quel que soit le moment où l’on commence l’observation d’une partie déterminée du signal. De plus ces signaux aléatoires stationnaires sont ergodiques s’il est identique de faire une moyenne statistique à un instant donné sur différents essais ou de faire une moyenne temporelle suffisamment longue sur un seul de ces essais. Exemples des signaux Signal stationnaire Signal périodique complexe Signaux non-périodiques Signal non stationnaire Signal périodique sinusoïdal Représentation des signaux 2. Classification des signaux b. Classification énergétique La puissance électrique instantanée fournie à une résistance R (ou conductance G) est définie comme le produit des valeurs instantanées de la tension u(t) à ses bornes et du courant i(t) qui la traverse : p(t) = u(t)*i(t) = R*i²(t) = G*u²(t) L’énergie dissipée sur un intervalle [t1, t2], avec t1 < t2, est l’intégrale de cette puissance instantanée et se mesure en joules (J) : W(t1 , t2) = p 𝑡 𝑑𝑡 = R i² 𝑡 𝑑𝑡 = G u² 𝑡 𝑑𝑡 Par conséquent la puissance moyenne P(t1, t2), mesurée en watts (W), s’exprime sous la forme suivante : W(t1 , t2) P(t1 , t2) = (t2 −t1) Représentation des signaux 2. Classification des signaux c. Classification Spectrale Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence (spectre du signal). Le domaine des fréquences occupé par son spectre ΔF est aussi appelé la largeur de bande du signal ΔF = Fmax − Fmin Distribution spectrale F Fmin Fmax Représentation des signaux 2. Classification des signaux c. Classification Spectrale On peut distinguer deux types de signaux : les signaux à bande étroite avec ΔF/Fmoy petit (soit Fmax ≈ Fmin); les signaux à large bande avec ΔF/Fmoy grand (soit Fmax À Fmin). Avec Fmoy est la valeur moyenne de la fréquence du signal : Fmoy = (Fmax + Fmin) / 2 Pour les signaux à bande étroite, il est possible de les classer par le domaine de variation de la fréquence moyenne Fmoy : Fmoy < 250 kHz signaux basses fréquences (BF/LF) 250 kHz < Fmoy < 30 MHz signaux hautes fréquences (HF) 30 MHz < Fmoy < 300 MHz signaux très hautes fréquences (THF/VHF) 300 MHz < Fmoy < 3 GHz signaux ultra hautes fréquences (UHF) Fmoy > 3 GHz signaux super hautes fréquences (SHF) Représentation des signaux 2. Classification des signaux c. Classification Spectrale Lorsque la fréquence du signal devient très grande, pratiquement supérieure à quelques térahertz (THz = 1012 Hz), la longueur d’onde est le paramètre de référence λ = c/F avec c vitesse de la lumière 300 000 km/s : 700 nm < λ < 0,1 mm signal lumineux infrarouge 400 nm < λ < 700 nm signal lumineux visible 10 nm < λ < 400 nm signal lumineux ultraviolet Représentation des signaux 2. Classification des signaux d. Classification morphologique : Cette classification consiste à faire la distinction entre les signaux dits à temps continus (signaux continus) et les signaux dits à temps discrets (signaux discrets ou échantillonnés). Un autre paramètre des signaux à traiter est à prendre en compte, c’est l’amplitude qui peut aussi être continue ou discrète (quantifiée). Dans un système numérique de contrôle d’un processus physique, quatre formes de signaux peuvent être distinguées : signal analogique Signal quantifié Signal Signal logique échantillonné Signal à amplitude Signal à amplitude signal à amplitude et temps continus Signal à amplitude discrète et temps continue et temps discrète et temps continu discret discret  Amplitude continue Amplitude discrète s(t) sq (t) amplitude amplitude Temps continu Signal analogique temps Signal quantifié temps s(nTe ) sq (nTe ) ( Codage binaire ) amplitude amplitude Temps discret temps temps Signal échantillonné Signal numérique I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier Donner l’équation approximative de ce signal : ! Difficile à modéliser Il s’agit d’une fonction cos( t) I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Définition : Théorème de Fourier Si s(t) est une fonction de t périodique, de période T0 (= 1/F0), elle peut s’écrire sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences f multiple de la fréquence F0 , dite fondamentale. Cette somme peut s’écrire de deux manières : – Forme trigonométrique réelle – Forme exponentielle complexe I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Forme trigonométrique réelle s(t) = 0+ [an cos(2πnF0t) + bn sin(2πnF0t)] où an et bn sont les coefficients de la série de Fourier, qui se calculent à partir des relations suivantes : T0 a 0 = 1 ∫ s(t) dt avec a0 appelé valeur moyenne ou composante continue T0 0 T0 2 an = ∫ s(t) · cos(2πnF0t) · dt ; pour n ≥ 1 T0 0 T0 bn = 2 ∫ s(t) · sin(2πnF0t) · dt ; pour n ≥ 1 T0 0 I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) s(t) = 0+ [an cos(2πnF0t) + bn sin(2πnF0t)] Passage au développement en harmoniques de s(t) : s(t) = 0+ n cos(2πnF0t − 𝑛) En introduisant la notion d’amplitude des raies : An = 𝑎 + 𝑏 et de phase φ𝑛 = Arctan(bn/an) En posant : On obtient : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Développement en harmoniques de s(t) : s(t) = 0+ n cos(2πnF0t − 𝑛) avec An = 𝑎 + 𝑏 et φ𝑛 = Arctan(bn/an) À partir de cette expression, nous pouvons construire la représentation graphique spectrale du signal dans un plan amplitude-fréquence comme étant la succession des pics ou raies d’amplitude An et positionnés aux fréquences nF0 (Représentation unilatérale). I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : On considère la fonction x(t) définie par sa fréquence f0 = 1kHz comme : x(t) = 6 – 2 Cos(2πf0t) + 3 Sin(2πf0t) 1- Donner le développement en série de Fourier de la fonction x(t). 2- Tracer son spectre unilatéral I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : On considère la fonction x(t) définie comme : x(t) = 6 – 2 Cos(2πf0t) + 3 Sin(2πf0t) 1- Le développement en série de Fourier de la fonction x(t) : Selon la formule générale : Alors on a : - Une composante continue égale à 6 (a0=6); - Une harmonique 1 à f0 = 1kHz, avec a1 = -2 et b1 = 3 - Alors A1 sera égale à 𝑎 + 𝑏 = 3,6055 ; et la phase φ1 = arctan (-3/2) = - 0,982 rad I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : Alors : x(t) = 6 + 3,6056 Cos (2πf0t + 0,982) 2- Spectre unilatéral I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : Soit le signal défini par : π s(t) = 2. Cos( 2π10t - ) Domaine fréquentiel Domaine Temporel Spectre d’amplitude Spectre de phase I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Notion sur le pic de Dirac : La distribution de Dirac (pic de Dirac ou encore impulsion de Dirac) peut être vue comme un outil symbolique permettant de formuler des expressions. Notée δ elle peut être perçue comme la limite d’une impulsion d’amplitude A et de durée 1/A lorsque A tend vers l’infini. L’aire de cette impulsion est constante et égale à 1 quel que soit A. Le pic de Dirac sera défini comme ayant un poids ou une « masse » de 1 en x = 0. Dans le domaine du traitement du signal, le pic de Dirac δ(x) est une distribution ou « fonction » qui vérifie : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Notion sur le pic de Dirac : La fonction de Dirac peut être définie en fréquentiel par δ(f-F0), par une raie à la fréquence F0 et d’amplitude 1. En fait, δ(f) est la fonction de Dirac définie par une amplitude de 1 à 0Hz et une amplitude nulle ailleurs, donc δ(f-F0) est représenté par une amplitude de 1 à f-F0= 0 Hz et nulle ailleurs : ( une raie à f = F0 ) On représente ainsi : La série de Fourier est constituée de plusieurs raies, donc on peut considérer qu’elle est constituée d’un dirac d’amplitude A0 à la fréquence 0 , d’un dirac d’amplitude A1 à F0, d’un dirac d’amplitude A2 à 2F0 Mathématiquement, le module du spectre s’écrit : S(f) = A0 + nδ (f − Fn) Avec Fn = nF0 I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Question : développez le cos (⍵ t) en fonction exponentielle. Voici la raison pour laquelle la fonction cosinus est dite réelle. I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Développements utiles : cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a sin (a-b) = sin a cos b - sin b cos a cos²(a) = 1 + cos(2a) / 2 sin²(a) = 1 - cos(2a) / 2 I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Forme trigonométrique complexe : En utilisant la notation mathématique du pic de Dirac δ décrite précédemment, le spectre en fréquence du signal est formé de pics de Dirac de poids |S(nF0)| réparties sur tout l’axe des fréquences positives et négatives. Par convention, on dessine chaque raie en lui donnant une hauteur proportionnelle à son poids ou sa masse égale à |S(nF0)|. (Représentation bilatérale) L’expression du spectre S( f ) du signal est donc : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Forme trigonométrique complexe : Soit : s(t) = 0 + [an cos(2πnF0t) + bn sin(2πnF0t)] En appliquant les formules d’Euler, on peut écrire : Donc on aura : En regroupant les termes positives et négatives on obtient : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Forme trigonométrique complexe : On abouti à : Avec : ; et C0 = a0 et | Cn | = An /2 D’où le spectre s’écrit de la forme : Avec : S(nF0) = |Cn | I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Même exemple qu’avant : Soit le signal défini par : π s(t) = 2. cos( 2π10t - )  Domaine Temporel Domaine fréquentiel Spectre d’amplitude Spectre de phase I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Propriétés des séries de Fourier : Nous avons une correspondance unique entre la fonction x(t), son développement en série de Fourier et par conséquent sa représentation spectrale X( f ). F Nous écrirons donc cette réciprocité sous la forme : x(t)  X( f ) a) propriété de linéarité b) propriété de parité F F Nous avons les principales propriétés de parité suivante : Étant donné : x(t)  X( f ) et y(t)  Y( f ), nous avons : F a ·x(t) + b ·y(t)  a ·X( f ) + b ·Y( f ) - si la fonction x(t) est réelle et paire, les coefficients bn du développement en avec a et b des constantes. série de Fourier sont tous nuls et la représentation spectrale X( f ) est réelle et paire ; - si la fonction x(t) est réelle et impaire, les coefficients an du développement en série de Fourier sont tous nuls et la représentation spectrale X( f ) est imaginaire et impaire ; - si la fonction x(t) est réelle quelconque, la représentation spectrale X( f ) est complexe avec une partie réelle paire et une partie imaginaire impaire. I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : a) Signal sinusoïdal composé s(t) = cos(2πF0t) + sin²(2πF0t) En simplifiant la fonction sin²() : sin²(2πF0t) = (1 - cos(2. 2πF0t ) ) / 2 Ce qui va donner : S(t) = 1/2 + cos(2πF0t) – 1/2. cos(2. 2πF0t) a0 = A0 =1/2 ; a1= A1 = 1 ; et a2 = -1/2 ; A2 = 1/2. Représentation unilatérale et bilatérale ? I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : b) Signal carré périodique Exemple de calcul Soit y(t) la fonction périodique de période T = 2π définie sur [- π ; π] de la manière suivante : 1- Tracer la fonction y(t) 2- Donner le développement en série de Fourier de cette fonction 3- Donner sa représentation spectrale Y(F) I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : b. Signal carré périodique Exemple de calcul Soit y(t) la fonction périodique de période T = 2π définie sur [- π ; π] de la manière suivante : 1- Tracé de la fonction y(t) : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : b) Signal carré périodique Exemple de calcul Soit y(t) la fonction périodique de période T = 2π définie sur [- π ; π] de la manière suivante : 2- Le développement en série de Fourier : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : b) Signal carré périodique Exemple de calcul Soit y(t) la fonction périodique de période T = 2π définie sur [- π ; π] de la manière suivante : 2- Le développement en série de Fourier : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : b) Signal carré périodique Exemple de calcul Soit y(t) la fonction périodique de période T = 2π définie sur [- π ; π] de la manière suivante : 2- Le développement en série de Fourier : Donc : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : b) Signal carré périodique Exemple de calcul Soit y(t) la fonction périodique de période T = 2π définie sur [- π ; π] de la manière suivante : 3- La représentation spectrale Y(F) : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES (SÉRIE DE FOURIER) Exemples d’application : b) Signal carré périodique Exemple de calcul Soit y(t) la fonction périodique de période T = 2π définie sur [- π ; π] de la manière suivante : 3- La représentation spectrale Y(F) : RÉCAPITULATIF : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES FONCTIONS NON-PÉRIODIQUES On peut considérer la transformée de Fourier des fonctions non-périodiques comme une extension de la transformation précédente pour laquelle la période est infinie (T0 → ∞). L’intervalle de fréquence F0 tend alors vers zéro et le spectre devient alors une fonction continue. Et la TF inverse ainsi est : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES FONCTIONS NON-PÉRIODIQUES Comme pour le cas des fonctions périodiques, S( f ) est une fonction de f , en général complexe, qui comprend donc une partie réelle Re{S( f )} et une partie imaginaire Im{S( f )} : L’amplitude et la phase du spectre sont données par :  I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES FONCTIONS NON-PÉRIODIQUES Propriétés de la transformée de Fourier : Soit x(t) une fonction, sa transformée de Fourier X( f ) correspondante est : F x(t)  X( f ) s(t) 1 1 a) Linéarité –1 1 t –1 1 f F a ·x(t) + b ·y(t)  a ·X( f ) + b ·Y( f ) s(t) S(f) avec a et b des constantes. 4 1/4 b) Homothétie 1 f –1 1 t –1 1 f F x(at) ←→ ·X avec a ∈ R |a| a s(t) S(f) 4 1/4 –1 1 t –1 1 f  I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES FONCTIONS NON-PÉRIODIQUES Propriétés de la transformée de Fourier : Soit x(t) une fonction, sa transformée de Fourier X( f ) correspondante est : F x(t)  X( f ) c) Translation e) Parité : F x(t −a)  X( f ) ·e−j2πaf avec a ∈ R et F x(t) ·e j2πbt  X( f −b) avec b ∈ R d) Dérivation F F dx(t) dn x(t) n  ( j2πf ) ·X( f ) et  ( j2πf )·X( f ) dt dt n I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES FONCTIONS NON-PÉRIODIQUES Exemple d’application sur une fonction « porte » ou rectangle : Définir la fonction porte, puis calculer sa transformée de Fourier : I. Théorie du traitement de signal 2. Transformation de Fourier 2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES FONCTIONS NON-PÉRIODIQUES Exemple d’application sur une fonction « porte » ou rectangle : Développement : Fonction « porte » ou rectangle :  I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : Une impulsion brève, injectée à l'entrée d'un système de transmission linéaire, continu et stationnaire, donne en sortie un signal de durée finie. Cette réponse est appelée réponse impulsionnelle (ou percussionnelle) du filtre et notée h(t). Dans le cas général, c'est-à-dire pour signal d'entrée quelconque, nous avons une relation mathématique qui lie le signal d'entrée e(t) et le signal de sortie s(t) pour un système de transmission possédant les trois propriétés, noté S.T.L.C.S. Qu’est-ce qu’un système de transmission ? Un système de transmission fait correspondre à un signal d’entrée e(t) quelconque un signal de sortie s(t). Le signal de sortie s(t) ou réponse du système de transmission est en fonction du signal d’entrée e(t) et des caractéristiques du système de transmission : I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : Propriétés des systèmes de transmission : 1- Linéarité la réponse pour une collection dénombrable de signaux d'entrée  I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : Propriétés des systèmes de transmission : 2- Continuité Soit sn(t) la suite des réponses aux signaux d’entrée en(t), le système est dit continu si nous avons la propriété suivante : Exercice d’application : Pour la fonction : Montrer qu’un système « intégrateur pur » est un système continu. Montrer qu’un système « dérivateur pur » ne l’est pas. I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : Propriétés des systèmes de transmission : 2- Continuité I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : Propriétés des systèmes de transmission : 3- Stationnarité Un système est stationnaire si son comportement est indépendant de l’origine du temps. Si s(t) est la réponse à e(t), nous avons : Remarque : Les filtres sont définis comme des systèmes de transmission linéaires, continus et stationnaires. I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : La relation mathématique qui lie le signal d'entrée e(t) et le signal de sortie s(t) pour un système de transmission possédant les trois propriétés vues précédemment ou filtre, noté S.T.L.C.S., est : Cette opération, appelée «convolution» et notée *, exprime la réponse à un signal quelconque à partir de celle à un signal type (réponse impulsionnelle par exemple). La réponse dépend du filtre, caractérisé par h(t), et de l'histoire du signal. I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : La relation mathématique qui lie le signal d'entrée e(t) et le signal de sortie s(t) pour un système de transmission possédant les trois propriétés vues précédemment ou filtre, noté S.T.L.C.S., est : I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : La relation mathématique qui lie le signal d'entrée e(t) et le signal de sortie s(t) pour un système de transmission possédant les trois propriétés vues précédemment ou filtre, noté S.T.L.C.S., est :  I. Théorie du traitement de signal 3. Convolution, Corrélation & Densité Spectrale a. La convolution : Exemple : e(t) h(t) h(t- τ) τ -1 1 * -1 1 Alors : t-1 t+1 On aura 4 cas : - Cas 1 : Si t+1 < -1 , le produit de convolution est nul. - Cas 2 : Si -1