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Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes Chapitre I : SIGNAUX ET SYSTEMES Introduction ▪ Le Traitement du Signal a pour but l’étude de l’information p...

Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes Chapitre I : SIGNAUX ET SYSTEMES Introduction ▪ Le Traitement du Signal a pour but l’étude de l’information portée par des signaux. Il associe science fondamentale et Technologie. La science fondamentale s’appelle la Théorie du Signal. Elle a pour but la description mathématique des signaux et leurs algorithmes de traitement. La Technologie regroupe l’Electronique, l’Informatique Industrielle et le TNS ▪ On appelle signal toute variable qui porte une information. ▪ Un signal est émis par un système physique et obtenu à l’aide d’un capteur. ▪ Le traitement de cette information permet donc de caractériser l’évolution d’un système physique Problèmes posés au TS : - Extraire l’information d’un signal ? - Transmettre l’information sans la dégrader ? - Transformer cette information pour la préserver ? - Détecter le signal utile noyé dans le bruit ? - Filtrer le signal pour l’extraire du bruit ? Solutions proposées par le TS : - Estimer les caractéristiques d’un signal : L’Analyse Spectrale (TF, analyse temps-fréquence, …) - Filtrer des signaux Les Filtres ( analogiques ou numériques) - Transmettre des signaux Modulation et démodulation - Détecter un signal dans un bruit - Soustraire du bruit (bruit d’aéroport, GSM dans une voiture, …) Analyse Statistique des signaux (signaux aléatoires) - Synthétiser des signaux (text -to-speech en parole, mélodies en musique) - Coder des signaux (réduire l’information, corriger les erreurs de transmission, crypter, …) La plupart des signaux que l'on doit traiter et analyser tels que la parole, les signaux biologiques, sismiques, radars, audio ou vidéo sont analogiques par nature. C'est-à-dire qu'ils sont fonction d'une variable continue, le temps, et qu'eux-mêmes varient de manière continue. x(t) y(t) Système Analogique Souvent, pour des raisons de simplicité, de précision, de stockage de l'information, de flexibilité…, un traitement numérique est préférable. On utilise alors des convertisseurs analogiques -numériques (CAN) et numériques analogiques (CNA) pour relier au processeur numérique les signaux analogiques d'entrée et de sortie. Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 1 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes x(t) x[n] Système y[n] y(t) A N N Numérique A La conversion A/N est un processus faisant intervenir trois actions successives: ▪ l'échantillonnage à période fixe Te, ▪ la quantification du signal ▪ le codage. Pratiquement, ces opérations sont effectuées dans un même élément, le convertisseur A/N, qui reçoit le signal analogique et le convertit en un signal discret quantifié : signal numérique De même pour la conversion N/A, les opérations implicitement réalisées sont la quantification et le maintien de la valeur numérique pendant une période d'échantillonnage. À ceci s'ajoute généralement un filtrage passe-bas des "escaliers" générés par le convertisseur N/A. Analyse temporelle Types de signaux De manière générale, les signaux peuvent être classés dans les catégories suivantes (figures ci-dessous) : 1. Signaux continus en temps et en amplitude: x(t). On les appelle également signaux analogiques (a) ; ils proviennent généralement de processus physiques. 2. Signaux discrets en temps, continus en amplitude: xe(t = nTe). Ce sont les signaux échantillonnés (b). Ils ne sont définis qu'à des instants déterminés multiples de la période d'échantillonnage Te, mais leur amplitude peut varier de manière continue. 3. Signaux discrets en temps et en amplitude: xq[n]. De tels signaux sont quantifiés en amplitude; ils ne peuvent prendre que des valeurs déterminées, généralement, multiples d'un pas de quantification. Ce sont les valeurs numériques fournies par les convertisseurs analogiques - numériques (CAN). Ils ne sont définis qu'aux instants d'échantillonnage et correspondent aux signaux numériques (c). 4. Signaux continus en temps, discrets en amplitude: xq(t). Ce sont des signaux quantifiés similaires à ceux décrits en 3, dont la valeur est maintenue par un bloqueur d'ordre zéro entre 2 périodes d'échantillonnage (d). Ces signaux correspondent à ceux fournis par les convertisseurs numériques analogiques (CNA). Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 2 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes Classification des signaux ▪ Signaux Mathématiques Un signal mathématique est une fonction d’un certain nombre de paramètres dont l’un au moins est le temps. - Cette fonction peut être discontinue (le signal carré) - Cette fonction peut avoir une énergie infinie. - Elle a un support temporel infini. - Elle est à valeurs dans R ou dans C - Elle a un spectre à support fréquentiel infini. ▪ Signaux Physiques Un signal physique est un signal expérimental physiquement réalisable et mesurable par un capteur (ex un oscilloscope pour un signal électrique) - Ce signal est continu, avec une énergie finie. - Son amplitude maximale est bornée. - Son support temporel est fini. - Ce signal est réel et causal (il est nul si le temps t est négatif). - Son spectre a un support fréquentiel fini mesurable par exemple par un analyseur de spectre. Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 3 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes ▪ Classification temporelle: Signaux Déterministes Aléatoires Non Non Périodiques périodiques Stationnaires Stationnaires Non Pseudo- Transitoires Ergodiques Ergodiques périodiques Les signaux déterministes On qualifie un signal de déterministe si on sait le prévoir à partir de lois simples. Exemple: La sortie d’un filtre électronique RC Les signaux aléatoires : Par opposition, on dira qu’un signal est aléatoire s’il est impossible de le reproduire identique à lui même. Exemple: Le bruit de fond d’un circuit électronique, les cours de la bourse,... L’énergie d’un signal L’énergie d’un signal continu s(t) réel ou complexe est défini par : + + 2 E=  s( t )s * ( t )dt =  s( t ) dt − − s*(t) représente le signal complexe conjugué de s(t). Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à énergie finie. - La quantité p(t) = s(t)s*(t) s’appelle la puissance instantanée de s(t). C’est la densité d’énergie : dE p( t ) = dt - La puissance moyenne P d’un signal continu s(t) réel ou complexe est définie par : T 1 2 P = lim T → T  s( t )s * ( t )dt T − 2 Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à puissance moyenne finie. Un signal d’énergie E finie a une puissance moyenne P nulle. Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 4 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes - Dans le cas des signaux périodiques, la puissance moyenne P est la puissance moyenne calculée sur une période T : 1 P= TT  s( t )s * ( t )dt - Un signal d’énergie nulle (E=0) est considéré comme égal à 0 (signal nul) - 2 signaux x(t) et y(t) sont égaux si l’énergie de leur différence est nulle:  2  x ( t ) − y( t ) dt = 0 − - Tous les signaux physiques sont à énergie finie mais on peut les modéliser comme des signaux mathématiques dont on observe une certaine durée. Par exemple la tension sinusoïdale aux bornes d’une prise de courant : - Il existe des signaux d’énergie et de puissance moyenne infinie. - On définit la fonction d’autocorrélation d’un signal à énergie finie comme:  C ss () =  s( t )s * ( t − )dt − - Pour un signal à puissance moyenne finie, la fonction d’autocorrélation devient : T 1 2 C ss () = lim T → T  s(t )s * (t − )dt T − 2 1 et pour un signal périodique : C ss ( ) = TT  s( t )s * ( t − )dt - La fonction d’autocorrélation traduit la similitude d’un signal au niveau de la forme en fonction du décalage temporel . - C’est une mesure de la ressemblance du signal avec lui même au cours du temps. - Si le signal est périodique mais noyé dans du bruit, sa fonction d’autocorrélation le sera aussi et permettra de détecter cette périodicité. - Chaque valeur d’un signal s(t) contient 2 types d’information : Une information prédictive déjà contenue dans les valeurs du signal aux instants précédents, Une information propre au signal à l’instant t appelée information non prédictive - Le principe de la corrélation est de pouvoir extraire l’information prédictive future à partir des valeurs précédentes du signal. Propriétés - La fonction d’autocorrélation en 0 représente l’énergie du signal à énergie finie: C ss () = E  0 - La fonction d’autocorrélation d’un signal réel est paire : C ss ( ) = C ss (− ) - La fonction d’autocorrélation d’un signal complexe est à symétrie hermitienne: C ss () = C*ss (−) - La fonction d’autocorrélation est maximale en 0: C ss ( )  C ss (0) Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 5 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes D’où la possibilité de normaliser les fonctions d’autocorrélation pour les comparer entre elles et d’obtenir la fonction d’autocorrélation normalisée : C ss () ss () = C ss (0) - On définit la fonction d’intercorrélation de 2 signaux à énergie finie par :  C xy () =  x ( t ) y * ( t − )dt − - Pour 2 signaux à puissance moyenne finie, la fonction d’intercorrélation devient : T 2 C xy () = lim T → T  x (t ) y * (t − )dt − 2 Signaux usuels Parmi l'infinité de signaux que l'on peut imaginer, il y en a quelques un qui sont fondamentaux pour l'analyse des signaux et des systèmes. Ce sont : a. L’échelon unité (saut unité): o Continu 1 si t  0 u(t) =  0 si t  0 1 o Discret 1 si k  0 u (k ) =  0 si k  0 b. L'impulsion unité: o Continu du ( t ) ( t ) = dt u  (t)   (t) 1/ 1/   Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 6 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes du  ( t )   (t) = dt →0  u  (t) → u(t) et   ( t ) → ( t ) + − (t )dt = 1 Attention : (t) n’est pas définie pour un t donné o Discret 1 si n = 1 ( n ) =  0 si n  0 Un aspect important de cette séquence est qu'elle peut servir à définir n'importe quelle autre séquence. En effet, toute séquence peut être considérée comme une somme d'impulsions décalées [n−k] et d'amplitude x[k]. La suite x[n] peut donc être décrite par l'expression suivante: x (n ) =....... + x (−2)(n + 2) + x (−1)(n − 1) + x (0)(n ) + x (1)(n − 1) + x (2)(n − 2) +... +  x (n ) =  x (k )(n − k ) k = − Par analogie avec un signal analogique et échantillonné :  + signal échantillonné  x e ( t ) =  Te x (kTe )( t − kTe )  k = − signal continu  x ( t ) = x ()( t − )d   De manière équivalente, on a : + u (k ) =  ( n − k ) k =0 Inversement, l'impulsion unité peut être décrite par la différence de deux sauts unités: (n ) = u (n ) − u (n − 1) Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 7 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes c. La rampe r(t) r(t) = Atu(t) d. Porte de longueur N :  N ( n )  N (n ) 1 si 0  n  N − 1  N (n ) =  n 0 si non e. L'exponentiel x(t) = e −t u(t) x (n ) =  n u (n ) Dans le cas où 0 <  < 1, on obtient une exponentielle décroissante alors que pour || > 1, l'amplitude de la séquence ne cesse d'augmenter avec n. f. La sinusoïde x(t) = 5cos(ot+) x(n) = 5cos(no + ) signal analogique signal discret 5 5 4 4 3 3 2 2 1 amp. en Volts 1 amp. en Volts 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 temps en sec. temps en sec. Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 8 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes g. L’exponentiel complexe x ( t ) = Ae j(o t +) h. La suite complexe Généralement décrite par une exponentielle numérique dont l'argument est complexe : x (n ) = (a + jb ) n u (n ) En remplaçant l'argument a + jb par sa représentation polaire b (a + jb) = a 2 + b 2  arctan = e jo a On obtient x ( n ) =  n e j o n u ( n ) Grâce à la relation d'Euler, on voit que cette séquence est une oscillation à valeurs complexes dont l'amplitude varie exponentiellement avec le temps n. L'enveloppe sera croissante si  > 1 et décroissante si  < 1. Pour les signaux discrets, la pulsation normalisée 0 se mesure en radians par échantillon et non pas en radians par seconde comme pour la pulsation 0 des signaux continus. Opération sur les signaux Renversement du temps x(t)→ x(-t) et x[n] → x[-n] x(n) x(-n) n n Changement de l’échelle du temps x(t)→x(2t) et x[n] → x[2n] : raccourcissement x(t)→x(t/2) et x[n] → x[n/3] : dilatation Décalage x[n] → x[n-no] x[n] → x[n+no] x[n-2] x[n] x[n+3] n n n Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 9 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes Parité et imparité des signaux Un signal x[n] (x(t)) est pair si x[n] = x[-n], le signal est symétrique par rapport à l’axe n=0 Un signal x[n] (x(t)) est impair si x[n] = - x[-n] le signal est symétrique par rapport à l’origine (0,0) Tout signal x[n] est la superposition d’un signal pair et d’un signal impair.  1 1 x pair ( t ) = 2 ( x ( t ) + x (− t )) x(t) = ( x pair ( t ) + x imp ( t )) avec  2 1  x imp ( t ) = ( x ( t ) − x (− t ))  2  1 1 x pair [n ] = 2 ( x[n ] + x[−n ]) x[n ] = ( x pair [n ] + x imp [n ]) avec  2 1  x imp [n ] = ( x[n ] − x[−n ])  2 Périodicité des signaux o Continu x(t) est périodique s’il existe T > 0 tel que x(t) = x(t+T) pour tout t jo t 2 L’exponentiel complexe x ( t ) = Ae est périodique de période T tel que T = o Si 1  2  Ae j1t  Ae j2 t jno t On appelle harmoniques les signaux x n ( t ) = Ae Il existe une infinité d’harmoniques distincts o Discret Du point de vue de la périodicité, il existe une différence importante entre signaux continus et discrets. Dans le cas de ces derniers, la périodicité existe si : x[n] = x[n + N], N est un entier représentant la période de la séquence. x[n ] = e jo n est périodique si on a : o m x[n ] = e jon = e jo ( n + N )  e jo N = 1   o N = 2m  = 2 N 2 N = m( )  Période fondamentale o  2 f= o=  Fréquence fondamentale m N Considérons comme exemple le cas où 0 = 1. On a alors N = 2k ; ce qui n'est pas possible car N et k sont des entiers. Par contre, si 0 = 3/11, on a alors : Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 10 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes N3 22 N o = = 2k  N= k 11 3 La plus petite valeur de N satisfaisant cette équation est 22 lorsque k vaut 3. Ces 2 valeurs signifient qu'il faut 22 échantillons pour retrouver la valeur de départ (1 période numérique) et que cette période numérique contient 3 périodes du signal analogique échantillonné. On voit donc que les séquences sinusoïdales ne sont pas nécessairement périodiques et, suivant la valeur de 0, elles peuvent même ne pas être périodiques. e jon = e j(o + 2 k) n  o doit être choisi dans un intervalle de longueur 2 2 Il n’y a que N harmoniques distinctes:  k [n ] = exp[j( )kn] , k = 0, 1 …….., N-1 N Systèmes De manière générale, on appelle système toute entité qui accepte des signaux d’entrée et qui produit des signaux de sortie. On distingue : - les systèmes analogiques dont les signaux d’entrée-sortie sont analogiques. - les systèmes discrets dont les signaux d’entrée-sortie sont discrets. signal analogique 5 signal analogique de sortie 5 4 4 3 3 2 2 1 Système amp. en Volts 1 amp. en Volts 0 0 -1 Analogique -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 temps en sec. temps en sec. Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 11 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes signal discret signal discret de sortie 5 5 4 4 3 3 2 2 1 amp. en Volts 1 Système amp. en Volts 0 0 -1 -2 Discret -1 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 temps en sec. temps en sec. Un système numérique est une fonction ou un algorithme prédéfini qui opère sur un signal numérique (appelé l'entrée ou l'excitation) et qui produit un autre signal numérique nommé la sortie ou la réponse du système. Exemples de systèmes discrets Considérons des systèmes simples décrits par les équations suivantes : a. y[n] = x[n] : système identité b. y[n] = x[n-1] : décalage arrière d'un pas c. y[n] = x[n+1] : décalage avant d'un pas d. y[n ] = maxx[n − 1],x[n ], x[n + 1] e. y[n ] = − x[k ] n : un accumulateur f. y[n] = x[n] – x[n-1] : différence entre la valeur actuelle et la précédente; ce qui, numériquement, correspond à la dérivation analogique A chacun de ces systèmes, on applique le signal : x[n] = {↑0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, · · ·} Les réponses de chacun des systèmes sont alors les suivantes : a. y[n] = {· · · 0, 0, ↑0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, · · ·} b. y[n] = {· · · 0, 0, ↑0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, · · ·} c. y[n] = {· · · 0, 0, ↑1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0, · · ·} d. y[n] = {· · · 0, 0, ↑ 0, 1, 3, 6, 10, 15, 15, 15, 15, 15 · · ·} e. y[n] = {· · · 0, 0, ↑0, 1, 1, 1, 1, 1,−5, 0, 0 · · ·} Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 12 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes Moyenneur glissant d’ordre n Un moyenneur glissant d'ordre 5 est défini par l'équation : 1 y[n] = (x[n - 2] + x[n - 1] + x[n] + x[n + 1] + x[n + 2]) 5 Ce système fournit à chaque instant n la valeur moyenne des 5 échantillons x[n] entourant et correspondant à la position n. Un tel opérateur est fréquemment utilisé pour atténuer des fluctuations et mettre ainsi en évidence une tendance à moyen terme. Ce moyenneur centré sur l'instant n est un système non causal. Si l'on désire avoir un système causal, on doit calculer la moyenne glissante que sur les 5 points les plus récents : 1 y[n] = (x[n] + x[n - 1] + x[n - 2] + x[n - 3] + x[n - 4]) 5 Propriétés des systèmes 1. Système statique (sans mémoire) Un système statique ou sans mémoire est un système dont la sortie y[n] ne dépend que du signal d'entrée à l'instant n. y(t)=G[x(t)]. Par exemple : y[n] = a x[n] + n x2[n] 2. Système dynamique (avec mémoire) Inversement, un système tenant compte de ce qui s'est passé ou se passera est dit dynamique ou avec mémoire : y[n] = (x[n − 1] + x[n] + x[n + 1]) 3. Système linéaire Un système linéaire satisfait au principe de superposition : y[n] = S{a x1[n] + b x2[n] = a S{x1[n]} + b S{x2[n] = y1[n] + y2[n] 4. Système invariant dans le temps Un système est invariant dans le temps si son comportement se reproduit de façon identique au cours du temps: si à une entrée x(t), on obtient en sortie y(t) alors à l’instant t-, on obtient la sortie y(t-). (S{x[n]} = y[n] alors S{x[n -k]} = y[n -k]) De manière équivalente, un système est dit temporellement invariant lorsqu'on peut croiser les opérations de décalage et de transformation sans modifier le signal de sortie. On a alors : yD,T [n] = yT,D[n] 5. Système causal Un système est causal si la séquence de sortie ne dépend que des valeurs actuelles ou passées de la séquence d'entrée. Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 13 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes 6. Système stable Un système est stable si, quelle que soit la séquence d'amplitude finie appliquée à l'entrée, sa sortie est d’amplitude finie. On notera que les propriétés mentionnées ci-dessus sont des propriétés liées aux systèmes et sont indépendantes des séquences appliquées à ceux-ci. Interconnexions des systèmes Connexion en cascade Connexion en parallèle: y[n] = y1[n] + y2[n] → y[n] = H1{x[n]} + H2{x[n]} Cascade Parallèle Conclusion Les systèmes linéaires et temporellement invariants (systèmes LTI) constituent une classe importante des systèmes. Réponse impulsionnelle et produit de convolution ❖ Cas discret La réponse impulsionnelle, notée h(n), est la sortie du système lorsqu’on lui applique une impulsion unité [n] : [n] h[n] Système LTI h[n] = S{[n]} Or x[n] peut s’exprimer en fonction de [n] : + x[n] =  x[k][n - k] k =-  Quelle est la sortie y[n] d’un système dont l’entrée est x[n] : y[n] = S{x[n]} (écrire en fonction de h[n] )  +  linéarité + in var iant + y[n] = S  x[k][n - k] =  x[k]S[n - k] =  x[k] h[n - k] k = -   k =- k =- Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 14 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes Cette relation importante porte le nom de produit de convolution numérique. + y[n] =  x[k]h[n - k]  x[n ] * h[n ] k =-  Un système LTI est totalement caractérisé par sa réponse impulsionnelle h[n] et le calcul de la réponse à un signal quelconque peut alors se faire dans le domaine temporel. Pour déterminer le produit de convolution on réalise les étapes suivantes 1. retourner le signal h[k] autour de l'ordonnée afin d'obtenir h[−k]. 2. décaler h[−k] en n pour obtenir h[n − k] ; 3. effectuer sa multiplication avec x[k] pour obtenir x[k] · h[n − k] ; 4. sommer la suite de valeurs ainsi obtenues. ❖ Cas continu La réponse impulsionnelle, notée h(t), est la sortie du système lorsqu’on lui applique une impulsion unité (t) : (t) h(t) Système LTI Or x(t) peut s’exprimer en fonction de [n] :  x(t) =  x( )(t - )d - Quelle est la sortie y[n] d’un système dont l’entrée est x[n] : y[n] = S{x[n]}   linéarité  in var iant  y(t) = S  x( )(t - )d =  x( )S(t - ) d =  x( )h (t - )d -   - - Exemples de calcul Exemple 1: x[n ] =  n u[n ] et h[n ] = u[n ] k , 0kn x[n ].h[n − k ] =  0, sinon n 1 −  n +1 Pour n  0 on a x[n ] =  k  y[n ] = 1−  u[n ] k =0 La figure suivante illustre la situation pour n = 10 et l'on voit que la somme des valeurs successives vaut : Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 15 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes Exemple 2:  1, 0n4  n , 0n6 x[n ] =  et h[n ] =  0, sinon 0, sinon ▪ n0  y[n ] = 0   n −k , 0  k  n n ▪ 0n4  x[k ]h[n − k ] =   y[k ] =   n −k 0, sinon n =0 n 1 −  n +1 On pose m = n - k  y[n ] =  m = 1−  m =0 4 n −k  n −4 −  n +1 ▪ n  4 et n - 6  0  y[n ] =  = 1−  k =0 4 n −k  n −4 −  7 ▪ n  4 et n - 6  4 (6  n  10)  y[n ] =  = 1−  k = n −6 ▪ n - 6  4 (n  10)  y[n ] = 0 Propriétés de (t) Le dirac (t) ou impulsion de dirac n’est pas une fonction mais une distribution ou fonction généralisée. o s( t ).( t ) = s(0).( t ) o s( t ).( t − t 0 ) = s( t 0 ).( t − t 0 ) Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 16 3 -ème GCDSTE 2004/2005  Traitement de signal Chapitre I : Signaux et Systèmes o s( t )  ( t ) = s( t ) Elément neutre pour la convolution o s ( t )  ( t − t 0 ) = s ( t − t 0 ) o ( t − t 1 )  ( t − t 2 ) = ( t − t 1 − t 2 ) Propriétés du produit de convolution ▪ Le produit de convolution est commutatif: un simple changement de variable permet d’écrire: k k y( n ) =  x (k )h (n − k ) =  h (k ) x (n − k )  x(n) * h(n) = h(n) * x(n) n =0 n =0 ▪ Le produit de convolution est associatif : x[n ] * h 1[n ] * h 2 [n ] = x[n ] * h 1[n ]* h 2 [n ] ▪ Le produit de convolution est distributif par rapport à l’addition : x[n ] * h 1[n ] + h 2 [n ] = x[n ] * h 1[n ] + x[n ] * h 2 [n ] ▪ (n) est l’élément neutre pour le produit de convolution x ( n ) * ( n ) = x ( n ) ▪ Translation temporelle x ( n ) * ( n − n o ) = x ( n − n o ) Conséquences x[n] z[n] y[n] x[n] y[n] h1[n] h1[n]  h 1[ n ] * h 2 [ n ] x[n] y[n] x[n] w[n] y[n]  h 2 [n ] * h1[n ]  h2[n] h1[n] h1[n] x[n] y[n] x[n] y[n]   h1[n] + h2[n] h2[n] On considèrera dans la suite de ce cours uniquement des systèmes linéaires invariants dans le temps. Ils sont appelés “Filtres”. Cour Traitement de signal Prof HATIM Anas 17 3 -ème GCDSTE 2004/2005