Croissance Linéaire - PDF

CROISSANCE LINEAIRE I GENERALITES SUR LES SUITES 1) Définition Définition : une suite u est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3........ } qui, à tout nombre entier naturel 𝑛, associe un nombre réel 𝑢(𝑛). ℕ...

CROISSANCE LINEAIRE I GENERALITES SUR LES SUITES 1) Définition Définition : une suite u est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3........ } qui, à tout nombre entier naturel 𝑛, associe un nombre réel 𝑢(𝑛). ℕ → ℝ 𝑢: 𝑛 ⟼ 𝑢(𝑛) 𝑜𝑛 é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑛 Vocabulaire : - 𝑢𝑛 est le terme général d’indice 𝑛 - 𝑢0 est le terme d’indice 0, ou terme initial ou 1er terme. Néanmoins il est possible de trouver des suites qui commencent à 𝑢1 ou à un indice supérieur. - La suite se note 𝑢 ou bien (𝑢𝑛 ) - Le terme qui précède (qui est avant) 𝑢𝑛 est 𝑢𝑛−1 , le terme qui suit 𝑢𝑛 est 𝑢𝑛+1. 2) Différents modes de génération d’une suite a. Avec une formule explicite de la forme 𝒖𝒏 = 𝒇(𝒏) où 𝒇 est une fonction (𝑢𝑛 ) est la suite définie sur ℕ par 𝑢𝑛 = 2𝑛 − 1. Ici 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛) avec 𝑓 qui est la fonction affine définie par 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 Ainsi 𝑢0 = 𝑢(0) = 𝑢1 = 𝑢(1) = 𝑢200 = 𝑢(200) = b. Avec une relation de récurrence La suite est générée par : Une relation qui permet d’obtenir un terme à partir du (ou des) terme(s) précédents Le ou les premiers termes de la suite Exemples : Soit (𝑣𝑛 ) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑣𝑛+1 = 4 × 𝑣𝑛 − 6 et 𝑣0 = 3 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣500 =? pour calculer 𝑣500 on a besoin 𝑣499 , pour calculer 𝑣13 on a besoin 𝑣12 on peut alors utiliser un algorithme avec la calculatrice, avec Python ou un tableur. II SUITES ARITHMETIQUES 1) Définition-relation de récurrence Définition : On dit que (𝑢𝑛 ) est une suite arithmétique de raison 𝑟 si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (la raison) 𝐑𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐫é𝐜𝐮𝐫𝐫𝐞𝐧𝐜𝐞 𝑢(𝑛 + 1) = 𝑢(𝑛) + 𝑟 𝑜𝑢 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟 avec 𝑛 entier positif Exemple : La suite (𝑢𝑛 ) définie sur ℕ par 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 − 5 et 𝑢0 = 7 est une suite arithmétique de 1er terme 𝑢0 = 7 et de raison 𝑟 = −5 2) Expression du terme général 𝒖𝒏 en fonction de 𝒏 Forme explicite Si le 1er terme est 𝑢0 : 𝑢(𝑛) = 𝑢(0) + 𝑛 × 𝑟 𝑜𝑢 𝑢𝑛 = 𝑢 0 + 𝑛 × 𝑟 Si le 1er terme est 𝑢1 : 𝑢(𝑛) = 𝑢(1) + (𝑛 − 1) × 𝑟 𝑜𝑢 𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1) × 𝑟 Soit la suite (𝑢𝑛 ) définie sur ℕ par 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 − 5 et 𝑢0 = 7. Donne l’expression de son terme général puis calcule 𝑢50. 3) Sens de variation et représentation graphique Propriété : Soit (𝑢𝑛 ) une suite arithmétique de Propriété : Soit (𝑢𝑛 ) une suite arithmétique de premier terme 𝑢0 et de raison 𝑟. raison 𝑟. La représentation graphique de (𝑢𝑛 ) est Si 𝑟 > 0 alors la suite est strictement croissante. constituée de points isolés alignés sur une droite ayant pour ordonnée à l’origine 𝒖𝟎 et pour Si 𝑟 < 0 alors la suite est strictement décroissante. coefficient directeur 𝒓 Si 𝑟 = 0 alors la suite est constante. 𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 + (𝒏 − 𝟏) × 𝒓 si le 1er le 𝑢1er terme est 1 terme vaut -1 et r=0,5 le 1er terme vaut 2 et r=-1 3 4 2,5 2 2 1,5 0 1 0 2 4 6 8 0,5 -2 0 -0,5 0 2 4 6 8 -4 -1 -1,5 -6 𝑟 = 0,5 > 0 donc la suite est strictement 𝑟 = −1 < 0 donc la suite est croissante strictement décroissante