Matrices symétriques et endomorphismes symétriques (Polytech Nantes)

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Cycle préparatoire Espaces euclidiens Matrices symétriques et endomorphismes symétriques Polytech Nantes Année 2024-2025 séance no 5 Introduction : Dans ce projet on s'intéresse aux matrices symétriques et on montre le théorème spectrale qui arme qu'une matrice symétrique (à coecients réels) est diagonalisable dans une base orthonormée. 1 Matrices symétriques et endomorphismes symétriques Soit E un espace euclidien de dimension n et B une base orthonormée de E (par exemple la base canonique). Soit x et y deux vecteurs de E et X , Y leur matrice respective dans la base B. Le produit scalaire ⟨x, y⟩ se réécrit : X T Y. Considérons maintenant un endomorphisme f dont la matrice dans la base B est A. On a : (AX)T Y = X T AT Y et en général (AX)T Y ̸= X(AY ) c'est-à-dire ⟨f (x), y⟩ = ̸ ⟨x, f (y)⟩. Sauf si A est symétrique ! Dénition 5.1.1. ˆ Une matrice A ∈ M(R) est dite symétrique si AT = A. ˆ Un endomorphisme f de E est dit symétrique si ∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨f (x), y⟩ = ⟨x, f (y)⟩. La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormée est symétrique. Exercice 5.1.2. Soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique. Le but de cet exercice est de montrer que les valeurs propres de A sont nécessairement réelles. Pour cela on commence par considérer A comme une matrice de Mn (C) dont tous les coecients sont réels. Si M ∈ Mn (C), on note M la matrice obtenue en conjuguant tous les coecients de M. On a : ∀(M, N ) ∈ Mn (C)2 , M N = M N. 1) Justier que A admet au moins une valeur propre dans C. 2) Soit λ ∈ C une valeur propre de A et X un vecteur propre associé. Calculer (AX)T X. T 3) Montrer que (AX)T X = X AX. 4) Montrer que X T X est un réel non nul. 5) En déduire que λ est un réel. 1) On sait que les valeurs propres de C sont les racines du polynôme caractéristique χA. Le polynôme χA admet au moins une racine complexe donc A admet au moins une valeur propre complexe. 2) On a : T T T (AX) X = (λX) X = λX X. 3) T (AX)T X = X T AT X = X AX.   X1  x2  4) Soit X=     ... , xn n X n X XT X = xi xi = |xi |2. i=1 i=1  Puisque X est un vecteur propre X est non-nul, donc X T X est un réel non-nul. 5) D'après les questions précédentes : (AX)T X = λX T X. Donc : T T λX X = λX X. Puisque X T X est non-nul, λ = λ et donc λ est un réel. On déduit de l'exercice précédent : Proposition 5.1.3. Soit f un endomorphisme symétrique de E. Le polynôme caractéristique de f est scindé sur R. Exercice 5.1.4. Soit f un endomorphisme symétrique et λ une valeur propre de f. On note Eλ = SEP (f, λ). Montrer que Eλ⊥ est stable par f , c'est-à-dire que pour tout x dans Eλ⊥ , f (x) est dans Eλ⊥. On peut donc considérer g , la restriction de f à Eλ qui est toujours un endomorphisme symétrique. Soit y dans Eλ⊥ , pour tout x dans Eλ : ⟨f (y), x⟩ = ⟨y, f (x)⟩ = ⟨y, λx⟩ = λ⟨y, x⟩ = 0. f symétrique x vecteur propre ⊥ x∈Eλ Donc f (y) est dans Eλ. En utilisant les résultats précédents, on montre par récurrence (vous pouvez le faire) : Théorème 5.1.5. ˆ Soit f un endomorphisme de E. Si l'endomorphisme f est symétrique, alors il existe une base orthonormée de E formée de vecteur propre pour f. ˆ Soit A ∈ M(R). Si la matrice A est symétrique, alors il existe une matrice orthogonale P ∈ On telle que P −1 AP est diagonale. Remarque 5.1.5. En particulier, les espaces propres sont deux à deux orthogonaux. Exercice 5.1.6. On considère l'endomorphisme de R3 dans la matrice dans la base canonique est :   7 2 −2 A= 2 4 −1. −2 −1 4 1) Justier que f est diagonalisable dans une base orthonormée. 2) Expliciter une telle base. 1) A est symétrique donc f est diagonalisable dans une base orthonormée. 2) On commence par déterminer les valeurs propres de f : ∀λ ∈ R, χf (λ) =... = −(λ − 9)(λ − 3)2. Donc Sp(f ) = {3, 9}. On calcule les espaces propres associés : 2 Cycle préparatoire séance no 5 SEP (f, 3) = Vect((1, 0, 2), (−1, 2, 0)) SEP (f, 9) = Vect((−2, −1, 1)). On sait que les espaces propres sont orthogonaux (cf Remarque 5.1.5), il reste à donner une base orthonormée de SEP (f, 3). On peut utiliser le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : 1 u = √ (1, 0, 2) 5 1 1 1 v0 = (−1, 2, 0) − ⟨(1, 0, 2), (−1, 2, 0)⟩(1, 0, 2) = (−1, 2, 0) + (1, 0, 2) = (−4, 10, 2). 5 5 5 On normalise le vecteur pour obtenir : v0 v0 1 v= = √ (−2, 5, 1). ||v0 || 30 Pour compléter, on note 1 w = √ (−2, −1, 1). 6 Finalement, dans la base orthonormée B′ = (u; v; w) la matrice de f est :   3 0 0 M atB′ (f ) = 0 3 0. 0 0 9 Exercice 5.1.7. 1) Soit A une matrice de Mn (R). a) Montrer que la matrice AT A est symétrique.   x1. ..  dans Mn,1 (R). Calculer X T X. b) Soit X =  xn c) Soit λ une valeur propre de AT A est X un vecteur propre associé. Montrer que (AX)T (AX) = λX T X. d) En déduire que toutes les valeurs propres de AT A sont des réels positifs ou nuls. 2) Montrer que si S est une matrice symétrique de Mn (R) à valeurs propres positives ou nulles, il existe une matrice A de Mn (R) telle que S = AT A. 3) Calculer explicitement un tel A pour   2 1 S=. 1 2 1) a) On a (AT A)T = AT (AT )T = AT A. Donc AT A est symétrique. b) X T X = x21 +... x2n = Pnk=1 x2i = ||X||2. c) Soit λ une valeur propre et X un vecteur propre associé. On a : (AX)T AX = X T AT AX = X T (λX) = λX T X. d) On a ||AX||2 = (AX)T AX = λX T X = λ||X||2. Donc λ = ||AX|| est un réel positif. 2 ||X|| 2 Cycle préparatoire séance no 5 2) Puisque S est symétrique, elle est diagonalisable. Il existe P une matrice orthogonale et D une matrice diagonale telles que : T D = P SP. Par hypothèse, les coecients de D sont positifs, il existe δ dans Mn (R) telle que δ2 = D. On a : S = P DP T = P δP T P δP T. On note A = P δP T et on a S = AT A. Remarque : La matrice S est également symétrique, donc S = A2.