Matrices Symétriques et Endomorphismes

True (A)

Le but de l'exercice est de montrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique sont nécessairement réelles.

M

<p>Le polynôme caractéristique XA admet au moins une racine complexe. Donc A admet au moins une valeur propre complexe.</p> Signup and view all the answers

<p>En utilisant cette propriété, on obtient (AX)TX = (XX)TX = X^TX.</p> Signup and view all the answers

<p>X est un vecteur propre, donc il n'est pas nul. Par conséquent, XTX est un réel non nul.</p> Signup and view all the answers

<p>En combinant les résultats des questions précédentes, on obtient X^AX = XTX. Puisque XTX est un réel non nul, λ est un réel.</p> Signup and view all the answers

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

<p>L'espace propre associé à λ est Eλ = SEP(f, λ), et il est stable par f car pour tout x dans Eλ, f(x) est également dans Eλ.</p> Signup and view all the answers

<p>Si l'endomorphisme f est symétrique, on peut construire une base orthonormée de E formée de vecteurs propres pour f en utilisant la méthode de Gram-Schmidt.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice A est symétrique, alors il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que P-1AP = D.</p> Signup and view all the answers

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice A est symétrique, donc f est diagonalisable dans une base orthonormée.</p> Signup and view all the answers

<p>On utilise la méthode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser les vecteurs propres de f, en utilisant le fait que les espaces propres sont orthogonaux.</p> Signup and view all the answers

<p>Parce que (ATA)T = AT(AT)T = ATA.</p> Signup and view all the answers

<p>XTX = X1² + ... + Xn² = Σk=1Xk² = ||X||².</p> Signup and view all the answers

<p>(AX)TAX = XT AT AX = XT (XX) = XXT X.</p> Signup and view all the answers

<p>On a ||AX||² = (AX)T AX = XXT X = X||X||², donc la valeur propre est positive ou nulle.</p> Signup and view all the answers

<p>Oui, il existe une matrice A de Mn(R) telle que S = AT A.</p> Signup and view all the answers

Une matrice carrée A ∈ M(R) est dite symétrique si sa transposée AT est égale à elle-même (AT = A).

Un endomorphisme f d'un espace euclidien E est dit symétrique si pour tous vecteurs x et y de E, le produit scalaire de f(x) par y est égal au produit scalaire de x par f(y) : ⟨f(x), y⟩ = ⟨x, f(y)⟩.

La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormée est toujours une matrice symétrique.

Pour une matrice M ∈ Mn(C), la matrice M est obtenue en conjuguant tous les coefficients de M.

Tous les coefficients de la matrice conjuguée sont les conjugués des coefficients de la matrice originale.

Pour deux matrices M et N ∈ Mn(C), le produit des matrices conjuguées est égal à la conjuguée du produit des matrices : M N = M N.

Une valeur propre λ d'une matrice A ∈ Mn(C) est un nombre complexe tel qu'il existe un vecteur propre X non-nul vérifiant AX = λX.

Si une matrice A ∈ Mn(R) est symétrique, tous ses coefficients sont réels, donc ses valeurs propres sont également réelles.

Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme symétrique est scindé sur l'ensemble des nombres réels.

L'espace propre Eλ associé à une valeur propre λ de f est l'ensemble des vecteurs propres associés à λ.

L'orthogonal de l'espace propre Eλ, noté Eλ⊥, est l'ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de Eλ.

Le sous-espace Eλ⊥ est stable par f, c'est-à-dire que pour tout vecteur x appartenant à Eλ⊥, l'image f(x) appartient également à Eλ⊥.

Un endomorphisme symétrique possède une base orthonormée de vecteurs propres. En d'autres termes, il est diagonalisable dans une base orthonormée.

Pour une matrice symétrique A ∈ Mn(R), il existe une matrice orthogonale P ∈ On (matrice dont l'inverse est égale à sa transposée) telle que la matrice P−1AP soit diagonale.

Les espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux.

La matrice AT A est toujours symétrique.

Pour un vecteur colonne X ∈ Mn,1(R), le produit XT X correspond à la somme des carrés de ses composantes et est donc un réel positif.

Si λ est une valeur propre de AT A et X est un vecteur propre associé, alors (AX)T(AX) = λXT X.

Les valeurs propres de AT A sont toujours des réels positifs ou nuls.

Si S est une matrice symétrique de Mn(R) dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles, il existe une matrice A de Mn(R) telle que S = AT A.

La matrice A correspond à la racine carrée de S dans le cas où S est symétrique et à valeurs propres positives ou nulles.

La matrice S, étant symétrique, peut également s'écrire sous la forme S = A2, où A est une matrice de Mn(R).