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Questions and Answers
La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormée est symétrique.
La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormée est symétrique.
True
Quel est le but de l'exercice 5.1.2 ?
Quel est le but de l'exercice 5.1.2 ?
Le but de l'exercice est de montrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique sont nécessairement réelles.
Si M ∈ Mn(C), on note ______ la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de M.
Si M ∈ Mn(C), on note ______ la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de M.
M
Expliquez pourquoi A admet au moins une valeur propre dans C dans l'exercice 5.1.2?
Expliquez pourquoi A admet au moins une valeur propre dans C dans l'exercice 5.1.2?
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Calculer (AX)TX en utilisant la propriété : ∀(M, N) ∈ Mn(C)², MN = M Ν.
Calculer (AX)TX en utilisant la propriété : ∀(M, N) ∈ Mn(C)², MN = M Ν.
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Pourquoi XTX est-il un réel non nul dans l'exercice 5.1.2?
Pourquoi XTX est-il un réel non nul dans l'exercice 5.1.2?
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Comment peut-on déduire que A est un réel dans l'exercice 5.1.2?
Comment peut-on déduire que A est un réel dans l'exercice 5.1.2?
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Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme symétrique est scindé sur R.
Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme symétrique est scindé sur R.
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Quel est l'espace propre associé à λ dans Exercice 5.1.4, et pourquoi est-il stable par f ?
Quel est l'espace propre associé à λ dans Exercice 5.1.4, et pourquoi est-il stable par f ?
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Expliquez la raison pour laquelle une base orthonormée de E est formée de vecteurs propres pour f dans le Théorème 5.1.5.
Expliquez la raison pour laquelle une base orthonormée de E est formée de vecteurs propres pour f dans le Théorème 5.1.5.
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Décrivez la relation entre la matrice A, la matrice orthogonale P et la matrice diagonale D dans le Théorème 5.1.5.
Décrivez la relation entre la matrice A, la matrice orthogonale P et la matrice diagonale D dans le Théorème 5.1.5.
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Les espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux.
Les espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux.
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Comment peut-on justifier que f est diagonalisable dans une base orthonormée dans l'exercice 5.1.6?
Comment peut-on justifier que f est diagonalisable dans une base orthonormée dans l'exercice 5.1.6?
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Expliquez comment on crée une base orthonormée pour l'exercice 5.1.6.
Expliquez comment on crée une base orthonormée pour l'exercice 5.1.6.
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Pourquoi la matrice ATA est-elle symétrique dans l'exercice 5.1.7?
Pourquoi la matrice ATA est-elle symétrique dans l'exercice 5.1.7?
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Calculer XTX, étant donné que X = (X1, ..., Xn)dans l'exercice 5.1.7
Calculer XTX, étant donné que X = (X1, ..., Xn)dans l'exercice 5.1.7
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Démontrer que (AX)T(AX) = XXTX dans l'exercice 5.1.7?
Démontrer que (AX)T(AX) = XXTX dans l'exercice 5.1.7?
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Expliquez pourquoi les valeurs propres de AT A sont des réels positifs ou nuls dans l'exercice 5.1.7?
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Si S est une matrice symétrique de Mn(R) à valeurs propres positives ou nulles, existe-t-il une matrice A de Mn(R) telle que S = AT A?
Si S est une matrice symétrique de Mn(R) à valeurs propres positives ou nulles, existe-t-il une matrice A de Mn(R) telle que S = AT A?
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Study Notes
Matrices Symétriques et Endomorphismes Symétriques
- Définition de matrice symétrique: Une matrice A est symétrique si sa transposée (AT) est égale à elle-même (A).
- Définition d'endomorphisme symétrique: Un endomorphisme f d'un espace euclidien E est symétrique si, pour tous vecteurs x et y de E, (f(x), y) = (x, f(y)). Ici, (.,.) désigne le produit scalaire.
- Matrices d'endomorphismes symétriques: Dans une base orthonormée, la matrice d'un endomorphisme symétrique est symétrique.
- Valeurs propres de matrices symétriques: Les valeurs propres d'une matrice symétrique à coefficients réels sont réelles.
- Polynôme caractéristique: Le polynôme caractéristique d'une matrice (A) a au moins une racine complexe (valeur propre).
- Vecteur propre: Un vecteur X est un vecteur propre de la matrice A si AX = λX, où λ est la valeur propre correspondante.
- Calcul de (AX)TX : (AX)TX = XT AT X = XTAX.
- Propriété de XTX : XTX est un réel non nul si X est un vecteur propre non nul.
- Déduction sur les valeurs propres: Puisque XTX est un réel non nul, la valeur propre λ est réelle.
- Théorème concernant les endomorphismes symétriques: Si f est un endomorphisme symétrique de E, alors son polynôme caractéristique est scindé sur R. Il existe une base orthonormée de E composée de vecteurs propres de f.
- Théorème concernant les matrices symétriques: Si A est une matrice symétrique à coefficients réels, alors il existe une matrice orthogonale P telle que P-1AP est diagonale.
- Espaces propres orthogonaux : En particulier, les espaces propres d'une matrice symétrique sont deux à deux orthogonaux.
- Exemple d'exercice: On considère un endomorphisme f dans R³ avec une matrice A donnée dans la base canonique, et il est demandé de justifier sa diagonalisation dans une base orthonormée, puis d'expliciter une telle base. Les valeurs propres de A sont 3 et 9.
Propriétés supplementaires.
- Transposée d'un produit de matrices: (ATA)T = ATA (de même pour le produit de matrices dans l'autre sens).
- Norme d'un vecteur: ||X||² = XTX, un réel non nul.
- Valeur propre de AT A: Une valeur propre de AT A est un réel non négatif.
- Matrices symétriques et diagonalisabilité: Les matrices symétriques sont diagonalisables dans une base orthonormée et leurs valeurs propres sont réelles.
- Décomposition d'une matrice symétrique: Une matrice symétrique S peut s'écrire comme le produit de matrices symétriques (S = AT A).
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Description
Ce quiz aborde les concepts de matrices symétriques et d'endomorphismes symétriques, incluant leurs définitions et propriétés. Vous testerez vos connaissances sur les valeurs propres, vecteurs propres et le calcul avec des matrices. Préparez-vous à approfondir vos compétences en algèbre linéaire.
