الحركة الدورانية للجسم الصلب PDF

# الحركة الدورانية للجسم الصلب ## تعريف الجسم الصلب: يُعرف الجسم الصلب بأنه مجموعة من N جسيم مع خاصية أن الشكل لا يتغير، بكلام آخر فإن المسافات بين الجسيمات المكونة للجسم لا تتغير. وعليه فإن: $r_i,_j = 1,2,....N$ $$r_i - r_j = C_ij $$ ## خصائص الجسم الصلب: * يُمكن حساب المسافة بين أي جسيمين...

# الحركة الدورانية للجسم الصلب ## تعريف الجسم الصلب: يُعرف الجسم الصلب بأنه مجموعة من N جسيم مع خاصية أن الشكل لا يتغير، بكلام آخر فإن المسافات بين الجسيمات المكونة للجسم لا تتغير. وعليه فإن: $r_i,_j = 1,2,....N$ $$r_i - r_j = C_ij $$ ## خصائص الجسم الصلب: * يُمكن حساب المسافة بين أي جسيمين في الجسم الصلب. * يُمكن حساب سرعة وحركة أي نقطة في الجسم الصلب. ## حركة الجسم الصلب: يحتاج جسم صلب فقط إلى 6 إحداثيات لوصف حركته. * **حركة انتقالية**: 3 إحداثيات لوصف **مركز الكتلة** * حوال محور x * حوال محور y * حوال محور z * **حركة دورانية**: 3 محاور دورانية ## خصائص مركز الكتلة: **تعريف مركز الكتلة**: لو اعتبرنا نظام مكون من N جسيم, كل جسيم له كتلة $m_\alpha$, وكل جسيم موقع $r_\alpha$ . فإن مركز الكتلة يُعرَف بالنسبة لنقطة أصل O. **معادلة مركز الكتلة**: $R = \frac{1}{M} \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r_\alpha$ أو: $R = \frac{1}{M}\int rdm$ حيث M هو مجموع كتلة الجسيمات للنظام. ## الزخم الكلي لمركز الكتلة (CM) **معادلة الزخم الكلي**: $P = MR = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r_\alpha = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v_\alpha$ **معادلة القوة الكلية**: $P = MR=M\frac{d}{dt}R = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha \frac{d}{dt}r_\alpha = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha a_\alpha = \sum_{\alpha=1}^N F_\alpha$ **الزخم الكلي**: * تمثل محصلة القوى الخارجية على النظام له باعتبار أن القوى الداخلية تلغي بعضها البعض (لأنها تطيع قانون نيوتن الثالث) ، وعليه فإن $F_{ext} = P=MR$ ## الزخم الزاوي الكلي (Total angular momentum) **تعريف الزخم الزاوي**: إن الزخم الزاوي للجسيم رقم $\alpha$ حول 0 يُعرَف من خلال: $L_\alpha = r_\alpha \times (m_\alpha v_\alpha)$ **معادلة الزخم الزاوي الكلي**: $$L = \sum_{\alpha=1}^N L_\alpha = \sum_{\alpha=1}^N r_\alpha \times (m_\alpha v_\alpha) = \sum_{\alpha=1}^N (R + r'_\alpha) \times m_\alpha (V + v'_\alpha) $$ $$ = \sum_{\alpha=1}^N R \times m_\alpha V + \sum_{\alpha=1}^N R \times m_\alpha v'_\alpha + \sum_{\alpha=1}^N r'_\alpha \times m_\alpha V + \sum_{\alpha=1}^N r'_\alpha \times m_\alpha v'_\alpha $$ $$ L = R \times MR + R \times \frac{d}{dt}\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r'_\alpha + \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r'_\alpha \times V + \sum_{\alpha=1}^N r'_\alpha \times m_\alpha v'_\alpha $$ $$ L = R \times MR + R \times \frac{d}{dt}(0) + (\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r'_\alpha) \times V + L_{CM} $$ **معادلة الزخم الزاوي لمركز الكتلة حول 0**: $L = L_{CM} + L'$ **معادلة الزخم الزاوي لمركز الكتلة**: $L_{CM}=R \times P+ \sum_{\alpha=1}^N r'_\alpha \times m_\alpha v'_\alpha$ ## طاقة الحركة (kinetic energy) **تعريف طاقة الحركة**: طاقة الحركة الكلية لنظام الجسم الصلب المكون من N جسيم تُعطى من: $T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v_\alpha ^2$ **معادلة طاقة الحركة**: نعوّض عن $v_\alpha = V + v_\alpha'$ $$ T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha (V + v'_\alpha)^2 $$ $$ T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha V^2 + \frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v'_\alpha^2+ \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha V \times v'_\alpha $$ $$ T = \frac{1}{2}MV^2+ \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v'_\alpha^2 + V\times \frac{d}{dt}(\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r'_\alpha ) $$ $$ T= \frac{1}{2}MR^2 + \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v'_\alpha^2 $$ **معادلة طاقة الحركة الكلية**: $$T = T_{CM} + T'$$ <start_of_image> Where: * $T_{CM} = \frac{1}{2}MV^2$: طاقة حركة مركز كتلة * $T' = \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v'_\alpha^2$: طاقة حركة حول مركز كتلة ## الدوران حول محور ثابت * نقاشنا السابق يوضح مدى أهمية الحركة الدورانية. سوف تبدأ بدراسة الدوران حول محور ثابت (وهذه حالة خاصة). **صيغة الزخم الزاوي**: * بما أن محور الدوران ثابت سنعتبر هذا المحور هو محور z، مع أخذ نقطة الأصل O تقع على محور الدوران (محور (2) * تكوّن الكتلة $M_\alpha$ نظام جسيمات تتحرك بسرعة زاوية $w$ حول محور الدوران. * تتجه السرعة الزاوية: $\vec{w} = (0,0, w)$ * تتجه سرعة الكتلة: $\vec{v}_\alpha = \vec{w} \times \vec{r}_\alpha $ **معادلة الزخم الزاوي**: $L_\alpha = \vec{r}\times \vec{p}= \vec{r}\times \vec{m} \vec{v}_\alpha = \vec{r}\times \vec{m}\vec{w} \times r_\alpha$ **معادلة سرعة الكتلة**: $\vec{v}_\alpha= (\chi_\alpha \vec{i}+y_\alpha \vec{j}+z_\alpha \vec{k}) \times (0)\vec{i}+(0)\vec{j}+w\overleftarrow k$ **معادلة سرعة الكتلة**: $\vec{v}_\alpha=(-wy_\alpha,wx_\alpha, 0)$ **معادلة الزخم الزاوي**: $L_\alpha = \vec{r}_\alpha \times m_\alpha \vec{v} = m_\alpha (\chi_\alpha \vec{i}+y_\alpha \vec{j}+z_\alpha \vec{k} ) \times (-wy_\alpha,wx_\alpha,0)$ $$ L_\alpha = w m_\alpha[z_\alpha (-\chi_\alpha w) -y_\alpha (\chi_\alpha w)+ (\chi_\alpha^2 +y_\alpha^2 ) \vec{k}] $$ $$ L_\alpha = w m_\alpha[ z_\alpha(-\chi_\alpha w) -y_\alpha(\chi_\alpha w) + (\chi_\alpha^2 +y_\alpha^2 ) \vec{k}] $$ **معادلة مركبات الزخم الزاوي**: * $L_x = (\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha z_\alpha \chi_\alpha) \omega$ * $L_y = (\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha y_\alpha z_\alpha) \omega$ * $L_z =(\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha(\chi_\alpha^2 + y_\alpha^2)) \omega$ **معادلة عزم القصور**: * $\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha(\chi_\alpha^2 + y_\alpha^2) = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r_\alpha^2 = I_z$ * $L_z = I_z \omega$ ## الدوران حول المحور **معادلة طاقة الحركة**: * $T = \frac{1}{2} I_z \omega^2$ **علاقة الزخم الزاوي وطاقة الحركة**: $T = \frac{1}{2} I \omega^2$ **معادلة عزم القصور**: $I = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha r_\alpha^2 = \int r^2 dm$ **معادلة الزخم الزاوي للكتلة**: $L = I_z \omega$ **معادلة القوى**: $L = I\omega$ ## مضروب عزم القصور (Product of Inertia) * Lx & Ly & W * $I_{xz} = -\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha \chi_\alpha z_\alpha$ & $I_{yz} = -\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha y_\alpha z_\alpha$ * $I_{zz} = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha (\chi_\alpha^2 + y_\alpha^2)$ * $\vec{L}=(I_{zz}\omega, I_{yz}\omega, I_{xz}\omega)$ **الزخم الزاوي**: * $L = (I_{zz} \omega, I_{yz} \omega, I_{xz} \omega)$ **قوى المحافظة**: * $\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha \chi_\alpha z_\alpha = \sum_{\alpha=1}^N m_\alpha y_\alpha z_\alpha = 0$ ## الدوران حول محور عشوائي * $\vec{w} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ ** معادلة الزخم الزاوي**: * $$\begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_{xx} \omega_x + I_{xy} \omega_y + I_{xz} \omega_z \\ I_{yx} \omega_x + I_{yy} \omega_y + I_{yz} \omega_z\\ I_{zx} \omega_x + I_{zy} \omega_y + I_{zz} \omega_z \end{bmatrix}$$ **خواص موتر عزم العصور**: * $I_{ij} = I_{ji}$ ## امثلة: * أوجد موتر القصور ل: * a مكعب مُجسم كتله M وطول حافه 2. يدور حول محور يمر باحدى حوافه * b نفس المكعب حول محور يمر بمركزه. **حل**: * a: * $I_{xx} = \int (y^2 + z^2) dm = \int (y^2 + z^2) \rho dz dy dz$ * $I_{xx} = \rho \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} dy \int_{0}^{a} (y^2 + z^2) dz$ * $I_{xx} = \rho \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} dy [y^2z + \frac{1}{3} z^3]_{0}^{a}$ * $ I_{xx} = \rho \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} (ay^2 + \frac{1}{3}a^3) dy$ * $I_{xx} = \rho \int_{0}^{a} dx [ \frac{a}{3}y^3 + \frac{1}{3}a^3 y]_{0}^{a}$ * $I_{xx} = \rho \int_{0}^{a} ( \frac{a^4}{3} + \frac{a^3}{3}a)dx$ * $I_{xx} = \rho [ \frac{a^5}{3} + \frac{a^4}{3} ]_{0}^{a}$ * $I_{xx} = \rho (\frac{a^5}{3} + \frac{a^5}{3}) = \frac{2}{3} \rho a^5 = \frac{2}{3} Ma^2$ * $I_{yy} = I_{zz} = I_{xx} = \frac{2}{3} Ma^2$ * $I_{xy} = \int yzdm = \int yz \rho dxdydz$ * $I_{xy} = \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} dy \int_{0}^{a} yz \rho dz$ * $I_{xy} = \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} dy [yz^2]_{0}^{a}$ * $I_{xy} = \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} yay^2$ * $I_{xy} = \int_{0}^{a} dx [ \frac{a^3}{3}y^3]_{0}^{a}$ * $I_{xy} = \int_{0}^{a} \frac{a^6}{3}dx$ * $I_{xy} = \frac{a^7}{3}|_{0}^{a} = \frac{a^7}{3} = \frac{1}{4} Ma$ * $I_{xy} = I_{xz} = I_{yz} = \frac{1}{4} Ma^2$ * $I = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} &\frac{2}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}Ma^2 = \begin{bmatrix} \frac{8}{12} & \frac{3}{12}& \frac{3}{12} \\ \frac{3}{12} & \frac{8}{12} & \frac{3}{12} \\ \frac{3}{12} & \frac{3}{12}& \frac{8}{12} \end{bmatrix} Ma^2$ * $L = I\omega = \begin{bmatrix} \frac{8}{12} & \frac{3}{12}& \frac{3}{12} \\ \frac{3}{12} & \frac{8}{12} & \frac{3}{12} \\ \frac{3}{12} & \frac{3}{12}& \frac{8}{12} \end{bmatrix} Ma^2 \begin{bmatrix} \omega x \\ \omega y \\ \omega z \end{bmatrix} = Ma^2 \begin{bmatrix} \frac{8\omega x}{12} & \frac{3\omega y}{12} & \frac{3\omega z}{12} \\ \frac{3\omega x}{12} & \frac{8\omega y}{12} & \frac{3\omega z}{12} \\ \frac{3\omega x}{12} & \frac{3\omega y}{12} & \frac{8\omega z}{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Lx \\ Ly \\ Lz \end{bmatrix}$ * b: * $I_{xx} = \int (y^2 + z^2) dm = \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} dy \int_{0}^{a} (y^2 + z^2) \rho dz dy dz$ * $I_{xx} = \frac{1}{6} Ma^2 = I_{yy} = I_{zz}$ * $I_{xy} = \int xy dm = \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{a} dy \int_{0}^{a} xy \rho dz dy dx $ * $I_{xy} = 0 = I_{xz} = I_{yz}$ * $I = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix} Ma^2$ * $L = I\omega = \frac{1}{6}Ma^2 \omega \hat{u} = \frac{1}{6}Ma^2 \omega$