T8 Moment Angular - Lleida Polytechnic University PDF

TEMA 8 Moment Angular Ferran Badia OBJECTIUS A l’acabar aquest tema heu de ser capaços de: Explicar el caràcter vectorial de les magnituds que descriuen la rotació d’un cos. Definir el moment angular d’una massa puntual. Definir el moment angular d’un sòlid rígid. Explicar la segona l...

TEMA 8 Moment Angular Ferran Badia OBJECTIUS A l’acabar aquest tema heu de ser capaços de: Explicar el caràcter vectorial de les magnituds que descriuen la rotació d’un cos. Definir el moment angular d’una massa puntual. Definir el moment angular d’un sòlid rígid. Explicar la segona llei de Newton de la rotació d’un sistema rígid al voltant d’un eix en termes del moment angular. Explicar el principi de conservació del moment angular. Aplicar el principi de conservació del moment angular per resoldre moviments de rotació d’un sistema rígid al voltant d’un eix. FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 2 LECTURES Tema 10 (Tipler-Mosca 6a. Edició) FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 3 T8L1 Caràcter vectorial de la rotació MOMENT ANGULAR FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 4 T8L1 – Vector Velocitat Angular FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 5 T8L1 – Moment d’una Força definició Moment de la força 𝐹⃗ respecte el punt 𝑂 Producte vectorial de la posició del punt d’aplicació de la força respecte 𝑂 per la força ⃗ 𝐹⃗ 𝜏⃗ = 𝑟× ©2008 by W.H. Freeman and Company FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 6 T8L1 – Moment Angular Producte vectorial de la posició de la partícula respecte O definició Moment Angular pel moment lineal de la partícula 𝐿 = 𝑟× ⃗ 𝑝⃗ En general la direcció del moment angular no coincideix amb la de l’eix de rotació FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 7 T8L1 – Moment Angular Moment angular per la partícula de massa 𝑚 que gira respecte l’eix 𝑧, en el pla 𝑥𝑦, amb centre en l’origen, a velocitat 𝜔, respecte del centre del disc. 𝐿 = 𝑟× ⃗ 𝑝⃗ = 𝑟×𝑚 ⃗ 𝑣⃗ = 𝑟𝑚𝑣 𝑠𝑖𝑛 90! 𝑘4 = 𝑟𝑚𝑣 𝑘4 = = 𝑚𝑟 " 𝜔𝑘4 = 𝑚𝑟 " 𝜔 𝐿 = 𝑚𝑟 " 𝜔 = 𝐼𝜔 𝐿 i 𝜔 són paral·lels Aquest resultat NO ÉS VÀLID si calculem el moment angular respecte a un altre punt de l’eix FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 8 T8L1 – Moment Angular Moment angular per la partícula de massa 𝑚 que gira respecte l’eix 𝑧, en el pla 𝑥𝑦, amb centre en l’origen, a velocitat 𝜔, respecte el punt 𝑶’ que no és el centre del disc. 𝐿# = 𝑟 # ×𝑝⃗ En aquest cas, el moment angular 𝐿 i la velocitat angular 𝜔 no tenen la mateixa direcció FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 9 T8L1 – Moment Angular Afegim una segona partícula de massa igual i simètrica respecte l’eix de rotació. Calculem el moment angular del sistema respecte el punt O’ 𝐿# = 𝐿#$ + 𝐿#" Ara el moment angular resultant sí està sobre l’eix 𝑧, o sigui, paral·lel a la velocitat angular FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 10 T8L1 – Moment Angular Per qualsevol sistema de partícules que gira al voltant d’un eix de simetria del sistema –que voldrà dir que passa pel centre de masses del sistema–, el moment angular total, suma dels moments angulars de cada partícula individual, és paral·lel a la velocitat angular i es determina com: 𝐿 = 𝐼𝜔 ©2008 by W.H. Freeman and Company FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 11 T8L1 – Moment Angular – 2a llei de Newton per la Rotació DERIVANT RESPECTE DEL TEMPS L’EXPRESSIÓ DEL MOMENT ANGULAR 𝐿 = 𝑟× ⃗ 𝑝⃗ 𝑑𝐿 𝑑 𝑑 𝑝⃗ 𝑑 𝑟⃗ = 𝑟× ⃗ 𝑝⃗ = 𝑟× ⃗ + ×𝑝⃗ ⃗ 𝐹⃗ + 𝑣×𝑚 = 𝑟× ⃗ 𝑣⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐿 ⃗ 𝐹⃗ = τ = 𝑟× 𝑑𝑡 𝑑𝐿)*) 𝜏⃗%&' &(' = 𝑑𝑡 FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 12 T8L1 – Conservació del Moment Angular 𝑑𝐿)*) 𝜏⃗%&' &(' = SI τ%&' &(' = 0 𝑑𝑡 LLAVORS 𝑑𝐿)*) =0 𝑑𝑡 𝐿+,+ = constant SI EL MOMENT NET DE LES FORCES EXTERNES QUE ACTUEN SOBRE UN SISTEMA ÉS ZERO, EL MOMENT ANGULAR DEL SISTEMA ÉS CONSTANT FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 13 T8L1 – Conservació del Moment Angular FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 14 T8L1 – Conservació del Moment Angular FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 15 T8L1 – Conservació del Moment Angular FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 16 T8L1 – Moment Angular – Exemple 1 Pel sistema de la figura (màquina de Atwood, problema 5 del tema 7) determineu l’acceleració angular de la politja (M,R) i la lineals dels blocs (m1, m2 m2, m1>m2). m1 𝑑𝐿)*) 𝜏⃗%&' &(' = 𝑑𝑡 FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 17 T8L1 – Moment Angular – Exemple 2 Un disc de moment d’inèrcia I1 gira sense fricció al voltant del seu eix de simetria amb velocitat 𝜔-. En un moment donat, cau sobre un disc coaxial de moment d’inèrcia I2 que es troba en repòs. Degut a la fricció entre les superfícies dels dos discs, aquest es posa a girar de forma que assoleixen una mateixa velocitat angular 𝜔.. Determineu 𝜔.. FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 18 T8L1 – Moment Angular – Exemple 3 En un parc hi ha una atracció que consisteix en un disc de 3,0 m de diàmetre que gira amb moment d’inèrcia de 130 kg·m2. Quatre amics cadascun de 60 kg de massa hi pugen junt al Joan i es situen a la vora quan giren a 20 rev/min. En un cert instant, els quatre amics es desplacen cap al centre del disc fins a situar-se a una distància de 30 cm de l’eix de rotació, deixant al Joan a la vora. Si la màxima acceleració centrípeta que pot suportar el Joan sense caure és de 4g, creieu que caurà fora de l’atracció? ©2008 by W.H. Freeman and Company FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 19 T8L1 – Moment Angular – Exemple 4 Un nen de 25 kg de massa corre pel parc a una velocitat inicial de 2,5 m/s amb una trajectòria tangent a la vora d’una plataforma giratòria de 2,0 m de radi i 500 kg·m2 de moment d’inèrcia, inicialment en repòs. El nen salta al damunt de la plataforma i es posa en moviment. Determineu la velocitat angular final del nen i la plataforma quan es mouen plegats. ©2008 by W.H. Freeman and Company FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 20 T8L1 – Moment Angular – Exemple 5 Una barra prima de massa M i longitud d està penjada d’un pivot per la part superior. Una bola d’argila de massa m i que es mou horitzontalment a una velocitat v xoca contra la barra a una distància x del pivot i s’hi adhereix. Determineu la raó entre l’energia cinètica del sistema barra–argila immediatament després i immediatament abans de la col·lisió. ©2008 by W.H. Freeman and Company FERRAN BADIA /. FÍSICA I – TEMA 8 – MOMENT ANGULAR 21