Riassunti teoria PDF - Strutture Portanti, Calcoli e Deformazioni

Okay, here is the transcription of the text from the images into a structured markdown format. I have done my best to transcribe all visible text, format it, and include mathematical formulas in LaTeX format. ### Page 1 ELEMENTO STRUTTURALE + VINCOLI = STRUTTURA PORTANTE vincoli geometrici, materiali, azioni esterne, inerziale, azioni termiche. EQUILIBRIO, RESISTENZA, RIGIDEZZA ↓ ANALISI STRUTTURALE def. MEZZO CONTINUO SOLIDO TRIDIMENSIONALE E DEFORMABILE B, I CUI PUNTI MATERIALI SONO IN CORRISPONDENZA BIUNIVOCA CON I PUNTI GEOMETRICI DI UNA REGIONE DELLO SPAZIO EUCLIDEO (punti di accumulazione) IP: PICCOLI SPOSTAMENTI E PICCOLI GRADIENTI DI SPOSTAMENTO → L'EQUILIBRIO SI PUÒ IMPORRE NELLA CONFIGURAZIONE INDEFORMATA FORZE ENTI DESCRITTI DA VETTORI CHE CAUSANO VARIAZIONI DI CONFIGURAZIONE DEL CORPO FORZE DI VOLUME FORZE ESERCITATE DALL'AMBIENTE IN PUNTI INTERNI AL CORPO MEDIANTE AZIONI A DISTANZA FORZE DI SUPERFICIE FORZE ESERCITATE SU PORZIONI DELLA FRONTIERA $\partial B$ DEL CORPO DAL CONTATTO CON CORPI ESTERNI EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA riferite all'intero sistema di forze esterne CONDIZIONE NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE PER L'EQUILIBRIO DEL CORPO DEFORMABILE verificate in ogni porzione del corpo * MASLAZIONE $R = \int_{\partial B} b(x)dv + \int_{\partial B} t(x)da = 0$ * ROTAZIONE: $M_0=\int_{\partial B} x \times b(x)dv + \int_{\partial B} x \times t(x) da = 0$ (prodotto vettoriale) ### Page 2 PRINCIPIO DI EULERO ESISTE UN CORPO DI FORZE INTERNE DA SUPERFICIE DI CONTATTO, $t(x)$, CHE DUE PARTI DI UN CORPO SI SCAMBIANO ATTRAVERSO UNA SEZIONE E ASSICURANO L'EQUILIBRIO DELLE DUE PORZIONI, $B \in \delta B$. (non necess. permanentemente) TENSIONE DI CAUCHY (esistono finiti i limiti) $t_u(x) = \lim_{\Delta A_u\to 0} \frac{\Delta F_u}{\Delta A_u} \qquad e \qquad \lim_{\Delta A_u\to 0} \frac{\Delta F_u}{\Delta A_u} = \frac{dF}{dA_u}$ per il PRINCIPIO DI AZIONE & REAZIONE VETTORE TENSIONE NORMALE $\sigma_u = t_u \cdot u=\sigma_{uu}$ VETTORE TENSIONE TANGENZIALE $T_u = t_u – \sigma_{uu}$ COMPONENTI SPECIALI DI TENSIONE COMPONENTI DI TENSIONE SUI TRE PIANI COORDINATI (normali e tangenziali) TEOREMA DI CAUCHY CONSIDERANDO UN PUNTO $x$ ALL'INTERNO DEL SOLIDO, IL VETTORE DI TENSIONE $t_n(x)$ AGENTE SULLA GIACITURA DL NORMALE N È COMBINAZIONE LINEARE DEI VETTORI TENSIONE $t_1(x), t_2(x), t_3(x)$ AGENTI SU 3 GIACITURE ORTOGONALI DI VERSORI NORMALI $e_1,e_2,e_3 $. I COEFFICIENTI DELLA COMBINAZIONE LINEARE SONO I COSENT DIRETTORI DI $u_1, u_2, u_3$ $t_u(x) = t_1(x)u_1 + t_2(x)u_2 + t_3 (x)u_3 = \sum_{i=1}^{3} t_i(x)u_i$ →dimostrazione TETRAEDRO INFINITESIMO EQUILIBRIO SULLA MASSA $x$ $R_i = t_{iu} \Delta u - \sigma_{11} e_1 \Delta A_1 - \sigma_{12} e_2 \Delta A_2 - \sigma_{13} e_3 \Delta A_3 + b_i \Delta V = 0$ $\frac{\Delta A_u}{\Delta U}= > 0$ → $t_{1u}-\sigma_{11}u_1-\sigma_{12}u_2-\sigma_{13}u_3=0$ $t_{2q}=\sigma_{21}u_1 +\sigma_{22}u_2 +\sigma_{23}u_3$ IN UNO STATO DI PURA TENSIONE TANGENZIALE VI SOLO TRAZIONE O COMPRESSIONE SUI PIANI ± 45° EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO È NECESSARIA LA LORO SODDISFAZIONE PER L'EQUILIBRIO DEL CORPO DEFORMABILE dimostrazione EQUILIBRIO DI UN PARALLELEPIPEDO INFINITESIMO $dx_1, dx_2, dx_3, f_0$ $r_i = (\sigma_{11}+\frac{\partial\sigma_{11}} {\partial x_1} dx_1)dx_2 dx_3 + (\sigma_{12} + \frac{\partial\sigma_{12}}{\partial x_2} dx_2)dx_1 dx_3 + (\sigma_{13}+\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_3}dx_3)dx_1 dx_2 – \\ - \sigma_{11} dx_2 dx_3 – \sigma_{12} dx_1 dx_3 – \sigma_{13} dx_1 dx_2 + b_1dx_1 dx_2 dx_3 = m_i$ => $r_1=0 => \frac{\partial \sigma_{11}} {\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{12}} {\partial x_2} + \frac{\partial \sigma_{13}}{\partial x_3} + b_1= 0$ $(\sigma_{32}dx_1 dx_3)dx_2 - (\sigma_{23}dx_1 dx_2)dx_3= 0$ =>$m_i = 0 \qquad \sigma_{32} = \sigma_{23}$ PRINCIPIO DI RECIPROCITÀ DELLE TENSIONI TANGENZIALI COMUNQUE PRESI INTORNO AD UN PUNTO P DUE PIANI ORTOGONALI, LE COMPONENTI DELLE TENSIONI TANGENZIALI AGENTI SECONDO LO SPIGOLO COMUNE SONO UGUALI →3 equazioni indefinite in 6 incognite HP: CORPO SOTTILE, tensioni costanti nello spessore ↓normale →GEOMETRIA SFERA CAVA SOTTILE IN PRESSIONE FORMULA DI MARIOTTE $\qquad \sigma = \frac{PR}{2s}$ SERBATOIO IN PRESSIONE $\sigma_{\theta}=\frac{pR}{2s} \qquad \sigma_{\theta}=\frac{pR}{s} \qquad \sigma_{\theta}=\frac{p}{s}$ IN OGNI PUNTO DEL SOLIDO ESISTONO 3 PIANI SUI QUALI IL VETTORE TENSIONE È NORMALE AL PIANO. ### Page 3 def. PIANO PRINCIPALE DELLA TENSIONE IL PIANO SU CUI AGISCE SOLO TENSIONE NORMALE. def. DIREZIONE PRINCIPALE DELLA TENSIONE DIREZIONE DEL VERSORE NORMALE AL PIANO PRINCIPALE DELLA TENSIONE. def. TENSIONE PRINCIPALE TENSIONE NORMALE CHE AGISCE SUL PIANO PRINCIPALE DELLA TENSIONE. calcolo: $T_u = \sigma _{uu} => (I-\sigma _u I) \hat{\mu} = 0$ $\mu_1^2+\mu_2^2+\mu_3^2=1$ EQUAZIONE CARATTERISTICA $ \sigma_u^3-I_1 \sigma_u^2+I_2\sigma_u-I_3=0$ INVARIANTI DELLA MATRICE DI TENSIONE $ I_1,I_2,I_3$ * Soluzioni → TENSIONI PRINCIPALI STATO TENSIONALE : MONOASSIALE, BIASSIALE, TRASSIALE * procedura analitica * procedura grafica (COSTRUZIONE GRAFICA DI MOHR) DETERMINA STATO DI TENSIONE SU PIANO GENERICO E TENSIONI PRINCIPALI & DIREZIONI PRINCIPALI DELLA TENSIONE SE Trovo → ROTAZIONE DI 90° DELLA Ou USCENTE (POSSIBILE CASI IN CUI È NOTA UNA DIREZIONE PRINCIPALE) DEFORMAZIONE RELAZIONE CHE ASSOCIA AL PUNTO X LA POSIZIONE Y CHE IL PUNTO ASSUME NELLA CONFIGURAZIONE DEFORMATA $Y=f(x)$ ASSOCIA DI CONTINUITA' DELLA DEFORMAZIONE * NON È POSSIBILE LA ROTTURA (BIUNIVOCA') * NON È POSSIBILE LA COMPENETRAZIONE (ie CONTINUA E DIFFERENZIABILE) CAMPO DI SPOSTAMENTO $ \mu(x)=y-x=[f(x)-x]$ hP : SPOSTAMENTI WINITESIMI & PICCOLI GRADIENTI DI SPOSTAMENTO considero due punti P e Q: $\overline{\mu_{(p+d\mu)}}$ $d\mu_1 = \frac{\partial \mu_1}{\partial x_1} dx+\frac{\partial\mu_1}{\partial x_2} dx+\frac{\partial u_1}{\partial x_3} dx_3 $ $ \begin{bmatrix} \frac{\partial \mu_1}{\partial x_1} & \frac{\partial \mu_1}{\partial x_2} & \frac{\partial \mu_1}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \mu_2}{\partial x_1} & \frac{\partial \mu_2}{\partial x_2} & \frac{\partial \mu_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \mu_3}{\partial x_1} & \frac{\partial \mu_3}{\partial x_2} & \frac{\partial \mu_3}{\partial x_3} \end{bmatrix}$ $\mu = H + W $ $E = \frac12 (H+H^T)$ → PARTE SIMMETRICA → MATRICE DI DEFORMAZIONE $W = \frac12 (H-H^T) $ →PARTE EMISIMETRICA→ MATRICE DI ROTAZIONE EQUAZIONI DI CONGRUENZA $\epsilon_{11} = \frac{\partial\mu_1}{\partial x_1}\qquad\epsilon_{12} = \frac12(\frac{\partial \mu_1}{\partial x_2} + \frac{\partial \mu_2}{\partial x_1} + \dots$ LA DEFORMAZIONE PURA È RAPPRESENTATA SOLO DALLA MATRICE E $ \epsilon_{11} ->$ allungamenti (componenti di deformazione) $ \epsilon_{12} ->$ rotazioni lineari\_\_$\\$ ey→ scorrimenti angolari (sfere orlogonali) dimostrazione (interpetazione meccanica delle componenti di deformazione 2 FIBRE ORTOGONALI hP: Piccoli SPOSTAMENTI, ROTAZIONI, DEFORMAZIONI allungamento assiale $ \epsilon{11}=\frac{dl_1-dx_1}{dx_1} = \frac{\partial \mu_1}{ \partial x_1}$ scorrimento angolare $\gamma _{12}= -\frac{\partial \alpha_2}{ \partial x_1}= \frac{\partial \mu_1}{ \partial x_2} + \frac{\partial \mu_2}{\partial x_1}$ ### Page 4 $E_{12}=\frac{\gamma_{12}}2 =\frac12 (\frac{\partial \mu_1}{\partial x_2} + \frac{\partial \mu_2}{\partial x_1}$ LE COMPONENTI FUORI DIAGONALE RAPPRESENTANO LA METÀ DEGLI SCORRIMENTI ANGOLARI DILATAZIONE VOLUMETRICA $C= \frac{V_0 – V}{V_0} = e_{11} + e_{22} +e_{33} \qquad V= (1+c) V_0$ $dx_1 \cdot d\epsilon_1 = (1+ \epsilon{11}) dx_1$ IN OGNI PUNTO DEL SOLIDO È POSSIBILE TROVARE 3 FIBRE ORTOGONALI CHE NON SUBISCONO SCORRINCENTI ANGOLARI (sseo allungamenti lineari) def. DIREZIONI PRINCIPALI DELLA DEFORMAZIONE DIREZIONI DELLE FIBRE CHE SUBISCONO SOLO ALLUNGA MENTI LINEARI def. DEFORMAZIONI PRINCIPALI ALLUNGA MENTI LINEARI DELLE FIBRE DISPOSTE SECONDO LE DIREZIONI PRINCIPALI DELLA DEFORMAZIONE $\mu_a= \mu_p+E_dx+W_dx$ condidero SOLO DEFORMAZIONE pura $\mu_{\alpha} = Edx \\ e una FIGURA di lunghezza unitaria μ= Eu=Eμ \\ 0 = (E-EI) μ=0 con $\mu_1^2 + \mu_2^2 + \mu_3^2 = 1$ ↓ EQUAZIONE CARATTERISTICA E INVARIANTI (lenzione) STATO DI DEFORMAZIONE PROCEDURA ANALITICA E EFFEC CONSTULTBRE GRAFICA DI MOHR PROVA UNIASSIALE $ A<A_0 e_x > e_0 $ 𝜎 𝜎= E 𝐴0 densione normale ε = ex − e deformamzione assiale e0 E= tgα (jose elastica) MODULO DI ELASTICITA' (young) OY FASE ELASTICA \\ OP CAMPO ELASTICO LINEARE \\ PY CAMPO ELASTICO NON LINEARE(P limite di proporzionalità) \\ YS snervamento (yieldning) \\ YM fase PLASTICA SM incrudimento HR strizione 6s Gy σp DIMLU : ammetrico, auetiamalo pranucsto FRAGLU : και 2'mudrico, no smeruanato, zo altraimprovvia LEGAME COSTITUTIVO RELAZIONE FUNZIONALE CHE VEGA TENSIONI E DEFOPOLAZIONI σij=fij (Eik, der;t;CRELASTiche HP COMPORTAMENTO TEMPO-NDIPENDENTE Dij=fij (Eik,CRELASTiche) HP: COMPORTAMENTO ELASTICO UMEARE Dij WIFARE 0= Cɛ CATRICE DELLE COSTANTI ELASTICHE ↓ CIjck SEI EQUAZIONI COSTITUTIVE σ = C ε +C ε +C ε +C ε + C ε 11 11 1122 22 1133 33 1112 12 1113 13 +C E 1123 23 M HP COMPORTAMENTO IPERELASTICO LA DEFORMAZIONE NON DIPENDE DAL PROCESSO DEFORMATINO(14DAR VALORE ACQUALE DELLA DEFORMAZIONE DENSITA' DEFORMAZIONE (Elasticelasticelastic)(Elastic)(Elastic)(Elastic) elastice DI DEFOMAHONE δ Bij = δ σij δeik ### Page 5 $ \varepsilon=1$ funzione quadratica di \varepsilon $ \varepsilon=\Sigma \frac{1}{2} \epsilon^{T} \sigma_i E^{\prime 2}$ differenziabile: $\frac{δ^2 \varepsilon }{δ \varepsilon_i δ \epsilon_k} = \frac{δ \sigma_ij}{δE}= c_{yell}$ tensore Hessiano ⇒ $CI_{Yells}= CA_{Ni,y}$ => simmetria maggiore delle costanti elastiche 21 costati elastiche indipendenti ( da262626 ) MATERIALE QRTOTROP MPORTAMENTO SIMPETRIO RISPETTO 43 ASSI ERTADONALE. CONI. 9 costatu elarstiche indiperuderti: $$ \varepsilon = \begin{pmatrix} c_{111} & c_{112} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\ c_{112} & c_{222} & c_{233} & 0 & 0 & 0 \\ c_{11} & c_{23} & c_{3333} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{1212} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{1313} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{233} \\ \end{pmatrix} $$ MATERIALE ISOTROPICO COMPORTAMENTO SIMMETRICO RISPETTO A QUALUNQUE ASSE3 COSTANTI ELASTICHE ,Z INDIPENDENTI C1111 = ( ( €2= {1122 = c122= ) ) ) $$ \varepsilon = \begin{pmatrix} c_{111} & e_{122} & e_{1n} & 0 & 0 & 0 \\ e_{12}& c_{111} & e_{122} & 0 & 0 & 0 \\ e_{12}& c_{122} & c_{1n} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{1212} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{1212} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{1212}\\ \end{pmatrix} $$ -Le constanti elastishe some oeterminata -Le coslanti elastishe cou prova oti traziotre e olt torsibre Prova alt Trazione: -statp manoassiale alti tersiourie: -diltazone longiturunale: $\sigma_1 \frac{E}{Ao}$ $$\varepsilon_{i1 = } E_{\perp}- \frac{2 \Omega_{0}}{20}c_{0}$$ Contra zione trasversale : Legge oti Hooke $$ e_{21 = } \frac{ \sigma_{22}}{ \varepsilon}$$ Corfficiente oli poisson : (alti contrazione trasvesale ) $\mu = \frac{ - E}{ E_{a}}$ Euazoni oth legame elastic elasticotico isoltopice : $$ \varepsilon_{a} = = \frac{ E} _{ \varepsilon_{11}}$$ * Trova oli trostorie : $$ \gamma_{ i1} = 2$$772 Mooul alti elaoticitta' tamgertziaie : $$\zeta = = \frac{ E_{2} }{12}$$ Euazoni ol legame elastice isoltopico : $$e_{12}= = \frac{\gamma_{12}}{ 26}$$ Essendo G > O V > -1 e limiti fisiei, alle costaru elastiche - ript L' allsialta Olelle oltrezion prinipa le peri mateale isolltopi. Il prolema dell' ol ellinilibrio elastico olletelumina : - le comporrenti oliella terisone le Ollformazioni -eieollespstameento m (x) - Peir un coutinuo ofi eatiy elarstlco line arre isotlopo Le eqwazori liniari in le coguite Metool Olli risolurione * Met: -Ollette tersiouri * Met: -deglii spostameert La soluzorie aralitic al nota solv in casi particolaii il trolblema viene risolto numierica meente heri casi generiei cout il: Met: - deglii elernerti fimiti - ### Page 6 STATICA : HP. Dl' EULERO - BERNOULU PER DETERMINARE LE COS E GLI SPOSTAMENTI DELLA LEA D'ASSE MA PER DETERMINARE SPOSTAMENTI, TENSIONI, DEFORMAZIONI IN TUTTI I PUNTI BISOGNA CONSIDERARE UN GÈ SOUSO Df SAINT - VENANT souso di SAINT - VENANT * GEOMETRIA: PRISMATICO AD ASSE RETIIUNEO, "BASTe" "MANTENO", ZEASOF BARICENTRICO, XY ATSI PRINCIPALI D'INZETA, SHELLO * MATERNALE: ELASTICO, OTOGENED WLARE, WOTROBO * FORZE: SOLO SULE BASI * VINCOLI: UBERO POSTULATO DI SAINT-VENANT (principio di equlvalenta statica AD UNA CERTA DISTANZA AVUE BASE, BART ALL DIMENSIONE CARATTERISTICA DELIA SEZIONE TRASVERSALE, LO STATO TENSIONALLE NON DIPENDE DALL DENSTRIBUTION DELWE FORZE I SULLE BASI, MA SOLO DAL LORO RLSULTANTE E DAL MOMENT RISUTANTF ! PER SEZIONI COMPATTE E APERTE SOMU! LE EQUAZIONI DEL PROBLEMA STATICO SONO DI DUFFICILE SOLUZLOLE QUINDI SI IPOTIZZA LA SOLUZIONE JU BASE WUTUTIVA PER VERIFICARE DOPO IE FRUATLONI DEL PROBLEMA STATICO (METODO SEM WIERDO) LA SOLURALE PUO ESSERE ESALIA O APPROSSUMATA U'IPOTESI SULLA SOLUZLOLE & APPLICATA AD UNA FULBRA LONGITUDINAVE /// VE FACCE DI NORMALE USCENTE LONCORDE CON + HANNO CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZLOLE ROSITIVE EQUIVALENTA STATICA LE RHSULTANTDELLE ALOW INTERUL TENGUONI, SU CIASCUNA SEZLONE TRASVERSARE Sono EQUIVALENTI AULE CARATTERISTICHE DT SOLECITAZLOVE AGENTI SU QUELLA DERLOLE $$ Nu = /_{\partial A}$$ Mz $T_{\times=/Ax}4 dA ; T_{y=/Axy}4 dA$$ = $$M_\bot $Nu=/_{\partial A}o/_{\partial A_x}4 dA //_{\partial A_x}4 4=o$$ MOMENTI PRINCIPALI O'INERUA JONO I MOMEN1I MASSUMO E MONTNTO RISPETTOA QUALUNQUE ASSE BARTCENTRICD ASJE OL SOUMETRISA = ASJE PRINCIPALE O'INERETA SEZ. QUADRATA & CIRCOLARE QUALUNQUE ASSE BARICENTRICO E PRWCIPALE O 'WERE A FORZA NORMALE E MOMENTI FLETIENTI: PRESSO / TENSO FLESSWONE DEWATA É POSSIBILE DIMDSTRARE CHE AGUSCE SOLO TENSLONE NORISIE per HP : IZZ = art Ox +C IMPOVLIAMO U'EQUIVALENTIA STATICA Nu4= 64=art Ox Ct n =/(a-kxc+1,c) DA 7 $$ N = = /(2*67/2) =24$$ #6 $$ u = =/(alctucal) 41 7= 2$$ PER l'OSE loticeubaico u = +0 1021 C $$N=/ 1A= 24$$ (4. 1. (20-S) 4=-26-4 $$U=U+U $$ FUESSIONE DEVATA : DE IC LETTORE OLV MOMENTO MON E MARALELO AM OSE MRUUPALE ANOM A 7-284 4= [t+e]] $$4=/ 441 / 4 $$ ### Page 7 PIANO DI SOLECITAZIONE /PERPENDICOLARE AD MU CONTIENE LE AZUONI ESTERNE- ASSE DI SOLECITAZIONE TRACCIA DEL PIANO DA SOUECITA ZIONE SULLA GEZIONE CENTRIO DI SOLECITAZIOME * EQUIVALENTE AD UNA FORZA DU NORMALE IN NON-BARICENTIUOA, SI ECCENTRI DA MU D' AAPPARTIENE All' aSFE de JOLLECITAD $$X == -$$ $$4 ==$$ <48e ne ASSF MEvmo luocO DEI PUNtI del JFEZIONE DOvE & AMull UA TENflOve hORMALE MUY 4=- /M 14X4 MU 1MX IU MMMX /464e 4ffe MENTRO t6d 6= /4de 23441 IN GENERAVE 0 =0 Y: M*y =0= 1440Yd== de S=0 /A7z meuno mASSA per. 12ARICENTRO /4 tenjiove à Usuale 4 tuke ke filere || A/ /A7z MEUTRO telomA affosfi mata DEL Taglo 00 S4 124je destra tu de /4144= tu #E9 120 effetti de MU M= 7M34 fide le /enjiohe vormahu fidero fite el de le denfioni de =tade. 110 ef 7) MU 1 Mp 364. de "" MU -U de N&RIS /41214nte delle du 4 JX 0 =de . . le de le de Q- de 4ffasfumata 3 ### Page 8

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