Scienze delle costruzioni (PDF)

Scienze delle costruzioni (I modulo) Emanuele De Biaso 6 agosto 2023 Indice 1 ANALISI DELLE TENSIONI 4 1.1 Sistema di forze............................ 4 1.1.1 Tipi di forze...............

Scienze delle costruzioni (I modulo) Emanuele De Biaso 6 agosto 2023 Indice 1 ANALISI DELLE TENSIONI 4 1.1 Sistema di forze............................ 4 1.1.1 Tipi di forze.......................... 4 1.2 Concetto di tensione......................... 4 1.2.1 Postulato di Eulero...................... 5 1.2.2 Postulato di Cauchy..................... 5 1.2.3 Tensione tangenziale e tensione normale.......... 6 1.3 Equilibrio dei corpi deformabili................... 6 1.3.1 Assiomi di Eulero....................... 6 1.3.2 Teorema di Piola....................... 8 1.3.3 Teorema di Cauchy...................... 9 1.4 Analisi dello stato di tensione.................... 12 1.4.1 Direzioni principali...................... 12 1.4.2 Stati di tensione di base................... 13 1.5 Cerchio di Mohr........................... 14 1.5.1 Costruzione del cerchio di Mohr.............. 14 1.5.2 Caratteristiche del cerchio di Mohr............. 15 1.5.3 Applicazioni del cerchio di Mohr.............. 16 2 ANALISI DELLE DEFORMAZIONI 18 2.1 Generalità e definizioni........................ 18 2.1.1 Assiomi di continuità..................... 19 2.1.2 Spostamento......................... 22 2.2 Parametri di misura della deformazione.............. 24 2.2.1 Coefficiente di dilatazione lineare.............. 24 2.2.2 Coefficiente di scorrimento mutuo............. 25 2.2.3 Coefficiente di dilatazione superficiale........... 26 2.2.4 Coefficiente di dilatazione volumica............. 27 2.3 Deformazioni infinitesime...................... 27 2.3.1 Passi per linearizzare la trattazione di un deformazione. 28 2.3.2 Tensore di deformazioni infinitesimo............ 28 2.4 Casi notevoli di deformazione.................... 30 2.4.1 Estensione semplice..................... 30 2.4.2 Dilatazione uniforme..................... 31 2.4.3 Scorrimento semplice..................... 32 2.5 Deformazione pura e deformazione rigida............. 32 2.6 Compatibilità delle deformazioni.................. 33 2.7 Lavoro. Relazioni generali...................... 34 1  2.7.1 Definizioni........................... 34 2.7.2 Lemma fondamentale.................... 34 2.7.3 Teorema dei lavori virtuali.................. 35 3 IL SOLIDO ELASTICO 37 3.1 Relazioni costitutive......................... 37 3.2 Relazioni sforzo-deformazioni.................... 37 3.3 Corpi linearmente elastici...................... 38 3.4 Energia di deformazione e l’iperelasticità.............. 39 4 ISOTROPIA ELASTICA 42 4.1 Simmetria materiale......................... 42 4.2 Classificazione dei materiali..................... 43 4.2.1 Materiale triclino....................... 44 4.2.2 Materiale monoclino..................... 44 4.2.3 Materiale ortotropo..................... 44 4.2.4 Materiale trasversalmente isotropo............. 45 4.2.5 Materiale isotropo...................... 45 4.3 Problema elastico in teoria lineare................. 46 4.3.1 Risoluzione del problema.................. 46 4.3.2 Proprità generali della soluzione del problema elastico.. 47 4.4 Teorema di Lamè........................... 49 4.5 Moduli tecnici............................. 51 4.6 Energia specifica di deformazione.................. 54 4.6.1 Energia di deformazione riferita alle costanti di Lamè.. 54 4.6.2 Energia di deformazione riferita ai moduli tecnici..... 56 4.7 Restrizioni di plausibilità fisica per una materiale linearmente isotropo................................ 56 5 PROBLEMA DI SAINT-VENANT 59 5.1 Metodo risolutivo di Saint-Venant (metodo semi-inverso)..... 61 5.1.1 Postulato di Saint-Venant.................. 62 5.2 Formulazione del problema di Saint-Venant indebolito...... 63 5.2.1 Sforzo normale........................ 66 5.2.2 Flessione semplice...................... 68 5.2.3 Flessione semplice deviata.................. 74 5.2.4 Sforzo normale eccentrico.................. 78 5.2.5 Torsione per una sezione circolare............. 80 5.2.6 Torsione per una generica sezione: funzione d’ingobbamento 83 5.2.7 Torsione per una generica sezione: funzione degli sforzi.. 85 5.2.8 Soluzioni esatte del problema della torsione........ 87 5.3 Flessione composta.......................... 93 6 RESISTENZA DEI MATERIALI 98 6.1 Comportamento meccanico dei materiali.............. 98 6.1.1 Prove sperimentali...................... 98 6.1.2 Macchine di prova...................... 99 6.1.3 Osservazioni sperimentali sulla resistenza......... 101 6.1.4 I materiali compositi..................... 104 6.1.5 La resistenza dei materiali compositi............ 106 2 6.2 Criteri di resistenza.......................... 107 6.2.1 Criterio di Galileo-Rankine................. 109 6.2.2 Criterio di Tresca....................... 109 6.2.3 Criterio di Grashorf o di Saint-Venant........... 110 6.2.4 Criterio di Beltrami..................... 111 6.2.5 Criterio di von Mises..................... 112 3 Capitolo 1 ANALISI DELLE TENSIONI 1.1 Sistema di forze Il nostro compito da ingegnere è quello di studiare le strutture sottoposte a dei cariche (delle forze), studiando: gli spostamenti, le deformazione e le tensioni dovute alle forze che agiscono sulla struttura. 1.1.1 Tipi di forze Se supponiamo di prendere in esame un qualsiasi corpo B che si trova nello spazio, su di esso verranno esercitate delle forze: forze di volume: forze esercitate dall’esterno sul corpo B, ad esempio la gravità forze di superficie esterna: forze esercitate sulla frontiera del corpo B. Ad esempio la forza che applichiamo per spostare un oggetto. forze di superficie interna: forze costituite dall’iterazione tra le parti che costituiscono il corpo Dire che su un corpo agiscono delle forze di volume e di superficie, significa assegnare un campo di forze che agisce sul corpo nel generico punto x. Per cui possiamo definire il campo in termini di densità. E avremo, quindi, densità di volume:   ⃗b = ⃗b(x) F L3 E la densità di superficie esterna:   F ⃗s = ⃗s(x) 2 L 1.2 Concetto di tensione Le forze che si generano tra le iterazione delle parti che costituisco un corpo, prendono il nome di tensioni. Il concetto di tensione venne introdotto da Cauchy sugli studi basi sulle ipotesi di Eulero. 4 1.2.1 Postulato di Eulero Postulato 1 Supponiamo di avere un corpo B su cui agiscono delle forze di volume ⃗b e di superficie esterna ⃗s, e si consideri un piano π, passante per il punto x, che divide il corpo in due parti B + e B −. L’azione che viene esercitata da B + su B − attraverso un sezione ∆A contente x appartenente al piano π, si suppone equivalente ad un campo di forze interne definito su ∆A. Possiamo definire con R(A), e con M (A) la risultante delle forze e dei momenti che agiscono sulla sezione A. 1.2.2 Postulato di Cauchy Consideriamo un corpo B, su cui agiscono forze di volume ⃗b e forze di superficie esterne ⃗s. Prendiamo un piano π con la normale uscente n̂, passante per il punto x, che divide il corpo in due parti B + e B −. Se accettiamo il postulato di Eulero avremo che sull’area ∆A, agiscono forze e momenti risultanti R(A) ⃗ e M (A). Per cui possiamo scrivere i seguenti rapporti: ⃗ ⃗ R(A) ∆A M⃗ (A) ∆A Se facciamo tendere la sezione A a 0, avremo: R(A) ⃗ lim = = tn (x) ∆A→0 ∆A M (A) lim = =0 ∆A→0 ∆A 5  Cauchy osservò che riducendo la dimensione della sezione, esistono delle forze di iterazione tra le componenti del corpo. A queste forze si dà il nome di tensioni ⃗tn (x) di x relative al piano di normale n̂. 1.2.3 Tensione tangenziale e tensione normale Abbiamo detto, che il vettore tensione ⃗tn (x) dipenderà dalla normale del piano n̂ e dalla posizione del punto x preso in considerazione. Quindi, se fissiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali preso come sistema di riferimento, possiamo scomporre ⃗tn (x). Poiché il vettore tensione è sempre inclinato rispetto alla normale possiamo identificare: ⃗σn = ⃗tn · n̂ Cioè la componente del vettore tensione parallela alla normale del piano, e prende il nome di tensione normale. Inoltre possiamo definire un’altra com- ponente tangenziale alla normale, che prende il nome di tensione tangenziale: ⃗τn = ⃗tn − ⃗σn n̂ Abbiamo detto che le tensioni sono quelle che la porzione del corpo B + esercita su B −. Per cui se componente normale della tensione σn è positiva, cioè ha verso concorde con la normale, avremo una trazione (le due parti tendono ad allontanarli). Mentre se σn è negativa, cioè il verso della componente è discorde con quella della normale, avremo una compressione delle due parti. 1.3 Equilibrio dei corpi deformabili 1.3.1 Assiomi di Eulero Supponiamo di avere un corpo B soggetto all’azione di un sistema di forze S = {⃗b; ŝ; ⃗tn } dove: ⃗b: rappresentano le forze di volume, che vengono applicate su tutto il corpo ŝ: rappresentano le forze di superficie, che vengano applicate sulla frontiera del corpo ⃗tn : rappresentano le tensioni che si creano tra le parti che costituiscono il corpo. 6 Se prendiamo in considerazione una parte P del corpo B, possiamo definire al risultate e il momento di forze che agiscono su quella determinata parte: ZZZ ZZ ⃗r(P ) := ⃗b(⃗x)dV + ⃗tn̂ (⃗x)dA P δP ZZZ ZZ m(P ⃗ ) := ⃗ ∧ ⃗b]dV + [(⃗x − O) ⃗ ∧ ⃗tn̂ ]dA [(⃗x − O) P δP Dove x ∈ B e O è un polo esterno al corpo. Gli assiomi di Eulero affermano che un sistema di forze S è equilibrato se e solo se: ( ⃗r(P ) = 0 m(P ⃗ )=0 Dove P deve essere P ⊆ B. Se il sistema di forze è equilibrato, anche il corpo sarà equilibrato Lemma di Cauchy Dall’equazioni di equilibrio di Eulero, possiamo fare due dimostrazioni: Se io invece di tenere conto di una sola parte del corpo prenderei in con- siderazione l’intero corpo, dovrei considerare anche le forze di superficie che agiscono sul contorno del corpo. E quindi valgono l’ equazioni della statica di un corpo rigido. Se valgono gli assiomi di Eulero, allora vale anche il lemma di Cauchy: ⃗tn̂ = −⃗t−n ˆ Per capire il lemma di Cauchy, lo dimostriamo: supponiamo di avere un corpo dove agisce il solito sistema di forze che è in equilibrio, quindi valgono gli assiomi di Eulero. Inoltre abbiamo un piano di normale n̂ che divide il corpo B in B + e B−. 7 Allora avremo che la risultante delle forze che agiscono sulle due parti sarà: ZZZ ZZ Z ⃗r(B + ) = ⃗b + ŝ + ⃗t−n̂ = 0 B+ δB + A ZZZ ZZ Z ⃗r(B − ) = ⃗b + ŝ + ⃗tn̂ = 0 B− δB − A Quindi se sommo le due relazioni sopra trovo la risultante delle forze che agiscono sull’intero corpo: ZZZ ZZ Z ZZZ ZZ Z + − ⃗r(B) = ⃗r(B )+⃗r(B ) = ⃗ b+ ⃗ ŝ+ t−n̂ + ⃗b+ ŝ+ ⃗tn̂ = 0 B+ δB + A B− δB − A Ma se consideriamo l’intero corpo, allora valgono le equazioni della statica del corpo rigido: ZZZ ZZ ⃗b + ŝ = 0 B δB Allora queste quantità le possiamo elidere nella dimostrazione del lemma: ZZZ  ZZ  Z ZZZ  ZZ  Z  ⃗b +  ŝ + ⃗t−n̂ +  ⃗b +  ŝ + ⃗tn̂ = 0 B + δB + A B − δB − A     E rimarrà solo: Z Z ⃗t−n̂ + ⃗tn̂ = 0 7−→ ⃗t−n̂ + ⃗tn̂ = 0 7−→ ⃗tn̂ = −⃗t−n̂ A A 1.3.2 Teorema di Piola Il teorema di Piola permette, sulla base degli assiomi di Eulero, di definire l’equilibrio di un corpo. Definizione 1 Dato un sistema di forze S := {⃗b; ŝ; ⃗tn̂ } applicato ad un corpo, il sitema si dice bilanciato/equilibrio se e solo se la potenza spesa su un generico punto P del corpo, con riferimento ad uno spostamento rigido infinitesimo, è zero: P⃗ (P )[⃗uri ] = 0 8 La potenza per definizione vale: Z Z P⃗ (P )[⃗uri ] := ⃗b · ⃗uri + ⃗tn̂ · ⃗uri P P Possiamo osservare che è una forza per uno spostamento, quindi un lavoro. Ma nel 1833 quando venne formulato questo teorema per lavoro si intendeva la potenza. Dimostrazione Sappiamo che uno spostamento rigido vale: ⃗uri = ⃗uO + ω ⃗ ⃗ ∧ (⃗x − O) Dove O è un polo esterno al corpo ed x ∈ P. Per cui sostituendo questa relazione, alla definizione di potenza otteniamo: Possiamo osservare come P ⃗b+ δP ⃗tn̂ = ⃗r(P ) e P ⃗b∧(x−O)+ δP ⃗tn̂ ∧(x−O) = R R R R ⃗ ), dall’assioma di Eulero. Per cui avremo: m(P ⃗uO · ⃗r(P ) + ω ⃗ · m(P ⃗ )=0 1.3.3 Teorema di Cauchy Supponiamo di avere un corpo B su cui agisce un sistema di forze S := {⃗b; ŝ; ⃗tn̂ }. Per il teorema di Cauchy, un sistema è in equilibrio (e quindi anche il corpo) quando valgono gli assiomi di Eulero e questo implica che: esiste un tensore degli sforzi (secondo ordine) tale che ⃗tn̂ (X) = T ·n̂ ∀X ∈ B div(T (X)) + ⃗b(X) = ⃗0 ∀X ∈ Ḃ dove Ḃ rappresenta la parte interna del corpo. T = TT ∀X ∈ B Se vale T = T T significa che il tensore è simmetrico, cioè cambiando l’ordine degli indici la matrice rimane la stessa. Dimostriamo il primo punto Supponiamo di avere un corpo B e di estrarre da questo corpo un parte a forma di tetraedro (tetraedro di Cauchy): 9 Chiamiamo: A la faccia obliqua di normale n̂ di aria dA Ai le altre facce che hanno la normale nelle direzione dei versori −êi. Allora possiamo scrivere che: Ai = An̂ · êi ←→ A1 = A ni i Abbiamo detto che per il teorema di Cauchy, valgono gli assiomi di Eulero. Allora la risultante delle forze che vengono applicate sul tetraedro infinitesimo del corpo B vale: ZZ 3 ZZ X ZZ ⃗r(P ) = R(A) + R(Ai ) + ⃗b = 0 A i=1 Ai A Ma se facciamo tendere a zero la sezione dA, quindi da studiare un superficie passiamo ad un punto, otteniamo: ZZ 3 ZZ ZZZ R(A) X R(Ai ) 1 ⃗b = 0 lim + · n̂i + ∆A A A i=1 Ai A−i A dA La quantità A1 ⃗b = 0 la posso eliminare perché il limite di un volume RRR dA (triplo) tende pi velocemente (secondo una legge x3 ) e quindi un valore appros- simabile. Inoltre possiamo osservare dalla definizione di tensione che: ZZ R(A) ⃗ lim = tn̂ ∆A A A 3 ZZ 3 X R(Ai ) X lim · n̂i = (⃗t−êi ) · n̂i ∆A i=1 Ai A−i i=1 Per cui avremo: 3 X 3 X ⃗tn̂ + (⃗t−êi ) · n̂i = 0 7−→ ⃗tn̂ = (⃗t−êi ) · n̂i i=1 i=1 10  P3 Osservo come i=1 (⃗t−êi )· n̂i rappresenti le tensioni lungo le 3 direzioni, che ven- gono esercitate sulle 3 superficie di normale n̂(n̂1 ; n̂2 ; n̂3 ). Per cui rappresenta proprio il tensore T : ⃗tn̂ = T · n̂ Dimostriamo il secondo punto Dall’assioma di Eulero sappiamo che: ⃗r(P ) = 0 ∀P ⊆ B Se applichiamo la definizione di risultante avremo: Z Z ⃗b + ⃗tn̂ = 0 P δP Dal primo punto del teorema di Cauchy sappiamo che ⃗tn̂ = Tn̂ , allora: Z Z ⃗b + Tn̂ = 0 P δP Se la frontiera della porzione del corpo δP R è regolare, possiamo applicare il teorema della divergenza ( V div(A)dV = S A · n̂dS) e otteniamo: R Z Z Z ⃗bdV + div(T )dV = 0 7−→ div(T ) + ⃗bdV = 0 P P P Dimostriamo il terzo punto Per dimostrare questo punto, dobbiamo ricordare che: il prodotto tra due tensori, uno simmetrico e l’antro antisimmetrico è nullo: A · W = 0 ∀A ∈ Sym ∀W ∈ Skw div(T T · ⃗u) = div(T ) · ⃗u + ∇⃗u · T ∇⃗urig = W ∈ Skw Teorema di Piola A questo punto, supponiamo di calcolare le tensioni interne sulla frontiera della porzione δP : ZZ ⃗tn̂ · ⃗u = 0 δP Dal primo punto del teorema di Cauchy sappiamo: ZZ ZZ ZZ ⃗tn̂ · ⃗u = Tn̂ · ⃗u = (T T · ⃗u) · n̂ δP δP δP L’ultimo passaggio è stato fatto per una regolare: Ta · b = T T · b · a. Se la frontiera è regolare, possiamo scrivere: ZZ Z = Tn̂ · ⃗u = div(T T ⃗u)dV δP P 11 Abbiamo definito prima div(T T · ⃗u) = div(T ) · ⃗u + ∇⃗u · T. Allora: Z Z div(T ) · ⃗u + T · ∇⃗u P P A R questo punto sappiamo dal secondo R punto del teorema R di Cauchy, la quantità div(T ) · ⃗ u la posso scrivere come div(T ) · ⃗ u = − ⃗b · ⃗u. Per cui avremo: P P P Z Z Z Z Z Z ⃗tn̂ · ⃗u = − ⃗b · ⃗u + T · ∇⃗u 7−→ ⃗tn̂ · ⃗u + ⃗b · ⃗u = T · ∇⃗u δP P P δP P P Poiché avremo a che fare sempre con spostamenti infinitesimi, allora : ⃗u = ⃗uri. ⃗ Allora dall’assioma di Eulero sappiamo δP ⃗tn̂ · ⃗u + P b · ⃗u = ⃗r(P ) = 0. R R A questo punto, ci rimane: Z T · ∇⃗u = 0 P Ma poiché parleremo sempre di spostamenti infinitesimi, allora ⃗u = ⃗urig. Dalle cose ricordate sopra abbiamo che ∇⃗urig = W ∈ Skw. Allora: Z Z rig T · ∇⃗u = 0 7−→ T ·W =0 P P Abbiamo detto che se vale T = T T , il tensore T è simmetrico. Allora: Z T · W = 0 7−→ T · W = 0 T ∈ Sym P 1.4 Analisi dello stato di tensione 1.4.1 Direzioni principali Supponiamo di prendere un porzione di corpo a forma di cubo e di avere su questo cubo solo le tensioni normali alle facce: Nel caso in cui le direzioni principali del tensore sono allineate con il sistema di riferimento, possiamo scrivere il tensore come: 12 Questo tensore descrive solo le tensioni nella direzione normale alle superfici del cubo. Nel caso in cui queste componenti sono positive (cioè concordi con il sistema) avremo una trazione, se sono negative (cioè discordi con il sistema) avremo una compressione. Se le direzioni principali, cioè le tensioni normali, non sono allineati con il siste- ma di riferimento avremo che il tensore sarà caratterizzato anche dalle tensioni tangenziali 1.4.2 Stati di tensione di base Stato di compressione o trazione uniforme Quando le tensioni nelle direzioni principali assumono tutte lo stesso valore σ1 = σ2 = σ3 = p, avremo che lo stato di tensione per il corpo sarà uguale in tutte le direzione. Ovvero: σ = pI Che in forma matriciale lo possiamo esprimere come: Ovviamente se le componenti sono negative avremo una compressione, mentre se positive un stato di trazione in tutte le direzione Stato di trazione o compressione pura Quando siamo in presenza di una tensione principale agisce solo lungo una direzione si parlerà di stato di trazione o compressione pura: σ1 = σ; σ2 = 0; σ3 = 0 13 In forma matriciale avremo: Stato di taglio (o scorrimento) puro Si parlerà di stato di taglio o scorrimento puro quando le uniche componenti non nulle del tensore delle tensioni sono σ21 = σ12 = τ : 1.5 Cerchio di Mohr Il cerchio di Mohr permette di rappresentare graficamente le tensioni interni agenti in un punto di un corpo. 1.5.1 Costruzione del cerchio di Mohr Per definire il cerchio di Mohr, dobbiamo fissare un versore del sistema di rife- rimento ortonormale {O; ê1 ; ê2 ; ê3 } coincidente con una direzione principale di tensione. In tali condizioni la matrice delle tensioni vale: 14 Per cui qualsiasi altro piano parallelo alla direzione principale è descritto da: un versore n̂(n1 ; n2 ; 0) appartenete al piano (x1 ; x2 ) (di versori {ê1 ; ê2 })) e ottenuto facendolo ruotare di un angolo α rispetto alla direzione ê1. Per cui il vettore tensione del piano di normale n̂ sarà dato dal primo punto del teorema di Cauchy:     σ1 τ12 0   σ1 · cos α + τ12 · sin α ⃗tn̂ = T · n̂ = τ21 σ2 0  · cos α = τ21 · cos α + σ2 · sin α sin α 0 0 σ3 0 Tale vettore lo possiamo scomporre in una componente normale, lungo la dire- zione n̂, e una componente tangenziale lungo la direzione v̂:   − sin α v̂ =  cos α  0 Questa direzione v̂ appartiene al piano (x1 ; x2 ) e ruota di un angolo π 2 in senso orario rispetto al versore n̂. Queste due componenti valgono, allora: Se porto a sinistra i termini che non contengo α, elevando alla seconda ambo i membri e sommando si ha: Avremo ottenuto l’equazione di una circonferenza. Il cerchio di Mohr, avrà raggio e centro uguale a: 1.5.2 Caratteristiche del cerchio di Mohr Il cerchio di Mohr, viene rappresentato nel piano di Mohr dove le tensioni normali vengono rappresentati dall’asse orizzontale σ, e le tensioni tangenziali dall’asse verticale τ con valori positivi verso il basso. Dato lo stato di tensione, possiamo identificare: gli stati principali di tensione sull’asse delle ascisse: A = (σ1 ; 0) B = (σ2 ; 0) Il centro della circonferenza rappresenta il punto intermedio tra A e B. 15  polo di rappresentazione dello stato di tensione che si ha nel piano (x1 ; x2 ): P = (σ1 ; −τ12 ) Questo polo sarà coincidente con la retta perpendicolare ad A 1.5.3 Applicazioni del cerchio di Mohr Attraverso il cerchio di Mohr possiamo determinare: Le tensioni principali Una volta identificati i punti che caratterizzato il cerchio, possiamo trovare le tensioni e le direzioni massime: Le tensioni principali sono i punti massimi della circonferenza sull’asse delle tensioni normali. 16 Le tensioni tangenziali Le tensioni tangenziali vengono rappresentate dai punti massimi della circonfe- renza lungo l’asse delle tensioni tangenziali. 17 Capitolo 2 ANALISI DELLE DEFORMAZIONI 2.1 Generalità e definizioni Supponiamo di avere un corpo B che occupa una regione dello spazio eucli- deo in 3 dimensioni. La regione occupata prende il nome di piazzamento di riferimento. Definizione 1 Preso un punto X generico appratente al corpo B, possiamo definire una deformazione una legge che associa ad uno e un solo punto del piazzamento di riferimento, uno e un solo punto della piazzamento attuale. ⃗ = ⃗x f (X) ∀Q ∈ B Poiché ci troviamo in spazio 3 dimensionale, la posizione del punto ⃗x nel riferi- mento attuale, sarà funzione di 3 funzioni scalari: 18 2.1.1 Assiomi di continuità Affinché una deformazione sia reale, cioè osservabile in laboratorio, la legge che descrive la deformazione deve soddisfare 3 requisiti. I 3 requisiti rappresentano gli assiomi di continuità. E sono: 1. f deve essere una legge biettiva: cioè ad ogni punto della configurazione di riferimento, deve essere associato uno ed un solo elemento della confi- gurazione reale. E viceversa. Questa prima condizione si può tradurre come principio di impenetra- bilità della materia 2. Il secondo requisito si divide in altre due condizioni: f deve essere continua, con la sua inversa f −1 continua f deve essere differenziabile Questo secondo requisito si identifica come principio di continuità delle deformazioni 3. Il determinante del gradiente di f deve essere strettamente maggiore di 0: det(grad(f⃗)) > 0 Questo terzo requisito si identifica come principio di permanenza della materia Interpretazione meccanica dei 3 requisiti vediamo come possiamo rappresentare graficamente il soddisfacimento dei 3 requisiti: 1. Abbiamo detto che la legge di deformazione è biunivoca se e solo se ad ogni punto del corpo B, nella configurazione di riferimento, associa uno ed un solo punto della configurazione finale. Vediamo cosa non può accadere. Ad esempio: supponiamo di prendere un corpo e di considerare due punti X1 e X2 , appartenenti alla configurazio- ne di riferimento. Se a questo corpo vengono applicate due forze uguali e opposte, osserviamo che nella configurazione reale (finale) i due punti coincideranno: 19  Questa non è configurazione biettiva; 2. Vediamo i due punti del secondo criterio: Il significato di una funzione continua che ha inversa continua, dal punto di vista grafico, è: presi due punti vicini X e Y della configu- razione di riferimento, nella configurazione reale i due punti devono rimanere sempre vicini. Nello stesso intorno. Se f è derivabile significa che esistono le derivate parziali delle sue componenti lungo le 3 direzioni: δfi i = j = 1, 2, 3 δXj Ottengo cosi 3 derivate parziali per ogni coordinata della funzione. Poiché mi trovo nello spazio, avrò 9 derivate parziali. Se le 9 derivate le mette dentro una matrice, ottengo proprio il tensore gradiente di deformazione: 20  Dal punto di vista reale, il fatto che le derivate parziali devono essere continue, significa che le fibre del materiale non devono cambiare direzione. Cioè deve essere sempre definita la tangente per quella fibra: In correlazione al secondo punto, possiamo scrivere il determinate del gradiente della funzione deformazione, come il determinatale della tensore del gradiente deformazione. Che deve essere strettamente maggiore di zero: det(grad(f )) = det(F) > 0 Il determina del tensore gradiente deformazione rappresenta la va- riazione volumetriche tra la variazione della configurazione reale e quella di riferimento. dv det(F ) = dV Se deve essere strettamente maggiore di zero, significa che deve sod- disfare due condizioni: – det(F ) ̸= 0: il determinante fornisce un valore scalare dell’area che viene occupata, nel caso di trasformazioni 2D, o di volume nel caso di trasformazioni 3D. Se ad esempio ci troviamo in 2D, ed il determinante è nullo, significa che i punti mappati si trovo su una linea (quindi 1D). Se mi trovo in 3D, ed il determinante è nullo, i punti mappati dalla matrice si troveranno su un piano. Per cui se impongo che il determinante del gradiente delle de- formazioni deve essere diverso da 0 significa che l’intorno di un punto nella configurazione di riferimento non può passare da una dimensione ad un altra nella configurazione reale. E viceversa: 21  – det(F ) > 0: supponiamo che il passaggio dalla configurazione di riferimento a quella reale, venga definito da un parametro defi- nito come successione di deformazioni λ. Il valore di lambda può variare da 0 a 1: se λ = 0 ci troviamo nella configurazione di riferimento, se λ = 1 ci troviamo nella configurazione reale. Se λ = 0, ci troviamo nella configurazione di riferimento. Per cui il tensore gradiente di deformazioni è uguale alla matrice identità F = I, poiché non c’è nessuna variazione di deformazioni. Allora det(F) = 1. Per cui osserviamo che il determinate del gradiente delle deformazioni deve essere necessariamente maggiore di 0. 2.1.2 Spostamento Abbiamo fino ad ora definito la deformazione, cioè una funzione che associa un punto della configurazione di riferimento uno un solo punto della configurazione reale (e viceversa). Per cui il punto si che abbiamo preso nel configurazione di riferimento ha cambiato posizione nella configurazione reale. Per definire questo 22 cambiamento, si definisce un campo di spostamento: ⃗ ⃗u(X) = ⃗x − X Il campo spostamento lo possiamo esprimere anche in funzione della legge di deformazione: ⃗ ⃗u(X) = f (⃗x) − f (X) Per cui valgono gli stessi assiomi di continuità che valevano per la deformazione. Per cui possiamo definire un tensore gradiente dello spostamento: Possiamo riscrivere il tensore del gradiente della deformazione come: F=I+H Sia F che H, variano da punto a punto. Per cui se F = cost, non dipende dal tipo di punto scelto e quindi il tensore delle deformazione è detto omogeneo. Questo avviene quando ⃗u = cost 7−→ ∇⃗u(X) = 0 = H Se ⃗u = 0, significa che non avremo spostamenti. Per cui la configurazione di riferimento coinciderà con quella reale: B = f (B) 23 2.2 Parametri di misura della deformazione Una volta che conosciamo il tensore del gradiente delle deformazioni F riferito ad un punto, possiamo conoscere delle grandezze che caratterizzano le deformazioni. 2.2.1 Coefficiente di dilatazione lineare Supponiamo di considerare una fibra del corpo nel riferimento iniziale, lungo la direzione hatn0 e di lunghezza iniziale dL. Questa fibra nella configurazione reale, sarà definita da una lunghezza dl lungo la direzione n̂. Definiamo allora il coefficiente di dilatazione lineare: dl − dL dl ϵnˆ0 (⃗x) = = −1 dL dL Rappresenta la variazione di lunghezza della fibra dalla configurazione iniziale a quella finale. Questo valore, se positivo identifica un allungamento delle fibre, se negativo una compressione delle fibre. Poiché, il tensore del gradiente delle deformazioni è un trasformazione lineare, potrò derivare la funzione deformazione: ⃗ d⃗x = FdX Cioè sto considerando una fibra nella configurazione di riferimento, che attra- verso il tensore F né associa un altra nella configurazione reale 24 A questo punto allora potrò scrivere il coefficiente di dilatazione lineare in termi- ni di tensore del gradiente delle deformazioni, utilizzando la regola del trasporto di un tensore ((Aa) · b = (AT · b) · a): ⃗ · F⃗ dX dl2 = d⃗x · d⃗x = FdX ⃗ = FT · FdX ⃗ · dX ⃗ = dL2 · FT · Fn̂O · n̂O A questo punto posso riscrivere il coefficiente di dilatazione come: q ⃗ = (FT · Fn̂O · n̂O ) 21 − 1 = FT · Fn̂O · n̂O − 1 ϵn̂O (X) La quantità FT ·F può essere dominata in vari modi, noi utilizzeremo il tensore di una deformazione finita: 1 T D := (F · F − I) 2 Allora, in definita, avremo che il coefficiente di dilatazione lineare vale: p ⃗ = 2D · n̂O · n̂O + 1 − 1 ϵn̂O (X) 2.2.2 Coefficiente di scorrimento mutuo Supponiamo di prendere due fibre appartenenti alla configurazione di riferimen- to, ortogonali tra loro di direzione m̂O ed n̂O. Essendo perpendicolari il loro angolo sarà π2. In seguito queste due fibre, nella configurazione reale si trasformano. E quindi avremo due fibre orientati in modo differente a quelle che avevamo nella confi- gurazione di riferimento. Per cui possiamo definire m̂ e n̂ le direzione delle fibre trasformate, che formano un angolo θ: 25 Allora possiamo definire il coefficiente di scorrimento mutuo la differenza tra gli angoli formati dalle fibre prima e dopo la deformazione: π γn̂O m̂O (X) := −θ 2 2.2.3 Coefficiente di dilatazione superficiale Fino ad ora abbiamo considerato le fibre del corpo, ora supponiamo di con- siderare un elementino di aria dS nella configurazione di riferimento. Questo elementino è definito dai i versori n̂0 e m̂0 che sono ortogonali tra di loro. In seguito alla deformazione, questo elementino avrà un area differente alla pri- ma ds. Per cui possiamo definire il coefficiente di dilatazione superficiale come: ds − dS p ∆s := = (2 · Dn̂0 · m̂0 + 1) · (2D · m̂0 · m̂0 + 1) − 4(D · m̂0 − n̂0 )2 −1 dS 26 2.2.4 Coefficiente di dilatazione volumica Abbiamo definito i parametri di deformazioni per le fibre e per aria di un corpo, ci manca di definire i parametri per un elementino di volume dV. Consideriamo un elemento di volume dV nella configurazione di riferimento. In seguito alla deformazione, questo elemento si trasforma in un elemento di volume dv. Per cui possiamo definire la variazione di volume dovuta alla deformazione attraverso il coefficiente di dilatazione volumetrica: dv − dV dv Θ= = −1 dV dV Dal punto di vista grafico, questa variazione la possiamo rappresentare dal prodotto misto tra 3 versori ortogonali nella configurazione di riferimento: dX1 · dX2 ∧ dX3 ̸= 0 Nella configurazione reale ottengo: FdX1 · FdX2 ∧ FdX3 ̸= 0 Per cui potrò scrivere il coefficiente di dilatazione come: FdX1 · FdX2 ∧ FdX3 Θ := − 1 = det(F) − 1 dX1 · dX2 ∧ dX3 ̸= 0 2.3 Deformazioni infinitesime Tutto quello che abbiamo detto fin ad ora, è concetto generale che caratterizza lo studio delle deformazioni. Lo studio della scienza delle costruzioni si basa sulla teoria delle deformazioni infinitesimi. Cioè si considerano gli spostamenti prodotti dalle deformazioni piccolissimi rispetto alle dimensioni del corpo che subisce la deformazione. Un esempio applicativo di questa teoria è lo studio della cinematica di una trave vincolata. Infatti noi siamo abituati a studiare la cinematica di una trave nella sua configurazione di riferimento e non in quella reale: 27 E’ facile intuire che questa teoria ci semplifica la trattazione di una deformazio- ne dal punto di vista matematico. 2.3.1 Passi per linearizzare la trattazione di un deforma- zione Abbiamo detto che questa teoria si basa su spostamenti infinitesimi, per cui dobbiamo fare 2 ipotesi: |⃗u| 0 allora, per forza di cose anche µ>0 56  µ(2µ+3λ) se E = µ+λ allora: 2 2µ + 3λ > 0 ←→ λ > − µ 3 Allora al denominatore deve valere: 2 1 µ + λ > µ − µ −→ µ + λ > µ µ>0 3 3 Dalla relazione che lega i tre moduli tecnici G = 2(1+ν) , E se G > 0 e E > 0 allora: 1 + nu > 0 −→ v > −1 In fine avremo: Ma per valere questo devo avere 1−ν E > 0 per cui: 1 1 − 2ν > 0 −→ ν < 2 Dal punto di vista meccanico, possiamo dimostrare queste restrizioni come: se E = 0 significa che ponendo un provino a trazione, quest’ultimo non si allunga. Cosa impossibile se G = 0 significa che se pongo un provino a taglio, non avrò sforzo di taglio. E questo è impossibile: se ν = 12 significa che Ξ = tr(E) = 1−2ν E tr(T) = 0. E questo non è possi- bile perché se poniamo un provino a trazione, il tensore delle deformazione non può avere essere nullo (guardare definizione di moduli tecnici). 57  se ν < 0 avrò che ϵ2 = ϵ3 = −(−ν)ϵ1. Questo significa che se pongo un provino a trazione, il materiale oltre ad allungarli lungo la direzione di carico, si allungherà anche nelle altre due dimensione. Questo è impossibile che avvenga nella realtà. Alla fine i limiti pratici saranno: 58 Capitolo 5 PROBLEMA DI SAINT-VENANT Il problema di Saint-Venant, rappresenta uno dei pochi problema risolti sul- l’equilibrio elastico. Il problema consiste nel trovare la soluzione per l’equilibrio di un cilindro, sufficientemente lungo a sezione trasversale. Esso è costituito da un materiale linearmente elastico, isotropo e omogeneo. Inoltre, il cilindro non sarà sollecitato da forze di volume, ma solo dall’azione di forze superficiali che agiscono solo sulle due basi estreme: I dati del problema saranno: 1. Materiale e geometria del pezzo:linearmente elastico, isotropo e omo- geneo. Cosi da semplificare le equazioni di calcolo. Inoltre il cilindro è caratterizzato dal fatto che la sezione trasversale è molto minore della lunghezza: dimA 0, le fibre che si troveranno nei punti con coordinata y negativa risultano essere compresse, mentre quelle con y positiva risultano essere tese. Possiamo fare le seguenti osservazioni: 69  1. se la congettura non fosse stata Tzz = cY , ma Tzz = cX avremmo avuto che la formula di Navier sarebbe stata: My Tzz = − X Jy Per cui graficamente: Per cui, per M > 0, avremo le fibre compresse a sinistra e quelle tese a destra Analisi della deformazione Una volta che conosciamo le componenti di tensione, possiamo ricavare il campo delle deformazione dalle equazioni costitutive:    Exx = − E1 νTzz = −ν EJ M x Y 1 M  Eyy = − E νTzz = −ν EJx Y    E = 1 T = M Y  zz E zz EJx    Exy = 0  1    Exz = G Txz  1 Eyz = G Tyz  In forma matriciale avremo:   −νY 0 0 Mx  E= · 0 −νY 0 EJx 0 0 1 Dove il prodotto EJx prende il nome di rigidezza flessionale Analisi degli spostamenti Una volta venuti a conoscenza del campo delle deformazioni, possiamo conoscere quello degli spostamenti. Come fatto per lo sforzo normale, supponiamo di bloccare il solido all’estremità di sinistra. Così da imporre traslazioni e rotazioni δx = δy = δx = 0. Per cui rigide, ed ottenere per la sezione di sinistra (z = 0) δw δw δu 70 le equazioni di congruenza saranno: δu Mx   Exx = δx = −ν EJx Y  δv Mx Eyy = δy = −ν EJx Y      Ezz = δw M δz = EJx Y  1 δu δv Exy =  2 δy + δx = 0  1 δu δw  E =
xz 2  δz + δx  = 0    1 δu δw  Eyz = 2 δz + δy =0 Integrando, a meno di moti rigidi (ipotesi fatta all’inizio), otteniamo che il campo degli spostamenti è così definito:  νMx u = − EJx XY  Mx  2  v = − 2EJ x z − ν(X 2 − Y 2 ) Mx  w = EJ YZ  x Sezione longitudinale πyz Se osserviamo il piano πyz (quello che contiene la sollecitazione), a deformazione avvenuta il cilindro assumerà una forma parabolica: La linea d’asse dopo la deformazione, rappresenta la linea elastica della trave. Per cui presa una generica sezione della trave deforma A(z), essa sarà caratte- rizzata da un campo degli spostamenti definito come:  u = 0  Mx v = − EJ x Z2  w=0  71 Poiché Tzy = Txz = Tyz = 0, possiamo osservare come, a deformazione av- venuta, le sezione restano ortogonali all’asse della trave. Questa osservazione, rappresenta l’ipotesi di Bernulli-Navier: Tale ipotesi suppone che durante l’inflessione della trave, le sezioni trasversali rimangano piane e normali alle fibre longitudinali deformate. Inoltre, le sezioni seguono un andamento parabolico. Il cui raggio di curvatura vale: −v ′′ X= 3 [1 + (v ′ )2 ] 2 La curvatura dell’asse, viene assunto come parametro di deformazione, poiché minore sarà la curvatura, maggiore sarà la resistenza a flessione del materiale. Per l’ipotesi di spostamenti infinitesimi avremo che v ′ 0) Moduli di resistenza A noi ingegneri interessa, dal punto vista applicativo, quanto valgono le tensioni massime che un materiale può sopportare. Rispetto allo sforzo normale in cui la tensione era costante per tutto il cilindro, per la flessione semplice, la tensione aumenta all’aumentare della distanza dall’asse neutro. Per cui dalla formula di Navier trova in precedenza avremo una tensione massima di compressione e una di trazione agli estremi della sezione trasversale: Mx σz (A) = Ymax Jx Mx σz (B) = Ymin Jx 73 Possiamo allora definire i moduli di resistenza come: Jx Wx,max = Ymax Jx Wx,M IN = YM IN Per cui avremo: Mx σz (A) = Wx,M AX Mx σz (B) = Wx,M IN Osserviamo come i moduli di resistenza dipenda solo dalla geometria della sezione trasversale e non dalla tipologia di materiale di cui è costituito il cilindro 5.2.3 Flessione semplice deviata Supponiamo di avere un sistema di rifermento, in cui x e y siano gli assi principali di inerzia. Ora supponiamo che il cilindro di S-V sia sollecitato da un flessione semplice che non agisce nel sistema di riferimento d’inerzia. Per cui siamo in presenza di una flessione semplice deviata: Il fatto che il momento non sia applicato in un sistema d’inerzia, fa si che il piano di sollecitazione e quello di flessione non coincidono. Per questo motivo, la flessione semplice può essere scritta come la composizione di due flessioni rette che hanno l’asse di sollecitazione coincidente con quello di flessione. Mx My σz = Y − X Jx Jy Per esplicitare l’andamento delle tensioni graficamente, abbiamo bisogno di tro- vare l’asse di sollecitazione, che passa per il punto di applicazione del momento e per il baricentro della sezione, e l’asse neutro, che è possibile conoscerlo attra- verso l’ellissoide d’inerzia e sfruttando le sue proprietà. Sulla base di quanto detto, avremo: 74  il momento flettente sarà inclinato di un angolo α rispetto a x. Allora lo posso scomporre: Mx = M cos α My = M sin α poiché l’asse di sollecitazione deve essere perpendicolare al momento flet- tente, avremo che il primo sarà inclinato rispetto ad x di un angolo γ = α + π2 Per definizione, l’asse neutro è quell’asse in cui la sollecitazione è nulla: σz = 0 Per cui possiamo ricavare la sua posizione come: Mx My My Jx Y − X 7−→ Y = · X Jx Jy Jy Mx Possiamo osservare come l’equazione dell’asse neutro rappresenti una retta passante per l’origine, per cui contiene ancora il baricentro della sezione. Definiamo allora β l’angolo che l’asse neutro forma rispetto all’asse x. Per cui avremo: Y My Mx  sin α Jx M · ·  tan β = = = X Jy Jx M cos α Jy   Jx e Jy li possiamo esprimere attraverso la definizione di raggio di inerzia come: r Jx ρx = 7−→ Jx = Aρ2x A r Jy ρy = 7−→ Jy = Aρ2y A Alla fine ottengo che: sin α Aρ2x tan β = · cos α Aρ2y Ma osservo che sin α cos α = tan α. Per cui: ρ2x tan β = tan α · ρ2y Ma abbiamo detto che l’asse di sollecitazione sarà inclinato di una angolo γ = α + π2 rispetto all’asse x. Allora tan γ = − tan1 α. Possiamo definire allora la relazione: ρ2 tan β · tan γ = − x2 ρy Questa relazione prende il nome di I teorema della flessione semplice che afferma: "L’asse neutro e l’asse di sollecitazione sono coniugati rispetto all’ellisse centrale d’inerzia" 75 Avremo quindi, se conosciamo uno dei due assi, possiamo calcolare l’altro. Abbiamo detto che la flessione retta deviata la possiamo scomporre come 2 flessioni rette lungo gli assi d’inerzia. Per cui avremo, che in seguito alla deformazione, l’asse del cilindro si sarà deformato in due direzioni: Mx 2 Mx 7−→ v = − Z 2EJx My 2 My 7−→ u = Z 2EJy Per cui l’asse del cilindro si flette su un piano, detto piano di flessione, che ha come traccia nel piano della sezione un asse, detto asse di flessione, inclinato di un angolo θ rispetto all’asse x: Mx  v −2EJ  x Z2 Mx Jy tan θ = = My =− · u Z  2 M y Jx 2EJ  y  | {z } 1 − tan β Per cui otteniamo: 1  cos α Aρ2y M 1 tan θ = − =− · =−  tan β 2 M sin α Aρx  tan α  Da cui ricaviamo: 1 1 tan θ = − · tan α ρ2x2 ρy ρ2x Ma dal primo teorema della flessione semplice abbiamo tan β = tan α · ρ2y. Per cui ricaviamo il secondo teorema della flessione semplice: tan θ tan β = −1 Il teorema afferma: "L’asse neutro e l’asse di flessione sono SEMPRE perpendicolari" 76 Inoltre, l’asse di sollecitazione e quello di flessione, nella flessione deviata non coincidono. Allora possiamo definire δ = β − γ, l’angolo che si forma tra i due assi. A questo punto, posso definire graficamente l’andamento delle tensione. Con la formula di Navier possiamo vedere che preso un punto P del cilindro, possiamo definire la tensione in quel punto come il contributo di Mx e My : Mx My σz = Tzz = Y − X 7−→ FORMULA BINOMIA Jx Jy Ma con l’ausilio dell’asse di flessione, le tensioni possono essere diagrammata con più facilità: Mn σz = Tzz = f 7−→ FORMULA MONOMIA Jn 77 5.2.4 Sforzo normale eccentrico Supponiamo di avere il nostro cilindro di S-V, sollecitato alle due base da una distribuzione di forze che è possibile approssimale a due forze assiali uguale ed opposte eccentriche, aventi cioè la retta d’azione parallela all’asse z ma spostata di un certa quantità e da quest’ultima. Si parla di tensoflessione se lo sforzo normale eccentrico è di trazione. Di pressoflessione se lo sforzo è di compressione. Il punto di intersezione C della retta d’azione delle due forze con la generica sezione trasversale è detto centro di sollecitazione. Se consideriamo la sezione trasversale del cilindro nel caso di tensoflessione, possiamo osservare come il centro di sollecitazione dista di una quantità e dal baricentro della sezione. e = CG q e = x2C + yc2 Lo sforzo normale eccentrico determina due sollecitazioni sulla sezione: 78  sforzo normale N = P momento flettente M Il momento flettente varrà allora: M = (C − G) ∧ P⃗ 7−→ |M | = N · e Poiché sforzo normale e flessione semplice sono caratterizzate da un ostato di tensione mono assiale, anche lo sforzo normale eccentrico sarà caratterizzato da uno stato tensionale monoassiale: P P yC P xc σz = + Y − (− X) A Jx Jy Grazie ai moduli di resistenza possiamo esprimere lo sforzo come:   P yc y xc x σz = 1+ 2 + 2 A ρx ρy Per rappresentare graficamente l’andamento delle tensioni, abbiamo bisogno di definire l’asse neutro per lo sforzo normale eccentrico. Per trovarlo poniamo σz = 0: yc Y xc X 1+ 2 + 2 =0 ρx py Quest’asse avrà passerà per i seguenti punti degli assi principali d’inerzia: ρ2y ρ2x y = 0; xn = ; yn = − xc yc Allo stesso modo posso trovare l’equazione dell’asse neutro per la flessione semplice che sarà parallelo a quello dello sforzo eccentrico: yc Y xc X + 2 =0 ρ2x ρy Da cui possiamo ricavere l’asse di flessione associato a tale flessione semplice, come l’asse ortogonale all’asse neutro della flessione semplice 79 5.2.5 Torsione per una sezione circolare Si consideri il solido di Saint-Venant, in cui le forze agenti sulle due basi, possono essere approssimate ad una coppia torcente Mz agente lungo l’asse del solido. Supponiamo che il solido, per iniziare, sia a sezione circolare: Sperimentalmente, S-V fece una congettura, cioè: osservò che le sezioni del cilindro, in seguito alla deformazione, restano piane (per cui w = 0) e non si deformano nel loro piano ma ruotano rigidamente. Questa congettura è valida esclusivamente per le sezioni cilindriche. Per cui se prendiamo un punto P suppa superficie della sezione trasversale, esso dopo la deformazione avrà subito uno spostamento. Compiendo un arco di circonferenza di centro G (baricentro della sezione) e raggio R. In altre parole si è spostato di un angolo θ. θ, dallo sviluppo in serie di McLaurin, possiamo definirlo come: z2 θ(z) = θ(0) + θ′ (z)z + θ′′ (z) +... 2 80 Poiché siamo in teoria lineare ci fermiamo alla derivata seconda. In particolare, in seguito alla deformazione, in 3 dimensioni avremo: Supponiamo che in z = 0 la sezione non ruota (così da evitare il moto rigido), allora θ(0) = 0. Mentre θ′ (z) lo indicheremo con il termine γ è prende il nome di angolo unitario di torsione, unitario perché per z = 1 (distanza unitaria tra sezioni) l’angolo di rotazione è proprio uguale a γ. Per cui in fine avremo che l’angolo rotazione θ, lo possiamo esprimere come: θ =γ·z In queste condizioni, il campo di spostamenti per una generica sezione vale:  u = −γ · z · Y  v =γ·z·X  w=0  A deformazione avvenuto, la generica fibra si dispone lungo una curva: Analisi della deformazione Una volta definito il campo degli spostamenti, possiamo ricavarci le componenti della deformazione dalle equazioni di congruenza:  Exx = Eyy = ezz = Exy = 0  Exz = Ezx = − γY2 Eyz = Ezy = γX   2 In forma matriciale avremo: − γY   0 0 2 γX E= 0 0 2  − γY 2 γX 2 0 81 Da tali equazioni, grazie alle equazioni costitutive, possiamo ottenere le compo- nenti della tensione:  Txx = Tyy = Tzz = Txy = 0  Txz = Tzx = −2GExz = −γGY  Tyz = Tzy = 2GEyz = GX  In forma matriciale:   0 0 −γGY T= 0 0 GX  γGY 2 γGX 0 Possiamo osservare come le tensioni ricavare sono quelle tangenti al circonfe- renza, e il loro valore aumenta, all’aumentare della distanza dal baricentro G (x = 0; y = 0): Questo fatto lo possiamo osservare meglio, se ci calcoliamo la tensione tangen- ziale totale: q p τz = Tzx 2 + T 2 = γG x2 + y 2 = γGr zy Osserviamo che la tensione tangenziale dovuta alla torsione, cresce linearmente all’aumentare della distanza del punto dal baricentro della sezione. Si avrà tensione massima in corrispondenza del raggio R della sezione. Possiamo osservare che l’unica incognita a questo punto è l’angolo di torsione unitario γ. Per ricavarle, sappiamo dalle caratteristiche dalla sollecitazione, avremo: Z Z Z Mz = (P − G) ∧ tê3 · ê3 dA = xTzy − yTzx dA = G (x2 − y 2 )dA A A A Ma A (x −y )dA è il momento polare rispetto al baricentro JO (O perché molto 2 2 R spesso lo troviamo scritto sui libri così, ma nel nostro caso dovemmo scrivere JG ). Allora otteniamo che l’angolo di torsione unitario vale: Mz γ= G · JO Possiamo definire la rigidezza torsionale del cilindro il prodotto GJ0. Per la relazione appena trova, allora la tensione tangenziale totale può scriversi: Mz τz = r formula di Navier J0 4 Il momento di inerzia per un cilindro vale JO = πR 2. Allora, la tensione tangenziale massima, in corrispondenza del raggio del cilindro, vale: 2Mz (τz )M AX = πR3 82 (DOMANDA ORALE: preso un punto P generico della sezione, com’è il campo delle tensioni? Bi-assiale. DOMANDA ORALE: ci sono piani scarichi? Si (dimostrarlo)) 5.2.6 Torsione per una generica sezione: funzione d’ingob- bamento Supponiamo di avere il solito solido di Saint-Venant, di sezione generica, solle- citato da momento torcente sulle due basi: A differenza del caso di solido a sezione circolare, in cui le sezioni rimanevano piane, in questo caso invece le sezioni di ingobbano. Per cui il campo degli spostamenti, può essere così definito:  u = −γY Z  v = γXZ  w = γφ(X; Y )  Dove φ(X; Y ) prende il nome di funzione di ingobbamento. Questa funzio- ne non dipende da z, allora nella generica sezione la funzione di ingobbamen- to rimane la stessa (si trasmette inalterata dalla sezione di destra a quella di sinistra) 83 Analisi della deformazione e della tensione Una volta ricavato il campo degli spostamenti, possiamo definire il campo delle deformazioni attraverso le equazioni di congruenza:  Exx = Eyy    = Exy = Ezz = 0 Exz = 2 −Y + δφ(x,y) γ δx = γ2 (−Y + φx )    E = γ X + δφ = γ (X + φ )  xz 2 δx 2 y Si può indicare la derivata della funzione ingobbamento come φx e φy , a seconda se deriviamo rispetto ad x o y. In forma matriciale:   0 0 Exz E= 0 0 Eyz  Ezx Ezy 0 Una volta ottenute le componenti della deformazione, attraverso le equazioni costitutive ci ricaviamo le componenti della tensione:  Txx = Tyy = Tzz = Tyx = 0  Tzx = γG [−Y + φx ]  Tzy = γG [X + φy ]  In forma matriciale:   0 0 Txz T= 0 0 Tyz  Tzx Tzy 0 Essendo nulle le Txx = Tyy = Tzz = Tyx = 0, le prime e due equazioni di equilibrio sono soddisfatte. La terza: δTxz δTyz δTzz + + =0 δx δy δz Sostituendo i termini della tensione, che abbiamo trova in precedenza otteniamo: δ2 φ δ2 φ ∆φ = ∇2 φ = + = 0 ∀X ∈ Ȧ δx2 δY2 Dove ∆φ prende il nome di laplaciano di φ. Quando ∆φ = 0 si dice la funzione φ (ingobbamento) è una funzione armonica. Se funzione di ingobammento non fosse armonica, le equazioni di equilibrio per i punti interni non sarebbero rispettate. Per rispettare le condizioni al contorno lungo il matello (superficie laterale), che impogono che sia Tzx nx + Tyz nz = 0, dovrà essere:      δφ δφ Gγ −Y + nx + X + ny = 0 ∀X ∈ δA(frontiera) δx δy Ma γG ̸= 0, per cui avremo: δφ δφ nx + ny = Y nx − Xny δx δy 84 Ma il primo membro rappresenta il gradiente della funzione φ lungo una di- rezione n̂. Per cui lo possiamo definire come la derivata direzione lungo la direzione n̂. Allora infine avremo: dφ = Y nx − Xny ∀X ∈ δA δn Possiamo osservare come la soluzione del problema dipenda fortemente dalla tipologia di sezione poiche nx e ny si dispongono in modo diverso da sezione a sezione. In definitiva, l’equazione di equilibrio e quella al contorno definisco il problema di Neumann: ( dφ δn = Y nx − Xny ∀X ∈ δA δ2 φ δ2 φ ∆φ = ∇2 φ = δx2 + δY2 = 0 ∀X ∈ Ȧ La soluzione si basa sul determinare la funzione ingobbamento φ. Per la sezione circolare avrò δφ = 0 poiché non è l’unica sezione che non si ingobba, per cui abbiamo risolto l’equazione di equilibrio. Per le condizioni al contorno avrò: δφ X Y =Y · −X · =0 δn R R 5.2.7 Torsione per una generica sezione: funzione degli sforzi Il problema della torsione, oltre a essere svolto sfruttando il problema di Neu- mann basato sulla determinazione della funzione di ingobbamento, può essere svolto con il problema di Dirichlet che si basa sulla ricerca della determina- zione della funzione degli sforzi (o delle tensioni) o anche detta funzione di Prandtl F (X, Y ). E’ possibile passare dalla funzione ingobbamento alla funzione degli sforzi, de- finendo le derivate parziali di F come: ( Fx = X + φy Fy = −Y + φx (ricordiamo che φx e φy sono le derivte parziali della funzione ingobbamento). Se faccio la derivata rispetto ad x della prima equazione e la derivata parziale y della seconda, otteniamo: ( δ δx 7−→ 1 + φyx = Fxx δ δy 7−→ −1 + φxy = −Fyy Per il teorema di Shwarz sulle derivate parziali, avremo che φyx = φxy. Allora, facendo la differenza tra le due equazioni, otteniamo: 1 − (−1) + φyx − φxy = Fxx − (−Fyy ) 7−→ 2 = Fxx + Fyy 2 2 Ma osserviamo che Fxx = δδxF2 e Fyy = δδyF2 , per cui la loro somma rappresenta il laplaciano della funzione degli sforzi ∆F. Allora otteniamo: ∆F = 2 ∀X ∈ Ȧ 85 Per cui richiedere che la funzione di ingobbamento φ sia armoniche, cioè ∆φ = 0, coincide con il richiedere che il laplaciano della funzione degli sforzi sia ∆F = 2 per tutti i punti interni al solido. Ora scriviamo le condizioni al contorno di S-V, che in queste condizione valgono: Tzx nx + Tzy ny = 0 7−→ −γG(Fy nx − Fx ny ) = 0 Dove Tzx = γG [−Y + ϖx ] = γG − Fy e Tzy = γG [X + φy ] = γGFx. La tensione nel contorno del solito, o è nulla o è tangente a quest’ultima. Allora possiamo definire i 2 versori nx e ny come i versori tangenti: tx = −ny ty = nx Allora posso scrivere la condizione al contorno come: δF δF tx + = 0 ∀X ∈ δA δx δy Ma questa rappresenta la derivata direzionale del gradiente di F rispetto alla direzione tangente al contorno: δF ∇F · t̂ = = 0∀X ∈ δA δ t̂ Ma se la derivata al contorno è nulla, significa che la funzione degli sforzi F sarà costante. Allora assumo che per ogni punto del contorno: F = 0 ∀X ∈ δA Per le due equazioni definisco il problema di Dirichlet, calcolando la funzione degli sforzi: ( ∆F = 0 ∀X ∈ Ȧ F = 0 ∀X ∈ δA A questo punto, come fatto per il problema di Neumann, vediamo quanto vale il coefficiente γ nel problema di Dirichlet. Supponiamo di definire la funzione vettoriale ⃗a di componenti: ⃗a(XF ; Y F ) 86 Se faccio la divergenza ottengo: δF δF div(⃗a) = F + +F + = 2F + Fx + Fy δx δy Sfruttando il teorema della divergenza, possiamo scrivere: Z Z div(⃗a) = ⃗a · n̂ A δA Ma abbiamo dettoR prima che la funzione degli sforzi F è nulla sulla superficie del solido. Allora A ⃗a · n̂ = 0. Per cui avremo: Z Z δF δF div(⃗a) = 0 7−→ (2F + X +Y )=0 A A δx δy Portando al secondo membro 2F , otteniamo: Z Z δF δF X +Y =− 2F A δx δy A Una volta definito questo, per definizione, sappiamo che il momento torcente vale: Z Z δF δF Mz = XTzy − Y Tzx dA = γG X· +Y A A δx δy Ma abbiamo visto che A X · δx + Y δy = − A 2F. Quindi otteniao: δF δF R R  Z  Mz 1 Mz = γG − 2F 7−→ γ = · R A G − A 2F Definiamo, inoltre, il fattore di forma (della sezione) come: J q := RO − A 2F Allora γ sarà: Mz γ= G · JqO Dove G · JO q rappresenta la rigidezza torsionale di una generica sezione. 5.2.8 Soluzioni esatte del problema della torsione Vediamo ora alcune soluzioni del problema della torsione, per alcune sezioni. Sezione circolare Il caso più semplice di torsione si ha nelle sezioni di forma circolare, in cui la funzione di ingobbamento è nulla. Se la funzione di ingobbamento è nulla, significa che la funzione degli sforzi sarà: ( ∆F = 2 ∀X ∈ Ȧ F = 0 ∀X ∈ δA 87 Per cui la tensione tangenziale risulta: Mz τz = r JO Mz τz,M AX = R JO Il momento d’inerzia polare per una sezione circolare vale π 4 JO = R 2. Per cui avremo: 2Mz τz = r πR4 2Mz 2Mz τz,M AX = R= πR4 πR3 Sezione ellittica Per una sezione ellittica avremo: a2 − b2 γ= XY per il problema di Neumann a2 + b2 a2 + b2 x2 y2   F = 2 + 2 −1 per il problema di Dirichlet a + b2 a2 b 88 Nota la funzione degli sforzi, possiamo scrivere: a2 τxz = −2γG a2 + b2 b2 τzy = 2γG X a2 + b2 A questo punto avremo che il fattore di forma vale: 2 a 2 + b2  q= 2ab Se tabelliamo i valori di q al variare ab , osserviamo che all’aumentare del rapporto la tensione tangenziale massima diminuisce. Sezione rettangolare Per le sezioni rettangolari, l’andamento delle tensioni tangenziali non è lineare: 89 La soluzione per il problema di Neumann che per il problema di Dirichlet per una sezione rettangolare, è piuttosto laboriosa. In genere, la tensione tangenziale massima dipende da un funzione di tipo geometrico (fattore di forma) α hb :
  h Mz τM AX = α b a2 b2 Analogia idrodinamica Supponiamo di avere un fluido, privo di attrito e incomprimibile, all’interno di un solido caratterizzato da una sezione generica. Se mettiamo in rotazione il solido, con una velocità angolare costante, il fluido all’interno inizia a muoversi seguendo determinate linee di corrente che saranno tangenti alle pareti del so- lido. Allora, questa osservazione, ci permette di ottenere una equivalenza con lo stato di tensione di un solido sollecitato a torsione con la stessa sezione che caratterizza il solido contente il fluido. Questa proprietà è nota come analogia idrodinamica. Grazie a questa analogia, possiamo affermare che: Le linee di flusso nella torsione uniforme sono curve chiuse, che si adden- sano in presenza di restringimenti con il relativo aumento dell’intensità delle tensioni. Sezioni cave sottili (teoria di Bredt) L’analogia idrodinamica è assai utile per la soluzione del problema della torsione nei tubi sottili. Supponiamo di avere una sezione generica chiusa cava, sollecitato da un momento flettente Mz 90 Possiamo definire: la linee media γ b(s) lo spessore di un generica corda (fibra) della sezione t̂s: il versore tangente alla linea media della generica corda Sottile vuol dire che b(s) D