Analisi Strutturale: Forze e Tensioni

Elemento strutturale

• Un elemento strutturale unito a vincoli costituisce una struttura portante.
• L'analisi strutturale include geometria, vincoli, azioni esterne, materiali e foto strutturali.
• Elementi fondamentali in questo contesto sono equilibrio, resistenza e rigidezza.

Mezzo continuo

• Solido tridimensionale deformabile, i cui materiali corrispondono biunivocamente ai punti geometrici di una regione dello spazio euclideo.
• Implica piccoli spostamenti e piccoli gradienti di spostamento, consentendo di presupporre l'equilibrio nella configurazione indeformata.

Forze

• Entità descritte da vettori che causano variazioni nella configurazione del corpo. Sono di due tipi principali:
  • Forze di volume: esercitate dall'ambiente in punti interni al corpo tramite azioni a distanza.
  • Forze di superficie: esercitate su porzioni della frontiera del corpo dal contatto con corpi esterni.
• Le equazioni cardinali della statica si riferiscono all'intero sistema di forze esterne.
• Una condizione necessaria, ma non sufficiente, per l'equilibrio del corpo deformabile è che siano verificate in ogni porzione del corpo.
• Le equazioni di equilibrio includono:
  • Traslazione: l'integrale delle forze di volume più l'integrale delle forze di superficie deve essere pari a zero.
  • Rotazione: l'integrale del prodotto vettoriale tra la posizione e la forza di volume più l'integrale del prodotto vettoriale tra la posizione e la forza di superficie deve essere pari a zero.

Principio di Eulero

• Esiste una forza interna da superficie di contatto tra due parti di un corpo che si scambiano attraverso una sezione.
• Assicura l'equilibrio delle due porzioni, essendo ortogonale alla superficie.
• La tensione di Cauchy, con un numero finito di componenti, dipende dal punto e dalla normale.
• Per il principio di azione e reazione: la tensione normale è data dal prodotto tra la tensione e il versore normale.
• Il vettore tensione tangenziale è la differenza tra il vettore tensione e la tensione normale.

Componenti speciali di tensione

• Sono le componenti di tensione sui tre piani coordinati, distinguibili in normali e tangenziali.

Teorema di Cauchy

• In un punto all'interno del solido, il vettore di tensione agente su una giacitura di normale è combinazione lineare dei vettori tensione agenti su tre giaciture ortogonali di versore normale.
• I coefficienti della combinazione lineare sono i coseni direttori.

Dimostrazione

• Considera un tetraedro infinitesimo in equilibrio alla traslazione.
• In uno stato di pura tensione tangenziale, si ha solo trazione o compressione sui piani a 45°.

Equazioni indefinite di equilibrio

• È necessaria la loro soddisfazione per l'equilibrio del corpo deformabile.
• In un parallelepipedo infinitesimo, si considera l'equilibrio.
• Il risultato porta a una relazione tra le derivate parziali delle tensioni e le forze di volume, uguagliando a zero.
• Una conseguenza è il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali: comunque presi intorno a un punto due piani ortogonali, le componenti delle tensioni tangenziali agenti secondo lo spigolo comune sono uguali.
• Si ottengono tre equazioni indefinite in sei incognite.
• In un corpo sottile, senza componenti lungo lo spessore, si ha uno stato di elasticità piana.
• Per una sfera cava sottile in pressione, si applica la formula di Mariotte.
• In ogni punto del solido esistono tre piani sui quali il vettore tensione è normale al piano.

Piano principale della tensione

• È il piano su cui agisce solo tensione normale.

Direzione principale della tensione

• È la direzione del versore normale al piano principale della tensione.

Tensione principale

• È la tensione normale che agisce sul piano principale della tensione.

Calcolo

• In coordinate, la tensione normale soddisfa l'equazione caratteristica.
• Invarianti della matrice di tensione sono I1, I2, I3.
• Le soluzioni di questa equazione forniscono le tensioni principali.
• Si possono usare procedimenti analitici o grafici per risolvere l'equazione caratteristica.
• Determinano lo stato di tensione su un piano generico, le tensioni principali e le direzioni principali della tensione.
• Se una direzione è nota, la rotazione è di 90° rispetto a quella uscente.

Deformazione

• Relazione che associa al punto la posizione che il punto assume nella configurazione deformata.
• Assume associata la continuità della deformazione.
  • non è possibile la rottura (è biunivoca).
  • non è possibile la compenetrazione (è continua e differenziabile).

Campo di spostamento

• Considera che il punto P si sposta nel punto M.
• Si ottiene una matrice gradiente di spostamento.
• La matrice gradiente di spostamento può essere scomposta in una parte simmetrica E (matrice di deformazione) e una parte emisimmetrica W (matrice di rotazione).
• Le equazioni di congruenza definiscono le relazioni tra le componenti della matrice di deformazione.
• La deformazione pure è rappresentata solo dalla matrice E.
• Eis sono estensioni lineari e Eij sono scorrimenti angolari.
• In due fibre ortogonali, si introducono piccoli spostamenti, rotazioni e deformazioni.
• Si possono calcolare l'estensione assiale e lo scorrimento angolare.

Deformazione (continuazione)

• Le componenti fuori diagonale rappresentano la metà degli scorrimenti angolari.
• La dilatazione volumetrica è la somma delle tre deformazioni normali.
• In ogni punto del solido è possibile trovare tre fibre ortogonali che non subiscono scorrimenti angolari (solo dilatazioni lineari).
• Le direzioni principali della deformazione sono le direzioni delle fibre che subiscono solo dilatazioni lineari.
• Le deformazioni principali sono le dilatazioni lineari delle fibre disposte secondo le direzioni principali della deformazione.

Legame costitutivo ed elasticità

• Relazione funzionale che lega tensioni e deformazioni.
• Si ipotizza un comportamento tempo-indipendente e un comportamento elastico lineare.
• La relazione tra tensioni e deformazioni è lineare e definita da una matrice di costanti elastiche.
• Le sei equazioni costitutive esprimono le tensioni in funzione delle deformazioni e delle costanti elastiche.
• Nel comportamento iperelastico, la deformazione non dipende dal processo deformativo, ma solo dal valore attuale della deformazione.
• La densità elastica di deformazione è la derivata dell'energia di deformazione rispetto alla deformazione stessa.
• In un materiale isotropo, per ogni direzione, il comportamento è lo stesso.

Materiali

• La funzione è quadratica in E.
• Simmetria maggiore delle costanti elastiche porta a 21 costanti elastiche indipendenti.
• Un materiale ortotropo ha un comportamento simmetrico rispetto a tre assi ortogonali e nove costanti elastiche indipendenti.
• Un materiale isotropo ha un comportamento simmetrico rispetto a qualunque asse, con solo due costanti elastiche indipendenti.
• Le costanti elastiche sono determinate sperimentalmente con prove di trazione e di torsione.

Coefficiente di Poisson

• Si introduce il coefficiente di Poisson per esprimere le deformazioni trasversali in funzione della deformazione longitudinale.
• Le equazioni di legame elastico lineare isotropo tipo I e tipo II esprimono le relazioni tra tensioni e deformazioni nel caso di materiali isotropi.
• La coassialità delle direzioni principali è una proprietà dei materiali isotropi.
• Il problema dell'equilibrio elastico determina le componenti della tensione, della deformazione e il campo di spostamento.
• Per un continuo di Cauchy elastico, lineare, omogeneo e isotropo, si hanno sei equazioni lineari in sei incognite.
• I metodi di risoluzione includono il metodo delle tensioni e il metodo degli spostamenti.
• La soluzione analitica è nota solo in casi particolari; per casi generici, si ricorre all'analisi numerica con il metodo degli elementi finiti.

Statica

• Si considera un'ipotesi per determinare cos e spostamenti dell'asse della trave.
• Per determinare spostamenti, tensioni e deformazioni in tutti i punti, bisogna considerare un solido di Saint-Venant.
• Il solido di Saint-Venant è prismatico, con asse rettilineo, materiale elastico, omogeneo, lineare e isotropo.
• Sono valide principio di sovrapposizione degli effetti, relazioni costitutive lineari, e relazioni di congruenza lineari

Postulato di De Saint-Venant

• A una certa distanza dalle basi, pari alla dimensione caratteristica della sezione trasversale, lo stato tensionale non dipende dalla distribuzione delle forze sulle basi, ma solo dalla loro risultante e dal momento risultante.
• Le equazioni del problema statico sono di difficile soluzione.
• Si ipotizza la soluzione in base intuitiva per verificare dopo le equazioni del problema statico (metodo inverso).
• L'ipotesi sulla soluzione è applicata ad una fibra longitudinale.
• Le facce di normale uscente concorde con hanno caratteristiche di sollecitazione positive.
• Le risultanti delle azioni interne, tensioni, su ciascuna sezione trasversale sono equivalenti alle caratteristiche di sollecitazione agenti su quella sezione.
• I momenti principali d'inerzia sono i momenti massimo e minimo rispetto a qualunque asse baricentrico.
• Asse di simmetria = asse principale d'inerzia.

Forza normale ed elementi flettenti

• E' possibile dimostrare che agisce solo tensione normale.
• Si impone l'equivalenza statica.

Piano di sollecitazione

• Il piano di sollecitazione è perpendicolare al momento e contiene le azioni esterne.

Asse di sollecitazione - Centro di Sollecitazione e Asse Neutro

• L'asse di sollecitazione è la traccia del piano di sollecitazione sulla sezione.
• Il centro di sollecitazione è equivalente ad una forza di normale in non baricentrica; appartiene all'asse di sollecitazione.
• Il luogo dei punti della sezione dove si annulla la tensione normale è l'asse neutro
• Solo se l'asse neutro passa per il baricentro, la tensione è usuale in tutte per le fibre.
• Usata approssimazione secondo teoria di Jourawsky.

Esplorazione delle azioni termiche, equazioni cardinali della statica e principio di Eulero nell'analisi strutturale. Discussione della tensione di Cauchy, vettori di tensione normali e tangenziali, e il teorema di Cauchy. Approfondimento sull'ipotesi di piccoli spostamenti e la distinzione tra forze di volume e superficie.