محاضرة: دوال بيتا وجاما - PDF
Document Details
Uploaded by SparklingGreatWallOfChina
Suez University
Tags
Summary
هذه المحاضرة تُغطي دوال بيتا وجاما، و تشمل مقدمة، تعريفات، روابط، وخواص هذه الدوال الخاصة في الرياضيات.
Full Transcript
عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي المحاضرة األولي :أهالً بكم اصدقائي سندرس في هذه المحاضرة: المحتوي العلمي .1مقدمة...
عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي المحاضرة األولي :أهالً بكم اصدقائي سندرس في هذه المحاضرة: المحتوي العلمي .1مقدمة .2دالة جاما .3دالة بيتا مقدمة فييهذ ي هذالمحاض ي ذسييوم بذراساسييضذرذيياذ ي هذالييا اثذالوالييضذا ي ذ اثذ ااييا اثذريتاذ رذاذالوصائصذلهما. ماه الدوال الخاصة: ي الكثي من مسائل الرياضيات ر ه دوال شائعة الظهور عند حل الدوال الخاصة ً ي ً والهندسة وتلعب دورا هاما يف نظرية تقريب الدوال باإلضافة اىل ذلك فان الدوال الخاصة تمتلك من المهارات واالليات الرياضية الفائقة القدرة عىل التبسيط الكثي من الحسابات العلمية ر الت تسهم بطريقة رائعة يف تسهيل فه يواالختصار ي ً لتوفي الوقت والجهد يف هذا البحث ر الصعبة والمعقدة وتقدم طريقة ناجحة جدا سنقوم بدراسة بعض هذه الدوال الخاصة مثل دوال بيسل( Bessel الجي. هيميت و ر كثيات حدود لجندر و ر )Functionsوأيضا ر أهمية دراسة الدوال الخاصة: ((1 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي الشك أن لبعض الدوال الخاصة أهمية كبيرة حيث تعتبر األساس لكثير من التطبيقات الرياضية والفيزيائية والهندسية.والبد لدارسي العلوم األساسية عامة ودارسي الرياضيات خاصة أن يتعرض لدراسة هذه الدوال. دوال جاما وبيتا ع فتذ الضذريتاذانذقب ذع فتذ الضذ اااذانذقِب ذالس يس يذأ يل ذعابذ1768ب،ذ ُ ُ اإلنجليزيذ السذعابذ1655بذ ذأ يل ذعابذ1730بذ،ذ سما اذالف نسهذلجواسذ الضذ أ يل ذعابذ1826بذ،ذسميتذ الضذريتاذانذقب ذالف نسهذرويتذعابذ1839بذ.ذ تكمنذ أ ميضذالاالتين،ذ خالضذ اااذفهذتطبيماتهماذالفيزيائيضذ الهواسيض،ذ اعتما ذالك ي ذانذ الا اثذالوالضذاألخ ىذعليهماذا :ذ اثذرس ،ذ الضذالوطأذ التكاا ذاألسهذ التكاا ذ الجيبهذ تكاا ذ يبذالتمابذ غي اذ،ذ يضمذ اذالفص ذرواينذع فواذفيهماذ التهذريتاذ اااذ،ذ سسواذخ الهماذاألساسيضذ رذاذتطبيماتهما.ذ تعريف دالة جاما ودالة بيتا Gamma function and Beta function تعرف دالة جاما )𝒏(𝜞 من التكامل: ∞ 𝜞(𝒏) = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑛𝑛−1 𝑥ⅆ ,𝑛 > 0 0 حيثذ𝑛ذعا ذحميمهذا ب،ذحتىذيك نذالتكاا ذاتماسراً.ذ تعرف دالة بيتا )𝒏 𝜷(𝒎,من التكامل: ((2 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 1 𝑥𝛽(𝑚, 𝑛) = ∫ 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑥)𝑛−1 ⅆ ,𝑚 ,𝑛 > 0 0 حيثذانذ𝑛 𝑚,ذعا انذحميميانذا بان،ذحتىذيك نذالتكاا ذاتماسراً.ذ بعض العالق ات الهامة والخواص: )(i 𝟏 = )𝟏(𝜞 الب انذانذتذ يفذ الضذ ااا ذ ∞ 𝑥𝛤(𝑛) = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑛−1 ⅆ 0 ∞ ∞] 𝑥𝛤(1) = ∫ 𝑒 −𝑥 ⅆ𝑥 = [−𝑒 − 0 =1 0 ذ (ii) 𝛤(𝒏) = (𝒏 − 𝟏)𝜞(𝒏 − 𝟏), if 𝒏 − 𝟏 > 𝟎. البرهانذانذتذ يفذ الضذ ااا ذ ∞ 𝑥Γ(𝑛) = ∫0 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑛−1 ⅆ ∞ ] 𝑥= ∫0 𝑥 𝑛−1 ⅆ[−𝑒 − ((3 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي ∞ ∞] = [−𝑒 −𝑥 𝑥 𝑛−1 𝑥)0 + ∫0 (𝑛 − 1 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑒 ⅆ ∞ 𝑥= 0 + (𝑛 − 1)∫0 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑛−2 ⅆ ∴ Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)Γ(𝑛 − 1). !)𝟏 (iii) √(𝒏) = (𝒏 − 𝒏∈ℕ. راستذماثذالذالقضذالتك اسيضذالسارمضذ()iiذعواااذيك نذذnذعا ذلحيحذا ب.ذ )Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)Γ(𝑛 − 1 )= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)Γ(𝑛 − 2 … )= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3 )1Γ(1 !)= (𝑛 − 1 !)then Γ(𝑛) = (𝑛 − 1 𝝅 𝜽𝒅𝜽 𝟏(iv) 𝑩(𝒎, 𝒏) = 𝟐∫𝟎𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒎−𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒏− البرهان انذتذ يفذ الضذريتا 1 𝑥𝐵(𝑚, 𝑛) = ∫0 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑥)𝑛−1 ⅆ 𝜃put 𝑥 = sin2 𝜃 ⇒ ⅆ𝑥 = 2sin 𝜃cos ⅆ 𝜋 = 𝜃 ⇒ if 𝑥 = 0 ⇒ θ = 0, if 𝑥 = 1 2 𝜋 2𝑚−2 2⋅𝑛−2 = )𝑛 ∴ 𝐵(𝑚, 2∫0 sin θs 𝜃𝜃sin cosⅆ ((4 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝜋 Then 𝐵(𝑚, 𝑛) = 2∫0 sin2𝑚−1 θ𝑠 2𝑛−1 𝜃ⅆ𝜃. 4 𝟏 𝟏 𝝅 = ) (V) 𝑩 ( , 𝟐 𝟐 انذالذالقضذالسارمضذ)(ivذ 𝜋 𝜃𝐵(𝑚, 𝑛) = 2∫02 sin2𝑚−1 θ cos 2𝑛−1 𝜃 ⅆ 𝜋 𝜋 1 1 𝜋 = 𝐵 ( , ) = 2∫0 ⅆ𝜃 = 2[𝜃]02 2 2 2 1 1 ∴ 𝐵 ( , ) = 𝜋. 2 2 )𝒎 (vi) 𝑩(𝒎, 𝒏) = 𝑩(𝒏, انذتذ يفذ الضذريتا 1 𝑥𝐵(𝑚, 𝑛) = ∫ x m−1 (1 − 𝑥)𝑛−1 ⅆ 0 𝑦Put 1 − 𝑥 = 𝑦 ⇒ ⅆ𝑥 = −ⅆ if 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 1, if 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 0 0 𝑦𝐵(𝑚, 𝑛) = −∫1 (1 − 𝑦)𝑚−1 𝑦 𝑛−1 ⅆ ((5 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 1 )𝑛 𝐵(𝑚, 𝑦= ∫0 𝑦 𝑛−1 (1 − 𝑦)𝑚−1 ⅆ 1 𝑏 𝑏 = ∫0 𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)𝑚−1 ⅆ𝑥∫𝑎 𝑓(𝑦)ⅆ𝑦 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 Ny then 𝐵(𝑚, 𝑛) = 𝐵(𝑛, 𝑚). !)𝟏(𝒎−𝟏)!(𝒏− = )𝒏 (vii) 𝑩(𝒎, !)𝟏(𝒎+𝒏− 1 𝑥𝐵(𝑚, 𝑛) = ∫0 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑥)𝑛−1 ⅆ 1 𝑚−1 𝑛)𝑥 −(1 − 𝑥 = ∫0 [ⅆ ] 𝑛 1 𝑛)𝑥 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑚−1 1 = [− ] + 𝑥∫0 (1 − 𝑥)𝑛 𝑥 𝑚−2 ⅆ 𝑛 0 𝑛 𝑚−1 = )𝐵(𝑚 − 1, 𝑛 + 1 𝑛 𝐵(𝑚, 𝑛) = 𝐵(𝑛, 𝑛𝑛). لكنذان )(vi 𝑛−1 = )𝑛 𝐵(𝑚, )𝐵(𝑛 − 1, 𝑚 + 1 𝑚 𝑛−1 = )𝐵(𝑚 + 1, 𝑛 − 1 𝑚 𝑛−1 𝑛−2 = ⋅ ))𝐵(𝑚 + 2, 𝑛 − 2 𝑚 𝑚+1 𝑛−1 𝑛−2 1 = ⋅ ⋯⋯ )𝐵(𝑚 + 𝑛 − 1,1 𝑚 𝑚+1 𝑚+𝑛−2 1 𝑥𝐵(𝑚 + 𝑛 − 1,1) = ∫0 𝑥 𝑚+𝑛−2 (1 − 𝑥)0 ⅆ ((6 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 1 x m+n−1 1 [ = )𝐵(𝑚 + 𝑛 − 1 = ] m+n−1 0 𝑚+𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 1 1 = )𝑛 then 𝐵(𝑚, ⋅ ⋯⋯ ⋅ 𝑚 𝑚+1 𝑚+𝑛−2 𝑚+𝑛−1 !)(𝑛 − 1 = )𝑚(𝑚 + 1) ⋯ (𝑚 + 𝑛 − 2)(𝑚 + 𝑛 − 1 !)(𝑚−1)!(𝑛−1 = )(𝑚−1)!𝑚(𝑚+1)…(𝑚+𝑛−1 !)(𝑚 − 1)! (𝑛 − 1 = !)(𝑚 + 𝑛 − 1 !)(𝑚−1)!(𝑛−1 = )𝑛 then 𝐵(𝑚, . !)(𝑚+𝑛−1 ∞ 𝟏𝒙𝒎− ∞ 𝑥 𝑛−1 𝟎∫ = )𝒏 (viii) 𝑩(𝒎, 𝒏𝒎+ 𝒅𝒙 = ∫0 𝑥ⅆ )𝒙(𝟏+ 𝑛(1+𝑥)𝑚+ البرهانذانذتذ يفذ الضذريتا 1 𝑥𝐵(𝑚, 𝑛) = ∫0 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑥)𝑛−1 ⅆ 1 1 = 𝑥 put ⇒ ⅆ𝑥 = − 𝑦ⅆ 𝑦1+ (1+𝑦)2 if 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = ∞, if 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 0 0 1 1 𝑛−1 1 ∞∫𝐵(𝑚, 𝑛) = − ⋅ (1 − ) 𝑦ⅆ (1 + 𝑦)𝑚−1 𝑦1+ (1 + 𝑦)2 ∞ 𝑦 𝑛−1 = ∫0 𝑦ⅆ 𝑛(1 + 𝑦)𝑚+ ((7 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي ∞ 𝑥 𝑛−1 = )𝑛 𝑚(𝐵 ∫0 𝑥ⅆ 𝑚(1 + 𝑥)𝑛+ لكن ذ )𝑛 𝐵(𝑚, )𝑚 = 𝐵(𝑛, ∞ 𝑥 𝑚−1 = )𝑛 𝐵(𝑚, ∫ 𝑚𝑛+ ⅆ𝑥 ….. )𝑥 0 (1 + الضذ اااذكوهايضذحال ذض ب ذ )𝒙(𝜞𝒙 = )𝟏 𝜞(𝒙 + 𝑥 𝑛 !𝑛 𝑚𝑖𝑙 = )𝑥(Γ , 𝑥>0 )𝑛 𝑛→∞ 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ⋯ ⋯ (𝑥 + انذتذ يفذالذا ذالحميمه e 𝑛 1 ذ ) 𝑒 = 𝑙𝑖𝑚 (i + ∞→𝑛 𝑛 𝑛 𝑡 ) 𝑒 −𝑡 = 𝑙𝑖𝑚 (1 − ∞→𝑛 𝑛 انذتذ يفذ الضذ ااا ذ ∞ 𝑡Γ(𝑥) = ∫0 𝑒 −𝑡 𝑡 𝑥−1 ⅆ ((8 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝑛 𝑛 𝑡 𝑡= 𝑙𝑖𝑚 ∫0 (1 − ) 𝑡 𝑥−1 ⅆ ∞→𝑛 𝑛 n 𝑘 𝑡 put 𝐼𝑘 (𝑥) = ∫ (1 − ) 𝑡 𝑥−1 ⅆ𝑡,ذ 0 ≤ k ≤ n, x > 0 𝑛 0 n 𝑘 𝑡 𝑥𝑡 ) ( 𝐼𝑘 (𝑥) = ∫ (1 − ). ⅆ 𝑛 𝑥 0 𝑛 𝑥𝑡 𝑘 𝑡 𝑛 𝑘 𝑥 𝑡 𝑘−1 ) = [(1 − ] + ) ∫ (1 − 𝑡𝑡 ⅆ 𝑛 𝑥 0 𝑛𝑥 0 𝑛 𝑘 = 0+ )𝐼 (𝑥 + 1 𝑛𝑥 𝑘−1 𝐾 = )𝑥( 𝐾𝐼 … )𝐼 (𝑥 + 1 𝑛𝑥 𝐾−1 رتك اسذتطبيقذالذالقضذاألخي ذ رمذ فضذأنذ :ذ 𝑛 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑡 = )𝑥( 𝐼0 𝑡∫0 𝑡 𝑥−1 ⅆ = ] [= 𝑥 0 𝑥 𝑛 = )𝑥( 𝑛𝐼 )𝐼 (𝑥 + 1 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 1 1 = ⋅ ⋅ ⋅⋯ ( (𝑥 + 𝑛). )𝑛𝑥 𝑛(𝑥 + 1) 𝑛(𝑥 + 2 𝑛 )𝑛(𝑥 + 𝑛 − 1 1 ⋯⋯1 ⋅ 2 ⋅ 3 𝑛𝑛 𝑥+ = n ⋅ )𝑛 n 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ⋯ (𝑥 + 𝑛 − 1) (𝑥 + ((9 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝑥 𝑚 !𝑛 = )I0 (x + n )𝑛 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ⋯ (𝑥 + 𝑥 𝑛 !𝑛 )𝑥(∴ Γ 𝑚𝑖𝑙 = )𝑥( 𝑛𝐼 𝑚𝑖𝑙 = . ∞→𝑛 )𝑛 𝑛→∞ 𝑥(𝑥 + 1) ⋯ (𝑥 + مالحظة :ذراستواابذالواليضذ()ixذيمكنذإثباتذالواليضذ( )iiذ 𝑛! 𝑛 𝑥+1 𝑚𝑖𝑙 = )𝛤(𝑥 + 1 )𝑛 𝑛→∞ (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) ⋯ − (𝑥 + 1 + 𝑥𝑛 𝑥 𝑛 !𝑛 [ 𝑚𝑖𝑙 = ⋅ ] )𝑛→∞ 𝑥 + 1 + 𝑛 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) … (𝑥 + n 𝑥𝑛 𝑥 𝑛 !𝑛 𝑚𝑖𝑙 𝑚𝑖𝑙 ⋅ )𝑛 𝑛→∞ 𝑥 + 1 + 𝑛 𝑛→∞ 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ⋯ (𝑥 + 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥⌈(𝑥), 𝑥 > 0 العالقة بين دالة بيتا ودالة جاما : )𝒏(𝚪 )𝒎(𝚪 = )(x) B(m,n )𝒏𝚪(𝒎+ أعاا ذحميميضذا بضذ m,nذ البرهان انذتذ يفذ الضذ اااذ ذ ∞ 𝑡Γ(𝑚) = ∫0 𝑒 −𝑡 𝑡 𝑚−1 ⅆ ((10 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي ∞ 𝑠𝛤(𝑛) = ∫0 𝑒 −𝑠 𝑠 𝑛−1 ⅆ ∞ ∞ 𝑠Γ(m) ⋅ Γ(n) = ∫0 𝑒 −𝑡 𝑡 𝑚−1 ⅆ𝑡 ⋅ ∫0 𝑒 −𝑠 𝑠 𝑛−1 ⅆ 𝛿 𝛽 𝛿 𝛽 𝑥∫𝛾 ∫𝛼 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑦)ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 = ∫𝛾 𝑔(𝑦)ⅆ𝑦∫𝛼 𝑓(𝑥)ⅆ ∞ ∞ 𝑠then 𝛤(𝑚)Γ(𝑛) = ∫ ∫0 ⅇ−(t+s) t m−1 𝑠 𝑛−1 ⅆ𝑡 ⅆ 0 حيثذاجاثذالتكاا ذال وائهذ ذال رعذاأل ثذانذالمست ىذ t,sذ put 𝑡 = 𝑢2 , 𝑠 = 𝑣 2 )𝑠∂(𝑡, | = 𝑠then ⅆ𝑡 ⅆ 𝑣| ⅆ𝑢 ⅆ )𝑣∂(𝑢, 𝑠∂ 𝑡∂ 𝑣= 1 |∂𝑢 ∂𝑣| 1ⅆ𝑢 ⅆ 𝑠∂ 𝑡∂ 𝑣∂ 𝑣∂ 2𝑢 0 |= 1 𝑣| ⅆ𝑢 ⅆ𝑣 = 4𝑢𝑣 ⅆ𝑢 ⅆ 𝑣0 2 ∞ ∞ 2 2 𝑉Γ(𝑚) ⋅ Γ(𝑛) = 4∫0 ∫0 𝑒 −(𝑢 +𝑣 ) 𝑢2𝑚−1 𝑉 2𝑛−1 ⅆ𝑢 ⅆ راستذماثذاإلحااثياتذالمطبيض :ذ 𝑈 = 𝑟 cos θ 𝑉 = 𝑟sin θ ((11 دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي ∂(𝑢,𝑣) ∂(𝑟,𝜃) du dv = 1 ∣ ⅆ𝑟 ⅆ𝜃 1 ∂𝑢 ∂𝑣 = 1 | ∂𝑟 ∂𝑟 | 1 ⅆ𝑟ⅆ𝜃 ∂𝑢 ∂𝑉 ∂𝜃 ∂𝜃 asⅇ sin 𝜃 = 1| | ⅆ𝑟ⅆ𝜃 = 𝑟ⅆ𝑟ⅆ𝜃 − rsin 𝜃 rcos 𝜃 then Γ(𝑛)𝛤(𝑚) = 𝜋 ∞ 2 4∫02 ∫0 𝑒 −𝑟 𝑟 2𝑚+2𝑛−1 cos 2𝑚−1 𝜃 sin2𝑛−1 𝜃 ⅆ𝑟ⅆ𝜃 𝜋 = [2∫02 sin2n−1 𝜃 cos 2𝑚−1 𝜃 ⅆ𝜃] ∞ 2 [2∫0 𝑒 −𝑟 𝑟 2𝑚+2𝑛−1 ⅆ𝑟] 𝜋 𝐵(𝑚, 𝑛) = 2∫02 cos 2𝑛−1 𝜃 sin2𝑛𝑚−1 𝜃 ⅆ𝜃 ∞ 2 𝐼 = 2∫0 𝑒 −𝑟 𝑟 2𝑚+2𝑛−1 ⅆ𝑟 2 put 𝑟 = 𝑦 then 2𝑟ⅆ𝑟 = ⅆ𝑦 ∞ 𝐼 = ∫0 𝑒 −𝑦 𝑦 𝑚+𝑛−1 ⅆ𝑦 = Γ(𝑚 + 𝑛) ∴ Γ(𝑛)Γ(𝑚) = 𝐵(𝑛, 𝑚) ⋅ 𝛤(𝑚 + 𝑛) 𝐵(𝑛, 𝑚) = 𝐵(𝑚; 𝑛) لكن Γ(𝑛)Γ(𝑚) ∴ 𝐵(𝑚, 𝑛) = Γ(𝑛) + 𝑚) (12( عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝟏 𝝅√ = ) (√ )(xi 𝟐 )𝑛(𝛤)𝑚(𝛤 = )𝑛 𝐵(𝑚, )𝑛 𝛤(𝑚 + 1 1 1 ) ( Γ2 = ) 𝐵( , 2 2 2 )Γ(1 1 ) ( 𝜋 = Γ2 2 1 then Γ ( ) = √𝜋. 2 تغيير العالقة ( )xمن حساب بعض التكامالت المحددة فمثال: 𝜋 = 𝐼1 𝜃∫02 sin3 𝜃 cos 5 𝜃 ⅆ 2𝑚 − 1 = 3, 2𝑛 − 1 = 5 ⇒ 𝑚 = 2, 𝑛=3 1 )1 Γ(2)Γ(3 ⋅ = )𝐼1 = 𝐵(2,3 2 2 )Γ(5 1 1⋅2⋅1 1 ⋅ =. 2 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 24 ((13 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝜋 2 𝐼2 = ∫ sin4 θ cos 2 θ ⅆθ: 0 2𝑚 − 1 = 4, 2𝑛 − 1 = 2 5 3 =𝑛 ⇒𝑚= , 2 2 5 3 1 5 3 )1 Γ (2) ⋅ Γ (2 = ) 𝐼2 = 𝐵 (. 2 2 2 2 )Γ(4 3 2 3 1 2 Γ (2) 1 1 1 ⋅ = ) ( = ⋅ ⋅ ⋯ Γ2 2 3⋅2⋅1 8 4 2 𝜋 = . 32 خواص هامة: 𝝅 𝝅 ‼)𝟏 (𝒏 − 𝒏 عدد 𝟐 ⋅ زوجي ‼𝒏 𝟐 ذ = 𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝐧𝐢𝐬 ∫ ‼)𝟏 (𝒏 − 𝒏 عدد 𝟎 ‼𝒏 فردي ((14 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝜋 𝜋 ‼)(𝑛 − 1 𝒏 عدد 2 ⋅ زوجي ‼𝑛 2 ذ = 𝑥∫ cos 𝑛 𝑥 ⅆ ‼)(𝑛 − 1 𝒏 عدد 0 ‼𝑛 فردي ‼)(𝑚 − 1)‼ (𝑛 − 1 𝒏 𝒎, 𝜋 عددان 2 ‼)𝑛 (𝑚 + زوجيان ذ 𝜋 = 𝑥∫ sinn x cos 𝑛 𝑥 ⅆ ⋅ 𝒏 𝒎, 2 ‼)(𝑚 − 1)‼ (𝑛 − 1 عددان 0 غير ‼)𝑛 (𝑚 + زوجيان بعض التكامالت الهامة: ذ )1اذا كانت 𝒇 دالة زوجية أي )𝒙(𝒇 = )𝒙𝒇(− لجميع قيم 𝒙 فان 𝒂 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 ∫ 𝒂− 𝒂 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 ∫ 𝟐 = 𝟎 ((15 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي )2اذا كانت 𝒇 دالة فردية أي )𝒙(𝒇 = )𝒙𝒇(− لجميع قيم 𝒙 𝒂 فان𝟎 = 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 𝒂∫− ذ 𝒂 )3اذا كانت 𝒇 متماثلة = 𝒙 𝟐 أي لجميع قيم 𝒙 فان 𝒂 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 ∫ 𝟎 𝒂 𝟐 ذ 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 ∫ 𝟐 = 𝟎 )4اذا كانت 𝒇 متماثلة تماثالً 𝒂 معكوس حول = 𝒙 أي 𝟐 )𝒙(𝒇 = )𝒙𝒇(−لجميع قيم 𝒙 فان 𝒂 𝟎 = 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 ∫ ذ 𝟎 أمثل ة : ((16 دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 𝜋 2 (Ⅰ) 𝐼1 = ∫ sin3 𝜃 cos 5 𝜃ⅆ𝜃 0 2!! 4!! 2×4×2 1 = = =. 8!! 8 × 6 × 4 × 2 24 𝜋 2 (Ⅱ) 𝐼2 = ∫ sin4 𝜃 cos 2 𝜃 ⅆ𝜃 0 𝜋 3‼ ⋅ 1!! 𝜋 3 × 1 × 1 𝜋 𝜋 = ⋅ = ⋅ = 2 6!! 2 6 × 4 × 2 2 32 𝜋 2 (Ⅲ) 𝐼3 = ∫ sin4 θ csc 5 𝜃 ⅆθ 𝜋 − 2 𝑓(6) = sin4 θsin5 θ 𝑓(−6) = sin4 (−6)css5 (−6) ∴ 𝑓(−𝜃) = sin4 θcos 5 𝜃 = 𝑓(𝜃) 2 𝐼3 = 2 ∫ sin4 𝜃 cos 5 θ ⅆ𝜃 0 3! 44 3×1×4×2 16 = 2⋅ =2 = 9‼ 9 × 7 × 5 × 3 × 1 315 𝜋 2 𝐼3 = 2 ∫ sin4 𝜃 cos 5 𝜃 ⅆ𝜃. 0 2𝑚 − 1 = 4 , 2𝑛 − 1 = 5 (17( عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 5 𝑚= , 𝑛=3 2 5 5 )Γ ( ) ⋅ Γ(3 𝐼3 = 𝐵 ( , 3) = 2 2 11 ) (Γ 2 5 Γ( ) ⋅ 2 16 = 2 = 9 7 5 5 ⋅ ⋅ Γ ( ) 315 2 2 2 2 𝜋 (Ⅵ) 𝐼4 = ∫ cos 4 θ ⅆ𝜃. 0 𝜃 𝑓(𝜃) = csc 4 𝜃 𝑓(𝜋 − 𝜃) = cos 4 (𝜋 − 𝜃) = cos 4 )𝜃 ∴ 𝑓(𝜃) = 𝑓(𝜋 − 𝜋 اذنذاتماثلضذح ثذالمستميمذ = 𝜃 يك ن ذ 2 𝜋 𝐼4 = 2 ∫ cos 4 θ ⅆ𝜃. 0 𝜋3!! 𝜋 2 × 3 𝜋 3 ⋅= 2 = ⋅ = ⋅ 4‼ 2 4 × 2 2 8 ((18 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي ذ ح ذأخ ذ ذ 𝜋 5 𝜃𝐼3 = 2 ∫ cos 4 𝜃ⅆ 0 2𝑚 − 1 = 0 , 2𝑛 − 1 = 4 1 5 =𝑚 , =𝑛 2 2 1 5 1 5 ) (Γ( ) ⋅ Γ 𝐼3 = 𝐵 ( , ) = 2 2. 2 2 )Γ(3 1 3 1 1 𝜋Γ ( ) ⋅ ⋅ Γ ( ) 3 = 2 2 2 2 2.1 8 ذ 𝝅 = )𝒑 (xii) 𝚪(𝒑)𝚪(𝟏 − , 𝟏 0 0 (1 + )𝑥 ((19 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي ∞ )𝑛(Γ(𝑚)Γ 𝑥 𝑚−1 ∫= 𝑛𝑚+ 𝑥ⅆ )𝑛 Γ(𝑚 + )𝑥 0 (1 + ذ يك نذ0 < 𝑛 < 1ذذذ,ذ0 < 𝑚 < 1ذفانذ𝑚 + 𝑛 = 1ذر ضعذ ∞ 𝑥 𝑚−1 ∫ = )𝑚 𝛤(𝑚)𝛤(1 − 𝑥ⅆ 𝑥1+ 0 ذ يمكنذراستذماثذالتكاا ذالكوت سيذانذن بت :ذ ∞ 𝑥 𝑚−1 𝜋 ∫0 = 𝑥ⅆ , 0 ) log (1 + 𝑛 2𝑛 + 1 ذ تمهيد ()iiذذالمتتارذضذ) 𝑛𝑎(ذتواقصيضذ ذ 𝑛 + 1 𝑛+1 1 𝑛𝑎 !𝑛 ) 𝑒 ( √𝑛 + 1 (𝑛 + 1)𝑛+2 = ⋅ = 𝑛 𝑛)𝑛( 𝑎𝑛+1 !)(𝑛 + 1 1 √ 𝑒 𝑒 𝑛𝑛+2 1 1 1 𝑛+2 ) = (1 + 𝑒 𝑛 1 انذتمهيا()iذحيثذكلماذنجا) log (1 +ذنح فهاذ نضعذاكانها ذ 𝑛 1 2 > ) log (1 + 𝑛 2𝑛 + 1 ((28 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 1 رالض بذانذ) (𝑛 +ذيك نذ ذ 2 1 1 (𝑛 + ) log (1 + ) > 1 2 𝑛 1 1 1 𝑛+2 1 𝑛+2 𝑛𝑎 ) log (1 + >1 ) ⇒ (1 + ⇒ 𝑒> >1 𝑛 𝑛 𝑎𝑛+1 اذنذذذ 𝑛𝑎 < 𝑎𝑛+1ذلجميعذالميمذ𝑛ذالطبيذيضذأيذان 𝑛𝑎ذالمتارذضذاتواقصض.ذ ذ ذ تمهيد ()iii 𝑛(𝑛!)2 22 1 lim ) (= Γ 𝑛√ !)𝑛𝑛→∞ (2 2 ((29 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝑥 𝑛 !𝑛 )𝑥(Γ = lim )𝑛 𝑛→∞ 𝑥(𝑥 + 1) ⋅ −(𝑥 + 1 𝑛√ !𝑛 ) (Γ = lim 2 𝑛→∞ 1 3 5 2𝑛 + 1 ⋯ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 𝑛+1 𝑛√ !𝑛 2 = lim )𝑛→∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ (2𝑛 + 1 𝑛2𝑛 𝑛! 2√𝑛2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ⋅ 2 = lim ∞→𝑛 !)(2𝑛 + 1 22𝑛 (𝑛!)2 𝑛2 = lim ⋅ 𝑛→∞ (2𝑛)! √𝑛 2𝑛 + 1 22𝑛 (𝑛!)2 = lim . 𝑛√ !)𝑛𝑛→∞ (2 قاعدتان مهمتان )1اذاذكانتذالمتتارذضذ 𝑛𝑎ذاتزايا ذأيذان:ذ 𝑛𝑎 < 𝑎𝑛+1ذلجميعذالميمذ ذانذاعلىذأيذانذ:ذ≤ 𝑛𝑎 𝑛ذالطبيذيضذ,ذ كانتذاحا ((30 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 𝑚ذفإنهذي اذللمتارذهذقيمذنهائيض.ذتك نذنهايضذ ̅, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 2 lim 𝑎2 𝑛𝑎 𝑛 ∞→𝑛𝑛 lim = المتتارذهذ هذالغ ذحاذاعلىذاوهاذ= 𝑛𝑛→∞ 𝑎2 𝑎 lim 𝑛𝑛→∞ 2 𝑟2 ذ 𝑟= 𝑛 )2اذاذكانتذالمتتارذضذ 𝑛𝑎ذاتواقصضذأيذان:ذ 𝑛𝑎 < 𝑎𝑛+1ذلجميعذالميمذ ذانذاسف ذأيذانذ:ذ≥ 𝑛𝑎 𝑛ذالطبيذيضذ,ذ كانتذاحا اذللمتارذهذقيمذنهائيض.ذتك نذنهايضذالمتتارذهذ 𝑚ذفإنهذي ̅, ∀ 𝑛 ∈ ℕ هذاكب ذحاذالغ ذاوهاذ"ذكب ىذالصغائ نعود الى برهان القانون : ((31 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي ذانذاسف ذالنذ𝑎𝑛 > 0ذ.ذاذنذي اذلهاذنهايضذ,ذ المتتارذضذ 𝑛𝑎ذاتواقصضذاحا نف ضذانهاذ𝑟ذأي :ذ 𝑟 = 𝑛𝑎 lim ∞→𝑛 𝑎𝑛2 lim 𝑎𝑛2 𝑟 2 𝑛 lim ∞→𝑛 = = 𝑟= 𝑛𝑛→∞ 𝑎2 𝑛lim 𝑎2 𝑛 ∞→𝑛 𝑛2𝑛 2 𝑎𝑛2 )!𝑛( 2 𝑛( 𝑒 ) ⋅ √2 lim = lim ⋅ ∞→𝑛 𝑛𝑎2 ∞→𝑛 𝑛𝑛 2 !)𝑛(2 𝑛√ ⋅ ) 𝑒 ( 𝑛√2(𝑛!)2 ⋅ 22 = lim ∞→𝑛 𝑛√ !)𝑛(2 من تمهيد ( )iiiيكون 𝑎𝑛2 1 lim 𝜋= √2 ⋅ Γ ( ) = √2 𝑛𝑛→∞ 𝑎2 2 𝜋𝑟 = lim 𝑎𝑛 = √2 ∞→𝑛 !𝑛 ∴ lim 𝑛 ⋯ =1 ∞→𝑛 𝑛 𝑛𝜋( 𝑒 ) ⋅ √2 ((32 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي تمارين ()1 برهن صحة كل من التكامالت التالية ∞ 2 𝜋√ = 𝑥(1) ∫−∞ 𝑒 −𝑥 ⅆ 1 1 𝜋√ = 𝑥(2) ∫ √log ⅆ 𝑥 2 0 𝜋 1 𝜃2 (3) ∫02 (tⅇn3 𝜃 + tan5 𝜃)𝑒 −tan = 𝜃ⅆ 2 1 1 𝜋√ ) (Γ 1 (4)∫0 = 𝑥ⅆ ⋅ 𝑛 𝑛 𝑥 √1 − )𝑛 Γ ( 1 + 1 𝑛 2 𝜋 𝜋 = 𝜃(5) ∫02 √tan 𝜃ⅆ √2 2 ∞ 3 𝜋√ = 𝑥(6)∫0 √𝑥𝑒 −𝑥 ⅆ 3 ((33 عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 1 1 (7) ∫0 𝜋√ = 𝑥ⅆ 𝑥 √−log 2 1 16√3 = 𝑥(8) ∫0 𝑥(8 − 𝑥 3 )3 ⅆ 𝜋 27 𝜋 1 1 = (9) ∫04 √sⅇc 26ⅆ6 ) (Γ 4√2𝜋 4 ∞ 1 (10)∫0 4 4 ⅆ𝑥 = 𝜋√2 √𝑥 + √𝑥 5 𝑎 1 𝜋2 𝑎(11) ∫− 3 = 𝑥ⅆ ) √(𝑎 − 𝑥)(𝑎2 − 𝑥 2 √3 2 3 𝜋 Γ )(4 𝑥 √sin (12)∫0 = 𝑥3 ⅆ (5 + 365𝑥)2 𝜋2√2 π 2 (sin 𝑥)2𝑚−1 (cos 𝑥)2𝑛−1 )𝑛 𝐵(𝑚, ∫ )(13 𝑥ⅆ = 𝑛(𝑎cos 2 𝑥 + 𝑏sin2 𝑥)𝑚+ 𝑚 𝑏 𝑛𝑎2 0 1 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑥)𝑛−1 )𝑛 𝐵(𝑚, ∫ )(14 𝑚𝑛+ 𝑛 = 𝑥ⅆ )𝑎 (𝑥 − 𝑚)𝑎 𝑎 (1 + 0 ((34 دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي ذذذذذذذذذذذذذذذذذذذذذ 5 )ذاحسبذقيمضذالممااسذi( )1( 2 - :الحل n 1 n انذالذالقضذالتاليضذذ n 1 5 ذذذثمذرالتذ ياذعنذ n ضعذذ ر 2 2 5 3 3 1 1 5 2 2 2 2 5 5 5 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 8 5 3 5 3 1 5 3 1 15 2 2 2 2 2 2 2 2 ------------------------------------- B m, n B n, m نذأنذذ )ذذرii( :الح ل 1 B(m, n) x m1 (1 x) n1 dx الضذريتاذ انذتذ يفذ 0 y 1 x, dy dx, x 0 y 1, x 1 y 0 ياذ رالتذ (35( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 1 0 B(m, n) x m 1 (1 x) n 1 dx (1 y ) m 1 y n 1 ( dy ) 0 1 0 1 y n 1 (1 y ) m 1 dy y n 1 (1 y ) m 1 dy B(n, m) 1 0 ------------------------------------- m B m 1, n B m, n نذأنذذ )ذذرii( mn :الح ل m 1 n m m n m B m 1, n B m, n m n 1 (m n) m n mn ------------------------------------- n B m, n 1 B m, n ) برهن أنii( mn :الح ل m n 1 n m n n B m, n 1 B m, n m n 1 (m n) m n mn (أ)ذاحسبذكالذاماذيلهذ ذ.1 5 )i( 2 n 1 n انذالذالقضذالتاليضذذ :الحــــل n (36( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 1 5 ذ ذذذثمذرالتذ ياذعنذ n ضعذذ ر 2 2 5 3 3 1 1 5 2 2 2 2 5 5 5 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 8 5 3 5 3 1 5 3 1 15 2 2 2 2 2 2 2 2 ------------------------------------- 9 4 )ذii( 1 4 n 1 n n انذالذالقضذالتاليضذذ :الحــــل 9 ذذذثمذرالتذ ياذ n ضعذذ ر 4 9 5 5 5 5 1 5 1 1 1 1 ذ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 1 1 1 1 1 16 4 4 4 4 4 ------------------------------------- (37( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي (ب)ذ m 1 n m m n m B m 1, n B m, n m n 1 (m n) m n mn ذذذذذذذذذذ 5 7 )ذاحسبذقيمضذالممااسذi( )1( 3 3 :الحل n 1 n ,0 n 1 ذ n 1 n n انذالذالقاتذالتاليضذذ sin( n) 5 ذذ n ضعذذ ر 3 5 2 2 2 4 1 1 1 3 3 3 3 3 3 7 ذذذ ذ n ضعذذ ر 3 7 4 4 4 4 1 4 1 1 1 1 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (38( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي ذعنذ ذرالتذ يا ثم 5 7 2 1 4 1 1 4 2 1 1 1 1 .. .. 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 8 16 27 27 3 27 3 sin 3 2 ذB 1,1 1 )ذذر نذأنذذii( 1 B(m, n) x m1 (1 x) n1 dx الضذريتاذ ذذانذتذ يفذ:الحل 0 ذرالتذ ياذ ذثم ذ m 1, n 1 ذ ذ ر ضع 1 1 B(1,1) x (1 x) dx dx x 0 1 0 1 11 11 1 0 0 -------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------- 7 )ذii( )ذi((ب)ذاحسبذكالذاماذيلهذذ 2 5 7 3 3 :الحل 7 )i( 2 (39( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي n 1 n n انذالذالقضذالتاليضذذ :الحــــل 1 7 ذذذثمذرالتذ ياذعنذ n ضعذذ ر 2 2 7 5 5 5 5 3 5 3 3 1 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 1 5 3 1 1 5 3 1 15 . 1 .. .. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 ذ------------------------------------- 5 7 )ذii( 3 3 ذ n 1 n n انذالذالقاتذالتاليضذذ:الحــــل n 1 n ,0 n 1 sin( n) 5 ذذ n ضعذذ ر 3 5 2 2 2 4 1 1 1 3 3 3 3 3 3 7 ذذذ ذ n ضعذذ ر 3 (40( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 7 4 4 4 4 1 4 1 1 1 1 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ثمذرالتذ ياذعنذ 5 7 2 1 4 1 1 4 2 1 1 1 1 .. .. 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 8 16 27 27 3 27 3 sin 3 2 ----------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------- 1 )ذii( (1) 1 )ذذi(نذكالذاماذيلهذ ر.1 2 B 1,1 1 )ذiii( :الحل (1) 1 )ذذi( ذ (n) e x x n1dx اااذ انذتذ يفذ الضذ:الحــــل 0 (41( عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي ذ ذثييييييييم ذرييييييييالييييييييتييييييييذيييييييي ييييييييياذ ذn 1 ريييييييي ضييييييييييييييع ذ e e0 0 1 1 (1) e x dx e x dx e x x 11 0 0 0 1 ()iiذ 2 n 1 n الحــــل:انذالذالقضذالتاليضذذ , 0 n 1 )sin( n 1 ذذثمذرالتذ ياذعنذ ر ضعذذ n 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 sin 1 2 1 رأخ ذالج سذالت ريذهذللط فينذ 2 ------------------------------------- ()iiiذ B 1,1 1 1 الضذريتاذ B(m, n) x m1 (1 x) n1 dx الحــــل :انذتذ يفذ 0 ((42 دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي ذ ذثيييييييم ذرييييييياليييييييتيييييييذييييييي يييييييياذ m 1, n 1 ذ رييييييي ضيييييييييييييع ذ 1 1 B(1,1) x11 (1 x)11 dx dx x 0 1 0 1 1 0 0 ----------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------- 1 1 log dx )ذi(احسبذالتكااالتذاآلتيضذ.2 0 x :الحل (n) e x x n1dx اااذ انذتذ يفذ الضذ 0 1 1 t log et x e t , dx e t dt ذ x x عنذذ رالتذ يا x 0 t , x 1 t 0 1 1 0 1 3 1 0 log dx e t tdt e t t 2 dt e t t 2 dt x 0 0 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ------------------------------------- 4 sec 2x dx )ذii( 0 (43( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي :الحــــل 2 B (m, n) 2 cos 2 m 1 ( ) sin 2 n 1 ( ) d الضذريتاذ انذتذ يفذ 0 1 2x x dx d 2 2 رالتذ يا عنذذ x 0 0, x 4 2 4 1 1 12 12 12 sec 2 x dx sec d cos 2 ( )d cos 2 ( ) sin 0 ( ) d 0 20 20 20 1 1 1 2m 1 2m m 2 2 4 رالمماسنضذ 1 2n 1 0 2n 1 n 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 cos ( ) sin 0 ( ) d .2 cos 2 ( ) sin 0 ( ) d B , 2 1 4 2 4 0 4 4 2 4 1 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 3 4 2 1 4 2 1 4 2 4 4 1 2 1 3 4 3 4 3 4 2 4 4 4 4 (44( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي انذالذالقضذ ذ 22 n 1 1 2n n n 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 4 1 3 2 1 3 2 2 2 2 4 4 4 2 4 4 4 4 1 1 3 2 4 4 1 1 2 4 2 4 ------------------------------------- 1 dx )ذiii( 0 6 x5 (1 x) 2 x m1 x n 1 B(m, n) dx 0 (1 x)mn dx الضذريتاذ انذتذ يفذ:الحــــل 0 (1 x) m n 5 6 1 x 0 6 x (1 x) 5 2 dx 0 (1 x ) 2 dx رالمماسنض (45( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 5 11 m 1 m 6 6 11 1 mn 2 n 2m n 2 n 6 6 11 1 11 1 1 1 1 11 1 B , 6 6 6 6 6 6 2 6 6 11 1 12 2 1 sin 6 6 6 6 2 -------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------- )ذii( e x dx ذ x )i( احسب ذالتكااالت ذاآلتيض ذ.3 2 6 0 2 3 5 x 0 (1 x)2 dx )ذiii( cos 0 2 2 ( x) sin ( x) dx e x2 x 6 dx )ذi(:الحــــل 0 ذ (n) e x x n1dx اااذ انذتذ يفذ الضذ 0 1 t x 2 x t , dx dt ذ t عنذذ رالتذ يا x 0 t 0, x t (46( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 1 1 t 3 12 1 t 52 6 e x dx e 2 0 2 0 x t dt 2 6 t e t dt e t dt 0 0 2 t 1 7 1 5 5 1 5 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 3 1 1 15 1 15 2 2 2 2 2 16 2 16 ------------------------------------- 2 3 5 cos 2 ( x) sin 2 ( x)dx )ذii( 0 2 ذ B (m, n) 2 cos 2 m 1 ( ) sin 2 n 1 ( ) d الضذريتاذ انذتذ يفذ:الحــــل 0 3 5 5 2m 1 2m m 2 2 4 رالمماسنضذ 5 7 7 2n 1 2n n 2 2 4 (47( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 5 7 2 3 5 1 5 7 1 4 4 0 cos ( x) sin ( x)dx 2 B 4 , 4 2 5 7 2 2 4 4 1 1 1 3 1 1 1 1 4 4 4 4 1 4 4 ذ 2 3 32 2! 1 2 64 64 1 64 sin 4 2 ------------------------------------ x m1 x n 1 B(m, n) dx dx الضذريتاذ )ذانذتذ يفذiii( 0 (1 x) m n 0 (1 x) m n 1 x x2 0 (1 x)2 dx 0 (1 x)2 dx رالمماسنض 1 3 m 1 m 2 2 3 1 mn 2 n 2m n 2 n 2 2 (48( عنوان المحاضرة :دوال بيتا و جاما المحاضرة األولي 3 1 1 1 1 1 1 2 3 1 B , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 !1 ذ 2 2 1 2 2 2 ----------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------- ( )1أ ييييييييييا ذ قيييييييييييييييييييييم ذالييييييييييتييييييييييكييييييييييااييييييييييالت ذاآلتيييييييييييييييييييييض: 3 5 2 x2 6 x (i) e x dx (ii) dx (iii) cos ( x) sin 2 ( x)dx 2 2 0 )0 (1 x 0 e x2 الحــــل)i(:ذ x 6 dx 0 اااذ (n) e x x n1dx انذتذ يفذ الضذ 0 1 t x 2 x t , dx dt ذ t عنذذ رالتذ يا x 0 t 0, x t ((49 دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 1 1 t 3 12 1 t 52 6 e x dx e 2 0 2 0 x t dt 2 6 t e t dt e t dt 0 0 2 t 1 7 1 5 5 1 5 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 3 1 1 15 1 15 2 2 2 2 2 16 2 16 ------------------------------------- x m1 x n 1 B(m, n) dx 0 (1 x)mn dx الضذريتاذ )ذانذتذ يفذii( 0 (1 x) m n 1 2 x x (1 x) 0 2 dx 0 (1 x ) 2 dx رالمماسنض 1 3 m 1 m 2 2 3 1 mn 2 n 2m n 2 n 2 2 (50( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 B , 2 2 2 2 2 2 6 2 2 3 1 2 2! 2 2 1 1 2 2 sin 2 1 2 2 2 ------------------------------------- 2 3 5 cos 2 ( x) sin 2 ( x)dx )ذiii( 0 2 B (m, n) 2 cos 2 m 1 ( ) sin 2 n 1 ( ) d الضذريتاذ انذتذ يفذ:الحــــل 0 3 5 5 2m 1 2m m 2 2 4 رالمماسنضذ 5 7 7 2n 1 2n n 2 2 4 (51( دوال بيتا و جاما:عنوان المحاضرة المحاضرة األولي 5 7 3 5 1 5 7 1 4 4 cos ( x) sin ( x) dx B , 2 2 2 4 4 2 5 7 4 4 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 2 2 3 32 2! 64 64 1 64 sin 4 2 ----------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------- :) أ ييييييييييا ذقيييييييييييييييييييييم ذالييييييييييتييييييييييكييييييييييااييييييييييالت ذاآلتيييييييييييييييييييييض1( 1 2 2 2 1 x (i) log dx (ii) dx (iii) tan d 0 x 0 2x 0 (n) e x x n1dx من تعريف دالة جاما:الح ل 0 1 1 t log et x e t , dx e t dt ذ x x عنذذ رالتذ يا x 0 t , x 1 t 0 1 1 0 1 3 1 (i) log dx e t tdt e t t 2 dt e t t 2 dt 0 x 0
