Proportionnalité_COURS 2023 PDF

05 Proportionnalité Synthèse sur la proportionnalité 1) Grandeurs proportionnelles Définition Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre appelé coeff...

05 Proportionnalité Synthèse sur la proportionnalité 1) Grandeurs proportionnelles Définition Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Exemple : Contre-exemple : Considérons le tableau ci-dessous : Considérons le tableau ci-dessous : 2 5 −3 3 5 7 × 2,3 4,6 11,5 − 6,9 6,3 10,6 14,7 4 ,6 11 ,5 −6 ,9 6,3 10, 6 On a : = = =2, 3 On a : = 2,1 ; = 2,12. 2 5 −3 3 5 Les quotients sont tous égaux donc c'est un 6 ,3 10, 6 Donc: ≠ , tableau de proportionnalité. 3 5 Le coefficient de proportionnalité est.2,3 donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité. Propriétés  Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors elles sont représentées par des points alignés avec l'origine du repère.  Si deux grandeurs sont représentées par des points alignés avec l’origine du repère, alors ces grandeurs sont proportionnelles. Exemples : Situations de proportionnalité Situations de non proportionnalité 2) Calculs en situation de proportionnalité Exemple : Dans un marais salant, il faut faire évaporer 1 000 g d'eau de mer pour obtenir 32 g de sel. Quelle quantité d'eau de mer doit s'évaporer pour obtenir 500 g de sel? ème 3 1  Avec la «règle de trois» : Pour 32 g de sel, il faut 1 000g d’eau de mer. 1000 Donc pour 1 g de sel, il faut = 31,25 g d’eau de mer. 32 Et pour 500 g de sel, il faut 31,25 × 500 = 15 625 g d’eau de mer.  Avec un coefficient de proportionnalité : x = 500 × 31,25 = 15 625 g × 15,625  En multipliant les quantités: Sel ( en g) 32 500 x = 1 000 × 15,625 = 15 625 g × 31,25 Eau (en g) 1 000 x  Avec l’égalité des produits en croix: 1000×500 x= =15 625 g 32 Pourcentages Propriétés t Calculer t % d’une quantité revient à la multiplier par 100 t Réduire de t % une quantité revient à la multiplier par 1− 100 t Augmenter de t % une quantité revient à la multiplier par 1+ 100 Exemples : Prendre 35% de x. Augmenter x de 35%. Diminuer x de 35%. Calcul à Multiplier par 0,35 Multiplier par 1,35 Multiplier par 0,65 effectuer Prendre 35% Augmenter 380 Diminuer 380 de 380 : de 35% : de 35% : Exemple : 380 × 0,35 = 133 380 × 1,35 = 513 380 × 0,65 = 247 Applications : 1 Quel est le prix de cette 2 Quel était le prix avant 3 Quel est le pourcentage raquette? réduction de cette paire de d'augmentation du prix de chaussure ? cette casquette? ème 3 2  1 Diminuer de 15% revient à multiplier par 3 On cherche t tel que 25 × t = 30,75 0,85. 30 , 75 Or : 230 × 0,85 = 195,5 donc : t = =1, 23 25 Donc, le nouveau prix de cette raquette est Multiplier par 1,23 revient à augmenter de 195,50 €. 23%. Donc le prix de la casquette a augmenté de 2 Diminuer de 30% revient à multiplier par 23%. 0,7. On cherche p tel que p × 0,7 = 69,3 69 , 3 donc : p = =99 0 ,7 Avant réduction, les chaussures coûtaient 99 €. Notion de ratios Définition a b  On dit que deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3 si = 2 3 a b c  On dit que trois nombres a, b et c sont dans le ratio 2 : 3 : 4 si = = 2 3 4 Remarques : a 2  Si deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3 alors on a aussi =. b 3  Si deux nombres a et b sont dans le ratio 3 : 4 alors : 3 a est égal à du nombre a+b. 7 a b 4 b est égal à du nombre a+b 7  Si trois nombres a , b et c sont dans le ratio 2 : 3 : 4 alors il y a une relation de proportionnalité entre les quantités a, b et c : « Il faut 2 volumes de a pour 3 volumes de b et 4 volumes de c ». Exemples : 1 Un écran de TV en 16 : 9 signifie que sa longueur et sa largeur sont dans le ratio 16 : 9. a) Un écran de 532 mm de longueur et 351 mm de largeur est-il en 16 : 9 ? 16 532 ≈1,78 et ≈1,52 9 351 178≠ 1,52 donc 532 et 351 ne sont pas dans le ratio 16 : 9. Finalement, l'écran n'est pas en 16 : 9. b) L'écran 16 : 9 de Marc a une longueur de 144 cm qu'elle est sa largeur l ? 144 16 Les nombres 48 et l sont dans le ratio 16 : 9 donc =. l 9 144×9 A l'aide des produit en croix : l= = 81 16 La largeur de l'écran de Marc mesure 81 cm. ème 3 3  2 On considère une bouteille de 96 cl de jus de fruit pomme-raisin. Le volume de jus de raisin et le volume de jus de pomme sont dans le ratio 3 : 5. Déterminer les volumes de jus de raisin et de jus de pomme contenus dans cette bouteille de jus de fruit. 3 Raisin : 3 parts  le raisin représente du total 8 3+5=8 donc le raisin 5 Pomme : 5 parts  la pomme représente du total 8 3 5 ×96=36 cL et ×96=60 cL 8 8 Donc il y a 36 cL de jus de raisin et 60cL de jus de pomme dans la bouteille. 3 Pour remplir une bétonnière on utilise souvent le ratio suivant : 1 volume de ciment, 2 volumes de sable et 3 de gravier. Quelle quantité de ciment et de gravier faut-il utiliser pour 5 m 3 de sable ? Les quantités de ciment, sable et gravier sont donc dans le ratio 1 : 2 : 3. En notant, c la quantité de ciment, s la quantité de sable et g la quantité de gravier, c s g on obtient : = = 1 2 3 c 5 g Si on a 5 m 3 de sable, alors : = = 1 2 3 5 Donc c= =2,5 m 3 de ciment 2 3×5 Et : g= =7,5 m 3 de gravier (on peut aussi faire g=3 × 2,5=7,5 car il y a, en graviers, 3 2 fois la quantité de ciment.) ème 3 4