Precálculo. Matemáticas para el cálculo, 7ma Edición PDF

Precálculo Matemáticas para el cálculo Séptima edición Stewart Redlin Watson SÉPTIMA EDICIÓN PRECÁLCULO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO  ACERCA DE LOS AUTORESS J AMES S TEWART obtuvo la maes- L OTHAR R EDLIN creció en la isla S ALEEM W ATSON recibi...

Precálculo Matemáticas para el cálculo Séptima edición Stewart Redlin Watson SÉPTIMA EDICIÓN PRECÁLCULO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO  ACERCA DE LOS AUTORESS J AMES S TEWART obtuvo la maes- L OTHAR R EDLIN creció en la isla S ALEEM W ATSON recibió su licen- tría de la Universidad de Stanford y el de Vancouver, obtuvo una licencia- ciatura en Ciencias por la Universidad doctorado de la Universidad de To- tura en Ciencias de la Universidad de Andrews, en Michigan. Realizó estu- ronto. Realizó una investigación en la Victoria, y recibió un doctorado de la dios de posgrado en la Universidad Universidad de Londres y fue influen- Universidad de McMaster en 1978. de Dalhousie y en la Universidad de ciado por el famoso matemático Posteriormente se dedicó a la inves- McMaster, donde obtuvo su docto- George Polya en la Universidad de tigación y la docencia en la Universi- rado, en 1978. Posteriormente se Stanford. Stewart es profesor emérito dad de Washington, en la Universidad dedicó a la investigación en el Institu- de la Universidad McMaster y actual- de Waterloo y en la Universidad to de Matemáticas de la Universidad mente es profesor de matemáticas en Estatal de California en Long Beach. de Varsovia, en Polonia. También en- la Universidad de Toronto. Su campo En la actualidad es profesor de mate- señó en la Universidad Estatal de de investigación es el análisis armó- máticas en la Universidad Estatal Pennsylvania. Actualmente es profe- nico y las conexiones entre las mate- de Pennsylvania, en el Campus de sor de matemáticas en la Universidad máticas y la música. James Stewart es Abington. Su campo de investigación Estatal de California, Long Beach. Su el autor de una exitosa serie de libros es la topología. campo de investigación es el análisis de texto para cálculo publicada por funcional. Cengage Learning, incluyendo Cálculo, Cálculo: trascendentes tempra- nas y Cálculo: conceptos y contextos; una serie de textos de precálculo; y una serie de libros de texto de matemáticas para secundaria. Stewart, Redlin y Watson también han publicado College Algebra, Trigonometry, Algebra and Trigonometry y (con Phyllis Panman) College Algebra: Concepts and Contexts. La obra cuenta con material adicional en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.  SÉPTIMA EDICIÓN PRECÁLCULO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO JAMES STEWART M C MASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO LOTHAR REDLIN THE PENNSYLVANIA STATE UNIVERSITY SALEEM WATSON CALIFORNIA STATE UNIVERSITY, LONG BEACH Con la ayuda de Phyllis Panman Traducción Mtro. Javier León Cárdenas Formación básica ESIQIE IPN Revisión técnica Dra. Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur  Precálculo. Matemáticas © D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., para el cálculo, 7a. ed. una Compañía de Cengage Learning, Inc. James Stewart, Lothar Redlin Corporativo Santa Fe y Saleem Watson Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe Director Editorial para C.P. 05349, México, D.F. Latinoamérica: Cengage Learning® es una marca registrada Ricardo H. Rodríguez usada bajo permiso. Editora de Adquisiones para Latinoamérica: DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de Claudia C. Garay Castro este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, Gerente de Manufactura para transmitida, almacenada o utilizada en Latinoamérica: cualquier forma o por cualquier medio, ya sea Antonio Mateos Martínez gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, Gerente Editorial de Contenidos reproducción, escaneo, digitalización, en Español: grabación en audio, distribución en internet, Pilar Hernández Santamarina distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas Gerente de Proyectos Especiales: de información a excepción de lo permitido Luciana Rabuffetti en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento Coordinador de Manufactura: por escrito de la Editorial. Reg 703 Rafael Pérez González Traducido del libro Precalculus: Mathematics Editora: for Calculus , Seventh Edition. Abril Vega Orozco James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson. Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016. Diseño de portada: ISBN: 978-1-305-07175-9 Anneli Daniela Torres Arroyo Datos para catalogación bibliográfica: Imagen de portada: Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson. © zhu difeng/Shutterstock Precálculo. Matemáticas para el cálculo , 7a. ed. ISBN: 978-607-526-279-6 Composición tipográfica: Heriberto Gachuz Chavez Visite nuestro sitio en: Humberto Nuñez Ramos http://latinoamerica.cengage.com Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16 CONTENIDO PREFACIO ix AL ESTUDIANTE xvi PRÓLOGO: PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS xvii CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS 1 Resumen del capítulo 1 1.1 Números reales 2 1.2 Exponentes y radicales 13 1.3 Expresiones algebraicas 25 1.4 Expresiones racionales 36 1.5 Ecuaciones 45 1.6 Números complejos 59 1.7 Modelado con ecuaciones 65 1.8 Desigualdades 81 1.9 El plano coordenado; gráficas de ecuaciones; circunferencias 92 1.10 Rectas 106 1.11 Solución gráfica de ecuaciones y desigualdades 117 1.12 Modelos usando variaciones 122 Capítulo 1 Repaso 130 Capítulo 1 Examen 137 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste lineal de datos 139 CAPÍTULO 2 FUNCIONES 147 Resumen del capítulo 147 2.1 Funciones 148 2.2 Gráficas de funciones 159 2.3 Obtener información a partir de la gráfica de una función 170 2.4 Razón de cambio promedio de una función 183 2.5 Funciones lineales y modelos 190 2.6 Transformaciones de funciones 198 2.7 Combinación de funciones 210 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas 219 Capítulo 2 Repaso 229 Capítulo 2 Examen 235 ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con funciones 237 CAPÍTULO 3 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 245 Resumen del capítulo 245 3.1 Funciones y modelos cuadráticos 246 3.2 Funciones polinomiales y sus gráficas 254 3.3 División de polinomios 269 3.4 Ceros reales de polinomios 275 3.5 Ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra 287 3.6 Funciones racionales 295 v vi Contenido 3.7 Desigualdades polinomiales y racionales 311 Capítulo 3 Repaso 317 Capítulo 3 Examen 323 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales 325 CAPÍTULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 329 Resumen del capítulo 329 4.1 Funciones exponenciales 330 4.2 La función exponencial natural 338 4.3 Funciones logarítmicas 344 4.4 Leyes de logaritmos 354 4.5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 360 4.6 Modelado con funciones exponenciales 370 4.7 Escalas logarítmicas 381 Capítulo 4 Repaso 386 Capítulo 4 Examen 391 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas exponenciales y de potencia 392 Examen acumulativo de repaso: capítulos 2, 3 y 4 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. CAPÍTULO 5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA 401 Resumen del capítulo 401 5.1 La circunferencia unitaria 402 5.2 Funciones trigonométricas de números reales 409 5.3 Gráficas trigonométricas 419 5.4 Más gráficas trigonométricas 432 5.5 Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 439 5.6 Modelado de movimiento armónico 445 Capítulo 5 Repaso 460 Capítulo 5 Examen 465 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas senoidales 466 CAPÍTULO 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 471 Resumen del capítulo 471 6.1 Medida de un ángulo 472 6.2 Trigonometría de triángulos rectángulos 482 6.3 Funciones trigonométricas de ángulos 491 6.4 Funciones trigonométricas inversas y triángulos rectángulos 501 6.5 La ley de senos 508 6.6 La ley de cosenos 516 Capítulo 6 Repaso 524 Capítulo 6 Examen 531 ENFOQUE SOBRE MODELADO Topografía 533  Contenido vii CAPÍTULO 7 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA 537 Resumen del capítulo 537 7.1 Identidades trigonométricas 538 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 545 7.3 Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 553 7.4 Ecuaciones trigonométricas básicas 564 7.5 Más ecuaciones trigonométricas 570 Capítulo 7 Repaso 576 Capítulo 7 Examen 580 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ondas viajeras y estacionarias 581 Examen acumulativo de repaso: capítulos 5, 6 y 7 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. CAPÍTULO 8 COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 587 Resumen del capítulo 587 8.1 Coordenadas polares 588 8.2 Gráficas de ecuaciones polares 594 8.3 Forma polar de números complejos: teorema de De Moivre 602 8.4 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 611 Capítulo 8 Repaso 620 Capítulo 8 Examen 624 ENFOQUE SOBRE MODELADO La trayectoria de un proyectil 625 CAPÍTULO 9 VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES 629 Resumen del capítulo 629 9.1 Vectores en dos dimensiones 630 9.2 El producto punto 639 9.3 Geometría de coordenadas en tres dimensiones 647 9.4 Vectores en tres dimensiones 653 9.5 El producto cruz 659 9.6 Ecuaciones de rectas y planos 666 Capítulo 9 Repaso 670 Capítulo 9 Examen 675 ENFOQUE SOBRE MODELADO Campos vectoriales 676 Examen acumulativo de repaso: capítulos 8 y 9 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. CAPÍTULO 10 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES 679 Resumen del capítulo 679 10.1 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 680 10.2 Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas 690 10.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 699 10.4 El álgebra de matrices 712 10.5 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales 724 10.6 Determinantes y regla de Cramer 734 10.7 Fracciones parciales 745 10.8 Sistemas de ecuaciones no lineales 751 10.9 Sistemas de desigualdades 756 Capítulo 10 Repaso 766 Capítulo 10 Examen 773 ENFOQUE SOBRE MODELADO Programación lineal 775 viii Contenido CAPÍTULO 11 SECCIONES CÓNICAS 781 Resumen del capítulo 781 11.1 Parábolas 782 11.2 Elipses 790 11.3 Hipérbolas 799 11.4 Cónicas desplazadas 807 11.5 Rotación de ejes 816 11.6 Ecuaciones polares de las cónicas 824 Capítulo 11 Repaso 831 Capítulo 11 Examen 835 ENFOQUE SOBRE MODELADO Cónicas en arquitectura 836 Examen acumulativo de repaso: capítulos 10 y 11 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. CAPÍTULO 12 SUCESIONES Y SERIES 841 Resumen del capítulo 841 12.1 Sucesiones y notación de sumatoria 842 12.2 Sucesiones aritméticas 853 12.3 Sucesiones geométricas 858 12.4 Matemáticas de finanzas 867 12.5 Inducción matemática 873 12.6 El teorema del binomio 879 Capítulo 12 Repaso 887 Capítulo 12 Examen 892 ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con sucesiones recursivas 893 CAPÍTULO 13 LÍMITES: UNA MIRADA PREVIA AL CÁLCULO 897 Resumen del capítulo 897 13.1 Hallar límites numérica y gráficamente 898 13.2 Encontrar límites algebraicamente 906 13.3 Rectas tangentes y derivadas 914 13.4 Límites en el infinito; límites de sucesiones 924 13.5 Áreas 931 Capítulo 13 Repaso 940 Capítulo 13 Examen 943 ENFOQUE SOBRE MODELADO Interpretaciones del área 944 Examen acumulativo de repaso: capítulos 12 y 13 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. El siguiente material se encuentra disponible en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. APÉNDICE A Repaso de geometría APÉNDICE B Cálculos y cifras significativas APÉNDICE C Gráficas con una calculadora graficadora APÉNDICE D Uso de la calculadora graficadora TI-83/84 RESPUESTAS ÍNDICE PREFACIO ¿Qué necesitan saber realmente los estudiantes para estar preparados para el cálcu- lo? ¿Qué herramientas necesitan verdaderamente los profesores para ayudar a sus alum- nos a prepararse para el cálculo? Estas dos preguntas han motivado la escritura de este libro. Para estar preparado para el cálculo un estudiante necesita no sólo conocimientos técnicos, sino también una clara comprensión de conceptos. De hecho, la comprensión conceptual y los conocimientos técnicos van de la mano y se refuerzan entre sí. Un estudiante también necesita valorar el poder y la utilidad de las matemáticas para mo- delar el mundo real. Todos los temas de este libro de texto están destinados a promover dichos objetivos. Al escribir esta séptima edición, nuestro propósito es mejorar aún más la utilidad del libro como herramienta de enseñanza para profesores y como herramienta de aprendi- zaje para estudiantes. Hay varios cambios importantes en esta edición, que son resul- tado de las sugerencias que hemos recibido de profesores y estudiantes que han usado este texto; otros son resultado de las ideas que hemos adquirido a través de nuestra propia enseñanza. Algunos capítulos se han reorganizado y se han vuelto a escribir, se han agregado nuevas secciones (como se describe a continuación), el material de repaso al final de cada capítulo se ha ampliado sustancialmente, y los conjuntos de ejercicios se han mejorado para centrarse más en los conceptos principales del precálculo. En todos estos cambios y muchos otros (pequeños y grandes) hemos mantenido las princi- pales características que han contribuido al éxito de este libro. Lo nuevo en la séptima edición Ejercicios Más de 20% de los ejercicios son nuevos y ahora los grupos de estos tienen títulos que identifican el tipo de cada uno. Nuevos ejercicios de Habilida- des plus en la mayoría de las secciones contienen actividades más desafiantes que requieren que los estudiantes amplíen y sinteticen conceptos. Material de repaso El material de repaso al final de cada capítulo incluye un resumen de Propiedades y fórmulas y una nueva Verificación de conceptos. Cada Verificación de conceptos proporciona un repaso paso a paso de los principales conceptos y aplicaciones del capítulo. Las respuestas a las preguntas de la Verifica- ción de conceptos se encuentra disponible en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. Proyectos de descubrimiento Las referencias de los Proyectos de descubri- miento, incluyendo breves descripciones del contenido de cada proyecto, se pre- sentan en recuadros, en su caso, en cada capítulo. Estos recuadros resaltan las aplicaciones del precálculo en muchos contextos del mundo real. (Los proyectos se encuentran en el sitio web que acompaña el libro: www.stewartmath.com).* Repaso de geometría Un nuevo apéndice A contiene un repaso de los principa- les conceptos de la geometría utilizados en este libro, incluyendo la semejanza y el teorema de Pitágoras. CAPÍTULO 1 Fundamentos Este capítulo contiene ahora dos nuevas secciones. La sección 1.6, “Números complejos” (que antes estaba en el capítulo 3), y que ahora se ha movido aquí. Y la sección 1.12, “Modelos usando variaciones” está ahora también en este capítulo. CAPÍTULO 2 Funciones Este capítulo incluye la nueva sección 2.5, “Funciones lineales y modelos”. Esta sección resalta la conexión entre la pendiente de una recta y la rapidez de cambio de una función lineal. Estas dos interpretaciones de pendiente ayudan a preparar a los estudiantes para el concepto de derivada en cálculo. * Este material se encuentra disponible en inglés. ix x Prefacio CAPÍTULO 3 Funciones polinomiales y racionales Este capítulo ahora incluye la nueva sección 3.7, “Desigualdades polinomiales y racionales”. La sección 3.6, “Funciones racionales”, tiene una nueva subdivisión de funciones racionales con “agujeros”. Las secciones sobre números complejos y variación se han movido al capítulo 1. CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas El capítulo ahora incluye dos secciones sobre las aplicaciones de estas funciones. La sección 4.6, “Modelado con funciones exponenciales” se enfoca en modelizar el crecimiento y el decai- miento, la ley de enfriamiento de Newton y otras aplicaciones. La sección 4.7, “Escalas logarítmicas”, cubre el concepto de una escala logarítmica con aplica- ciones de las escalas de pH, Richter y decibelios. CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria Este capítulo incluye una nueva subsección que trata el concepto de corrimiento de fase que se usa al modelar el movimiento armónico. CAPÍTULO 10 Sistemas de ecuaciones y desigualdades El material en los sistemas de las desigualdades se ha vuelto a escribir para enfatizar los pasos utilizados en el trazo de la solución gráfica de un sistema de desigualdades. Enseñanza con la ayuda de este libro Estamos profundamente conscientes de que la buena enseñanza se presenta en muchas formas, y que hay numerosos métodos diferentes para enseñar los conceptos y conoci- mientos de precálculo. La organización de los temas de este libro está diseñada para contener diferentes estilos de enseñanza. En particular, cada tema se presenta algebraica- mente, gráficamente, numéricamente y verbalmente con énfasis en las relaciones entre estas representaciones diferentes. Las siguientes son algunas características especiales que se pueden utilizar para complementar los diferentes estilos de enseñanza y apren- dizaje: Conjuntos de ejercicios La forma más importante de fomentar la comprensión con- ceptual y perfeccionar los conocimientos técnicos es a través de los problemas que el profesor asigna. Con este fin hemos incluido una amplia selección de ejercicios. Ejercicios de concepto Estos ejercicios le piden al estudiante que use lenguaje matemático para expresar datos fundamentales acerca de temas de cada sección. Ejercicios de habilidades Estos ejercicios refuerzan y proporcionan práctica con todos los objetivos de aprendizaje de cada sección. Comprenden el núcleo de cada conjunto de ejercicios. Ejercicios de habilidades plus Los ejercicios de Habilidades plus tienen proble- mas desafiantes que requieren a menudo de la síntesis de material previamente aprendido con los nuevos conceptos. Ejercicios de aplicación Hemos incluido problemas aplicados sustanciales de muchos contextos diferentes del mundo real. Creemos que estos ejercicios capta- rán el interés de los estudiantes. Aprendizaje por descubrimiento, redacción y grupo de aprendizaje Cada conjunto de ejercicios termina con un bloque de ejercicios llamado Descubrimiento Dis- cusión Demostración Redacción. Estos ejercicios están diseñados para estimu- lar al estudiante a experimentar, de preferencia en grupos, con los conceptos desarrollados en la sección y luego redactar acerca de lo que ha aprendido, más que tan sólo ver la respuesta. Los nuevos ejercicios de Demostración destacan la importancia de deducir una fórmula. Ahora intente hacer el ejercicio Al final de cada ejemplo en el texto, el estudiante es dirigido a un ejercicio similar en la sección que ayuda a reforzar los conceptos y conocimientos desarrollados en ese ejemplo. Verifique su respuesta Los estudiantes son animados a comprobar si la respuesta obtenida es razonable. Esto se enfatiza en todo el texto en numerosas secciones de notas al margen llamadas Verifique su respuesta, que acompañan a los ejem- plos. (Vea, por ejemplo, las páginas 54 y 71).  Prefacio xi Un capítulo completo de repaso Hemos incluido un extenso capítulo de repaso principalmente como referencia práctica para los conceptos básicos que son prelimina- res a este curso. CAPÍTULO 1 Fundamentos Este es el capítulo de repaso; contiene los conceptos fundamentales de álgebra y geometría analítica que un estudiante necesita para iniciar un curso de precálculo. Es necesario que se estudie en clase todo lo que se pueda, dependiendo de la experiencia de los estudiantes. EXAMEN DEL CAPÍTULO 1 El examen del capítulo 1 está diseñado como examen de diagnóstico para determinar qué partes de este capítulo de repaso tienen que enseñarse. También sirve para ayudar a los estudiantes a medir exactamente qué temas necesitan repasar. Método flexible a la trigonometría Los capítulos de trigonometría de este texto se han escrito de modo que sirvan para enseñar en primer término ya sea el método del triángulo rectángulo o el de la circunferencia unitaria. Mencionar estos dos métodos en capítulos diferentes, cada uno con sus aplicaciones importantes, ayuda a aclarar el pro- pósito de cada uno de estos métodos. Los capítulos que incluyen la trigonometría son los siguientes. CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria Este capítulo introduce la trigonometría por el método de la circunferencia unitaria. Resalta el hecho de que las funciones trigonométricas son de números reales, igual que las funciones polinomiales y exponenciales con las que los estudiantes están más familiarizados. CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo Este capítulo introduce la trigonometría a través del método del triángulo rectángulo, que tiene como base un curso convencional en trigonometría de preparatoria. Otra forma de enseñar trigonometría es entrelazar los dos métodos. Algunos profe- sores imparten este material en el siguiente orden: secciones 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, 6.3, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 6.4, 6.5 y 6.6. Nuestra organización facilita lo anterior sin ocultar el hecho de que ambos métodos contienen distintas representaciones de las mismas funciones. Computadoras y calculadoras graficadoras Hacemos uso de computadoras y calculadoras graficadoras en ejemplos y ejercicios a lo largo de todo el libro. Nuestros ejemplos orientados a calculadoras siempre están precedidos a su vez por ejemplos don- de los estudiantes deben graficar o calcular manualmente, por lo que se entiende con precisión lo que hará la calculadora cuando más adelante la usen para simplificar la rutina, parte mecánica de su trabajo. Las secciones, subsecciones, ejemplos y ejercicios referentes a calculadoras graficadoras, todos están indicados con el símbolo especial , son opcionales y se pueden omitir sin perder de continuidad. Uso de una calculadora graficadora En el sitio web que acompaña al libro, www.stewartmath.com* se encuentran las directrices generales sobre el uso de calculadoras gráficas y una guía de referencia rápida para el uso de la TI-83/84. Gráficas, regresión, álgebra de matrices Las funciones de la calculadora graficadora se usan en todo el texto para graficar y analizar funciones, familias de funciones y sucesiones; para calcular y graficar curvas de regresión; para realizar álgebra de matrices; para graficar desigualdades lineales y para otros poderosos usos. Programas sencillos Explotamos las funciones de programación de una calcula- dora graficadora para simular situaciones reales, para sumar series o para calcular los términos de una sucesión periódica (vea, por ejemplo, las páginas 628, 896 y 939). Enfoque sobre modelado El tema de modelado se ha utilizado en todo el libro para unificar y aclarar las numerosas aplicaciones de precálculo. Hemos hecho un gran es- fuerzo para aclarar los procesos esenciales de traducir problemas del español al len- guaje de matemáticas (vea las páginas 238 y 686). * Este material se encuentra disponible en inglés. xii Prefacio Construcción de modelos Hay numerosos problemas aplicados en todo el libro en donde al estudiante se le da un modelo a analizar (vea, por ejemplo, la página 250). Pero el material sobre modelos, en el que al estudiante se le pide construir modelos matemáticos, ha sido organizado en secciones y subsecciones clara- mente definidas (vea, por ejemplo, las páginas 370, 445 y 685). Enfoque sobre modelado Cada capítulo concluye con una sección de Enfoque sobre modelado. La primera de estas secciones, después del capítulo 1, intro- duce la idea básica del modelado de una situación real al ajustar rectas a los datos (regresión lineal). Otras secciones presentan formas en las que se usan los sistemas de desigualdades y funciones con polinomios, exponenciales, logarít- micas y trigonométricas para modelar fenómenos conocidos de ciencias y de la vida real (vea, por ejemplo, las páginas 325, 392 y 466). Secciones de repaso y exámenes de capítulo Cada capítulo termina con una ex- tensa sección de repaso que incluye lo siguiente. Propiedades y fórmulas Las Propiedades y fórmulas al final de cada capítulo contienen un resumen de las principales fórmulas y procedimientos del capítulo (vea, por ejemplo, las páginas 386 y 460). Verificación de conceptos y respuestas de la verificación de conceptos La Verifica- ción de conceptos al final de cada capítulo está diseñada para que los estudiantes piensen y expliquen con sus propias palabras las ideas presentadas en el capítulo y para que después apliquen el concepto en un problema dado. Esto proporciona una revisión paso a paso de todos los conceptos principales de un capítulo (vea, por ejemplo, las páginas 230, 319 y 769). Las respuestas a las preguntas de Veri- ficación de conceptos están en hojas desprendibles en la parte posterior del libro. Ejercicios de repaso Los Ejercicios de repaso, al final de cada capítulo, recapitu- lan los conceptos y conocimientos básicos e incluyen ejercicios que combinan las diferentes ideas aprendidas en el capítulo. Examen de capítulo Las secciones de repaso concluyen con un Examen de capí- tulo diseñado para ayudar a los estudiantes a medir su avance. Exámenes acumulativos de repaso Los Exámenes acumulativos de repaso, que siguen a los capítulos seleccionados, están disponibles en el sitio web del libro. Estos exámenes contienen problemas que combinan conocimientos y conceptos de los capítulos precedentes. Los problemas están diseñados para destacar las conexiones entre los temas de estos capítulos relacionados. Respuestas Al final de este libro se dan breves respuestas a los ejercicios de número impar en cada sección (incluyendo los ejercicios de repaso), y a todas las preguntas de los Ejercicios de conceptos y Exámenes de capítulo. Viñetas matemáticas En todo el libro hacemos uso de los márgenes para presentar notas históricas, ideas importantes o aplicaciones de las matemáticas en el mundo mo- derno. Estas sirven para dinamizar el material y demostrar que las matemáticas son una actividad importante y vital, y que incluso a este nivel elemental son fundamentales para la vida diaria. Viñetas matemáticas Estas viñetas incluyen biografías de interesantes matemáti- cos y con frecuencia incluyen alguna clave importante que hayan descubierto (vea, por ejemplo, las viñetas de Viète, página 50; Salt Lake City, página 93; y datación con radiocarbono, página 367). Las matemáticas en el mundo moderno Esta es una serie de viñetas que destaca el papel central de las matemáticas en los actuales avances en tecnología y en las ciencias (vea, por ejemplo, las páginas 302, 753 y 784). Sitio web del libro El sitio web del libro se puede ver en www.stewartmath.com.* El sitio incluye numerosas fuentes útiles para enseñar precálculo, incluyendo lo si- guiente. * Este material se encuentra disponible en inglés.  Prefacio xiii Proyectos de descubrimiento Los Proyectos de descubrimiento para cada capítulo se encuentran en el sitio web.* Cada proyecto contiene un conjunto de actividades desafiantes pero accesibles que hace posible que los estudiantes (quizá trabajando en grupos) exploren con mayor profundidad un interesante aspecto del tema que acaban de aprender. (Vea, por ejemplo, los proyectos de descubrimiento Visualiza- ción de una fórmula, Relaciones y funciones, ¿Sobrevivirá la especie? y Gráficas por computadora I y II, referenciadas en las páginas 29, 163, 719, 738 y 820). Enfoque en la solución de problemas En el sitio web* se encuentran varias seccio- nes de Enfoque en la solución de problemas, cada una de las cuales destaca uno de los principios para resolver problemas que se introduce en el prólogo e incluye varios problemas con grado de dificultad. (Vea, por ejemplo, Reconocer patrones, Uso de analogías, Introducir algo extra, Tomar casos y Trabajar a la inversa). Exámenes acumulativos de repaso Los Exámenes acumulativos de repaso, que siguen a los capítulos 4, 7, 9, 11 y 13 están disponibles en el sitio web.* Apéndice B: Cálculos y cifras significativas Este apéndice, disponible en el sitio web* del libro, contiene directrices de redondeo cuando se trabaja con valores aproximados. Apéndice C: Gráficas con una calculadora graficadora Este apéndice, disponible en el sitio web* del libro, incluye las directrices generales para graficar con una calculadora graficadora, así como las pautas sobre cómo evitar errores comunes en las gráficas. Apéndice D: Uso de la calculadora graficadora TI-83/84 En este apéndice, disponi- ble en el sitio web* del libro, ofrecemos instrucciones simples, fáciles de seguir paso a paso para usar las calculadoras graficadoras TI-83/84. Reconocimientos Nos sentimos afortunados de que todos los involucrados en la producción de este libro hayan trabajado con excepcional energía, intensa dedicación y entusiasmo. Es sorpren- dente cuántas personas son esenciales en la producción de un libro de texto de matemá- ticas incluyendo editores de contenidos, revisores, colegas de la facultad, editores de producción, editores de texto, editores de permisos, revisores de soluciones y de preci- sión, artistas, investigadores de imágenes, diseñadores de texto, tipógrafos, cajistas, correctores, impresores y muchos más. Agradecemos a todos ellos. Mencionamos espe- cialmente a las siguientes personas. Revisores para la sexta edición Raji Baradwaj, UMBC; Chris Herman, Lorain County Community College; Irina Kloumova, Sacramento City College; Jim McCleery, Skagit Valley College, Whidbey Island Campus; Sally S. Shao, Cleveland State Univer- sity; David Slutzky, Gainesville State College; Edward Stumpf, Central Carolina Com- munity College; Ricardo Teixeira, University of Texas en Austin; Taixi Xu, Southern Polytechnic State University; y Anna Wlodarczyk, Florida International University. Revisores para la séptima edición Mary Ann Teel, University of North Texas; Natalia Kravtsova, The Ohio State University; Belle Sigal, Wake Technical Communi- ty College; Charity S. Turner, The Ohio State University; Yu-ing Hargett, Jefferson State Community College–Alabama; Alicia Serfaty de Markus, Miami Dade College; Cathleen Zucco-Teveloff, Rider University; Minal Vora, East Georgia State College; Sutandra Sarkar, Georgia State University; Jennifer Denson, Hillsborough Community College; Candice L. Ridlon, University of Maryland Eastern Shore; Alin Stancu, Columbus State University; Frances Tishkevich, Massachusetts Maritime Academy; Phil Veer, Johnson County Community College; Cathleen Zucco-Teveloff, Rider University; Phillip Miller, Indiana University–Southeast; Mildred Vernia, Indiana University–Southeast; Thurai Kugan, John Jay College-CUNY. Agradecemos a nuestros colegas que continuamente comparten con nosotros sus ideas acerca de la enseñanza de las matemáticas. Agradecemos especialmente a Robert Mena de la California State University, Long Beach; nos hemos beneficiado de su gran conocimiento sobre las matemáticas y su historia. Damos las gracias a Cecilia McVoy de la Penn State Abington por sus sugerencias. Agradecemos a Andrew Bulman-Fle- ming por escribir el Manual de soluciones y a Doug Shaw de la University of Northern * El sitio web del libro es www.stewartmath.com. (Este material se encuentra disponible en inglés.) xiv Prefacio Iowa por escribir la Guía del profesor y la Guía de estudio. Estamos muy agradecidos con Frances Gulick de la University of Maryland por comprobar la precisión del ma- nuscrito entero y realizar cada ejercicio; sus muchas sugerencias y correcciones han contribuido grandemente a la exactitud y consistencia de los contenidos de este libro. Agradecemos a Martha Emry, nuestra editora de arte y servicio de producción; su energía, dedicación y experiencia han sido componentes esenciales en la creación de este libro. Estamos muy agradecidos por su notable capacidad para recordar al instante, cuando se requirió, cualquier detalle de todo el manuscrito, así como su extraordinaria capacidad para manejar simultáneamente varias líneas de edición interdependientes. Agradecemos a Barbara Willette, nuestra editora de texto, por su atención a cada deta- lle en el manuscrito y para garantizar un estilo coherente y apropiado a través del libro. Agradecemos a nuestra diseñadora, Diane Beasley, por el diseño elegante y adecuado de las páginas interiores del libro. Agradecemos a Graphic World por sus gráficos atrac- tivos y precisos y a Precision Graphics por hacer realidad muchas de nuestras ilustra- ciones. Agradecemos a nuestros diagramadores de Graphic World por garantizar un aspecto equilibrado y coherente de cada página del libro. En Cengage Learning agradecemos a Jennifer Risden, gerente de contenido del pro- yecto, por su gestión profesional de la producción del libro. Damos las gracias a Lynh Pham, editora de medios, por su manejo experto de muchos problemas técnicos, inclu- yendo la creación del sitio web del libro. Agradecemos a Vernon Boes, director de arte, por su atinada administración en el diseño del libro. Damos las gracias a Mark Linton, gerente de mercadotecnia por apoyo en dar a conocer el libro a aquellos que podrán utilizarlo en sus clases. Agradecemos especialmente a nuestra editora de desarrollo, Stacy Green, por guiar hábilmente y facilitar todos los aspectos de la creación de este texto. Su interés en la obra, su familiaridad con el manuscrito entero y sus casi inmediatas respuestas a nues- tras muchas consultas han hecho de su escritura una experiencia aún más agradable para nosotros. Sobre todo, agradecemos a nuestro editor de adquisiciones, Gary Whalen. Su vasta experiencia editorial, su amplio conocimiento de temas actuales en la enseñanza de las matemáticas, su habilidad en el manejo de los recursos, necesaria para mejorar este li- bro, y su profundo interés en los libros de texto de matemáticas han sido invaluables en la creación de esta obra. Material didáctico auxiliar Recursos para el profesor* Sitio web del profesor* ¡Todo lo que necesita para su curso en un solo lugar! Esta colección de libros de lectura y herramientas específicas para la clase está disponible en línea en www.cengage.com/ login. Ingrese y descargue presentaciones en PowerPoint, imágenes, el manual del pro- fesor y más. Manual de soluciones completo* El manual de soluciones completo ofrece soluciones desarrolladas a todos los proble- mas que aparecen en el texto. Situado en el sitio web. Banco de exámenes* El banco de exámenes proporciona exámenes de capítulo final junto con las claves de las respuestas. Se encuentra en el sitio web. Guía del profesor* La Guía del profesor contiene puntos importantes, sugiere el tiempo de dedicación, temas de análisis del texto, materiales importantes de clase, sugerencias para taller y análisis, ejercicios de trabajo en grupo, en un formato adecuado para su impresión, y sugerencias de problemas de tarea. Se encuentra en el sitio web. * Este material se encuentra disponible en inglés.  Prefacio xv Planes de clase* Los planes de clase ofrecen sugerencias de actividades y clases con notas de asignación de tiempo para garantizar la eficiencia y la puntualidad en la clase. Se encuentra en el sitio web. Cengage Learning Testing Powered by Cognero* (ISBN-10: 1-305-25853-3; ISBN-13: 978-1-305-25853-2) CLT es un sistema en línea flexible que le permite a usted escribir, editar y manejar el contenido del banco de exámenes; crear distintas versiones de examen en un instante y ofrecer exámenes en su LMS, su salón de clases o donde lo desee. Está disponible en línea a través de www.cengage.com/login. Enhanced WebAssign* (Tarea web mejorada) Printed Access Card: 978-1-285-85833-3 Instant Access Code: 978-1-285-85831-9 La Enhanced WebAssign (Tarea web mejorada) combina la excepcional matemática contenida con la solución de tareas de más de grande alcance en línea, WebAssign®. Enhanced WebAssign involucra a los estudiantes con realimentación inmediata, conte- nido tutorial y un eBook interactivo, totalmente personalizable, Cengage YouBook, para ayudar a los estudiantes a desarrollar una comprensión conceptual más profunda de su materia. Recursos para el estudiante* Student Solutions Manual* (Manual de soluciones para el estudiante) (ISBN-10: 1-305-25361-2; ISBN-13: 978-1-305-25361-2) Contiene soluciones completamente resueltas para todos los ejercicios de número impar del texto, lo que da a los estudiantes una forma de verificar sus respuestas y cerciorarse de que siguieron los pasos correctos para llegar a la respuesta. Study Guide* (Guía de estudio) (ISBN-10: 1-305-25363-9; ISBN-13: 978-1-305-25363-6) La Guía de estudio refuerza el entendimiento del estudiante con explicaciones detalladas, ejemplos desarrollados y problemas de la práctica. También enumera ideas clave para el dominio y la construcción de habilidades para la solución de problemas. Hay una sección en la Guía de estudio, correspondiente a cada sección en el texto. Note-Taking Guide* (Guía para tomar notas) (ISBN-10: 1-305-25383-3; ISBN-13: 978-1-305-25383-4) La guía para tomar notas es una ayuda de estudio innovador que apoya a los estudiantes para desarrollar un resumen de conceptos clave sección por sección. Text-Specific DVDs* (ISBN-10: 1-305-25400-7; ISBN-13: 978-1-305-25400-8) Los Text-Specific DVDs incluyen nuevos videos de exposición en clase basados en ob- jetivos de aprendizaje. Estos DVD dan una cobertura completa del curso, junto con explicaciones adicionales de conceptos, problemas de muestra y aplicaciones que ayu- dan a los estudiantes a repasar temas esenciales. CengageBrain.com* Por favor visite www.cengagebrain.com para tener acceso a materiales adicionales para el curso. En la página inicial de CengageBrain.com, ingrese el ISBN de su título me- diante la caja de búsqueda en el área superior de la página (el ISBN lo puede consultar en la tapa posterior de su libro o en la página legal) mediante la caja de búsqueda en el área superior de la página. Esto lo llevará a la página del producto en donde puede en- contrar estos recursos. Enhanced WebAssign* Printed Access Card: 978-1-285-85833-3 Instant Access Code: 978-1-285-85831-9 La Enhanced WebAssign combina el contenido matemático excepcional con el más poderoso solucionador de tareas en línea, WebAssign. Enhanced WebAssign atrae a los estudiantes con realimentación inmediata, contenido tutorial y un eBook interactivo, totalmente personalizable, Cengage YouBook, que ayuda a los estudiantes a desarrollar una comprensión conceptual más profunda de la materia. * Este material se encuentra disponible en inglés.  AL ESTUDIANTE Este libro de texto ha sido escrito como una guía para que domine las matemáticas del precálculo. Veamos a continuación algunas sugerencias para ayudarle a sacar el má- ximo provecho de su curso. Antes que nada, debe leer la sección de texto correspondiente antes de intentar re- solver sus problemas de tarea. Leer un texto de matemáticas es muy diferente de leer una novela, un periódico o cualquier libro. Quizá tenga que leer un pasaje varias veces antes de comprenderlo. Dedique especial atención a los ejemplos y resuélvalos a mano a medida que los vaya leyendo; a continuación, haga los ejercicios relacionados que se mencionan en “Ahora intente realizar el ejercicio…” al final de cada ejemplo. Con esta clase de preparación usted podrá hacer su tarea con mucha más rapidez y mayor enten- dimiento. No cometa el error de tratar de memorizar cada una de las reglas o dato que encuentre. Las matemáticas no son simplemente memorización: son el arte de resolver problemas, no sólo un conjunto de datos. Para dominar el tema, usted debe resolver problemas, mu- chos problemas. Asegúrese de escribir sus soluciones en una forma lógica, paso a paso. No se rinda ante un problema si no puede resolverlo de inmediato. Trate de entenderlo con claridad, vuelva a leerlo por completo y relaciónelo con lo que ya haya aprendido de su profesor y de los ejemplos del libro. Luche con el problema hasta resolverlo; una vez que haya hecho esto unas cuantas veces, empezará a entender de lo que se tratan en rea- lidad las matemáticas. Las respuestas a los ejercicios con numeración impar, así como todas las respuestas al examen de cada capítulo, aparecen al final del libro. Si su respuesta difiere de la dada, no suponga de inmediato que usted está en error. Puede tratarse de un cálculo que co- necta las dos respuestas y ambas serán correctas. Por ejemplo, si usted obtiene 1/(2 2 1) pero la respuesta dada es 1 1 2, la respuesta de usted es correcta porque puede multiplicar el numerador y el denominador de su respuesta por 2 1 1 para cambiarla a la respuesta dada. Al redondear respuestas aproximadas siga las guías del apéndice: Cálculos y cifras significativas. El icono se usa para prevenir que cometa un error. Hemos insertado este icono al margen para indicar situaciones donde hemos encontrado que muchos de nuestros es- tudiantes cometen el mismo error. Abreviaturas En el libro se usan las siguientes abreviaturas. cm centímetro kPa kilopascal N Newton dB decibel L litro qt cuarto F farad lb libra oz onza ft pie lm lumen s segundo g gramo M mol de soluto V ohm gal galón por litro de V volt h hora solución W watt H henry m metro yd yarda Hz hertz mg miligramo yr año in. pulgada MHz megahertz °C grados Celsius J joule mi milla °F grados Fahrenheit kcal kilocaloría min minuto K Kelvin kg kilogramo mL mililitro ¡ implica km kilómetro mm milímetro ž es equivalente a xvi  Contenido xvii PRÓLOGO PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La capacidad para resolver problemas es una habilidad muy apreciada en muchos aspec- tos de la vida; sin duda es una parte importante de cualquier curso de matemáticas. No existen reglas duras y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, en este prólogo delineamos algunos pasos generales en el proceso de resolución de problemas y se dan principios útiles para resolver ciertos tipos de problemas. Estos pasos y principios son únicamente sentido común explicitado, y se han adaptado del in- teresante libro de George Polya, How To Solve It. 1. Entender el problema © AP Images El primer paso es leer el problema y asegurarse de que lo entiende. Hágase las siguien- tes preguntas: GEORGE POLYA (1887-1985) es famoso ¿Qué es lo que se desconoce? entre los matemáticos por sus ideas sobre ¿Cuáles son las cantidades que se señalan? resolución de problemas. Sus conferencias sobre este tema en la Universidad de ¿Cuáles son las condiciones dadas? Stanford atraían a multitudes a las cuales llevaba al borde de sus asientos, condu- En muchos problemas es útil ciéndolos a descubrir las soluciones por sí dibujar un diagrama mismos. Era capaz de hacer esto debido a su profundo conocimiento de la psicología e identificar las cantidades que se requieren en el diagrama. Por lo general, es necesario de la resolución de problemas. Su cono- cido libro How To Solve It ha sido traducido introducir notación adecuada a 15 idiomas. Polya afirmaba que Euler (vea la página 63) fue el único grande En la elección de los símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos entre los matemáticos debido a que letras como a, b, c, m, n, x y y, aunque en algunos casos ayuda utilizar las iniciales como explicó cómo encontraba sus resultados. símbolos sugerentes, por ejemplo, V para el volumen o t para el tiempo. A menudo, Polya les decía a sus alumnos y colegas: “Sí, veo que la demostración es correcta, pero ¿cómo lo descubrió?”. En el 2. Pensar en un plan prefacio de How To Solve It señala: “Un gran descubrimiento resuelve un gran pro- Encuentre una conexión entre la información dada y aquella que se desconoce que le blema, pero es un grano de descubri- permita calcular la incógnita. A menudo es útil preguntarse a sí mismo de forma explí- miento en la solución de cualquier pro- cita: “¿Cómo puedo relacionar lo conocido con lo desconocido?”. Si no puede ver una blema. Su problema puede ser modesto, conexión inmediata, las siguientes ideas pueden ser útiles en la elaboración de un plan. pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas, y si lo Tratar de reconocer algo familiar resuelve por sus propios medios, puede experimentar la tensión y disfrutar el Relacione la situación dada con sus conocimientos previos. Observe la incógnita y trate triunfo del descubrimiento”. de recordar un problema que le sea más familiar y tenga una incógnita similar. Tratar de reconocer patrones Ciertos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si usted puede ver la regularidad o la repetición en un problema, entonces será capaz de adivinar cuál es el patrón y luego probarlo. Usar analogías Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar o relacionado, pero que sea más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar, más sim- ple, esto entonces le puede dar las pistas que necesita para resolver el original, más difícil. Por ejemplo, si un problema implica un número muy grande, usted puede pri- mero intentar resolver un problema similar con un número menor. O, si el problema está en la geometría tridimensional, podría buscar algo similar en la geometría de dos di- mensiones. O, si el problema inicial es de carácter general, podría tratar primero un caso especial. xvii xviii Prólogo Introducir algo adicional A veces podría ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda extra, para hacer la co- nexión entre lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema para el cual es útil un diagrama la ayuda podría ser dibujar una línea nueva en el diagrama. En un problema más algebraico la ayuda podría ser una nueva incógnita que se relacione con la incógnita original. Tomar casos A veces puede dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada uno. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta estrategia para hacer frente a un valor absoluto. Trabajar hacia atrás A veces es útil imaginar que su problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted podría ser capaz de rever- tir sus pasos y así construir una solución al problema original. Este procedimiento se utiliza comúnmente en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la solución de la ecuación 3x 2 5 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 2 5 5 7 y trabaje hacia atrás. Sume 5 a cada lado de la ecuación y luego divida ambos lados entre 3 para obtener x 5 4. Puesto que cada uno de estos pasos se puede revertir, hemos resuelto el problema. Establecer metas secundarias En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la situación deseada se cumple sólo en parte). Si usted puede lograr o alcanzar estos ob- jetivos parciales, entonces usted podría ser capaz de construir sobre ellos para alcanzar su meta final. Razonamiento indirecto A veces es apropiado para atacar un problema indirectamente. En el uso de la prueba por contradicción para probar que P implica Q se supone que P es cierta y Q es falsa, y se trata de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera debemos utilizar esta información y llegar a una contradicción a aquello que sabemos que es verdad absoluta. Inducción matemática Para probar los enunciados que implican un entero positivo n, a menudo es útil utilizar el principio de inducción matemática, que se analiza en la sección 12.5. 3. Ejecutar el plan En el paso 2 se ideó un plan. Para ejecutarlo se debe comprobar cada etapa del plan y escribir los detalles que demuestran que cada una es la correcta. 4. Ver hacia atrás Después de haber completado la solución, es conveniente mirar hacia atrás sobre la misma, en parte para ver si se han cometido errores y en parte para ver si se puede descubrir una manera más fácil de resolver el problema. Mirar hacia atrás también le ayudará a familiarizarse con el método de solución, que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas”. Ilustraremos algunos de estos principios de resolución de problemas con un ejemplo. PROBLEMA Rapidez promedio Una automovilista se embarca en un viaje. Durante la primera mitad del recorrido, ella conduce al ritmo pausado de 30 mi/h, durante la segunda mitad conduce a 60 mi/h. ¿Cuál es su rapidez promedio en este viaje  Prólogo xix PENSAR EN EL PROBLEMA Es tentador tomar el promedio de las rapideces y decir que la rapidez promedio de todo el viaje es 30 1 60 5 45 mi/h 2 Sin embargo, ¿este método simple es realmente correcto? Intente un caso especial. ▶ Veamos un caso especial fácil de calcular. Supongamos que la distancia total recorrida es de 120 millas. Las primeras 60 se recorren a 30 mi/h, lo que tarda 2 horas. Durante las siguientes 60 millas se viaja a 60 mi/h, lo que dura una hora. Por tanto, el tiempo total es 2 1 1 5 3 horas y la rapidez promedio es 120 5 40 mi/h 3 Por tanto, nuestra estimación de 45 mi/h estaba equivocada. SOLUCIÓN Entender el problema. ▶ Tenemos que ver con más cuidado en el significado de la rapidez promedio. Se define como distancia recorrida rapidez promedio 5 tiempo transcurrido Introducir una notación. ▶ Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 los tiempos para la primera y la segunda mitad del viaje. Ahora podemos escribir la información que se Identificar la información dada. ▶ nos ha dado. Para la primera mitad del viaje tenemos d 30 5 t1 y para la segunda mitad tenemos d 60 5 t2 Identificar la incógnita. ▶ Ahora podemos identificar la cantidad que se nos pide encontrar: distancia total 2d rapidez promedio del viaje completo 5 5 tiempo total t1 1 t2 Relacionar la información Para calcular esta cantidad necesitamos conocer t1 y t2, así que resolvemos las ecua- proporcionada con la incógnita. ▶ ciones anteriores para estos tiempos: d d t1 5 t2 5 30 60 Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada: 2d 2d rapidez promedio 5 5 t1 1 t2 d d 1 30 60 60(2d) Multiplique el numerador 5 60 a b d d y el denominador por 60 1 30 60 120d 120d 5 5 5 40 2d 1 d 3d Por tanto, la rapidez promedio del viaje completo es 40 mi/h. xx Prólogo PROBLEMAS 1. Distancia, tiempo y velocidad Un automóvil viejo tiene que recorrer un camino de 2 millas cuesta arriba y cuesta abajo. Debido a que es tan viejo, el automóvil puede subir la primera milla no más rápido que la rapidez media de 15 km/h. ¿Qué tan rápido tiene que viajar el automóvil la segunda milla —en el descenso puede ir más rápido, por supuesto— para lograr una rapidez media de 30 km/h para el viaje? 2. Comparando descuentos ¿Qué precio es mejor para el comprador, un descuento de © Bettmann/Corbis 40% o dos descuentos sucesivos de 20%? 3. Cortar un alambre Se dobla un alambre, como se muestra en la figura. Se puede ver que un corte a través del mismo resulta en cuatro piezas y dos cortes paralelos producen siete piezas. ¿Cuántas piezas se produjeron luego de 142 cortes paralelos? Escriba una No se sienta mal si usted no puede resol- fórmula para el número de piezas producidas por n cortes paralelos. ver estos problemas de inmediato. Los problemas 1 y 4 fueron enviados a Albert Einstein por su amigo Wertheimer. Einstein (y su amigo Bucky) disfrutaba de los pro- blemas y le escribió a Wertheimer. Esta es parte de su respuesta: Su carta nos dio un montón de prue- bas divertidas. La primera prueba de 4. Propagación de amibas Una amiba se propaga por división simple y cada división inteligencia nos ha engañado a am- toma 3 minutos para completarse. Cuando esa amiba se pone en un recipiente de vidrio bos (a Bucky y a mí). ¡Sólo viéndolo con un fluido nutriente en una hora el recipiente ya está lleno de amibas. ¿Cuánto tiempo desde fuera me di cuenta de que no haría falta para que el contenedor se llenara si en lugar de comenzar con una amiba se dispone de tiempo para la trayec- comenzáramos con dos? toria descendente! Bucky también fue engañado en el segundo ejemplo, 5. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador pero yo no. ¡Curiosidades como esta B para la primera mitad de la temporada de béisbol. El jugador A también tiene un prome- nos muestran lo tontos que somos! dio de bateo más alto que el jugador B para la segunda mitad de la temporada. ¿Es necesa- riamente cierto que el jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B (Vea Mathematical Intelligencer, primavera, 1990, página 41.) para toda la temporada? 6. Café y crema Se toma una cucharada de crema de una jarra de crema y se vierte en una taza de café. El café se agita. Luego se sirve en la jarra de crema una cucharada de esta mezcla. Ahora ¿hay más crema en la taza de café o más café en la jarra de crema? 7. Envolviendo el mundo Se ata fuertemente una cinta sobre el ecuador de la Tierra. ¿Cuánta más cinta necesitará si se coloca la cinta 1 pie por encima del ecuador en todas partes? (No es necesario conocer el radio de la Tierra para resolver este problema.) 8. Para terminar donde empezó Una mujer parte de un punto P sobre la superficie de la Tierra y camina 1 milla al sur, luego 1 milla al este y luego 1 milla al norte, y se encuentra de vuelta en P, el punto de partida. Describa todos los puntos P para los cuales esto es posible. [Sugerencia: hay un número infinito de esos puntos, de los cuales todos menos uno se encuentran en la Antártida.] Muchos más problemas y ejemplos que ponen de manifiesto diferentes principios de reso- lución de problemas están disponibles en el sitio web del libro: www.stewartmath.com.* Usted puede intentarlos conforme avanza en el libro. * Este material se encuentra disponible en inglés.  SECCIÓN 1.1 Números reales 1 © Blend Images/Alamy 1 Fundamentos 1.1 Números reales En este primer capítulo repasaremos los números reales, las ecuaciones 1.2 Exponentes y radicales y el plano coordenado. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado 1.3 Expresiones algebraicas con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para 1.4 Expresiones racionales resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. 1.5 Ecuaciones En el Enfoque sobre modelado, al final del capítulo, aprenderemos cómo 1.6 Números complejos hallar tendencias lineales en los datos y cómo utilizarlas para hacer 1.7 Modelado con ecuaciones predicciones sobre el futuro. 1.8 Desigualdades 1.9 El plano coordenado; gráficas de ecuaciones; circunferencias 1.10 Rectas 1.11 Solución gráfica de ecuaciones y desigualdades 1.12 Modelos usando variaciones ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste lineal de datos 1 2 CAPÍTULO 1 Fundamentos 1.1 NÚMEROS REALES Números reales Propiedades de los números reales Adición y sustracción Multiplicación y división La recta de números reales Conjuntos e intervalos Valor absoluto y distancia En el mundo real usamos números para medir y comparar diferentes cantidades. Por ejemplo, medimos temperatura, longitud, altura, peso, presión, distancia, velocidad, aceleración, energía, fuerza, ángulos, edad, costos, etcétera. La figura 1 ilustra algunas situaciones en las que se utilizan números. Los números también nos permiten expresar relaciones entre cantidades diferentes, por ejemplo, las relaciones entre el radio y el volumen de una pelota, entre las millas conducidas y la gasolina utilizada, o entre el nivel educativo y el salario inicial. © bikeriderlondon/Shutterstock.com © Oleksiy Mark/Shutterstock.com © Aleph Studio/Shutterstock.com © Monkey Business Images/ Shutterstock.com Contar Longitud Rapidez Peso FIGURA 1 Medidas con números reales Números reales Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empe- cemos con los números naturales: 1, 2, 3, 4,... Los diferentes tipos de números reales Los enteros constan de los números naturales junto con sus negativos y el 0: se inventaron para satisfacer necesida-... , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4,...... , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4,... des específicas. Por ejemplo, los núme- ros naturales son necesarios para contar, Construimos los números racionales al tomar cocientes de enteros. Entonces, cual- los números negativos para describir quier número racional r se puede expresar como deudas o temperaturas bajo cero, los m números racionales para expresar con- r ceptos como “medio galón de leche” n y los números irracionales se usan para donde m y n son enteros y n ? 0. Como ejemplos tenemos medir ciertas distancias como la dia- gonal de un cuadrado. 1 2 237 46 5 461 17 0.17 5 100 (Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo que expresiones como 0 y 0 no están definidas.) También hay números reales, tales como 2, que no se pueden 3 0 Números racionales expresar como un cociente de enteros y, por tanto, se denominan números irraciona- –21 , -–37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317 les. Se puede demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también son irracionales: Enteros 3 3 Números 3 5 2 p naturales p2... , T y S > V. SOLUCIÓN T S < T 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Todos los elementos en S o T    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 S > T 5 {4, 5} Elementos comunes a S y T S V S>V5[ S y V no tienen elementos en común Ahora intente realizar el ejercicio 41 Con frecuencia se presentan en cálculo ciertos conjuntos de números reales, llama- dos intervalos, y corresponden geométricamente a segmentos de recta. Si a , b, en- tonces el intervalo abierto de a a b está formado por todos los números entre a a b y se denota con (a, b). El intervalo cerrado de a a b incluye los puntos extremos y se a b denota con 3a, b4. Usando la notación constructiva de conjuntos, podemos escribir FIGURA 6 El intervalo abierto (a, b) (a, b) 5 {x 0 a , x , b} 3a, b4 5 {x 0 a # x # b} Observe que los paréntesis ( ) en la notación de intervalo y círculos abiertos en la grá- fica de la figura 6 indican que los puntos extremos están excluidos del intervalo, mien- tras que los corchetes o paréntesis rectangulares 3 4 y los círculos sólidos de la figura 7 a b indican que los puntos extremos están incluidos. Los intervalos también pueden incluir FIGURA 7 El intervalo cerrado 3a, b4 un punto extremo, pero no el otro; o pueden extenderse hasta el infinito en una dirección o en ambas. La tabla siguiente es una lista de posibles tipos de intervalos. Notación Descripción de conjunto Gráfica (a, b) {x 0 a , x , b} 3a, b4 {x 0 a # x # b} a b 3a, b) a b {x 0 a # x , b} a b (a, b4 { x 0 a , x # b} a b (a, `) {x 0 a , x} a El símbolo q (infinito) no representa 3a, `) {x 0 a # x} a {x 0 x , b} un número. La notación (a, `), por ejemplo, simplemente indica que el (2`, b) b intervalo no tiene punto extremo a la (2`, b4 {x 0 x # b} derecha, pero se prolonga hasta el b infinito en la dirección positiva. (2`, `) R (conjunto de todos los números) EJEMPLO 5 Trazo de la gráfica de intervalos Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y, después, trace la gráfica del intervalo. a) 321, 2) 5 {x 0 21 # x , 2} _1 0 2 b) 31.5, 44 5 {x 0 1.5 # x # 4} 0 1.5 4 c) (23, `) 5 {x 0 23 , x} _3 0 Ahora intente realizar el ejercicio 47 8 CAPÍTULO 1 Fundamentos EJEMPLO 6 Encontrar uniones e intersecciones de intervalos No hay número mínimo ni número máximo en un intervalo abierto Trace la gráfica de cada conjunto. a) (1, 3) > 32, 74 b) (1, 3) < 32, 74 Cualquier intervalo contiene un número infinito de números; cualquier punto en la gráfica de un intervalo corresponde a un número real. En el intervalo cerrado 30, 14, SOLUCIÓN el número mínimo es 0 y el máximo es 1, a) La intersección de dos intervalos consta de los números que están en ambos inter- pero el intervalo abierto (0, 1) no contiene valos. Por tanto número mínimo ni máximo. Para ver esto observe que 0.01 es cercano a cero, pero (1, 3) > 32, 74 5 {x 0 1 , x , 3 y 2 # x # 7} 5 {x 0 2 # x , 3} 5 32, 3) 0.001 es más cercano, 0.0001 es todavía más cercano y así, sucesivamente. Siempre podemos encontrar un número en el inter- valo (0, 1) más cercano a cero que cual- Este conjunto se muestra en la figura 8. quier número dado. Como 0 no está en el b) La unión de dos intervalos consta de los números que están en un intervalo o en el intervalo, el intervalo no contiene un otro (o en ambos). Por tanto, número mínimo. Del mismo modo, 0.99 es (1, 3) < 32, 74 5 {x 0 1 , x , 3 o 2 # x # 7} cercano a 1, pero 0.999 es más cercano y 0.9999 está aún más cercano y así, suce- sivamente. Dado que 1 no está en el inter- 5 {x 0 1 , x # 7} 5 (1, 74 valo, el intervalo no tiene número máximo. Este conjunto se muestra en la figura 9. (1, 3) (1, 3) 0 0.01 0.1 0 1 3 0 1 3 [2, 7] [2, 7] 0 2 7 0 2 7 0 0.001 0.01 [2, 3) (1, 7] 0 2 3 0 1 7 0 0.0001 0.001 FIGURA 8 (1, 3) > 32, 74 5 32, 3) FIGURA 9 (1, 3) < 32, 74 5 (1, 74 Ahora intente realizar el ejercicio 61 | _3 |=3 | 5 |=5 Valor absoluto y distancia El valor absoluto de un número a, denotado por | a |, es la distancia de a a 0 en la recta _3 0 5 de números reales (véase la figura 10). La distancia es siempre positiva o cero, de modo FIGURA 10 que tenemos | a | $ 0 para todo número a. Recordando que 2a es positivo cuando a es negativo, tenemos la siguiente definición. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es a si a $ 0 |a|5 2a si a , 0 EJEMPLO 7 Evaluación de valores absolutos de números a) |3|53 b) | 23 | 5 2(23) 5 3 c) |0|50 d) | 3 2 p | 5 2(3 2 p) 5 p 2 3 (como 3 , p ¡ 3 2 p , 0) Ahora intente realizar el ejercicio 67  SECCIÓN 1.1 Números reales 9 Cuando trabajamos con valores absolutos utilizamos las propiedades siguientes: PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Propiedad Ejemplo Descripción 1. | a | $ 0 | 23 | 5 3 $ 0 El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero. 2. | a | 5 | 2a | | 5 | 5 | 25 | Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto. 3. | ab | 5 | a | | b | | 22 ? 5 | 5 | 22 | | 5 | El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. |a| | 12 | 4. ` `5 ` `5 a 12 El valor absoluto de un cociente es el cociente de los b |b| 23 | 23 | valores absolutos. 5. | a 1 b | # | a | 1 | b | | 23 1 5 | # | 23 | 1 | 5 | Desigualdad del triángulo. ¿Cuál es la distancia sobre la recta real entre los números 22 y 11? De la figura 11 vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea | 11 2 (22) | 5 13 o | (22) 2 11 | 5 13. De esta observación hacemos la siguiente definición (véase la figura 12). 13 | b-a | _2 0 11 a b FIGURA 11 FIGURA 12 La longitud de un segmento de recta es | b 2 a | DISTANCIA ENTRE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b sobre la recta real es d(a, b) 5 | b 2 a | De la propiedad 6 de los números negativos se deduce que |b2a|5|a2b| Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a a b es la misma distancia de b a a. EJEMPLO 8 Distancia entre puntos en la recta real 10 La distancia entre los números 28 y 2 es _8 0 2 FIGURA 13 d(a, b) 5 | 2 2 (28) | 5 | 210 | 5 10 Podemos comprobar geométricamente este cálculo, como se muestra en la figura 13. Ahora intente realizar el ejercicio 75 10 CAPÍTULO 1 Fundamentos 1.1 EJERCICIOS CONCEPTOS 14. 2(A 1 B) 5 2A 1 2B 1. Dé un ejemplo para cada uno de los siguientes enunciados: 15. (5x 1 1)3 5 15x 1 3 a) Un número natural 16. (x 1 a)(x 1 b) 5 (x 1 a)x 1 (x 1 a)b b) Un entero que no sea número natural c) Un número racional que no sea entero 17. 2x(3 1 y) 5 (3 1 y)2x d) Un número irracional 18. 7(a 1 b 1 c) 5 7(a 1 b) 1 7c 2. Complete cada enunciado y mencione la propiedad de los 19–22 Propiedades de los números reales Vuelva a escribir la números reales que haya empleado. expresión usando la propiedad dada de los números reales. a) ab 5 ; propiedad 19. Propiedad conmutativa de adición, x 1 3 5 b) a 1 1b 1 c2 5 ; propiedad 20. Propiedad asociativa de la multiplicación, 7(3x) 5 c) a 1b 1 c2 5 ; propiedad 21. Propiedad distributiva, 4(A 1 B) 5 3. Exprese el conjunto de números como sigue, pero no incluya 22. Propiedad distributiva, 5x 1 5y 5 el 2 ni el 7: a) En notación constructiva de conjuntos: 23–28 Propiedades de los números reales Utilice las propie- dades de los números reales al escribir la expresión sin paréntesis. b) En notación de intervalos: 23. 3(x 1 y) 24. (a 2 b)8 4. El símbolo | x | representa el del número x. Si x 3(26y) 4 25. 4(2m) 26. no es 0, entonces el signo de | x | siempre es. 27. 252(2x 2 4y) 28. (3a)(b 1 c 2 2d) 5. La distancia entre a y b en la recta real es d(a, b) 5. 29–32 Operaciones aritméticas Realice las operaciones Entonces la distancia entre 25 y 2 es. indicadas. 6–8 ¿Sí o no? Si es no, explique. Suponga que a y b son 29. a) 3 1 4 b) 1 1 15