ข้อสอบคณิตศาสตร์ สอวน. PDF

ข"อสอบวิชาคณิตศาสตร/ เพื่อคัดเลือกนักเรียนเข"ารับการอบรมค=าย 1 สอวน. ชื่อ-สกุล....................................................................................... ข"อสอบวิชาคณิตศาสตร/ เลขประจำตัวสอบ..........................................................

ข"อสอบวิชาคณิตศาสตร/ เพื่อคัดเลือกนักเรียนเข"ารับการอบรมค=าย 1 สอวน. ชื่อ-สกุล....................................................................................... ข"อสอบวิชาคณิตศาสตร/ เลขประจำตัวสอบ........................................................................ รหัสชุดวิชา 0000001 สถานที่สอบ.................................................................................. สอบวันอาทิตย/ที่ 28 สิงหาคม 2565 ห"องสอบ....................................................................................... เวลา 09.00-12.00 น. คำชี้แจง 1. ข%อสอบมีทั้งหมด 7 หน%า จำนวนรวม 30 ข%อ (รวมใบปะหน%านี้) 2. ใช%ปากกาเขียนชื่อ นามสกุล เลขประจำตัวสอบ สถานที่สอบ ลงในข%อสอบและกระดาษคำตอบ 3. ข%อสอบเปKนแบบเติมคำตอบทั้งหมด และผู%ตรวจจะพิจาณาคำตอบในกระดาษคำตอบเทQานั้น 4. หากคำตอบเปKนเศษสQวน ให%ตอบในรูปเศษสQวนอยQางต่ำเทQานั้น 5. ห%ามนำเอกสารใดๆ และเครื่องคำนวณเข%าห%องสอบ 6. ห"ามนำข"อสอบและกระดาษคำตอบออกจากห"องสอบ แต=สามารถทด และขีดเขียนในข"อสอบได" 7. ห%ามเผยแพรQข%อสอบนี้กQอนได%รับอนุญาต จากมูลนิธิ สอวน. 8. ห"ามนักเรียนออกจากห"องสอบก=อน 1 ชั่วโมง หลังจากเวลาเริ่มการสอบ  ข้อสอบคัดเลือกเข้าค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ สอวน. ปี 2565 1. ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนจริงบวกซึ่งสอดคล้องกับสมการ 2a = 3b = 216c ab แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด bc + ca 2. ให้ a เป็นจํานวนตรรกยะบวก โดยที่ #8+4√3 √a = √2+#2+√3 จงเขียน a ในรูปเศษส่วนอย่างตํ่าของจํานวนเต็มบวก 3. กําหนดให้ a, b, c และ d เป็นจํานวนจริงซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ a − 2b + 3c − 4d = 5 4a − 3b + 2c − d = 10 จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ 5a − 4b + 3c − 2d 4. ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนจริงซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ 3 a+ b = 3 2 b + c = 2 1 c+ a = 1 แล้ว a + 2b + 3c มีค่าเท่ากับเท่าใด 5. ให้ P(x) เป็นพหุนามดีกรีสองซึ่งสอดคล้องกับสมการ P(x2) + 4x = P(x) + 4x4 แล้ว P(4) − P(0) มีค่าเท่ากับเท่าใด 2|Page 6. กล่องใบหนึ่งบรรจุช็อกโกแลตและลูกอมรวมกันจํานวน 110 ชิ้น โดยมีอัตราส่วนระหว่างจํานวน ช็อกโกแลตกับลูกอมเป็น 4:7 สมชายกินลูกอมไป 10 ชิ้น และกินช็อกโกแลตไปจํานวนหนึ่ง ทําให้ อัตราส่วนระหว่างจํานวนช็อคโกแลตกับลูกอมเปลี่ยนเป็น 1:6 จงหาว่าสมชายกินช็อกโกแลตไปกี่ชิ้น 7. มีสามสิ่งอันดับ ( a, b, c ) ของจํานวนเต็มบวกทั้งหมดกี่ชุดซึ่งสอดคล้องกับสมการ ab + bc + ca = 11 8. นายเพชรทําการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่มีลูกเต๋าอย่างน้อย 1 ลูกขึ้นแต้มที่เป็น จํานวนเฉพาะ 9. ให้ ! เป็นเอกภพสัมพัทธ์ กําหนดให้ p แทนประพจน์ "x $ y, x2 - y = y 2 - x q แทนประพจน์ $ x , 2 x2 + x + 2 = 0 จงหาค่าความจริงของประพจน์ p , ประพจน์ q และประพจน์ p ® q ตามลําดับ 10. แก้วนํ้าใบหนึ่งภายในเป็นทรงกระบอกตรง โดยความสูงของทรงกระบอกเป็นสามเท่าของรัศมีของ ทรงกระบอก และมีลูกแก้วทรงกลมซึ่งมีรัศมีเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีของทรงกระบอก จงหาว่า จะต้องเติม นํ้าให้สูงเป็นสัดส่วนเท่าใดของความสูงของทรงกระบอก เพื่อให้เมื่อนําลูกแก้วลูกนี้มาใส่ในแก้วนํ้าแล้ว ระดับนํ้าจะเพิ่มขึ้นจนเต็มแก้วพอดี 11. รูปสี่เหลี่ยม ABCD มี E, F, G และ H เป็นจุดบนด้าน CD, DA, AB และ BC ตามลําดับ โดยที่ DF AG BH 1 = = = FA GB HC 2 ถ้าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับ 5 ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม AFEG เท่ากับ 16 ตาราง หน่วย และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม BGEH เท่ากับ 19 ตารางหน่วย แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ECH เท่ากับกี่ตารางหน่วย 12. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ BC > AB และมี D เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB ถ้า Ð ADC = 45° และ Ð BCD = 15° แล้ว Ð ACD มีขนาดกี่องศา 3|Page 13. กำหนดให% ABCD เปKนพีระมิดฐานสามเหลี่ยมซึ่งมีรูปสามเหลี่ยม BCD เปKนฐาน โดยที่ AB = AC = AD = 1 หนQ ว ย และ Ð BAC = 60°, Ð BAD = 90°, Ð CAD =120° ถ% า O เปK น จุ ด บนฐานของ พีระมิด ที่ทำให% Ð AOB =Ð AOC =Ð AOD = 90° แล%ว OA มีคQาเทQากับกี่หนQวย 14. กําหนดให้ วงกลมที่มีขนาดแตกต่างกัน 3 วงสัมผัสภายนอกซึ่งกันและกันและมีเส้นสัมผัสร่วมกัน ดังรูป ถ้าความยาวรัศมีของวงกลมทั้งสามวงเรียงจากมากไปน้อยเป็น 4 หน่วย 1 หน่วย และ x หน่วย แล้ว จง หา x 15. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม โดย AB = 8, AC = 12, AD = 18 ถ้า Ð BAC =Ð CAD = 30° แล้ว Ð BCD มีขนาดกี่องศา 2 x2 -11x +15 16. จงหาผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ ( x2 - x - 1) = 1 17. กําหนดให้ f ( x ) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d เมื่อ a, b, c, d เป็นจํานวนจริง และสําหรับแต่ละ k = 1,2,3 เศษที่ได้จากการหาร f ( x ) ด้วย x - k เท่ากับ k 2 จงหาค่าของ f ( -1) - 4 f ( 0 ) 18. กําหนดให้ x เป็นจํานวนจริง และ a = x + ( x + 1) + ( x + 2) +... + ( x + 10) , b = 8 +16 + 24 + 32 +... + 80 , c = 88x ถ้า 4a + b + c + 4 = 0 แล้ว จงหาค่าของ c (ตอบเป็นจํานวนเต็ม) 2 4|Page 19. กําหนดให้ x, y เป็นจํานวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ x3 - y3 + 9 x2 +12 y 2 + 34x - 55 y +140 = 0 จงหาค่าของ y - x 20. นายหินได้ขุดพบหีบสมบัติใบหนึ่งซึ่งถูกล็อคด้วยรหัสและเขายังพบกระดาษแผ่นหนึ่งที่บอกใบ้ถึงรหัสปลด ล็อคหีบใบนี้ซึ่งมีข้อความดังนี้ - รหัสเป็นเลขโดดห้าตัวเรียงจากน้อยไปมาก (อาจมีเลขซํ้าได้) - ฐานนิยมของเลขโดดห้าตัวนี้มีเพียงค่าเดียว - ค่าเฉลี่ยของเลขห้าตัวนี้มีค่าเท่ากับมัธยฐาน แต่มีค่าน้อยกว่าฐานนิยม - ค่าตํ่าสุดของเลขห้าตัวนี้เป็นจํานวนเฉพาะคี่ จงหารหัสปลดล็อคหีบสมบัติใบนี้ 21. กําหนดให้ a, b, c Î ! ซึ่ง b > 0 และสอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ 1 a = 1+ , b2 = 3 - 12 , c3 = 2 - 13 a b c จงหาค่าของ a3 + b3 + c4 - 13 + 13 + 14 a b c 22. กําหนดให้มีลูกเทนนิส 2 ลูก มีลูกปิงปองสีส้มและลูกปิงปองสีขาวอย่างละ 1 ลูก มีชั้นวางของ 4 ชั้น โดย เรียกชั้นบนสุดว่าชั้นที่ 1 และชั้นถัดมาคือชั้นที่ 2, 3 และ 4 ตามลําดับ และมีกล่อง 4 ใบที่มีหมายเลขติด ไว้ดังนี้ กล่องหมายเลข 5, 6, 7 และ 8 ด.ช.เรนนําลูกปิงปองและลูกเทนนิสไปใส่ไว้ในกล่อง กล่องละ 1 ลูกและวางกล่องบนชั้นวางของ ชั้นละ 1 กล่อง โดยมีเงื่อนไขดังนี้ ก) ลูกเทนนิส 2 ลูกต้องอยู่บนชั้นที่ติดกัน ข) ลูกปิงปอง 2 ลูกจะไม่อยู่บนชั้นที่ติดกัน ค) กล่องหมายเลข 5 และกล่องหมายเลข 7 จะไม่วางบนชั้นที่อยู่ติดกับชั้นที่กล่องหมายเลข 8 วางอยู่ ด.ช.เรนวางลูกปิงปองสีขาวไว้ในกล่องหมายเลข 7 ซึ่งทําให้ ด.ช.เรนต้องวางลูกปิงปองสีส้มไว้ในกล่อง หมายเลข a และวางบนชั้นที่ b จงหาคู่อันดับ ( a, b ) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 5|Page 23. จากรูป ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เป็นมุมฉาก ให้ DE เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ ครึ่งวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ G และ F เป็นจุดบนด้าน AC และ BC ตามลําดับ โดยที่ DG ตั้งฉากกับ AC และ EF ตั้งฉากกับ BC ถ้า DG = 6 หน่วย และ EF = 12 หน่วย แล้วบริเวณที่แร เงามีพื้นที่เท่ากับกี่ตารางหน่วย 24. กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่มจัตุรัสที่มี E และ F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน BC และ CD และให้ !""# !""# æ ÐADG ö æ ÐAED ö เส้นตรง AE และเส้นตรง BF ตัดกันที่จุด G จงหาค่าของ sin ç ÷ cos ç ÷ è 2 ø è 2 ø 25. ให้ m และ n เป็นจํานวนเต็มบวกซึ่ง m≥n และ 1 1 2 + = m n 33 จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ m − n 26. ให้ x และ y เป็นจํานวนจริงบวกซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ x#y + y√x = √2 x√x + y#𝑦 = 13√2 แล้ว x+y มีค่าเท่ากับเท่าใด 6|Page 27. สําหรับจํานวนจริง a ใด ๆ กําหนดให้ ⌊a⌋ คือจํานวนเต็มมากสุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a 100010 ถ้า a = แล้วเศษจากการหาร ⌊a⌋ ด้วย 1000 มีค่าเท่ากับเท่าใด 1010 + 11 28. กําหนดให้ x, y เป็นจํานวนตรรกยะ ที่สอดคล้องกับสมการ x2 + 8xy -11y 2 -16 x + 8 y +16 = 0 จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ x + y 29. นักคณิตศาสตร์สองท่านสนทนากันดังนี้ เกาส์ : ผมมีพหุนามอยู่พหุนามหนึ่งทีม่ ีสัมประสิทธิ์เป็นเลขโดด (ตั้งแต่ 0 ถึง 9 ) ออยเลอร์ : ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในพหุนามนี้มีค่าเท่าใด เกาส์ : 3 ออยเลอร์ : ถ้านํา 3 ไปแทนค่าในพหุนามนี้ล่ะ จะได้เท่าใด เกาส์ : 33 ออยเลอร์ : ผมรู้แล้วล่ะว่าคุณมีพหุนามใด เกาส์มีพหุนามใดตามบทสนทนานี้ 30. จงหาจํานวนสิบสิ่งอันดับ ( x1, x2 ,..., x10 ) ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ (1) { x1, x 2 ,..., x10 } = { 1, 2,...,10 } (2) x1 - x 2 + x3 - x4 + x5 - x6 + x7 - x8 + x9 - x10 = 25 7|Page