เวกเตอร์ PDF

ชุดที่ 1 ชื่อ ……………………..............………….………………………………….………………………. ชั้น ม.5/……… เลขที่ ……… เวกเตอร เวกเตอร์ นอกจากจะเป็นประโยชน์ในการศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ความเร็ว และความเร่งแล้...

ชุดที่ 1 ชื่อ ……………………..............………….………………………………….………………………. ชั้น ม.5/……… เลขที่ ……… เวกเตอร เวกเตอร์ นอกจากจะเป็นประโยชน์ในการศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ความเร็ว และความเร่งแล้ว เวกเตอร์ยังเป็นประโยชน์ ในการศึกษาสาระคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น เรขาคณิต พีชคณิต เป็นต้น แนวทางในการศึกษาเวกเตอร์เบื้องต้นคือ การศึกษาใน เชิงเรขาคณิตโดยให้นิยามว่า เวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง และใช้ลูกศรแทนเวกเตอร์ เวกเตอร์มีทั้งเวกเตอร์ใน สองมิติและสามมิติ ซึ่งความรู้เกีย่ วกับเวกเตอร์สามารถนาไปใช้เป็นประโยชน์ในด้านต่างๆได้มากมาย ทั้งในชีวิตประจาวันและ การวางแผนการทางานในอนาคต เช่น 1) ใช้ในการหาระยะระหว่างต้นทางกับปลายทางในแผนที่ต่างๆ เช่น หาระยะกรุงเทพฯ-หาดใหญ่ 2) ใช้ในบอกทางให้คนเดินทางหรือรถที่แล่นมาให้เลี้ยวซ้าย-เลี้ยวขวากีท่ ี คือการบอกแบบเวกเตอร์อย่างหนึ่ง 3) เวลาโยนเศษกระดาษหรือสิ่งของให้ไปตกลงในถังขยะที่ห่างจากตัว ก็อาศัยเวกเตอร์ในการประมาณระยะการโยน เพื่อให้ลงถังขยะได้ ซึ่งเรื่องเวกเตอร์ในสามมิติมีเนื้อหาดังนี้ เวกเตอร์ในสามมิติ ระบบพิกัดฉากสามมิติ เวกเตอร์ ระยะทางระหว่างจุดสองจุด การบวกและการลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย โคไซน์แสดงทิศทาง ผลคูณเชิงสเกลาร์ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นทีข่ องรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 1 1. ระบบพิกัดฉากสามมิติ 1.1 แกนพิกัดฉากในระนาบ จากความรูเ้ ดิม แกนพิกัดฉากในระนาบ จะประกอบด้วย เส้นจานวน 2 เส้นตัดกันเป็นมุมฉากที่จุดแสดงตาแหน่ง ของจานวน 0 ดังรูป โดยเรียกแกนนอนว่าแกน X และเรียกแกนตั้งว่าแกน Y เรียกระนาบ (coordinate planes) ที่เกิดขึ้น ว่าระนาบ XY เรียกจุดตัดว่า จุดกาเนิด (origin) ตัวอยางที่ 1 จากรูป จงลงจุด A 1, 0  B  2,3 C  1, 2  D  4,1 E  3, 2  บนระบบพิกัดฉากในระนาบ 1.2 แกนพิกัดฉากในปริภูมิสามมิติ การกาหนดทิศทางมีได้ 2 ระบบ คือ ระบบมือขวา และระบบมือซ้าย แต่ในบทเรียนนี้กาหนดโดยใช้ระบบมือขวา โดยระนาบทั้งสามตั้งฉากซึ่งกันและกันที่จุด O เรียกวา จุดกําเนิด แกน X  X  axis  เกิดจากการตัดกันระหว่างระนาบ XY และระนาบ XZ แกน Y  Y  axis  เกิดจากการตัดกันระหว่างระนาบ XY และระนาบ YZ แกน Z  Z  axis  เกิดจากการตัดกันระหว่างระนาบ YZ และระนาบ XZ ระบบพิกัดฉากสามมิติ ประกอบดวย ระนาบ 3 ระนาบ คือ ระนาบ XY ระนาบ XZ ระนาบ YZ คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 2  จะเห็นว่า ทั้งสามระนาบจะแบ่งบริเวณในปริภูมสิ ามมิติออกเป็น 8 บริเวณ เรียกแต่ละบริเวณว่า อัฐภาค (octant ) ดังรูป ทั้งนี้อัฐภาคที่มีแกน X แกน Y และ แกน Z ทางบวกจะเรียกวา อัฐภาคที่ 1 ส่วนอัฐภาคอื่นๆ ใช้นับทวน เข็มนาฬิกาไปตามลาดับ โดยพิจารณาบริเวณเหนือระนาบ XY ก่อน 1.3 การลงจุด (plot points) ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ระนาบ YZ Z ถ้า เป็นจุดในปริภมู ิสามมิติ เราจะบอกตาแหน่งของจุด P P ด้วย  x, y, z  เรียก  x, y, z  ว่า พิกัดฉากของจุด P x y P( x, y, z ) x คือ ระยะที่มีทิศตามแนวแกน X ซึ่งใช้ระบุว่า จุด P อยู่ห่างจากระนาบ YZ เท่าใด z Y y คือ ระยะที่มีทิศตามแนวแกน Y ซึ่งใช้ระบุว่า จุด P อยู่ห่างจากระนาบ XZ เท่าใด X z คือ ระยะที่มีทิศตามแนวแกน Z ซึง่ ใช้ระบุว่า จุด P อยู่ห่างจากระนาบ XY เท่าใด ระนาบ XY ขอสังเกต ระยะ x เปนจํานวนบวก ระยะ x เปนจํานวนลบ เมื่อวัดจากระนาบ YZ ไปยังจุด P ทางด้านบวกของแกน X เมื่อวัดจากระนาบ YZ ไปยัง จุด P ทางด้านลบของแกน X ระยะ y เปนจํานวนบวก ระยะ y เปนจํานวนลบ เมื่อวัดจากระนาบ XZ ไปยังจุด P ทางด้านบวกของแกน Y เมื่อวัดจากระนาบ XZ ไปยัง จุด P ทางด้านลบของแกน Y ระยะ z เปนจํานวนบวก ระยะ z เปนจํานวนลบ เมื่อวัดจากระนาบ XY ไปยัง จุด P ทางด้านบวกของแกน Z เมื่อวัดจากระนาบ XY ไปยัง จุด P ทางด้านลบของแกน Z ตัวอยางที่ 2 จากรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากในปริภมู ิสามมิติ จงบอกพิกัดของจุดต่อไปนี้ 4 E จุด A  3,0,0  จุด B ............. F 2 จุด C ............. จุด D ............. C D -5 O G 5 จุด E ............. จุด F ............. A -2 B จุด G ............. จุด O ............. คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 3 ตัวอยางที่ 3 จงลงจุดต่อไปนี้บนระบบพิกัดฉากในปริภูมสิ ามมิติ 3.1) A  3, 4,0  B  0,1,3  C  2,1,3  3.2) D 1, 2, 1 F  2, 3,3 G  2,2, 1 · C · · 3.3) J  1,3,4  K 1, 1,3 H 1, 2, 4  3.4) A3,5,2 B 3,0,4 C 4,4,5 1.4 ระยะทางระหวางจุดสองจุดในปริภูมิสามมิติ ภาพฉาย(projection)ของจุด P บนระนาบ XY ภาพฉายของจุด P บนระนาบ XZ ถ้าลากเส้นผ่านจุด P  x, y, z  ให้ขนานกับแกน Z ไปตัด ถ้าลากเส้นผ่านจุด P  x, y, z  ให้ขนานกับแกน Y ไป ระนาบ XY จะได้จดุ ตัดมีพิกัด Q  x, y,0  เรียกจุด Q นี้ ตัดระนาบ XZ จะได้จุดตัดมีพิกดั S  x,0, z  เรียกจุด ว่าเป็น ภาพฉายของจุด P บนระนาบ XY S นี้ว่าเป็น ภาพฉายของจุด P บนระนาบ XZ ภาพฉายของจุด P บนระนาบ YZ Z R( 0, y, z ) ถ้าลากเส้นผ่านจุด P  x, y, z  ให้ขนานกับแกน X ไปตัด S( x, 0, z) P( x, y, z ) ระนาบ YZ จะได้จดุ ตัดมีพิกัด R  0, y, z  เรียกจุด R นี้ Y ว่าเป็น ภาพฉายของจุด P บนระนาบ YZ X Q( x, y, 0 ) คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 4  Z ตัวอยางที่ 4 จงหาภาพฉายของจุด P  2,1,3 บนระนาบ XY YZ และ XZ B P(2, 1, 3) C ภาพฉายของจุด P  2,1,3 บนระนาบ XY คือจุด.................... Y ภาพฉายของจุด P  2,1,3 บนระนาบ YZ คือจุด.................... ภาพฉายของจุด P  2,1,3 บนระนาบ XZ คือจุด.................... X A การหาระยะทางระหวางจุดสองจุดในปริภูมิสามมิติ ให้ P  x1 , y1 ,z1  แล ะ Q  x 2 , y 2 , z 2  จงหา PQ เราอาศัยทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพื่อพิสูจน์สตู รดังนี้ 1. ให้จุด A และ C เป็นภาพฉายของจุด P และ Q บนระนาบ XY 2. ให้จุด R และ Q เป็นภาพฉายของจุด P และ Q บนระนาบที่ขนานกับ ระนาบ YZ พิกัดจุดต่างๆ เป็นดังนี้ A  x1 , y1 ,0 , C  x 2 , y2 ,0  , R  x 2 , y2 ,z1  ดังนั้น AC =  x 2  x1 2   y 2  y1 2 แต่ PR = AC และ QR  z2  z1 และ PQ2  PR 2  QR 2   x 2  x1    y 2  y1    z 2  z1  2 2 2 นั่นคือ PQ   x 2  x1 2   y 2  y1 2   z 2  z1 2 ทฤษฎีบท ระยะทางระหวางจุด P  x1 , y1 ,z1  และ Q  x 2 , y 2 , z 2  หรือ PQ   x 2  x1 2   y 2  y1 2   z 2  z1 2 ตัวอยางที่ 5 จงหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนรูปประกอบ 1. A 1,0,3 และ B  1,3, 2  วิธีทา AB   x 2  x1 2   y2  y1 2   z 2  z1 2  ……………………………………  …………………………………... 2. C  3, 2, 1 และ D 1,3, 4  วิธีทา CD   x 2  x1 2   y2  y1 2   z 2  z1 2  ……………………………………  …………………………………… คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 5  3. จากรูป กาหนดให้ A  3, 2,0  และ F 1,4,3 Z จงหาพิกัดของจุดมุมที่เหลือของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีหน้า G F ทั้งหกขนานกับระนาบอ้างอิง H E G Y O 5 D C X A B 4. จงหาระยะทางระหว่าง จุด P  2, 1,5 และ 5. จงหาระยะทางระหว่าง จุด R  2,1, 7  และ Q  3,1,7  S  3,2, 5 PQ = RS = 6. A  2,1,1 , B  7, 3,9  , C  4,11,2  เป็นจุดยอด 7. P 1,1,1 , Q  3, 3,3 , C  4,4,4  เป็นจุดยอด ของรูปสามเหลี่ยมชนิดใด ของรูปสามเหลี่ยมชนิดใด AB = PQ = BC = QR = AC = PR = คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 6 2. เวกเตอร 2.1 ปริมาณ (Quantity) แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร (Scalar Quantity) เป็นปริมาณทีบ่ อกขนาดเพียงอย่างเดียว ซึ่งการบอกปริมาณจะเป็นการบอก โดยใช้จานวนกับหน่วยของสิ่งที่วัด เช่น พิมสูง 175 เซนติเมตร วันนี้อุณหภูมิ 30 องศาเซลเซียส รถไฟแล่นด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง แพรวขับรถด้วยอัตราเร่ง 10 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ปริมาณเวกเตอร (Vector Quantity) เป็นปริมาณทีบ่ อกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว ความเร่ง แรง โม เมนตัม เป็นต้น ซึ่งมีตัวอย่างการบอก เช่น รถยนต์ของแก้วอยู่ห่างจากบ้าน 12 กิโลเมตร ทางทิศเหนือ บทนี้จะศึกษาเรื่องปริมาณของเวกเตอร์ซึ่งเป็นพื้นฐานที่มีประโยชน์อย่างยิ่งในทางวิทยาศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื้อหาที่เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ พื้นฐานในการศึกษาโครงสร้างระบบคณิตศาสตร์ รากฐานของคณิตศาสตร์ชั้นสูง การพิสูจน์ ทฤษฎีบทต่าง ๆ เกี่ยวกับเรขาคณิตระบบยุคลิดและเรขาคณิตวิเคราะห์ เพื่อความสะดวก จะเรียก เวกเตอร แทน ปริมาณ เวกเตอร 2.2 สัญลักษณ จะใช้ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง (Directed line segment) หรือ Directed segment) แทนปริมาณเวกเตอร์ โดยใช้ความยาวของส่วนของเส้นตรงแทน ขนาด ใช้หัวลูกศรเพื่อบอกทิศทาง จากรูป จุด A เรียกว่าจุดเริ่มตน (Initial Point) B จุด B เรียกว่า จุดสิ้นสุด (Terminal Point) AB แทน เวกเตอร์จาก A ไป B เรียกว่า เวกเตอรเอบี A สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์ใด ๆ อาจใช้ตัวอักษรเพียงตัวเดียว โดยใช้ตวั อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กไม่ระบุจุดเริม่ ต้นและ จุดสิ้นสุด และมีเครื่องหมาย กากับ เช่น u , v , w AB แทนขนาดของ AB และ u แทนขนาดของ u B v u u A (1) (2) (3) หมายเหตุ โดยทั่วไป การเขียนเวกเตอร์แสดงได้ดังรูป ( 1 ) และ ( 2 ) แต่ถ้าแสดงรูปโดยมีแนวแกนประกอบดังรูป ( 3 ) เพื่อให้พิจารณาเป็นเวกเตอรในสามมิติ 2.3 สมบัติการเทากัน การขนานกัน และนิเสธของเวกเตอร ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ขนาดของเวกเตอร u  v ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทศิ ทางที่แทน u และ v มีความยาวเท่ากัน จากรูป u  v  w  a หน่วย w u v คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 7 ทิศทางของเวกเตอร a u และ v เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทางที่แทน u และ v ขนานกัน d c และมีหัวลูกศรชีไ้ ปทางเดียวกัน b จากรูป a , b, c, d เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน u และ v เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงขามกัน ก็ต่อเมื่อ u ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทางที่แทน u และ v ขนานกัน v และมีหัวลูกศรชีไ้ ปทางตรงข้ามกัน จากรูป u และ v เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงข้ามกัน การขนานกันของเวกเตอร บทนิยาม u และ v ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เวกเตอรทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน หรือทิศทางตรงขามกัน การเทากันของเวกเตอร ( u  v ) บทนิยาม u และ v เทากัน ก็ต่อเมือ่ เวกเตอรทั้งสองมีขนาดเทากันและมีทิศทางเดียวกัน จากรูป ให้ u  w  x  3 หน่วย และ v  4 หน่วย จะได้ w  x แต่ u  x เพราะมีทิศทางตรงข้ามกัน x u w v u  v เพราะ u  v ขอสังเกต เราสามารถสร้างเวกเตอร์ที่มีตาแหน่งแตกต่างไปจากเวกเตอร์ที่กาหนดให้ แต่ยังคงเท่ากับเวกเตอร์ที่กาหนดให้ ได้มากมายหลายเวกเตอร์ดังรูปข้างต้น นิเสธของเวกเตอร u คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ u แต่มีทศิ ทางตรงข้ามกับทิศทางของ u เขียน แทนด้วย u a b *** จากรูป ให้ a  b จะได้ a  b หรือ b  a เวกเตอรศูนย (Zero Vector) คือ เวกเตอรที่มีขนาดเปนศูนย เขียนแทนด้วย 0 แบบฝกหัด 1. จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงหาเวกเตอร์ที่เท่ากับเวกเตอร์ที่กาหนดให้ 1.1 AB = ……………. 1.2 BC = ……………. D C 1.3 AE = ……………. 1.4 ED = ……………. E 1.5  BC = ……………. 1.6  AE = ……………. A B คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 8 2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จุด D,E,F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB , BC , CA ตามลาดับ จงหา เวกเตอร์ที่มลี ักษณะดังนี้ 2.1 ทิศทางเดียวกับ BC 2.2 ทิศทางเดียวกับ AB C …………………………………………… …………………………………. D E 2.3 ทิศทางเดียวกับ CA 2.4 ทิศทางตรงข้ามกับ FE A F B …………………………………………… ………………………………………… 2.5 ทิศทางตรงข้ามกับ DE 2.6 ทิศทางตรงข้ามกับ DF …………………………………………… ……………………………………… 2.7 เท่ากับ AD 2.8 เท่ากับ AF ……………………………………………… ……………………………………… 2.9 เท่ากับ BE ……………………………………………… 3. กาหนด ABCDEFGH เป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงหา E F 3.1 เวกเตอร์ที่ขนานกัน 3 คู่ AB  ……………………………. D …………………………………………………… C …………………………………………………… H G 3.2 เวกเตอร์ที่เท่ากัน 3 คู่ AB = ………………………………. A B …………………………………………………… …………………………………………………… 3.3 เวกเตอร์ที่เป็นนิเสธซึ่งกัน AB กับ ……………………………. และกัน 3 คู่ …………………………………………………… …………………………………………………… การนําไปใช การกําหนดทิศทางดวยระบบเลข 3 ตัว ระบบที่ใช้เขียนแทนมุม เรียกว่า ระบบเลข 3 ตัว (Three Figure System) วิธีเขียน ใช้ตัวเลข 3 ตัว แทนมุมโดยค่าของมุมจะอยู่ระหว่าง 0 องศา ถึง 360 องศา ถ้าค่าของมุมน้อยกว่า 100 องศา ให้เติม 0 ในตาแหน่งแรกเสมอ วิธีวัด วัดจากทิศเหนือตามเข็มนาฬิกาไปยังทิศที่ต้องการ คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 9 ตัวอยางที่ 6 จงเขียนส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางแทนปริมาณเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1. 150 เมตรไปทางทิศตะวันตก 2. 40 กิโลเมตร ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ มาตราส่วน 1 เซนติเมตร : 50 เมตร มาตราส่วน 1 เซนติเมตร : 20 เมตร 3. 20 เมตร ในทิศ 120 องศา 4. 100 กิโลเมตรในทิศ 045 องศา มาตราส่วน 1 เซนติเมตร : 10 เมตร มาตราส่วน..................................... 5. 400 เมตรในทิศ 300 องศา 6. 10 กิโลเมตร ในทิศ 075 องศา และต่อไปในทิศ 030 องศา อีก 8 กิโลเมตร มาตราส่วน ……………………….. มาตราส่วน ………………………… ตัวอยางที่ 7 ถ้า u แทนการเดินทาง 40 กิโลเมตรในทิศ 060 องศา จงเขียนรูปและบรรยายถึงการเดินทางที่แทนด้วย  u มาตราส่วน 1 ซม.: 10 กม. N - u แทนการเดินทาง................. กิโลเมตร 60 u ในทิศ..................องศา ตัวอยางที่ 8 เครื่องบิน บินไปในทิศ 045 องศา ด้วยอัตราเร็ว 240 กิโลเมตรต่อชัว่ โมง ถ้าพายุพัดไปในทิศตะวันออกเฉียงใต้ด้วย อัตราเร็ว 100 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาว่าเครื่องบินลานีจ้ ะบินไปในทิศทางใดด้วยอัตราเร็วเท่าใด วิธีทํา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 10  แบบฝกหัด 1. นักสารวจออกเดินทางในทิศ 030 องศา เป็นระยะทาง 1 กิโลเมตร แล้วออกเดินทางต่อไปในทิศ 120 องศา เป็น ระยะทาง 0.75 กิโลเมตร เขาจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นเป็นระยะทางเท่าใด และอยู่ในทิศทางใดของจุดเริม่ ต้น 2. อัตราเร็วของการพายเรือในน้านิ่งของชายคนหนึ่งเป็น 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ถ้าเขาพายเรือข้ามฝั่งแม่น้าโดยการไปทาง ทิศเหนือในขณะที่น้าไหลไปทางทิศตะวันออกด้วยอัตราเร็ว 3 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เรือของเขาจะแล่นไปในทิศทางใดด้วย อัตราเร็วเท่าใด และเมื่อเวลาผ่านไป 10 นาที เขาพายเรือไปได้ไกลเท่าใด 3. เครื่องบิน บินไปทางทิศเหนือด้วยอัตราเร็ว 200 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ถ้าพายุพัดไปในทิศ 240 องศา ด้วยอัตราเร็ว 100 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เครื่องบินจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดและด้วยอัตราเร็วเท่าใด 2.4 การบวกและลบเวกเตอร การบวกเวกเตอร วิธีที่ 1 โดยใชบทนิยาม บทนิยาม ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ เลือกจุด A ใด ๆ เป็นจุดเริ่มต้นหาตาแหน่งของจุด B ที่ทาให้ AB  u แล้ว หาตาแหน่งของจุด C ที่ทาให้ BC  v คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 11  เวกเตอร์ที่เกิดขึ้นใหม่คือ AC จะเป็นผลบวกของ AB และ BC สัญลักษณ เขียนแทนด้วย AC  AB  BC u C และถ้าให้ w  AC u+v จะได้ w  u  v v v A u B วิธีที่ 2 ใชรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน หาผลบวกของ u และ v โดยให้จุดเริม่ ต้นของ u และ v เป็นจุดเดียวกัน แล้วสร้างรูปสีเ่ หลีย่ มด้านขนาน และ โดยอาศัยบทนิยามของการบวกเวกเตอร์ข้างต้น เวกเตอร์ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ที่แทนด้วยเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้าน ขนานที่ผ่านจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่กาหนดให้ และมีจุดเริม่ ต้นเป็นจุดเดียวกับเวกเตอร์ที่กาหนดให้ดงั รูป v v uv uv u การลบเวกเตอร u บทนิยาม ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ ผลลบเวกเตอร์ u ด้วย v เขียนแทนด้วย u – v และ u – v = u + (– v ) การหา u – v ทาได้โดยหาผลบวกของ u กับนิเสธ v จากรูปจะได้ u AC = AB + BC u A B = + (– v ) u u-v -v =u –v v C หรือให้จุดเริ่มต้นของ u และ v เป็นจุดเดียวกัน แล้วลากส่วนของเส้นตรง เชื่อมจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ทั้งสอง *** ขอสังเกต เมื่อกาหนดเวกเตอร์ u และ v ให้ และให้เวกเตอร์ทั้งสองมีจดุ เริม่ ต้นทีจ่ ุด A โดยให้ AB = u , AD = v แล้วสร้างรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนาน ABCD ดังรูป จะได้ D C AC = u + v v BD = v – u u+v u-v DB = u – v A u B จะเห็นว่า เมื่อกําหนดเวกเตอรสองเวกเตอรแลว สามารถหาผลบวกและผลลบของเวกเตอรทั้งสองได โดยสรางรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน เสนทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานจะแทนผลบวกและผลลบที่ตองการเมื่อระบุทิศทางให ถูกตอง คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 12  / ตัวอยางที่ 9 1. จงใช้รูปที่กาหนดให้เขียนการบวกกันของเวกเตอร์โดยให้ผลบวกเป็นเวกเตอร์ศูนย์ (อย่างน้อย 2 สมการ) เช่น AB  BC  CA  0 D C …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. B A แบบฝกหัด จงเติมคาตอบลงในช่องว่าง 1. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั D C 1.1 AB  BC = …………………. 1.2 AO  BO = …………………. O A B 1.3 OA  OD = …………………. 2. กาหนดให้ ABCDEF เป็นรูปหกเหลีย่ มด้านเท่ามุมเท่า E D 2.1 AB  BC = …………………. 2.2 AO  AB  CD = …………………. F O C 2.3 OE  DB  DC = …………… A B 2.4 OA  OB  OC  OD  OE  OF = …………………. 3. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ u  AB , v  DA , w  CB , x  DC D C 3.1 u –v = …………………. 3.2 v – w = …………………. O 3.3  OB  OC   OD  OB = …………………. A B 4. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มจี ุด D,E,F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB , BC , CA ตามลาดับ C 4.1 CE  FE = …………………. 4.2 EF  ED = …………………. F 4.3 AC  AB = …………………. E 4.4 CA  DE = …………………. A D B คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 13  ชุดที่ 2 ชื่อ ……………………..............………….………………………………….………………………. ชั้น ม.5/……… เลขที่ ……… 3. เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมิติ บทนิยาม ถ้า Aa, b  และ Bc, d  เป็นจุดใดๆ ในระนาบ 4 B(c,d) XY เวกเตอร์ AB ในระบบแกนมุมฉากจะมีสญ ั ลักษณ์ดังนี้ A(a,b) 2 c  a  AB =  d  b  จากรูป จุดเริ่มต้นคือ Aa, b  และจุดสิ้นสุดคือ Bc, d  5 เวกเตอรหนึ่งหนวย (Unit Vector) หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย (ทิศทางใดก็ตาม) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทีส่ าคัญ 1  1. i =   เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับแกน x มีทิศทางไปทางบวก 0  0  2. j =  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับแกน y มีทิศทางไปทางบวก 1  a  ดังนั้น เวกเตอร์   ใดก็ตาม สามารถเขียนในรูปของ i และ j ได้ดังนี้ b   a   a  0  1 0  = + b   0  b  = a 0  + b 1 = ai + bj            3 เช่น AB =   = 3i + 7 j 7  เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ บทนิยาม ถ้า A( x1, y1, z1 ) และ B( x2, y2, z2) เป็นจุดใดๆ Z E B ในปริภูมสิ ามมิติ เวกเตอร์ AB ในระบบแกนมุมฉากจะมีสัญลักษณ์ดังนี้ จากรูป จุดเริ่มต้นคือ A( x1, y1, z1 ) และจุดสิ้นสุดคือ F I G R B( x2, y2, z2) A H  x2  x1  Y   X AB =  y 2  y1   z 2  z1  เวกเตอรหนึ่งหนวย (Unit Vector) หมายถึง เวกเตอร์ทมี่ ีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย (ทิศทางใดก็ตาม) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ สาคัญ 1  1. i = 0 เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับแกน x มีทิศทางไปทางบวก 0 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 1  0  2.   j = 1  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับแกน y มีทิศทางไปทางบวก 0 0  3.   k = 0  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับแกน z มีทิศทางไปทางบวก 1 a  ดังนั้น เวกเตอร์ b  ใดก็ตาม สามารถเขียนในรูปของ i และ j ได้ดังนี้  c  a  a  0  0  1  0  0  b  =  0  + b  + 0 = a 0 + b 1 + c 0 = ai + bj + c k            c   0  0 c  0 0 1   4  เช่น AB =   1  = 4 i – j + 2 k  2  ให้ a, b, c, d และ f เป็ นจํานวนจริงใดๆ เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมิติ เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ การเทากัน a  c   x1   x2  ถ้า AB =   และ CD =   แล้ว b  d  ถ้า AB =  y1  และ CD =  y  แล้ว  2 AB = CD ก็ต่อเมื่อ a  c และ b  d  z1   z 2  AB = CD ก็ต่อเมื่อ x1  x2 และ y1  y2 และ z1  z 2 การบวกเวกเตอร a  c  a  d  ถ้า u =   และ v =   b  d  ถ้า u = b  และ v =  e    a  c  c   f  แล้ว u + v =   b  d  a  d  แล้ว u + v =  b  e  c  f  เวกเตอรศูนย 0  0  0 =    0  0 = 0  0 นิเสธของเวกเตอร a   a  a   a  นิเสธของ   คือ   b   b b  นิเสธของ   คือ   b   c    c  คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 2  เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมิติ เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ การลบเวกเตอร a   c   a  c  a   d  a  d  b  – d  = b  d  b  –  e  =  b  e               c   f  c  f  การคูณเวกเตอรดวย a  ka  a  ka  k  =   สเกลาร b   kb  k b  =  kb    เมื่อ k เป็นจานวนจริง  c   kc  เมื่อ k เป็นจานวนจริง การขนานกันของ a  a  ถ้า u =    0 เวกเตอร b  ถ้า u = b   0 c   c  และ v =    0 d  d  แล้ว u ขนานกับ v และ v =  e   0 ก็ต่อเมื่อมีจานวนจริง k  0 ซึ่งทาให้  f  a  c  b  = k d  หรือ ad  bc แล้ว u ขนานกับ v     ก็ต่อเมื่อมีจานวนจริง k  0 ซึ่งทาให้ เมื่อ a, b, c, d เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 a  d  b  = k  e       c   f  เมื่อ a, b, c, d , e, f เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 ขอสังเกต 1. กําหนดให a  0 และ b  0 0 0  ถ้า u =   และ v =   แล้ว u ขนานกับ v a  b  a b  ถ้า u =   และ v =   แล้ว u ขนานกับ v 0  0  ขอสังเกต 2. กําหนดให a  0 และ b  0 และ c  0 0 0  ถ้า u =  0  และ v = 0 แล้ว u ขนานกับ v   a  b  0 0  ถ้า u = a  และ v = b  แล้ว u ขนานกับ v    0  0 a  b  ถ้า u =  0  และ v = 0 แล้ว u ขนานกับ v    0  0 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 3  แบบฝกหัด 3.1 1. จงหา AB และ BA เมื่อกาหนด A และ B ดังต่อไปนี้ 1.1 A(–2, 1 ), B( 3, 2 ) ; AB = = BA = 1.2 A(5, 6, 1 ), B(2, 2, –1) ; AB = = BA = 1.3 A(–3, 5, 2 ), B(–2, 7, 2 ) ; AB = = BA = 1.4 A(–3, 4), B(5, –3) ; AB = = BA = 2. กาหนด AB และจุด A จงหาจุด B  3 2.1 AB =   , A(1, 2) ; B   5 1  2.2 AB = 5 , A( –6, 0, 1 ) ; B 2 3. กาหนด AB และจุด B จงหาจุด A 1 3.1 AB =   , B(2, 1) ; A 1   2 3.2 AB =  1  , B(–3, –2, 2 ) ; A 1 4. จงหาผลลัพธ์ของ  3    2 4.1   +   =....................................................   4  3   1   2 4.2  3  +   1  =.................................................... 1  1  0    9   4  4.3   +   +   5 =.................................................... 6   4    คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 4   3    2 5  5. ถ้ากาหนดให้ u =   , v =   และ w =     4  2  6  5.1 2 u + 3 v + w = 5.2 –3 u – 5 v – 2 w = 5.3 5 u + 2 v – 5 w = 6. เวกเตอร์ต่อไปนีเ้ วกเตอร์ใดบ้างที่ขนานกัน 1   2    8  9 1 7  8 2 1.1  2  , 1  ,   4  , 3 , 3 , 0 , 0 , 4                 2 1   2 1  1   0  0  4  0  1 1.2 2 , 1  ,    3   ,  3 ,     8  ,  1 ,    2 2 1  2  2  2   4  3    1   2. จงหาจานวนจริง x และ y ที่สอดคล้องกับสมการแต่ละข้อ  x 2 y    2  1  x  2  x 2.1 2  – 3  =   2.2 2  + 3  =   – 2   y x 8  3  y   3  y คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 5 ขนาดของเวกเตอร หมายถึง ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทางที่แทนเวกเตอร์นั้น ถ้า p มีพิกัดจุด (x1, y1) และ Q มีพิกัดจุด (x2, y2) x  x  จะได้ PQ =  2 1  PQ = ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  y 2  y1  a  a  ดังนั้น PQ =   จะได้ขนาดของเวกเตอร์   = a 2  b2 b  b  ถ้า p มีพิกัดจุด (x1 , y1, z1) และ Q มีพิกัดจุด (x2, y2, z2) จะได้ ขนาดของเวกเตอร์ PQ มีค่าเท่ากับ x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2 ตัวอยางที่ 1 จงหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไปนี้  3 1.1 u =   ดังนั้น u =  4 5  1.2 v =   ดังนั้น v = 6   2 1.3 w = 1  ดังนั้น w =  2   1  1.4 x =  3  ดังนั้น x =  6  ตัวอยางที่ 2 กาหนดให้ A(2, –1), B(–2, 1), C(4, 2), D(3, 4) จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูปของ i และ j พร้อมทั้งหา ขนาดของเวกเตอร์  2  2   4 2.1 AB =  =   = –4 i + 2 j 1  (1)  2  2.2 AB = (4)2  22 = 16  4 = 20 = 2 5 หน่วย 2.3 BC = ………………………………………………………………………………………. 2.4 BC = ………………………………………………………………………………………. 2.5 CD = ………………………………………………………………………………………. 2.6 CD = ………………………………………………………………………………………. คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 6 การหาเวกเตอรหนึ่งหนวย กาหนดให้ a  0 และ b  0 เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมิติ เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ เนื่องจาก a  a  u =   = a i + b j ใด ๆ b  u = b  = a i + b j + c k ใด ๆ จะมีขนาดเท่ากับ a 2  b2 c  จะมีขนาดเท่ากับ a 2  b 2  c 2 ดังนั้น เวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย 1 a  1 a  2 b  หรือ  u 1 b  หรือ 1  u และมีทิศทางเดียวกับ u คือ a b   2 u a 2  b 2  c 2   u c  เวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย 1 a  1 a     หรื อ – u 1 b  หรือ – 1  u และมีทิศทางตรงขามกับ u คือ a 2  b 2 b  u – 2   u a b c   2 2 c  เวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย 1 a  1 a   2 b  หรือ   u 1 b  หรือ และขนานกับ u คือ a b   2 u  2   a b c   2 2 c  1  u u ตัวอยางที่ 3 กาหนดให้ u = 3 i + 4 j และ v = i – 2 j จงหาเวกเตอร์ทตี่ ้องการ 1) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ u 2) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ v 3) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับ u – 2 v 4) เวกเตอร์ที่ขนานกับ v แต่มีขนาดเท่ากับ u คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 7  แบบฝกหัด 3.2 1. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ AB เมื่อกาหนดจุด A และจุด B มาให้ 1.1 A(1, 3), B(5, 3) 1.2 A(–4, –3), B(–4, 3) 1.3 A(0, 6, 1 ), B(–2, 2, 5) 2. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทีม่ ีทิศทางตรงกันข้ามกับ AB เมื่อกาหนดจุด A และจุด B มาให้ 2.1 A(0, 0), B(6, –8) 2.2 A(6, 1, –2 ), B(2, 5, 0) 3. จงหาเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับ u แต่มีขนาดเท่ากับ v 3.1 u = 3 i – j + k , v = 2 i + j – k 3.2 u = – i + 2 j , v = –4 i – 2 j 4. กาหนดให้ u = – i + 5 j และ v = –2 i – j จงหาเวกเตอร์ต่อไปนี้ 4.1 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ u + v 4.2 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ 2 u – v 4.3 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่ขนานกับ 5 u + v 4.4 เวกเตอร์ที่ขนานกับ u – v และมีขนาดเท่ากับ | u + v | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 8 โคไซนแสดงทิศทาง (direction cosines) การกาหนดทิศทางของเวกเตอร์นนั้ นอกจากกาหนดด้วยพิกัดของเวกเตอร์แล้วยังสามารถกาหนดด้วยมุมที่เวกเตอร์ ทากับแกนพิกัดทั้งสามดังนี้  กาหนด O(0,0,0) และ P(a1, a2 , a3 ) จะได้ OP  a1 i  a2 j  a3 k  กาหนด , ,    0,   เป็นมุมที่วัดจากแกนพิกดั ด้านบวกทั้งสามตามลาดับ ไปยัง OP  a1 i  a2 j  a3 k จะได้ OQ a1 OR a2 OS a3 cos    cos    cos    OP OP OP OP OP OP หมายเหตุ ในที่นี้  OQ, OR, OS หมายถึงระยะที่มีทิศทางตามแนวแกน X , Y , Z ตามลาดับ   ,  ,  เป็นมุมที่ OP ทากับแกน X , Y , Z ทางด้านบวก ตามลาดับ  เรียกมุม , ,  ว่า มุมกาหนดทิศทาง ( direction angle ) ของ OP  เรียก cos  , cos  และ cos  ว่า โคไซน์แสดงทิศทาง ( direction cosine ) ของ OP ดังนั้น เราสามารถนิยามโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ใดๆ ได้ดังนี้  a1  บทนิยาม โคไซนแสดงทิศทาง ของ a เมื่อ a = a2  ซึ่ง a  0 เทียบกับแกน X, Y, Z ตามลาดับ  a3  a1 a2 a3 คือ จานวนสามจานวนซึ่งเรียงกันตามลาดับ ดังนี้  ,  ,  a a a ตัวอยางที่ 4 4  1. ให้ a = 2 จงหาโคไซน์แสดงทิศทาง ของ a 4 วิธีทํา 2. จงหาโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ P( 2, 2, 5 ) และจุดสิ้นสุดที่ Q( 1, 4, 2) วิธีทํา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 9  บทนิยาม เวกเตอร์สองเวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ มีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน และจะมีทิศทางตรงขาม ก็ต่อเมื่อ โคไซน์แสดงทิศทางเทียบแต่ละแกนของเวกเตอร์หนึ่งเป็นจานวนตรงข้ามกับโคไซน์ แสดงทิศทางของอีกเวกเตอร์หนึ่ง ตัวอยางที่ 5 จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้คู่ใดขนานกัน a. เวกเตอร์ที่มจี ุดเริ่มต้นที่ P( 1, 2, 3 ) และจุดสิ้นสุดที่ Q( 2, –3, 5) b. เวกเตอร์ที่มจี ุดเริ่มต้นที่ O( 0, 0, 0 ) และจุดสิ้นสุดที่ R( –3, 15, –6) 2 c. a  10  4  วิธีทํา ผลคูณเชิงสเกลาร (Scalar Product of Dot Product) การคูณกันระหว่างเวกเตอร์ มี 2 แบบ คือ 1. ให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ เรียกว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ 2. ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ เรียกว่า ผลคูณเชิงเวกเตอร์ x  x  บทนิยาม กาหนดเวกเตอร์ u =  1  = x1 i + y1 j และ v =  2  = x2 i + y2 j  y1   y2  ผลคูณเชิงสเกลาร ของ u และ v เขียนแทนดวย u  v โดยที่ u  v = x1x2 + y1y2 ถ้า u = x1 i + y1 j + z1 k และ v = x2 i + y2 j + z2 k ผลคูณเชิงสเกลาร ของ u และ v เขียนแทนดวย u  v โดยที่ u  v = x1x2 + y1y2 + z1z2 ตัวอยางที่ 6 ถ้า u = 3 i + 5 j และ v = 4 i – 6 j จงหา 1. u  v = ……………………………………………………………………………. 2. v  u = ……………………………………………………………………………. 3. 3 u 2 v = 3(3 i + 5 j )2(4 i – 6 j ) = ……………………………………………. คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 10 ตัวอยางที่ 7 ถ้า u = 3 i + 5 j + 2 k และ v = 4 i – 6 j + 3 k จงหา 1. u  v = ……………………………………………………………………………. 2. v  u = ……………………………………………………………………………. 3. 3 u 2 v = ……………………………………………………………………………. สมบัติที่สําคัญของผลคูณเชิงสเกลาร 1. u v = v u (สมบัติการสลับที่) 2. i i = j  j = 1 3. i j=0 4. ถ้า a เป็นสเกลาร์ a u  v = u (a v ) 5. u ( v + w ) = u  v + u  w (สมบัติการแจกแจง) u u = u 2 6. 7. ถ้ามุมระหว่าง u กับ v เป็น แล้ว u  v = u  v cos  (มุมระหว่างเวกเตอร์ หมายถึง มุมที่ไม่ใช่มุมกลับ ซึ่งมีแขนของมุมเป็นรังสีที่ขนาน และมีทิศทางเดียวกันกับ เวกเตอร์ทั้งสอง นั่นคือ 0    180 ) ขอสังเกต 1. ถ้า u  0 และ v  0 แล้ว u  v = 0 ก็ต่อเมื่อ u ตั้งฉากกับ v หรือ ถ้า u และ v เป็นเวกเตอร์ทไี่ ม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ u ตั้งฉากกับ v ก็ต่อเมื่อ u  v = 0 2. ถ้า u = xi  y j และ v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับ u  y x  แล้ว v =   i j  x2  y 2 x 2  y 2   ตัวอยางที่ 8 จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1. u  3i  2 j และ v  9i  6 j 2. u  3i  j และ v  2i  6 j u v u v cos   = cos   = u  v u  v 3. u  4i  2 j  4k และ v  2i  7 j  k คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 11 ตัวอยางที่ 9 เวกเตอร์ในข้อใดเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน 1   4   2  3 1.   ,   2.   ,   4 1  3  2 2  1   2  3 3.   ,   4.   ,   6   3    3  2 1  ตัวอยางที่ 10 จงหาค่า a ที่ทาให้   ตั้งฉากกับเวกเตอร์ต่อไปนี้ a   1  1 1.   2.   6 a ตัวอยางที่ 11 จงหาเวกเตอร์ 1 หน่วยที่ตั้งฉากกับ u = –7 i + 24 j ตัวอยางที่ 12 จงหามุมและความยาวรอบรูปของรูปสามเหลียม PQR เมือกําหนด P(0, 1), Q(10, 1), R(5, 6) R PQ = cos Q = 5 P Q QR = cos R = 10 PR = cos P = คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 12  ชุดที่ 3 ชื่อ ……………………..............………….………………………………….………………………. ชั้น ม.5/……… เลขที่ ……… เวกเตอร สรุป ถา u และ v เปนเวกเตอรในระบบแกนมุมฉากแลว 1. u  v = u + v + 2 u  v = u + v + 2 u  v cos  2 2 2 2 2 2. u  v = u + v – 2 u  v = u + v – 2 u  v cos  2 2 2 2 2 2 2 3. ( u + v )( u - v ) = u - v 4. u  v  u + v 5. u  v  u - v 6. ( u  v )2 = u v หรือ u  v =  u  v เมื่อ u ขนานกับ v 2 2 a  c  7. ถ้า u =   และ v =   เป็นเวกเตอร์ใด ๆ แล้ว b  d  u ตั้งฉากกับ v เมื่อ u  v  0 นั่นคือ ac  bd  0 u ขนานกับ v เมื่อ ad  bc a  8. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับเวกเตอร์ใด ๆ เมื่อกาหนด u =   = a i + b j b  a  u 1 จะได้ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่ทิศเดียวกับ u คือ   = a 2  b 2 b  u u 1  a  เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ทิศตรงข้ามกับ u คือ - = - 2 2   u a  b  b a  a   b  b  9. ถ้า u =   ใด ๆ ที่ u  0 แล้ว   ตั้งฉากกับ   หรือ   b  b  a   a  a i + b j ตั้งฉากกับ -b i + a j หรือ b i - a j ) 1  b  1 b  และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทีต่ ั้งฉากกับ u คือ   หรือ   a2  b2  a  a 2  b 2  a  ตัวอยางที่ 1 ถ้า u = 2, v = 3 และ u  v = 4 จงหา u  v........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 04 (ค32202): เวกเตอร์ หน้า | 1 ตัวอยางที่ 2 ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ โดยที่มมุ ระหว่าง u กับ v เท่ากับ 30 ถ้า u = 3, v = 1 จงหาโคไซน์ของมุมระหว่าง u + v กับ u - v.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... แบบฝกหัด 1. ถ้า u = 3, v = 6 และ u  v = 5 แล้ว 2. ถ้า u = 5, v = 4 และ u  v = 7 แล้ว จงหา  u – v  จงหา  u + v ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3. ถ้า u = 4, v = 3 และ u  v = 4. ถ้า u = 6, v = 8 และ u  v = 2 37 25  12 3 แล้วจงหามุมระหว่าง u กับ v แล้วจงหามุมระหว่าง u กับ v..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................