НАШ-graf PDF - Справочник по элементарным функциям

IV. Простейшие элементарные функции и их графики 1.Понятие функции Если каждому элементу x из множества X посредством какого-то правила (действия, операции) поставлен в соответствие один и только один элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция, отображаю- щая множест...

IV. Простейшие элементарные функции и их графики 1.Понятие функции Если каждому элементу x из множества X посредством какого-то правила (действия, операции) поставлен в соответствие один и только один элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция, отображаю- щая множество Xв множество Y. Обозначается это так: R x y или x→y = φ(x)или еще короче y = f(x) При этом множество X называют множествомопределения функции или, чаще, областьюопределения функции. Множество Y называют множеством значений функции. Переменную x называют независимой переменной или ар- гументом функции. Переменную y называют значением функции. Если имеется в виду такое-то определенное значение x, например,x = x0, то, говорят значение функции в точке x0 равно y0. X Y X Y X Y x1 y1 x1 y1 x1 y1 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x3 y3 x3 y3 y3 x4 x4 y4 x4 y4 …… …… …… …… …… …… xn-2 xn-2 yn-2 xn-1 ym-2 xn-1 ym xn-1 yn-1 ym-1 xn xn yn-1 xn ym-1 …… …… …… …… …… …… а) б) в) Рис. 1 На рис. 1 а) показана функция, отображающаяX в Y.Заметим, что каждому x соответствует только одно значение y. При этом различным значениям x может соответствовать одно и тоже значение y(x2и x4отображаются на y2), тем не ме- нее это функция — определение функции не нарушено. На рис 1 б) показана взаимно однозначная функция. Если каждому элементу x из множества X поставлено в соответствие одно и только одно значение y из множества Y, и при этом каждому y∈Y соответст- вует одно и только одно значение x из множества X, то говорят, что на множе- стве X задана взаимно однозначная функция, отображающая множество Xв множество Y. Отображение, показанное на рис. 1 в) функцией не является, т.к. элементу x2поставлено в соответствие два значения из множества Y. Примеры:y = ax2 + bx + c — квадратичная функция; y = kx + b — линейная функция, y = ax,y = logax — показательная и логарифмическая функции. 2.Простейшие элементарные функции К простейшим элементарным функциям относятся следующие функции: 1. y = xα — степенная функция; 2. y = ax —показательная функция; Четыре тригонометрические функции: 3. y = sinx —синус, синусоида, функция синуса; 4. y = cosx —косинус, косинусоида, функция косинуса; 5. y = tgx — функция тангенса; 6. y = ctgx —функция котангенса; 7. y = logax —функция логарифма, логарифмическая функция; Четыре обратных тригонометрических функции: 8. y = arcsinx —функция обратная синусу; 9. y = arccosx —функция обратная косинусу; 10. y = arctgx —функция обратная тангенсу; 11. y = arcctgx —функция обратная котангенсу. Мы рассмотрим большее число функций за счет того, что вместо одной сте- пенной функции построим графики 1. прямой пропорциональной зависимости; 2. уравненияпрямой; 3. квадратичной параболы; 4. кубической параболы; 𝟏 5. параболы𝒚 = 𝒙𝟐 ; 6. полукубической параболы; 7. обратной пропорциональной зависимости(гиперболы); 8. функции y = |x|. 3.Графики простейших элементарных функций Множество точек с координатами (x; f(x)) называется графиком функции y=f(x). Определения возрастания и убывания функции, ее периода, мотнотонности, экстремума, максимума, минимума, наибольшего и наименьшего значения, точек перегиба, понятие асимптоты, четной и нечетной функции, а так же функции, обратной данной, будут даны в главе "Исследование элементарных функций". 1. Прямая пропорциональная зависимость y Если переменные x и y связаны формулой y= k⋅x (1), k< 0 k> 0 то говорят, что между ними установлена прямо пропор- циональная или линейная зависимость. α График этой зависимости изображен на рис. 2. График x 0 функции представляет из себя прямую линию, проходя- щую через начало координат и наклоненную к оси абс- цисс под углом α. Тангенс угла α равен k.Уголαострый, Рис. 2 если k> 0 и тупой, если k< 0. Случай k= 0 здесь не рассматривается (см. п. 3.2.). Константа k называется угловым коэффициентом. Область определения функции (ООФ) вся числовая прямая, т.е. x∈ℝ. Множество значений функции (МЗФ) вся числовая прямая: y∈ℝ. Функция монотонно возрастает на всей числовой прямой при k>0имонотонно убывает при k< 0. Функция нечетная. y 𝟏 y = x +1 2. Уравнение прямой 𝟐 1 Уравнение прямой может быть задано од- y =1 ной из следующих формул: α y= k⋅x + b(2) — уравнение прямой с угловым x -2 3x 0 коэффициентом или +2 x =2,2 A⋅x + B⋅y + C = 0 (3) — каноническое или y+ общее уравнение прямой.(A и B не равны 6 нулю одновременно). = Легко видеть, что если переписать урав- -3 нение (2) в виде k⋅x + (-1) y + b мы получаем 0 частный случай (B = -1) уравнения (3). И на- Рис. 3 оборот, если разрешить уравнение (3) отно- сительно y, то получим уравнение (2): 𝐀 𝐂 𝐀 𝐂 𝒚 = (− ) ⋅ 𝒙 + (− ),гдеk= − иb = −. 𝐁 𝐁 𝐁 𝐁 Константа k называется угловым коэффициентом. Константа b — началь- нойординатой. При A≠0 и B≠0 прямая пересекает ось абсцисс в точке x = -b/k (–C/A)иось ординат в точке y=b (–C/B). При b = 0(C = 0)прямая проходит через начало координат. Прямая составляет с осью абсцисс угол α = tgk(tg (–A/B)). 𝐂 При k = 0 (A = 0)получаем график функцииy=b(𝒚 = − ) — прямую 𝐁 параллельную оси асцисс. 𝐂 При B = 0 получаем прямую 𝒙 = − параллельную оси ординат. Заметим, 𝐀 что эта прямая не является графиком функции, т.к. одному и тому же значению x=-C/Aставится в соответствие бесчисленное количество значений y. ООФ: x∈ℝ.МЗФ:y∈ℝ. Функция монотонно возрастает на всей числовой прямой при k>0 имоно- тонно убывает при k< 0. −𝒃 Пересекает ось Ox в точке ; 𝟎 , ось Oy в точке (0; b). 𝒌 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки с координатами 𝒙−𝒙𝑨 𝒚−𝒚𝑨 A (xA; yA) и B (xB; yB), записывается так: = , ее угловой коэффициент 𝒙𝑩 −𝒙𝑨 𝒚𝑩 −𝒚𝑨 𝒚𝑩 −𝒚𝑨 равен 𝒌 = 𝒙𝑩 −𝒙𝑨  Если прямая отсекает на оси абсцисс отрезок длиной m, а на оси ординат отрезок длиной n, т.е. проходит через точкиA (0; m) и B (n; 0), то ее уравнение 𝒙 𝒚 может быть записано в виде: + = 𝟏 — уравнение прямой в отрезках. Ее уг- 𝒎 𝒏 𝒏 ловой коэффициент равен 𝒌 = −. 𝒎 Уравнение прямойс заданным угловым коэффициентом k и проходящей че- рез точку A(xA; yA) и имеет вид(y–yA) = k⋅(x–xA). Функция y= k⋅x + bне является ни четной, ни нечетной. y 3. Квадратичная парабола y = x2 9 График этой функции показан на рис. 4. График функции y = ax2 получается из данного график путем простого изменения масштаба. По- этому ограничимся случаем a = 1. Функция определена на всей числовой прямой. Множество значений: y∈[0; +∞]. 4 y→+∞ при x→–∞ и при x→ +∞. Функция убывает на x∈ (–∞; 0] и возрастает на x∈[0; +∞]. Точка O(0;0) называется вершиной пара- болы. 1 Функция четная.Касается оси Ox и пересекает x -3 -2 0 1 2 ось Oy в точке O(0;0). В этой же точке функция Рис. 4 имеет экстремум. Точка O(0;0) — точка миниму- ма. Точек перегиба нет. График функции симметричен относительно оси Oy. При a0) относительно оси Ox. y y′ График функцииy = ax2+bx +cполучается из графика функции y = ax2путем сдвига координат- ных осей.При этом ось ординат сдвигается на еди- 𝒃𝟐 −𝒃 ниц𝒄 − влево, а ось абсцисс на единиц вниз. 𝟒𝒂 𝟐𝒂 4 График функции y = x2+ +5x+4 показан на рис. 5. Он получен из графика функции y = x2, путем пе- 𝟓𝟐 реноса оси ординат на 𝟒 − = −𝟐, 𝟐𝟓единиц 𝟒∙𝟏 влево (знак "–" поэтому сдвигаем вправо) и оси O′ −𝟓 x′ абсцисс на =– 𝟐, 𝟓 единиц вниз (знак "–" по- -3 -1 𝟐∙𝟏 этому сдвигаем вверх). Заметим, что для того, чтобы изобразить гра- x 1 (-2,5; -2,25) фик функции y = 2x2 + 10x+8 (или y = x2 + 2,5x+ + 2 Рис. 5 2) достаточно на рис. 5 поменять всего два числа: вместо 4 написать 8 (2) и вместо – 2,25 поставить –4,5 (–1,125)  График параболы y = ax2+bx +c симметричен относительно прямой парал- 𝒃𝟐 лельной оси Oy и проходящей через точку 𝒄 −.Вершина параболы лежит в 𝟒𝒂 −𝒃 𝒃𝟐 точке C( ;𝒄 − ) — точка минимума. 𝟐𝒂 𝟒𝒂 Если D = b2 – 4ac> 0график пересекает ось Ox ровно в двух точках: −𝑏− 𝒃𝟐 – 4𝒂𝒄 −𝑏+ 𝒃𝟐 – 4𝒂𝒄 A1 ( ; 0) иA2 ( ; 0). 2𝑎 2𝑎 −𝑏 При D = 0 график касается оси Ox в точке A ( ; 0). 2𝑎 При D< 0 график лежит выше оси абсцисс. График пересекает ось Oy в точке M (0; b). y 4. Кубическая парабола y = x3 8 Область определения функции:x∈ (–∞; +∞) Множество значений: y∈ (–∞; +∞). y→ –∞ при x→–∞ и y→ +∞при x→ +∞. Возрастает на всей числовой прямой. Центр симметрии — начало координат. В точке O (0; 0) имеет точку перегиба и пересекает оси -2 1 координат. Нечетная функция. x Для построения графика функции y = ax3 достаточно 0 изменить масштабный отрезок по оси Oy в a раз. Для построения графика y = –ax3 необходимо построить график симметричный графику функции y = ax3 относи- тельно оси Ox. График функции y = ax3 + bx2 + cx2 + d= 0 может иметь различный вид. Он всегда пересекает ось Ox по крайней -8 мере в одной точке, но может иметь и две и три точки пере- Рис. 6 сечения. Всегда имеет ровно одну точку перегиба. Может либо совсем не иметь экстремумов, либо имеет один максимум и один мини- мум. Если известны коэффициент a, значение Δ = 3ac – b2 и дискриминант D = = b2c2 –4ac3 –4b3d –27a2d2 + 18abcd, то можно достаточно точно описать кри- вую. Если a> 0, то y→ –∞ при x→–∞ и y→ +∞ при x→ +∞. Если a< 0, то y→+∞ при x→–∞ и y→–∞ при x→ +∞. При Δ> 0 функция не имеет экстремумов, но имеет точку перегиба. При Δ= 0 функция так же не имеет экстремумов и имеет точку перегиба. В этом случае касательная проведенная в точке перегиба параллельна оси Ox. При Δ< 0 и a> 0 функция имеетточку перегиба, один максимум в точке xmax = (−𝒃 − −𝚫)/(𝟑𝒂)и один минимум в точке xmin = (−𝒃 + −𝚫)/(𝟑𝒂). Точка перегиба лежит между точками xmax и xmin. При Δ< 0 и a< 0 точка максимума становиться точкой минимума, затем сле- дует точка перегиба и, наконец, точка максимума, после которой функция мо- нотонно убывает.  При D> 0 график пересекает ось абсцисс в трех точках При D= 0 график имеет либо одну, либо две точки пересечения с осью Ox. Если точек пересечения две, то одна из них является точкой касания. При D< 0 график имеет ровно одну точку пересечения с осью Ox. −𝒃 𝟐𝒃𝟑 −𝟗𝒂𝒃𝒄 Точка перегиба имеет координаты ; + 𝒅 и является центром 𝟑𝒂 𝟐𝟕𝒂𝟐 симметрии кривой. 𝟏 5. Парабола 𝒚 = 𝒙𝟐 В школе, при построении графика этой функции обычно строят только верхнюю ветвь параболы. При таком построении, мы получаем график, непро- тиворечивый определению функции, которое мы дали в пункте 1 этой главы. Однако, в том же школьном курсе, уже при y решении квадратных уравнений, приходится рас- 2 сматривать два значения подкоренного выраже- 1 ния — положительное и отрицательное. Функ- 1 4 x ции, где каждому xсоответствует два значения из 0 множества Y называютсядвузначными. -2 На рис. 7 изображен график именно такой Рис. 7 функции. Так, значению x = 4 ставится в соответ- ствие y1= 2 и y2= –2, значению x = 0 ставится в соответствие y3= +0и y4= –0. И т.д. Как видим, график симметричен относительно оси абсцисс. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только верхней ветви параболы. Функция определена на луче [0; +∞]. Множество значений: y∈[0; +∞]. Функция возрастает на всей области определения и y→ +∞ при x→ +∞. Точек экстремума и перегиба нет, но функция имеет наименьшее значение: при x = 0 y= 0. 𝟑 y 6. Полукубическая парабола 𝒚 = 𝒙𝟐 На рис. 8 представлен еще один пример двузначной функ- ции. Область ее определения луч [0; +∞]. Множество значений вся числовая прямая (мы имеем в виду обе ветви параболы). 12 3 Функция не имеет точек экстремума и перегиба. 0 x Ее верхняя ветвь — возрастающая функция: y→ +∞ при x→ +∞. Нижняя —убывающая y→ –∞ при x→ +∞. График функции симметричен относительно оси Ox. Если рассматривать только верхнюю ветвь, то функция име- ет наименьшее значение: в точке x = 0 y= 0. И, соответственно Рис. 8 для нижней ветви, функция имеет наибольшее значение y= 0. 𝐚 7. Обратная пропорциональнаязависимость 𝐲 = 𝐱  Вновь ограничимся случаем a=1. y График функции изображен на рис. 9. Он представляет собой равносторон- нюю гиперболу с вершинами в точках A1( 𝑎; 𝑎) иA2(− 𝑎; − 𝑎). 1 Область определения функции: -1 x∈ (-∞; 0) ⋃(0;+∞) 1 x Множество значений: y∈ (-∞; 0) ⋃ (0; + ∞) Нечетная функция. В точке x = 0 функция не определе- на.При x→ -∞ и при x→ +∞y→ 0. При x→ 0 слева y→ –∞, при x→ 0 справа y→ –∞. Рис. 9 Точка O (0; 0) является центром симметрии графика функции. Точек экстремума и перегиба нет. График имеет в качестве асимптотоси координат. Функция монотонно убывает на интервалах (-∞; 0) и (0; + ∞). График лежит внутри 1-го и 3-го квадрантов. y = -x y y=x 8. График функции y = |x| ООФ: x∈ℝ.МЗФ: y∈[0; +∞]. Функция четная. Ось Oy — ось симметрии. 1 Функция не имеет экстремумов и точек перегиба. Наименьшее значениеy = 0 дости- 0 1 x гается в точке x = 0.Функция четная. График этой функции представляет со- Рис. 10 бой совокупность графиков функций y = –x и y = xопределенных на лучах (-∞; 0] и[0; + ∞) соответственно. Функция моно- тонно убывает на первом промежутке и монотонно возрастает на втором. 𝟏 𝒙 y y = ex 9. Показательная функция y = ax 𝒚= 𝒆 Для этой функции установлены следую- щие ограничения: a>0 и a≠ 1. Функция определена на всей числовой прямой. Область определения — луч [0; + ∞). При a> 1 функция монотонно возрастает, при 00 и a≠ 1. При a> 1 функция монотонно возраста- Рис. 16 ет, при 01, то будет растяжение, y =x2 при 0