Rovinný ohyb priamych nosníkov PDF

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Rovinný ohyb priamych nosníkov - Napätia a deformácie...

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Rovinný ohyb priamych nosníkov - Napätia a deformácie pri rovinnom ohybe priamych nosníkov 7. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Ak z nosníka vyberieme dvoma myslenými rezmi m - m´, n - n´ element, na základe experimentov možno dokázať, že po deformácii prierezy m - m´, n - n´ ostanú rovinné. Spodné vlákna sa pri deformácii predlžujú a horné skracujú. Os nosníka a pozdĺžne vlákna sa pri ohybe zakrivujú. Preto predpokladáme, že zaťažujúca sústava síl a momentov pôsobí v rovine symetrie priečneho prierezu. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV V prípade, že ohybový moment v priečnom reze je jedinou vnútornou silovou veličinou, hovoríme o čistom ohybe. Ak popri ohybovom momente vznikajú v priečnom reze aj priečna (posúvajúca) sila, potom ide o priečny ohyb. Ak všetky vonkajšie sily pôsobia v rovine, v ktorej leží os symetrie, potom os deformovaného (ohýbaného) nosníka leží v tej istej rovine a takýto ohyb nazývame rovinný. 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Vnútorné silové veličiny pri ohybe a diferenciálne závislosti medzi nimi Na určenie vnútorných silových veličín vo zvolenom mieste nosníka je potrebné nosník rozdeliť mysleným rezom na dve časti rezom kolmým k osi nosníka a vyšetriť rovnováhu jednej z častí. Účinok pravej časti zobrazenej čiarkovane na ľavú je nahradený priečnou (posúvajúcou) silou Tz a ohybovým momentom My. Možno dokázať, že normálová sila je rovná nule. 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Vnútorné silové veličiny pri ohybe a diferenciálne závislosti medzi nimi Ohybový moment budeme považovať za kladný, ak spôsobuje v spodných vláknach ťah. Posúvajúca sila je kladná, ak má snahu pootočiť element vyrezaný z nosníka v smere hodinových ručičiek. 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Vnútorné silové veličiny pri ohybe a diferenciálne závislosti medzi nimi Majme nosník s ľubovoľným vonkajším zaťažením. Z rovnováhy elementu dostaneme: dTz x 2  dM y x 2  d 2 M y x 2  q x 2    , Tz x 2   , q x 2    2. dx 2 dx 2 dx 2 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Vnútorné silové veličiny pri ohybe a diferenciálne závislosti medzi nimi dT x  dM y x 2  d 2 M y x 2  q x 2    z 2 , Tz x 2   , q x 2    2. dx 2 dx 2 dx 2 Vyššie uvedené vzťahy nazývame Schwedler-Žuravského diferenciálnymi závislosťami pri ohybe. Z matematickej stránky Schwedler-Žuravského závislostí vyplývajú niektoré dôležité skutočnosti pre ich aplikáciu v pružnosti a pevnosti: 1. na úsekoch, kde je spojité zaťaženie nulové, sú posúvajúce sily konštantné a ohybový moment má lineárny priebeh, 2. v miestach, kde posúvajúca sila je rovná nule, je dotyčnica k ohybovému momentu rovnobežná s nulovou osou priebehu, t.j. moment má lokálny extrém, 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Vnútorné silové veličiny pri ohybe a diferenciálne závislosti medzi nimi 3. na úsekoch, kde je spojité zaťaženie rovnomerné (konštantné), je priebeh posúvajúcej sily lineárny a ohybového momentu kvadratický, 4. v miestach pôsobenia osamelých vonkajších síl je priebeh posúvajúcej sily nespojitý a priebeh ohybového momentu má dve dotyčnice (nastáva zlom v priebehu ohybových momentov), 5. v miestach pôsobenia osamelých momentov je priebeh ohybového momentu nespojitý, pričom hodnota nespojitosti je rovná hodnote vonkajšieho momentu, ktorý v tom mieste pôsobí. 8  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe Nech v prierezoch priameho nosníka pôsobí jediná nenulová vnútorná silová veličina - ohybový moment, ako výsledný účinok normálových napätí v priereze. Pri riešení sa budeme opierať o nasledujúce predpoklady (niektoré sú konkretizáciou Navier-Bernoulliho hypotézy): nosník má aspoň jednu rovinu symetrie, v ktorej pôsobí vonkajšie zaťaženie, vlákna rovnobežné s osou nosníka na seba netlačia, iba sa predĺžia, resp. skrátia, napätia v bodoch prierezu rovnako vzdialených od neutrálnej osi sú rovnaké, riešenie obmedzíme na prípady, v ktorých, so zreteľom na tvar, uloženie, rozmery nosníka a jeho zaťaženie, nemôže dôjsť ku klopeniu, materiál nosníka má rovnaké vlastnosti v ťahu aj v tlaku. 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe Priamka obsahujúca body prierezu, v ktorých je napätie nulové, sa nazýva neutrálna os. Množina bodov nulových normálových napätí v celom nosníku tvorí tzv. neutrálnu vrstvu. Podmienky rovnováhy pre mysleným rezom oddelenú časť sú F ix 0,   x, z dA  0 , A x M iz  0,   x, z   y dA  0 , A x M iy  0,  M    x x, z  z dA  0. A  10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe Ide o vnútorne staticky neurčitú úlohu. Statické podmienky rovnováhy je potrebné doplniť deformačnou podmienkou pre element dx vybraný z nosníka v mieste x. 11  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe Pomerné predĺženie vlákna rovnobežného s osou nosníka, ktorého poloha so zreteľom na neutrálnu vrstvu je definovaná súradnicou z je N´N´´ LN´´CD   z   d    d  x  x, z    x  x, z   z    , CD CD   d  kde  je polomer krivosti neutrálnej vrstvy v mieste nosníka definovanom súradnicou x. Dosadením za  x x , z  do Hookeovho zákona pre jednoosovú napätosť platí  x  x, z   E  z  12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe Riešením rovníc uvedených na str. 10 a str.12 dostaneme 1 M E E  , Dyz   0,  Uy  0.  EJ y   Z tretej rovnice je zrejmé, že os y musí prechádzať ťažiskom prierezu. Keďže podľa druhej rovnice aj deviačný moment k osiam y a z, musí byť rovný nule, osi y a z sú hlavnými centrálnymi osami. Prvý vzťah možno napísať v tvare  x  x, z  M  Jy z 13  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe Zmenu napätia  x v priereze definovanom súradnicou x po jeho výške určíme Navierovou rovnicou M y x   x   x  x, z   z Jy Neutrálna os (priesečnica roviny priečneho prierezu s neutrálnou vrstvou) prechádza ťažiskom priečneho prierezu. 14  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe V prípade prierezov symetrických k neutrálnej osi maximálne napätie v priereze definovanom súradnicou x vyplýva zo vzťahu M y x  M y x  h M x   x x max   zmax    Jy Jy 2 Wy 15  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Normálové napätie pri rovinnom ohybe Prierezy, ktorých neutrálna os nie je osou symetrie, majú dva prierezové moduly v ohybe Jy Jy W y1  , W y2  z1 z2 Absolútne hodnoty normálových napätí v krajných vláknach prierezu budú rozdielne M x  M x  a nadobúdajú hodnoty  x x max 1  ,  x x max 2 . Wy 1 Wy 2 16  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Nosník konštantnej pevnosti Ak maximálne normálové napätie vo všetkých prierezoch je rovné dovolenému napätiu (návrhovej hodnote pevnosti), takýto nosník nazývame nosník stálej pevnosti M y x  6F  x M y x  F x  x x max  .  x x max   W y x  b x   h 2 Wy  x  b  h x  2 6 17  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Šmykové napätie pri rovinnom ohybe Ak na mysleným rezom oddelenú časť nosníka pôsobí okrem momentu vonkajšie zaťaženie reprezentované osamelými silami, alebo spojitým zaťažením, pre zachovanie rovnováhy pôsobí vo vyšetrovanom priereze nosníka ďalšia vnútorná silová veličina - posúvajúca sila ako výslednica šmykových napätí v priereze. Veľkosť šmykových napätí pri ohybe nosníka obdĺžnikového prierezu určíme za nasledujúcich predpokladov: šmykové napätia vo vláknach rovnako vzdialených od neutrálnej osi sú rovnako veľké, šmykové napätia v priereze sú rovnobežné s posuvným účinkom vonkajších síl. 18  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Šmykové napätie pri rovinnom ohybe N x x  dx   N x x    zx x, z   bz dx  0 M y x  M y x  ' Nx   x   x ,  dA *   Jy   dA *  U y A  * A  * J y M y x   dM y x  ' N x x  dx     x x  dx,  dA  * U y A  * J y Využitím vyššie uvedených vzťahov so zreteľom na zákon združenosti šmykových napätí a Schwedler-Žuravského vzťahy po úprave dostaneme dM y x  U y' Tz x   U y'  zx x, z    xz x, z     , dx J y bz  J y bz  19  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Šmykové napätie pri rovinnom ohybe Maximálne šmykové napätie je pre z = 0 v bodoch neutrálnej osi 3 Tz x  3 Tz x  3 4 Tz x  4 max       s max     s 2 bh 2 A 2 3 A 3 20  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Šmykové napätie pri rovinnom ohybe – STRED ŠMYKU Nežiadúci otáčavý účinok možno eliminovať tak, že zaťažujúcu silu rovnobežne posunieme do tzv. stredu šmyku, ktorého polohu možno určiť z momentovej podmienky rovnováhy. Stred šmyku leží vo vzdialenosti yc. Ak sila bude pôsobiť v bode C v smere osi z, nebude dochádzať ku skrucovaniu U - profilu a nosník bude len ohýbaný. 21  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Úplná pevnostná kontrola Pri namáhaní na ohyb sú teda niektoré vlákna namáhané len normálovými a iné len šmykovými napätiami. Pre normálové napätie od čistého ohybu Mmax  max   D. Wy Pre čistý šmyk  red G  2   max   D ,  red HMH  3   max   D. 22  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Úplná pevnostná kontrola Na základe hlavných normálových napätí možno podľa vhodnej teórie pevnosti určiť redukované napätie, ktoré musí vyhovovať pevnostnej podmienke. Guestova teória pevnosti  red G   2  4  2   D Huber – Mises – Henckyovej teórie pevnosti  red HMH   2  3  2   D. 23  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Úplná pevnostná kontrola - príklad 24  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Úplná pevnostná kontrola - príklad 25  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ROVINNÝ OHYB PRIAMYCH NOSNÍKOV Ak sú listy spojené, sila F môže byť n - krát väčšia ako sila F pri voľnej deformácii listov. Skrutka bráni vzájomnému posuvu listov pri deformácii. Je namáhaná strihom. Hodnota strižnej sily je funkciou šmykových napätí v nedelenom nosníku. 26  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva URČENIE DEFORMÁCIÍ PRI ROVINNOM OHYBE PRIAMYCH NOSNÍKOV Pre posúdenie nosníkov nie je postačujúce poznať iba napätia, ktoré vznikajú v prierezoch nosníka účinkom vonkajšieho zaťaženia. Vypočítané napätia umožňujú určiť pevnosť nosníka, ale nosníky, ktoré pevnostne vyhovujú, môžu byť nevhodné z dôvodu nedostatočnej tuhosti. Z uvedeného dôvodu je potrebné určovať aj deformácie nosníkov pri ohybe. priehyb uhol sklonu (dotyčnica k priehybovej čiare) priehybová čiara 27  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva URČENIE DEFORMÁCIÍ PRI ROVINNOM OHYBE PRIAMYCH NOSNÍKOV 1 My Diferenciálna rovnica priehybovej čiary má tvar   EJ y Na analytické riešenie úlohy sa využíva výraz d 2w 1 dx 2 z matematickej analýzy pre krivosť v tvare   3   dw  2  2 1       dx   d 2w My Po úprave dostaneme rovnicu v tvare  dx 2 EJ y 28  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva URČENIE DEFORMÁCIÍ PRI ROVINNOM OHYBE PRIAMYCH NOSNÍKOV Na získanie analytického vyjadrenia priehybov w(x) a uhlov pootočení (x) je nevyhnutné nájsť riešenie diferenciálnej rovnice (približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary) d 2w My  dx 2 EJ y Po dvojnásobnej integrácii dostaneme riešenie v tvare dw x  x M x      y dx  C dx 0 EJ y x  x My  w x       dx  dx  C  x  D  EJ  00 y  kde C, D sú integračné konštanty, ktoré sa určujú z okrajových podmienok. 29  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva URČENIE DEFORMÁCIÍ PRI ROVINNOM OHYBE PRIAMYCH NOSNÍKOV d 2w My 2   - znamienko krivosti závisí od orientácie osí súradníc dx EJ y 30