Mechanika poddajných telies PDF

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Priestorová napätosť - Zovšeobecnený Hookeov zákon -...

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Priestorová napätosť - Zovšeobecnený Hookeov zákon - Analýza napätosti pri čistom šmyku (H. z. pre čistý šmyk) 3. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ V prípade priestorovej napätosti na stenách pravouhlého elementu vybraného myslenými rezmi z okolia ľubovoľného bodu telesa budú vo všeobecnosti pôsobiť napätia znázornené na obrázku. Z momentových podmienok rovnováhy elementu k osiam prechádzajúcim ťažiskom vyplýva  xy   yx ,  yz   zy ,  xz   zx. Zmenou smeru osi elementu možno nájsť takú polohu elementu, pri ktorej na stenách budú šmykové napätia nulové. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ Predpokladajme, že poznáme hlavnú rovinu určenú normálou n. Rezom rovnobežným s touto plôškou možno vybrať štvorsten a formulovať podmienky rovnováhy – priemety síl do osí x, y a z.  x    cos    yx  cos    zx  cos   0 ,    xy  cos    y    cos    zy  cos   0 ,  xz  cos    yz  cos    z    cos   0. 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ Z lineárnej algebry pre netriviálne riešenie rovníc  x    yx  zx musí platiť, že determinant sústavy (podmienok  xy  y    zy 0 rovnováhy) je rovný nule  xz  yz  z   Determinant možno upraviť na kubickú rovnicu v tvare ktorej tri korene predstavujú hodnoty 3  I1  2  I 2   I3  0 troch hlavných normálových napätí Koeficienty v rovnici nazývame invariantmi napätosti a sú rovné I1   x   y   z  1   2  3 , I 2   x  y   y  z   z  x   2xy   2yz   2zx  1 2   2 3   3 1 , I 3   x  y  z   x  2yz   y 2zx   z 2xy  2 xy  yz  zx  1 2 3. 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ Hlavné normálové napätia prislúchajúce danej napätosti nezávisia na voľbe súradnicových osí x, y, z. Indexovanie hlavných normálových napätí vykonávame v súlade s nerovnosťou 1   2   3 Ak je napätosť určená hlavnými normálovými napätiami, potom tenzor napätosti má tvar 1 0 0 T  0 2 0 0 0 3 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DEFORMÁCIA V BODE TELESA Šmykové napätia spôsobujú uhlovú deformáciu, ktorú nazývame deformáciou v šmyku. Pri tejto deformácii dochádza k zmene pravého uhla o uhol  xy , ktorý nazývame skosom. Ak je pravouhlý element orientovaný v smere hlavných napätí, potom uhol skosu takto orientovaného elementu je nulový. 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DEFORMÁCIA V BODE TELESA Nech sú dané hlavné pomerné deformácie. Za pootočený element budeme považovať element s hranou v smere uhlopriečky. Ak deformácie sú malé, potom   '    ds  ds1 cos   ds 2 sin  ds ds1 ds 2     Po úprave      cos 2    sin 2   1  cos 2    2  sin 2   1 2  1 2  cos 2 ds ds1 ds 2 2 2 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Pri určovaní vzťahov medzi napätiami a deformáciami budeme predpokladať, že deformácie sú len pružné. Pri vyšetrovaní priamkovej napätosti bolo konštatované, že element sa deformuje v pozdĺžnom i priečnom smere a deformácie sú s napätím viazané vzťahmi    ,  prieč        E E 8  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Nech na pravouhlý element vybraný z telesa, ktorý má rozmery strany rovné 1, pôsobia len normálové napätia. Výsledná pomerná deformácia  x v smere  x bude s využitím princípu superpozície rovná x y   x   xx   xy   xz x    z. E E E 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Pre smery x, y, z potom platí x  1 E     x    y  z ,  y  1 E    y     x   z  ,  z  1 E    z     x  y. Uvedené vzťahy sú zovšeobecneným Hookeovým zákonom pre priestorovú napätosť. Pre rovinnú napätosť je jedno z normálových napätí nulové. Z vyššie uvedených vzťahov je zrejmé, že aj pri rovinnej napätosti je deformácia trojosová. x  1 E   x    y ,  y  1 E   y    x ,  z    E   x  y.  Úpravou dostaneme x  E    x    y , y  E    y    x. 1 2 1 2 10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Príklad Medzi dve tuhé, rovnobežné dosky A, B je bez vôle vložený oceľový hranol so stranami a = 40 mm, b = 20 mm, ℓ = 60 mm. Určte Poissonovo číslo materiálu hranola, ak pri zaťažení silami F = 100 kN je tlak hranola na dosky p = 37,5 MPa. Určte tiež pomerné skrátenie hranola, ak modul pružnosti ocele je E =2. 105 MPa. Vplyv trenia medzi hranolom a stenami treba pri riešení zanedbať. 11  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva HOOKEOV ZÁKON PRE ČISTÝ ŠMYK Ak na rovinný pravouhlý element pôsobia len šmykové napätia, hovoríme o čistom šmyku. Pre hlavné normálové napätia pri čistom šmyku platí : 1,3    xy   . 2 xy 2 Smer hlavného normálového napätia : tg 2 H      H   45 . x  y 00 12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva HOOKEOV ZÁKON PRE ČISTÝ ŠMYK a  1     3    1    a Predĺženie úsečky a je rovné a  E E a   3     1     1   . a Pre skrátenie úsečky a platí a  E E     a  a Pôvodne pravý uhol BCD sa zmenší o  xy   , pričom tg    .  4 2  a  a 2  1    Úpravou posledného vzťahu dostaneme  . E  Podobne ako pri ťahu možno Hookeov zákon pre šmyk vyjadriť v tvare   G E G je modul pružnosti v šmyku G 2  1    13