Mechanika poddajných telies - Lecture Notes PDF

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Základné pojmy - Namáhanie ťahom a tlakom...

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Základné pojmy - Namáhanie ťahom a tlakom 1. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY Pružnosť a pevnosť skúma stav vnútorných síl a pretvorení telies a ich vzájomné súvislosti v dôsledku pôsobenia vonkajších síl. Zaoberá sa doplnkovými vnútornými silami, ktoré pri vonkajšom zaťažení bránia vzájomnému posunutiu častíc telesa a snažia sa ich vrátiť do polohy, ktorú tieto častice zaujímali pred deformáciou. Doplnkové vnútorné sily (v ďalšom označené vnútorné sily) majú schopnosť odstrániť, resp. zmenšiť deformácie spôsobené vonkajšími vplyvmi, ak tieto prestanú na teleso pôsobiť. Deformácia je výsledkom premiestnení jednotlivých častíc telesa. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY Pružnosť - schopnosť pevných telies nadobudnúť po odstránení vonkajšieho zaťaženia pôvodný tvar. Pevnosť - schopnosť prvku (konštrukcie) preniesť zaťaženie bez porušenia. Tuhosť - miera odporu prvku (konštrukcie) deformovať sa (zmeniť tvar a rozmery) v dôsledku vonkajšieho zaťaženia. Stabilita - schopnosť prvku (konštrukcie) zachovať počiatočný tvar pružnej rovnováhy. Cieľom pružnosti a pevnosti je určenie vzťahov a zákonitostí medzi vonkajším zaťažením a rozmermi nosného elementu z materiálu definovaných vlastností, ktoré zaručia dostatočnú bezpečnosť proti porušeniu konštrukcie pri prevádzke. 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY V dôsledku účinku vonkajšieho zaťaženia na teleso dochádza k vzájomnému posunutiu častíc telesa, t. j. menia sa jeho rozmery, objem a tvar - teleso sa deformuje. ŤAH (TLAK) : Pri ťahu (tlaku) tyče dochádza k jej predĺženiu (skráteniu). OHYB : Pri ohybe sa mení krivosť nosníka. KRÚTENIE : Pri krútení hriadeľa kruhového prierezu dochádza k vzájomnému pootočeniu prierezov kolmých k pozdĺžnej osi, pričom objem, rozmery i tvar ostávajú nezmenené, ale mení sa vzájomná poloha elementárnych častíc. 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY Deformáciou nazývame vzájomnú zmenu polohy častíc telesa, ktorá je vo všeobecnosti doprevádzaná zmenou rozmerov a tvaru telesa. Ak sily, ktoré vyvolali deformáciu postupne zmenšujeme až na nulu, teleso sa snaží obnoviť pôvodný tvar a rozmery. Deformácia čiastočne alebo úplne zanikne. Pružná (elastická) deformácia: časť deformácie, ktorá po odstránení vonkajšieho zaťaženia zanikne. Trvalá (plastická) deformácia: časť deformácie, ktorá ostane aj po odstránení zaťaženia. 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY Vznik trvalých deformácií je spojený s plastickosťou materiálu. Ak deformácie po úplnom odľahčení zanikli (trvalé deformácie sú nulové), potom teleso nazývame absolútne pružným. Izotropné materiály majú vlastnosti vo všetkých smeroch rovnaké. Ak vlastnosti materiálov sú v rôznych smeroch rôzne, nazývame ich anizotropné (napr. drevo). Žiadne reálne teleso nie je dokonale homogénne. Keďže pri výpočtoch nie je možné zohľadniť celú rôznorodosť vlastností reálnych materiálov, preto je potrebné prijať niektoré predpoklady, ktoré platia pre daný typ namáhania. 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY Teoreticky aj experimentálne overené hypotézy týkajúce sa štruktúry a vlastností materiálov i charakteru deformácií, na ktoré treba brať zreteľ pri odvádzaní výpočtových vzťahov v pružnosti a pružnosti možno formulovať nasledovne: Materiál spojito vyplňuje objem daného telesa. Vlastnosti materiálu vo všetkých bodoch a smeroch sú rovnaké. Materiál je homogénny a izotropný. Deformácie v porovnaní s rozmermi telesa sú veľmi malé. Túto hypotézu nazývame hypotézou malých deformácií. Materiál je ideálne pružný. Táto hypotéza pre reálne materiály je splnená len po určitú hodnotu zaťaženia. Závislosť medzi napätiami a deformáciami je lineárna, t. j. platí Hookeov zákon. Myslené rovinné rezy kolmé k osi telesa ostávajú po deformácii rovinné a kolmé k deformovanej osi telesa. 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY V súvislosti s navrhovaním tenkostenných konštrukcií má význam aj medzný stav deformácie. Kritériom tohto medzného stavu je splnenie požiadaviek prevádzkových (funkčných), fyziologických, estetických a konštrukčných. Z hľadiska prevádzkových požiadaviek musí deformácia konštrukcie vyvolaná statickými alebo dynamickými vonkajšími vplyvmi umožniť bezporuchovú prevádzku. Z hľadiska fyziologických požiadaviek je limitovaná hladina chvenia a kmitania jednotlivých konštrukčných prvkov aj konštrukcie ako celku tak, aby nepriaznivé pôsobenie na ľudský organizmus bolo pod hranicou únosnosti. Estetické hľadisko je obmedzené medznou deformáciou, a to aj v prípade, že ostatné kritéria sú splnené. Pri výpočte podľa medzných stavov sa namiesto dovoleného namáhania zavádza pojem návrhová odolnosť a konštrukcia musí byť navrhnutá tak, aby počas prevádzky nedosiahla ani jeden z medzných stavov. 8  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZAŤAŽUJÚCE ÚČINKY V pružnosti a pevnosti vonkajšími silami nazývame mechanické účinky prenášané na skúmaný prvok z prostredia, ktoré ho obklopuje. Vonkajšie sily teda treba chápať ako mieru vzájomného mechanického pôsobenia medzi materiálnymi objektmi. Ak vonkajšie sily sú na teleso prenášané z okolia kontaktom, majú charakter povrchových síl. Pre tzv. osamelé sily je charakteristickou relatívne malá kontaktná plocha (teoreticky je to bod, alebo úsečka). 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZAŤAŽUJÚCE ÚČINKY Spojité zaťaženie rovnomerné alebo nerovnomerné je silový účinok prenášaný na povrch plochou spoločného dotyku materiálnych objektov, medzi ktorými dochádza k prenosu účinku a je kvantifikovaný intenzitou, t. j. pomerom jednotiek sily a kontaktnej plochy (v dvojrozmerných úlohách dĺžky kontaktu). Takéto prípady nastávajú pri tlaku snehu na strechu, tlaku uhlia na dno a steny zásobníka (obr. a), tlaku vody na priehradný múr (obr. b). 10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZAŤAŽUJÚCE ÚČINKY V niektorých prípadoch možno zaťaženie na ploche nahradiť zaťažením vzťahovaným na jednotku dĺžky. Intenzitu zaťaženia na jednotku dĺžky možno určiť vynásobením intenzity zaťaženia po ploche šírkou telesa q  pb, pričom má rozmer N.m-1. Intenzitu zaťaženia na jednotku dĺžky budeme v ďalšom nazývať spojitým zaťažením, ktoré môže byť rovnomerné (q=konšt.) alebo nerovnomerné (q = q(x)). Výslednicu F spojitého zaťaženia pre ľubovoľné zaťaženie možno určiť ako súčet elementárnych síl, pôsobiacich na úseku , t. j. c F  q x dx.  11 a  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZÁKLADNÉ POJMY Okrem zaťažení povrchovými silami sa často vyskytujú zaťaženia osamelými dvojicami síl alebo spojito rozloženými dvojicami síl. Intenzita zaťaženia spojito rozloženými dvojicami je daná hodnotou momentu pripadajúceho na jednotku dĺžky. Výsledný moment spojitého momentového zaťaženia možno určiť integrovaním d M  mx dx.  c 12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ODVODENÉ JEDNOTKY Jednotkou plošného obsahu (veľkosti plochy) je štvorcový meter (m2). Jednotkou objemu je kubický meter (m3). Jednotkou hustoty (mernej hmotnosti) je kilogram na kubický meter ( kg  m 3 ). Jednotkou sily (tiaže) je newton (N). Newton je sila, ktorá udelí voľnému hmotnému bodu s hmotnosťou 1 kilogramu zrýchlenie 1 metra za sekundu na druhú. Jednotkou mechanického napätia je pascal (Pa). Pascal je mechanické napätie, ktoré vyvoláva sila 1 newtonu rovnomerne rozložená na rovinnej ploche 1 metra štvorcového. Ak je sila kolmá na rovinnú plochu, je pascal jednotkou normálového napätia. Ak je sila k rovinnej ploche tangenciálna, ide o jednotku šmykového (dotykového) napätia. Jednotkou energie (resp. práce, tepla) je joule (J). Joule je práca, ktorú vykoná stála sila 1 N pôsobiaca na dráhe 1 metra v smere sily. Jednotkou silovej dvojice, resp. momentu sily, je newton meter (Nm). Newton meter je moment sily 1 N, ktorého pôsobisko má od referenčného bodu kolmú vzdialenosť rovnú 1 metru. 13  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DRUHY NAMÁHANIA Reálne telesá sa v dôsledku pôsobenia vonkajšieho zaťaženia deformujú, t. j. menia vo všeobecnosti svoj tvar a rozmery. Deformáciu telesa sprevádza vznik vnútorných síl, ktoré pôsobia proti snahe vonkajších síl teleso deformovať a snažia sa obnoviť pôvodný tvar a rozmery telesa. Základné druhy namáhania sú: ŤAH (TLAK) ŠMYK (STRIH) Dôležité !! KRUT OHYB Superpozíciou základných druhov dostávame kombinované (zložené) namáhanie. 14  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DRUHY NAMÁHANIA ŤAH (TLAK) vzniká, ak prizmatická tyč je namáhaná dvoma rovnako veľkými, opačne orientovanými silami pôsobiacimi v osi. Zmenu počiatočnej dĺžky  označujeme  a nazývame ju absolútnym predĺžením (skrátením). Pomerné predĺženie určíme ako podiel absolútneho predĺženia a počiatočnej dĺžky    ,  Pomerné predĺženie je bezrozmerné číslo !!! 15  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DRUHY NAMÁHANIA STRIH (ŠMYK) vzniká, ak vonkajšie sily majú snahu posunúť voči sebe dva rovnobežné prierezy, ktorých vzdialenosť ostáva konštantná. Hodnotu posunutia s nazývame absolútnym šmykom. Pomer absolútneho šmyku k vzdialenosti posúvajúcich sa rovín (tangens uhla ) nazývame s skos, teda tg   . a 16  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DRUHY NAMÁHANIA KRÚTENIE vzniká účinkom momentov silových dvojíc pôsobiacich v rovinách kolmých na os prúta. Vzájomné pootočenia jedného prierezu voči druhému nazývame uhol skrútenia . d Pomerný uhol skrútenia (skrut) je definovaný vzťahom . dx 17  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DRUHY NAMÁHANIA OHYB je vyvolaný účinkom priečneho zaťaženia, v dôsledku ktorého dôjde k zmene krivosti nosníka. Vertikálny posuv w(x) bodov priameho nosníka nazývame priehyb. Symbolom (x) označujeme uhol dotyčnice k priehybovej čiare, resp. natočenie priečneho prierezu nosníka v mieste definovanom súradnicou x. 18  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva METÓDA MYSLENÉHO REZU Vnútorné sily pôsobiace v ľubovoľnom priereze vyšetrovaného objektu sú v rovnováhe s vonkajšími silami. Vnútorné sily sa v pružnosti a pevnosti určujú najčastejšie metódou myslených rezov. Zo základného zákona statiky vyplýva, že teleso, na ktoré pôsobí rovnovážna sústava síl, je v rovnováhe. Aby bola zachovaná rovnováha časti I, je potrebné nahradiť pôsobenie časti II po ploche mysleného rezu účinkom vnútorných silových veličín tak, aby časť I zostala v rovnováhe (platí zákon akcie - reakcie). 19  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva METÓDA MYSLENÉHO REZU Ak hlavný vektor vnútorných síl a momentov rozložíme na zložky v súradnicovom systéme, ktorý je tvorený hlavnými centrálnymi osami plochy rezu (y, z) a normálou k ploche (x), potom v reze pôsobí vo všeobecnosti šesť zložiek vnútorných silových veličín: - tri zložky vnútornej sily ( Nx , Ty , Tz ) - tri zložky momentu ( Mx , My , Mz ) Nx – osová sila Ty , Tz – posúvajúce sily My , Mz – ohybové momenty Mx – krútiaci moment 20  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva URČENIE ZNAMIENOK VNÚTORNÝCH SILOVÝCH VELIČÍN Kladná normálová sila vyvoláva predĺženie, záporná skrátenie. Posúvajúca sila v reze je kladná, ak má so zreteľom na ľubovoľný bod mysleným rezom oddelenej časti telesa, na ktorú pôsobí, otáčavý účinok v zmysle pohybu hodinových ručičiek. Kladný krútiaci moment pri pohľade do plochy mysleného rezu otáča odrezanú časť v zmysle pohybu hodinových ručičiek. Kladný ohybový moment spôsobuje stlačenie horných a predĺženie spodných vlákien. 21  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM 22  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM O namáhaní (čistom) ťahom, resp. tlakom hovoríme ak v každom myslenom priečnom reze prúta pôsobí len normálová sila N pôsobiaca v osi, ktorá je spojnicou ťažísk prierezov prúta. Takýmto spôsobom sú namáhané prvky prútových sústav, centricky tlačené stĺpy, laná a pod. Vnútornú silovú veličinu pri ťahu – osovú silu N možno vo zvolenom priereze určiť metódou mysleného rezu. Zákon rozloženia výslednej vnútornej sily po priereze formuloval na základe experimentálneho skúmania deformácie ťahaného prúta M. H. Navier. 23  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM Výsledky výskumu oprávnili M. H. Naviera vysloviť nasledovnú hypotézu o deformácii: „Os prúta po deformácii zostane priama a dva susedné, rovnobežné prierezy kolmé k osi ostanú aj po deformácii rovinné a navzájom rovnobežné. V dôsledku zachovania priamosti osi prúta nie je možné vzájomné priečne posunutie prierezov, t. j. nevznikajú šmykové napätia.“ 24  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM Všetky vlákna medzi dvoma rovnobežnými prierezmi (kolmé k prierezu) rovnakej dĺžky dx, budú mať aj po deformácii rovnakú dĺžku dx   dx. dx Relatívna (pomerná) zmena dĺžky pre všetky vlákna bude rovnaká   konšt. dx Normálové napätie ako podiel elementárnej vnútornej normálovej (osovej) sily a plôšky dN bude konštantné   konšt. dA Veľkosť normálového napätia ako intenzity silového účinku možno určiť z podmienky rovnováhy vonkajších a vnútorných síl. 25  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM Normálové napätie pri čistom ťahu (tlaku) je konštantné po celom priereze a je rovné N podielu vnútornej normálovej sily a plochy prierezu  . A Pretože vnútorné sily sú rozložené po priereze rovnomerne, ich výslednica pôsobí v ťažisku. Rovnováha s vonkajšou silou F je možná len vtedy, ak zaťažujúca sila a vnútorná osová (normálová) sila majú spoločnú nositeľku. 26  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ŤAHOVÁ (TLAKOVÁ) SKÚŠKA MATERIÁLU Tvar a rozmery skúšobných tyčí sú určené normami STN 42 0310 až 42 0317. Pre mechanické skúšky ocelí norma predpisuje, že tyč môže mať prierez kruhový, štvorcový alebo obdĺžnikový. Dlhá tyč :  0  11,3  A  0  10 d Krátka tyč :  0  5,65  A 0  5 d Ťahovú (tlakovú) silu F vyvodzuje tzv. trhací stroj. Elementárne vnútorné osové sily sú so zreteľom na malú prierezovú plochu po priereze konštantné. Sila F je pozvoľne zvyšovaná až do pretrhnutia tyče. 27  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva MECHANICKÉ VLASTNOSTI MATERIÁLU URČENÉ ŤAHOVOU SKÚŠKOU Pracovný diagram ťahanej vzorky z húževnatej ocele. Pomer napätia a jemu prislúchajúceho pomerného predĺženia je po hranicu úmernosti konštantný  E Hookeov zákon  Modul pružnosti E je tangentou priamky, pretože platí   tg  Modul pružnosti E charakterizuje z fyzikálneho hľadiska odpor materiálu proti deformácii pri ťahu (tlaku). Najvyššia hodnota napätia, po ktoré rastie deformácia úmerne s napätím (bod U), sa nazýva medzou úmernosti a označujeme ju Ru. 28  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva MECHANICKÉ VLASTNOSTI MATERIÁLU URČENÉ ŤAHOVOU SKÚŠKOU Medza pružnosti R p je napätie, po ktoré sú predĺženia v podstate iba pružné (elastické). Po prekročení tejto medze vzniká popri pružnom aj trvalé predĺženie a tyč sa po odľahčení neskráti až na pôvodnú dĺžku, ale zostane trvalo (plasticky) predĺžená. Dokonale pružný materiál je idealizáciou. Presné merania dokázali, že trvalé deformácie vznikajú aj vo veľmi pružných materiáloch, dokonca vplyvom malých napätí. Pre ocele je veľkosť medze pružnosti veľmi blízka medzi úmernosti, a preto ich v praxi vzájomne stotožňujeme. Napätia od nuly až po medzu pružnosti sú považované za elastické. 29  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva MECHANICKÉ VLASTNOSTI MATERIÁLU URČENÉ ŤAHOVOU SKÚŠKOU Počínajúc bodom C začína úsek, na ktorom predĺženie začína náhle rásť bez zväčšovania zaťaženia. Tento jav sa nazýva klzom (tečením) materiálu. Medzou klzu Re nazývame napätie, pri ktorom nastáva značné predlžovanie tyče bez zväčšovania zaťaženia. Sprievodný jav: Leštený povrch tyče stráca pri medzi klzu lesk a stáva sa postupne matným. Na povrchu sa objavujú čiary sklonené k osi tyče pod uhlom 45°. V ťahaných skúšobných tyčiach nastáva súčasne zmenšovanie plochy prierezu tyče. Napätie vynesené v diagrame plnou čiarou je vzťahované k pôvodnej ploche. Skutočné napätie je znázornené čiarkovanou čiarou. 30  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva MECHANICKÉ VLASTNOSTI MATERIÁLU URČENÉ ŤAHOVOU SKÚŠKOU Bod C sa nazýva kritickým bodom. Namiesto vodorovného úseku diagramu za bodom C dostávame niekedy dokonca úsek sklonený doprava dole. Toto klesanie prestáva pri tzv. dolnej medzi klzu. Bod M prislúcha najväčšej hodnote napätia. Toto napätie sa nazýva pevnosť a označujeme ju Rm. Pozn.: Pri dosiahnutí pevnosti sa v húževnatých oceliach začína tvoriť miestne zúženie tyče, tzv. krčok. Predlžovanie tyče potom nastáva hlavne v oblasti krčku a ostatná časť tyče sa takmer nepredlžuje. Pretože sa prierez v krčku stále zmenšuje, pokračuje deformácia i pri zmenšujúcom sa napätí. 31  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva MECHANICKÉ VLASTNOSTI MATERIÁLU URČENÉ ŤAHOVOU SKÚŠKOU Dosiahnutie MEDZA PEVNOSTI (vznik krčku) Tečenie materiálu (medza klzu) Elastická deformácia (lineárna závislosť po medzu úmernosti resp. medzu pružnosti) platí Hookeov zákon ! 32  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva MECHANICKÉ VLASTNOSTI MATERIÁLU URČENÉ ŤAHOVOU SKÚŠKOU Označenia Najmenšia medza Označenia Najmenšia medza ocele podľa klzu Pevnosť ocele podľa klzu Pevnosť STN [MPa] [MPa] STN [MPa] [MPa] 11300 70 - 80 % 280-380 12010 280 450-650 11320 70 - 80 % 230-380 12020 300 500-750 11330 70 - 80 % 280-400 12030 280 550-650 11343 180-210 390-420 12040 330 550-750 11350 220-250 350-450 12050 400 650-800 11366 210 360-450 12060 420 700-850 11373 210-240 370-450 12070 1500 1800-2000 11375 230-240 370-450 12080 1500 1800-2000 11416 240 410-500 12140 280 500-520 11423 230-260 420-520 13030 270-290 470-560 11425 240-260 420-520 13120 260 470-560 11444 250-260 490-530 13141 450 650-800 11450 260-280 450-550 13150 450 min 750 11453 260-280 450-550 13180 1350 min 1600 11474 260-275 470-650 13240 650 900-1050 11483 360-380 480-620 13270 1230 min 1450 11500 270-280 500-620 13320 500 700-800 11523 340-360 520-640 11080 750 850-950 11550 300-320 550-650 14150 500 750-900 11583 380-900 580-700 14220 600 min 800 11600 300-330 600-720 14340 550 800-900 11650 350-370 650-750 15230 800 1150 11700 350-380 700-850 15320 450 900 11800 400-430 800-850 16250 550-600 750-900 33  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva MECHANICKÉ VLASTNOSTI MATERIÁLU URČENÉ ŤAHOVOU SKÚŠKOU Spravidla hovoríme o materiáli v húževnatom a krehkom stave podľa toho, či má po pretrhnutí tyč veľké alebo malé trvalé deformácie. Tlaková skúška je technicky náročnejšia ako ťahová a vykonáva sa len pre materiály v krehkom stave (betón, liatina). Skúšobné tyče sú so zreteľom na stabilitu pri zaťažovaní krátke. Rozloženie tlakovej sily na koncoch tyče musí byť rovnomerné. Materiály v húževnatom stave majú pevnosť v ťahu a tlaku približne rovnakú. Materiály v krehkom stave vykazujú anomáliu (diagramy nie sú stredovo súmerné) a charakteristické mechanické hodnoty pre ťah a tlak sú rozdielne (pozri obrázok). 34  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DEFORMÁCIA PRI ŤAHU, RESP. TLAKU Hookeov zákon pri ťahu možno vyjadriť v tvare dx N x   , dx EA Vzájomný posuv prierezov x1 a x2 , je daný súčtom (integrálom) predĺžení všetkých prvkov nachádzajúcich sa medzi týmito prierezmi, teda N x  x 2  x1 , x 2   x1 EA dx. Celý prút sa predĺži o hodnotu N x      0 EA dx. Ak sú veličiny N, A a E konštantné, platí N   . EA 35  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DEFORMÁCIA PRI ŤAHU, RESP. TLAKU Súčin E  A   1 nazývame tuhosť prúta v ťahu (tlaku). Ak sa osová sila a prierez po dĺžke tyče menia, absolútne predĺženie je vyjadrené vzťahom N x      0 EAx  dx. 36  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva VPLYV ZMENY TEPLOTY NA DEFORMÁCIU PRÚTA Zmena teploty spôsobuje zmenu tvaru a rozmerov telesa. Táto zmena nie je doprevádzaná vznikom vnútorných síl. Vnútorné sily vznikajú iba v konštrukciách staticky neurčitých, keď prebytočný počet väzieb znemožňuje voľnú zmenu prislúchajúcu zmene teploty. Absolútne predĺženie dx je úmerné pôvodnej dĺžke dx , súčiniteľu dĺžkovej teplotnej rozťažnosti  a prírastku teploty t dx    dx  t dx Pomerné predĺženie je rovné t     t. dx 37  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva VPLYV ZMENY TEPLOTY NA DEFORMÁCIU PRÚTA Súčiniteľ dĺžkovej teplotnej rozťažnosti  určuje veľkosť pomerného predĺženia pripadajúceho na jednotku teplotnej zmeny. Jeho rozmer je Celziov stupeň na mínus prvú. Materiál  Materiál  Hliník 2,25. 10-5 Oceľ 1,2. 10-5 Bronz 1,75. 10-5 Zinok 3,54. 10-5 Meď dx 1,65. 10-5 dx Liatina 1,04. 10-5 Ak je zmena teploty po celej dĺžke prúta konštantná, môžeme celkové predĺženie prúta vypočítať integrovaním vzťahu    t    dx    t   dx    t  . 0 0 Veľkosť absolútneho predĺženia tyče NEZÁVISÍ od veľkosti prierezovej plochy tyče Príklad : Predĺženie oceľovej tyče dĺžky 1 m ohriatej o 20 °C je 0,24 mm  t    t    1,2  10 5  20  1000  0,24mm 38  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva VPLYV ZMENY TEPLOTY NA DEFORMÁCIU PRÚTA 39  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIEČNA POMERNÁ DEFORMÁCIA Deformácia v pozdĺžnom smere je doprevádzaná deformáciou aj v priečnom smere. Absolútne deformácie v priečnom smere, napr. pre tyč s prierezom tvaru obdĺžnika s rozmermi a a b , vyplývajú zo vzťahov a  a1  a , b  b1  b kde a1 a b1 sú rozmery po deformácií 40  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIEČNA POMERNÁ DEFORMÁCIA PRIEČNU pomernú deformáciu (pri ťahu zápornú, pri tlaku kladnú) určíme podľa vzťahu a b . a b Absolútna hodnota podielu pomernej PRIEČNEJ deformácie a pomerného POZDĹŽNEHO predĺženia v medziach platnosti Hookeovho zákona je konštantná a rovná Poissonovému číslu .  prieč    prieč     pozdĺ  pozdĺ Poissonove číslo je bezrozmerná veličina a nadobúda hodnoty z intervalu 0    0,5 Pružné vlastnosti izotropného materiálu úplne charakterizujú Youngov modul pružnosti a Poissonove číslo. 41  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PEVNOSTNÁ KONTROLA A DIMENZOVANIE PRÚTOV NAMÁHANÝCH ŤAHOM A TLAKOM 42  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PEVNOSTNÁ KONTROLA A DIMENZOVANIE PRÚTOV NAMÁHANÝCH ŤAHOM A TLAKOM Jednou zo základných úloh v pružnosti a pevnosti je určiť rozmery prúta tak, aby spoľahlivo i počas dlhodobej prevádzky odolával zaťaženiu. Táto úloha v súčasných podmienkach predstavuje aktuálny problém ekonomického využitia materiálu pri zaručení úplnej spoľahlivosti konštrukcie. V prípadoch, keď sú dané rozmery prúta, vzniká otázka určenia veľkosti zaťaženia prúta, t. j. určenia sily, ktorú prút znesie bez porušenia jeho funkcie, resp. bez zmeny jeho prevádzkovej schopnosti. Existujú tri metódy riešenia týchto problémov: metóda dovolených napätí, metóda dovolených zaťažení, metóda medzných stavov. 43  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PEVNOSTNÁ KONTROLA A DIMENZOVANIE PRÚTOV NAMÁHANÝCH ŤAHOM A TLAKOM Metóda dovolených napätí N D  k Pre súčiastky vyrobené z húževnatých materiálov sa za nebezpečné napätie považuje medza klzu , resp. medza pevnosti a pre krehké materiály pevnosť. Re Pre materiály v húževnatom stave pri statickom zaťažení D  , ke miera bezpečnosti k e  1,4  1,6. Rm Pri statickom zaťažení pre materiály v krehkom stave D  , km miera bezpečnosti k m  2,5  3,0. 44  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PEVNOSTNÁ KONTROLA A DIMENZOVANIE PRÚTOV NAMÁHANÝCH ŤAHOM A TLAKOM Metóda dovolených zaťažení FN Fmax  FD . k Pevnostná podmienka pri tejto výpočtovej metóde limituje najväčšie zaťaženie konštrukcie tak, aby neprekročilo dovolené zaťaženie, ktoré sa rovná časti nebezpečného zaťaženia. Koeficient k nazývame mierou bezpečnosti (bezpečnosťou). V staticky neurčitých konštrukciách z húževnatých materiálov dosiahnutie napätia Re len v jednom, najviac namáhanom prvku, nemusí vyvolať porušenie konštrukcie. 45  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PEVNOSTNÁ KONTROLA A DIMENZOVANIE PRÚTOV NAMÁHANÝCH ŤAHOM A TLAKOM Metóda medzných stavov Jej cieľom je nepripustiť možnosť vzniku medzných stavov počas prevádzky. Klasifikácia medzných stavov sa volí podľa príznakov straty prevádzkových schopností. Medzné stavy sa rozdeľujú do dvoch skupín. Prvá skupina zahrňuje medzné stavy, pri ktorých dochádza k strate únosnosti. Druhá skupina zahrňuje medzné stavy, ktoré sťažujú štandardné používanie konštrukcie. 46  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PEVNOSTNÁ KONTROLA A DIMENZOVANIE PRÚTOV NAMÁHANÝCH ŤAHOM A TLAKOM Metóda medzných stavov K medzným stavom prvej skupiny (medzné stavy únosnosti) patria strata stability polohy, vyčerpanie pevnosti, strata stability tvaru konštrukcie alebo jej časti, krehký lom, únavový lom, nadmerné plastické deformácie. K medzným stavom druhej skupiny patria medzné stavy použiteľnosti nadmerné priehyby, neprijateľná veľkosť dynamickej odozvy (napr. kmitania). 47  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM SO ZRETEĽOM NA SILY VLASTNEJ TIAŽE 48  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM SO ZRETEĽOM NA SILY VLASTNEJ TIAŽE Podmienka rovnováhy pre vybraný element prúta   x  A x     Ax dx   x   dx   Ax   dAx   0 merná sila tiaže materiálu   g merná hmotnosť materiálu  gravitačné zrýchlenie g Po úprave a zanedbaní nekonečne malých veličín druhého rádu bude d x   Ax     Ax dx. 49  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM SO ZRETEĽOM NA SILY VLASTNEJ TIAŽE PRIZMATICKÝ PRÚT Pre prizmatický prút A(x) = A = konšt. zaťažený silou F možno diferenciálnu rovnicu napísať v tvare dx   dx. Riešením dostaneme x     x  C. Napätie v prizmatickom prúte so zreteľom x   F na sily tiaže prúta bude x A 50  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM SO ZRETEĽOM NA SILY VLASTNEJ TIAŽE PRIZMATICKÝ PRÚT Premiestnenie ľubovoľného prierezu, ktorého poloha je definovaná súradnicou x, určíme na základe Hookeovho zákona  N    F    A    u x    d   d  EA EA x x F    x   EA   2E   2  x 2  Celkové predĺženie prúta je rovné F     2 F   Q     u 0      EA 2E EA 2 EA 51  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM SO ZRETEĽOM NA SILY VLASTNEJ TIAŽE PRÚT KONŠTANTNEJ PEVNOSTIV ŤAHU RESP. TLAKU  D  dAx     Ax dx dAx   z čoho  dx A x   D x Riešením dostaneme Ax   AO  e D Premiestnenie prierezu, poloha ktorého je definovaná súradnicou x, vyplýva zo vzťahu  N     D  A  D u x    EA d   d     x . x x EA  E 52  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAMÁHANIE ŤAHOM, RESP. TLAKOM SO ZRETEĽOM NA SILY VLASTNEJ TIAŽE PRÚT ODSTUPŇOVANÉHO PRIEREZU V praxi sa prút stálej pevnosti nahradzuje prútom s odstupňovanými prierezmi, ktorý je výrobne jednoduchší a pozostáva z prizmatických častí. Pevnostná podmienka pre prierez A1 má po úprave tvar A1   D  F  A1   1   Pre ľubovoľný prierez Ai možno odvodiť vzťah i 1 F  D Ai   D   1      D   2   ...  D   i    53  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU 54  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU Staticky neurčitými nazývame sústavy, ktorých rovnováhu, resp. rovnováhu ich častí nemôžeme riešiť na základe len statických podmienok rovnováhy. Statické podmienky rovnováhy pri riešení staticky neurčitých úloh dopĺňame rovnicami, ktoré zohľadňujú deformáciu elementov sústavy. Tieto rovnice nazývame deformačnými podmienkami alebo podmienkami kompatibility. 55  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU Postup pri riešení staticky neurčitých úloh je nasledovný: 1. zostaviť statické rovnice rovnováhy pre jednotlivé časti sústavy - statická stránka úlohy, 2. zostaviť deformačné podmienky pre časti sústavy - geometrická stránka úlohy, 3. vyjadriť v deformačných podmienkach deformácie pomocou Hookeovho zákona - fyzikálna stránka úlohy, 4. riešiť sústavu statických a deformačných podmienok – syntéza úlohy. 56  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU Príklad 1. Napätia v staticky neurčito uloženom prúte Určenie osovej sily metódou mysleného rezu N1  R A N 2  R A  F Predĺženie obidvoch častí prúta je N1  a N 2  b   a  b    EA EA  R A  a  R A  F   b  . EA EA Deformačná podmienka a  b  0. b F b   N1 a   N2 a F     A ab A A ab A 57  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU Príklad 2. Napätie v prútoch staticky neurčitej sústavy Statické podmienky rovnováhy F ix 0,  N1  sin   N 3  sin   0 F iy 0,  F  N 2  N1  cos   N 3  cos   0 Deformačná podmienka Vyjadrenie fyzikálnych rovníc (Hookeov zákon)  1  3 N1   1 N2   2  2    1   3  ,  2  cos  cos  EA EA 58  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU Príklad 3. Teplotné pnutia v staticky neurčitých sústavách Uvoľnený prút by sa pri zmene teploty predĺžil o hodnotu   a  b   t Predĺženie každej z častí prúta sa skladá z teplotnej dilatácie a zo skrátenia spôsobeného reakciou R  R  a     t    a ,  EA1  R  b     t    b.  EA2  Deformačná podmienka a  b  0 59  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU 60  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY PRI ŤAHU, RESP. TLAKU 61  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva 62 Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Rozbor napätosti - Rovinná napätosť 2. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ V BODE TELESA A DRUHY NAPÄTOSTI Napätosťou nazývame stav telesa, ktorý vzniká v dôsledku vonkajšieho pôsobenia silových účinkov na vyšetrované teleso. Dá sa dokázať, že napätosť v bode telesa je jednoznačne určená napätiami pôsobiacimi na tri navzájom kolmé roviny preložené týmto bodom. Napätia px, py, pz nazývame úplnými napätiami. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ V BODE TELESA A DRUHY NAPÄTOSTI Úplné napätie v každej rovine možno rozložiť na normálovú a šmykovú (tangenciálnu) zložku. Normálová zložka má smer rovnobežný s normálou k rovine a šmyková zložka pôsobí v príslušnej rovine. Pre jednoznačné určenie šmykových zložiek potrebujeme dva indexy. Prvý index určuje smer normály k rovine, v ktorej zložka leží a druhý index smer, v ktorom napätie pôsobí. Ak takýto rozklad vykonáme pre tri navzájom kolmé roviny, dostaneme deväť zložiek napätí, z ktorých 3 sú normálové a 6 je šmykových. Napätosť v bode telesa je teda určená deviatimi zložkami, ktoré usporiadané do štvorcovej tabuľky nazývame tenzorom napätia x  xy  xz T   yx y  yz.  zx  zy z 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ V BODE TELESA A DRUHY NAPÄTOSTI V ľubovoľnom bode zaťaženého telesa vždy možno nájsť pravouhlý element orientovaný tak, že šmykové napätia v jeho rovinách budú rovné nule. a) Priestorová napätosť (všetky hlavné normálové napätia sú rôzne od nuly) b) Rovinná napätosť (jedno z hlavných normálových napätí je rovné nule) c) Priamková napätosť (dve z hlavných normálových napätí sú rovné nule) 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ - JEDNOOSOVÁ Napätosť prizmatického prúta namáhaného ťahom je jednoosová. V každom bode možno vybrať objemový element z okolia bodu tak, aby na dvoch protiľahlých stenách pôsobili len normálové napätia (ostatné steny sú bez napätia). 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ - JEDNOOSOVÁ Veďme cez element rez, ktorého normála  je odklonená od smeru napätia 1 o uhol . V tejto všeobecnej rovine bude za účelom zachovania rovnováhy elementu pôsobiť úplné napätie p. Z podmienky rovnováhy platí A0 p   1  A0  0 cos  Zložky napätí do smeru normály a tangenty sú 1    p  cos   1  cos2    1  cos 2 , 2     p  sin   1  cos   sin   1  sin 2. 2 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ - JEDNOOSOVÁ Vylúčením parametra  dostaneme rovnicu tzv. Mohrovej kružnice v súradnicovom systéme   ,   v tvare 2 2          1    2   1 .  2   2  Súradnice každého bodu kružnice D  ,    predstavujú zložky napätia v rovine, ktorá s priečnym rezom zviera uhol . 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ – JEDNOOSOVÁ Združené šmykové napätie Veďme cez element ďalšie dva rezy, ktorých normály sú rovnobežné s osou .  Zložky napätia určíme z vyššie uvedených rovníc pre uhol  2                   1  1  cos 2      1  1  cos 2 ,  2 2   2  2                 1  sin 2      1  sin 2.  2 2  2 2 1    p  cos   1  cos2    1  cos 2 , 2     p  sin   1  cos   sin   1  sin 2. 8 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ – JEDNOOSOVÁ Združené šmykové napätie Normálové zložky napätia   a   sú vo všeobecnosti rozdielne, ale ich súčet pre ľubovoľný uhol  je rovný hodnote napätia 1 v priečnom reze. Šmykové napätia majú v navzájom kolmých rovinách rovnakú absolútnu hodnotu, sú však orientované opačne. Túto skutočnosť nazývame zákonom združenosti šmykových napätí: V navzájom kolmých rovinách pôsobia šmykové napätia rovnako veľké, ale opačne orientované. 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Rovinná napätosť nech je určená zložkami  x y  xy 10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Podmienky rovnováhy v smere osí  a  majú tvar F i  0;    dA   x  dAx cos    y  dAy sin    xy  dAx sin    yx  dAy cos   0 , F i  0;     dA  x  dAx sin    y  dAy cos    xy  dAx cos    yx  dAy sin   0 , 11  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Po úprave a uplatnení zákona združenosti šmykových napätí dostaneme     x  cos2    y  sin 2   2   xy  sin   cos  ,        x   y  cos   sin    yx  cos2   sin 2 .  Zavedením trigonometrických funkcií dvojnásobného argumentu dostaneme x  y x  y     cos 2   xy  sin 2 , 2 2 x  y     sin 2   yx  cos 2. 2 x  y x  y     cos 2   xy  sin 2 , 2 2 x  y      sin 2   yx  cos 2. 2 12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Napätia v smeroch osi x , y a  ,  môžeme vyjadriť v tvare štvorcových tabuliek (tenzorov napätosti) x  xy   T  , T .  yx y   Súčet normálových napätí v navzájom kolmých rovinách pretínajúcich sa v ľubovoľnom bode je konštantný        x   y  konšt. Ak je napätosť v bode určená hlavnými normálovými napätiami, potom platí 1   2 1   2 1   2    cos 2 ,   sin 2. 2 2 2 13  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Hlavné normálové napätia V rovinách, kde pôsobia extrémne normálové napätia, sú šmykové napätia rovné nule. Takéto roviny sú nazývané hlavné roviny a im odpovedajúce napätia hlavné normálové napätia. 2 xy Smery hlavných normálových napätí určíme zo vzťahu tg 2H  . x  y Veľkosti hlavných normálových napätí určíme zo vzťahu 2 x  y x  y  x  y  1,2  2  1 2  x   y 2  42xy  2   2    2xy    14  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Maximálne šmykové napätia Šmykové napätie nadobúda extrémnu hodnotu, rovnú polovici rozdielu hlavných 1   2 normálových napätí max . 2 Vo všeobecnom prípade v rovinách, kde pôsobia maximálne šmykové napätia, sú normálové napätia rozdielne od nuly. 15  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Maximálne šmykové napätia V praxi je častý prípad, keď na stenách elementu pôsobia dve hlavné normálové napätia 1   2  . Maximálne šmykové napätia sú v tomto prípade číselne rovné hlavným normálovým napätiam. Takúto napätosť nazývame čistým šmykom a roviny, v ktorých takéto napätie pôsobí, nazývame rovinami čistého šmyku. 16  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Mohrova kružnica napätosti 17  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Mohrova kružnica napätosti 18  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Priestorová napätosť - Zovšeobecnený Hookeov zákon - Analýza napätosti pri čistom šmyku (H. z. pre čistý šmyk) 3. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ V prípade priestorovej napätosti na stenách pravouhlého elementu vybraného myslenými rezmi z okolia ľubovoľného bodu telesa budú vo všeobecnosti pôsobiť napätia znázornené na obrázku. Z momentových podmienok rovnováhy elementu k osiam prechádzajúcim ťažiskom vyplýva  xy   yx ,  yz   zy ,  xz   zx. Zmenou smeru osi elementu možno nájsť takú polohu elementu, pri ktorej na stenách budú šmykové napätia nulové. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ Predpokladajme, že poznáme hlavnú rovinu určenú normálou n. Rezom rovnobežným s touto plôškou možno vybrať štvorsten a formulovať podmienky rovnováhy – priemety síl do osí x, y a z.  x    cos    yx  cos    zx  cos   0 ,    xy  cos    y    cos    zy  cos   0 ,  xz  cos    yz  cos    z    cos   0. 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ Z lineárnej algebry pre netriviálne riešenie rovníc  x    yx  zx musí platiť, že determinant sústavy (podmienok  xy  y    zy 0 rovnováhy) je rovný nule  xz  yz  z   Determinant možno upraviť na kubickú rovnicu v tvare ktorej tri korene predstavujú hodnoty 3  I1  2  I 2   I3  0 troch hlavných normálových napätí Koeficienty v rovnici nazývame invariantmi napätosti a sú rovné I1   x   y   z  1   2  3 , I 2   x  y   y  z   z  x   2xy   2yz   2zx  1 2   2 3   3 1 , I 3   x  y  z   x  2yz   y 2zx   z 2xy  2 xy  yz  zx  1 2 3. 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva PRIESTOROVÁ NAPÄTOSŤ Hlavné normálové napätia prislúchajúce danej napätosti nezávisia na voľbe súradnicových osí x, y, z. Indexovanie hlavných normálových napätí vykonávame v súlade s nerovnosťou 1   2   3 Ak je napätosť určená hlavnými normálovými napätiami, potom tenzor napätosti má tvar 1 0 0 T  0 2 0 0 0 3 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DEFORMÁCIA V BODE TELESA Šmykové napätia spôsobujú uhlovú deformáciu, ktorú nazývame deformáciou v šmyku. Pri tejto deformácii dochádza k zmene pravého uhla o uhol  xy , ktorý nazývame skosom. Ak je pravouhlý element orientovaný v smere hlavných napätí, potom uhol skosu takto orientovaného elementu je nulový. 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva DEFORMÁCIA V BODE TELESA Nech sú dané hlavné pomerné deformácie. Za pootočený element budeme považovať element s hranou v smere uhlopriečky. Ak deformácie sú malé, potom   '    ds  ds1 cos   ds 2 sin  ds ds1 ds 2     Po úprave      cos 2    sin 2   1  cos 2    2  sin 2   1 2  1 2  cos 2 ds ds1 ds 2 2 2 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Pri určovaní vzťahov medzi napätiami a deformáciami budeme predpokladať, že deformácie sú len pružné. Pri vyšetrovaní priamkovej napätosti bolo konštatované, že element sa deformuje v pozdĺžnom i priečnom smere a deformácie sú s napätím viazané vzťahmi    ,  prieč        E E 8  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Nech na pravouhlý element vybraný z telesa, ktorý má rozmery strany rovné 1, pôsobia len normálové napätia. Výsledná pomerná deformácia  x v smere  x bude s využitím princípu superpozície rovná x y   x   xx   xy   xz x    z. E E E 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Pre smery x, y, z potom platí x  1 E     x    y  z , y  1 E    y     x   z  ,  z  1 E    z     x  y. Uvedené vzťahy sú zovšeobecneným Hookeovým zákonom pre priestorovú napätosť. Pre rovinnú napätosť je jedno z normálových napätí nulové. Z vyššie uvedených vzťahov je zrejmé, že aj pri rovinnej napätosti je deformácia trojosová. x  1 E   x    y , y  1 E   y    x ,  z    E   x  y.  Úpravou dostaneme x  E    x    y , y  E    y    x. 1 2 1 2 10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva ZOVŠEOBECNENÝ HOOKEOV ZÁKON Príklad Medzi dve tuhé, rovnobežné dosky A, B je bez vôle vložený oceľový hranol so stranami a = 40 mm, b = 20 mm, ℓ = 60 mm. Určte Poissonovo číslo materiálu hranola, ak pri zaťažení silami F = 100 kN je tlak hranola na dosky p = 37,5 MPa. Určte tiež pomerné skrátenie hranola, ak modul pružnosti ocele je E =2. 105 MPa. Vplyv trenia medzi hranolom a stenami treba pri riešení zanedbať. 11  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva HOOKEOV ZÁKON PRE ČISTÝ ŠMYK Ak na rovinný pravouhlý element pôsobia len šmykové napätia, hovoríme o čistom šmyku. Pre hlavné normálové napätia pri čistom šmyku platí : 1,3    xy   . 2 xy 2 Smer hlavného normálového napätia : tg 2 H      H   45 . x  y 00 12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva HOOKEOV ZÁKON PRE ČISTÝ ŠMYK a  1     3    1    a Predĺženie úsečky a je rovné a  E E a   3     1     1   . a Pre skrátenie úsečky a platí a  E E     a  a Pôvodne pravý uhol BCD sa zmenší o  xy   , pričom tg    .  4 2  a  a 2  1    Úpravou posledného vzťahu dostaneme  . E  Podobne ako pri ťahu možno Hookeov zákon pre šmyk vyjadriť v tvare   G E G je modul pružnosti v šmyku G 2  1    13  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Teórie pevnosti - Potenciálna energia napätosti 4. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI Pri pevnostných kontrolách v pružnosti a pevnosti vychádzame z nebezpečného stavu namáhania (prípadne medzného stavu). Nebezpečným stavom namáhania nazývame stav, pri ktorom je napätosť v niektorom bode telesa taká, že dochádza k nežiaducim plastickým deformáciám (pri húževnatom stave materiálu) alebo k lomu (pri krehkom stave materiálu). 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI Výsledkom snahy o jednoduchšie a z praktického hľadiska výhodnejšie určenie nebezpečného stavu na základe len ťahovej skúšky sú tzv. teórie pevnosti. Pomocou teórií možno určiť redukované napätie  red. Redukované napätie vyjadruje stav rovnako nebezpečný ako pri pôsobení napätí 1 ,  2 ,  3 Je zrejmé, že red  f 1, 2 , 3 . Tvar funkcie f závisí od voľby kritéria nebezpečného stavu. Redukované napätie porovnávame s nebezpečným stavom pri ťahu. 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI Rankinova teória maximálnych normálových napätí Podľa tejto teórie je nebezpečný (medzný) stav funkciou najväčšieho normálového napätia. Pevnostné podmienky pri miere bezpečnosti k budú Nt Nd 1  Dt  alebo 3  Dd . k k Redukované napätie bude R red  1 , resp. R red  3. Rankinova teória pevnosti je vhodná pre materiály v krehkom stave, dostatočne homogénne (sklo, sadra, niektoré druhy keramiky a pod.). 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI Saint-Vénantova teória maximálnych pomerných predĺžení Kritériom nebezpečného (medzného) stavu je najväčšia absolútna hodnota pomernej deformácie  max   N N Z pevnostnej podmienky  max  1   D  úpravou dostaneme 1    2  3   D. k Redukované napätie je rovné red  1     2   3  SV Na základe experimentálnych skúšok ju možno odporúčať pre materiály v krehkom stave. Je nevhodná pre materiály s nelineárnymi závislosťami medzi napätím a deformáciou. 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI Guestova teória maximálnych šmykových napätí Podľa tejto teórie nebezpečný (medzný) stav je determinovaný hladinou maximálneho šmykového napätia. N Pevnostnú podmienku možno vyjadriť v tvare  max   D . k Po dosadení dostaneme 1   3   D , G red  1   3. Teória je vhodná pre materiály, ktoré majú rovnaké mechanické vlastnosti pri ťahu a tlaku. Nedostatkom tejto teórie je, že nezohľadňuje vplyv hlavného napätia  2 a vôbec nie je použiteľná pre izotropnú napätosť (definovanú ako napätosť s rovnakými hlavnými normálovými napätiami), resp. pre stavy blízke tejto napätosti. 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI Beltramiho teória energie napätosti Predpokladá sa, že príčina nebezpečného (medzného) stavu podľa tejto teórie je funkciou celkovej mernej potenciálnej energie napätosti  max   N. N Pevnostná podmienka  max   D . k Redukované napätie Bred  12  22  32  2    12  23  3 1 . Beltramiho teória pevnosti nebola potvrdená experimentálnymi skúškami, ale stala sa základom pre vytvorenie novej teórie pevnosti energie napätosti pre zmenu tvaru. 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI Huber – Mises – Henckyova teória energie napätosti zmeny tvaru Nebezpečný stav podľa tejto teórie určuje hodnota akumulovanej energie napätosti zmeny tvaru, resp. objemovej hustoty deformačnej energie pre zmenu tvaru  tmax   Nt.  Nt Pevnostná podmienka  tmax   Dt . k Redukované napätie  HMH red  12   22   32  1 2   2  3  1 3  Huber – Mises – Henckyova teória pevnosti je vhodná pre materiály v húževnatom stave, ktoré majú rovnaké mechanické vlastnosti pre ťah aj tlak. 8  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav konštrukčného inžinierstva a mechaniky, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva TEÓRIE PEVNOSTI