Módulo-5-Sistemas-de-ecuaciones PDF

630 C A P Í T U LO 1 0 | Sistemas de ecuaciones y desigualdades 10.1 S ISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones Método de sustitución Método por eliminación Método gráfico El número de soluciones de un sistema lineal con dos incógnitas Modelado con sistemas lineales W Sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones Una ecuación lineal con dos incógnitas Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Un es una ecuación de la forma sistema de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es li- ax by c neal. Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones. Resolver un sistema signiﬁca hallar todas las solu- La gráﬁca de una ecuación lineal es ciones del sistema. una recta (vea Sección 1.10). Veamos a continuación un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con dos incóg- nitas: 2x y 5 Ecuación 1 b x 4y 7 Ecuación 2 Podemos comprobar que x 3 y y 1 es una solución de este sistema. Ecuación 1 Ecuación 2 2x y 5 x 4y 7 2132 1 5 3 4112 7 La solución también se puede escribir como el par ordenado 13, 12. Observe que las gráﬁcas de las Ecuaciones 1 y 2 son rectas (vea Figura 1). Como la so- lución 13, 12 satisface cada una de las ecuaciones, el punto 13, 12 se encuentra en cada recta. Por lo tanto, es el punto de intersección de las dos rectas. y x+4y=7 (3, 1) 1 0 1 3 x 2x-y=5 FIGURA 1 W Método de sustitución En el método de sustitución empezamos con una ecuación en el sistema y despejamos una incógnita en términos de la otra incógnita. El recuadro siguiente describe el procedimiento. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1. Despejar una incógnita. Escoja una ecuación y despeje una incógnita en términos de la otra incógnita. 2. Sustituir. Sustituya la expresión hallada en el Paso 1 en la otra ecuación, para obtener una ecuación con una incógnita y, a continuación despeje esa incógnita. 3. Sustituir a la inversa. En la expresión hallada en el Paso 1, sustituya el valor hallado en el Paso 2 para despejar la incógnita restante. S E C C I Ó N 10.1 | Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 631 E J E M P LO 1 Método de sustitución Encuentre todas las soluciones del sistema. 2x y 1 Ecuación 1 b 3x 4y 14 Ecuación 2 S O L U C I Ó N Despejar una incógnita. Despejamos y en la primera ecuación. y 1 2x Despeje y en la Ecuación 1 Sustituir. A continuación sustituimos y en la segunda ecuación y despejamos x. 3x 411 2x2 14 Sustituya y 1 2x en la Ecuación 2 3x 4 8x 14 Expanda 5x 4 14 Simplifique 5x 10 Reste 4 x 2 Despeje x Sustitución. A continuación sustituimos x 2 en la ecuación y 1 2x. y 1 21 22 5 Sustitución Entonces, x 2 y y 5, de modo que la solución es el par ordenado 12, 52. La Figu- ra 2 muestra que las gráﬁcas de las dos ecuaciones se cruzan en el punto 12, 52. y V E R I F I Q U E S U R E S P U E S TA x 2, y 5: 21 2 2 5 1 (_2, 5) b 31 2 2 4152 14 3x+4y=14 2x+y=1 1 1 0 x FIGURA 2 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5 Q W Método por eliminación Para resolver un sistema usando el método de eliminación, tratamos de combinar las ecua- ciones usando sumas o restas para eliminar una de las incógnitas. MÉTODO POR ELIMINACIÓN 1. Ajustar los coeﬁcientes. Multiplique una o más de las ecuaciones por núme- ros apropiados, de modo que el coeﬁciente de una incógnita de una ecuación sea el negativo de su coeﬁciente en la otra ecuación. 2. Sumar las ecuaciones. Sume las dos ecuaciones para eliminar una incógnita y, a continuación, despeje la incógnita restante. 3. Sustituir a la inversa. En una de las ecuaciones originales, sustituya el valor hallado en el Paso 2 y despeje la incógnita restante. 632 C A P Í T U LO 1 0 | Sistemas de ecuaciones y desigualdades E J E M P LO 2 Método por eliminación Encuentre todas las soluciones del sistema. 3x 2y 14 Ecuación 1 b x 2y 2 Ecuación 2 S O L U C I Ó N Como los coeﬁcientes de los términos en y son negativos entre sí, pode- mos sumar las ecuaciones para eliminar y. y 3x 2y 14 7 b Sistema x 2y 2 3x+2y=14 4x 16 Sume x 4 Despeje x A continuación sustituimos x 4 en una de las ecuaciones originales y despejamos y. Es- cojamos la segunda ecuación porque se ve más sencilla. (4, 1) x 2y 2 Ecuación 2 1 1 4 2y 2 Sustituya x = 4 en la Ecuación 2 0 x x-2y=2 2y 2 Reste 4 FIGURA 3 y 1 Despeje y La solución es 14, 12. La Figura 3 muestra que las gráﬁcas de las ecuaciones del sistema se cruzan en el punto 14, 12. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 9 Q W Método gráfico En el método gráﬁco usamos calculadora graﬁcadora para resolver el sistema de ecua- ciones. MÉTODO GRÁFICO 1. Graﬁcar cada ecuación. Exprese cada ecuación en una forma apropiada para la calculadora graﬁcadora para despejar y como función de x. Graﬁque las ecua- ciones en la misma pantalla. 2. Hallar los puntos de intersección. Las soluciones son las coordenadas x y y de los puntos de intersección. L A S M AT E M Á T I C A S E N E L M U N D O M O D E R N O Predicción del clima Los meteorólogos modernos y otros fenómenos catastróﬁcos del clima. A principios del siglo XX hacen mucho más que pronos- unos matemáticos propusieron modelar el clima con ecuaciones que © Rachel Epstein/Photo Edit ticar el clima de mañana. Inves- usaban los valores actuales de cientos de variables atmosféricas. Aun tigan modelos del clima a largo cuando este modelo funcionaba en principio, era imposible pronosti- plazo, el agotamiento de la car modelos futuros con él por la diﬁcultad para medir con precisión capa de ozono, el calenta- todas las variables y resolver todas las ecuaciones. Hoy en día, nuevos miento global y otros efectos modelos matemáticos, combinados con simulaciones computarizadas de la actividad humana en el de alta velocidad y mejores datos, han mejorado en gran medida el clima. No obstante, el pronós- pronóstico del clima y con ello se han evitado numerosos desastres tico diario del clima es todavía una parte importante de la meteorolo- económicos y pérdidas de vida. Los matemáticos de la National Ocea- gía; su valor es medido por las innumerables vidas humanas salvadas nographic and Atmospheric Administration (NOAA) están continua- cada año por medio de un pronóstico preciso de huracanes, ventiscas mente investigando mejores métodos para el pronóstico del clima. S E C C I Ó N 10.1 | Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 633 E J E M P LO 3 Método gráfico Encuentre todas las soluciones del sistema 5 1.35x 2.13y 2.36 b 2.16x 0.32y 1.06 S O LU C I Ó N Despejando y en términos de x, obtenemos el sistema equivalente _1.5 1.5 y 0.63x 1.11 b y 6.75x 3.31 _5 donde hemos redondeado los coeﬁcientes a dos decimales. La Figura 4 muestra que las dos rectas se cruzan; en un acercamiento vemos que la solución es aproximadamente 10.30, FIGURA 4 1.32. AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 13 Y 49 Q W El número de soluciones de un sistema lineal con dos incógnitas La gráﬁca de un sistema lineal con dos incógnitas es un par de rectas, de modo que, para resolver gráﬁcamente el sistema, debemos hallar el (los) punto(s) de intersección de las rectas. Dos rectas pueden cruzarse en un solo punto, pueden ser paralelas o pueden coinci- dir, como se ve en la Figura 5. Por lo tanto, hay tres posibles resultados para resolver el sistema. NÚMERO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Para un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera. (Vea Figura 5.) 1. El sistema tiene exactamente una solución. 2. El sistema no tiene solución. 3. El sistema tiene un número infinito de soluciones. Se dice que un sistema que no tiene solución es inconsistente. Un sistema con un inﬁnito de soluciones se llama consistente indeterminado. y y y 0 x 0 x 0 x (a) Las rectas se cruzan en un (b) Las rectas son paralelas (c) Las rectas coinciden; las ecuaciones solo punto. El sistema tiene y no se cruzan. El siste- son para la misma recta. El sistema tiene FIGURA 5 una solución. ma no tiene solución. un infinito de soluciones. E J E M P LO 4 Un sistema lineal con una solución Resuelva el sistema y graﬁque las rectas. 3x y 0 Ecuación 1 b 5x 2y 22 Ecuación 2 634 C A P Í T U LO 1 0 | Sistemas de ecuaciones y desigualdades y 3x-y=0 S O LU C I Ó N Eliminamos y de las ecuaciones y despejamos x. 6x 2y 0 2 × Ecuación 1 b 5x 2y 22 11x 22 Sume x 2 Despeje x 6 (2, 6) Ahora sustituimos de nuevo en la primera ecuación y despejamos y: 6122 2y 0 Sustituimos de nuevo x = 2 2y 12 Restamos 6 × 2 = 12 y 6 Despejamos y 2 x La solución del sistema es el par ordenado 12, 62, es decir, 5x+2y=22 x 2, y 6 La gráﬁca de la Figura 6 muestra que las rectas del sistema se cruzan en el punto 12, 62. FIGURA 6 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 23 Q VERIFIQUE SU RESPUESTA x 2, y 6: 3122 162 0 E J E M P LO 5 Un sistema lineal sin solución b 512 2 2162 22 Resuelva el sistema. 8x 2y 5 Ecuación 1 b 12x 3y 7 Ecuación 2 S O LU C I Ó N Esta vez tratamos de hallar una combinación apropiada de las dos ecua- y ciones para eliminar la variable y. La multiplicación de la primera ecuación por 3 y la se- gunda ecuación por 2 da _12x+3y=7 24x 6y 15 3 × Ecuación 1 b 1 8x-2y=5 24x 6y 14 2 × Ecuación 2 0 29 Sume 0 1 x La suma de las dos ecuaciones elimina tanto x como y en este caso, y terminamos con 0 29, que es obviamente falso. No importa qué valores asignemos a x y a y, no podemos hacer que este enunciado sea verdadero, de manera que el sistema no tiene solución. La Figura 7 muestra que las rectas del sistema son paralelas y no se cruzan. El sistema es in- consistente. FIGURA 7 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 35 Q E J E M P LO 6 Un sistema lineal con un infinito de soluciones Resuelva el sistema 3x 6y 12 Ecuación 1 b 4x 8y 16 Ecuación 2 S O LU C I Ó N Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 3 para preparar la resta de las ecuaciones para eliminar x. Las nuevas ecuaciones son 12x 24y 48 4 × Ecuación 1 b 12x 24y 48 3 × Ecuación 2 Vemos que las dos ecuaciones del sistema original son simplemente formas diferentes de expresar la ecuación de una sola recta. Las coordenadas de cualquier punto en esta recta dan S E C C I Ó N 10.1 | Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 635 y una solución del sistema. Escribiendo la ecuación en forma de pendiente e intersección, tenemos y 12 x 2. Por lo tanto, si con t representamos cualquier número real, podemos t=4 escribir la solución como 1 x t 0 1 x y 12 t 2 (t, 21 t-2) También podemos escribir la solución en forma de par ordenado como At, 12 t 2B t=1 donde t es cualquier número real. El sistema tiene un inﬁnito de soluciones (vea Figura 8). AHORA TRATE DE HACER EL EJERCICIO 37 Q FIGURA 8 En el Ejemplo 3, para obtener soluciones especíﬁcas tenemos que asignar valores a t. Por ejemplo, si t 1, obtenemos la solución A1, 32 B. si t 4, obtenemos la solución 14, 02. Para todo valor de t obtenemos una solución diferente. (Vea Figura 8.) W Modelado con sistemas lineales Con frecuencia, cuando usamos ecuaciones para resolver problemas en las ciencias o en otros campos de actividad, obtenemos sistemas como el que acabamos de considerar. Cuando modelamos con sistemas de ecuaciones, usamos las siguientes guías, que son seme- jantes a las de la Sección 1.6. GUÍA PARA MODELAR CON SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Identiﬁcar las variables. Identiﬁque las cantidades que el problema pide ha- llar. Éstas en general se determinan mediante cuidadosa lectura de la pregunta planteada al ﬁnal del problema. Introduzca notación para las variables (llámelas x y y o con alguna otra letra). 2. Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de las variables. Lea otra vez el problema, y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de las variables que haya deﬁnido en el Paso 1. 3. Establezca un sistema de ecuaciones. Encuentre los datos cruciales del problema que den las relaciones entre las expresiones que haya encontrado en el Paso 2. Establezca un sistema de ecuaciones (o un modelo) que exprese es- tas relaciones. 4. Resuelva el sistema e interprete los resultados. Resuelva el sistema que haya encontrado en el Paso 3, veriﬁque sus soluciones y dé su respuesta ﬁnal como una frase que conteste la pregunta planteada en el problema. Los dos ejemplos siguientes ilustran cómo modelar con sistemas de ecuaciones. E J E M P LO 7 Un problema de distancia, rapidez y tiempo Una mujer rema un bote aguas arriba desde un punto en un río, a otro punto a 4 millas de distancia, en 112 horas. El viaje de regreso, a favor de la corriente, le toma sólo 45 minutos. ¿Cuál es la velocidad con la que rema con respecto al agua, y con qué velocidad se mueve la corriente? corriente S O LU C I Ó N Identificar las variables. Nos piden hallar la velocidad con la que rema la mujer y la velocidad de la corriente, de modo que hacemos 4 mi x velocidad de remar 1mi/h2 y velocidad de la corriente 1mi/h2 636 C A P Í T U LO 1 0 | Sistemas de ecuaciones y desigualdades Expresar cantidades desconocidas en términos de la variable. La velocidad de la mu- jer cuando rema aguas arriba es su velocidad para remar menos la velocidad de la corriente; su velocidad aguas abajo es su velocidad para remar más la velocidad de la corriente. Ahora convertimos esta información al lenguaje de álgebra. En palabras En álgebra Velocidad de remo x Velocidad de la corriente y Velocidad aguas arriba x y Velocidad aguas abajo x y Establecer un sistema de ecuaciones. La distancia aguas arriba y aguas abajo es 4 mi- llas, de modo que usando el hecho de que velocidad tiempo distancia para los dos tramos del viaje, tenemos velocidad aguas arriba tiempo aguas arriba distancia recorrida velocidad aguas abajo tiempo aguas abajo distancia recorrida En notación algebraica esto se convierte en las ecuaciones siguientes: 1x y2 32 4 Ecuación 1 1x y2 34 4 Ecuación 2 (Los tiempos se han convertido a horas, porque estamos expresando la rapidez en millas por hora.) Resolver el sistema. Multiplicamos las ecuaciones por 2 y 4, respectivamente, para des- pejar los denominadores. 3x 3y 8 2 × Ecuación 1 b 3x 3y 16 4 × Ecuación 2 6x 24 Sume x 4 Despeje x Sustituyendo este valor de x en la primera ecuación (también funciona la segunda) y despe- jando y, tendremos 3142 3y 8 Sustituya x = 4 3y 8 12 Reste 12 4 y 3 Despeje y La mujer rema a 4 mi/h, y la corriente se mueve a 113 mi/h. VERIFIQUE SU RESPUESTA Velocidad contra la corriente es Velocidad rio abajo es distancia 4 mi distancia 4 mi 2 23 mi / h 5 13 mi / h tiempo 112 h tiempo 3 4h y esto debe ser igual a y esto debe ser igual a velocidad de remo flujo del agua velocidad de remo flujo del agua 4 mi/h 4 3 mi/h 2 23 mi/h 4 mi/h 4 3 mi/h 5 13 mi/h AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 63 Q S E C C I Ó N 10.1 | Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 637 E J E M P LO 8 Un problema de mezclas Un vinatero fortiﬁca vino que contiene 10% de alcohol al agregarle una solución de alcohol al 70%. La mezcla resultante tiene un contenido alcohólico del 16% y llena 1000 botellas de un litro. ¿Cuántos litros 1L2 del vino y la solución de alcohol usa el vinatero? S O LU C I Ó N Identificar las variables. Como nos piden las cantidades de vino y alco- hol, hacemos x cantidad de vino utilizado (L) y cantidad de solución de alcohol utilizada (L) Expresar todas las cantidades desconocidas en términos de la variable. Del hecho que el vino contiene 10% de alcohol y la solución contiene 70% de alcohol, obtenemos lo si- guiente. En palabras En álgebra Cantidad de vino utilizada (L) x Cantidad de solución de alcohol utilizada (L) y Cantidad de alcohol en vino (L) 0.10x Cantidad de alcohol en solución (L) 0.70y Establecer un sistema de ecuaciones. El volumen de la mezcla debe ser el total de los dos volúmenes que el vinatero mezcla, y x y 1000 También, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser el total del alcohol aportado por el vino y por la solución de alcohol, es decir, 0.10x 0.70y 10.1621000 0.10x 0.70y 160 Simplifique x 7y 1600 Multiplique por 10 para quitar decimales En consecuencia, obtenemos el sistema x y 1000 Ecuación 1 b x 7y 1600 Ecuación 2 Resolver el sistema. Restando la primera ecuación de la segunda se elimina la variable x y obtenemos 6y 600 Reste la Ecuación 1 de la Ecuación 2 y 100 Despeje y Ahora sustituimos y 100 en la primera ecuación y despejamos x. x 100 1000 Sustituimos y = 100 x 900 Despejamos x El vinatero utiliza 900 L de vino y 100 L de solución de alcohol. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 65 Q 638 C A P Í T U LO 1 0 | Sistemas de ecuaciones y desigualdades 10.1 EJERCICIOS CO N C E P TO S 13-14 Q Nos dan dos ecuaciones y sus gráﬁcas. Encuentre el (los) punto(s) de intersección de las gráﬁcas resolviendo el sistema. 1. El sistema de ecuaciones 2x y 1 x y 2 2x 3y 7 13. b 14. b b x 2y 8 2x y 5 5x y 9 es un sistema de dos ecuaciones con las dos incógnitas y y _________ y _________. Para determinar si 15, 12 es una solución de este sistema, veriﬁcamos si x 5 y y 1 1 satisfacen cada _________ del sistema. ¿Cuáles de las siguien- tes son soluciones de este sistema? 1 0 x 1 15, 12, 1 1, 3 2 , 12, 12 0 1 x 2. Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede ser resuelto por el método de _________, el método de _________ o el mé- 15-20 Q Graﬁque cada uno de los sistemas lineales siguientes, ya todo _________. sea manualmente o con calculadora graﬁcadora. Use la gráﬁca para determinar si el sistema tiene una solución, no tiene solución o tiene 3. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede un inﬁnito de soluciones. Si hay exactamente una solución, use la tener una solución, _________ solución o _________ gráﬁca para hallarla. _________ soluciones. x y 4 2x y 4 4. El siguiente es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos 15. b 16. b 2x y 2 3x y 6 incógnitas. 2x 3y 12 2x 6y 0 b x y 1 17. b 3 18. b 2x 2y 2 x 2y 4 3x 9y 18 1 x 2y 5 12x 15y 18 La gráﬁca de la primera ecuación es la misma que la gráﬁca de 19. b 20. b 5 2x y 10 2x 2y 3 la segunda ecuación, de manera que el sistema tiene _________ _________ soluciones. Expresamos estas soluciones escri- 21-48 Q Resuelva el sistema, o demuestre que no tiene solución. Si biendo el sistema tiene un inﬁnito de soluciones, expréselas en la forma de par ordenado dado en el Ejemplo 6. x t y x y 4 x y 3 21. b 22. b donde t es cualquier número real. Algunas de las soluciones de x y 0 x 3y 7 este sistema son 11, __2, 13, __2 y 15, __2. 2x 3y 9 3x 2y 0 23. b 24. b 4x 3y 9 x 2y 8 HABILIDADES x 3y 5 x y 7 25. b 26. b 2x y 3 2x 3y 1 5-8 Q Use el método de sustitución para hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones. x y 2 4x 3y 28 27. b 28. b 4x 3y 3 9x y 6 x y 1 3x y 1 5. b 6. b x 2y 7 4x 12y 0 4x 3y 18 5x 2y 1 29. b 30. b 5x y 2 12x 4y 160 x y 2 2x y 7 7. b 8. b 1 x 1 3y 2 0.2x 0.2y 1.8 2x 3y 9 x 2y 2 31. b 21 2 32. b 5x 3y 8 0.3x 0.5y 3.3 9-12 Q Use el método de eliminación para hallar todas las solucio- 3x 2y 8 4x 2y 16 nes del sistema de ecuaciones. 33. b 34. b x 2y 0 x 5y 70 3x 4y 10 2x 5y 15 x 4y 8 3x 5y 2 9. b 10. b 35. b 36. b x 4y 2 4x y 21 3x 12y 2 9x 15y 6 x 2y 5 4x 3y 11 2x 6y 10 2x 3y 8 11. b 12. b 37. b 38. b 2x 3y 8 8x 4y 12 3x 9y 15 14x 21y 3 S E C C I Ó N 10.1 | Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 639 6x 4y 12 25x 75y 100 día, 2200 personas entraron al parque, y los precios de entrada 39. b 40. b recolectados sumaron $5050. ¿Cuántos niños y cuántos adultos 9x 6y 18 10x 30y 40 entraron? 8s 3t 3 u 30√ 5 41. b 42. b 61. Gasolinera Una gasolinera vende gasolina regular en $2.20 5s 2t 1 3u 80√ 5 el galón y gasolina Premium en $3.00 el galón. Al ﬁnal del día 1 3 3 1 1 x 5y 3 x 3y se vendieron 280 galones de gasolina y los recibos totalizaron 43. b 52 44. b 2 1 2 1 3x 2y 10 2x 2y 2 $680. ¿Cuántos galones de cada tipo se vendieron? 0.4x 1.2y 14 26x 10y 4 62. Puesto de frutas Un puesto de frutas vende dos varieda- 45. b 46. b 12x 5y 10 0.6x 1.2y 3 des de fresas: estándar y de lujo. Una caja de fresas estándar se 1 1 1 1 vende en $7 y una de lujo se vende en $10. En un día, el puesto 3x 4y 2 10 x 2y 4 47. b 48. b vende 135 cajas de fresas en un total de $1100. ¿Cuántas cajas 8x 6y 10 2x 10y 80 de cada tipo se vendieron? 63. Velocidad de un avión Un hombre vuela en un pequeño 49-52 Q Use calculadora graﬁcadora para graﬁcar ambas rectas en avión de Fargo a Bismarck, Dakota del Norte, una distancia de el mismo rectángulo de vista. (Observe que debe despejar y en tér- 180 millas. Debido a que hizo el vuelo con un viento de frente, minos de x antes de graﬁcar si usa calculadora graﬁcadora.) Re- el viaje le lleva 2 horas. En el viaje de regreso, el viento todavía suelva el sistema redondeado a dos lugares decimales, ya sea con está soplando con la misma velocidad, de modo que el viaje le acercamiento y usando TRACE o usando la función Intersect. lleva sólo 1 h 12 min. ¿Cuál es la velocidad del piloto con 0.21x 3.17y 9.51 viento en calma, y con qué velocidad sopla el viento? 49. b 2.35x 1.17y 5.89 18.72x 14.91y 12.33 50. b 6.21x 12.92y 17.82 2371x 6552y 13,591 51. b 9815x 992y 618,555 viento 435x 912y 0 52. b 132x 455y 994 Bismarck Fargo 180 mi 53-56 Q Encuentre x y y en términos de a y b. x y 0 64. Velocidad de un bote Un bote en un río navega aguas 53. b 1a 12 x ay 1 abajo entre dos puntos, a 20 millas de distancia, en una hora. El viaje de regreso contra la corriente toma 2 12 horas. ¿Cuál es la ve- ax by 0 54. b 1a b2 locidad del bote, y con qué velocidad se mueven las aguas del río? x y 1 ax by 1 55. b 1a 2 b2 02 bx ay 1 ax by 0 56. b 1a 0, b 0, a b2 a 2x b 2y 1 corriente A P L I C AC I O N E S 20 mi 57. Problema de números Encuentre dos números cuya suma es 34 y cuya diferencia es 10. 58. Problema de números La suma de dos números es el 65. Nutrición Una investigadora realiza un experimento para doble de su diferencia. El número más grande es 6 más que el probar una hipótesis donde intervienen los nutrientes niacina y doble del más pequeño. Encuentre los números. retinol. Ella alimenta a un grupo de ratas de laboratorio con una dieta diaria de precisamente 32 unidades de niacina y 22,000 59. Valor de monedas Un hombre tiene 14 monedas en su unidades de retinol. Ella usa dos tipos de alimentos comerciales bolsillo, todas las cuales son de 10 o de 25 centavos. Si el valor en forma de pastillas. El alimento A contiene 0.12 unidades de total de su cambio es $2.75, ¿cuántas monedas de 10 centavos y niacina y 100 unidades de retinol por gramo; el alimento B con- cuántas de 25 centavos tiene? tiene 0.20 unidades de niacina y 50 unidades de retinol por 60. Precio de entrada El precio de entrada a un parque de di- gramo. ¿Cuántos gramos de cada alimento les da ella al grupo versiones es $1.50 para niños y $4.00 para adultos. En cierto de ratas diariamente? 640 C A P Í T U LO 1 0 | Sistemas de ecuaciones y desigualdades 66. Mezclas de café Un cliente en una cafetería compra una 74. Área de un triángulo Encuentre el área del triángulo que mezcla de dos clases de café: Kenia, que cuesta $3.50 la libra, y se encuentra en el primer cuadrante (con la base sobre el eje x) Sri Lanka, que cuesta $5.60 la libra. Él compra 3 libras de la y que está limitado por las rectas y 2x 4 y y 4x 20. mezcla, que le cuestan $11.55. ¿Cuántas libras de cada clase en- traron en la mezcla? y 67. Problema de mezclas Un químico tiene dos grandes con- y=2x-4 tenedores de solución de ácido sulfúrico, con diferentes concen- traciones de ácido en cada contenedor. La mezcla de 300 mL de la primera solución y 600 mL de la segunda le da una mezcla que es 15% ácida, mientras que si mezcla 100 mL de la primera y 500 mL de la segunda le da una mezcla 1212% ácida. ¿Cuáles son las concentraciones de ácido sulfúrico en los recipientes ori- 0 x ginales? y=_4x+20 68. Problema de mezclas Una bióloga tiene dos soluciones de salmuera, una contiene 5% de sal y otra contiene 20% de sal. ¿Cuántos mililitros de cada solución debe ella mezclar para ob- tener 1 L de una solución que contenga 14% de sal? 69. Inversiones Una mujer invierte un total de $20,000 en dos cuentas, una paga 5% y la otra paga 8% de interés simple al DESCUBRIMIENTO Q DISCUSIÓN Q REDACCIÓN año. El interés anual que ella percibe es $1180. ¿Cuánto invirtió 75. La recta de mínimos cuadrados La recta de mínimos a cada tasa? cuadrados o recta de regresión es la recta que mejor se ajusta a 70. Inversiones Un hombre invierte sus ahorros en dos cuentas, un conjunto de puntos en el plano. Estudiamos esta recta en el una paga 6% y la otra paga 10% de interés simple al año. Él Enfoque sobre modelado que sigue al Capítulo 1 (vea página pone el doble en la cuenta que rinde menos porque es de menos 130.) Mediante cálculo, se puede demostrar que la recta que riesgo. El interés que él percibe es $3520. ¿Cuánto invirtió a mejor se ajusta a los n puntos de datos 1x1, y12, 1x2, y22,... , 1xn, cada tasa? yn2 es la recta y ax b, donde los coeﬁcientes a y b satisfa- n cen el siguiente par de ecuaciones lineales. (La notación © k 1 xk 71. Distancia, velocidad y tiempo Juan y María salen de su representa la suma de todas las x. En la Sección 12.1 vea una casa al mismo tiempo y en auto se dirigen en direcciones opues- descripción completa de la notación 1Σ2.) tas. Juan maneja a 60 mi/h y viaja 35 millas más que María, n n quien maneja a 40 mi/h. El viaje de María toma 15 minutos más que a Juan. ¿Durante cuánto tiempo manejan ellos? ¢ a xk≤ a nb a yk k 1 k 1 72. Ejercicio aeróbico Una mujer se mantiene en forma ha- n n n ciendo ejercicio en bicicleta y corriendo todos los días. El lunes ¢ a x2k ≤ a ¢ a xk≤ b a xk yk k 1 k 1 k 1 ella pasa 112 horas en cada una de esas actividades, cubriendo un total de 1212 millas. El martes corre durante 12 minutos y anda Use estas ecuaciones para hallar la recta de mínimos cuadrados en bicicleta 45 minutos, cubriendo un total de 16 millas. Supo- para los siguientes puntos de datos. niendo que su velocidad para correr y andar en bicicleta no cambian de un día a otro, encuentre esas velocidades. 11, 3 2, 12, 5 2, 13, 6 2, 15, 6 2, 17, 92 73. Problema de números La suma de los dígitos de un nú- Trace los puntos y su recta para conﬁrmar que la recta se ajusta mero de dos dígitos es 7. Cuando los dígitos se invierten, el bien a estos puntos. Si su calculadora calcula regresión lineal, número aumenta en 27. Encuentre el número. vea si le da la misma recta que las fórmulas. 10.2 S ISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON VARIAS INCÓGNITAS Solución de un sistema lineal El número de soluciones de un sistema lineal Modelado de un problema financiero usando un sistema lineal Una ecuación lineal con n incógnitas es una ecuación que se puede poner en la forma a1x1 a2x2 p anxn c donde a1, a2,... , an y c son números reales, y x1, x2,... , xn son las incógnitas. Si sólo tenemos tres o cuatro incógnitas, en general usamos x, y, z y „ en lugar de x1, x2, x3, y x4. Tales ecua- ciones se llaman lineales porque si tenemos sólo dos incógnitas, la ecuación es a1x a2y c, que es la ecuación de una recta. A continuación veamos algunos ejemplos de ecua- ciones con tres incógnitas que ilustran la diferencia entre ecuaciones lineales y no lineales.

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