Matemáticas I - Grado en Ingeniería en Organización Industrial - Universidad Internacional de Valencia PDF

MATEMÁTICAS I Ana Navarro Quiles GRADO EN INGENIERÍA EN ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Módulo de Formación básica Este material es de uso exclusivo para los alumnos de la Universidad Internacional de Valencia. No está permitida la reproducción total o parcial de su contenido ni su tratamiento por cualqu...

MATEMÁTICAS I Ana Navarro Quiles GRADO EN INGENIERÍA EN ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Módulo de Formación básica Este material es de uso exclusivo para los alumnos de la Universidad Internacional de Valencia. No está permitida la reproducción total o parcial de su contenido ni su tratamiento por cualquier mé- todo por aquellas personas que no acrediten su relación con la Universidad Internacional de Va- lencia, sin autorización expresa de la misma. Edita Universidad Internacional de Valencia Grado en Ingeniería en Organización Industrial Matemáticas i Módulo de Formación básica 6 ECTS Ana Navarro Quiles Leyendas Enlace de interés Ejemplo Importante Los términos resaltados a lo largo del contenido en color naranja se recogen en el apartado GLOSARIO. Índice CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS................................................... 7 1.1. Los números complejos................................................................................. 8 1.1.1. Número complejo en forma binómica............................................................. 8 1.1.2. Operaciones aritméticas......................................................................... 9 1.1.3. Representación geométrica y diagrama de Argand............................................... 12 1.1.4. Número complejo en forma polar................................................................. 13 1.1.5. Forma exponencial de un número complejo....................................................... 17 1.2. Raíces de un número complejo y teorema fundamental del álgebra...................................... 18 1.2.1. Extracción de raíces de un número complejo..................................................... 18 1.2.2. Teorema fundamental del álgebra................................................................ 19 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA LINEAL, MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES......... 21 2.1. Generalidades sobre matrices y operaciones con matrices.............................................. 22 2.2. Determinante y matriz inversa........................................................................... 26 2.2.1. Inversa de una matriz............................................................................. 26 2.2.2. Determinante de una matriz...................................................................... 29 2.2.3. Menores y rango de una matriz................................................................... 33 2.3. Valores y vectores propios, y diagonalización............................................................ 33 2.3.1. Valores y vectores propios........................................................................ 33 2.3.2. Independencia lineal y diagonalización........................................................... 34 2.4. Sistemas de ecuaciones lineales........................................................................ 36 2.4.1. Primeros conceptos.............................................................................. 36 2.4.2.  Caracterización de los sistemas por su solución y teorema de Rouché Frobenius.................. 37 2.4.3. Resolución de sistemas, regla de Cramer y reducción de Gauss-Jordan........................... 39 2.5. Algunas factorizaciones de matrices.................................................................... 43 2.5.1. Factorización LU................................................................................. 43 2.5.2. Factorización de Cholesky........................................................................ 43 2.5.3. Factorización QR................................................................................. 43 CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA........................................................................................ 44 2 3.1. El plano cartesiano R.................................................................................. 45 n 3.2. El espacio vectorial R , geometría y propiedades algebraicas............................................ 48 3.2.1. Interpretación geométrica de la suma de vectores................................................ 50 3.2.2. Interpretación geométrica del producto de un escalar por un vector.............................. 50 3.2.3. Relación entre vectores y puntos................................................................. 51 5 Índice 3.3.  La desigualdad de Schwarz, ángulos entre vectores y ortogonalidad..................................... 51 3.3.1. Ángulos en Rn................................................................................... 54 3.3.2. Proyecciones ortogonales....................................................................... 56 3.4. Interpretación geométrica del determinante............................................................. 57 3.5. Cónicas y cuádricas.................................................................................... 61 3.5.1. Cónicas: definición, clasificación y ejemplos...................................................... 61 3.5.2. Cuádricas: definición, clasificación y ejemplos.................................................... 67 CAPÍTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES........................................................................... 72 4.1. Concepto de espacio y subespacio vectorial............................................................ 72 4.2. Intersección y suma de subespacios vectoriales........................................................ 75 4.3. Combinación lineal, envoltura lineal y sistema generador................................................ 76 4.4.  Dependencia e independencia lineal, bases, dimensión y coordenadas.................................. 77 4.4.1. Dependencia e independencia lineal.............................................................. 77 4.4.2. Bases, dimensión y coordenadas................................................................. 78 CAPÍTULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES..................................................................... 85 5.1. Introducción a las ecuaciones diferenciales............................................................... 86 5.1.1. Motivación del uso de las ecuaciones diferenciales............................................... 86 5.1.2. Primeros conceptos y definiciones............................................................... 87 5.1.3.  Ecuaciones diferenciales de primer orden e interpretación geométrica............................ 89 5.2. Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales...................................... 95 5.2.1. Significado geométrico de las soluciones general y particular..................................... 96 5.2.2. EDP relevantes en la física........................................................................ 97 GLOSARIO........................................................................................................ 98 ENLACES DE INTERÉS............................................................................................ 106 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................... 107 6  Capítulo 1 Introducción a los números complejos En este capítulo repasaremos los conceptos fundamentales del álgebra de los números complejos: defini- ción, operaciones con números complejos y sus aplicaciones geométricas. Los números complejos son de fundamental importancia para la ingeniería, especialmente para la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagné- ticas y la corriente eléctrica. Constituyen una herramienta de trabajo fundamental del álgebra y el análisis, así como de ramas de matemáticas puras y aplicadas, como las ecuaciones diferenciales. Además, facilitan el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo, entre otras. Los números complejos permiten representar situaciones de la realidad cuya descripción y tratamiento es posible gracias a sus propiedades. Como ejemplos de aplicación podemos citar: El estudio de fractales, que a su vez tienen numerosas aplicaciones en otros campos, como la informá- tica, la robótica y las matemáticas, entre otros. Enlace de interés Recomendamos leer este interesante artículo sobre los fractales y sus aplicaciones: https://www.gaussianos.com/¿que-es-el-conjunto-de-mandelbrot-historia-y-construccion 7 Capítulo 1. Introducción a los números complejos La relatividad especial y la relatividad general. Algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria (o compleja). Estas teorías son publicadas por primera vez por Albert Einstein en 1905 y describen la física del movimiento en ausencia de campos gravitacionales. En la segunda parte del capítulo nos centraremos en la extracción de raíces de un número complejo, dada la importancia de dicha operación algebraica para la resolución de ecuaciones polinómicas. Los algebristas de los siglos xv y xvi, al intentar resolver diferentes ecuaciones de segundo grado, como x 2 + 1 = 0 , se encon- traron con la solución x = –1. Esta situación les hizo plantearse si este tipo de ecuaciones tenían solución o no, dado que no pertenecían a los números reales. De esta forma surgieron los números complejos, ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas y, con ello, el teorema funda- mental del álgebra, el cual asegura la existencia de n raíces complejas en todo polinomio de grado n. 1.1. Los números complejos Los números complejos surgen de la necesidad de ampliar el conjunto de los números reales. A lo largo de la historia surgen diferentes cuestiones: ¿Hay algún número que al elevarlo al cuadrado dé –1? ¿Puedo calcular la calcular la raíz cuadrada de –1? Está claro que no podemos responder a dicha pregunta teniendo en cuenta únicamente el conjunto de los números reales, dado que un número real elevado al cuadrado es siempre positivo. Debemos entonces inventarnos un número nuevo cuyo cuadrado sea –1 y lo vamos a llamar i, de unidad imaginaria, como esta- bleció Euler en el siglo xviii. Por tanto, ai, siendo a un valor real, se denomina número imaginario y forma parte de un conjunto de números más grande, que llamaremos números complejos y que serán objeto de estudio en este capítulo. Cabe destacar que los números complejos se representan básicamente en tres formas: forma binómica, forma polar o trigonométrica y forma exponencial. Esto se debe a la utilidad de cada una de ellas a la hora de simplificar y facilitar los cálculos en algunos problemas particulares. En este capítulo estudiaremos las tres formas de representación, así como la relación entre ellas. 1.1.1. Número complejo en forma binómica Un número complejo en forma binómica es una expresión algebraica de la forma z = a + bi , donde a y b son dos números reales, e i es la unidad imaginaria (recordamos que i = –1 ). Es decir, se define como la suma de un número real con un número imaginario. De esta forma, a – bi representa la resta de un número real con un número imaginario. Se llama parte real de z = a + bi al número a, y se denota por Re ^ z h , y parte imaginaria al número real b, y se denota por Im ^ z h. Cuando a = 0, es decir, z = bi, tenemos lo que se denomina número imaginario puro. Por el contrario, si b = 0, es decir, z = a, tenemos simplemente un número real. Se dice que dos números complejos z 1 = a + bi y z 2 = c + di son iguales si y solo si ambas partes, las reales y las imaginarias, coinciden: a = c y b = d. 8 Matemáticas I Ejemplo Números complejos en forma binómica: z = 3 + 5i ^a = 3 y b = 5h z = –1 – 2i ^ a = –1 y b = –2 h z = –2 + i ^ a = –2 y b = 1h z = –3i ^ a = 0 y b = –3h Dado un número complejo z = a + bi , el número complejo zr = a – bi se considera conjugado del número complejo. Se verifican las siguientes propiedades: 1. zr = z 2. zr = z si y solo si z = a + 0i 3. zr = –z si y solo si z = 0 + bi 4. z + zr = 2 Re ^ z h 5. z ­ zr = 2i Im ^ z h 6. z + w = zr + wr 7. z $ w = zr $ wr 8. z –1 = ^ zr h –1 Ejemplo Ejemplos de números complejos y sus conjugados: z = –2 – i , cuyo conjugado es zr = –2 + i. z = –1 , cuyo conjugado es zr = –1. z = 2i , cuyo conjugado es zr = –2i. z = –2 + i , cuyo conjugado es zr = –2 – i. 1.1.2. Operaciones aritméticas A continuación vamos a explicar las operaciones básicas que se pueden realizar con los números complejos en forma binómica: suma, resta, producto, cociente y potencia. 9 Capítulo 1. Introducción a los números complejos Suma y resta de números complejos Los números complejos z 1 = a + bi y z 2 = c + di se pueden sumar agrupando términos semejantes, es decir: z 1 + z 2 = ^a + bi h + ^c + di h = ^a + ch + ^b + d h i De igual manera, se define la resta: z 1 – z 2 = ^a + bi h – ^c + di h = ^a – ch + ^b – d h i Ejemplo Consideremos z 1 = –3 + 2i y z 1 = 1 – 4i. La suma viene dada por: z 1 + z 2 = ^–3 + 2i h + ^1 – 4i h = –2 – 2i Análogamente, restamos y obtenemos: z 1 – z 2 = ^–3 + 2i h – ^1 – 4i h = –4 + 6i Producto de números complejos La multiplicación de números complejos en forma binómica se realiza como si fueran binomios. Es decir, dados z 1 = a + bi y z 2 = c + di , se define el producto como: z 1 z 2 = ^a + bi h^c + di h = ac + adi + bci + bd i 2 Ahora, como hemos destacado en la introducción, la unidad imaginaria se define como i = –1. Por tanto, el cuadrado se obtiene elevando a dos ambos miembros de la igualdad, i 2 = ^ –1 h = –1. De esta 2 forma: z 1 z 2 = ac + adi + bci – bd = ^ac – bd h + ^ad + bch i Ejemplo Efectuamos el producto de z 1 = 1 + 3i y z 2 = –2 – i : ^1 + 3i h^ –2 –i h = –2 – i – 6i – 3i 2 = –2 – 7i + 3 = 1 – 7i 10 Matemáticas I Cociente de números complejos Para dividir números complejos en forma binómica, es necesario racionalizar el denominador. Para ello, se multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Es decir, dados z z 1 = a + bi y z 2 = c + di , para calcular z = 1 multiplicamos z1 y z2 por zr 2 = c – di : z2 a + bi ^a + bi h^c – di h ^ ac + bd h + ^–ad + bch i ^ ac + bd h + ^–ad + bch i c + di ^c + di h^c – di h c 2 + d 2 + ^ –cd + cd h i z= = = = c2 + d2 Ejemplo Realizamos el cociente de los números complejos en forma binómica z 1 = 1 + 3i y z 2 = 2 + i: 1 + 3i ^1 + 3i h^2 – i h 2 – i + 6i – 3i 2 5 + 5i ^2 + i h^2 – i h z= = = = = 1+i 2+i 4 – 2 i + 2i – i 2 5 Potencia de números complejos Para calcular la potencia de un número complejo, primero tenemos que conocer cómo se calculan las dife- rentes potencias de la unidad imaginaria i. Como se ha comentado previamente, el cuadrado viene dado por i 2 = ^ –1 h = –1. Para obtener las siguientes potencias vamos realizando el producto por i sucesivamente, es 2 decir: i 3 = i 2 i = ^–1h i = –i i 4 = i 3 i 1 = ^–i h i = –i 2 = – ^–1h = 1 i5 = i4 i1 = 1 i = i El resto de potencias se repiten de cuatro en cuatro de forma periódica o sucesiva. Para calcular la unidad imaginaria elevada a una potencia entera positiva cualquiera, in, obtenemos el residuo r que se produce al dividir n entre 4. De esta forma: in / ir Si el residuo es 0, lo que sucede cuando n es divisible entre 4, entonces i n = i 0 = 1. Ejemplo Calculamos i55. Dividimos 55 entre 4, obteniendo un residuo igual a 3: 55 4 11 12 3 Por tanto, i 55 = i 3 = –i. 11 Capítulo 1. Introducción a los números complejos Para realizar la potencia de un número complejo z = a + bi , es decir, z n = ^a + bi hn , multiplicamos z por sí mismo hasta llegar al resultado deseado. Al igual que hemos destacado al realizar el producto, las potencias de números complejos se pueden realizar como potencias de binomios. Es decir, podemos aplicar el binomio de Newton como sigue: ^ a + bi hn = / b k la n – k ^bi hk = / b k la n – k b k i k n n n n k=0 k=0 Así pues, debemos calcular ik para cada k = 0, 1,..., n. Dicho cálculo se realiza como se ha resaltado previa- mente. Ejemplo Calculamos ^1 + i h4 aplicando el binomio de Newton: ^ 1 + i h4 = / c k m1 n – k 1 k i k = / c k mik = c 0 mi 0 + c 1 mi 1 + c 2 mi 2 + c 3 mi 3 + c 4 mi4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 = k=0 k=0 4! 4! 4! 4! 4! 0! ^ 4 – 0 h ! 1! ^4 – 1h ! 2! ^4 – 2h ! 3! ^4 – 3h ! 4! ^4 – 4h ! = 1+ i+ i2 + i3 + i4 = = 1 + 4i + 6 ^–1h + 4 ^–i h + 1 = –4 Como veremos más adelante, el cálculo de las potencias resulta más sencillo en forma polar o trigonomé- trica. 1.1.3. Representación geométrica y diagrama de Argand Al igual que los números reales repre- sentan puntos de una recta, los números Eje imaginario complejos, al estar formado por pares de números reales, pueden ser representados a + bi como puntos en el plano. Dado z = a + bi , a la parte Re ^ z h = a le corresponde el eje de abscisas y a la parte compleja o imaginaria Im ^ z h = b , el eje de ordenadas. Esta repre- sentación geométrica se conoce como b diagrama de Argand (Argand, 1874). Deno- minaremos al eje de abscisas (y = 0) eje real, y al eje de ordenadas (x= 0) eje imaginario. Por tanto, un número complejo se representa Eje real como un punto en el plano de coordenadas (a, b). Cabe destacar que el conjugado de a z es simétrico a z con respecto al eje de abscisas. Figura 1. Representación gráfica de un número complejo. 12 Matemáticas I Ejemplo Representamos en el diagrama de Argand los números complejos z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3i y z 3 = 2 – i : 3 3i 2.5 1 + 2i 2 1.5 1 0.5 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 –0.5 –1 2–i Figura 2. Diagrama de Argand de los números complejos z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3i y z 3 = 2 – i. 1.1.4. Número complejo en forma polar El uso de números complejos en forma polar conlleva una gran ventaja en muchos casos, dada la senci- llez con que pueden efectuarse algunas operaciones, como las potencias. Como hemos destacado en el apartado “1.1.3. Representación geométrica y diagrama de Argand”, un número complejo en forma binó- mica z = a + bi se puede representar en el plano cartesiano como un punto de coordenadas P = ^a, b h. Pero sabemos que un punto es susceptible de representarse en coordenadas polares. Para ello se esta- blece un segmento de recta desde el origen hasta el punto P. Seguidamente se proyectan las dos compo- nentes en forma perpendicular a los ejes cartesianos y aparecen dos nuevos parámetros: r y i. El parámetro r, generalmente denotado por z , se denomina módulo de un número complejo y representa la distancia de z al origen. Por tanto, nunca puede ser un número real negativo. Por otra parte, i representa el ángulo (en radianes) entre el vector posición con el semieje de abscisas positivas, y se denomina argu- mento de un número complejo, siempre que z ! 0. 13 Capítulo 1. Introducción a los números complejos Si z = 0, su módulo es cero, pero su argumento no está definido. Para el cálculo del módulo y del argumento, fijémonos en la Figura 3. Vemos representado un trián- gulo rectángulo con catetos a y b, e hipotenusa r. A partir del teorema de Pitágoras, sabemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Así pues, el módulo se define como r = a 2 + b 2. Otra forma de expresar el módulo de un número complejo es mediante la expresión r = z = z zr. Para el cálculo del argumento, dado que es el ángulo, es cualquier número real i tal que: cos ^ih = sen ^ih = a b y r r De esta forma, tan ^ih = , donde i = arctan c m. Cabe destacar que existen varios valores para el argu- b b a a mento, dada la periodicidad de las funciones trigonométricas ( i + 2rk, k ! Z ). Por tanto, en la práctica definimos lo que se denomina argumento principal, y es el argumento entre ^–r, r@ el que mejor representa al número complejo (dada su posición en el plano cartesiano). Eje imaginario a + bi r b i Eje real a Figura 3. Representación gráfica de un número complejo. Coordenadas polares. La conversión de coordenadas polares en cartesianas y viceversa se realiza de forma sencilla, teniendo en cuenta las expresiones del seno y del coseno anterior. Despejando a y b de dichas expresiones, obtenemos que a = r cos ^ih y b = r sen ^ih. Sustituyéndolos en z = a + bi , resulta lo siguiente: z = a + bi = r cos ^ih + r sen ^ih i = r ^cos ^ih + sen ^ih i h Esta es la forma trigonométrica de un número complejo. 14 Matemáticas I Ejemplo Calculamos el módulo de los siguientes números complejos: z 1 = –2 + i y z 2 = 2 + 2i. | z 1 = ^–2h2 + 1 2 = 5 y | z2 = 22 + 22 = 8 Cabe destacar que z1 está más cerca del origen que z2 , dado que su módulo es menor. Ejemplo Calculamos el argumento de los siguientes números complejos: z 1 = 2i , z 2 = –3i , z 3 = 1 , z 4 = –4 y z 5 = –1 – i. r r El argumento principal de z1 es , el de z2 es – , el de 1 es 0 y el de –4 es r. Para el cálculo del 2 2 argumento de z 5 = –1 – i , aplicamos la definición: i = arctan b l = arctan ^ 1 h = –1 r –1 4 –3r Teniendo en cuenta que nos encontramos en el tercer cuadrante, el argumento principal es. 4 Figura 4. Representación gráfica de los argumentos de los números complejos z 1 = 2i, z 2 = –2i, z 3 = 1, z 4 = –4 y z 5 = –1 – i. 15 Capítulo 1. Introducción a los números complejos Ejemplo r Escribimos en forma binómica el número complejo de módulo 2 y argumento. 3 Por definición, a = 2 cos b l = 1 y b = 2 sen b l = 3 , quedando el número complejo z = 1 + 3 i. r r 3 3 A continuación enumeramos algunas propiedades del módulo: 1. z $ 0. z = 0 si y solo si z = 0 2. Desigualdad triangular: z + w # z + w 3. z – w # z –w 4. z = zr 5. zw = z w –1 6. z –1 = z 7. Regla del paralelogramo: z + w 2 + z – w 2 = 2 ^ z 2 + w 2h Finalmente, al igual que hemos realizado en forma binómica, vamos a describir algunas de las operaciones algebraicas fundamentales de un número complejo, pero, en este caso, en forma trigonométrica. Producto de números complejos Sean z 1 = r1 ^cos ^i 1h + sen ^i 1h i h y z 2 = r2 ^cos ^i 2h + sen ^i 2h i h dos números complejos. Multiplicándolos como hemos descrito anteriormente, obtenemos: z 1 z 2 = r1 r2 ^cos ^i 1h cos ^i 2h – sen ^i 1h sen ^i 2h + ^cos ^i 1h sen ^i 2h + sen ^i 1h cos ^i 2hh i h Aplicando las fórmulas del seno y del coseno de la suma: z 1 z 2 = r1 r2 ^cos ^i 1 + i 2h) + sen ^i 1 + i 2h i h El módulo del producto de dos números complejos en forma trigonométrica es el producto de sus módulos. El argumento es la suma de sus argumentos. 16 Matemáticas I Cociente de números complejos Sean z 1 = r1 ^cos ^i 1h + sen ^i 1h i h y z 2 = r2 ^cos ^i 2h + sen ^i 2h i h dos números complejos. Dividiéndolos como hemos descrito anteriormente, obtenemos: z1 r (cos (i 1) + sen (i 1) i) r (cos (i 1) + sen (i 1) i) (cos (i 1) – sen (i 2) i = 1 = 1 = z 2 r2 (cos (i 2) + sen (i 2) i) r2 (cos (i 2) + sen (i 2) i (cos (i 2) – sen (i 2) i r1 ^cos ^i 1h cos ^i 2h + sen ^i 1h sen ^i 2hh + ^sen ^i 1h cos ^i 2h – cos ^i 1h sen ^i 2h i h = r2 Aplicando las fórmulas del seno y del coseno de la diferencia: = ^cos ^i 1 – i 2h) + sen ^i 1 – i 2h i h z 1 r1 z 2 r2 El módulo del cociente de dos números complejos en forma trigonométrica es el cociente de sus módulos. El argumento es la resta de sus argumentos. 1.1.5. Forma exponencial de un número complejo La fórmula de Euler es la siguiente: e ii = cos ^ih + sen ^ih i Esta fórmula nos permite expresar un número complejo en su forma exponencial, dado que: z = r ^cos ^ih + sen ^ih i h = r e ii En muchas ocasiones, el uso de la forma exponencial de un número complejo simplifica claramente el cálculo. Por ejemplo, para multiplicar dos complejos expresados de esta forma, basta con multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos: z 1 z 2 = ^r1 e ii 1h^r2 e ii 2h = r1 r2 e i (i 1 + i 2) Se puede comprobar a partir de su cálculo en forma polar que la forma exponencial simplifica claramente la complejidad del problema. Esto se debe a que lo único que hemos tenido que aplicar es la propiedad de que, para realizar el producto de elementos de la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes. De forma análoga, podemos calcular el cociente, pero, en este caso, dividiendo los módulos y restando los argumentos. Para elevar un número complejo a una potencia, únicamente debemos elevar el módulo a dicha potencia y multiplicar el argumento por el exponente, es decir: ^ re iihn = r n ^ e iihn = r n e iin Como sabemos, el conjugado de un número complejo es simétrico con respecto al eje de abscisas, por lo que tiene el mismo módulo y el argumento opuesto: re ii = re –ii 17 Capítulo 1. Introducción a los números complejos Finalmente, vamos a definir la conocida fórmula de Moivre, que será de especial interés para el cálculo de las raíces de un número complejo: ^ cos ^i h + sen ^i h i hn = cos ^ni h + sen ^ni h i Dicha fórmula se deriva directamente de la potencia de un número complejo en forma exponencial, dado que ^e iihn = e iin , cualquiera que sea n entero. 1.2. Raíces de un número complejo y teorema fundamental del álgebra 1.2.1. Extracción de raíces de un número complejo Si z es un número complejo tal que, para algún entero positivo n, se tenga que z = w n , donde w es otro número complejo, entonces se dice que w es una raíz n-ésima de z. Esto lo denotamos como w = z 1/n = n z. La fórmula para hallar las raíces de un número complejo en forma polar z = r ^cos ^ih + sen ^ih i h es: z = z 1/n = r n c cos c m + sen c mi m n 1 i + 2kr i + 2kr n n En la fórmula anterior, k = 0, 1,..., n. Se puede comprobar fácilmente que la expresión es resultado inme- diato de la fórmula de Moivre anteriormente indicada. Ejemplo z , donde z = 8 b cos b l + sen b l i l. r r Hallamos 3 6 6 Usando la fórmula tenemos: z = z 1/3 = 8 3 c cos c m + sen c m i m, 3 1 r/6 + 2kr r/6 + 2kr k = 0, 1, 2 3 3 Por tanto, tenemos tres soluciones, una para cada valor de k: w 1 = 2 b cos b l + sen b l i l r r 18 18 w 2 = 2 b cos b l + sen b li l 13r 13r 18 18 w 3 = 2 c cos c m + sen c mi m 25r 25r 18 18 Como podemos observar en las tres soluciones, el módulo es el mismo, mientras que lo que varía es el argumento. Por tanto, la distancia de cada una de las raíces al origen es 2. >>> 18  Matemáticas I >>> Representamos gráficamente dichas raíces y observamos que todas ellas se encuentran en la circunferencia de radio 2 y centro en el origen. Figura 5. Raíces cúbicas del número complejo 8 bcos b l + sen b l i l. r r 6 6 Podemos decir que las raíces n-ésimas de un complejo de módulo r están distribuidas regularmente en una circunferencia de radio n r. 1.2.2. Teorema fundamental del álgebra Los números complejos, como se ha indicado en la introducción, se crearon para resolver ecuaciones de segundo grado que no tienen soluciones reales. Pero, gracias a ellos, no solo podemos encontrar las solu- ciones de una ecuación de segundo grado, sino también dar solución a ecuaciones polinómicas de cual- quier grado. Así surge el teorema fundamental del Álgebra, que indica la existencia de soluciones para un polinomio genérico. De hecho, se tardó dos siglos en demostrarlo (Gauss, 1799). El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz (Derrick, 1984). El enunciado del teorema fundamental del álgebra, aunque parece sencillo, implica que todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. Y, como el propio nombre indica, este resultado es fundamental para el desarrollo de las matemáticas y sus aplicaciones. 19 Capítulo 1. Introducción a los números complejos Para finalizar el capítulo, un ejemplo curioso. ¿Qué responderías si te preguntara cuál es la raíz n-ésima de 1? La respuesta suele estar clara, 1, pero esa sería la respuesta en el conjunto de los números reales. En el caso de los complejos, hemos visto que tenemos n soluciones complejas y además contamos con una fórmula para su cálculo. Ejemplo Capítulo 2 Raíces n-ésimas de la unidad. El número complejo z = 1, tiene módulo unidad y argumento cero, es decir, escrito en forma polar, z = ^cos ^0h + sen ^0h i h. Por tanto, aplicando la fórmula para la obtención de raíces: 1 = 1 1/n = c cos c m + sen c m i m, n 2kr 2kr k = 0, 1,..., n n n De esta forma, tenemos n raíces: Z] ]] w 1 = cos ^0h + sen ^0h i = 1 ]] w 2 = b cos b l + sen b li l ]] 2r 2r ]] n n ]] w 3 = b cos b l + sen b li l 4r 4r [] ]] n n ]] 2 ^n – 1h r 2 ^n – 1h r ]] ]] w n = d cos c m + sen c mi n ]] n n \ En la siguiente figura se representan las raíces cuadradas, cúbicas y cuartas de z = 1: i –0.5 + 0.86i –1 1 1 –1 1 –0.5 – 0.86i –i Figura 6. Raíces cuadradas, cúbicas y cuartas del número complejo z = 1. 20  Capítulo 2 Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Este capítulo está dividido en cuatro partes. Comenzaremos con el estudio de las matrices, en el que repasaremos los conceptos de vector y matriz, así como sus propiedades y las operaciones entre ellos. En esta primera parte, destacamos el concepto de determinante de una matriz por sus múltiples aplica- ciones, en particular para el cálculo de la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En la segunda parte, a partir de la noción de determinante, explicaremos brevemente cómo se determinan los autovalores o valores propios de una matriz, así como sus posibles aplicaciones en el campo de la ingeniería. A continuación, nos centraremos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Clasificaremos los sistemas por su solución aplicando el teorema de Rouché-Frobenius. Además, mostraremos diferentes alter- nativas a la resolución de los sistemas lineales, como la reducción de Gauss-Jordan. Para finalizar, desarrollaremos a grandes rasgos algunas factorizaciones de matrices. Estas factoriza- ciones pueden resultar muy útiles, sobre todo en problemas con matrices que tienen una dimensión elevada, dado que reducen la complejidad de dichos problemas simplificando algunas operaciones entre las matrices involucradas. 21 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Cabe destacar que en todo este capítulo trabajaremos en los números reales, R. Los valores reales se deno- minan escalares. Para referirnos al conjunto de n escalares reales, ^v 1, v 2,..., v nh, usaremos la notación R n. Para la redacción de los contenidos de este capítulo, hemos tenido en cuenta los resultados expuestos por Lay (2007) y Aranda (2016). 2.1. Generalidades sobre matrices y operaciones con matrices Un vector de dimensión n es una lista ordenada compuesta por n componentes reales, v = ^v 1, v 2,..., v nh ! R n. Definimos algunas operaciones entre vectores: 1. Sean v = ^v 1, v 2,..., v nh ! R n y w = ^w 1, w 2,..., w nh ! R n vectores de la misma dimensión. La suma es otro vector, resultado de la suma componente a componente: v + w = ^v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w nh ! R n La resta se define análogamente. 2. El producto de un vector v = ^v 1, v 2,..., v nh ! R n por un escalar a ! R es otro vector, resultado de multiplicar cada componente por el número a: a v = ^av 1, av 2,..., av nh 3. Dados v = ^v 1, v 2,..., v nh ! R n y w = ^w 1, w 2,..., w nh ! R n dos vectores cualquiera, definimos una opera- ción entre ellos que devuelve un escalar, el producto escalar: n v $ w = /v i w i ! R i=1 Se dice que dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. 4. De esta forma, a partir del producto escalar de un vector por sí mismo, definimos lo que se denomina norma del vector: n v= /v i2 i=1 Ejemplo Sea el escalar a = 3 y los vectores v = ^1, –1, 2h ! R 3 y w = ^2, 0, 1h ! R 3 : La suma de ambos vectores es v + w = ^ 1 + 2, –1 + 0, 2 + 1 h = ^3, –1, 3 h. El producto es av = ^3, –3, 6h. El producto escalar viene dado por: v · w = 1 · 2 + ^–1h · 0 + 2 · 1 = 4 La norma del vector v es: v = 1 2 + ^–1h2 + 2 2 = 6 22 Matemáticas I Una matriz de dimensiones n # m (n filas y m columnas) es una ordenación de números reales de la forma: KJK a 11 a 12 g a 1m ONO KKa 21 a 22 a 2mOO A = KKK h j h OOO K O L a n1 a n2 g a nm P Cada aij es el elemento de la matriz que se encuentra en la fila i y columna j. Para simplificar la escritura es frecuente notar las matrices como A = ^a ij h ! R n # m. Se dice que dos matrices con la mismas dimensiones son iguales si todos los elementos son iguales, es decir, dadas A = ^a ij h ! R n # m y B = ^b ij h ! R n # m, entonces a ij = b ij para todo 1 # i # n, 1 # j # m. De forma similar a los vectores, se define la suma de matrices y el producto de un escalar por una matriz. Es decir, podemos sumar matrices siempre que tengan el mismo orden. Dadas A = ^a ij h ! R n # m y B = ^b ij h ! R n # m , entonces definimos la matriz suma como C = ^a ij + b ij h ! R n # m. Por otro lado, el producto de una matriz, A = ^a ij h ! R n # m , por un escalar, a ! R , es otra matriz en la que cada elemento está multiplicado por ese número, aA = ^a · a ij h ! R n # m. Ejemplo Veamos las siguientes matrices: JK 2 3 NO A=c m C=c m 1 2 –1 K O 2 1 –2 B = KK3 0 OO 3 –4 0 KK OO 0 0 1 L 1 –1P Las matrices A y C tienen la misma dimensión, 2 # 3 , así que podemos sumarlas: 1 + 2 2 + 1 –1 + ^–2h A+C =d n=c m 3 3 –3 3 + 0 –4 + 0 0 + 1 3 –4 1 La suma no se puede realizar con la matriz B, dado que sus dimensiones no coinciden: 2A = c m 2 4 –2 6 –8 0 Consideremos A, B, C ! R n # m y a, b ! R. Describimos a continuación algunas propiedades de ambas operaciones algebraicas, la suma y el producto por un escalar: 1. Conmutativa: A + B = B + A. 2. Asociativa: A + ^B + Ch = ^ A + Bh + C. 3. Elemento neutro: existe una única matriz 0 ! R n # m , tal que A + 0 = A , que se denomina matriz nula y cuyos elementos son todos cero. 4. Pseudoasociativa: a ^bAh = ^ab h A. 23 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 5. Distributiva respecto a la suma de escalares: ^a + bh A = aA + bA. 6. Distributiva respecto a la suma de matrices: a ^ A + Bh = aA + aB. Definimos el producto de dos matrices A = ^a ik h ! R n # m y B = ^b kj h ! R m # p como la matriz C = AB = ^c ij h ! R n # p con componentes: n c ij = /a ik b kj = a i $ b $ j k=1 ai· denota el vector correspondiente a la i-ésima fila de A y b·j la j-ésima columna de la matriz B. Se puede realizar el producto de matrices siempre que estas tengan dimensiones compatibles. Es decir, dos matrices A ! R n # m y B ! R s # p se pueden multiplicar si y solo si m = s. Además, el resul- tado es una nueva matriz de dimensiones n # p. El producto de matrices cumple la propiedad distributiva con respecto a la suma: A ^B + Ch = AB + AC Pero no satisface la propiedad conmutativa. En general, AB ! BA. Ejemplo Consideremos las siguientes matrices: JK 2 3 NO JK 0 2NO A=c m 1 2 –1 K O K O B = KK3 0 OO C = KK–2 1 OO 3 –4 0 KK OO KK OO L 1 –1P L 1 1P Las dimensiones de las matrices son 2 # 3, 3 # 2 y 3 # 2, de modo que podemos realizar las siguientes operaciones: JK 2 · 1 + 3 · 3 2 · 2 + 3 · ^–4h 2 · ^–1h + 3 · 0 NO JK 11 –8 –2 NO K O K O BA = KKK 3 · 1 + 0 · 3 3 · 2 + 0 · ^–4h 3 · ^–1h + ^–1h · 0OOO = KK 3 6 –3OO K1 · 1 + ^–1h · 3 1 · 2 + ^–1h · ^–4h 1 · ^–1h + ^–1h · 0 O K–2 6 –1 OO K L P L P 1 · 2 + 2 · 3 + ^–1h · 1 1 · 3 + 2 · 0 + ^–1h · ^–1h AB = e o=c m 7 4 3 · 2 + ^–4h · 3 + 0 · 1 3 · 3 + ^–4h · 0 + 0 · ^–1h –6 9 1 · 0 + 2 · ^–2h + ^–1h · 1 1 · 2 + 2 · 1 + ^–1h · 1 AC = e o=c m –5 3 3 · 0 + ^–4h · ^–2h + 0 · 1 3 · 2 + ^–4h · 1 + 0 · 1 8 2 >>> 24  Matemáticas I >>> J2 5 NO 1 2 –1 KKK A ^B + Ch = c mK 1 1 OO = c m O 2 7 3 –4 0 KK OO 2 11 L2 0P AB + AC = c m 2 7 2 11 Observamos que, efectivamente, se cumple la propiedad distributiva y que, además AB ! BA, siendo incluso las dimensiones diferentes. Aunque hemos definido los vectores y matrices por separado, realmente un vector es una matriz de una sola fila o una sola columna. Un vector fila es una matriz de dimensiones 1 # n, es decir, v = ^v 1, v 2,..., v nh ! R 1 # n. Un vector columna es una matriz de dimensiones n # 1 , es decir: JK v 1 NO KK OO Kv 2O v = KKK h OOO ! R n # 1 K O Lv nP A partir de ahora, si no se indica lo contrario, los vectores serán columna. Para finalizar el apartado, vamos a definir algunos tipos de matrices específicos de gran importancia en la teoría de matrices, dadas sus propiedades: Una matriz cuadrada es aquella que tiene dimensiones iguales, es decir, A ! R n # n. El vector de ele- mentos ^a 11, a 22,..., a nnh ! R n es la diagonal principal de la matriz A. La suma de los valores en la dia- gonal de la matriz se llama traza y se indica como tr ^ Ah. La matriz traspuesta de A = ^a ij h ! R n # m es la matriz A T = ^a ij h ! R m # n , que resulta de permutar sus filas por sus columnas. Algunas propiedades de la matriz traspuesta: ^ A T hT = A ^ aAhT = AA T ^ A + B hT = A T + B T ^ ABhT = B T A T Una matriz cuadrada es una matriz simétrica si aij = aji para todo i, j. Equivalentemente, si coincide con su traspuesta, AT = A. Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada A ! R n # n tal que AA T = A T A = I n , siendo In la matriz identidad, matriz de dimensión n # n formada por unos en la diagonal principal y ceros en las restan- tes posiciones. La matriz identidad es el elemento neutro del producto de matrices, ya que, dada A ! R n # m , se cumple que AI m = I n A = A. 25 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Una matriz triangular superior es una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal son 0. Se trata de una matriz triangular inferior cuando los elementos por encima de la diagonal son 0. Si tanto los elementos por debajo como por encima se anulan, se llama matriz diagonal. 2.2. Determinante y matriz inversa 2.2.1. Inversa de una matriz Sabemos que el inverso de un escalar es otro escalar tal que, al multiplicarlo por este, se obtiene el elemento neutro del producto, es decir, el uno. En el caso de las matrices, podemos definir la inversa de una matriz cuadrada A ! R n # n como la matriz B ! R n # n tal que AB = BA = I n ; se denota como B = A –1. Si existe tal matriz, se dice que A es matriz regular o invertible. En caso contrario, se dice que es una matriz singular. La matriz inversa solo está definida para matrices cuadradas y no siempre existe. Además, si una matriz tiene inversa, entonces esta es única. Ejemplo La matriz A = c m no tiene inversa. Si existiera una matriz B = c m inversa de A, se tendría 1 0 a b 0 0 c d que verificar que I 2 = c m = AB = c mc m=c m, lo cual es imposible. 1 0 1 0 a b a b 0 1 0 0 c d 0 0 Sean A, B ! R n # n dos matrices invertibles y a ! R un escalar distinto de cero. A continuación, mostramos algunas propiedades de la matriz inversa: ^ A –1h–1 = A ^ aAh–1 = 1 –1 A a ^ A T h–1 = ^ A –1hT ^ ABh–1 = B –1 A –1 Una vez definida la matriz inversa, el siguiente paso es su cálculo. Para ello utilizaremos las operaciones elementales. Dicho método está basado en el método de Gauss para la resolución de sistemas de ecua- ciones lineales, el cual desarrollaremos con más detalle en posteriores apartados. 26 Matemáticas I Dada una matriz A, podemos definir las operaciones elementales fila como: Intercambiar las filas i y j. La matriz de la operación, Eij, es la matriz identidad pero con las columnas i y j intercambiadas: KJK 1 ONO KK j OO KK 0 g 1 OO ! Fila i KK OO E ij = KK h j h OO KK OO KK 1 g 0 O ! Fila j KK j OO K O L 1 OP Multiplicar la fila i por un escalar no nulo a ! R. La matriz de la operación, E i ^ah, se obtiene de multi- plicar la fila i de la matriz identidad por el escalar: JK 1 NO KK OO KK j OO KK 1 OO E i ^ah = KK K OO KK a OO ! Fila i KK 1 OO KK j OO K O L 1 OP Sumar a la fila j la fila i multiplicada por un escalar no nulo a ! R. La matriz de la operación, E ij ^ah, es la matriz identidad pero con el escalar a en la posición ^ j, i h: KJK 1 ONO KK j OO KK 1 OO ! Fila i KK OO E ij ^ah = KK h j OO KK OO KK a 1 O ! Fila j KK j OO K O L 1 OP En cada una de las operaciones anteriores, hemos definidos una matriz. Estas matrices se denominan matrices elementales. Si multiplicamos, por la izquierda, una de estas matrices por la matriz A, se obtiene la matriz resultante al aplicar a A la operación elemental fila asociada a dicha matriz. Ejemplo JK–1 3 4 NO K O Consideremos la matriz A = KK 2 1 0 OO. KK OO L 2 –1 –1P Multiplicamos por la izquierda por E23: JK 1 0 0ONKJ–1 3 4 ON KJ–1 3 4 ON K OK O K O E 23 A = KK0 0 1 OOKK 2 1 0 OO = KK 2 –1 –1OO KK OOKK OO KK OO L0 1 0PL 2 –1 –1P L 2 1 0 P Vemos que es equivalente a intercambiar entre sí las filas segunda y tercera. >>> 27  Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales >>> Multiplicamos por la izquierda por la matriz E3 (2): JK 1 0 0NOJK–1 3 4 NO JK–1 3 4 NO K OK O K O E 3 ^2h A = KK0 1 0OOKK 2 1 0 OO = KK 2 1 0 OO KK OOKK OO KK OO L0 0 2 PL 2 –1 –1P L 4 –2 –2P Esto equivale a multiplicar la tercera fila por 3. Multiplicamos por la izquierda por la matriz E13 (–2) JK 1 0 0NOJK–1 3 4 NO JK–1 3 4 NO K OK O K O E 13 ^–2h A = KK 0 1 0OOKK 2 1 0 OO = KK 2 1 0 OO KK OOKK OO KK OO L–2 0 1 PL 2 –1 –1P L 4 –7 –9P Esto equivale a multiplicar por –2 la primera fila y sumarla a la tercera. La aplicación del método de Gauss para calcular la inversa de una matriz A ! R n # n consiste en operar la matriz ^ A | I nh hasta conseguir la identidad en la parte izquierda mediante transformaciones elementales. La matriz resultante en la derecha es la inversa dada. La obtención de la inversa mediante dicho método queda más claro mediante un ejemplo: Ejemplo JK 1 2 0 NO K O Consideremos la matriz A = KK0 1 3 OO. Para el cálculo de la inversa escribimos la matriz junto con KK OO L 2 –1 –8P la identidad de orden 3: JK 1 2 0 1 0 0NO K O (A | I 3) = KK0 1 3 0 1 0OO KK O L 2 –1 –8 0 0 1 OP A continuación, realizamos operaciones elementales fila: JK 1 2 0 1 0 0NO JK 1 2 0 1 0 0NO KK O K O 0 1 0OO & KK0 1 3 0 1 0OO F3 ­ 2F1 KK0 1 3 O KK O K 2 –1 –8 0 0 1 OP –2 0 1 OP L L0 –5 –8 JK 1 2 0 1 0 0NO c 1 mF3 JK 1 2 0 1 0 0 NO KK O 7 KK O 0 1 0OO & 0 OO F3 + 5F2 & KK0 1 3 KK0 1 3 0 1 K0 0 7 O O L –2 5 1 OP K0 0 1 L –2/7 5/7 1/7OP JK 1 2 0 1 0 0 ON KJK 1 0 0 –5/7 16/7 6/7 ON KK O F1 – 2F2 O 6/7 –8/7 –3/7OO & KK0 1 0 6/7 –8/7 –3/7OO F2 – 3F3 & KK0 1 0 K O KK O L0 0 1 –2/7 5/7 1/7 OP L0 0 1 –2/7 5/7 1/7 OP >>> 28  Matemáticas I >>> Por tanto, la matriz inversa viene dada por: JK–5/7 16/7 6/7 NO K O A –1 = KK 6/7 –8/7 –3/7OO KK OO L –2/7 5/7 1/7 P Dado que E 21 ^–2h E 32 ^–3h E 3 b l E 23 ^5h E 13 ^–2h A = I , entonces la inversa es producto de matrices 1 7 elementales A –1 = E 21 ^–2h E 32 ^–3h E 3 b l E 23 ^5h E 13 ^–2h. 1 7 Una matriz es invertible si y solo si es producto de matrices elementales. La matriz A = c m no es invertible, dado que no es posible obtener la matriz identidad mediante 2 4 3 6 transformaciones elementales. 2.2.2. Determinante de una matriz El determinante de una matriz cuadrada es un número real que se establece como una herramienta funda- mental para el cálculo de la inversa de una matriz, así como para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada A ! R n # n podemos aplicar la regla de Laplace. Para ello, primero definimos lo que se denomina menor complementario de un elemento aij, que denota- remos como aij. El menor complementario es el determinante de la submatriz que se obtiene a partir de A eliminando la fila i y la columna j. Dicha submatriz se denomina matriz adjunta del elemento ij. A partir del menor complementario, podemos definir el adjunto del elemento aij como c ij = ^–1hi + j a ij. Regla de Laplace para el cálculo del determinante si fijamos una columna j: det ^ Ah = /a ij c ij = /a ij ^–1hi + j a ij n n i=1 i=1 Si fijamos una fila i: det ^ Ah = /a ij c ij = /a ij ^–1hi + j a ij n n j=1 j=1 Como podemos observar, el principal objetivo de la regla de Laplace es calcular el determinante realizando determinantes de orden inferior. Por tanto, es fundamental establecer cómo se obtiene un determinante de orden dos. Dada la matriz A = c m, de dimensión 2 # 2, el determinante es el número: a b c d det ^ Ah = ad – bc 29 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Además, en la práctica, usualmente nos encontramos con sistemas de orden tres, dada su importancia para trabajar en el espacio de tres dimensiones. Para el cálculo de los determinantes de orden tres, hay una fórmula como en el caso anterior, la regla de Sarrus (Cohn, 1994). Consideremos la siguiente matriz cuadrada de orden tres: JK a 11 a 12 a 13 NO K O A = KK a 21 a 22 a 23 OO KK OO La 31 a 32 a 33P El determinante viene dado por: det ^ Ah = ^a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13h – ^a 13 a 22 a 31 + a 21 a 12 a 33 + a 32 a 23 a 11h Para que quede más claro el procedimiento que lleva a cabo la regla de Sarrus, a continuación se muestra su aplicación para el cálculo de determinantes de matrices 3 # 3. Figura 7. Regla de Sarrus para el cálculo de un determinante de orden tres. Dominio público. Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus#/media/ Archivo:Sarrusovo_pravidlo.png 30 Matemáticas I Ejemplo KJK 1 2 0 ON O Consideremos la matriz A = KK0 1 3 OO. Dado el elemento a21 = 0 el menor complementario es KK O L2 –1 –8OP a 21 = det c m y el adjunto es 2 0 c ij = –a ij. Procedemos al cálculo de su determinante por menores –1 –8 complementarios. Fijamos la fila primera: det ^ Ah = ^–1h2 a 11 + 2 ^–1h3 a 12 = det c m – 2 det c m = –5 – 2 ^–6h = 7 1 3 0 3 –1 –8 2 –8 Comprobamos que, aplicando la regla de Sarrus, el resultado es el mismo: JK 1 2 0 NO K O det KK0 1 3 OO = –8 + 12 + 0 – ^0 – 3 + 0h = 7 KK OO L 2 –1 –8P Las propiedades del determinante de una matriz son las siguientes: 1. Si una matriz tiene una fila o columna completa de ceros, entonces su determinante es nulo. 2. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es nulo. 3. Si B ! R n # n es la matriz que se obtiene de multiplicar los elementos de una fila o columna de la ma- triz A ! R n # n por un escalar a ! R , entonces det ^Bh = a det ^ Ah. 4. Si B ! R n # n es la matriz que se obtiene de intercambiar dos de las filas o columnas de la matriz A ! R n # n , entonces det ^Bh = –det ^ Ah. 5. Se verifica: KKJ a 11 g a 1n NO OO JK a 11 KK g a 1n NO OO JK a 11 KK g a 1n NO O KK h j h O KK h j h O KK h j h OO K OO OO O det KKa i1 + b i1 g a in + b inO = det KK a i1 g a in O + det KK b i1 g b in OO KK O KK O KK O KK h j h OOO KK h j h OOO KK h j h OOO K a g a nn OP Ka g a nnOP Ka g a nnOP L n1 L n1 L n1 6. Si B es la matriz obtenida de sumar a una fila de A, un múltiplo de otra fila de la matriz, entonces det ^Bh = det ^ Ah. 7. Si A, B ! R n # n , entonces det ^ ABh = det ^ Ah det ^Bh. 8. Si A ! R n # n , entonces det ^ A T h = det ^ Ah. 9. Si A ! R n # n es una matriz triangular, entonces su determinante es el producto de los elementos de la diagonal, det ^ Ah = a 11 a 22 a nn. 10. Si A ! R n # n es una matriz ortogonal, entonces det ^ Ah = 1. 31 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Calculamos el siguiente determinante: KJK 1 2 3 4 ON O K5 8 OO det ^ Ah = det KK 9 6 7 KK 10 11 12 OOO K13 14 15 16OP L Por la propiedad 6, el determinante de la matriz B, resultante de sumar a una columna de A un múltiplo de otra columna, es el mismo. Por tanto, restando a la columna 2 la 1 y a la columna 4 la 3, obtenemos: KKJ 1 2 3 4 NO O JK 1 KK 1 3 1 NO O K5 6 7 8 OO KK 5 1 7 1 OO det KK 9 O = det 1OOO = 0 KK 10 11 12 OO KK 9 1 11 K13 14 15 16 OP K13 1 15 1OP L L En el último paso hemos aplicado la propiedad 2. Hay que destacar que, en las transformaciones realizadas, no se ha multiplicado por ningún número, pues, en caso de hacerlo, el determinante quedaría multiplicado por dicho número. En el apartado anterior, hemos definido la matriz inversa y hemos explicado su cálculo mediante opera- ciones elementales. El determinante es una herramienta fundamental para el cálculo de la inversa. Para ello, podemos usar la matriz de cofactores C, en la que los elementos son ^–1hi + j a ij. Así, la inversa se obtiene con la siguiente fórmula: 1 det ^ Ah A –1 = CT Además se cumple que det ^ A –1h = 1/det ^ Ah. A ! R n # n es una matriz regular si y solo si det ^ Ah ! 0. Ejemplo JK 1 2 0 NO K O Calculamos la inversa de la matriz A = KK0 1 3 OO. Primero calculamos el determinante de la matriz KK OO L 2 –1 –8P A. Aplicando la regla de Sarrus, se puede comprobar que det ^ Ah = 7. Dado que es distinto de cero, la matriz es regular, es decir, existe la inversa. La matriz adjunta viene dada por: KJK–5 6 –2ONO C = KK 16 –8 5 OO KK OO L 6 –3 1 P >>> 32  Matemáticas I >>> Aplicando la fórmula para el cálculo de la inversa, tenemos: JK–5 16 6 NO 1 1 KK O C = K 6 –8 –3OO ^ h –1 T A = det A 7K K OO L –2 5 1 P 2.2.3. Menores y rango de una matriz En el apartado anterior, hemos definido el concepto de menor complementario para usarlo de herra- mienta en el cálculo de determinantes de matrices cuadradas. Dicho concepto es un caso parti- cular de un concepto más general: menor de una matriz. El menor de una matriz A ! R n # m (no necesariamente cuadrada) de orden k es el determinante de una matriz de dimensiones k # k , resultado de eliminar algunas filas y/o columnas. De esta forma, definimos el rango de una matriz A, rango ^ Ah, como el orden del menor más grande distinto de 0 de la matriz A. Cabe destacar que siempre se cumple que rango ^ Ah # min ^n, mh. Ejemplo Consideremos A ! R 2 # 3, A = c m. Existen tres menores 2 # 2. Calculamos uno cualquiera: 1 2 3 4 5 6 det c m = –3 ! 0 1 2 4 5 Dado que existe un menor de orden 2 distinto de cero y el rango máximo de la matriz A es 2, la matriz tiene dicho rango máximo. JK 1 3 NO K O Consideremos B ! R 3#2 , B = KK 2 6 OO. Existen tres menores 2 # 2. Los calculamos: KK OO L–4 –12P det c m= 0 det c m= 0 det c m= 0 1 3 1 3 2 6 2 6 –4 –12 –4 –12 El rango máximo de B es 2, pero todos los menores de orden 2 se anulan. Por tanto, rango ^Bh = 1. 2.3. Valores y vectores propios, y diagonalización 2.3.1. Valores y vectores propios Dada una matriz cuadrada, A ! R n # n , decimos que el vector v ! R n (distinto del vector nulo) es el vector propio asociado al valor propio m ! R si Av = mv. 33 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales A partir de la ecuación anterior, podemos deducir que el conjunto de valores propios es igual al conjunto de soluciones del siguiente polinomio, que se llamará polinomio característico: p ^mh = det ^ A – mI nh in es la matriz identidad de orden n. Una vez calculados los valores propios, es posible encontrar el espacio de vectores propios asociados resolviendo la siguiente ecuación para cada mi: ^ A – m i I nh v = 0 Ejemplo Dada la matriz A = c m , el polinomio característico viene dado por: 1 2 5 4 p ^mh = det d n = ^1 – mh^4 – mh – 10 = m 2 – 5m – 6 1– m 2 5 4–m Las raíces de p ^mh son los valores propios de la matriz A. Resolviendo la ecuación de segundo grado m 2 – 5m – 6 = 0 , obtenemos m 1 = –1 y m 2 = 6. Calculamos ahora los vectores propios. Para ello, resolvemos la ecuación Av = mv, esto es ^ A – mI 2h v = 0, para cada valor propio obtenido. Para m = –1: ^ A + I 2h v = 0 & c mc m = c m 2 2 v1 0 5 5 v2 0 De la primera ecuación, 2v 1 + 2v 2 = 0 , obtenemos que v 2 = –v 1. De la segunda ecuación, 5v 1 + 5v 2 = 0, obtenemos también v 2 = –v 1. Así, un vector propio asociado al valor propio m = –1 es v = ^1, –1h. Para m = 6: ^ A – 6I 2 h v = 0 & c mc m = c m –5 2 v 1 0 5 –2 v 2 0 v. Así, un vector propio asociado al valor propio m = 6 es v = ^2, 5h. 5 Obtenemos que v 2 = 2 1 2.3.2. Independencia lineal y diagonalización Una matriz cuadrada A ! R n # n es una matriz diagonalizable si existe un matriz diagonal D ! R n # n y una matriz invertible P ! R n # n tales que: A = PDP –1 34 Matemáticas I Los elementos de la diagonal de D son los autovalores de la matriz A y las columnas de P son los vectores propios correspondientes. Cabe destacar que las matrices simétricas son siempre diagonalizables, y que además se cumple que A = PDP T. En este punto nos preguntamos cómo podemos saber si una matriz es diagonalizable. Para definir un criterio, necesitamos presentar a continuación algunas definiciones previas, las cuales veremos con mayor detalle en el Capítulo 4. Dados los vectores v 1,..., v n de dimensión n, se dice que el vector v ! R n es combinación lineal de v 1,..., v n si existen a 1,... , a n ! R tales que: v = a 1 v 1 +... + a n v n Se dice que los vectores v 1,..., v n son linealmente dependientes si podemos escribir el vector 0 como combinación lineal de ellos, es decir, existen a 1,..., a n ! R no todos nulos tales que: 0 = a 1 v 1 +... + a n v n En caso contrario, se dirá que los vectores son linealmente independientes. Así, v 1,..., v n son linealmente independientes si: 0 = a 1 v 1 +... + a n v n & a j = 0 para todo j = 1,..., n Se puede probar de forma inmediata que, si v 1,..., v n son vectores linealmente dependientes, entonces existe algún vj que es combinación lineal de los demás. De esta forma, si v 1,..., v n son vectores propios correspondientes a los valores propios m 1,..., m n distintos entre sí dos a dos, entonces " v 1,..., v n , es un conjunto linealmente independiente. Finalmente, una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que son capaces de generar ­ n. En nuestro estudio, una cualquier vector del espacio en el que estemos trabajando, en nuestro caso, R base estará formada por n vectores linealmente independientes. Una matriz de dimensión n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente inde- pendientes. Con todo lo anterior, podemos concluir que, si una matriz cuadrada A ! R n # n tiene m 1,..., m n valores propios distintos entre sí, entonces es diagonalizable. 35 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Dada la matriz A = c m, hemos visto que tiene dos valores propios distintos entre sí, por lo que 1 2 5 4 los vectores propios son linealmente independientes. Como tenemos dos vectores propios en ­R2, los vectores propios forman una base. Así, concluimos que la matriz es diagonalizable. Dicha diagonalización viene dada por: A = PDP –1 = c mc mc m 1 2 –1 0 1 2 –1 –1 5 0 6 –1 5 2.4. Sistemas de ecuaciones lineales 2.4.1. Primeros conceptos Se denomina sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones y n incógnitas a: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 bb_ b a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 bb `b h bb b a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m b a aij son los coeficientes, bi es el término independiente y xi son las incógnitas. La solución del sistema de ecuaciones lineales anterior es todo punto ^ x 1, x 2,..., x nh ! R n que convierte la expresión en identidad. En un sistema de ecuaciones lineales se verifican las siguientes propiedades: Si multiplicamos una ecuación por un valor distinto de cero, las soluciones del sistema no varían. Si intercambiamos dos ecuaciones del sistema, las soluciones no cambian. Si sustituimos una ecuación por el resultado de sumar o restar dicha ecuación con un múltiplo de otra, las soluciones del sistema no varían. Un sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial: Ax = b, donde Ax = b es la matriz de coefi- cientes, x = ^ x 1,..., x nhT es el vector de las variables y b = ^b 1,..., b mhT es el vector de los términos indepen- dientes. Se trata de un sistema homogéneo si el vector de términos independientes es nulo, es decir, bi = 0 para todo i = 1,..., m. En los siguientes apartados, vamos a caracterizar los sistemas dependiendo de si tienen una sola solución, varias soluciones o ninguna solución. Además, dependiendo del tipo de sistema lineal con el que nos encon- tremos, daremos diferentes métodos para su resolución. 36 Matemáticas I 2.4.2. Caracterización de los sistemas por su solución y teorema de Rouché Frobenius Hablamos de sistema compatible si posee solución, y de sistema incompatible si no posee solución. Además, en el primer caso, se trata de un sistema compatible determinado si tiene una única solución, y de un sistema compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones. Es sencillo comprobar que un sistema homogéneo es compatible, pues el punto ^0,..., 0h ! R n es solución de este. Teorema de Rouché-Frobenius Consideremos el sistema lineal Ax = b con A ! R m # n , x ! R n # 1 y b ! R m # 1. Denotamos como A | b la matriz ampliada del sistema, esto es, la matriz formada por A junto con b. Entonces, el sistema es compatible si y solo si rango ^ Ah = rango (A | b). Más aún, será determinado si rango ^ Ah = n (número de incógnitas o varia- bles) e indeterminado si rango ^ Ah 1 n. Ejemplo Discutimos la compatibilidad del siguiente sistema mediante el teorema de Rouché-Frobenius: x 1 + 2x 2 = 1 _bb bb 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 2 `b b 3x 1 + x 2 + 5x 3 = 3 bb a Escribimos la matriz A y la matriz ampliada A | b del sistema: JK 1 2 0 NO JK 1 2 0 1 NO K O K O A = KK 2 1 3 OO A | b = KKK 2 1 3 2 OOO KK OO K3 1 5 3O L3 1 5 P L P A continuación procedemos al cálculo de los rangos. Es sencillo probar que rango ^ Ah = 2, dado que: JK 1 2 0NO det c m = –3 ! 0 1 2 K O det KK 2 1 3 OO = 0 2 1 KK OO L3 1 5 P Y rango ^ A | bh = 2 , ya que: JK 1 2 0NO JK 1 2 1 NO JK 1 1 0NO K O K O K O det KK 2 1 3 OO = 0 det KK 2 1 2 OO = 0 det KK 2 2 3 OO = 0 KK OO KK OO KK OO L3 1 5 P L3 1 3P L3 3 5 P Por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado: rango (A) = 1 < 3 = núm. de incóg- nitas. 37 Capítulo 2. Álgebra lineal, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Para los sistemas de ecuaciones lineales n # n , la condición necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible determinado es que la matriz de coeficientes sea invertible, es decir, no singular (det ^ Ah ! 0 ). Ejemplo Vamos a discutir, en función de los valores de a y b, el siguiente sistema: ax 1 + 2x 3 = 2 _bb bb 5x 1 + 2x 2 = 1 `b b x 1 – 2x 2 + bx 3 = 3 bb a Además, lo resolveremos en el caso de que sea compatible indeterminado. La matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema son: JK a 0 2 NO JK a 0 2 2 NO K O K O A = KK5 2 0OO A | b = KKK5 2 0 1 OOO KK OO K 1 –2 b 3 O L 1 –2 b P L P Vamos a estudiar el rango de la matriz A. Para ello, vemos que existe al menos un menor de orden 2 distinto de cero, de