Производная функции PDF

Лекция. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. 1. Производная функции. Общее правило нахождения производных. 2. Общий смысл производной функции. 3. Таблица производных. Основные свойства производных. 4. Производная сложной функции. 5. Применение производной к...

Лекция. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. 1. Производная функции. Общее правило нахождения производных. 2. Общий смысл производной функции. 3. Таблица производных. Основные свойства производных. 4. Производная сложной функции. 5. Применение производной к исследованию функции на экстремум. 6. Дифференциал функции. Применение к решению задач. Всё , что нас окружает, представляет собой материю. Основным свойством материи при решении задач в физике, биологии, химии возникает вопрос о нахождении скорости протекания процесса. Скорость реакции химической, скорость роста популяции и уже знакомая вам задача о скорости движения тела при уравнении движения f = S(t) Где S- путь,t- время. Все эти задачи можно решить методами высшей математики. Некоторых из них мы рассмотрим. Пусть задана функция у=f(х) Х0- фиксированная точка Х- произвольная точка. уо= f(хо) ∆Х = Х –Х0- приращение аргумента. х0 х Найдем соответствующие точки. у0= f(х0) у= f(х) разность у= у-у0 = f(х)- f(х0) – приращение к функции в точке х0. х= х0+ ∆ х  f(х) = f (х0 + ∆ х) - f(х0). у/ = f/ (х0) = lim f (х) = lim f (х0 + ∆ х) - f(х0) х 0 х х 0 х Производной функцией f(х) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Для нахождения производной необходимо следовать общему правилу: 1. Дать приращение аргументу х + ∆х , 2. Найти соответствующее приращение функции у = ( х + ∆ х) - f(х) 3. Найти отношение у Х 4. Найти предел полученного выражения при х 0. 1  2.ОБЩИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. Производную f/ (Х0) можно трактовать как скорость изменения переменной У относительно переменной Х в точке Х0. В практических условиях и функция и аргумент могут иметь достаточно разнообразную природу: Физика: зависимость S (t) у/=  (t). Объем V(t)- скорость изменения объема Р (t)- давление, Т (t)- температура; - скорость нагревания Биология: р(t) – число особей в популяции в зависимости от времени t. р(t) – скорость роста популяции. Химия : х(t)- масса вещества в зависимости от времени t. х/ (t)- скорость химической реакции и т.д. 3. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ. Для нахождения производных нецелесообразно каждый раз пользоваться вышеизложенным правилом. Достаточно знать производные основных функций; а также основные формулы: f(х) f/(х) 1) (k f(x))/= k  f/(х) у=с 0 2) (u +  )/= u/ + / с0- конст. 3) (u   )/= u/   + u   / у= k  х k 4) (u )/= u/   + u   /  2 у=х2   Х  -1 n X 1 x  x x сos х -sin х sin x cos x tg x 1 cos2x ctg x -1 sin2x 4.ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть задана функция у= f(u), где u =  (х) - такая функция называется сложной. 2  ПРАВИЛО: производная сложной функции у= f [  (х)], которая может быть представлена в виде у= f(u), где u =  (х), равна произведению производной функции у= f(u) по промежуточной переменной и (обозначается у/ u) , в которую подставлено значение u =  (х), и производной функции u =  (х) по независимой переменной Х (обозначается u/х). у/= у/ u  u /х Пример. у = sin (x2+3) u =x2+3 y= sin u y/u= cos u u/x = 2x y/= cоs u  2x= cos (x2+3)  2x 5.ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ. Условия возрастания и убывания функции: 1. Если производная функции f/ (х) > 0 в каждой точке некоторого интервала J, то функция f (х) возрастает на J. 2. Если производная функции f/ (х) < 0 в каждой точке некоторого интервала J, то функция f (х) убывает на J. 3. Точки, в которых f/ (х)=0 или не существует называются критическими. Критическими точками область определения разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Условия существования точек экстремумума: а) Если при переходе через критическую точку х=х0 f/ (х) меняет знак с «+» на «-» , то х=х0- точка максимума. б) Если при переходе через критическую точку х=х0 f/ (х) меняет знак с «-» на «+» , то х=х0- точка минимума. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ. 1. Найти область определения функции у=f (х) 2. Найти производную функции у/= f/ (х) 3. Решить уравнение у/= 0, найти критические точки функции. Отложить их на числовой оси. 4. Установить знак производной в интервалах слева и справа от каждой критической точки и записать промежутки возрастания и убывания функции. 5. Выяснить какие из критических точек являются точками max, а какие min. 30. у= 2х2 – х4 f (-1)=1 1) Dу =R f (0)= 0 2) у/ =4х-4х3 f (1)=1 3) у/=0 4х-4х3=0 3  4х  (1-х2)=0   4х  (1-х)  (1+х)=0 х1=0 х2=1 х3=-1 f/(х) + - + -    f (х) -1 0 1 х = -1- точка max. х = 1- точка max х = 0- точка min. 6.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. Определение : Дифференциалом функции называется произведение производной функции на приращение аргумента dy = y/dx. Приращение аргумента х считают равным dх- дифференциалу аргумента. В задачах используется тот факт что: Правило: Для вычисления дифференциала функции у = f(х) надо знать уравнение функции, заданную точку х0 , в котором вычисляется дифференциал и приращение аргумента ∆ х = dх ( или его произвольно выбрать). 40 Радиус металлического шара R =20 см вследствие увеличения на 0,01 см. На сколько увеличился объем шара. Решение: V = 4 ПR3 – функция V(R) 3 R = 0,01 V-? V  d V = V/ (R)  d R V/ (R) = 4ПR2 V  4П  202  0,01 = 16П см3. 4