Sequence and Series Gujarati PDF

## શ્રેણી અને શ્રેઢી (Sequence and Series) - 10 ને 3 વડે ભાગતા ક્રમિક સોપાનથી મળતા ભાગફળ 3,3.3, 3.33, 3.333..…… વગેરે છે આ ભાગફળ પણ શ્રેણી રચે છે. - શ્રેણીમાં આવતી જુદી જુદી સંખ્યાને પદ કહેવાય. આપેલ શ્રેણીના પદોને a1, a2, a3, a4 ..………. an… વડે દર્શાવાય. - શ્રેણીના n માં પદને an વડે દર્શાવાય છે....

## શ્રેણી અને શ્રેઢી (Sequence and Series) - 10 ને 3 વડે ભાગતા ક્રમિક સોપાનથી મળતા ભાગફળ 3,3.3, 3.33, 3.333..…… વગેરે છે આ ભાગફળ પણ શ્રેણી રચે છે. - શ્રેણીમાં આવતી જુદી જુદી સંખ્યાને પદ કહેવાય. આપેલ શ્રેણીના પદોને a1, a2, a3, a4 ..………. an… વડે દર્શાવાય. - શ્રેણીના n માં પદને an વડે દર્શાવાય છે. - જે શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા નિશ્ચિત ધન પૂર્ણાંક જેટલી હોય તેને સાન્ત શ્રેણી કહેવાય. - જે શ્રેણી સાન્ત નથી તેને અનંત શ્રેણી કહેવાય છે. ### ફીબોનાકી શ્રેણી: - a₁ = a2 = 1 - a3 = a1 + a2 - a4 = a2 + a3 - an = an-2 + an-1 ; n ≥ 2 ને ફીબોનાકી શ્રેણી કહે છે. ### શ્રેઢી: - ધારો કે, a1, a2, a3, an........ આપેલ શ્રેણી છે. તો a1, a2 + a3 + 4 + ..... + an+ ને આપેલ શ્રેણીને સંગત શ્રેણી કહે છે.શ્રેણીના n પદના સરવાળાને S ૢ વડે દર્શાવાય. - શ્રેઢી સુત્ર પરથી શ્રેણી સુત્ર : an = Sn - Sn-1:n≥2 ### EXAMPLES: (1) નીચે વ્યાખ્યાયિત શ્રેણીઓના પ્રથમ ત્રણ પદો લખો. - (i) an = 2n + 5 - (ii) an = n-3 4 (ii) an = n-3 4 (ii) an = n-3 4 (ii) an = n-3 4 (ii) an = n-3 4 (ii) an = n-3 4 (ii) an = n-3 4 ### સમાંતર શ્રેણી (A.P): - જો શ્રેણી a1, a2, 23, an an.........माटे an+1 = an+d, n ∈ N હોય, તો તેને સમાંતર શ્રેણી કહે છે. - a1 એ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ અને d એ સામાન્ય તફાવત દર્શાવે છે. - a, a+d, a + 2d, a + 3d,......સમાંતર શ્રેણીનું n મું પદ an = tn = Tn = a+(n - 1)d d =સામાન્ય તફાવત ### સમાંતર શ્રેઢી : - સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાને સમાંતર શ્રેઢી કહે છે. પ્રથમ પદ = a અને સામાન્ય તફાવત d હોય તેવી n પદ વાળી શ્રેઢી ને sn વડે દર્શાવાય. - Sn = a + (a + (D) + (a + 2d)+......+(a+(n-1)d) - Sn = [2a + (n-1)d] - Sn = [a + I] d = સામાન્ય તફાવત | = અંતિમ પદ ### સમાંતર મધ્યક (A.M) : - a અને b આપેલ સંખ્યા છે આ સંખ્યા વચ્ચે A મુકવામાં આવે કે જેથી a,A,b સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો A ને આપેલ સંખ્યાનો સમાંતર મધ્યક કહે છે. - a,A,b સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો 2A = a + b - ∴ A = a+b 2 ### સમાંતર મધ્યકો : - ધારો કે બે સંખ્યા a અને b વચ્ચે A1, A2, A3 …………… A એવી n સંખ્યાઓ છે. કે જેથી a, A1, A2, A3 An, b સમગુણોત્તર શ્રેણી ને तो A1, A2, A3 An એ સમાંતર મધ્યકો છે. - A₁ = a + nd b-a n+1 ### MCQ CORNER 1. શ્રેણી (n+(-1)"} માં - (A) 1, 3 - (C) 2 10 17 - (B)22 - (D) 0.7, 3.3 Ans : A a1, a2, a3, ...... an સમાંતર શ્રેણીમાં છે.જો તેનો સામાન્ય તાવત d હોય તો sind[coseca₁ + coseca₂ + coseca2. coseca3 + + cosecan-1 cosecan] = - (A) coseca1 cosecan (B) seca1 - secan - (C) cota1 - cotan - (D) tana1 - tanan 6. સમાંતર શ્રેણી માટે જો 4t4 = 7t7, t11 = - (A) -1 - (B) 0 Ans : C - (C) 11 - (D) 44 Ans : B a, b, c, d, e, f સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો d – b = - (A) 2(c-a) (B) 2(f-c) - (C) 2(d-c) (D) 2(f-b) Ans : C → જો શ્રેણી a1, az, ā3, an,....... માં પ્રત્યેક પદ શુન્યેતર an = arn-1 જયાં a = પ્રથમ પદ r = ગુણોત્તર Ans : C - સમગુણોત્તર શ્રેણી a1, a2, ā3, an,....... ना सरवाजा a1+a2+ 3+ + +... ને સમગુણોત્તર શ્રેઢી કહે છે. - n પદોનો સરવાળાને Sn વડે દર્શાવાય. - Sn = a + ar + ar² + + arn-1 - a(1-rn) Sn = જયાં r<1 1-r - a(rn-1) Sn = જયાં r >1 r-1 - જો પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણી a, ar, ar², ar³, માં 12માં અને 21માં પદોનો તફાવત સમગુણોત્તર શ્રેણીનું nમું પદ - (A) 36 - (B) 49 - (C) 45 - (D) 63 Ans : D - બે ધન સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક 2 છે, જો મોટી સંખ્યામાં 1 ઉમેરવામાં આવે તો તેમનો ગુણોત્તર મધ્યક પણ 2 થાય, તો તે બે સંખ્યાઓ ... છે. - (A) 0 - (B) – - (C) 2 - (D) 7-2 2 - સમગુણોત્તર મધ્યક (G.M) : - બે ધન સંખ્યાઓ a અને b નો ગુણોત્તર મધ્યક G હોય તો a, G, b એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. - G2 = ab - G = √ab ### સમગુણોત્તર મધ્યકો : - બે ધન સંખ્યા a અને b વચ્ચે n સમગુણોત્તર મધ્યકો મુકતા, - a, G1, G2, G3...........Gn, b - G₁ = ar" n+1 ### સમાંતર મધ્યક અને ગુણોત્તર મધ્યક વચ્ચેનો સંબંધ : - ધારો કે, A અને G બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b ના સમાંતર અને ગુણોત્તર મધ્યકો છે. - A = a+b G = √ab 2 - A ≥ G (AM ≥ GM) ### EXAMPLES: - (1) સમગુણોત્તર શ્રેણી 5, 25, 125, ........ માટે 10 મું પદ અને n મું પદ શોધો. - (2) સમગુણોત્તર શ્રેણી હું, હું, હું..... નું 20 મું પદ તથા n મું પદ શોધો. - (3) એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 8 मुं ५६ 192 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 છે, તો તેનું 12 મું પદ શોધો: - (4) સમગુણોત્તર શ્રેણી 2, 8, 32, ...... n પદ સુધી માટે કયું ५६ 131072 इथे? - (5) એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ત્રીજું પદ 24 અને છઠ્ઠું પદ 192 છે તો તેનું 10 મું પદ શોધો. - (6) સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમાં, આઠમાં અને અગિયારમાં પદ અનુક્રમે p,q અને s હોય, તો બતાવો § q² = ps. - (7) એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ચોથું પદ બીજા પદના વર્ગ જેટલું છે અને પ્રથમ પદ ૩ છે, તો તેનું 7 મું પદ શોધો. - (8) (A) શ્રેણી 2, 2√2, 4.... નું કેટલામું પદ 128 થાય? - (B) શ્રેણી √3, 3, 3√3.... નું કેટલામું પદ 729 થાય? - (c) 11 3'9'27 નું કેટલામું પદ- થાય? 1 19683 - (9) x ની કઈ કિંમત માટે,x, સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થાય? - (10) સમગુણોત્તર શ્રેણી 1 +3+ +......ના પ્રથમ n પદોનો અને પ્રથમ 5 પદોનો સરવાળો શોધો. - (11) 0.15, 0.015, 0.0015, શોધો. પ્રથમ 20 પદ નો સરવાળો - (12) √7, 21, 3√7,........थम ५६ नो सरवाजो शोधो. - (13) 1, -a, a², -a³, પ્રથમ n પદ નો સરવાળો શોધો. - (14) x³, x5, x², પ્રથમ n પદ નો સરવાળો શોધો. - (15) Ex-1(2 + 3k) ની કિંમત શોધો. - (16) સમગુણોત્તર શ્રેણી 3, ‡, ના પ્રથમ કેટલા પદોનો સરવાળો 3069 થાય? 512 4 - (17) સમગુણોત્તર શ્રેણી 3, 32, 3³, .... ના પ્રથમ કેટલા પદોનો સરવાળો 120 થાય? - (18) આપેલ ધન પદોવાળી સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે a = 729 અને 7 મું પદ 64 હોય, તો S, શોધો. - (19) સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો 13 12 છે અને તેમના ગુણાકાર -1 છે તો સામાન્ય ગુણોત્તર અને તે પદો શોધો. - (20) સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો” અને તેમનો ગુણાકાર 1 છે.તો સામાન્ય ગુણોત્તર અને તે પદો શોધો. - (21) સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ૩ પદોનો સરવાળો 16 છે અને પછીના ત્રણ પદોનો સરવાળો 128 છે. તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને n પદોનો સરવાળો શોધો. - (22) જેના પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો -4 હોય અને પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું હોય એવી સમગુણોત્તર શ્રેણી શોધો. - (23) જો સમગુણોત્તર શ્રેણીના ચોથા, દસમાં અને સોળમાં પદ અનુક્રમે x,y અને z હોય, તો સાબિત કરો કે, x, y, z સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. - (24) श्रेो 2,4,8,16,32 ने 128. 32, 8, 2, ના સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો શોધો. - (25) श्रेो a, ar, ar², 1 2 arn-1 ने A, AR, AR2,......., AR-1 ना संगत होना गुड२ द्वเเ મળતા પદો સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે તેમ સાબિત કરો અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો. - (26) જેમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી 9 જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી 18 જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ શોધો. - (27) સમગુણોત્તર શ્રેણીના p, q, r માં પદો અનુક્રમે a, b, c હોય, તો સાબિત કરો કે, aq-r br-p CP-9 = 1 - (28) સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને n મું પદ b છે. જો n પદોનો ગુણાકાર p હોય, તો સાબિત કરો કે,p² = (ab) - (29) સાબિત કરો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ n પદોનો સરવાળાનો (n+1) પદથી (2n)માં પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર થાય. - (30) જો a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો બતાવો કે, an+bn (37) 3 અને 81 વચ્ચે બે સંખ્યાઓ ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય. (38) જો a અને b નો સમગુણોત્તર મધ્યક an+1+bn+1 होय, તો n નું મુલ્ય શોધો. (39) બે ધન સંખ્યાઓ a અને b ના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 10 અને 8 હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો. (40) જો દ્વિઘાત સમીકરણના બીજોના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 8 અને 5 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવો. (41) બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતા છ ગણો હોય, તો બતાવો કે, સંખ્યાઓના ગુણોત્તર (3 + 2√2): (3 – 2√2) થાય. (42) બે ધન સંખ્યાઓના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકો અનુક્રમે A અને G હોય, તો સાબિત કરો સંખ્યાઓ A ± ્√(A + G)(A – G) - (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)² - (31) 7, 77, 777, 7777, - (32) 8, 88, 888, 8888, સરવાળો શોધો. - (33) એક માણસને 2 માતા-પિતા, 4 દાદા-દાદી, 8 વડદાદા- વડદાદી વગેરે છે તો તેની 10મી પેઢી સુધીના પૂર્વજોની સંખ્યા શોધો. - (34) બેક્ટેરિયાના ઉછેરમાં તેની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે. જો શરૂઆતમાં બેક્ટેરિયાની સંખ્યા 30 હોય, તો 2 કલાક, 4 કલાક અને n માં કલાકે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધો. - (35) બેંકમાં ₹500, 10% ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મુકીએ, તો 10 વર્ષને અંતે કેટલી રકમ મળે? - (36) સમગુણોત્તર શ્રેણી બને તે રીતે 1 અને 256 વચ્ચે ત્રણ સંખ્યાઓ ઉમેરો. - (37) 3 અને 81 વચ્ચે બે સંખ્યાઓ ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય. - (38) જો a અને b નો સમગુણોત્તર મધ્યક an+1+bn+1 होय, તો n નું મુલ્ય શોધો. - (39) બે ધન સંખ્યાઓ a અને b ના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 10 અને 8 હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો. - (40) જો દ્વિઘાત સમીકરણના બીજોના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 8 અને 5 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવો. - (41) બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતા છ ગણો હોય, તો બતાવો કે, સંખ્યાઓના ગુણોત્તર (3 + 2√2): (3 – 2√2) થાય. - (42) બે ધન સંખ્યાઓના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકો અનુક્રમે A અને G હોય, તો સાબિત કરો સંખ્યાઓ A ± ્√(A + G)(A – G)