فصل اول: قوانین مدار PDF

# فصل اول: قوانین مدار ## مدار فشرده: مدار فشرده مداری است که از اجزای فشرده تشکیل شده باشد. اجزای فشرده مانند مقاومت، سلف، خازن، ترانزیستون، دیود و ... به اجزایی از مدار الکتریکی، فشرده گفته می شود که طول فیزیکی آنها به اندازه کافی کوچک باشد. **به چه اندازه؟** **پاسخ:** طول فیزیکی آنها کمتر ا...

# فصل اول: قوانین مدار ## مدار فشرده: مدار فشرده مداری است که از اجزای فشرده تشکیل شده باشد. اجزای فشرده مانند مقاومت، سلف، خازن، ترانزیستون، دیود و ... به اجزایی از مدار الکتریکی، فشرده گفته می شود که طول فیزیکی آنها به اندازه کافی کوچک باشد. **به چه اندازه؟** **پاسخ:** طول فیزیکی آنها کمتر از طول موج متناظر با بالاترین فرکانس مدار باشد * برای نمونه یک مدار الکتریکی با فرکانس 50 هرتز را در نظر بگیرید (شبکه برق ایران): $$ \lambda = \frac{C}{f} = \frac{3 \times 10^8}{50} = 6 \times 10^6 m $$ $$ \lambda = 6000 km $$ یعنی اگر اجزای این مدار دارای طولی بیشتر از 6000 km باشد، این مدار فشرده نیست. * برای نمونه، یک مدار کامپیوتری ممکن است دارای فرکانس 500 مگاهرتز باشه $$ \lambda = \frac{V}{f} = \frac{3 \times 10^8}{500 \times 10^6} = 0.6 m $$ $$ \lambda = 60 cm $$ یعنی اگر اجرای این مدار دارای طولی بیشتر از 60 سانتی متر باشد، این مدار فشرده نیست که ممکنه است این گونه نیز باشد. ## گره و شاخه * در یک مدار الکتریکی فشرده، هر عنصر دو سر بعنوان یک شاخه در نظر گرفته شده و دو سر هر شاخه را گره نامگذاری خواهیم کرد. * برای نمونه در یک مدار الکتریکی: یک مدار با 4 گره و 5 شاخه * در تعیین گره ها دقت شود که بین هر دو گره حتماً باید یک عنصر دو سر موجود باشد. ## قوانین مدار تمامی قوانین مدار که در ادامه بحث خواهند شد (قانون KCL، قانون KVL و قضیه تلگان) فقط برای مدارهای فشرده صادق هسته در این درس فرض می شود که مدارهای الکتریکی مورد بحث، همگی فشرده هستند. ## قانون جریان کیرشهف (قانون KCL) در یک مدار الکتریکی فشرده و در هر لحظه از زمان ، جمع جبری جریان همه شاخه های متصل به یک گره برابر صفر است. نوشتن معادله KCL به گونه ای است که جریانهای هم جهت با جهت قرار دادی، با علامت مثبت نشان داده شده و جریان های مخالف با جهت قرار دادی، با علامت منفی در نظر گرفته می شوند. <br> ### مثال 1: معادلات KCL در گره ها در مدار مقابل، را بنویسید (با فرض جهت قرار دادنی خارج شونده) <br> ### حل: ①: i₁ + i₄ − i₃ = 0 ①: −i₁ + i₂ + i_y = 0 ③: + i₁ + i₅ − i₆ − i₄ = 0 ④: −i₂ − i₃ = 0 <br> ### توجه: **تعداد معادلات مستقل قانون KCL برابر است با تعداد گره منهای یک یعنی اینکه** در مدار فوق، نوشتن KCL فقط در سه گره کفایت می کرد معادله KCL در هر چهار گره لزومی نداشت. زیرا با ترکیب معادله KCL و نوشتن سر معادله KCL ، معادله چهارم بدست می آید. $$ i_3 - i_2 = i_4 $$ $$ \implies i_4 - i_2 - i_5 - i_6 = 0 $$ $$ (i_4 - i_6 = i_3 - i_5 ) $$ $$ \implies i_4 - i_6 = i_3 $$ که همان معادله i₃ می باشد. ## قانون ولتاژ کیرشهف (قانون KVL) در یک مدار الکتریکی فشرده و در هر لحظه از زمانه، جمع جبری ولتاژ همه شاخه های عضو یک حلقه برابر صفر است. نوشتن معادله KVL به گونه ای است که ولتاژهای موافق با جهت قرار دادی، با علامت مثبت نشان داده شده و ولتاژهای مخالف با جهت قرار دادی، با علامت منفی در نظر گرفته می شوند. <br> ### &#x20; مثال 2: در مدار مقابل ، معادلات KVL در حلقه ها را بنویسید ( با فرض جهت قراردادی ساعتگرد). <br> ### حل: (حلقه ی سمت چپ): +v₁ − v₂ + v₃ = 0 (حلقه ی سمت راست): −v₁ − v₄ + v₅ = 0 (حلقه ی محیط مدار): +v₁ − v₄ − v₃ + v₂ = 0 <br> ### مفهوم مش: پیش حلقه ای است که شاخه ای درون آن نباشد. در مثال فوق، حلقه های 1 و 2 مش هستند، ولی حلقه 3 مش نیست. یا برای نمونه در مدار مقابل ، حلقه های 1 و 2 و 3 مش هستند ولی شاید حلقه 4 مش نیست <br> ### توجه: **تعداد معادلات مستقل خطی KVL برابر است با تعداد مشها** یعنی اینکه برای نمونه در مدار مثال قبل نوشتن KVL فقط در مشها (حلقه های 1 و 2) کفایت می کرد و نوشتن KUL در هر سه حلقه لزومی نداشت زیرا با ترکیب معادلات KVL اول و دوم معادله سوم بدست می آید. <br> ## معادله KVL بین گره ها: * در یک شاخه مطابق شکل مقابل ، رابطه ولتاژ شاخه با ولتاژ گره ها بصورت زیر می باشد: (توجه: معمولاً ولتاژ گره ها را با **V** نشان می دهند) <br> * در برخی از موارد نیاز است که معادله KVL بین دو گره از مدار نوشته شود و در یک حلقه نوشته نگردد. آنگاه از روابط و اصول زیر می توان استفاده کرد: $$ V_{AB} = V_A - V_B \implies V_A = V_B + V_{AB} $$ <br> ## توان الکتریکی یک عنصر: در یک عنصر با جهت زیر بدست می آید: **توان لحظه ای معرفی از رابطه** $$ P(t) = v(t) i(t) $$ جریانی که از سر مثبت ولتاژ وارد می شود. <br> * اگر جریان از سر مثبت عنصر وارد شود یعنی چه؟ $$ W(t) = i(t) \times V(t) $$ <br> * در صورتی که جریان از سر منفی عنصر وارد شود یعنی چه؟ $$ W(t) = - i(t) \times - V(t) $$ <br> * اگر جریان از سر متقی عنصر وارد شده، آنگاه توان Pt ( = des ict توان تولیدی عنصر را نشان می دهد. <br> ## قضیه تلگان: قضیه تلگان بیان می دارد که : در یک مدار فشرده و در هر لحظه از زمان ، مجموعی توان معرفی همه عناصر مدار برابر صفر است. <br> یعنی اگر جهت همه عناصر بصورت قرار دادی + باشد و توان مصرفی همه آنها محاسبه گردد، آنگاه برخی از آنها مثبت شده (یعنی مصرف کننده و و برخی دیگر منفی می شوند (یعنی تولید کننده خواهند بود) و مجموعه همه اینه اعداد بت و منفی صفر می شود. <br> ### بیان دیگر در هر لحظه از زمانه، برخی از عناصر مدار مصرف کننده توانه بوده و برخی دیگر تولید کننده توانسته هستند. در هر لحفله از زمانه، مجموعه توان معرفی مدار با مجموعی توان تولیدی مدار برابر اشه قضیه نگانه، مرتبط با قانونه بقای انرژی می باشد. * شرط برقراری قضیه تلگانے، برقراری KVL و kch در مدارات. * یعنی حفیه تانگاشته در تمامی مدارهای فشرده بر قرار است و هیچ ارتباطی با ماهیت اجزای مدار ندارد. <br> ### مثال 4: مدار مقابل را در نظر بگیرید. <br> **الف) اگر i2 − i1 = 2 ، i4 = 1 و i3 = 16 باشد، مطلوب است بقیه جریانه شاخه ها ؟** **ب) اگر i1 = 1 و i2 = -1 و i4 = باشد، مطلوب است بقیه ولتاژ شاخه ها ؟** **ج) توان همه عناصر را محاسبه کرده و نوع تولیدی یا معرفی آنها را مشخص نماید. در قسمت قضیه نگانه را بررسی نمائید.** <br> ### حل: **الف) با نوشته معادلات KCL در گره ها، جریان های جمهول را می یابیم (ثبت خارج شونده)** KCL @ > + i₅ − i₁ = 0 ⇒ i₅ = i₁ ⇒ _ i₅_ = 2 A KCL @ > −i₅ − i₄ − i₆ = 0 ⇒ i₆ = −i₅ − i₄ = −2 − 1 ⇒ _i₆_ = −3 A KCL © > i₄ + i₂ − i₃ = 0 ⇒ i₃ = i₄ + i₂ = 1 + (−2) ⇒ _i₃_ = −1 A **(&#x20;ج) محاسبه توان عناصره** ⇒ P₁ = i₁² * R₁ = 2² * 4 = 16 وات مصرفی ⇒ P₂ = i₂² * R₂ = 1 * 1 = 1 وات معرفی می کند ⇒ P₃ = i₃² * R₃ = 1² * 7 = 7 وات تولید می کند ⇒ P₄ = i₄² * R₄ = 1² * 8 = 8 وات مصرف می کند ⇒ P₅ = i₅² * R₅ = 2² * (−1) = −4 وات مصرف می کند ⇒ P₆ = i₆² * R₆ = (−3)² * 1 = 9 وات تولید می کند **ج) در مجموع توان تولیدی هزار برابراث 15 وات حجموعی توان مصرفی مدار برابرات با: 14 وات ** ملا مشاهده می شود که جموعی توان تولید شده در مدار با مجموع توانه مصرف شده در مدار برابر است یعنی قضیه تلاشم برقرار می باشد. این موضوعی ارتباطی با ماهیت اجزای مدار ندارد و برقراری KVL و Kel ضافه برقراری این حقیر می باشده <br> ## رابطه توان و انرژی: در مباحث فیزیکی، رابطه بینه توان لحظه ای و انرژی لحظه ای بصورت زیر می باشد: $$ P(t) = \frac{dW(t)}{dt} $$ توان خلال $$ W(t_i , t_r) = \int_{t_i}^{t_r} P(t) dt $$ انرژی مصرفی از لحظه ti تا tr <br> $$ W(t_i , t_r) = \int_{t_i}^{t_r} v(t) i(t) dt $$ انرژی الکتریکی در یک بازه <br> همچنین توان متوسط در بازه ti تا tf بصورت زیر می باشد: $$ P_{ave} = \frac{W(t_i , t_r)}{\Delta t} = \frac{W(t_i , t_r)}{t_r - t_i} $$ توان متوسط <br> ### مثال 5: در یک مدار A = 8 و R = 4 و i (t) = sin(t) و v(t) = sin(t + π/2) می باشد. مطلوب است انرژی و توان متوسط این مدار در یک دوره تناوب ولتاژ و جریانی؟ <br> ### حل: $$ P (t) = v(t) \times i(t) = 8 \times sin(t) \times sin(t + \frac{\pi}{2}) $$ توان لحظه ای <br> $$ W(t_i , t_r) = \int_{0}^{T} P(t) dt = \int_{0}^{T} 8 ~sin(t) ~sin(t + \frac{\pi}{2}) dt = 8\int_{0}^{T} ~sin(t) ~cos(t) dt $$ انرژی مصرفی در یک دوره تناوب <br> $$ W(t_i , t_r) = 8\int_{0}^{T} ~sin(t) ~cos(t) dt = 8\int_{0}^{T} ~cos(t) ~sin(t) dt = 4\int_{0}^{T} ~sin(2t) dt$$ $$ W(t_i , t_r) = 4\int_{0}^{T} ~sin(2t) dt = \frac{4}{-2} [cos(2t)]_{0}^{T}$$ <br> $$ W(t_i , t_r) = -2 [cos(2t)]_{0}^{T} = -2 [cos(2\pi) - cos(0)] = -2(1-1) = 0 $$ <br> $$ P_{ave} = \frac{W(t_i , t_r)}{\Delta t} = \frac{0 }{\Delta t} = 0 $$ توان متوسط (ثابت) <br> ### **نکته:** * در مدارهای AC سینوسی با v(t) = Vm cos(wt) و i(t) = Im cos(wt − θ)، توان متوسط در یک دوره تناوب برابرات با: (به جای هر دو کسینوس می توان سینوی قرار داد) $$ P_{ave}=\frac{1}{2}~ Vm Im cos(θ) $$ <br> * در مثال خود: $$ Vm = 8 , Im = 1, θ = − \frac{\pi}{2} $$ $$ ⇒ P_{ave} = \frac{1}{2} \times 8 \times 1 \times cos(- \frac{\pi}{2}) $$ $$ = 0 $$ <br>