Matematická analýza 1 - Přednáška (PDF)

Matematická analýza 1 Přednáška pro zimní semestr 2024/25 Martin Křepela Katedra matematiky FEL ČVUT [email protected] Aktuální verze: 7. ledna 2025 ”Nevěřte všemu, co si přečtete na internetu.” ABRAHAM LINCOL...

Matematická analýza 1 Přednáška pro zimní semestr 2024/25 Martin Křepela Katedra matematiky FEL ČVUT [email protected] Aktuální verze: 7. ledna 2025 ”Nevěřte všemu, co si přečtete na internetu.” ABRAHAM LINCOLN Přednáška MA1 Obsah, smysl a prostředky Co je matematická analýza? „analýza“ je jen název matematika spojitého světa práce s nekonečnem limity, derivace a integrály 1/595 Použití matematické analýzy popis procesů založených na spojité změně, diferenciální rovnice fyzika (nejstarší motivace) optimalizace (hledání maxima, nejlepšího řešení) aproximace (hledání přibližné hodnoty) matematické modelování 2/595 Organizace předmětu Přednáška (výklad teorie a početních postupů) úterý 14:30–16:00, posluchárna 209 středa 16:15–17:45, posluchárna 256 účast nepovinná, ale doporučená Cvičení (počítání a dokazování) viz osobní rozvrh účast povinná Proseminář (další procvičení, rozšiřující informace) středa 18:00–19:30, posluchárna 256 (týdny 1–8) úterý 16:15–17:45, posluchárna 209 (týdny 9–14) účast nepovinná, samostatný předmět (2 kredity) 3/595 Literatura Hlavní zdroj (skripta J. Tkadlece): [T] J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. ČVUT, Praha, 2011 Pomocné zdroje: Skripta čtyř jezdců z Apokalypsy (MFF UK, hlubší teorie): [4H] L. Pick, S. Hencl, J. Spurný a M. Zelený: Matematická analýza 1 www2.karlin.mff.cuni.cz/~pick/analyza.pdf Klasické učebnice matematické analýzy (velmi detailní, starší přístup): [J] V. Jarník: Diferenciální počet I, Integrální počet I. dml.cz/handle/10338.dmlcz/401980 dml.cz/handle/10338.dmlcz/402028 Interaktivní Math Tutor: [Tut] P. Habala, Math Tutor math.fel.cvut.cz/mt/index.htm 4/595 Literatura Učebnice kalkulu (poměrně odlišný výklad): [S] M. Spivak: Calculus, 4th Ed. Publish or Perish, Inc., 2008 [SCW] J. Stewart, D. K. Clegg, S. Watson: Single Variable Calculus, 9th Ed. Cen- gage Learning 2020 [Th] J. Haas, C. Heil, M. D. Weir, P. Bogacki: Thomas’ Calculus, 15th Ed. Pearson 2023 5/595 Literatura Skripta o řadách: [Pr] L. Průcha, Řady. ČVUT, Praha, 2005 Sbírka řešených příkladů: [ZH] P. Zemánek, P. Hasil: Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I is.muni.cz/do/sci/UMS/el/analyza/pdf/SPzMAI.pdf Sbírka z pekel (neřešené příklady s velmi variabilní obtížností): [D] B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, 2003 Různé zajímavější problémy z matematické analýzy: [KN] W. J. Kaczor, M. T. Nowak: Problems in Mathematical Analysis I, II, III, AMS 2000, 2001, 2003 6/595 Literatura Klasika o tom, jak řešit matematické problémy: [Po] G. Pólya: How To Solve It, 1st Ed. Princeton University Press, 1945 Doplňkový text J. Velebila o matematické logice: [V] J. Velebil: Velmi jemný úvod do matematické logiky math.fel.cvut.cz/en/people/velebil/files/y01mlo/logika.pdf Pozoruhodný způsob kontroly matematických důkazů počítačem: www.ma.imperial.ac.uk/~buzzard/xena/natural_number_game 7/595 Hodnocení (1) Zápočet ze cvičení aktivita na cvičení, domácí úkoly (2) Písemná část zkoušky početní i teoretické úlohy (3) Ústní část zkoušky klíčový pojem, teoretické úlohy Pro absolvování předmětu nutno splnit bod (3). Splnění bodu (n) je nutnou podmínkou pro splnění bodu (n + 1), kde n ∈ {1, 2}. 8/595 Základní pojmy Elementární výroková logika  Definice 1.1 (výrok) Výrok je takové tvrzení (oznamovací věta), o kterém má smysl říci, jestli je pravdivé (platí) nebo nepravdivé (neplatí). je výrok není výrok „Číslo 6 je sudé.“ „Bang!“ „Brno leží v Čechách.“ „Kéž by už bylo 16:00.“ „Číslo π π je iracionální.“ „Teď lžu.“ Z výroků lze vytvářet složitější výroky pomocí logických operací. 9/595 Definice 1.2 (negace) Nechť A je výrok. Negací výroku A je výrok: „Neplatí A.“ Negaci A značíme symbolem ¬A. 10/595 Definice 1.3 (konjunkce) Konjunkcí výroků A a B je výrok: „Platí A a B.“ Konjunkci značíme symboly A&B nebo A ∧ B. 11/595  Definice 1.4 (disjunkce) Disjunkcí výroků A a B je výrok: „Platí A nebo platí B.“ Disjunkci značíme symbolem A ∨ B. Pozor! Disjunkce neznamená vylučovací vztah „buď, a nebo“ („XOR“). Výrok A ∨ B je pravdivý i v případě, že platí A & B. 12/595  Definice 1.5 (implikace) Implikací je výrok: „Jestliže platí A, potom platí B.“ Tento výrok značíme symbolem A ⇒ B. Výrok A v tomto kontextu nazýváme přepokladem (premisou), výrok B závěrem. Alternativní formulace: „Výrok A implikuje výrok B.“ „Z A plyne B“. „Nechť platí A. Potom platí B.“ „A je postačující podmínkou pro B.“ „B je nutnou podmínkou pro A.“ 13/595 Pozor! Výrok A ⇒ B platí automaticky v případě, že výrok A je nepravdivý. Napří- klad: „Jestliže je Praha hlavním městem Tádžikistánu, potom Slunce obíhá okolo Země,“ je pravdivým výrokem. Z tohoto výroku ovšem nevyplývá, že Slunce obíhá okolo Země. Ovšem ani to, že okolo ní neobíhá! 14/595  Definice 1.6 (ekvivalence) Ekvivalencí rozumíme výrok: „Výrok A platí právě tehdy, když platí výrok B.“ Tento výrok značíme symbolem A ⇔ B. Alternativní formulace: „Výrok A platí tehdy a jen tehdy, platí-li výrok B.“ „Výrok A je ekvivalentní výroku B“. „A je nutnou a postačující podmínkou pro B.“ 15/595 Pravdivostní tabulka pro základní typy výroků 1 = pravda, 0 = nepravda A B ¬A A & B A ∨ B A ⇒ B A⇔B 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 „OR 6= XOR“ 1 „nepravda ⇒ cokoli“ 16/595 První věta Věta 1.7 (vlastnosti negace, konjunkce a disjunkce) Nechť A, B, C jsou výroky s libovolnou pravdivostí. Potom platí násle- dující výroky: (i) ¬(¬A) ⇔ A; (ii) (A & B) ⇔ (B & A); (iii) ((A & B) & C) ⇔ (A & (B & C)); (iv) (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A); (v) ((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C)); (vi) (A ∨ (B & C) ⇔ ((A ∨ B) & (A ∨ C)); (vii) (A & (B ∨ C) ⇔ ((A & B) ∨ (A & C)). Tuto a další podobné věty lze dokázat pomocí tabulky pravdivostních hod- not (viz skripta [4H]). 17/595 Další užitečné vlastnosti logických operací Věta 1.8 (negace konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence) Nechť A, B jsou výroky s libovolnou pravdivostí. Potom platí následující výroky: (i) ¬(A & B) ⇔ (¬A ∨ ¬B); (ii) ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A & ¬B); (iii) ¬(A ⇒ B) ⇔ (A & ¬B); (iv) ¬(A ⇔ B) ⇔ (A ⇔ ¬B). 18/595 Další užitečné vlastnosti logických operací Věta 1.9 (vztah implikace a ekvivalence) Nechť A, B jsou výroky s libovolnou pravdivostí. Potom platí: (A ⇔ B) ⇔ ((A ⇒ B) & (B ⇒ A)). Věta 1.10 (ekvivalentní vyjádření implikací) Nechť A, B, C jsou výroky s libovolnou pravdivostí. Potom platí: (i) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A); (ii) (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B); (iii) ((A ∨ B) ⇒ C) ⇔ ((A ⇒ C) & (B ⇒ C)). 19/595 Základní pojmy Množiny Množiny Definice 1.11 (množina) Množinou rozumíme jakýkoli souhrn navzájem různých objektů (prvků) do jednoho celku. Skutečnost, že objekt x je prvkem mno- žiny M, značíme x ∈ M. Naopak symbol x∈ /M znamená, že objekt m není prvkem množiny M. Množinu, která neobsahuje žádný prvek, nazýváme prázdnou množi- nou a značíme symbolem ∅. Toto je „naivní definice“ množiny. Lze ji nahradit korektní formální definicí, to ale dalece přesahuje náš zájem v této přednášce. 20/595 Zkrácený zápis více prvků množiny Nechť M je množina. Namísto x1 ∈ M, x2 ∈ M píšeme obvykle zkráceně x1 , x2 ∈ M. Analogicky postupujeme u více prvků stejné množiny. Jsou-li M1 , M2 množiny, můžeme namísto x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 psát (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 , viz Definici 1.19 kartézského součinu později. Analogie pro větší počet mno- žin je opět možná. 21/595 Podmnožiny Definice 1.12 (podmnožina, inkluze) Nechť M, P jsou množiny. (i) Řekneme, že P je podmnožinou M, a značíme P ⊂ M, je-li každý prvek množiny P zároveň prvkem množiny M. (ii) Řekneme, že množiny P a M jsou si rovny, a píšeme P = M, platí-li zároveň P ⊂ M a M ⊂ P. V opačném případě píšeme P 6= M. (iii) Řekneme, že P je vlastní podmnožinou M, a značíme P ⊊ M, pokud platí zároveň P ⊂ M a P 6= M. 22/595 Podmnožiny Značení: Vztah P ⊂ M označujeme za neostrou inkluzi. Někdy se v tomto kontextu místo „⊂“ používá „⊆“, my ale druhý symbol používat nebudeme. Vztah P ⊊ M označujeme za ostrou inkluzi. 23/595 Zápis množin Nové množiny často definujeme jako množiny všech prvků nějaké větší mno- žiny, které mají danou vlastnost. Například předpis M := {n ∈ N | ∃ k ∈ N : n = k2 } název množinová množiny závorka množinová množinový závorka oddělovač definiční rovnítko vlastnost tvar prvku prvku definuje množinu všech druhých mocnin přirozených čísel. Kratší zápis: M := {k2 | k ∈ N} Místo oddělovače | se používá také středník (;), případně dvojtečka (:). 24/595 Množinové operace Definice 1.13 (sjednocení množin) Nechť M, N jsou množiny. (i) Sjednocením množin M a N je množina M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N}. (ii) Průnikem množin M a N je množina M ∩ N := {x | x ∈ M & x ∈ N}. Řekneme, že M a N jsou disjunktní, pokud platí M ∩ N = ∅. (iii) Rozdílem množin M a N v tomto pořadí je množina M \ N := {x | x ∈ M & x ∈ / N}. 25/595 Množinové operace Pozor! Pro zápis množinového rozdílu používáme výhradně symbol M \ N, nikoli „M − N“. Druhý symbol má jiný význam! Pozorování. Operace sjednocení a průniku jsou komutativní, platí totiž M ∪ N = N ∪ M, M ∩ N = N ∩ M. Operace rozdílu není komutativní, obecně může nastat M \ N 6= N \ M. V jakém případě zde jedině nastává rovnost? 26/595 Přirozená, celá a racionální čísla Zavedeme nyní „intuitivně“ základní číselné obory. Přesnější (ale méně intuitivní) definice uvidíme zanedlouho. 27/595 Přirozená čísla Přirozenými čísly rozumíme čísla 1, 2, 3, 4 atd. Množinu všech přirozených čísel značíme N. Lze tedy psát N = {1, 2, 3,...}. Konvence. Nulu v této přednášce nepovažujeme za přirozené číslo. Je-li třeba, lze zna- čit N0 := N ∪ {0}. 28/595 Přirozená čísla Množina N je uzavřená na operaci sčítání, což znamená: m, n ∈ N ⇒ m + n ∈ N. Přirozená čísla ale neobsahují neutrální prvek vůči sčítání (nulu) a své in- verzní prvky vůči sčítání (záporná celá čísla). 29/595 Celá čísla Množina celých čísel vznikne tak, že ji doplníme neutrálním prvkem vůči sčítání (0) a inverzním prvkem vůči sčítání pro každé přirozené číslo. Zna- číme ji Z. Platí tedy Z = {1, 2, 3,...} ∪ {0, −1, −2, −3,...}. 30/595 Racionální čísla Množinu racionálních čísel značíme Q a definujeme jako   p Q := p ∈ Z, q ∈ N. q Platí N ⊂ Z ⊂ Q. Racionální čísla jsou uzavřená na operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým prvkem. 31/595 Konec 1. přednášky 24. 9. 2024 32/595 Parita celých čísel Uveďme ještě tyto notoricky známé pojmy: Definice 1.14 (sudá a lichá čísla) Číslo z ∈ Z se nazve (i) sudé, pokud existuje k ∈ Z takové, že platí z = 2k; (ii) liché, pokud existuje k ∈ Z takové, že platí z = 2k + 1; Tvrzení 1.15 (parita celých čísel) Každé celé číslo je buď sudé, nebo liché. Důkaz tohoto tvrzení je cvičením na matematickou indukci. 33/595 Základní pojmy Kvantifikátory Výroková forma Definice 1.16 (výroková forma) Nechť M1 ,... , Mn jsou množiny. Výroková forma V(x1 ,... , xn ) je výraz, jenž se stane výrokem, dosadíme-li za proměnné x1 ,... , xn po řadě konkrétní prvky z množin M1 ,... , Mn. Značíme také V(x1 ,... , xn ), x1 ∈ M1 ,... , xn ∈ Mn , abychom specifikovali, jaké proměnné připadají v úvahu. „Číslo x je sudé, x ∈ N“, je výroková forma. „Číslo 4 je sudé“ je výrok. 34/595 Kvantifikátory Definice 1.17 (obecný a existenční kvantifikátor) Nechť M je množina a V(x), x ∈ M je výroková forma. (i) Výrok „Pro každé x ∈ M platí V(x)“ symbolicky zapisujeme ∀ x ∈ M : V(x). (ii) Výrok „Existuje x ∈ M takové, že platí V(x),“ symbolicky zapisu- jeme ∃ x ∈ M : V(x). (iii) Výrok „Existuje právě jedno x ∈ M takové, že platí V(x),“ symbo- licky zapisujeme ∃! x ∈ M : V(x). Symboly ∀, ∃ nazýváme obecný, resp. existenční kvantifikátor. 35/595 Řetězení kvantifikátorů Příklad. Nechť výroková forma V(x, y) znamená: x + y je sudé číslo. Které z těchto výroků jsou pravdivé? (i) ∀ x ∈ Z ∀ y ∈ Z : V(x, y). 36/595 Řetězení kvantifikátorů Příklad. Nechť výroková forma V(x, y) znamená: x + y je sudé číslo. Které z těchto výroků jsou pravdivé? (i) ∀ x ∈ Z ∀ y ∈ Z : V(x, y). (ii) ∃ x ∈ Z ∀ y ∈ Z : V(x, y). 36/595 Řetězení kvantifikátorů Příklad. Nechť výroková forma V(x, y) znamená: x + y je sudé číslo. Které z těchto výroků jsou pravdivé? (i) ∀ x ∈ Z ∀ y ∈ Z : V(x, y). (ii) ∃ x ∈ Z ∀ y ∈ Z : V(x, y). (iii) ∀ x ∈ Z ∃ y ∈ Z : V(x, y). 36/595 Řetězení kvantifikátorů Příklad. Nechť výroková forma V(x, y) znamená: x + y je sudé číslo. Které z těchto výroků jsou pravdivé? (i) ∀ x ∈ Z ∀ y ∈ Z : V(x, y). (ii) ∃ x ∈ Z ∀ y ∈ Z : V(x, y). (iii) ∀ x ∈ Z ∃ y ∈ Z : V(x, y). (iv) ∃ x ∈ Z ∃ y ∈ Z : V(x, y). 36/595 Pořadí stejných kvantifikátorů Obsahuje-li výrok/výroková forma více kvantifikátorů stejného typu za se- bou, můžeme pořadí jimi kvantifikovaných výrazů libovolně zaměnit. Např. výrok ∀ x ∈ M1 ∀ y ∈ M2 : V(x, y) má stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ∀ y ∈ M2 ∀ x ∈ M1 : V(x, y) a oba lze zkráceně zapsat jako ∀ x ∈ M1 , y ∈ M2 : V(x, y). 37/595 Pořadí různých kvantifikátorů Pozor! Jsou-li kvantifikátory různého typu, nelze pořadí zaměnit bez změny vý- znamu výroku/výrokové formy! 38/595 Pořadí různých kvantifikátorů Pozor! Jsou-li kvantifikátory různého typu, nelze pořadí zaměnit bez změny vý- znamu výroku/výrokové formy! Příklad (o Čingischánovi): Nechť D je množina všech dětí a M množina všech mužů. Uvažujme výroko- vou formu V(m, d), m ∈ M, d ∈ D s významem „Muž m je otcem dítěte d“. Co říkají výroky ∀ d ∈ D ∃ m ∈ M : V(m, d), ∃ m ∈ M ∀ d ∈ D : V(m, d)? 38/595 Další zkrácené značení Nechť M je množina a U, V jsou výrokové formy s proměnnou x ∈ M. Potom výrok ∀ x ∈ M : (U(x) ⇒ V(x)) zapisujeme zkráceně jako ∀ x ∈ M, U(x) : V(x). Příklad. Velká Fermatova věta je formulována jako ∀ x, y, z, n ∈ N, n > 2 : xn + yn 6= zn. Delší zápis je: ∀ x, y, z, n ∈ N : ((n > 2) ⇒ (xn + yn 6= zn )). 39/595 Zápis neexistence Otázka: Jak zapsat výrok: Neexistuje žádné x ∈ M, pro které platí V(x)? (1) 40/595 Zápis neexistence Otázka: Jak zapsat výrok: Neexistuje žádné x ∈ M, pro které platí V(x)? (1) Nepíše se nic jako „∄“, není to potřeba. 40/595 Zápis neexistence Otázka: Jak zapsat výrok: Neexistuje žádné x ∈ M, pro které platí V(x)? (1) Nepíše se nic jako „∄“, není to potřeba. Výrok (1) znamená toto: ¬(∃ x ∈ M : V(x)), 40/595 Zápis neexistence Otázka: Jak zapsat výrok: Neexistuje žádné x ∈ M, pro které platí V(x)? (1) Nepíše se nic jako „∄“, není to potřeba. Výrok (1) znamená toto: ¬(∃ x ∈ M : V(x)), tudíž se zapíše takto: ∀ x ∈ M : ¬V(x). 40/595 Základní pojmy Matematická teorie Matematická teorie Matematická teorie se skládá z definic, axiomů, vět a jejich důkazů. 41/595 Definice Definice jsou pojmenování/označení různých objektů nebo vlastností. Definice samotné nijak „nedokazujeme“, to by nedávalo smysl. Záleží nám ale na tom, aby definice byly tzv. korektní, tedy aby neobsaho- valy nějaký vnitřní spor, např. nedefinovaly objekt, který nemůže existovat. 42/595 Axiom Axiomy jsou tvrzení, která přijímáme bez důkazu jako pravdu. Matematika pracuje se sadami axiomů, ze kterých logicky vyvozuje všechny ostatní vý- sledky. Axiomy zpravidla popisují „samozřejmé skutečnosti“, např. takový axiom může říkat: „Každý prvek (objekt) je roven sám sobě.“ 43/595 Věta Věty jsou hlavním obsahem matematiky. Často se jedná o výroky ve tvaru implikace, tedy: „Pokud platí tento předpoklad, potom platí tento závěr.“ Předpoklady jsou ve větách zásadní, bez jejich splnění nemusí závěr platit (a zpravidla neplatí). Věty mají i svůj praktický význam, často dávají konkrétní návod, jak „něco spočítat“. Slovem lemma obvykle označujeme pomocné tvrzení, které se využívá k dů- kazu nějakého většího výsledku (věty). 44/595 Matematická teorie Součástí matematických vět jsou i jejich důkazy. Důkazem je logické vyvo- zení závěru z předpokladů pomocí axiomů nebo dříve dokázaných tvrzení. 45/595 Základní pojmy Základní typy důkazů Základní typy důkazů Matematická tvrzení mají často podobu implikace P ⇒ Z, kde P je nějaký předpoklad a Z nějaký závěr. Například tvrzení typu „pro každý prvek x množiny M platí Z(x)“ je totéž, co implikace „x je prvkem množiny M ⇒ platí Z(x)“. 46/595 Přímý důkaz Přímý důkaz tvrzení P ⇒ Z: Předpokládáme P, vyvozujeme logický řetězec vhodných dílčích kroků: P ⇒ D1 ⇒ D2 ⇒ · · · ⇒ Dn ⇒ Z. Tip – „postup pozpátku“: Známe vhodné tvrzení C takové, že C ⇒ Z? Možná je jednodušší dokázat P ⇒ C. 47/595 Přímý důkaz Jak se přímo dokazují tvrzení typu ∀ x ∈ M : V(x)? Volíme libovolný prvek x ∈ M, dále s ním pracujeme jako s „konstantou“, vyvozujeme V(x). 48/595 Přímý důkaz Jak se přímo dokazují tvrzení typu ∀ x ∈ M : V(x)? Volíme libovolný prvek x ∈ M, dále s ním pracujeme jako s „konstantou“, vyvozujeme V(x). Příklad. Dokažte přímo, že pro každé přirozené n platí: n je sudé ⇒ n2 je sudé. 48/595 Přímý důkaz Jak se přímo dokazují tvrzení typu ∃ x ∈ M : V(x)? 49/595 Přímý důkaz Jak se přímo dokazují tvrzení typu ∃ x ∈ M : V(x)? Konstruktivní důkaz: Najdeme konkrétní případ prvku x ∈ M, který splňuje V(x). 49/595 Přímý důkaz Jak se přímo dokazují tvrzení typu ∃ x ∈ M : V(x)? Konstruktivní důkaz: Najdeme konkrétní případ prvku x ∈ M, který splňuje V(x). Nekonstruktivní (existenční) důkaz: Existenci takového x ∈ M vyvodíme bez konkrétního příkladu. 49/595 Přímý důkaz Jak se přímo dokazují tvrzení typu ∃ x ∈ M : V(x)? Konstruktivní důkaz: Najdeme konkrétní případ prvku x ∈ M, který splňuje V(x). Nekonstruktivní (existenční) důkaz: Existenci takového x ∈ M vyvodíme bez konkrétního příkladu. Příklad. Dokažte, že v této posluchárně jsou dvě osoby, které mají narozeniny ve stejném týdnu. 49/595 Nepřímý důkaz Nepřímý důkaz tvrzení P ⇒ Z: Použijeme ekvivalenci (viz V 1.10(i)): (P ⇒ Z) ⇔ (¬Z ⇒ ¬P). Dokázat výrok vpravo může být snazší než dokázat výrok vlevo. 50/595 Nepřímý důkaz Nepřímý důkaz tvrzení P ⇒ Z: Použijeme ekvivalenci (viz V 1.10(i)): (P ⇒ Z) ⇔ (¬Z ⇒ ¬P). Dokázat výrok vpravo může být snazší než dokázat výrok vlevo. Příklad. Dokažte nepřímo, že pro každé přirozené n platí: n2 je sudé ⇒ n je sudé. 50/595 Důkaz sporem Důkaz sporem tvrzení P ⇒ Z: Využíváme ekvivalenci (viz V 1.8(i), V 1.10(ii)): (P ⇒ Z) ⇔ ¬(P & ¬Z). Předpokládáme tedy P & ¬Z a odtud se snažíme vyvodit nepravdivý výrok (spor). Pokud se to podaří, dokázali jsme ¬(P & ¬Z), a tudíž i P ⇒ Z. 51/595 Důkaz sporem Důkaz sporem tvrzení P ⇒ Z: Využíváme ekvivalenci (viz V 1.8(i), V 1.10(ii)): (P ⇒ Z) ⇔ ¬(P & ¬Z). Předpokládáme tedy P & ¬Z a odtud se snažíme vyvodit nepravdivý výrok (spor). Pokud se to podaří, dokázali jsme ¬(P & ¬Z), a tudíž i P ⇒ Z. Příklad. Dokažte, že neexistuje žádné číslo x ∈ Q takové, že x2 = 2. 51/595 Důkaz matematickou indukcí Matematickou indukcí lze často dokázat tvrzení typu ∀ n ∈ N : V(n), kde V(n), n ∈ N je nějaká výroková forma. Postupujeme takto: 1. krok: Dokážeme, že platí V(1). 2. krok (indukční krok): Předpokládáme, že V(n) platí (tzv. indukční předpoklad), a vyvodíme odtud, že platí V(n + 1). Pokud se oba kroky podařily, dokázali jsme, že V(n) platí pro všechna n ∈ N. Z V(1) totiž podle indukčního kroku vyplývá V(2), odtud V(3) atd. 52/595 Důkaz matematickou indukcí Příklad. Dokažte toto tvrzení (pojem R zde na dluh): Tvrzení 1.18 (Bernoulliho nerovnost) Pro všechna x ∈ R, x ≥ −1 a všechna n ∈ N platí: (1 + x)n ≥ 1 + nx. Poznámka. Předpoklad x ≥ −1 se zde dá dokonce zeslabit až na x ≥ −2. To lze dokázat chytřejší indukcí. 53/595 Konec 2. přednášky 25. 9. 2024 54/595 Základní pojmy Relace Kartézský součin Klíčová definice 1.19 (kartézský součin) Nechť X, Y jsou množiny. Potom kartézským součinem množin X a Y, v tomto pořadí, rozumíme množinu X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y}. Pokud X = Y, lze psát zkráceně X2 := X × X. Kartézský součin je tedy množina všech uspořádaných dvojic, které lze vy- tvořit tak, že prvním členem dvojice je prvek množiny X a druhým prvek množiny Y. 55/595 Kartézský součin Na pořadí záleží, může platit X × Y 6= Y × X. Kdy zde platí rovnost? 56/595 Kartézský součin Na pořadí záleží, může platit X × Y 6= Y × X. Kdy zde platí rovnost? Platí: Pokud X 6= ∅ & Y 6= ∅, potom (X × Y = Y × X) ⇐⇒ (X = Y). 56/595 Kartézský součin Příklad. Uvažujme množiny I := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}, n o D := 2k k ∈ Z, 0 ≤ k ≤ 2. Jak vypadají následující kartézské součiny? (i) I × I (ii) D × D (iii) I × D (iv) D × I 57/595 Binární relace Klíčová definice 1.20 (relace) Nechť X, Y jsou množiny. Potom (binární) relací R na X × Y nazýváme libovolnou podmnožinu kartézského součinu X × Y. Pokud X = Y a R ⊂ X × X, říkáme stručně, že R je (binární) relací na X. V této přednášce budeme pro stručnost slovo „binární“ vypouštět. 58/595 Binární relace: značení Nechť R je relace na X × Y a dvojice (x, y) je jejím prvkem. Jak toto značíme? 59/595 Binární relace: značení Nechť R je relace na X × Y a dvojice (x, y) je jejím prvkem. Jak toto značíme? Množinové značení: (x, y) ∈ R 59/595 Binární relace: značení Nechť R je relace na X × Y a dvojice (x, y) je jejím prvkem. Jak toto značíme? Množinové značení: (x, y) ∈ R Značení „se středním symbolem“: xRy Např. u relace uspořádání: „x < y“ místo „(x, y) ∈ , ≥ ve smyslu: x > y ⇔ y < x, x≥y⇔y≤x pro x, y ∈ T. 81/595 Těleso a uspořádání Pozorování. Relaci uspořádání lze definovat i obecněji a nepotřebujeme pro ni ani tě- leso (viz DM, LGR, algebru). 82/595 Těleso a uspořádání Pozorování. Relaci uspořádání lze definovat i obecněji a nepotřebujeme pro ni ani tě- leso (viz DM, LGR, algebru). Příklad. Jsou racionální čísla uspořádaným tělesem? 82/595 Těleso a uspořádání Pozorování. Relaci uspořádání lze definovat i obecněji a nepotřebujeme pro ni ani tě- leso (viz DM, LGR, algebru). Příklad. Jsou racionální čísla uspořádaným tělesem? Otázka: Jaká vlastnost jim tedy ještě chybí? 82/595 Základní pojmy Meze a supremum Meze a omezenost Následující teorii formulujeme obecně pro uspořádaná tělesa. Můžete si ale vždy představovat, že tímto tělesem jsou reálná čísla se standardním uspořádáním „ 0 perioda funkce f, pak každé číslo np, kde n ∈ N, je také její perioda. Nejmenší perioda se nazývá základní. Podmínka (11) říká, že definiční obor D(f) musí být také „p-periodický“. 118/595 Transformace grafu Předpokládejme, že známe graf reálné funkce f (ve formálním smyslu Def. 1.21 tedy funkci samotnou) jakožto podmnožinu R2. Rozmysleme si, jak pak vypadají grafy funkcí: (i) x 7→ f(x + c), (ii) x 7→ f(x) + c, (iii) x 7→ f(cx), (iv) x 7→ cf(x), kde c ∈ R \ {0}. Pozorování. Všechny tyto funkce vznikly jako složení f ◦ g (případy (i),(iii)) nebo g ◦ f (případy (ii),(iv)), kde g : R → R je nějaká afinní funkce (viz Def. 2.15). 119/595 Funkce Mocniny, polynomy a další základní funkce Mocniny Definice 2.9 (celočíselná mocnina) Nechť x ∈ R a n ∈ N. Pak definujeme xn := x| · x ·{z· · · · x}, n činitelů Je-li navíc x 6= 0, pak definujeme 1 x−n := n , x0 := 1. x Je-li n ∈ Z a označíme-li ( R, n > 0; D := R \ {0}, n ≤ 0, pak funkci f: D → R x 7→ xn nazveme funkcí n-té mocniny. 120/595 Parita mocninných funkcí Příklad. Pro která n ∈ Z je funkce x 7→ xn sudá a pro která lichá? Všimněme si, že definiční obory těchto funkcí jsou symetrické podle nuly. 121/595 Mocniny Věta 2.10 (bijektivita nenulové celočíselné mocniny) Nechť n ∈ Z \ {0} a f je funkce n-té mocniny z Definice 2.9. Pak platí: (i) Je-li n > 0 liché, je f bijekce R na R. (ii) Je-li n < 0 liché, je f bijekce R \ {0} na R \ {0}. (iii) Je-li n > 0 sudé, je restrikce f [0,∞) bijekce [0, ∞) na [0, ∞). (iv) Je-li n < 0 sudé, je restrikce f (0,∞) bijekce (0, ∞) na (0, ∞). Důkaz této věty plyne z V 1.46. 122/595 Odmocniny Věta 2.10 nyní umožňuje zavést odmocninu: Definice 2.11 (celočíselná odmocnina) Nechť n ∈ N. √ (i) Je-li n liché, definujeme funkci n : R → R jako funkci inverzní k funkci n-té mocniny definované na R. √ (ii) Je-li n sudé, definujeme funkci n : [0, ∞) → R jako funkci in- verzní k zúžení funkce n-té mocniny na interval [0, ∞). √ (iii) Označíme-li D definiční obor funkce n v jednom z předchozích případů, pak definujeme funkci √ −n : D \ {0} → R 1 x 7→ √ n x √ Funkci n , kde n ∈ Z \ {0}, nazýváme funkcí n-té odmocniny. 123/595 Racionální mocniny Nyní můžeme definovat i obecnější mocninu: Definice 2.12 (racionální mocnina) Nechť p ∈ N, q ∈ Z \ {0} a r = pq. Je-li q liché, pak pro každé x ∈ R definujeme √ xr := xp. q (12) Je-li q sudé, pak je výraz (12) definován pouze pro každé x ∈ [0, ∞). V obou případech číslo xr nazveme r-tou mocninou čísla x. Pozorování. √ √
p Pro x, p, q jako výše platí q xp = q x. √ 1 Z této definice a Definice 2.11 plyne, že n x = x n pro všechna x z definič- ního oboru n-té odmocniny. 124/595 Reálné mocniny Naznačíme ještě způsob, jak definovat zcela obecnou reálnou mocninu pouze pomocí pojmů, které máme prozatím k dispozici. Je-li x > 0 a a ∈ R, lze definovat ( a sup {xr | r ∈ Q, r > a}, 0 < x < 1; x := inf {xr | r ∈ Q, r > a}, x ≥ 1. Všimněte si, že zde využíváme již definovanou racionální mocninu. Lze potom dokázat, že pro všechna x > 0, a, b ∈ R platí vztahy xa+b = xa xb , (xa )b = xab = (xb )a. Později zavedeme obecnou mocninu snadněji pomocí exponenciální funkce jako xa = ea ln x. 125/595 Stanovení definičního oboru Příklad. Určete definiční obor funkce f (tj. myšleno reálné funkce reálné proměnné), která je dána předpisem p 7 − |x| f(x) := √. x+3−1 126/595 Stanovení definičního oboru Řešení: D(f) = [−3, −2) ∪ (−2, 7]. 127/595 Stanovení definičního oboru Řešení: D(f) = [−3, −2) ∪ (−2, 7]. Ve schematickém zápisu tedy funkce f vypadá takto: f : [−3, −2) ∪ (−2, 7] → R p 7 − |x| x 7→ √. x+3−1 Pozor! Schéma výše říká, že D(f) = [−3, −2) ∪ (−2, 7], ale nikoli, že R(f) = R. Víme pouze: R(f) ⊂ R. Přesný popis oboru hodnot bychom teprve museli najít. K tomu budeme potřebovat např. vlastnosti spojitých funkcí, o kterých se dozvíme později. 127/595 Polynomy Už známe funkce celočíselných mocnin. Nyní zavedeme ještě tento základní pojem: Definice 2.13 (polynom) Polynomem (s reálnými koeficienty) nazveme každou funkci p : R → R takovou, že existuje číslo n ∈ N ∪ {0} a čísla a0 , a1 ,... , an ∈ R, taková, že an 6= 0 a pro každé x ∈ R platí n X p(x) = a0 + ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn. k=1 Číslo n nazveme stupněm polynomu p a značíme deg p. Čísla ak , kde k ∈ {0,... , n}, nazveme koeficienty tohoto polynomu. Kromě toho považujeme za polynom nulového stupně také nulovou funkci danou pro všechna x ∈ R předpisem f(x) = 0. 128/595 Polynomy Příklad. Uvažujme tyto funkce, definované vždy na vhodné podmnožině R. x 7→ 3x5 − 7x2 + x − 16 je polynom x 7→ 2x6 je polynom x 7→ 10 je polynom 1 2 x 7→ x 3 + 2x 3 + x + 8 není polynom x 7→ x−2 + 3x−1 + 5 není polynom x 7→ 3e3x + 5e2x − 6ex + 9 není polynom 129/595 Polynomy Definice 2.14 (konstantní funkce) Nechť c ∈ R. Funkci f : R → R takovou, že pro všechna x ∈ R platí f(x) = c, nazveme konstantní funkcí. Značení: To, že f je konstantní funkce s hodnotou c ∈ R, se někdy značí symbolem f ≡ c. 130/595 Polynomy Pro polynomy nízkých stupňů často používáme toto označení: Definice 2.15 (speciální polynomy) (i) Polynom stupně nejvýše 1 nazveme afinní funkcí. (ii) Polynom stupně nejvýše 2 nazveme kvadratickou funkcí. (iii) Polynom stupně nejvýše 3 nazveme kubickou funkcí. Pozorování. Nechť c ∈ R. Afinní funkce f s koeficientem a0 = 0, tedy splňující f(x) = cx pro všechna x ∈ R, je speciálním případem lineárního zobrazení, které znáte z LA. Lineární reálné funkce jedné reálné proměnné ale nejsou příliš zajímavé, představují totiž vždy pouze násobení reálnou konstantou. 131/595 Racionální funkce Definice 2.16 (racionální funkce) Nechť p, q jsou polynomy. Označme K := {x ∈ R | q(x) = 0}. Pak funkci f: R \ K → R p(x) x 7→ q(x) nazveme racionální funkcí. 132/595 Charakteristická funkce Definice 2.17 (charakteristická funkce) Nechť M ⊂ R je libovolná množina. Pak charakteristickou funkcí mno- žiny M nazýváme funkci χM : R → R danou předpisem ( 1, x ∈ M; χM (x) := 0, x ∈ R \ M. Charakteristické funkci se někdy také říká indikátor. Můžete se setkat se značením „ 1M “ místo χM. Obvyklý případ je charakteristická funkce intervalu (a, b) značená χ(a,b). 133/595 Znaménková funkce Definice 2.18 (funkce signum) Funkci sgn : R → R definovanou předpisem    −1, x < 0;  sgn(x) := 0, x = 0;    1, x > 0, nazveme funkcí signum (znaménkovou funkcí). Pozorování. Funkce signum splňuje x ∀ x ∈ R \ {0} : sgn(x) = |x| a také toto: ∀ x ∈ R : sgn(x) = χ(0,∞) (x) − χ(−∞,0) (x). 134/595 Maximum jako funkce Běžně se setkáte také s funkcí danou předpisem f(x) := max{g(x), h(x)}, kde g, h jsou nějaké jiné funkce (může jich být i víc než dvě). Tato funkce f tedy splňuje ( g(x), pokud g(x) ≥ h(x); f(x) = h(x), pokud g(x) < h(x). 135/595 Maximum jako funkce Příklad. Načrtněme grafy funkcí definovaných na R předpisy f(x) := max{1, x2 }, g(x) := min{1, x2 }, h(x) := min{0, x, x2 − 2x}. 136/595 Konec 5. přednášky 8. 10. 2024 137/595 Funkce Exponenciála a logaritmus Exponenciální funkce Klíčová věta 2.19 (axiomatické zavedení exponenciální funkce) Existuje právě jedna funkce exp : R → R splňující tyto dvě podmínky: (i) ∀ x, y ∈ R : exp(x + y) = exp(x) · exp(y); (ii) ∀ x ∈ R : exp(x) ≥ 1 + x. Tuto funkci nazveme exponenciální funkcí. Používáme také značení ex := exp(x). Hodnota e := exp(1) se nazývá Eulerovo číslo.. Přibližná hodnota: e = 2, 71828. Tato věta zatím o funkci exp moc neříká, ani ji ještě neumíme dokázat. Za předpokladu, že věta platí, můžeme ale už vyvodit, že exponenciální funkce má řadu dalších vlastností. 138/595 Exponenciální funkce Klíčová věta 2.20 (vlastnosti exponenciální funkce) Exponenciální funkce splňuje kromě podmínek z V 2.19 dále tyto: (i) e0 = 1; (ii) ∀ x ∈ R : e−x = ex ; 1 (iii) ∀ x, y ∈ R : (ex )y = (ey )x = exy ; (iv) exponenciální funkce je rostoucí; (v) oborem hodnot exponenciální funkce je interval (0, ∞). Vlastnosti (iii) zatím oficiálně rozumíme pouze pro x, y racionální, obecnou mocninu definujeme vzápětí. Důsledkem vlastnosti (v) je známý odhad ex > 0 platný pro všechna x ∈ R. 139/595 Logaritmus Důsledkem vlastností (v), (vi) z Věty 2.20 a Důsledku 2.6 je toto: Důsledek 2.21 (invertibilita exponenciály) Existuje inverzní funkce k exponenciální funkci. Tato inverzní funkce je definována na intervalu (0, ∞) a její obor hodnot je R. Klíčová definice 2.22 (přirozený logaritmus) Funkci inverzní k exponenciální funkci nazveme přirozeným logarit- mem a značíme ln. 140/595 Logaritmus Klíčová věta 2.23 (přirozený logaritmus a jeho vlastnosti) Přirozený logaritmus splňuje: (i) ∀ x, y ∈ (0, ∞) : ln(xy) = ln x + ln y; (ii) ln 1 = 0; (iii) ∀ x ∈ (0, ∞) : ln 1x = − ln x; (iv) ∀ x ∈ (0, ∞), y ∈ R : ln(xy ) = y ln x; (v) přirozený logaritmus je rostoucí funkce; (vi) oborem hodnot přirozeného logaritmu je R; (vii) ∀ x ∈ (0, ∞) : ln x ≤ x − 1. Vlastnost (iv) bude stejně jako u funkce exp legalizována vzápětí (potřebu- jeme definovat obecnou mocninu). 141/595 Obecná exponenciála Klíčová definice 2.24 (exponenciála s obecným základem) Nechť a ∈ (0, ∞). Pak pro každé x ∈ R definujeme ax := ex ln a. Funkci f : R → (0, ∞) x 7→ ax nazveme exponenciální funkcí o základu a. 142/595 Obecná mocnina Dříve jsme uměli definovat r-tou mocninu kladného čísla pouze pro racio- nální r. Nyní už máme i obecnou verzi. Definice 2.25 (obecná mocnina) Nechť a ∈ R \ {0}. Funkci f : [0, ∞) → [0, ∞) x 7→ xa nazveme funkcí a-té mocniny. Srovnejte funkce x 7→ ax a x 7→ xa. Pozor! Výraz „00 “ není definován! Na to pozor při počítání limit! 143/595 Obecná exponenciála Věta 2.26 (vlastnosti exponenciální funkce s obecným základem) Exponenciální funkce o základu a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) splňuje: (i) ∀ x, y ∈ R : ax+y = ax ay ; (ii) a0 = 1; (iii) ∀ x ∈ R : a−x = ax ; 1 (iv) ∀ x, y ∈ R : (ax )y = (ay )x = axy ; (v) pro a ∈ (1, ∞) je tato funkce rostoucí a pro a ∈ (0, 1) klesající; (vi) oborem hodnot této funkce je interval (0, ∞); (vii) ∀ x ∈ R : ax ≥ 1 + x ln a. Důsledkem vlastností (v), (vi) je opět existence inverze této funkce. 144/595 Obecný logaritmus Klíčová definice 2.27 (logaritmus s obecným základem) Nechť a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Funkci inverzní k exponenciální funkci o zá- kladu a nazveme logaritmem o základu a a značíme loga. Je-li a = 10, funkci log10 nazýváme dekadickým logaritmem a značíme obvykle pouze log. Pozorování. Pro a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) platí loga : (0, ∞) → R. Technické texty (toto budeme používat my): log značí dekadický logaritmus, ln značí přirozený logaritmus. Matematické texty: log značí přirozený logaritmus, ln neznačí nic. 145/595 Obecný logaritmus Věta 2.28 (vlastnosti logaritmu s obecným základem) Logaritmus o základu a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) splňuje: (i) ∀ x, y ∈ (0, ∞) : loga (xy) = loga x + loga y; (ii) loga 1 = 0; (iii) ∀ x ∈ (0, ∞) : loga 1 x = − loga x; (iv) ∀ x ∈ (0, ∞), y ∈ R : loga (xy ) = y loga x; (v) funkce loga je rostoucí pro a ∈ (1, ∞) a klesající pro a ∈ (0, 1); (vi) oborem hodnot této funkce je R; x−1 (vii) ∀ x ∈ (0, ∞) : loga x ≤ ln a. 146/595 Převodové vzorce Důsledek 2.29 (vztahy mezi exp a log s různými základy) Pro všechna a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), x ∈ R, y > 0 platí: logb y ax = bx logb a , loga y = , logb a ln y ax = ex ln a , loga y =. ln a Pozorování. Změna základu exponenciály – horizontální dilatace/kontrakce jejího grafu. Změna základu logaritmu – vertikální dilatace/kontrakce jeho grafu. V obou případech může navíc nastat zrcadlení. 147/595 Funkce Goniometrické a cyklometrické funkce Goniometrické funkce Další mimořádně významný typ funkcí je nejjednodušší zavést geometricky. Následující definice vyžaduje obrázek. Klíčová definice 2.30 (sinus a kosinus, geometrická definice) Pro každé t ∈ R označme (xt , yt ) bod na jednotkové kružnici v R2 , je- muž odpovídá úhel průvodiče t. Potom definujeme funkci kosinus jako cos : R → [−1, 1] t 7→ xt a funkci sinus jako sin : R → [−1, 1] t 7→ yt. Pozor! Velikost úhlu t je zadána v radiánech! (Tedy π místo 180◦ atd.) 148/595 Goniometrické funkce Klíčová věta 2.31 (základní vlastnosti sinu a kosinu) Funkce sinus a kosinus definované na R mají tyto vlastnosti: (i) Oborem hodnot obou těchto funkcí je [−1, 1]. (ii) Obě funkce jsou 2π-periodické. (iii) Funkce sin je lichá. (iv) Funkce cos je sudá. h i (v) Funkce sin je rostoucí na každém intervalu (4k−1)π , (4k+1)π h i 2 2 (4k+1)π (4k+3)π a klesající na každém intervalu 2 , 2 , kde k ∈ Z. (vi) Funkce cos je rostoucí na každém intervalu [(2k − 1)π, 2kπ] a klesající na každém intervalu [2kπ, (2k + 1)π], kde k ∈ Z. (vii) Rovnost sin x = 0 platí, právě když x ∈ {kπ | k ∈ Z}.  (viii) Rovnost cos x = 0 platí, právě když x ∈ (2k+1)π 2 k∈Z. 149/595 Goniometrické funkce Klíčová věta 2.32 (součet druhých mocnin sinu a kosinu) 2 Pro každé x ∈ R platí sin x + cos2 x = 1. Věta 2.33 (součtové vzorce pro sinus a kosinus) Pro každá x, y ∈ R platí: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y. 150/595 Goniometrické funkce Věta 2.34 (sinus a kosinus posunu a dvojnásobku argumentu) Pro každé x ∈ R platí:  π  π sin x = cos x − , cos x = sin x + , 2 2 sin (x + π) = − sin x cos (x + π) = − cos x 2 sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin x 2 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin x = , cos2 x = , 2 2 151/595 Goniometrické funkce Klíčová definice 2.35 (tangens a kotangens)  (2k+1)π Pro x ∈ R \ 2 k ∈ Z definujeme sin x tg x :=. cos x Pro x ∈ R \ {kπ | k ∈ Z} definujeme cos x cotg x :=. sin x Reálné funkce x 7→ tg x, resp. x 7→ cotg x definované na výše uvede- ných množinách nazveme funkce tangens, resp. kotangens. Značení: Někdy (anglicky psaná literatura) se používá značení tan, cot místo výše uvedeného. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens souhrnně nazýváme goniome- trickými funkcemi. 152/595 Klíčová věta 2.36 (základní vlastnosti tangenty a kotangenty) Funkce  (2k+1)π tg : R \ 2 k∈Z →R cotg : R \ {kπ | k ∈ Z} → R mají tyto vlastnosti: (i) Oborem hodnot obou těchto funkcí je R. (ii) Obě funkce jsou π-periodické. (iii) Obě funkce jsou liché. (2k−1)π (2k+1)π
(iv) Funkce tg je rostoucí na každém intervalu 2 , 2 , kde k ∈ Z. (v) Funkce cotg je klesající na každém intervalu (kπ, (k + 1)π), kde k ∈ Z. (vi) Rovnost tg x = 0 platí, právě když x ∈ {kπ | k ∈ Z}. n o (vii) Rovnost cotg x = 0 platí, právě když x ∈ (2k+1)π 2 k∈Z. 153/595 Cyklometrické funkce Pozorování. Goniometrické funkce jsou ryze monotonní na jistých intervalech (viz Věty 2.31, 2.36). Například funkce sinus je rostoucí na intervalu
A := − π2 , π2. Uvažujeme-li tedy zúžení funkce sinus na interval A (značeno sin |A ), podle Důsledku 2.6 existuje inverze funkce sin |A definovaná na množině R(sin |A ) = [−1, 1]. Podobně zavedeme inverze i pro ostatní goniometrické funkce. 154/595 Cyklometrické funkce Klíčová definice 2.37 (cyklometrické funkce) (i) Jako arkus sinus označujeme funkci   arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2 ,   jež je inverzní k zúžení funkce sinus na interval − π2 , π2. (ii) Jako arkus kosinus označujeme funkci arccos : [−1, 1] → [0, π] , jež je inverzní k zúžení funkce kosinus na interval [0, π]. (iii) Jako arkus tangens označujeme funkci   arctg : R → − π2 , π2 ,   jež je inverzní k zúžení funkce tangens na interval − π2 , π2. (iv) Jako arkus kotangens označujeme funkci arccotg : R → [0, π] , jež je inverzní k zúžení funkce kotangens na interval [0, π]. 155/595 Cyklometrické funkce Funkce z Definice 2.37 se nazývají cyklometrické. Díky jejich vztahu ke go- niometrickým funkcím snadno odvodíme následující větu. Věta 2.38 (základní vlastnosti cyklometrických funkcí) Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti.   (i) R(arcsin) = − π2 , π2. (ii) R(arccos) = [0, π].   (iii) R(arctg) = − π2 , π2. (iv) R(arccotg) = [0, π]. (v) Funkce arkus sinus a arkus tangens jsou liché a rostoucí. (vi) Funkce arkus kosinus a arkus kotangens jsou klesající. 156/595 Funkce Hyperbolické a hyperbolometrické funkce Eulerova identita Pro každé x ∈ R platí tzv. Eulerova identita eix = cos x + i sin x. (13) Tímto způsobem se zavádí exponenciální funkce v komplexním oboru. Z (13) lze snadno odvodit, že pro x ∈ R platí eix − e−ix eix + e−ix sin x = , cos x =. (14) 2i 2 Tyto vztahy náležitě využijete v komplexní analýze. 157/595 Hyperbolické funkce Vztahy podobné těm v (14) se využijí v této definici: Klíčová definice 2.39 (hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus) Funkce hyperbolický sinus je definována předpisem sinh : R → R ex − e−x x 7→. 2 Funkce hyperbolický kosinus je definována předpisem cosh : R → R ex + e−x x 7→. 2 158/595 Hyperbolické funkce Klíčová věta 2.40 (základní vlastnosti hyperbolického sinu a hyperbo- lického kosinu) Funkce sinus hyperbolický a kosinus hyperbolický definované na R mají tyto vlastnosti: (i) R(sinh) = R. (ii) R(cosh) = [1, ∞). (iii) Funkce sinh je lichá. (iv) Funkce cosh je sudá. (v) Funkce sinh je rostoucí. (vi) Funkce cosh je rostoucí na [0, ∞). 159/595 Hyperbolické funkce Věta 2.41 (rozdíl druhých mocnin hyperbolického kosinu a hyperbolic- kého sinu) 2 2 Pro každé x ∈ R platí cosh x − sinh x = 1. Věta 2.42 (součtové vzorce pro hyperbolický sinus a hyperbolický ko- sinus) Pro každá x, y ∈ R platí: sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y. 160/595 Konec 6. přednášky 9. 10. 2024 161/595 Hyperbolické funkce Nepřekvapivě se zavádí i následující funkce: Definice 2.43 (hyperbolická tangens a hyperbolická kotangens) Funkce hyperbolická tangens je definována předpisem tgh : R → R sinh x x 7→. cosh x Funkce hyperbolická kotangens je definována předpisem cotgh : R \ {0} → R cosh x x 7→. sinh x 162/595 Hyperbolické funkce Věta 2.44 (základní vlastnosti hyperbolické tangenty a hyperbolické kotangenty) Funkce tangens hyperbolická, resp. kotangens hyperbolická defino- vané na R, resp. R \ {0} mají tyto vlastnosti: (i) R(tgh) = (−1, 1). (ii) R(cotgh) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞). (iii) Obě funkce tgh a cotgh jsou liché. (iv) Funkce tgh je rostoucí. (v) Funkce cotgh je klesající na intervalu (−∞, 0) a na intervalu (0, ∞). (vi) Funkce cotgh je prostá. 163/595 Hyperbolické funkce Funkce sinh, cosh, tgh, cotgh souhrnně označujeme jako hyperbolické funkce. Tyto funkce splňují řadu dalších vzájemných vztahů analogických vztahům mezi goniometrickými funkcemi (viz [T]). Vzhledem k vlastnostem z Vět 2.40, 2.44 a Důsledku 2.6 existují inverze k hy- perbolickým funkcím nebo alespoň k jejich vhodnému zúžení. 164/595 Hyperbolometrické funkce Definice 2.45 (hyperbolometrické funkce) (i) Jako argument sinu hyperbolického označujeme funkci argsinh : R → R, jež je inverzní funkce k funkci sinus hyperbolický. (ii) Jako argument kosinu hyperbolického označujeme funkci argcosh : [1, ∞) → [0, ∞), jež je inverzní k zúžení funkce kosinus hyperbolický na [0, ∞). (iii) Jako argument tangenty hyperbolické označujeme funkci argtgh : (−1, 1) → R, jež je inverzní k funkci tangens hyperbolická. (iv) Jako argument kotangenty hyperbolické označujeme funkci argcotgh : (−∞, −1) ∪ (1, ∞) → R \ {0}, jež je inverzní k funkci kotangens hyperbolická. 165/595 Hyperbolometrické funkce Funkce z Definice 2.45 souhrnně nazýváme hyperbolometrickými funkcemi. Věta 2.46 (základní vlastnosti hyperbolometrických funkcí) Hyperbolometrické funkce mají následující vlastnosti. (i) R(argsinh) = R. (ii) R(argcosh) = [0, ∞). (iii) R(argtgh) = R. (iv) R(argcotgh) = R \ {0}. (v) Funkce argsinh, argcosh a argtgh jsou rostoucí. (vi) Funkce argcotgh je klesající na intervalu (−∞, −1) a na intervalu (1, ∞). 166/595 Hyperbolometrické funkce Příklad. Ukažme, že pro x ∈ R platí  p  argsinh x = ln x + x2 + 1. 167/595 Limita a spojitost funkce Definice a vlastnosti Okolí bodu Klíčová definice 3.1 (okolí reálného bodu) Nechť a, r ∈ R a r > 0. (i) Množinu U(a, r) := {x ∈ R | |x − a| < r} = (a − r, a + r) nazveme okolím bodu a o poloměru r. (ii) Množinu U− (a, r) := (a − r, a], resp. U+ (a, r) := [a, a + r), nazveme levým, resp. pravým okolím bodu a o poloměru r. 168/595 Okolí bodu Klíčová definice 3.2 (prstencové okolí reálného bodu) Nechť a, r ∈ R a r > 0. (i) Množinu P(a, r) := {x ∈ R | 0 < |x − a| < r} = (a − r, a) ∪ (a, a + r) nazveme prstencovým okolím bodu a o poloměru r. (ii) Množinu P− (a, r) := (a − r, a), resp. P+ (a, r) := (a, a + r), nazveme levým, resp. pravým prstencovým okolím bodu a o po- loměru r. 169/595 Okolí bodu Pozorování. Platí: P(a, r) = U(a, r) \ {a}, P± (a, r) = U± (a, r) \ {a}, prstencové okolí tedy neobsahuje samotný bod a. Poloměr r je kladné číslo! Hodit se nám bude i zavedení pojmu okolí nekonečna: 170/595 Okolí nekonečna Klíčová definice 3.3 (okolí nekonečna) Nechť r ∈ R, r > 0. (i) Množinu  U(∞, r) := x ∈ R r < x < ∞ = (r, ∞) nazveme okolím bodu ∞ o poloměru r. Symboly U− (∞, r), P(∞, r) a P− (∞, r) značí totéž co U(∞, r). (ii) Množinu  U(−∞, r) := x ∈ R − ∞ < x < −r = (−∞, −r) nazveme okolím bodu −∞ o poloměru r. Symboly U+ (−∞, r), P(−∞, r) a P+ (−∞, r) značí totéž co U(−∞, r). 171/595 Vliv poloměru Pro okolí bodu a ∈ R platí „čím menší r, tím blíže k bodu a“. Pro okolí nekonečna platí naopak „čím větší r, tím blíže k nekonečnu“. Ve starších verzích těchto slajdů bylo zaváděno mírně odlišné značení pro okolí nekonečna, nyní se ale budeme držet Definice 3.3. Prstencová okolí nekonečna? Jak je vidět v Def. 3.3, prstencové a „plné“ okolí nekonečna jsou totéž. To usnadní formulace tvrzení o limitách. 172/595 Limita funkce O co nám jde? Chceme popsat, jak se chovají funkční hodnoty f(x) pro argumenty x, které jsou blízko nějakého bodu („limitní chování“). 173/595 Limita funkce O co nám jde? Chceme popsat, jak se chovají funkční hodnoty f(x) pro argumenty x, které jsou blízko nějakého bodu („limitní chování“). „Stabilizuje“ se funkční hodnota, tedy „blíží“ se k něčemu? Jak to popsat? 173/595 Limita funkce O co nám jde? Chceme popsat, jak se chovají funkční hodnoty f(x) pro argumenty x, které jsou blízko nějakého bodu („limitní chování“). „Stabilizuje“ se funkční hodnota, tedy „blíží“ se k něčemu? Jak to popsat? Funkce mohou být libovolně „divoké“. Jak vypadá funkce, jejíž hodnoty se v nějakém bodě „ničemu neblíží“? 173/595 Limita funkce Klíčová definice 3.4 (jednostranná limita funkce zleva) Nechť a ∈ R ∪ {∞} a f je funkce definovaná na nějakém levém prs- tencovém okolí bodu a, tedy taková, že ∃ r > 0 : P− (a, r) ⊂ D(f). Nechť L ∈ R. Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu zleva rovnou L, pokud: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ P− (a, δ) : f(x) ∈ U(L, ε), (15) neboli
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f P− (a, δ) ⊂ U(L, ε). V takovém případě značíme: x→a− lim f(x) = L, f(x) −−−−→ L, f(x) → L pro x → a−. x→a− Neexistuje-li žádné L ∈ R takové, aby platilo (15), řekneme, že funkce f nemá limitu v bodě a zleva, resp., že její limita v a zleva neexistuje, a píšeme lim f(x) neexistuje. x→a− 174/595 Limita funkce Klíčová definice 3.5 (jednostranná limita funkce zprava) Nechť a ∈ R∪{−∞} a f je funkce definovaná na nějakém pravém prs- tencovém okolí bodu a, tedy taková, že ∃ r > 0 : P+ (a, r) ⊂ D(f). Nechť L ∈ R. Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu zprava rovnou L, pokud: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ P+ (a, δ) : f(x) ∈ U(L, ε), (16) neboli
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f P+ (a, δ) ⊂ U(L, ε). V takovém případě značíme: x→a+ lim f(x) = L, f(x) −−−−→ L, f(x) → L pro x → a+. x→a+ Neexistuje-li žádné L ∈ R takové, aby platilo (16), řekneme, že funkce f nemá limitu v bodě a zprava, resp., že její limita v a zprava neexistuje, a píšeme lim f(x) neexistuje. x→a+ 175/595 Limita funkce Klíčová definice 3.6 (limita funkce) Nechť a ∈ R a f je funkce definovaná na nějakém prstencovém okolí bodu a, tedy taková, že ∃ r > 0 : P(a, r) ⊂ D(f). Nechť L ∈ R. Řekneme, že funkce f má v bodě a (oboustrannou) limitu L, pokud platí: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ P(a, δ) : f(x) ∈ U(L, ε), (17) neboli
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f P(a, δ) ⊂ U(L, ε). V takovém případě značíme: x→a lim f(x) = L, f(x) −−−→ L, f(x) → L pro x → a. x→a Neexistuje-li žádné L ∈ R takové, aby platilo (17), řekneme, že funkce f nemá limitu v bodě a, resp., že její limita v a neexistuje, a píšeme lim f(x) neexistuje. x→a 176/595 Limita funkce Slovní vyjádření: Funkce f má v bodě a limitu L ∈ R, pokud ke každému okolí V hodnoty L lze najít prstencové okolí U bodu a, které funkce f celé zobrazí do V. Slogan: „Blíží-li se argument k bodu a, funkční hodnoty se blíží k hodnotě limity.“ Tyto formulace lze snadno modifikovat pro případ jednostranných limit. 177/595 Limita funkce Terminologie: Řekneme, že funkce f v bodě a ∈ R konverguje k L, má-li f v a vlastní limitu L, tedy platí-li lim f(x) = L ∈ R; x→a diverguje k ±∞, má-li f v a nevlastní limitu ±∞, tedy platí-li lim f(x) = ±∞; x→a diverguje, nemá-li f v a žádnou limitu, tedy pokud lim f(x) neexistuje. x→a 178/595 Limita funkce Důležitá pozorování: V grafu řídí ε vertikální okolí limitní hodnoty, δ řídí horizontální okolí limitního argumentu. K vertikálnímu okolí hledáme horizontální. Naopak by to nefungovalo. 179/595 Limita funkce Důležitá pozorování: Pokud L ∈ R, pak čím menší je ε > 0, tím obtížnější je splnit podmínku f(x) ∈ U(L, ε). (18) Pokud L ∈ {±∞}, pak naopak čím větší je ε > 0, tím obtížnější je spl- nit (18). Podstatná jsou tedy malá okolí limitní hodnoty. Pro konečnou limitu L to znamená malé hodnoty poloměru ε > 0 klesající se k nule. Pro nekoneč- nou limitu L naopak velké hodnoty ε > 0 rostoucí nade všechny meze. 180/595 Limita funkce Důležitá pozorování: Pro limitu funkce v bodě a není relevantní, zda a jak je funkce definována v samotném bodě a. Proto je v definici pouze prstencové okolí a. (Srov- nejte s definicí spojitosti.) 181/595 Limita funkce Příklad. Nechť a, c ∈ R. Ukažme z definice limity funkce, že platí: (i) lim c = c; (limita konstantní funkce) x→a (ii) lim x = a; x→a (iii) lim x = ±∞; x→±∞ 1 (iv) lim = ∞. x→0+ x 182/595 Oboustranná vs. jednostranné limity Tvrzení 3.7 (vztah mezi jednostrannou a oboustrannou limitou) Nechť f je funkce definovaná alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu a ∈ R. Potom má funkce f v bodě a oboustrannou limitu právě tehdy, když má v tomto bodě limitu zprava i zleva a ty se sobě rovnají. Dlaší věty a tvrzení budeme obvykle uvádět ve verzi pro oboustranné limity. Snadno je lze upravit do zcela analogických verzí pro limity jednostranné. 183/595 Jaké funkce limitu nemají? Příklad. Funkce, která nemá limitu v nekonečnu: Ukažme, že lim sin x neexistuje. x→∞ 184/595 Konec 7. přednášky 15. 10. 2024 185/595 Jaké funkce limitu nemají? Příklad. Funkce, která má ve vlastním bodě jednostranné limity, ale ne oboustran- nou: Nechť f : R → R je definována předpisem ( 1, x ∈ (−∞, 0); f(x) := 2, x ∈ [0, ∞). Ukažme, že lim f(x) = 1, x→0− lim f(x) = 2, x→0+ lim f(x) neexistuje. x→0 186/595 Jaké funkce limitu nemají? Příklad. Funkce, která ve vlastním bodě nemá ani jednu jednostrannou limitu: Nechť f : R \ {0} → R je definována předpisem 1 f(x) := sin. x Ukažme, že lim f(x) neexistuje, x→0− lim f(x) neexistuje. x→0+ 187/595 Jaké funkce limitu nemají? Příklad. Funkce, která ve vlastním bodě nemá ani jednu jednostrannou limitu: Nechť f : R \ {0} → R je definována předpisem 1 f(x) := sin. x Ukažme, že lim f(x) neexistuje, x→0− lim f(x) neexistuje. x→0+ Jak snadno upravit předpis, aby funkce neměla jednostranné limity v něja- kém jiném zadaném bodě a ∈ R? 187/595 Jaké funkce limitu nemají? Otázka: Je-li funkce definovaná na nějakém intervalu (a, b) ⊂ R, musí mít alespoň v jednom bodě z (a, b) alespoň jednostrannou limitu? 188/595 Jaké funkce limitu nemají? Otázka: Je-li funkce definovaná na nějakém intervalu (a, b) ⊂ R, musí mít alespoň v jednom bodě z (a, b) alespoň jednostrannou limitu? Odpověď: Ne. Příklad. Funkce, která nemá limitu v žádném bodě, a to ani jednostrannou: Dirichletova funkce D : R → R je definována předpisem ( 1, x ∈ Q; D(x) := 0, x ∈ R \ Q. Ukažme, že D nemá v žádném bodě z R limitu zleva, ani zprava. 188/595 Může mít funkce více limit? Věta 3.8 (jednoznačnost limity) Nechť a ∈ R a f je funkce definovaná alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu a. Potom má funkce f v bodě a nejvýše jednu limitu. Tímto se také dodatečně legalizuje naše značení lim f(x) = „něco“, x→a které bychom nezaváděli, pokud by limita nebyla jednoznačně definována. 189/595 Jaké funkce určitě mají limitu? Otázka: Existuje nějaký typ funkcí, u kterých si můžeme být jisti, že v daném bodě a ∈ R mají (jednostrannou) limitu? 190/595 Jaké funkce určitě mají limitu? Otázka: Existuje nějaký typ funkcí, u kterých si můžeme být jisti, že v daném bodě a ∈ R mají (jednostrannou) limitu? Odpověď: Jsou to například monotonní funkce. Není ani třeba, aby byla funkce monotonní na celém definičním oboru, úplně stačí její monotonie na nějakém (jednostranném) prstencovém okolí bodu a (tzv. lokální monotonie.) 190/595 Monotonie vs. limita Věta 3.9 (limita monotonní funkce zleva) Nechť a ∈ R ∪ {∞}, r > 0 a f je funkce definovaná alespoň na P− (a, r). Je-li f na P− (a, r) monotonní, potom má f v bodě a limitu zleva. Navíc: (i) Je-li f neklesající na P− (a, r), potom lim f(x) = sup { f(x) | x ∈ P− (a, r)}. x→a− (ii) Je-li f nerostoucí na P− (a, r), potom lim f(x) = inf { f(x) | x ∈ P− (a, r)}. x→a− Stačí, aby funkce byla monotonní na nějakém levém prstencovém okolí bodu a, jinde může být definována jakkoli (nebo vůbec). Jak může vypadat funkce, která naopak není monotonní na žádném levém prstencovém okolí a? Viz příklad na dalším slajdu. Limita může být vlastní nebo nevlastní, stejně tak a může být reálné nebo +∞. 191/595 Monotonie vs. limita Příklad. Zvolme bod a ∈ R∪{∞} a najděme funkci definovanou na nějakém P− (a, r), která ale není monotonní na žádném levém prstencovém okolí bodu a. 192/595 Monotonie vs. limita Věta 3.9 má samozřejmě analogii pro limitu zprava: Věta 3.10 (limita monotonní funkce zprava) Nechť a ∈ R∪{−∞}, r > 0 a f je funkce definovaná alespoň na P+ (a, r). Je-li f na P+ (a, r) monotonní, potom má f v bodě a limitu zprava. Navíc: (i) Je-li f neklesající na P+ (a, r), potom lim f(x) = inf { f(x) | x ∈ P+ (a, r)}. x→a+ (ii) Je-li f nerostoucí na P+ (a, r), potom lim f(x) = sup { f(x) | x ∈ P+ (a, r)}. x→a+ 193/595 Monotonie vs. limita Otázka: Proč jsme v předešlých větách tentokrát výslovně mluvili o jednostranných limitách? Odpověď: I přesto, že f je monotonní na oboustranném prstencovém okolí bodu a, její oboustranná limita v a nemusí existovat: Příklad. Uvažujme funkci f: R → R ( x, x ≤ 0; x 7→ 1 + x, x > 0. Jak vypadají jednostranné limity v 0? Co oboustranná limita? 194/595 Monotonie vs. limita Pozorování. Z předchozích vět vidíme, že platí: f monotonní na levém prst. okolí a ⇒ f má limitu v a zleva. 195/595 Monotonie vs. limita Pozorování. Z předchozích vět vidíme, že platí: f monotonní na levém prst. okolí a ⇒ f má limitu v a zleva. Opačná implikace neplatí! 195/595 Limita vs. omezenost Věta 3.11 (vztah limity a lokální omezenosti) Nechť a ∈ R a f je funkce definovaná alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu a. Nechť limx→a f(x) = L ∈ R. Potom platí: (i) Je-li L > −∞, pak pro každé d ∈ (−∞, L) existuje r > 0 takové, že ∀ x ∈ P(a, r) : f(x) > d. (ii) Je-li L < ∞, pak pro každé h ∈ (L, ∞) existuje r > 0 takové, že ∀ x ∈ P(a, r) : f(x) < h. Funkce s vlastní nebo kladnou nevlastní limitou v bodě a je zdola ome- zená na nějakém prstencovém okolí bodu a. Funkce s vlastní nebo zápornou nevlastní limitou v bodě a je shora ome- zená na nějakém prstencovém okolí bodu a. Funkce s vlastní limitou v bodě a je omezená na nějakém prstencovém okolí bodu a. 196/595 Limita vs. omezenost Pozor! Omezenost, kterou dává Věta 3.11, je vždy pouze lokální, tedy pouze na ně- jakém prstencovém okolí bodu a. Z existence limity funkce v bodě a nevyplývá omezenost funkce na žádné množině, která není podmnožinou výše uvedeného prstencového okolí. Stejně tak z ní nevyplývá existence limity dané funkce v žádném bodě jiném než a. 197/595 Kdy můžeme „dosadit“? Pozorování. Z definice jsme ověřili, že pro funkci danou předpisem f(x) := x a bod a ∈ R platí lim f(x) = f(a). x→a Tedy limitu dostaneme tak, že do předpisu funkce pouze dosadíme limitní argument. To funguje pro řadu funkcí, ale ne vždy! (Funkce například nemusí být v a vůbec definovaná!) Funkce, které toto umožňují, mají zásadní význam, a tudíž i vlastní pojme- nování. 198/595 Spojitost Klíčová definice 3.12 (spojitost v bodě) Nechť a ∈ R a nechť f je funkce definovaná alespoň na nějakém okolí bodu a. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, platí-li lim f(x) = f(a). x→a Pozorování: spojitost v a ⇒ existence vlastní limity v a. 6⇐ 199/595 Spojitost Klíčová definice 3.13 (jednostranná spojitost v bodě) Nechť a ∈ R a nechť f je funkce definovaná alespoň na nějakém levém (resp. pravém) okolí bodu a. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva (resp. zprava), platí-li   lim f(x) = f(a), resp. lim f(x) = f(a). x→a− x→a+ Věta 3.14 (vztah jednostranné a oboustranné spojitosti) Nechť a ∈ R a nechť f je funkce definovaná alespoň na nějakém okolí bodu a. Pak je funkce f spojitá v bodě a právě tehdy, když je tam spojitá zleva i zprava. 200/595 Spojitost Příklad. Funkce χ(0,∞) je v nule spojitá zleva, ale ne zprava. Funkce χ[0,∞) je v nule spojitá zprava, ale ne zleva. Funkce sgn není spojitá v nule ani z jedné strany. Všechny tři výše uvedené funkce jsou spojité na R \ {0}. Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě z R, nemá tam totiž ani limitu. 201/595 Spojitost Definice ve skriptech [T] je poněkud odlišná: „Funkce f je spojitá v a ∈ D(f), pokud pro každé okolí U hodnoty f(a) existuje okolí V bodu a takové, že f(V ∩ D(f)) ⊂ U.“ Podle této definice mohou být spojité i funkce, které nejsou definované na žádném prstencovém okolí bodu a. To naše definice (Def. 3.12) nepřipouští. 202/595 Spojitost Definice 3.15 (spojitost na intervalu) Nechť f je funkce, a, b ∈ R, a < b. Řekneme, že f je: (i) spojitá na (a, b), pokud (a, b) ⊂ D(f) a f je spojitá v každém bodě x ∈ (a, b). (ii) spojitá na [a, b), pokud [a, b) ⊂ D(f), f je spojitá na (a, b) a spojitá zprava v a. (iii) spojitá na (a, b], pokud (a, b] ⊂ D(f), f je spojitá na (a, b) a spojitá zleva v b. (iv) spojitá na [a, b], pokud [a, b] ⊂ D(f), f je spojitá na (a, b), spojitá zprava v a a zleva v b. Pokud množina M ⊂ D(f) je sjednocením intervalů, řekneme, že f je spojitá na M, je-li spojitá na každém z těchto intervalů. Řekneme-li pouze, že f je spojitá, znamená to, že je spojitá na celém svém definičním oboru (pokud je D(f) sjednocením intervalů). 203/595 Limita a spojitost funkce Věty pro výpočet limit Limity důležitých funkcí Klíčová věta 3.16 (limity mocnin) Nechť a ∈ R. Potom platí:      ∞, a < 0;    0, a < 0; a a lim x = 1, a = 0; lim x = 1, a = 0; x→0+   x→∞    0, a > 0.  ∞, a > 0. 204/595 Limity důležitých funkcí Klíčová věta 3.17 (limity exponenciály a logaritmu) Nechť a > 0. Potom platí:      ∞, a ∈ (0, 1);    0, a ∈ (0, 1); x x lim a = 1, a = 1; lim a = 1, a = 1; x→−∞   x→∞    0, a > 1.  ∞, a > 1. ( ( ∞, a ∈ (0, 1); −∞, a ∈ (0, 1); lim loga x = lim loga x = x→0+ −∞, a > 1. x→∞ ∞, a > 1. 205/595 Limity důležitých funkcí Klíčová věta 3.18 (limity goniometrických a cyklometrických funkcí) Platí: lim tg x = −∞, lim tg x = ∞, x→− π 2+ x→ π 2− lim cotg x = ∞, lim cotg x = −∞, x→0+ x→π− π π lim arctg x = − , lim arctg x = , x→−∞ 2 x→∞ 2 lim arccotg x = π, lim arccotg x = 0, x→−∞ x→∞ 206/595 Spojitost důležitých funkcí Klíčová věta 3.19 (spojitost elementárních funkcí) Všechny mocniny, exponenciální, goniometrické, hyperbolické funkce a funkce k těmto inverzní jsou spojité. Tuto větu je možné dokázat pomocí Věty o artitmetice limit (V 3.21) a Věty o dvou policajtech (V 3.27), které budou následovat. 207/595 Výrazy s nekonečnem Pro potřeby počítání limit budeme potřebovat zacházet s výrazy typu: „a + ∞“, „a · ∞“, „∞ + ∞“ a podobně, kde a ∈ R. Nyní tyto objekty „legalizujeme“. 208/595 Výrazy s nekonečnem Definice 3.20 (přípustné výrazy s nevlastními čísly) Nechť a ∈ R. Definujeme následující výrazy: ∞ ± a := ∞ −∞ ± a := −∞ ∞ + ∞ := ∞ −∞ + (−∞) := −∞ ∞ − (−∞) := ∞ −∞ − ∞ := −∞ ( ( ∞, a > 0; −∞, a > 0; a · ∞ := a · (−∞) := −∞, a 0 a f, g : P(a, r) → R. Nechť ∀ x ∈ P(a, r) : f(x) ≤ g(x). Nechť navíc každá z funkcí f, g má v bodě a limitu. Potom platí lim f(x) ≤ lim g(x). x→a x→a 222/595 Odhady vs. limity Pozor! Nechť funkce f, g jsou jako ve V 3.26, ale splňují na nějakém prstencovém okolí a dokonce ostrou nerovnost: f < g. Potom obecně dostáváme pouze neostrou nerovnost mezi limitami: lim f(x) ≤ lim g(x). x→a x→a Slogan: „Limitní přechod dělá z ostrých nerovností neostré.“ Příklad. Pro x > 0 definujme f(x) = 0, g(x) = 1 x a uvažujme limity v nekonečnu. 223/595 Odhady vs. limity Klíčová věta 3.27 (sevření / dva policajti) Nechť a ∈ R, r > 0 a f, g, h : P(a, r) → R. Nechť ∀ x ∈ P(a, r) : f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Nechť dále mají funkce f, h v bodě a stejnou limitu, tedy platí lim f(x) = lim h(x). x→a x→a Potom existuje lim g(x) a splňuje x→a   lim g(x) = lim f(x) = lim h(x). x→a x→a x→a 224/595 Odhady vs. limity Příklad. Dokažme, že platí lim sin x = 0, lim cos x = 1. x→0 x→0 225/595 Odhady vs. limity Příklad. Dokažme, že platí lim sin x = 0, lim cos x = 1. x→0 x→0 Příklad. Určeme limitu
lim x2 + (x + 3) sin x. x→∞ 225/595 Použití omezenosti funkce v limitě Důsledek 3.28 (součin omezené a mizející funkce) Nechť a ∈ R, r > 0 a f, g : P(a, r) → R. Nechť je funkce f omezená na P(a, r) a platí lim g(x) = 0. x→a Potom platí lim f(x)g(x) = 0. x→a 226/595 Použití omezenosti funkce v limitě Příklad. Určeme limitu   xx − cos(x2 + 3) lim arctg (x − 4). x→4 e2 sinh x + 6 227/595 Použití omezenosti funkce v limitě Příklad. Určeme limitu   xx − cos(x2 + 3) lim arctg (x − 4). x→4 e2 sinh x + 6 Pro fajnšmekry: Určete limitu téhož výrazu pro x → ∞. Všimněte si, že v tom případě bude třeba naprosto odlišný postup. 227/595 Kdy stačí jeden policajt? Věta 3.29 (divergentní policajt) Nechť a ∈ R, r > 0 a f, g : P(a, r) → R. Nechť ∀ x ∈ P(a, r) : f(x) ≤ g(x). Nechť lim f(x) = ∞. x→a Potom platí také lim g(x) = ∞. x→a Na rozdíl od V 3.26 zde nepředpokládáme, že limx→a g(x) existuje. To na- opak dostáváme jako součást závěru. Bez předpokladu, že limita f je nevlastní a kladná, věta neplatí. Jak lze asi větu přeformulovat pro případ horního policajta, který diver- guje do −∞? 228/595 „Taylorovské“ limity Klíčová věta 3.30 (srovnávací limity důležitých funkcí) Platí následující: sin x ex − 1 ln(x + 1) lim = 1, lim = 1, lim = 1. x→0 x x→0 x x→0 x Věta 3.31 (srovnávací limity dalších důležitých funkcí) Platí následující: sinh x lim = 1, x→0 x tg x arctg x arcsin x lim = 1, lim = 1, lim = 1, x→0 x x→0 x x→0 x tgh x argtgh x argsinh x lim = 1, lim = 1, lim = 1. x→0 x x→0 x x→0 x 229/595 „Taylorovské“ limity Příklad. Určeme následující limitu: sin x · arctg x lim x→0 (ex − 1) tgh x V zápise využijeme techniku půjčování a vracení. 230/595 Limita složené funkce Klíčová věta 3.32 (limita složené funkce) Nechť a, b, c ∈ R, r, s > 0. Nechť f : P(a, r) → R, g : P(b, s) → R. Nechť lim f(x) = b, x→a lim g(y) = c y→b a navíc je splněna jedna z podmínek: (i) b ∈ D(g) a g(b) = c (tedy g je spojitá v b); (ii) pro všechna x ∈ P(a, r) platí f(x) 6= b. Potom platí lim g(f(x)) = c. x→a 231/595 Konec 10. přednášky 22. 10. 2024 232/595 Limita složené funkce Příklad. Rozhodněme, jestli existují tyto limity, a případně je určeme. lim cos(x2 − 9), x→3 1 lim x sin , x→∞ x   1 lim arctg exp. x→1+ x−1 233/595 Limita složené funkce Proč jsou ve Větě 4.18 podmínky (i), (ii)? Vnější funkce g nemusí být definovaná přímo v bodě b. Výraz g(b) pak nemá smysl. Dvě cesty ven z tohoto problému: (i) Vnější funkce g je definovaná v bodě b a