Números Reales 1er Año Bachillerato PDF

1 Números reales 1.1 Operaciones con raíces cuadradas (Repaso) Resuelve los siguientes ejercicios: Recuerda que:...

1 Números reales 1.1 Operaciones con raíces cuadradas (Repaso) Resuelve los siguientes ejercicios: Recuerda que: 1. a × b = a × b a) 6 × 10 b) 8 ÷ 18 c) 12 + 75 d) 18 – 50 a a 2. b = b 3. a2b = a b a) 6 × 10 b) 8 ÷ 18 6 × 10 = 6 × 10 8 8 ÷ 18 = 18 = (2 × 3) × (2 × 5) 84 = 18 9 = 22 × 3 × 5 4 = =2 3×5 9 = 2 15 = 4 9 Por lo tanto, 6 × 10 = 2 15. = 2 3 2 Por lo tanto, 8 ÷ 18 = 3. c) 12 + 75 d) 18 – 50 Se simplifican las raíces cuadradas Se simplifican las raíces cuadradas 12 = 2 × 3 2 18 = 2 × 32 =2 3 =3 2 75 = 3 × 52 50 = 2 × 52 =5 3 =5 2 se efectúa la suma de términos semejantes: se efectúa la resta de términos semejantes: 12 + 75 = 2 3 + 5 3 18 – 50 = 3 2 – 5 2 =7 3 = –2 2 Un número b es raíz cuadrada de un número a si al elevar al cuadrado el Un número positivo a tiene dos número b se obtiene el número a, es decir b2 = a. raíces cuadradas: a y – a. Si a ≥ 0, la raíz cuadrada no negativa de a se denota por a. Al efectuar un producto o una división de raíces se utilizan las propiedades: a a a × b = a×b b = b Para simplificar utiliza el he- cho que a2b = a b. Se realizan las operaciones indicadas y por último se simplifica si es posible. Al efectuar una suma o una resta de raíces se simplifican las raíces cuadradas y luego se realiza la suma o resta de términos semejantes. roblemas Realiza las siguientes operaciones con raíces cuadradas: Realiza la descomposición a) 21 × 14 b) 6 × 12 c) 24 ÷ 6 d) 15 ÷ 27 prima, para evitar cálculos e) 40 + 90 f) 80 + 45 g) 28 – 63 h) 32 – 8 grandes. 8 26  Indicador de logro 1.1 Efectúa operaciones elementales con raíces cuadradas. Secuencia Propósito En esta unidad se trabaja con raíces cuadradas, El Problema inicial plantea las operaciones con desde su definición, hasta la racionalización de raíces cuadradas en el orden con el que se tra- denominadores. En esta clase se desarrollan las bajaron en noveno grado. Los estudiantes deben operaciones con raíces cuadradas: suma, resta, utilizar la descomposición en factores primos para producto y división, así como la simplificación de efectuar la simplificación. raíces. Solución de problemas: a) 21 × 14 = 21 × 14 b) 6 × 12 = 6 × 12 = (3 × 7) × (2 × 7) = (2 × 3) × (3 × 22) = 2 × 3 × 72 = 2 × 22 × 32 =7 2×3 =2×3 2 = 7 6. = 6 2. c) 24 ÷ 6 = 24 d) 15 ÷ 27 = 15 6 27 24 4 15 5 = 1 = 27 9 6 5 = 4 = 9 = 2. = 59 = 5. 3 e) Simplificando: f) Simplificando: 40 = 22 × 2 × 5 = 2 10. 80 = 22 × 22 × 5 = 2 × 2 5 = 4 5. 90 = 2 × 32 × 5 = 3 10. 45 = 32 × 5 = 3 5. Efectuando: Efectuando: 40 + 90 = 2 10 + 3 10 80 + 45 = 4 5 + 3 5 = 5 10. = 7 5. g) Simplificando: h) Simplificando: 28 = 22 × 7 = 2 7. 32 = 22 × 22 × 2 = 2 × 2 2 = 4 2. 63 = 32 × 7 = 3 7. 8 = 22 × 2 = 2 2. Efectuando: Efectuando: 28 – 63 = 2 7 – 3 7 32 – 8 = 4 2 – 2 2 = – 7. = 2 2. 27 Sugerencia metodológica  1 1.2 Operaciones combinadas con raíces cuadradas (Repaso) Unidad 1 Realiza las siguientes operaciones: a) 2 ( 6 + 10) b) ( 2 + 15)( 5 – 6 ) a) 2( 6 + 10) = 2 × 6 + 2 × 10 Aplicando la propiedad distributiva, = 2 × 6 + 2 × 10 = 12 + 20 se puede hacer la descomposición prima de una sola vez, = 22 × 3 + 22 × 5 = 2 3 + 2 5. Por lo tanto, 2 ( 6 + 10) = 2 3 + 2 5. b) ( 2 + 15)( 5 – 6 ) = 2 × 5 – 2 × 6 + 15 × 5 – 15 × 6 Efectuando el producto, = 2 × 5 – 2 3 + 5 3 – 32 × 5 × 2 realizando la descomposición prima, = 10 – 2 3 + 5 3 – 3 10 = –2 10 + 3 3. Por lo tanto, ( 2 + 15)( 5 – 6 ) = –2 10 + 3 3. En las operaciones combinadas con radicales se realizan los Recuerda la propiedad distributiva y los pro- siguientes pasos: ductos notables: a (b + c) = ab + ac 1. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 2. Se simplifican las raíces cuadradas. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 3. Se efectúan las sumas y restas de raíces semejantes. (a + b)(a – b) = a2 – b2 roblemas Efectúa las siguientes operaciones: a) 2 ( 14 + 5 ) b) 6 ( 3 – 8 ) c) 5 (4 10 + 7 15) d) (2 – 18 )(2 + 18 ) e) ( 2 + 3)2 f) ( 8 – 6)2 g) ( 5 + 12 )( 10 + 24 ) h) ( 7 – 5 )( 21 – 15 ) i) ( 12 – 4)( 6 + 9) 9 28  Indicador de logro 1.2 Efectúa operaciones combinadas con raíces cuadradas. Secuencia Propósito En la clase anterior se trabajaron las operaciones En la Solución se sugiere a los estudiantes reali- con raíces separadamente; en esta clase se desa- zar el paso de la descomposición prima desde la rrollan las operaciones combinadas. Siempre se multiplicación para no efectuar el producto. En debe recalcar la simplificación de los resultados. los Problemas puede sugerirse a los estudiantes el uso del paréntesis para la multiplicación. Solución de problemas: a) 2( 14 + 5) = 2 × 14 + 2 × 5 = 2 × 14 + 2 × 5 = 22 × 7 + 10 = 2 7 + 10 b) 6( 3 – 8) = 6 × 3 – 6 × 8 = 6 × 3 – 6 × 8 = 2 × 32 – 22 × 22 × 3 = 3 × 2 – 2 × 2 3 = 3 2 – 4 3 c) 5(4 10 + 7 15 ) = 5 × 4 10 + 5 × 7 15 d) (2 – 18)(2 + 18) = 22 – ( 18)2 = 4 5 × 10 + 7 5 × 15 = 4 – 18 = 4 2 × 52 + 7 3 × 52 = –14 =4×5× 2+7×5× 3 = 20 2 + 35 3 e) ( 2 + 3)2 = ( 2)2 + 2( 2)( 3) + ( 3)2 f) ( 8 – 6)2 = ( 8)2 – 2( 8)( 6) + ( 6)2 =2+2 2×3+3 = 14 – 2 8 × 6 =2+2 6+3 = 14 – 2 22 × 22 × 3 =5+2 6 = 14 – 2 × 2 × 2 3 = 14 – 8 3 g) ( 5 + 12)( 10 + 24) = 5 × 10 + 5 × 24 + 12 × 10 + 12 × 24 = 5 × 10 + 5 × 24 + 12 × 10 + 12 × 24 = 2 × 52 + 5 × 22 × 2 × 3 + 22 × 3 × 2 × 5 + 22 × 22 × 2 × 32 = 5 2 + 2 30 + 2 30 + 2 × 2 × 3 2 = 5 2 + 2 30 + 2 30 + 12 2 = 17 2 + 4 30 h) ( 7 – 5)( 21 – 15) = 7 × 21 – 7 × 15 – 5 × 21 + 5 × 15 = 7 × 21 – 7 × 15 – 5 × 21 + 5 × 15 = 3 × 72 – 105 – 105 + 3 × 52 = 7 3 – 2 105 + 5 3 = 12 3 – 2 105 i) ( 12 – 4)( 6 + 9) = 12 × 6 + 12 × 9 – 4 × 6 – 36 = 12 × 6 + 9 12 – 4 6 – 36 = 22 × 2 × 32 + 9 22 × 3 – 4 6 – 36 = 6 2 + 18 3 – 4 6 – 36 29 Sugerencia metodológica  1 1.3 Racionalización con denominador a Racionaliza el denominador y simplifica si es posible: a) 3 b) 2 6 20 a) 3 = 3 × 6 Multiplicando y b) Simplificando la raíz cuadrada, 6 6 6 dividiendo por 6 , 20 = 22 × 5 = 3× 6 observa que 6 = 1, =2 5 6× 6 6 1 3 6 sustituyendo y racionalizando, = 62 1 2 = 2 20 2 5 = 6. 1 2 = 1 × 5 3 6. 5 5 Por lo tanto, = 6 2 = 1× 5 5 = 5. 5 Por lo tanto, 2 = 5. 20 5 Para racionalizar el denominador de b se realizan los siguientes pasos: a a Racionalizar una fracción es en- 1. Se multiplica por:. contrar una fracción equivalen- a te con denominador entero. 2. Se simplifica el resultado cuando sea posible: b × a = b a. a a a roblemas 1. Racionaliza el denominador y simplifica siempre que sea posible. 5 7 a) b) c) 3 d) 4 Revisa si se simplifica 5 14 15 8 antes de racionalizar. 6 g) 12 e) 6 f) 12 h) 15 18 10 72 2. Racionaliza el denominador y determina cuáles son iguales. a) 2 b) 3 c) 5 d) 35 10 7 2 21 e) 27 f) 3 g) 2 h) 3 7 21 7 5 7 3 10 30 Indicador de logro 1.3 Racionaliza fracciones con denominador a. Secuencia Posibles dificultades Ahora que ya se han utilizado las operaciones con En algunos problemas la división permite la sim- raíces cuadradas se aborda la racionalización de plificación por lo que es bueno mencionarla; sin fracciones con denominador a, se sugiere sim- embargo, puede dar lugar a confusión, en tal caso plificar antes para evitar cálculos grandes. es mejor simplificar después de racionalizar. Solución de problemas: 2 1a) 5 = 5 × 5 = 5 5 = 5 2a) 2 = 2 × 10 = 1010 = 510 5 5 5 5 10 10 10 7 1b) 7 = 7 × 14 = 1414 = 214 2b) 3 = 3 × 7 = 3 7 14 14 14 7 7 7 7 3 1c) 3 = 3 × 15 = 1515 = 515 2c) 5 = 5 × 2 = 5 × 2 = 5 × 2 = 210 15 15 15 2 2 2 2 2 1d) Simplificando: × 7 2d) 35 = 35 × 21 = 3521 21 = 3 × 5 × 7 = 2115 = 315 2 8 = 23 = 2 2. 21 21 21 21 Racionalizando: 3×3 7 3 4 = 4 = 2 = 2 × 2 = 2 2 = 2. 2e) 27 = 27 × 21 = 27 × 21 = 3 × 3 × 7 = 21 = 7 7 2 2 8 2 2 2 2 2 2 21 21 21 21 21 1e) Simplificando: 2f) 3 = 3 × 7 = 3 × 7 = 37× 7 = 721 18 = 2 × 32 = 3 2. 7 7 7 7 Racionalizando: 6 = 6 = 2 × 2 = 2 2 = 2. 2g) 2 = 2 × 5 = 2 × 5 = 2 × 5 = 510 18 3 2 2 2 2 5 5 5 5 5 1f) Simplificando: 2h) 3 7 = 3 7 × 3 = 3 7 × 3 = 7 × 3 = 721 12 = 22 × 3 = 2 3. 7 3 7 3 3 7×3 7 Racionalizando: Son iguales los siguientes pares: 6× 3 = 66× 3 = 26× 3 3 2 2 6 = 6 = 6 × 3 = = a) y g) 12 2 3 2 3 3 2×3 6 b) y e) = 2. f) y h) 2 En este caso, también puede efectuar primero la división y luego racionalizar: 6 1 6 = 12 = 2 = 1 × 2 = 2. 12 2 2 2 1g) 12 = 2 3 = 2 3 × 10 = 2 3 × 10 = 2 3 × 10 = 30 10 10 10 10 10 10 5 1h) Simplificando: 72 = 22 × 2 × 32 = 2 × 3 2 = 6 2. Racionalizando: 15 = 15 = 15 × 2 = 15 × 2 30 = 15 × 2 = 12. 72 6 2 6 2 2 6×2 12 31 Sugerencia metodológica  1 1.4 Racionalización con denominador binomio Unidad 1 ¿De qué manera podrías racionalizar el denominador? 2 1 a) + b) 5 2 3– 2 Recordando el producto notable “Suma por diferencia de binomios”: (x + y)(x – y) = x2 – y2 Se puede efectuar este producto para una suma por diferencia de dos raíces cuadradas: ( a + b )( a – b ) = ( a)2 – ( b )2 = a – b El producto de una suma de raíces cuadradas, de números racionales, por su diferencia es un número racional. Ahora se aplicará esto a los ejercicios propuestos. 1 a) 2 = 2 × 5– 2 multiplicando y b) 1 = × 3+ 2 multiplicando y 5+ 2 5+ 2 5– 2 dividiendo por una 3– 2 3– 2 3+ 2 dividiendo por una 2×( – ) resta de términos suma de términos 5 2 1 × ( 3 + 2) = ( + )( = 5 2 5 – 2) ( 3 – 2)( 3 + 2) 2 × ( 5 – 2) + = 5–2 = 33 – 2 2 2 × ( 5 – 2) + = 3 = 31 2 2 5–2 2 = 3 + 2. = 3. 1 2 Por lo tanto, = 3 + 2. Por lo tanto, = 2 5 – 2 2. 3– 2 5+ 2 3 A la expresión a – b se le denomina la conjugada de a + b. La conjugada de una expresión de dos términos se obtiene cambiando el signo del segundo término. Dos expresiones son conjugadas si una es la conjugada de la otra. Para racionalizar una fracción cuyo denominador sea suma o diferencia con raíces cuadradas, se multiplica y divide por la conjugada del denominador. Racionaliza el denominador 3 7–2 3 = 3 × 7+2 7–2 7–2 7+2 la conjugada de 7 – 2 es 7 + 2, 3 × ( 7 + 2) = ( 7 – 2)( 7 + 2) efectuando el producto notable, 3× 7+ 3×2 ( 7 – 2)( 7 + 2) = ( 7)2 – (2)2 = 7 – 4 = 3, = 3 = 21 + 2 3. Por lo tanto, 3 = 21 + 2 3. 3 7–2 3 roblemas Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones: 1 2 + + 4 +2 a) b) c) 3 d) 6 e) 3 + 2 f) 15 – 5 g) h) 114 – 6+ 2 7– 5 12 + 6 11 – 10 8 6 15 5 10 + 3 7 11 32 Indicador de logro 1.4 Racionaliza fracciones con denominador a ± b o a ± b. Secuencia Propósito Con la base de las operaciones combinadas se es- En el Ejemplo se indica a los estudiantes que al tudia ahora la racionalización de fracciones con efectuar el producto notable (suma por diferen- denominador binomio. cia) escriban la diferencia de los cuadrados ya cal- culados, omitiendo el proceso. Solución de problemas: 1 – 6– 2 – 6– 2 a) 1 = × 6 – 2 = ( + 6 )( 2 – ) = = 66 – 2 2 = 4 6+ 2 6+ 2 6– 2 6 2 6 2 ( 6 )2 – ( 2 )2 2 2 2( + ) b) = × 7 + 5 = ( – 7)( 5+ ) = 2( 72 + 5 )2 = 2( 7 + 5) = 7 + 5 7– 5 7– 5 7+ 5 7 5 7 5 ( 7) – ( 5) 7–5 3 3 × ( 12 – 6) 3 × 12 – 3 × 6 3 × 12 – 3 × 6 22 × 32 – 2 × 32 6–3 2 2– 2 c) = ( 12 + 6)( 12 – 6) = 12 – 6 = 6 = 6 = 6 = 2 12 + 6 6 6 × ( 11 + 10 ) 6 × 11 + 6 × 10 ) 6 × 11 + 6 × 10 d) = = = = 66 + 22 × 3 × 5 = 66 + 2 15 11 – 10 ( 11 – 10 )( 11 + 10 ) 11 – 10 1 ( 3 + 2)( 8 – 6) 3× 8– 3× 6+ 2× 8– 2× 6 3×8– 3×6+ 2×8– 2×6 e) 3 + 2 = ( + )( – ) = 8 – 6 = 2 8+ 6 8 6 8 6 – 2 + 2 – 22 × 3 2 6 – 3 2 + 4 – 2 3 = 2 × 2 × 3 2 × 32 2 × 2 2 2 = 2 ( 15 + 5 )( 15 + 5 ) ( 15)2 + 2 15 × 5 + ( 5 )2 15 + 2 15 × 5 + 5 20 + 2 3 × 52 20 + 2 × 5 3 f) 15 + 5 = ( = 15 – 5 = = = =2+ 3 15 – 5 15 – 5 )( 15 + 5 ) 10 10 10 4 4 10 – 12 g) = 4 × ( 10 – 3) = 4 10 – 12 = 1 =4 10 – 12 10 + 3 ( 10 + 3)( 10 – 3) 10 – 9 14 + 14 × 7 + 2 + 2 7 14 + 2 × 72 + 2 + 2 7 h) 14 + 2 = ( 14 + 2)(1 + 7) = 14 × 1 + 14 × 7 + 2 × 1 + 2 × 7 = –6 = –6 1– 7 (1 – 7)(1 + 7) 1–7 +7 2+2+2 7 = – 14 6 33 Sugerencia metodológica  1 1.5 Los números neperiano y áureo El número neperiano e El número áureo ϕ = 1 +2 5 Su valor es 2.718281828459045... y puede aproxi- Es la razón de las longitudes de dos segmentos 1 n distintos a y b a través de la relación: La suma de marse mediante la expresión 1 + n donde n es un número natural muy grande. las longitudes es al segmento mayor, como el seg- mento mayor es al segmento menor. A partir de lo anterior realiza lo siguiente: Algebraicamente, la proporción dada se escribe así: 1. Observa que el valor numérico de la expresión b a anterior aumenta, si aumenta el valor de n. a+b = a =ϕ a b 2. Encuentra el valor numérico de la expresión anterior con los valores n = 1000, n = 10 000, a+b n = 100 000. A partir de la proporción calcula ϕ. a+b a b b a b 1 1. Se evalúan los valores con una calculadora. ϕ = a = a + a = 1 + a y b = ϕ, luego a = ϕ 1 n 1 2 3 4 ϕ=1+ 1, sustituyendo en la proporción, n ϕ 1+ 1 2 2.25 2.3703... 2.4414... ϕ2 = 1 + ϕ, multiplicando por ϕ, n Al aumentar el valor de n aumenta el valor de la ϕ2 – ϕ – 1 = 0, transponiendo los términos del expresión. miembro izquierdo. Se aplica la fórmula general de la ecuación 2. Se elabora una tabla con los valores dados. cuadrática para a = 1, b = –1 y c = –1 n 1000 10 000 100 000 – (–1) ± (–1)2 – 4(1)(–1) 1 ± 5 ϕ= 2(1) = , 1 n 2 1+ n 2.71692... 2.71814... 2.71826... ϕ es positivo, pues es la razón de longitudes. Al tomar valores “muy grandes” de n, se aproxi- Por lo tanto, ϕ = 1 +2 5. ma al valor de e dado al principio. El número e es irracional, por lo que su valor exacto El número ϕ es irracional pues no puede escribirse solo es aproximable. como el cociente de dos números enteros. Leonard Euler, en Introductio in Analysin infinitorum de El número áureo es una constante que aparece con fre- 1748, dio dos expresiones para aproximar el valor de e. cuencia en diversos campos de la naturaleza: crecimiento n de las hojas, esqueletos de los mamíferos, etc. Además, e = nlim∞ 1 + 1 y e = nlim∞ 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 tiene presencia en el arte y la música, pues tal propor- n 0! 1! 2! 3! n! J.L. Coolidge. (1950). The number e. ción, se cree, tiene relación con la percepción de la armo- nía y belleza. Casans, A. (2001). Aspectos estéticos de la divina proporción. roblemas 1 1 1 1. Utilizando la expresión e = 0! + 1! + 2! + 1 +... + 1 , con n un número natural y n! = n × (n – 1) × … × 2 × 1, 3! n! aproxima el valor de e hasta n = 10. 2. En el pentágono regular ABCDE de lado 1 se han trazado todas las diagonales, realiza lo siguiente: B a) Demuestra que ∆ABC ~ ∆BFA. b) Demuestra que ∆BCF es isósceles. c) Demuestra que FA = a – 1, donde a es la longitud de la diagonal AC. C F A 1 d) Demuestra que a = a – 1. e) Encuentra el valor de a. D E 12 34 Indicador de logro 1.5 Realiza cálculos de los números neperiano y áureo. Secuencia Posibles dificultades Se presentan dos números reales que poseen Respecto al problema 2, los estudiantes pueden como peculiaridad las siguientes características: haber olvidado varias nociones geométricas, por el número neperiano se obtiene como aproxima- lo que se sugiere recordar las propiedades del ción de ciertas expresiones algebraicas y la razón pentágono regular como: todos los lados y ángu- áurea como una proporción geométrica. los tienen igual medida. Solución de problemas: 1. n 1 2 3 4 5 1 1 + +... + 1 2 2.5 2.6 2.7083 2.716 0! 1! n! n 6 7 8 9 10 1 1 + +... + 1 2.71805 2.71825396 2.7182787698... 2.7182815255... 2.7182818011... 0! 1! n! 2a) En el triángulo ABC. 2b) En el triángulo BCF, ∢ABC = 180° × 3 ÷ 5 =108° ∢FBC = ∢ABC – ∢ABF AB = BC ∆ABC es isósceles ∢BCA = ∢CAB. ∢FBC = 108° – 36° = 72° B Sea θ = ∢BCA = ∢CAB Luego, ∢CFB es exterior al ∆ABF C A 2θ + 108° = 180° θ = 36°. F ∢CFB = ∢FAB + ∢ABF Así ∢BCA = ∢CAB = 36°. ∢CFB = 36° + 36° = 72 ° D E Análogamente se prueba en ∆ABE que ∢FBC = ∢CFB = 72°. ∢BEA = ∢ABE = 36°. Por lo que en el triángulo BFA Por lo tanto, ∆BCF es isósceles. ∢ABE = ∢CAB = ∢FAB = 36°. Por lo tanto, por criterio AA se tiene que ∆ABC ~ ∆BFA. 2c) Se tiene que 2d) Del resultado en 2a), ∆ABC ~ ∆BFA, entonces CF + FA = AC FA = AC – CF FA = a – CF AC BA a 1 1 = FA 1 = a – 1 a = a – 1. ∆BCF es isósceles con ∢FBC = ∢CFB = 72°, BA entonces CF = CB = 1. Por lo tanto, FA = a – 1. 1 2e) a = a – 1 a(a – 1) = 1 a2 – a – 1 = 0 – 4(1)(–1) 1 ± 5 Aplicando la fórmula cuadrática: a = –(–1) ± (–1) 2 2(1) = 2. Como a > 0, a = 1 + 5 (número áureo). 2 35 Sugerencia metodológica  1 1.6 Definición de los números reales: la recta numérica Unidad 1 1. Dibuja la recta numérica y ubica los siguientes números: 9 a) 3 b) –2 c) 1 d) – 5 e) –2.5 f) 1.4 g) 5 h) ϕ i) –1 j) π 2 2. Clasifica cada uno de los números anteriores como racional e irracional. En la recta numérica b está a la derecha de a si y solo si a < b. a b 1. Se utilizan los valores aproximados en decimales de los números dados: a) 3 = 3 b) –2 = –2 c) 1 = 0.5 9 d) – 5 = – 1.8 e) –2.5 = –2.5 2 f) 1.4 g) 5 = 2.236... h) ϕ = 1.618... i) –1 j) π = 3.141... Antes de colocar los números en la recta numérica, se ordenan de menor a mayor. 1 –2.5 < –2 < – 95 < –1 < 2 < 1.4 < ϕ < 5 < 3 < π –3 –2 –1 0 1 2 3 9 1 1.4 ϕ 5 π –2.5 –5 3 –2 –1 2 a) 3 es racional b) –2 es racional 1 c) 2 es racional d) – 9 es racional 5 5 e) –2.5 = – 2 es racional f) 1.4 = 7 es racional g) 5 es irracional h) ϕ es irracional 5 i) –1 es racional j) π es irracional El conjunto de los números reales está formado por Números reales ℝ los números racionales y los números irracionales. Racionales Irracionales – 9 1 2 3 5 2 El símbolo utilizado para representar el conjunto de Enteros los números reales es ℝ. ⋯ –3, –2, –1, 0 11 – 3 – 5 Naturales La recta numérica es una representación del conjun- ℕ ϕ π e to de los números reales: a cada número real le co- 1, 2, 5, 7, ⋯ rresponde un único punto en la recta y viceversa. – 2.5 0.75 roblemas 1. Ubica los siguientes números en la recta numérica. a) 2 b) 1 c) –3 d) 3 5 8 h) 0.15 e) – 5 f) – 0.5 g) 2.9 i) – 11 j) e k) 2 l) 7 10 3 2. Determina a cuáles de los siguientes conjuntos: ℕ, ℤ, ℚ pertenece cada número del problema 1 o si es un número irracional. 13 36 Indicador de logro 1.6 Ubica los números reales en la recta numérica. Secuencia Posibles dificultades En esta clase se explora la relación de orden de los Es posible que el orden no esté claro, por lo que números reales a través de la ubicación de pun- es necesario que los estudiantes dibujen la recta tos en la recta numérica. Posteriormente, el estu- numérica con marcas entre las unidades para di- diante utilizará estos conocimientos para elaborar ferenciar al menos los valores de las décimas en- gráficas y establecer soluciones de desigualdades. tre los números. Solución de problemas: 1a) 2 = 0.4 1b) 1 1c) –3 1d) 3 = 1.73... 5 8 1e) – 5 = –1.6 1f) –0.5 = –0.555... 1g) 2.9 1h) 0.15 7 11 1i) – 10 = –1.1 1j) e = 2.71.... 1k) 2 = 1.41.... 1l) 3 = 2.333.... Se ordenan de menor a mayor. Se utilizan los valores aproxima- dos en decimales de los números 7 –3 < – 8 < – 11 < –0.5 < 0.15 < 2 < 1 < 2 < 3 < 3 < e < 2.9 dados: 5 10 5 –3 –2 –1 0 1 2 3 –0.5 0.15 7 e 2.9 –3 – 85 – 11 10 2 1 2 3 3 5 2a) 2 es racional. 2b) 1 es natural. 2c) –3 es entero. 5 8 5 2d) 3 = 1.73... es irracional. 2e) – 5 es racional. 2f) –0.5 = – 9 es racional. 3 11 29 2g) 2.9 = 10 es racional. 2h) 0.15 = 20 es racional. 2i) – 10 es racional. 7 2j) e = 2.71... es irracional. 2k) 2 = 1.41... es irracional. 2l) 3 es racional. En el problema 2, pueden haber distintas so- luciones. Por ejemplo, en 2b), 1 es natural, entero y racional. 37 Sugerencia metodológica  1 1.7 Definición de los números reales: números decimales Escribe como un número decimal los siguientes números reales: 3 5 1 a) 3 b) –2 c) 2 d) 3 e) 6 f) 7 g) e h) π a) 3.000..., es un número decimal, su parte entera es 3 y su parte decimal es 0.000... b) –2.000..., es un número decimal, su parte entera es –2 y su parte decimal es 0.000... 3 3 5 5 c) 2 , se divide 2 = 3 ÷ 2 = 1.5. d) 3 , se divide 3 = 5 ÷ 3 = 1.6. 1 1 e) 6 , se divide 6 = 1 ÷ 6 = 0.16. f) 7 = 2.645751... g) e = 2.7182818... h) π = 3.141592... Los números decimales se utilizan para representar partes de la unidad, por lo que un número decimal se escribe de la forma a.bcdefg… donde a es un número entero y los números b, c, d, e, f, g… pueden ser los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Al número a se le denomina la parte entera y al número 0.bcdefg… se le denomina parte decimal. Así, el conjunto de los números reales ℝ está formado por todos los números decimales: Números Reales ℝ Racionales ℚ Irracionales Números decimales Números decimales periódicos no periódicos Enteros Números decimales con parte decimal 0.0000... roblemas Clasifica cada uno de los siguientes números decimales como racional o irracional. a) 0.125 b) 0.101001000100001... c) 0 d) 5.75757575... e) –7.321 f) 1.221212121212121... g) –10 h) 3.333333... i) 3.141592653589... j) 4.12666666 k) 0.123456789101112... l) –0.61803398874989... 14 38 Indicador de logro 1.7 Clasifica los números decimales en racionales e irracionales. Secuencia Posibles dificultades En noveno grado se estudió la definición de los Es de observar que el concepto implícito de de- números irracionales como aquellos números cimal periódico utilizado en la clase, incluye a los reales que no pueden representarse como el co- números enteros y los decimales con parte deci- ciente de dos enteros. En esta clase se establecen mal finita, por la posibilidad de adicionar ceros las características de los números reales por su en la parte decimal; en ese sentido, cada número representación decimal. real por su representación decimal es periódico o no periódico. Solución de problemas: a) 0.125 es racional pues es periódico. b) 0.101001000100001... es irracional pues es no periódico. c) 0 es racional pues es periódico. d) 5.75757575... es racional pues es periódico. e) –7.321 es racional pues es periódico. f) 1.2212121212121... es racional pues es periódico. g) –10 es racional pues es periódico. h) 3.333333... es racional pues es periódico. i) 3.1415926535... es irracional pues es no periódico. j) 4.12666666 es racional pues es periódico. k) 0.123456789101112... es irracional pues es no l) –0.61803398874... es irracional pues es no periódico. periódico. 39 Sugerencia metodológica  1 1.8 El valor absoluto de un número real Unidad 1 Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a) 2 b) –3 c) 7 d) – 3 4 El valor absoluto de un número real es la distan- cia de ese número a cero en la recta numérica. 2 3 a) 2 b) –3 –1 0 1 2 3 –3 –2 –1 0 1 |2| = 2 |– 3| = 3 7 3 4 c) 7 = 2.64... d) – 3 4 –1 0 1 2 3 –3 1 1 0 4 –2 –4 2.64... 3 | 7|= 7 –3 =4 4 El valor absoluto de un número positivo es el El valor absoluto de un número negativo es mismo número: igual a su número opuesto: |2|= 2 | 7| = 7 3 3 |–3|= 3 –4 = 4 Observa que: 3 3 – (– 3) = 3 y – – = 4 4 Se observa que: El valor absoluto de un número positivo es el mismo número, es decir, si a > 0 entonces |a| = a. El valor absoluto de cero es cero: |0|= 0. El valor absoluto de un número negativo es su número opuesto: si a < 0 entonces |a|= – a > 0. Cada número real determina un único valor absoluto, es decir, un número tiene un único valor absoluto. El valor absoluto de un número real a se define de la siguiente manera: Recuerda que: 42 = 16 = 4, 02 = 0 = 0 y (–5)2 = 25 = 5 a , si a ≥ 0 Por lo que, para todo número real a se cumple que: |a| = a2 = |a| – a , si a < 0 roblemas 1. Encuentra el valor absoluto de los siguientes números: a) 6 1 b) 70 c) –0.11111 d) –153 e) e f) – ϕ g) 0 h) – 1 3 2. Sean a y b dos números positivos, demuestra que: si a ≥ b entonces |a – b| = a – b. 15 40  Indicador de logro 1.8 Calcula el valor absoluto de números reales. Secuencia Propósito En séptimo grado, los estudiantes utilizaron el En la Solución se hace la observación de que obte- valor absoluto con la definición de la distancia al ner el valor absoluto de un número negativo tiene origen, ahora se define como una regla de asigna- el mismo resultado que obtener su opuesto, con ción utilizando la noción de correspondencia. el objetivo de inducir su definición como función. Solución de problemas: 1a) | 6| = 6 | 70 | 1b) 1 = 1 70 1c) |–0.11111| = –(–0.11111) = 0.11111 1d) |–153| = –(– 153) = 153 1e) |e| = e 1f) |– ϕ| = –(–ϕ) = ϕ 1g) |0| = 0 | 3| ( 3 ) 1h) – 1 = – – 1 = 1 3 2. a ≥ b > 0 Por casos: Caso 1: si a = b a – b = 0 |a – b| = |0| = 0 = a – b. Caso 2: si a > b a – b > 0 |a – b| = a – b. 41 Sugerencia metodológica  1 1.9 Definición de intervalo Escribe cómo se lee y representa en la recta numérica las siguientes desigualdades: a) 5 < x ≤ 8 b) –1 ≤ x ≤ 4 c) 0 < x < 2 d) –3 ≤ x < –1 e) x > 8 f) x < –4 g) x ≤ 5 h) x ≥ –2 a) 5 < x ≤ 8, esta desigualdad se lee: b) –1 ≤ x ≤ 4, esta desigualdad se lee: x mayor que 5 y menor o igual que 8. x mayor o igual que –1 y menor o igual Su representación en la recta es: que 4. Esta desigualdad se representa así: 5 no se incluye 8 sí se incluye 4 5 6 7 8 9 –1 0 1 2 3 4 c) 0 < x < 2, esta desigualdad se lee: d) –3 ≤ x < –1, esta desigualdad se lee: x mayor que 0 y menor que 2, por lo x mayor o igual que –3 y menor que –1, que su representación es: por lo que su representación es: –1 0 1 2 3 –4 –3 –2 –1 0 e) x > 8, esta desigualdad se lee: f) x < –4, esta desigualdad se lee: x mayor que 8. x menor que –4. Se representa de la siguiente manera: Se representa de la siguiente manera: no hay extremo no hay extremo 7 8 9 10 11 –8 –7 –6 –5 –4 g) x ≤ 5, esta desigualdad se lee: h) x ≥ –2, esta desigualdad se lee: x menor o igual que 5. x mayor o igual que –2. 2 3 4 5 –3 –2 –1 0 1 Un intervalo es una porción de la recta numérica representado por una semirrecta o un segmento de recta. Por ejemplo, los subconjuntos representados en el Problema inicial son intervalos: a), b), c) y d) son seg- mentos, y e), f), g) y h) son semirrectas. Retomando el Problema inicial, la notación utilizada para representar un intervalo es: a) 5 < x ≤ 8 ]5, 8] b) –1 ≤ x ≤ 4 [–1, 4] c) 0 < x < 2 ]0, 2[ d) –3 ≤ x < –1 [–3, –1[ A los números que aparecen en el intervalo se les llama extremos del intervalo. Si el extremo del intervalo no se incluye, el corchete se escribe al revés : “]” al principio y “[” al final. 16 42  1 Unidad 1 e) x > 8 ]8, ∞[ f) x < –4 ]–∞, –4[ g) x ≤ 5 ]–∞, 5] h) x ≥ – 2 [–2, ∞[ El símbolo “∞” representa el infinito, mientras que “–∞” representa menos infinito. Estos símbolos en un intervalo indican que no existe otro número que sea extremo del intervalo. El corchete correspondiente a –∞ o ∞ se coloca al revés, por ejemplo: “]–∞, 8]” y “]1, ∞[”. La siguiente tabla resume la notación de los tipos de intervalos, su representación en la recta numérica y la notación como conjunto utilizando desigualdades: Tipo Notación de Representación en la Notación de de intervalo intervalo recta numérica conjunto Cerrado [a, b] a b {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} Semiabierto [a, b[ a b {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} por la derecha Semiabierto ]a, b] a b {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} por la izquierda Abierto ]a, b[ a b {x ∈ ℝ | a < x < b} [a, ∞[ a {x ∈ ℝ | x ≥ a} ]a, ∞[ a {x ∈ ℝ | x > a} Infinitos ]–∞, a] a {x ∈ ℝ | x ≤ a} ]–∞, a[ a {x ∈ ℝ | x < a} En la notación de conjunto, por ejemplo, el conjunto {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} se lee: los elementos x que per- tenecen a los números reales tal que x es mayor o igual que a y menor o igual que b. roblemas Representa los siguientes intervalos en las otras dos notaciones: a) ]–3, 0] b) ]–∞, –5[ c) [5, ∞[ d) ]2, 6[ e) f) –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 g) h) –1 0 1 2 3 –11 –10 –9 –8 –7 i) {x ∈ ℝ | –9 < x < –5 } j) {x ∈ ℝ | –7 < x ≤ –2} k) {x ∈ ℝ | x ≥ –4} l) {x ∈ ℝ | x < 0} 17 43 Sugerencia metodológica Indicador de logro 1.9 Representa intervalos en la recta numérica o en la notación de conjunto. Secuencia Propósito El estudiante conoció en Tercer Ciclo el conjunto Los estudiantes pueden representar números rea- de los números reales, así como algunos de sus les por medio de puntos en la recta numérica, por subconjuntos. En esta clase conocerá otro tipo lo que en el Problema inicial se pretende que el de subconjunto de los números reales: los in- estudiante deduzca la representación del segmen- tervalos, que son importantes para trabajar con to de recta o semirrecta para una desigualdad. Sin desigualdades en la Unidad 3 y con funciones embargo, el primer ítem puede utilizarse como reales en la Unidad 4. ejemplo. Intervalo Recta numérica Notación de conjunto a) ]–3, 0] {x ∈ ℝ | –3 < x ≤ 0} –4 –3 –2 –1 0 1 b) ]–∞, –5[ –8 –7 –6 –5 –4 {x ∈ ℝ | x < –5} c) [5, ∞[ {x ∈ ℝ | x ≥ 5} 4 5 6 7 8 d) ]2, 6[ {x ∈ ℝ | 2 < x < 6} 1 2 3 4 5 6 7 Recta numérica Intervalo Notación de conjunto e) –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 [–2, 5] {x ∈ ℝ | –2 ≤ x ≤ 5} f) [1, 2[ {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 2} 0 1 2 3 g) ]0, ∞[ {x ∈ ℝ | x > 0} –1 0 1 2 ]–∞, –7] {x ∈ ℝ | x ≤ –7} h) –11 –10 –9 –8 –7 Notación de conjunto Intervalo Recta numérica i) {x ∈ ℝ | –9 < x < –5 } ]–9, –5[ –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 j) {x ∈ ℝ | –7 < x ≤ –2} ]–7, –2] –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 k) {x ∈ ℝ | x ≥ –4} [–4, ∞[ –5 –4 –3 –2 l) {x ∈ ℝ | x < 0} ]–∞, 0[ –3 –2 –1 0 1 44  1 1.10 Practica lo aprendido 1. Racionaliza las siguientes fracciones: a) 1 1 2 b) 1 c) d) 2 3+ 2 4+ 7 2– 3 3+ 2 1 1 e) 3 + 2 f) 27 – 8 g) 2+ 3+ 5 h) 2 + 3 +2 1– 3 2. Sea n un número natural. Ubica en la recta numérica los números n tales que 2 < n < 3. 3. Encuentra el valor absoluto de los siguientes números: a) 1 + 1 b) 2 – 3 c) 5 – 1 d) 2 + 3 Utiliza el resultado del problema 2 3 3 4 6 2 2 de la clase 1.8 y también que si a y b son números reales tales e) 7 – 5 f) 2 – 3 g) 10 – 3 h) 2 7 – 6 que 0 < a < b entonces a < b. 4. Justifica las siguientes afirmaciones: a) Al efectuar la división 12 ÷ 3 se obtiene un número entero. b) Al efectuar la división 2 ÷ 8 se obtiene un número racional. c) El número áureo ϕ es menor que el neperiano e. d) 2 + 3 ≠ 5. Utiliza la definición de raíz cuadrada. 1 e) Al efectuar la operación: ϕ2 – ϕ se obtiene un número entero. f) El valor absoluto de un número real nunca es un número negativo. g) Sean a y b números reales, si 0 < b < a entonces |b – a| = a – b. 5. En los siguientes literales, ¿qué valores puede tomar la variable x para que la igualdad se cumpla? a) |x| = 1 b) |x| = 6 c) |x| = 0 d) |x + 1| = 3 6. Completa el siguiente cuadro sobre las representaciones de intervalos. Intervalo Notación de conjunto Representación en la recta numérica ]–4, 7] 3 4 10 {x ∈ ℝ | x > 9} [ 2 , ϕ] {x ∈ ℝ | x < 2} [0, 2π[ x ∈ℝ|–π 0 por lo que | 2 + 3| = 2 + 3. 3e) 7 – 5. 3f) | 2 – 3|. Puesto que 5 < 7 5 < 7. Puesto que 2 < 3 2 < 3 Aplicando el resultado del problema 2, clase 1.8 2 – 3 = 2 + (– 3) es un número negativo se tiene que | 7 – 5 | = 7 – 5. | 2 – 3| = –( 2 – 3) = – 2 + 3 = 3 – 2. 3g) 10 – 3 = 10 – 9 3h) 2 7 – 6 = 28 – 36. 9 < 10 9 < 10 3 < 10. Puesto que 28 < 36 28 < 36 Aplicando el resultado del problema 2, clase 1.8 28 – 36 = 28 + (– 36) es negativo se tiene que | 10 – 3| = 10 – 3. |2 7 – 6| = –(2 7 – 6) = 6 – 2 7. 4a) 12 ÷ 3 = 12 = 12 = 4 = 2, es entero. 4b) 2 ÷ 8 = 2 = 2 = 1 = 1 , es racional. 33 8 8 4 2 46 4c) Utilizando sus valores decimales: ϕ = 1.61803... 4d) Si 2 + 3 = 5 entonces ( 2 + 3)2 = 5. y e = 2.71828... por lo que ϕ < e. Efectuando ( 2 + 3 )2 = ( 2)2 + 2 × 2 × 3 + ( 3)2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6 ≠ 5. Por lo tanto, 2 + 3 ≠ 5. En la solución se ha utilizado la reducción al absurdo 1 asumiendo que la suma de ambos números es la raíz 4e) ϕ2 – ϕ cuadrada positiva de 5. (1 + 5 ) (1 + 5) 1 + 2 5 + 5 6 + 2 5 3 + 5 2 2 ϕ2 = 2 = 22 = 4 = 4 = 2 1 = 2 × 1 – 5 = 2(1 – 5) = 2(11–– 55) = 2(1––4 5) = – 2(1 4– 5) = – 1 –2 5 ϕ 1 + 5 1 – 5 (1 + 5)(1 – 5) 1 3+ 5 ( ) ϕ2 – ϕ = 2 – – 1 –2 5 = 3 +2 5 + 1 –2 5 = 3 + 5 +2 1 – 5 = 4 = 2 2 4f) Efectuando la resolución por casos 4g) b – a Si a > 0 |a| = a > 0. El signo de b + (–a), será el signo del mayor valor Si a < 0 |a| = –a > 0. absoluto de los números (–a) y b. Si a = 0 |0| = 0. |–a| = a, |b| = b y 0 < b < a. Por lo tanto, el valor absoluto de un número real nunca es negativo. Así, b – a < 0, por lo tanto: |b – a| = –(b – a) = –b –(–a) = –b + a = a – b. 5a) |x| = 1 x = 1 o x = –1. 5b) |x| = 6 x = 6 o x = –6. Por lo tanto, x puede tomar los valores 1 o –1. Por lo tanto, x puede tomar los valores 6 o –6. 5c) |x| = 0 x = 0. 5d) |x + 1| = 3 x + 1 = 3 o x + 1 = –3 Por lo tanto, x solo puede tomar el valor 0. Si x + 1 = 3 x = 2. Si x + 1 = –3 x = –4. Por lo tanto, x puede tomar los valores 2 o –4. 6. Intervalo Notación de conjunto Representación en la recta numérica ]–4, 7] {x ∈ ℝ | –4 < x ≤ 7} –4 0 7 3 4 [ 10, ∞[ {x ∈ ℝ | x ≥ 10} 10 9 ]9, ∞[ {x ∈ ℝ | x > 9} 1 2 [ 2, ϕ] {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ ϕ} 2 φ ]–∞, 2[ {x ∈ ℝ | x < 2} 2 0 1 2 3 4 5 6 [0, 2π[ {x ∈ ℝ | 0 ≤ x < 2π} 2π –2 –1 1 2 ]– π2, π2[ x ∈ ℝ | –π < x < π 2 2 – π2 0 π 2 ]–∞, 5] {x ∈ ℝ | x ≤ 5} 5 47 Sugerencia metodológica  1 Productos notables y factorización de polinomios 1.1 Definición de monomio, polinomio y grado Definición A la expresión algebraica formada por una o más variables con exponentes enteros El término del polino- positivos, un número real llamado coeficiente y que solo involucra multiplicaciones mio que no posee varia- se le llama término. La expresión formada por un término o por la suma de dos bles se llama término o más términos se conoce como polinomio, y al polinomio formado por un solo independiente. término se le llama monomio. El grado es una característica relacionada con los exponentes de las variables, este se define de la siguiente forma: 1. El grado de un término es la suma de todos los exponentes de las variables. El grado del término inde- pendiente, es decir, aquel que no posee variable es igual a cero. 2. El grado de un polinomio puede dividirse en dos tipos: a) El grado asociado a una variable es el exponente mayor de la variable seleccionada. b) El grado absoluto es el mayor grado de los términos del polinomio. Si en un polinomio aparece involucrada una sola variable entonces las definiciones a) y b) coinciden y el polinomio se llama polinomio en una sola variable. Los términos de un polinomio pueden ordenarse de acuerdo al grado asociado a una variable o al grado de cada término. Ordenar de forma descendente es iniciar con el término de mayor grado hasta finalizar con el de menor grado, mientras que ordenar de forma ascendente es iniciar con el término de menor grado hasta finalizar con el de mayor grado. Ejemplo 1 Para el polinomio 11 + 3xy – 5x3y2 + 8x2y realiza lo siguiente: 1. Identifica las variables y los coeficientes del polinomio. 2. Identifica los términos del polinomio y calcula el grado de cada uno de ellos. 3. Calcula el grado asociado a cada una de las variables. 4. Calcula el grado absoluto del polinomio. 1. Las variables del polinomio son x y y; los coeficientes del polinomio son los siguientes: 11 ⟶ término independiente 3 ⟶ coeficiente de xy –5 ⟶ coeficiente de x3y2 8 ⟶ coeficiente de x2y 2. Los términos del polinomio son: 11, 3xy, –5x3y2 y 8x2y. El grado de cada uno se calcula sumando los exponentes de las variables que aparecen en cada término, es decir: Grado de 11 ⟶ 0, pues no aparece variable alguna. El grado del término independien- Grado de 3xy ⟶ 2, pues las variables x y y tienen como te siempre será igual a cero. exponente 1 y 1 respectivamente. Grado de –5x3y2 ⟶ 5, pues las variables x y y tienen como exponente 3 y 2 respectivamente. Grado de 8x2y ⟶ 3, pues x y y tienen exponentes 2 y 1 respectivamente. 3. El grado asociado a la variable x es 3, ya que es el mayor exponente de la misma. El grado asociado a y es 2, pues es el mayor exponente de la variable. 4. El grado absoluto del polinomio es el mayor grado de los términos del polinomio, del literal b) puede comprobarse que el término –5x3y2 es el que posee mayor grado. Por tanto, el grado absoluto es 5. 20 55 Sugerencia metodológica  1 Ejemplo 2 Para el polinomio 11 + 3xy – 5x3y2 + 8x2y realiza lo siguiente: 1. Ordena los términos en forma ascendente y descendente con respecto a la variable x. 2. Ordena los términos en forma ascendente y descendente con respecto a la variable y. 3. Ordena el polinomio en forma ascendente y descendente con respecto a los términos. Unidad 2 1. En la forma ascendente se ordenan los términos empezando con el término de menor grado de la variable hasta llegar al término con mayor grado de la variable seleccionada; la forma descendente es lo contrario. Así, el polinomio ordenado con respecto a la variable x queda de la siguiente forma: Forma ascendente ⟶ 11 + 3xy + 8x2y – 5x3y2. Forma descendente ⟶ – 5x3y2 + 8x2y + 3xy + 11. 2. La variable y en los términos 3xy y 8x2y tiene el mismo grado, entonces para ordenarlos se toma en consideración el exponente de la variable x. Así, en la forma ascendente irá primero el término cuyo exponente de x sea menor, y en la forma descendente irá primero el término cuyo exponente de x sea mayor. El polinomio ordenado con respecto a la variable y, de forma ascendente y descendente queda de la siguiente forma: Forma ascendente ⟶ 11 + 3xy + 8x2y – 5x3y2 = 11 + (3x + 8x2)y – 5x3y2. Forma descendente ⟶ – 5x3y2 + 8x2y + 3xy + 11 = – 5x3y2 + (8x2 + 3x)y + 11. Se observa que el término independiente 11, en la forma ascendente para cualquier variable siempre va primero, mientras que en la forma descendente para cualquier variable se coloca al final. 3. Para ordenar con respecto a los términos, en la forma ascendente se inicia con el término de menor grado, mientras que en la forma descendente se inicia con el término de mayor grado. Entonces, el polinomio ordenado en ambas formas queda de la siguiente manera: Forma ascendente ⟶ 11 + 3xy + 8x2y – 5x3y2. Generalmente, los términos Grado 0 Grado 2 Grado 3 Grado 5 de un polinomio se ordenan de forma descendente. Forma descendente ⟶ – 5x3y2 + 8x2y + 3xy + 11. roblemas 1. En cada literal identifica las variables, los coeficientes y los términos del polinomio. Luego, calcula el grado de cada término, el grado asociado a cada variable y el grado absoluto del polinomio: a) 10xy + 5x2y2 – 2xy2 – 6x3y3 b) – 3a2b3 + 4a3b – ab2 + b c) 9m – 12m n + 2mn – 5mn + 1 2 2 3 2 d) 8x3 – 10 + 3x + 5x2 2. Para cada uno de los polinomios del numeral 1 realiza lo siguiente: a) ordena los términos del polinomio con respecto a cada variable, tanto de forma ascendente como descendente; b) ordena el polinomio con respecto a sus términos. 3. Sin desarrollar los productos, calcula la suma de los coeficientes No olvides que el término independiente del siguiente polinomio: (x – 3)2 + (x + 2)2 + 9x – 10. también es un coeficiente. 21 56  Indicador de logro 1.1 Identifica las variables y coeficientes de un polinomio, y calcula el grado con respecto a una variable o a sus términos. Secuencia Propósito En esta clase se presentan las definiciones de Se colocan las definiciones primero para homo- polinomio y monomio, enunciadas también en geneizar el vocabulario utilizado a lo largo de la octavo grado. Se define también el grado de una unidad y, por ende, en todo el primer y segundo expresión algebraica, dependiendo si se habla del año de bachillerato. grado de un término o de un polinomio. Obsérve- se que la definición de polinomio no restringe el uso de letras como a, b, c, etc. Solución de problemas: 1a) 10xy + 5x2y2 – 2xy2 – 6x3y3 1b) – 3a2b3 + 4a3b – ab2 + b Variables: x, y Variables: a, b Coeficientes: 10, 5, –2 y –6 Coeficientes: –3, 4, –1 y 1 Términos y grados: 10xy (grado 2), 5x2y2 Términos y grados: –3a2b3 (grado 5), 4a3b (grado 4), –2xy2 (grado 3) y –6x3y3 (grado 6). (grado 4), –ab2 (grado 3) y b (grado 1). Grado asociado a cada variable: x posee gra- Grado asociado a cada variable: a posee gra- do 3, y y posee grado 3. do 3, y b posee grado 3. Grado absoluto del polinomio: 6 Grado absoluto del polinomio: 5 1c) 9m2 – 12m2n3 + 2mn – 5mn2 + 1 1d) 8x3 – 10 + 3x + 5x2 Variables: m, n Variables: x Coeficientes: 9, –12, 2, –5 y 1 Coeficientes: 8, –10, 3 y 5 Términos y grados: 9m2 (grado 2), –12m2n3 Términos y grados: 8x3 (grado 3), –10 (grado (grado 5), 2mn (grado 2), –5mn2 (grado 3) y 0), 3x (grado 1) y 5x2 (grado 2). 1 (grado 0). Es un polinomio en una sola variable, el gra- Grado asociado a cada variable: m posee do asociado coincide con el grado absoluto, grado 2, y n posee grado 3. el cual es 3. Grado absoluto del polinomio: 5 2a) Sólo se colocarán los polinomios ordenados en la forma ascendente, pues en la forma descendente solo hay que invertir el orden en el que aparecen los términos: Variable x: 10xy – 2xy2 + 5x2y2 – 6x3y3 Variable a: b – ab2 – 3a2b3 + 4a3b Variable y: 10xy – 2xy2 + 5x2y2 – 6x3y3 Variable b: b + 4a3b – ab2 – 3a2b3 Variable m: 1 + 2mn – 5mn2 + 9m2 – 12m2n3 Variable x: – 10 + 3x + 5x2 + 8x3 Variable n: 1 + 9m2 + 2mn – 5mn2 – 12m2n3 2b) Similar a 2a), solo se ordenará cada polinomio en su forma ascendente, pues en la descendente bastaría con invertir el orden en que aparecen los términos: 10xy – 2xy2 + 5x2y2 – 6x3y3 b – ab2 + 4a3b – 3a2b3 1 + 9m2 + 2mn – 5mn2 – 12m2n3 – 10 + 3x + 5x2 + 8x3 3. La suma de los coeficientes del polinomio puede obtenerse al sustituir x = 1: (1 – 3)2 + (1 + 2)2 + 9(1) – 10 = 4 + 9 + 9 – 10 = 12 Por lo tanto, la suma de los coeficientes de (x – 3)2 + (x + 2)2 + 9x – 10 es igual a 12. 57 Sugerencia metodológica  1 1.2 Productos de binomio por binomio, parte 1 Desarrolla los siguientes productos notables: a) (x + 9)(x – 5) b) (x + 3)2 c) (x – 7)2 d) (x + 4)(x – 4) a) El producto es de la forma (x + a)(x + b) cuyo b) El producto es el cuadrado de un binomio, cuyo desarrollo es: desarrollo es: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 utilizando lo anterior, utilizando lo anterior, (x + 9)(x – 5) = x2 + (9 – 5)x + (9)(–5) (x + 3)2 = x2 + 2(3)x + 32 = x2 + 4x – 45 = x2 + 6x + 9 Por lo tanto, (x + 9)(x – 5) = x2 + 4x – 45. Luego, (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. c) También es el cuadrado de un binomio, cuyo d) Es un producto de la suma por la diferencia de desarrollo es: binomios cuyo desarrollo es: (x – a)2 = x2 – 2ax + a2 (x + a)(x – a) = x2 – a2 utilizando lo anterior, utilizando lo anterior, (x – 7)2 = x2 – 2(7)x + 72 (x + 4)(x – 4) = x2 – 42 = x2 – 14x + 49 = x2 – 16 Luego, (x – 7) = x – 14x + 49. 2 2 Por lo tanto, (x + 4)(x – 4) = x2 – 16. Los productos notables son productos de polinomios cuyos resultados pueden identificarse y escribirse de manera directa. Sean a y b números reales cualesquiera: Producto notable Desarrollo Producto de la forma (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)(x + b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de un binomio (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Suma por la diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b2 de binomios roblemas Desarrolla los siguientes productos notables: a) (x + 3)(x + 10) b) (y – 6)(y – 4) c) (x – 8)(x + 2) d) (y + 5)2 e) (m – 2)2 f) (x + 11)2 g) (x + 3)(x – 3) h) (10 + y)(10 – y) i) (m – 6)(m + 6) 2 1 3 4 1 2 j) y + 2 y+ 2 k) x + 3 x – 3 l) x + 3 2 2 1 1 m) x + 5 n) y + 2 3 o) m + 5 m – 5 4 4 p) 7 – x 7 + x q) y + 6 y – 6 r) x – 2 10 x + 2 10 22 58  Indicador de logro 1.2 Realiza productos notables que son de la forma (x + a)(x + b), (a ± b)2 y (a + b)(a – b). Secuencia Posibles dificultades Después de conocer las definiciones más genera- Si los estudiantes no recuerdan los productos les sobre polinomios, se trabajan los productos notables desarrollados en noveno grado puede notables cuyo desarrollo será de mucha utilidad comenzar con la Conclusión y tomar el Problema al momento de factorizar. Observe que el coefi- inicial como ejemplos. No es el propósito de la ciente de la variable en cada binomio es igual a 1. clase deducir el desarrollo de los tres productos presentados, sino repasarlos o recordarlos. Solución de problemas: a) (x + 3)(x + 10) = x2 + (3 + 10)x + 3(10) b) (y – 6)(y – 4) = y2 + (–6 – 4)y + (–6)(–4) = x2 + 13x + 30 = y2 – 10y + 24 c) (x – 8)(x + 2) = x2 + (–8 + 2)x + (–8)(2) d) (y + 5)2 = y2 + 2(5)y + 52 = x2 – 6x – 16 = y2 + 10y + 25 e) (m – 2)2 = m2 – 2(2)m + 22 f) (x + 11)2 = x2 + 2(11)x + 112 = m2 – 4m + 4 = x2 + 22x + 121 g) (x + 3)(x – 3) = x2 – 32 h) (10 + y)(10 – y) = 102 – y2 = x2 – 9 = 100 – y2 i) (m – 6)(m + 6) = m2 – 62 j) y + 1 y + 3 = y2 + 1 + 3 y + 1 3 2 2 2 2 2 2 = m2 – 36 3 = y2 + 2y + 4 2 2 2 2 k) x + 4 x – 1 = x2 + 4 – 1 x + 4 – 1 l) x + 3 = x2 + 2 2 x + 3 3 3 3 3 3 3 3 4 = x2 + x – = x2 + 4 x + 4 9 3 9 2 2 2 2 m) x + 5 = x2 + 2 5 x + 5 n) y + 2 3 = y2 + 2 2 3 y + 2 3 = x2 + 2 5x + 5 = y2 + 4 3y + 12 2 2 1 1 1 4 4 4 o) m + 5 m – 5 = m2 – 5 p) 7 – x 7 + x = 7 – x2 = m2 – 1 = 16 – x2 25 49 2 2 q) y + 6 y – 6 = y2 – 6 r) x – 2 10 x + 2 10 = x2 – 2 10 = y2 – 6 = x2 – 40 59