Gasdinamica PDF - Corso di Ingegneria Aerospaziale

POLITECNICO DI TORINO DIPARTIMENTO di INGEGNERIA MECCANICA e AEROSPAZIALE GASDINAMICA G. Iuso Corso di Studi in Ingegneria Aerospaziale Laurea Magistrale A.A. 2024/ 2025 Parte A1...

POLITECNICO DI TORINO DIPARTIMENTO di INGEGNERIA MECCANICA e AEROSPAZIALE GASDINAMICA G. Iuso Corso di Studi in Ingegneria Aerospaziale Laurea Magistrale A.A. 2024/ 2025 Parte A1 1 ❑ Struttura di un gas o Il gas è uno stato di aggregazione della materia caratterizzato da molecole libere di muoversi le une rispetto alle altre senza nessuna restrizione dovuta alle forze di coesione tra le molecole o I gas sono pertanto caratterizzati da una forma non propria. o I gas possono assumere caratteristiche sia di incomprimibilità che di comprimibilità a seconda del valore assunto da un parametro adimensionale fondamentale per i flussi ad alta velocità: il numero di Mach, M = V / a. ❑ Particella fluida o Una particella fluida può essere considerata come un insieme di molecole che occupano un volume “quasi puntiforme” contenente un elevato numero di elementi costituenti (molecole, atomi, e particelle di dimensioni minori) o La dimensione del volume occupato dalla particella fluida deve essere: ▪ sufficientemente grande in modo tale da poter valutare statisticamente le varie grandezze termofluidodinamiche medie (pressione, temperatura, densità, velocità) sul volume della particella. Si parla quindi di medie di insieme di molecole. ▪ sufficientemente piccolo in modo da poter ritenere costanti le proprietà del fluido entro tale volume. ▪ La dimensione della particella viene associata al concetto di volume infinitesimo, ovvero la dimensione a livello differenziale: dx, dy, dz.  Conclusione La particella porta con sé tutte le informazioni relative alle proprietà del fluido che si possono pertanto ritenere puntiformi e distribuite con continuità nel volume occupato dal fluido. → Quante molecole o atomi sono contenute in particella? 2  ❑ Numero di Avogadro o Una mole o piccola mole di un qualsiasi gas contiene un numero di molecole pari al numero di Avogadro: Na = 6.0231023 molecole : Na = 6.0231023 molecole o La kilomole o grande mole (M): è una grandezza che fa riferimento a 1000 moli. o Una kilomole, o grande mole (M) di un qualsiasi gas contiene un numero di molecole pari al numero di Avogadro per mille: Na = 6.0231026 molecole. o Una kilomole in condizioni normali (pressione=760mmHg =101325 Pa; temperatura T= 0°C=273K), occupa un volume pari a 22.4m3. o Una “piccola” mole in condizioni normali occupa 22.4 dm3 = 22.4 litri. ❑ Densità Volumetrica n [molecole/m3] o Il numero di molecole riferito all’unità di volume corrisponde alla densità volumetrica. 𝑁𝑎 6.023⋅1026 𝑛= = = 2.69 ⋅ 1025 molecole/m3 𝑉 22.4 o In un volume V pari a 1mm3 sono contenute 2.691016 molecole (1m3 = 109 mm3). o In un cubetto di lato pari ad 1m (= 10-3 mm) sono contenute 27.000.000 molecole! Tali considerazioni rinforzano l’idea di particella fluida e della sua validità. ❑ Descrizione statistica Considerando un numero di molecole così elevato, la descrizione del loro comportamento non può che essere fatta da un punto di vista statistico. In questo volume così piccolo “quasi infinitesimo” l’elevato numero di molecole contenuto all’interno consente di poter ritenere continue le proprietà del gas continue nello spazio (Ipotesi del continuo). ❑ Libero cammino medio molecolare o Considerando una molecola di una particella fluida, la distanza media tra due collisioni consecutive è definita come libero cammino medio molecolare ℓ (molecular mean free path). 3  o La teoria cinetica dei gas, nel caso di un gas monocomponente in condizioni di equilibrio e assumendo molecole sferiche e non attrattive, trova il seguente risultato per il libero cammino medio: 1 𝑚𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑜𝑙𝑎 ℓ= oppure ℓ = (⥂ 𝜎: 𝑠𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑′𝑢𝑟𝑡𝑜) ⥂ √2 𝜋 𝑑 2 𝑛 𝜎𝜌 o Per l’aria in condizioni standard, ℓ = 6.35 ⋅ 10−5𝑚𝑚 ❑ Numero di Knudsen Kn o Il concetto rigoroso di fluido continuo è legato al confronto tra la condizione locale di urti successivi e la condizione globale del comportamento del moto baricentrale dell’insieme di molecole nel percorrere una lunghezza L caratteristica del problema oggetto di indagine. Un esempio classico nel caso aeronautico può essere la corda media aerodinamica di un’ala. o Il concetto è sintetizzato dal rapporto tra il libero cammino medio molecolare e la lunghezza caratteristica L che prende il nome di numero di Knudsen: ℓ libero cammino medio molecolare Kn = = 𝐿 lunghezza caratteristica del corpo o A seconda del valore del numero assunto dal numero di Knudsen si possono presentare diverse condizioni di regime di flusso. Kn < 0.01 Continuous flow; 0.01< Kn 1000K: oscillazioni delle molecole a livello di legame) ▪ Elettronici ▪ di Legame 8 ❑ Gradi di libertà Traslazionali o Indipendentemente dalla loro complessità (monoatomica o pluriatomica) ogni molecola possiede tre gradi di libertà traslazionali corrispondenti alle tre coordinate spaziali necessarie per individuare la loro posizione spaziale. Lt = 3 per ogni complessità molecolare ❑ Gradi di libertà Rotazionali o Questi gradi di libertà si attivano quando la molecola ha possibilità di ruotare attorno ai tre assi e dipendono dalla complessità molecolare. ▪ Molecole biatomiche e triatomiche con atomi allineati ▪ Una molecola biatomica o triatomica con atomi allineati come nel caso della molecola di anidride carbonica CO2, possiede due gradi di libertà rotazionali: Lr = 2 n=2 Lr = 2 n=3 Lr = 2 ( molecola con atomi allineati ) o Infatti il momento di inerzia attorno all’asse di congiunzione degli atomi è molto più piccolo del momento di inerzia legato alle rotazioni attorno agli altri due assi pertanto incamera pochissima energia rispetto alle rotazioni attorno agli altri due assi. ▪ Molecole triatomiche e poliatomiche con atomi non allineati y x z 9 o Per le molecole triatomiche e in generale pluriatomiche con atomi non allineati i gradi di libertà rotazionale sono tre. Lr = 3 ❑ Altri gradi di libertà energetici a temperature elevate o In condizioni di elevata temperatura, il legame chimico che definisce la distanza tra i vari atomi evidenzia vibrazioni a livello della struttura del reticolo. o La molecola pertanto non può più essere assunta come corpo rigido. Essa si deforma, essendoci variazioni di distanza tra gli atomi e di conseguenza bisogna considerare anche questa capacità di incamerare energia. o Queste fenomenologie esulano dagli obiettivi del corso. ❑ Relazione finale per il numero di gradi di libertà energetici L = Lt + Lr o Per temperature T < 1000 K ▪ Molecole monoatomiche n = 1 : L=3 ▪ Molecole con n = 2 e pluriatomiche lineari : L=3+2=5 ▪ Molecole pluriatomiche con n = 3 : L=3+3=6 ARIA ▪  80% N2 +  20% O 2: molecole entrambe biatomiche  L=5 10 ❑ Gradi di libertà energetici – Energia interna o L’energia caotica per ogni molecola in base al principio di equipartizione dell’energia per ogni direzione di fluttuazione è pari a: 1 𝜀= 𝑘𝐵 𝑇 [J/molecola] 2 o Per le fluttuazioni di energia cinetica caotica traslazionale le possibili direzioni di fluttuazione sono tre e in base al principio di equipartizione dell’energia la precedente relazione prevede il fattore 3. 3 𝜀𝑡 = 2 𝑘𝐵 𝑇 [J/molecola] o In generale l’energia di una molecola caratterizzata da L gradi di libertà sarà: 1 𝜀𝐿 = 𝐿 2 𝑘𝐵 𝑇 [J/molecola] ❑ Energia interna molare ed Entalpia molare [J/Mole] o Il numero di molecole in una Mole è pari al numero di Avogadro Na= 6.0231026 pertanto si può fare anche riferimento all’energia che compete ad 1 Mole. o Energia interna molare: 1 𝐿 𝜀 = N𝐴 𝜀𝐿 = 𝑁𝐴 𝐿 2 𝑘𝐵 𝑇 = RT [J/Mole] 2 o L’energia interna molare e l’entalpia molare sono legate tra loro attraverso la costante universale e la temperatura. o Entalpia molare: 𝐿+2 𝐻 = 𝜀 + 𝑅𝑇 = RT [J/Mole] 2 ❑ Energia interna 𝒆 ed Entalpia 𝒉 specifica (energia per unità di massa [J/kg]) 𝜀 𝐿 𝑅 𝐻 𝐿+2 𝑅 𝑒 = = T = c𝑣 𝑇 ℎ = = T = cp 𝑇 𝑀 2 𝑀 𝑀 2 𝑀 L’energia interna 𝒆 di un gas riassume l’energia caotica accumulata dalla molecola di quel gas e si riferisce in particolare all’energia traslazionale, rotazionale e vibrazionale (solo per temperature elevate) delle fluttuazioni molecolari. 11  ❑ Gas caloricamente perfetti e calori specifici a volume e a pressione costante ▪ I gas si dicono caloricamente perfetti se i calori specifici si possono ritenere constanti con la temperatura. Questo succede per temperature inferiori a 1000K. ▪ I calori specifici sono direttamente legati a tutta energia interna (quello a volume costante) e all’entalpia (quello a pressione costante) ▪ Calore specifico per unità di massa espresso in [J/ kg K] ∂q ∂e 𝐿𝑅 𝑐𝑣 = (∂T) = (∂T) = 2 𝑀 𝑣 ∂q ∂h 𝐿+2 𝑅 𝑐𝑝 = (∂T) = (∂T) = 𝑝 2 𝑀 ▪ Calore specifico molare espresso in [J/Mole K] 𝜕𝜀 𝐿 𝐶𝑣 = (𝜕𝑇) = 𝑐𝑣 𝑀 = R 2 ∂H 𝐿+2 𝐶𝑝 = ( ) = 𝑐𝑝 𝑀 = 𝑅 ∂T 2 Quindi l’energia e l’entalpia molare possono essere riscritte come: 𝐿 𝜀 = 2 RT = 𝐶𝑣 𝑇 𝐿+2 𝐻 = 𝜀 + 𝑅𝑇 = 𝑅𝑇 = 𝐶𝑝 𝑇 2 ❑ Rapporto tra calori specifici o Il rapporto tra i calori specifici, per unità di massa oppure molari, definisce il valore della grandezza 𝜸, che è di conseguenza una funzione del tipo di gas. Scopriremo che tutte le relazioni che andremo a ricavare saranno funzione di 𝜸. 𝒄𝒑 𝑪𝒑 𝑳 + 𝟐 𝜸= = = 𝒄𝒗 𝑪𝒗 𝑳 o Anche 𝜸 può essere espressa attraverso il numero di gradi di libertà energetici L attraverso le relazioni dei calori specifici. ▪ Molecole monoatomiche n =1 : L=3  = 1.67 ▪ Molecole biatomiche n =2 e pluriatomiche allineate : L=5  = 1.40 ▪ Molecole pluriatomiche n ≥ 3 : L=6  = 1.33 12 ❑ Legami tra i due calori specifici Tale legame passa anche attraverso la costante universale R dei gas e la propria massa molare M. 𝑅 𝑅 ℎ = 𝑒 + 𝑝/𝜌 = 𝑒 + 𝑀 𝑇 → 𝑐𝑝 𝑇 = 𝑐𝑣 𝑇 + 𝑀 𝑇 𝑅 𝑐 1 𝑅 1 1 𝑅 da cui 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣 = 𝑀 1 − 𝑐𝑣 = 𝑐 1−𝛾 =𝑐 𝑝 𝑝 𝑀 𝑝 𝑀 𝛾 𝑅 1 𝑅 𝑐𝑝 = 𝛾−1 𝑀 𝑐𝑝 = 𝛾 𝑐𝑣 𝑐𝑣 = 𝛾−1 𝑀 ❑ Aria: Miscela N2 (≈80%) + O2 (≈20 %) specie entrambe biatomiche ▪ L = 5 (Temperatura ambiente) ▪ M = 29 kg / Mole ▪ R = 8314 J / Mole K 1 kcal = 8314 J 1 BTU = 0.252 kcal 5 𝑅 7 𝑅 ▪ 𝑐𝑣 = = 717 J/ kg K 𝑐𝑝 = = 1003 J / kg K 2 𝑀 2 𝑀 ▪ Cv = cv M = 20793 J / Mole K Cp = cp M = 29087 / Mole K 𝒄 𝑪 𝑳+𝟐 ▪ 𝜸 = 𝒄𝒑 = 𝑪𝒑 = = 1.4 𝒗 𝒗 𝑳 ❑ Compressibilità ▪ I gas possono essere altamente compressibili, a differenza dei liquidi. ▪ La compressibilità di un gas è legata alla variazione del volume occupato sotto l’azione di una determinata pressione. Essa può essere definita come la variazione percentuale del volume iniziale 𝑣 per una variazione unitaria di pressione applicata. 1 𝑑𝑣 𝛽=− [m2/N] 𝑣 𝑑𝑝 -𝑑𝑣 p + dp p o + dp produce riduzioni di volume  segno negativo o – dp produce aumento di volume  segno positivo 13  ▪ Bisogna anche aggiungere come è avvenuta la trasformazione: a temperatura costante (=T) oppure ad entropia costante (=S). ▪ Per i liquidi il valore di  è molto piccolo (per l’acqua T = 5  10 -10 m2/N) pertanto sono da considerare incompressibili. ▪ I gas sono invece altamente compressibili. Per l’aria in quiete T = 7 10 -6 m2/N e come si può notare il valore di  è di 4 ordini di grandezza superiore a quella dei liquidi. ▪ Si può fare riferimento alle variazioni di densità invece che a quelle di volume. Basta moltiplicare e dividere la precedente relazione per la massa del gas contenuta nel volume 1 𝜕𝜌 𝛽 = 𝜌 𝜕𝑝 ▪ In questo caso ad una variazione positiva di pressione (compressione) corrisponde una riduzione di densità e viceversa. ▪ La relazione precedente può anche essere scritta in modo da rendere più leggibile la variazione di densità sotto l’azione della pressione 𝒅𝝆 = 𝜷 𝒅𝒑 𝝆 ▪ Per una corrente gassosa in movimento ad alta velocità lungo una linea di corrente la stessa velocità può variare anche di molto. Ciò comporta una conseguente elevata variazione di pressione in accordo con il numero di Mach che genera consistenti variazioni di densità. ❑ Variazione di densità in relazione alla variazione di velocità della corrente ▪ Si ricorre all’equazione di Eulero che descrive la legge del moto lungo una linea di corrente incompressibile o compressibile. Si vedrà più avanti come si ricava 𝑑𝑝 = − 𝜌𝑉𝑑𝑉 a) 1 se  = costante l’integrazione conduce a 𝑝 + 𝜌𝑉 2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑒 2 se   costante l’integrazione conduce a 𝑝[1 + 𝑓(𝑀, 𝛾)] = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑒 𝑑𝑝 1 ▪ Dividendo la relazione a) per 𝑑𝜌: = − 𝑑𝜌 𝜌𝑉𝑑𝑉 𝑑𝜌 ▪ Il termine a sinistra rappresenta la velocità del suono al quadrato 𝑎2 se la derivata è valutata ad entropia costante. Tale condizione è verificata lungo una linea di corrente all’esterno dello strato limite, e/o in assenza di fenomenologie dissipative, quali le onde d’urto. 14  1 𝜌 𝑑𝑉 ▪ Dividendo la relazione precedente per 𝑉 2: = − 𝑑𝜌 𝑀2 𝑉 𝑑𝜌 𝑑𝑉 ▪ Riorganizzando: = −𝑀2 𝜌 𝑉 ▪ Il legame tra le variazioni di densità e le variazioni di velocità è dato dal numero di Mach della corrente. 𝑑𝑉 ▪ Se, per fissare le idee, si considera 𝑉 ≈ 1, ovvero un raddoppio della velocità della corrente (espansione), si può verificare l’effetto del numero di Mach sulla variazione percentuale della denistà: 𝑑𝜌 𝑑𝑉 = −𝑀2 = −𝑀2 𝜌 𝑉 o M = 0.1  34m/s M 2 = 0.01 / = - 0.01  -1 % o M = 0.3  98m/s M 2 = 0.09 / = - 0.09 -9% o M = 0.4  136m/s M 2 = 0.16 / = - 0.16  -16% o M=1  340m/s M 2= 1 / = - 1  -100 % o M=2  680m/s M 2= 4 / = - 4  - 400 % ▪ Il limite a cui si fa riferimento per considerare una corrente gassosa incompressibile è dell’ordine di M≈0.3. ❑ Classificazione dei campi di velocità ▪ Si possono definire i campi di moto a seconda del valore del numero di Mach della corrente gassosa: ❖ Flussi incompressibili: 0 < M ≈ 0.3 - 0.4 ❖ Flussi compressibili: M > 0.4 o Alto subsonico : 0.4 < M < 1 o Transonico : 0.8 < M < 1.2 o Supersonico : 1.2 < M < 4 - 5 o Ipersonico : M>4–5 15 ❑ Proprietà di Trasporto dei fluidi ▪ Ogni molecola nel suo moto macroscopico e caotico è caratterizzata da: quantità di moto, energia e massa ▪ Tali grandezze vengono “trasportate” dalle singole molecole nel loro moto. ▪ In un campo di moto “non uniforme” si generano flussi di quantità di moto, di energia e di massa. Definizione di flusso di una grandezza: grandezza / (superficie x tempo). ❑ In correnti gassose dove sono presenti gradienti (di velocità, di temperatura e di massa) si generano flussi di: ▪ quantità di moto che generano sforzi viscosi; ▪ energia che generano flussi di calore; ▪ massa che generano flussi di massa. Alle tre fenomenologie di trasporto fanno capo tre proprietà dei fluidi che prendono il nome di proprietà di trasporto molecolare: Viscosità dinamica  Conducibilità termica  Diffusività di massa D ❑ Viscosità dinamica  ▪ In presenza di gradienti di velocità la viscosità dinamica genera sforzi viscosi. ▪ Si cerca il legame tra il trasporto delle fluttuazioni molecolari, il gradiente di velocità e lo sforzo viscoso. Da questa trattazione scaturisce anche l’espressione per la viscosità dinamica. ▪ Si considera per semplicità il piano x-y e poi si generalizza. y v’ m m u’ x 16 ▪ La quantità di moto caotica traslazionale di una particella nella direzione x vale: 𝒎 𝒖′ ▪ Questa qdm viene trasportata dalla fluttuazione caotica 𝑣’ nella direzione y ad una distanza media che è dell’ordine di grandezza del libero cammino medio molecolare 𝑙. ▪ In generale tale quantità di moto 𝒎 𝒖′ sarà trasportata anche nella direzione x dalla stessa fluttuazione 𝑢’ e nella direzione z dalla fluttuazione 𝑤’ ▪ La quantità di moto globale trasportata nella direzione y per effetto di v’ sarà data dalla media di insieme che compete alla densità molecolare n presente ∫ 𝑚𝑢′ 𝑣′ 𝑑𝑛 𝑛 ▪ Tenendo presente che mn è proprio uguale alla densità  del gas [kg di 1 molecola x molecole /m3] = [kg/m3] allora si può scrivere m dn = d ▪ Risulta quindi considerando l’operatore di media∫𝑛𝑚𝑢′ 𝑣′ 𝑑𝑛 (di insieme) ∫𝑚𝑢′ 𝑣′ 𝑑𝑛 = 𝜌𝑢 ′ 𝑣 ′ 𝑛 ▪ 𝜌u'v' rappresenta il flusso di quantità di moto nell’unità di tempo diretta nella direzione x trasportata attraverso una superficie unitaria che ha per normale l’asse y. Pertanto, 𝜌u'v' è uno sforzo diretto lungo x e agente sulla superficie che ha per normale l’asse y. ▪ Tale sforzo in assenza di gradienti di velocità media risulta essere sempre normale 𝜌u'u' e uguale alla pressione p. ▪ Come si lega lo sforzo 𝜌u'v' al campo di moto medio e in particolare al gradiente di velocità media nel piano x-y? ▪ Si consideri nel piano x-y la presenza di un gradiente di velocità macroscopica dell’insieme di molecole nella direzione y. y ū+dū dy ū x ▪ Al campo medio macroscopico 𝑢̅ si aggiunge quello caotico molecolare 𝑣′. 17 ▪ Si calcola il flusso netto di quantità di moto macroscopico nella direzione x trasportato dalle fluttuazioni molecolari nella direzione y. ▪ Come velocità di trasporto molecolare si assume che sia proprio la velocità di agitazione molecolare vat. ▪ Si devono considerare i segni dei flussi. Sarà positivo quello nella direzione positiva di y e di segno negativo quello diretto in direzione opposta. qdm verso y < 0 : −𝑚 (𝑢 + 𝑑𝑢 ) n 𝑣𝑎𝑡 qdm verso y > 0 : + 𝑚 𝑢 n 𝑣𝑎𝑡 ▪ Flusso netto di quantità di moto: −𝑚 (𝑢 + 𝑑𝑢 ) n 𝑣𝑎𝑡 + 𝑚 𝑢 n 𝑣𝑎𝑡 = −𝑚 𝑑𝑢 n 𝑣𝑎𝑡 ▪ Tale flusso netto uguale ad uno sforzo deve essere uguale al precedente flusso tutto caotico calcolato prima 𝜌𝑢′𝑣′ ≈ −𝑚 𝑑𝑢 n 𝑣𝑎𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑢 ▪ Si esprime 𝑑𝑢 in funzione del gradiente come: 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 ▪ Tenendo conto che il trasporto caotico di quantità di moto avviene su distanze dy che sono comparabili con il libero cammino medio molecolare ℓ si può riscrivere la precedente relazione come: 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = ℓ 𝑑𝑦 𝑑𝑢 ▪ Risulta quindi: 𝜌𝑢′𝑣′ = −𝑚 (𝑑𝑦 ℓ) n 𝑣𝑎𝑡 ▪ Tali quantità risultano essere fisicamente uno forzo 𝜏𝑥𝑦 pertanto si può scrivere: 𝑑𝑢 𝜏𝑥𝑦 = - 𝜌𝑢′𝑣′ = 𝑚 ℓ n 𝑣𝑎𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑢 ▪ Invocando la relazione di Newton 𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 𝑑𝑦 si può scrivere: 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝜏𝑥𝑦 = - 𝜌𝑢′𝑣′ = 𝑚 ℓ n 𝑣𝑎𝑡 =𝜇 𝑑𝑦 𝑑𝑦 ▪ Dall’ultima uguaglianza si ricava una relazione per la viscosità dinamica 𝜇 ≈ 𝑚 ℓ n 𝑣𝑎𝑡 ≈ 𝜌 ℓ 𝑣𝑎𝑡 (n m = ) ▪ Lo sforzo 𝜏𝑥𝑦 nasce per effetto del gradiente di velocità medio connesso alla presenza delle fluttuazioni molecolari. ▪ Lo sforzo 𝜏𝑥𝑦 è positivo in quanto la cross-correlazione 𝑢′𝑣′ è negativa (in uno strato limite per esempio). ▪ In assenza di gradienti di velocità media lo sforzo precedente, come tutti gli altri, è solo normale alla superficie della particella ed è pari alla pressione p già visto prima. 18  ▪ Se invece è presente una disuniformità spaziale del moto medio (gradienti di velocità media) è presente un disequilibrio termodinamico e nascono gli sforzi viscosi. ❑ Dipendenza della viscosità dalla sola temperatura. o Dall’analisi appena effettuata potrebbe apparire che la viscosità dipenda sia dalla pressione attraverso la densità  che dalla temperatura attraverso la velocità di agitazione termica vat. 𝜇 ≈ 𝑚 ℓ n 𝑣𝑎𝑡 ≈ 𝜌 ℓ 𝑣𝑎𝑡 o Da un’analisi più accurata della relazione sopra risulta che la viscosità non dipende dalla pressione ma solo dalla temperatura. ▪ Infatti, considerando la relazione 𝜇 ≈ 𝑚 ℓ n 𝑣𝑎𝑡 ≈ 𝜌 ℓ 𝑣𝑎𝑡 ▪ Sostituendo le espressioni: per il libero cammino medio l ~ 1/(d2n) e quella per la velocità di agitazione vat, trascurando le costanti numeriche, risulta: 1 𝑘𝐵 𝑇 𝑚𝑇 𝜇 ≈ 𝑚 ℓ n 𝑣𝑎𝑡 ≈ 𝑚 ( 2 ) 𝑛 √ ≈√ 4 𝑑 𝑛 𝑚 𝑑 ▪ La viscosità nei gas dipende solo dalla temperatura e in particolare aumenta con la radice quadrata della temperatura: 𝜇 ≈ √𝑇 → nei gas non dipende dalla pressione ▪ Viscosità nei Liquidi Per i liquidi il comportamento della viscosità al variare della temperatura è opposto a quello dei gas. ❑ Viscosità cinematica Il rapporto tra la viscosità  e la densità del fluido prende il nome di viscosità cinematica . 𝜇 𝜈=𝜌 𝜈 ≈ ℓ 𝑣𝑎𝑡 [] = [m2/s] ❑ Relazioni per il calcolo della viscosità dinamica dei gas Per i gas sono disponibili diverse relazioni per il calcolo della viscosità dinamica. 19  o Formula di Sutherland ▪ Una delle relazioni più diffuse e di più facile applicazione nel campo delle medie temperature è la formula di Sutherland: 3 𝑇2 𝜇= S 𝜒+𝑇 ▪ Dove S e 𝝌 sono costanti specifiche di ogni gas. ▪ Nel caso dell’aria i valori delle due costanti valgono 𝑆 = 1.46 10−6 𝐾𝑔/(𝑚𝑠𝐾 0.5 )  = 110 °K ▪ Da un’analisi della formula risulta: 3 ▪ A bassissime temperature T >  𝜇 ∝ T2 o Formula monomia ▪ Una relazione più semplice è la formula monomia ▪ Il calcolo della viscosità ad una generica temperatura è dato dalla conoscenza della viscosità ad una temperatura di riferimento. 𝜇 𝑇 𝜔(𝑇) = ( ) 𝜇rif 𝑇rif ▪ L’esponente della relazione risulta dipendente dalla temperatura:  =  ( T ). ▪ La formula monomia deriva da una semplice interpolazione di dati e di correlazione con altre formule. o Aria Nel caso dell’aria la formula monomia per la temperatura di riferimento 𝑇𝑟𝑖𝑓 =300°K il valore dell’esponente  che meglio approssima i valori della viscosità forniti dalla formula di Sutherland è pari a  = 0.75. 𝜇 𝑇 0.75 = ( ) 𝜇rif 𝑇rif ❑ Effetti viscosi: numero di Reynolds o Il numero di Reynolds è un parametro fluidodinamico adimensionale che governa il comportamento dei flussi viscosi. 20  𝑽𝑳𝝆 o Definizione: 𝑹𝒆 = 𝝁 ▪ V rappresenta la velocità della corrente ▪ L è una lunghezza caratteristica del corpo ▪  e  sono la densità e la viscosità dinamica del fluido. o Moltiplicando per la velocità V numeratore e denominatore si ottiene: 𝑽𝟐 𝑳 𝝆 𝑽𝟐 𝝆 𝑭𝒐𝒓𝒛𝒂 𝒅′𝒊𝒏𝒆𝒓𝒛𝒊𝒂 𝑹𝒆 = = = 𝝁𝑽 𝝁 𝑽/𝑳 𝑭𝒐𝒓𝒛𝒂 viscosa o Nel caso di una corrente fluida che lambisce una parete, il numero di Reynolds governa tutto il campo di moto che si sviluppa nelle immediate vicinanze della parete detto strato limite. ❑ Legame Re - Ma - Kn o I tre parametri adimensionali regolano le fenomenologie legate a : o Effetti viscosi → Re o Effetti della compressibilità →Ma o Comportamento continuo o meno di un gas → Kn o Legame tra i tre parametri 𝑉 𝑀 𝑎 𝜇 𝜌 vat ℓ 𝑣at ℓ 3 ( )= = = = ( )= √ 𝐾𝑛 𝑅𝑒 𝑉𝐿𝜌 𝑎𝐿𝜌 𝑎𝐿𝜌 𝑎 𝐿 𝛾 𝜇 𝑣at √3 R/M T 3 Essendo: 𝑎 = √𝛾 √𝛾 R/M T 21 ❑ Conducibilità  ▪ La conducibilità termica dei gas  è l’altra proprietà di trasporto da esaminare. ▪ È coinvolta nei flussi di calore 𝑞𝑛 = −  𝜕𝑇/𝜕𝑛 in presenza di gradienti di temperatura (legge di Fourier). ▪ Anche la conducibilità è legata anch’essa all’agitazione caotica delle molecole. ▪ Dalla teoria cinetica dei gas si torva che: e = energia traslazionale et + restanti gdl (rotazionale+ vibrazionale + elettronico +..) e si indica con ei. e = e t + ei [J/kg] o Per la trattazione si considera l’energia interna media caotica dell’insieme di molecole per unità di volume. 𝑢′𝑢′+𝑣 ′𝑣 ′+𝑤 ′𝑤 ′ 𝜌 (𝑒𝑖 + ) [J/m3] 2 o Questa energia è uno scalare e viene trasportato nelle tre direzioni dalle fluttuazioni caotiche: 𝒖’, 𝒗’, 𝒘’. v’ u’ e w’ o Si scrivono i flussi di energia lungo le tre direzioni: x, y, e z y v’ u’ e x w’ z o Si scrive il flusso 𝒒𝒙 che rappresenta il flusso di energia caotica trasportata nella direzione 𝑥 dall’agitazione termica caotica 𝑢’: 𝑢′𝑢′+𝑣 ′𝑣 ′ +𝑤 ′𝑤 ′ 𝑞𝑥 = 𝜌 (𝑒𝑖 + 2 ) 𝑢 ′ = 𝜌 𝑒𝑢 ′ [J/s m2 = W / m2] o In modo analogo lungo le altre direzioni: 22  𝑢′𝑢′ + 𝑣 ′ 𝑣 ′ + 𝑤 ′ 𝑤 ′ 𝑞𝑦 = 𝜌 (𝑒𝑖 + ) 𝑣 ′ = 𝜌 𝑒𝑣 ′ 2 𝑢′𝑢′ + 𝑣 ′ 𝑣 ′ + 𝑤 ′ 𝑤 ′ 𝑞𝑧 = 𝜌 (𝑒𝑖 + ) 𝑤 ′ = 𝜌 𝑒 w' 2 o L’analogia con il trasporto di quantità di moto è molto forte essendo legati allo stesso meccanismo fisico, ovvero al trasporto per effetto delle collisioni molecolari lungo le tre direzioni. o Questi flussi, come nel caso degli sforzi viscosi, sono presenti solo in presenza di gradienti di energia interna media macroscopica (cioè gradienti di temperatura). Infatti, come nella trattazione precedente si consideri il piano fisico x-y dove è presente la seguente situazione: y e +d e dy - + e x o Si considera un insieme di molecole poste a distanza y dove compete il livello di energia interna media 𝑒; o e un insieme di molecole poste a distanza y + dy dove compete il livello di energia interna media 𝑒 + 𝑑𝑒. o Flusso netto di energia nella direzione y: ▪ Differenza: tra il flusso di energia trasportato verso il basso (negativo) e quello trasportato verso l’alto (positivo). ▪ o Si ripete il ragionamento fatto prima (m massa di una molecola, n molecole per unità di volume, vat velocità di agitazione termica, 𝑒 energia interna media di un insieme di molecole) e si perviene alla seguente scrittura: −𝑚(𝑒 + 𝑑𝑒 ) n 𝑣𝑎𝑡 + 𝑚 𝑒 n 𝑣𝑎𝑡 = −𝑚 𝑑𝑒 n 𝑣𝑎𝑡 [J / m2 s ] 23  o Il flusso netto di energia interna è proprio uguale a 𝑞𝑦 a sua volta esprimibile (visto prima) attraverso il meccanismo fisico delle fluttuazioni molecolari: 𝑞𝑦 ≈ −𝑚 𝑑𝑒 n 𝑣𝑎𝑡 o In modo analogo alla trattazione seguita per lo sforzo viscoso 𝜏𝑦𝑥 , 𝜌 𝑣′𝑒 = 𝑞𝑦 ≈ −𝑚 𝑑𝑒 n 𝑣𝑎𝑡 ▪ Si esprime il differenziale 𝑑𝑒 attraverso la derivata fatta rispetto a y: 𝑑𝑒 𝑑𝑒 = 𝑑𝑦 𝑑𝑦 ▪ Il differenziale 𝑑𝑦 è dell’ordine di grandezza della distanza corrispondente alle collisioni che trasportano energia, quindi al libero cammino medio molecolare: 𝑑𝑦 ≈ 𝑙 𝑑𝑒 ▪ Quindi si può scrivere: 𝑑𝑒 = 𝑑𝑦 ℓ; 𝑑𝑒 ▪ Pertanto, il flusso di calore vale: 𝑞𝑦 ≈ −𝑚 ( ℓ ) n 𝑣𝑎𝑡 ; 𝑑𝑦 ▪ Esprimendo 𝑒 attraverso la temperatura: 𝑒 = 𝑐𝑣 𝑇; 𝑑𝑇 ▪ Risulta: 𝑞𝑦 ≈ −𝑚 𝑛 𝑣𝑎𝑡 (𝑐𝑣 ℓ ). 𝑑𝑦 ▪ Confrontando la precedente relazione con quella di Fourier si ottiene: y Talta 𝑑𝑇 𝑞𝑦 ≈ −𝑚 𝑐𝑣 n 𝑣𝑎𝑡 ℓ 𝑑𝑦 = −𝜆 𝜕𝑦 𝜕𝑇 qy Tbassa x o Direzione del flusso ▪ Come per il flusso di quantità di moto anche in questo caso il flusso di energia è diretto da zone ad alta temperatura verso zone a bassa temperatura da cui il segno negativo. o Si ricava la relazione che esprime la conducibilità termica in funzione delle altre grandezze coinvolte nel problema: 𝜆 ≈ 𝑚 𝑐𝑣 𝑛 𝑣𝑎𝑡 ℓ = 𝜌 𝑣𝑎𝑡 ℓ 𝑐𝑣 = 𝜇 𝑐𝑣  𝜆 ≈ 𝜇 𝑐𝑣 ❑ Numero di Prandtl o La simultanea presenza degli effetti della conducibilità (flussi di calore legati ai gradienti di temperatura) e degli effetti della viscosità (sforzi viscosi legati ai gradienti di velocità), 24  sono tenuti in conto da un altro parametro adimensionale che prende il nome di numero di Prandtl. 𝜇 𝑐𝑝 𝑃𝑟 = 𝜆 o Significato fisico ▪ Dividendo per la densità  numeratore e denominatore si ottiene: 𝜇 𝑐𝑝 /𝜌 𝜇 /𝜌 𝜈 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑣𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑃𝑟 = = = = 𝜆/𝜌 𝜆/𝑐𝑝 𝜌 𝑘 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 ▪ La grandezza 𝑘 è detta diffusività termica e ha le stesse dimensioni della viscosità cinematica. 𝜆 𝑘= [𝑚2 /𝑠] 𝑐𝑝 𝜌 ▪ Il numero di Prandtl esprime il rapporto tra due meccanismi di diffusione legate al trasporto molecolare: la viscosità cinematica legata alla diffusione di quantità di moto e la diffusività termica 𝑘 legata alla diffusione dell’energia termica. ▪ 𝑷𝒓 = 𝟏: significa che la quantità di moto e l’energia diffondono allo stesso modo in un campo di moto. ▪ Gas: Pr < 1  la quantità di moto diffonde meno dell’energia. ❑ Strato limite Cinematico e Termico o In un problema di strato limite il numero di Prandtl esprime il rapporto tra: ▪ l’estensione normale alla parete del campo di velocità entro cui si risentono gli effetti viscosi e definisce pertanto lo spessore dello strato limite cinematico indicato con . La definizione di  passa attraverso il concetto di distanza dalla parete dove la velocità locale 𝑢 = 𝑢(𝑦) ha raggiunto il 99% (ad esempio) del valore della velocità esterna Ue(x). ▪ L’estensione del campo di temperatura entro cui si risentono gli effetti della conducibilità definisce lo spessore dello strato limite termico  𝑇. Anche la definizione di  𝑇 passa attraverso il concetto di distanza dalla parete dove la temperatura locale 𝑇 = 𝑇(𝑦) ha raggiunto il 99% del valore della temperatura esterna Te(x). 𝛿 ▪ Nel caso di strato limite laminare risulta: ∝ √𝑃𝑟 𝛿𝑇  T u o ARIA Pr = 0.71 e il precedente rapporto tra spessori di strato limite laminare vale 25  𝛿 ≈ 0.84 𝛿𝑇 o Formula di Eucken per il calcolo del numero di Prandtl ▪ Si ricorre alla formula di Eucken che pone il numero di Prandtl in relazione al numero di gradi di libertà energetici della molecola. 2𝐿 + 4 4𝛾 𝑃𝑟 = = 2𝐿 + 9 9𝛾 − 5 ❑ Diffusività di massa (Cenni) o La proprietà di trasporto della massa di una specie chimica in una miscela è espressa dalla diffusività D di quella specie. o La diffusività caratterizza il moto di una specie xi attraverso una miscela di componenti, entro cui è presente il gradiente di tale specie. o Il flusso J della specie xi procede da zone ad elevata concentrazione verso zone a bassa concentrazione di quella specie come per gli altri due precedenti meccanismi di trasporto molecolare. [J] = [ kg / m2 s ] o Esempi di diffusione di massa ▪ Cosa succede quando si apre il contenitore di una certa sostanza in un ambiente dove non è presente quella sostanza? Dopo un certo intervallo di tempo si avverte la presenza di quella sostanza anche ad una certa distanza dal punto dove si trova il contenitore Le molecole di quella sostanza attraverso le collisioni molecolare diffondono nel volume circostante dove è assente quella sostanza. Il flusso di massa è diretto da zone ad elevata presenza verso zone con ridotta presenza di contenuto di quella specie. ▪ La stessa cosa succede: …ad una goccia di colorante che cade in acqua; ….ad una zolletta di zucchero immersa in un bicchiere di acqua. 26  o La diffusione di massa ovvero il trasporto della massa è legato allo stesso meccanismo dell’agitazione termica delle molecole che produce continue collisioni e che danno luogo al trasporto di molecole di una specie dal punto di immissione verso zone dove essa è assente. o È importante come per gli altri due meccanismi esaminati la presenza di un gradiente di quella specie affinché avvenga il trasporto. ❑ Legge di Fick o Flusso di massa ▪ La legge di Fick che mette in relazione il flusso 𝐽 di una specie al gradiente della concentrazione 𝑺 di quella specie lungo una certa direzione: 𝜕𝑆/𝜕𝑥, 𝜕𝑆/𝜕𝑦, 𝜕𝑆/𝜕𝑧, attraverso il coefficiente di diffusione D. 𝜕𝑆 𝐽𝑥 = −𝐷 𝜕𝑥 𝜕𝑆 𝐽𝑦 = −𝐷 𝜕𝑦 𝜕𝑆 𝐽𝑦 = −𝐷 𝜕𝑧 ❑ Riepilogo I flussi di quantità di moto, energia e massa sono sempre diretti in direzione opposta ai gradienti della grandezza ovvero da zone ad elevato valore della grandezza verso zone a basso valore della grandezza. Flusso di quantità di moto: da zone ad alta velocità verso zone a bassa velocità 𝜕𝑢 ❑ 𝜏𝑦𝑥 = −𝜇 𝜕𝑦 , Legge di Newton N / m2 Flusso di energia termica: da zone ad alta temperatura verso zone a bassa temperatura 𝜕𝑇 ❑ 𝑞𝑦 = −𝜆 , Legge di Fourier Joule / m2 s 𝜕𝑦 Flusso di massa: da zone ad alta concentrazione verso zone a bassa concentrazione 𝜕𝑆 ❑ 𝐽 = −𝐷 𝜕𝑥, Legge di Fick kg / m2 s 27 ❑ Richiami di Termodinamica Gas perfetto: equazione di stato o È detto perfetto se quel gas soddisfa la legge che va sotto il nome di equazione di stato dei gas perfetti: 𝑅 𝑝𝑣 = 𝑚 T 𝑀 o V: volume occupato dal gas; m: massa [kg]; M: massa molare [kg/Mole] R: costante universale dei gas; p: pressione assoluta; T: temperatura assoluta. o E’ possibile riscrivere la relazione precedente facendo comparire altre grandezze: ▪ Con la densità  = m / V [  ] : SI [ kg / m3 ] ST [ kgf s2 / m4 ] 𝒑 𝑹 = T 𝝆 𝑴 ▪ Con il numero di (grandi) Moli N=m/M pV = NRT ▪ Con il numero di moli per unità di volume (densità molare) : n = N / V = m / M p = nRT o Come detto in precedenza, una kilomole o grande mole M, N =1, di un qualsiasi gas occupa in condizioni normali (T = 273 K; p = 101325 Pa) sempre lo stesso volume: V = 22.4m3 ▪ 1 mole (piccola) contiene un numero di Avogadro di molecole = 6.023  10 23 molecole e occupa 22.4 dm3 (litri). 28  I Principio della termodinamica o Sistema termodinamico stazionario (Velocità macroscopica nulla del sistema) ▪ Il sistema non possiede energia cinetica macroscopica q Sistema termodinamico in quiete L ▪ Dall’esterno si fornisce al sistema una certa quantità di calore 𝛿 𝑞 e viene effettuato lavoro 𝛿𝐿 sul sistema. ▪ Equivalenza tra le due forme di energia: 1 kcal (Cal) = 4186 J = 427 kgf m. ▪ In un sistema stazionario a causa del calore fornito 𝛿𝑞 e del lavoro fatto sul sistema quest’ultimo passa da uno stato termodinamico 1 a quello 2 variando la sua energia interna 𝑒 che nel passaggio dalla condizione 1 a quella 2 varia in accordo con la relazione che va sotto il nome di primo principio della termodinamica. 𝑑𝑒 = 𝛿𝑞 + 𝛿𝐿 [J/kg] q e1 e2 L o L’energia interna è una variabile di stato e il suo valore dipende solo dallo stato iniziale “1” e da quello finale “2” del sistema termodinamico. o La quantità di calore q e il lavoro  L non sono variabili di stato in quanto dipendono dal tipo di trasformazione, cioè da come avviene la fornitura di calore e da come viene effettuato il lavoro procedendo dalla condizione iniziale a quella finale. Pertanto, 𝛿𝑞 e 𝛿𝐿 non sono differenziali esatti, ma la loro somma si! Il simbolo 𝛿 indica appunto che il differenziale non è esatto. 29  ❑ Processo reversibile Un processo che conduce da uno stato iniziale 1 ad uno stato finale 2 viene detto reversibile se durante l'intero processo il sistema stesso “permane sempre” in equilibrio termodinamico. Questo è possibile se sono assenti gradienti che generano flussi. Per i processi reversibili è possibile anche procedere in direzione opposta da 2 verso 1 tornando esattamente nelle stesse condizioni di partenza con lo stesso modo di procedere. ❑ Processo irreversibile Se il processo avviene in presenza di almeno uno dei seguenti: o gradienti di velocità; o gradienti di temperatura; o gradienti di concentrazioni. la nascita dei flussi associati durante il processo rende il processo stesso irreversibile. Le condizioni di disuniformità portano a far nascere effetti dissipativi legati: o alla viscosità che genera sforzi viscosi; o alla conducibilità termica che genera flussi di calore; o alla diffusione di massa che genera flussi di massa. Queste fenomenologie dissipative non rendono possibile la reversibilità del processo Nasce in queste condizioni una variazione positiva di entropia ❑ Processo Isoentropico: Adiabatico e Reversibile  q +  L = de (I principio) o Processo Adiabatico:  q = 0; o In queste condizioni il I principio si riduce a: de =  L = -p dv. ❑ Entropia o L’entropia è una variabile di stato o Anche l’entropia “s” come l’energia interna “e” dipende solo dallo stato iniziale del processo e da quello finale. 30  o La direzione secondo cui avviene lo specifico processo viene definito dal secondo principio della termodinamica. o È definito quindi il suo differenziale esatto 𝒅𝒔. ❑ II Principio 𝛿𝑞 𝑑𝑠 = + 𝑑𝑠𝑖𝑟𝑟 [J / kg K] 𝑇 La variazione infinitesima di entropia durante un generico processo è uguale a: 𝛿𝑞 o La quantità di calore fornita al sistema divisa per la temperatura: 𝑇 o un contributo irreversibile 𝑑𝑠𝑖𝑟𝑟 derivante dalla presenza di fenomeni dissipativi che costituiscono le sorgenti di produzione di entropia all’interno stesso del sistema. I fenomeni dissipativi determinano sempre un aumento di entropia, pertanto risulta sempre: 𝑑𝑠𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣 ≥ 0 (= 0 reversibili; > 0 irreversibili) L’entropia tiene in conto il livello di degradazione dell’energia termica e del lavoro. 𝛿𝑞 ❑ II Principio per processi reversibili 𝑑𝑠 = + 𝑑𝑠𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣 𝑇 ▪ Per i processi reversibili i fenomeni dissipativi sono assenti. ▪ Pertanto vale: 𝑑𝑠𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣 = 0; ▪ Il secondo principio per i processi reversibili si scrive come: 𝛿𝑞 𝑑𝑠 = 𝑇. o Sul diagramma T- s, l’area sottesa dalla curva di processo è pari alla quantità di calore fornita al sistema. T B A 𝐵 𝑞= ∫𝐴 𝑇𝑑𝑠 s sA sB ▪ Anche se il processo è reversibile, in presenza di immissione di calore q si genera comunque un aumento di entropia; ▪ Il processo reversibile non è detto che sia isoentropico; ▪ Se il processo reversibile avviene anche senza somministrazione di calore, 𝑞 = 0 (cioè in maniere adiabatica), allora avviene anche ad entropia costante 𝑑𝑠 = 0 e il processo è isoentropico. 31 ❑ II principio scritto in altro modo In generale sia per processi reversibili che per quelli irreversibili si può sempre scrivere 𝛿𝑞 𝑑𝑠 ≥ il segno di uguaglianza vale solo per i processi reversibili 𝑇 ❑ Condizione di Serbatoio o Un gas contenuto in un serbatoio è in condizione di velocità nulla. Un manometro e un termometro misurano valori per la pressione e per la temperatura che sono quelle del gas in quiete ovvero i valori in condizioni di arresto (o ristagno). o Le varie grandezze (temperatura, pressione, densità) che competono al gas in serbatoio, sono quelle di arresto 𝑇0, 𝑝0 , etc. Manometro Termometro pserb = po cp T + V2/2 = H = costante Tserb =To To V= 0 o Se il gas evolvesse per esempio attraverso un ugello provenendo dalle condizioni di serbatoio, in assenza di fenomenologie dissipative, la corrente gassosa evolverebbe in condizioni adiabatiche e reversibili. o Ciò comporta che lungo ogni linea di corrente si conservano tutte le grandezze di arresto. Consideriamo ad esempio due punti 1 e 2 all’interno di un ugello convergente divergente: L’evoluzione può essere studiata sul piano h-s (o T-s): 32  Tra i punti 1 e 2 vi è un incremento di velocità che corrisponde ad una riduzione dell’entalpia sensibile, mantenendo tuttavia il valore di 𝐻 = 𝑐𝑜𝑠𝑡. Tali punti saranno sulla stessa verticale essendo il processo isentropico. ❑ Calcolo della variazione di entropia mediante l’energia interna 𝒆 ▪ Relazione utilizzabile sia per processi reversibili che per quelli non reversibili. 𝑇 𝑅 𝜌 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑇2 − 𝑀 𝑙𝑛 𝜌2 1 1 ▪ Variazione di entropia espressa mediante l’entalpia 𝒉 𝑇2 𝑅 𝑝2 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑝 𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 𝑇1 𝑀 𝑝1 Sebbene nella derivazione si assume per il lavoro l’espressione semplice per un processo reversibile, le equazioni risultanti a) e b) contengono solo variabili di stato (p, T, ), pertanto le variazioni entropia sono indipendenti da come il processo viene realizzato passando dalla condizione 1 (p1, T1 , 1) a quella finale 2 (p2, T2 , 2). D’altra parte, l’entropia è una funzione di stato e dipende solo dalle condizioni iniziali e finali. Le equazioni a) e b) possono essere usate per calcolare le variazioni di entropia di un gas ideale senza distinzione tra processo reversibile e irreversibile. ▪ Variazione di entropia espressa mediante le grandezze di arresto ▪ Il passaggio da condizioni statiche alle condizioni di arresto o viceversa (serbatoio verso l’arresto), per definizione stessa di grandezze di arresto, avviene isoentropicamente. Cioe’ le condizioni di arresto sono quelle ottenute rallentando adiabaticamente ed iso-entropicamente una corrente, fino al valore di V=0. Tornando al piano h-s, le condizioni di arresto si individuano considerando la verticale (s=cost) a partire dal punto 1. 33  ▪ Per una generica trasformazione può scrivere: 𝑠02 – 𝑠01 = 𝑠2 − 𝑠1 ▪ La variazione di entropia si può anche scrivere con le grandezze di arresto: 𝑇 𝑅 𝑝 𝑇 𝑅 𝜌 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑠02 – 𝑠01 = 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑇02 − 𝑀 𝑙𝑛 𝑝0 2 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑠02 – 𝑠01 = 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑇02 − 𝑀 𝑙𝑛 𝜌02 01 01 01 01 ▪ È la pressione totale che caratterizza l’entità delle perdite di energia del sistema che si quantizzano gli effetti dissipativi. ❑ Salto di entropia in una evoluzione adiabatica ▪ Nel caso di una evoluzione adiabatica risulta T02 = T01 pertanto dalla relazione: 𝑇 𝑅 𝑝 𝑅 𝑝 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑇02 − 𝑀 𝑙𝑛 𝑝02 = 𝑠2 − 𝑠1 = − 𝑀 𝑙𝑛 𝑝02 01 01 01 ▪ Si evidenzia che un aumento di entropia dovuta alla presenza di effetti dissipativi (flussi) produce una riduzione di pressione totale (p01 - p02) della corrente. ❑ Relazioni per il processo isoentropico Legame pressione – temperatura 𝛾 𝑝2 𝑇 𝛾−1 ▪ 𝑝1 = (𝑇2) 1 ▪ Se per condizioni 2 si assumono quelle di arresto allora la relazione precedente si scrive: 𝜸 𝒑𝒐 𝑻𝟎 𝜸−𝟏 =( ) 𝒑 𝑻 Legame densità – temperatura 34  𝟏 𝟏 𝝆𝟐 𝑻 𝜸−𝟏 𝝆𝒐 𝑻 𝜸−𝟏 = (𝑻𝟐) = ( 𝑻𝒐 ) 𝝆𝟏 𝟏 𝝆 𝒑 Legami pressione – densità = 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝝆𝜸 𝒑𝟐 𝒑𝟏 𝜸 = (𝝆𝟐 ) (𝝆𝟏 )𝜸 ❑ Composizione chimica dell’Aria ▪ L’aria è una miscela di gas la cui composizione è definita da: ▪ % in Volume: 78.03 N2 + 20.99 O2 +0.933 Ar + 0.03 CO2 +0.01 H2 + altre specie ▪ % in Massa: 75.47 N2 + 23.20 O2 + 1.28 Ar + 0.046 CO2 + 0.001 H2 + altre specie ▪ Per semplicità nei calcoli si può ammettere che la composizione volumetrica sia caratterizzata dai soli componenti biatomici più rappresentativi: 79% N2 + 21% O2 a cui corrisponde 3.76 Moli di N2 + 1 Mole di O2 ▪ Andamento della temperatura in aria in condizioni standard Atmosfera ❑ Caratteristiche dell’aria in condizioni standard E’ una condizione di riferimento dell’aria a cui corrispondono: ▪ T=15°C = 288K ▪ p=760mmHg = 101325 Pa 35 ▪  = 1.225 kg/m3 ▪  =1.781*10-5 kg/ms ▪ = 1.454*10-5 m2/s ▪  = 0.0250 W/mK ▪ M = 29 kg / Mole ▪ L =5 ▪  =1.4 ▪ a = 340 m/s ▪ CP = 29099 J / Mole K ▪ Cv = 20785 J / Mole K ▪ cp = 1003.41 J / kg K ▪ cv = 716.72 J / kg K 36  POLITECNICO DI TORINO DIPARTIMENTO di INGEGNERIA MECCANICA e AEROSPAZIALE GASDINAMICA G. Iuso Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Laurea Magistrale A.A. 2024/ 2025 Parte A2 : Leggi di Bilancio 1 ❑ Leggi di bilancio o della conservazione Massa G Quantità di moto { Energia Flussi della generica grandezza G G Si introduce la quantità f= Volume G Il flusso della grandezza G si scrive come: f (v̅ ∙ n̅) [tS ] Scrittura equazioni Forma integrale Forma differenziale Approccio y Euleriano: Volume di controllo fisso finito o infinitesimo Particelle diverse che lo attraversano z x Lagrangiano: Si segue un volume di controllo finito o infinitesimo “a cavallo” della particella di fluido. y 1 2 z x 2  Scrittura delle equazioni nella forma Euleriana e Integrale Assunzioni: Flusso inviscido e continuo; Volume fisso di forma arbitraria e racchiuso da una superficie esterna; Volume indeformabile e permeabile al passaggio delle particelle. Conservazione o bilancio della massa (equazione scalare) 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 f→ρ densità [𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ] ρ dVol massa elementare ∫Vol ρ dVol massa totale nel volume ∂ Massa ∫ ρ dVol rate of change [ ] ∂t Vol Tempo − ∫S ρ (V ̅ ∙ n̅) dS → net mass flux ∂ ̅ ∙ n̅) dS ∫ ρ dVol = − ∫ρ (V ∂t Vol S ∂ ̅ ∙ n̅) dS = 0 ∫ ρ dVol + ∫ρ (V ∂t Vol S ∂ Caso stazionario → =0 ̅ ∙ n̅) dS = 0 ∫S ρ (V ∂t 3  Bilancio della quantità di moto (equazione vettoriale) f → ρV ̅ densità x Velocità ∂ ∫ ̅ dVol = ∫ ( Flussi di qdm ) dS + Festerne CV ρV [N] ∂t Vol S Equivale a scrivere la II legge della dinamica: F̅ = m a̅ Flusso di quantità di moto: ∫S ρ V̅ (V ̅ ∙ n̅) 𝑑𝑆 [𝑁] − ∫S ρV̅ (V ̅ ∙ n̅) dS [N] Pressione Forze di 𝐬𝐮𝐩𝐞𝐫𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞 { Viscose Forze esterne Campo gravitazionale Forze di 𝐦𝐚𝐬𝐬𝐚 { { Campo magnetico Forze di pressione p(dS ∙ n̅) = (p ∙ n̅) dS Forza di pressione netta tra ingresso e uscita = − ∫S(p ∙ n̅) dS N Forze di massa: si introduce f̅ la forza per unità di massa [kg] o Forza totale di massa: ρf̅ dVol → ∫Vol ρf̅ dVol [N] Equazione finale ∂ ∫ ρV ̅ ∙ n̅) dS − ∫(p ∙ n̅) dS + ∫ ρf̅ dVol ̅ dVol = − ∫ρV̅ (V ∂t Vol S S Vol ∂ Caso stazionario → =0 ∂t ̅ ∙ n̅) dS = − ∫(p ∙ n̅) dS + ∫ ρf̅ dVol ∫ρV̅ (V S S Vol 4  Conservazione dell’energia (equazione scalare) Si rifà al I principio della termodinamica per sistemi stazionari ̅ = 0) → de = δq + δL (V ̅ ≠ 0, allora l’energia per unità di volume è data dalla Nei campi fluidodinamici V somma di due contributi. V2 J l’energia interna + l’energia cinetica macroscopica: ρ (e + 2 ) [m3 ] V2 Flusso netto di energia attraverso la superficie S: − ∫S ρ (e + ̅ ∙ n̅) dS [ J ] = 𝑊 ) (V 2 s ∂ V2 J Rate of change ∫ ρ (e + ) dVol [ s] = 𝑊 ∂t Vol 2 Calore fornito: 2 contributi 𝐸𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ̇ 𝐴𝑠𝑠𝑜𝑟𝑏𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 J 1. si indica con q̇ [kg s] 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖 𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖𝑐𝑖 { 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 J Il primo contributo vale ∫Vol ρq̇ dVol [s] 2. Effetti viscosi che generano flussi di calore interni: si indica con Q̇ viscoso o Calore complessivo: 1+2 : ∫Vol ρq̇ dVol + Q̇ viscoso Lavoro delle forze applicate al volume di controllo 1. Lavoro delle forze di pressione − ∫S p n̅ dS forza di pressione ̅ ∙ n̅) dS − ∫S p(V lavoro della forza di pressione 5 2. Lavoro delle forze di campo: ∫Vol ρ(f̅ ∙ V ̅) dVol 3. Lavoro delle forze viscose: si indica con Ẇvisc Equazione finale ∂ V2 V2 ̅ ∙ n̅) dS − ∫p(V ∫ ρ (e + ) dVol = − ∫ ρ (e + ) (V ̅ ∙ n̅) dS + ∂t Vol 2 S 2 S + ∫Vol ρ(f̅ ∙ V ̅) dVol + ∫ ρq̇ dVol + Q̇ visc + Ẇvisc Vol Forma differenziale delle equazioni Passaggio da forma integrale (volume finito) a forma differenziale (volume infinitesimo) Vol → dVol = dx dy dz Bisogna trasformare l’integrale di superficie in integrale di volume utilizzando il teorema di Gauss. ∫dS → ∫ dVol S Vol Identità vettoriali ̅ o Vettore A ̅ ∙ n̅) dS = ∫ (∇ ∙ A ∫S(A ̅) dVol ̅ : Divergenza del vettore] [∇ ∙ A Vol o Scalare ф ∫S(ф ∙ n̅)dS = ∫Vol ∇ф dVol [∇ф: Gradiente dello scalare ] Conservazione della massa ∂ ̅ ∙ n̅) dS ∫ ρ dVol = − ∫ρ(V ∂t Vol S ̅ ∙ n̅) dS = ∫ ∇ ∙ (ρV Si trasforma l’integrale di superficie: ∫S ρ(V Vol ̅) dVol ∂ ̅) dVol = 0 L’equazione diventa: ∂t ∫Vol ρ dVol + ∫Vol ∇ ∙ (ρV Se il volume è fisso (non dipende dal tempo) la derivata temporale può essere inglobata nell’integrale di volume: 6  ∂ρ ∂ρ ∫ ̅) dVol = ∫ [ + ∇ ∙ (ρV dVol + ∫ ∇ ∙ (ρV ̅)] dVol = 0 Vol ∂t Vol Vol ∂t Se il volume è arbitrario, affinché il valore dell’integrale sia nullo deve essere nulla la funzione integranda La relazione finale è la seguente: ∂ρ ∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw) + + + =0 Forma Euleriana conservativa ∂t ∂x ∂y ∂z ̅). Dove si è esplicitato il termine ∇ ∙ (ρV Passaggio dalla forma conservativa alla forma non conservativa o Si deriva la relazione precedente ∂ρ ∂ρ ∂u ∂ρ ∂v ∂ρ ∂w + (u + ρ ) + (v + ρ ) + (w + ρ ) = 0 ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂u ∂v ∂w + u + v + w = −( ρ + ρ + ρ ) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Dρ ̅) = −ρ(∇ ∙ V Forma Lagrangiana non conservativa Dt Dρ o Caso stazionario e incompressibile → =0 Dt → 𝑉 ⋅ ∇𝜌 = 0 ∂u ∂v ∂w Allora deve risultare: ∂x + ∂y + =0 ∂z Conservazione quantità di moto Equazione della quantità di moto in forma integrale ed euleriana ∂ ∫ ρV ̅ ∙ n̅) dS − ∫ (p ∙ n̅) dS + ∫ ρf̅ dVol ̅ dVol = − ∫ρV̅ (V ∂t Vol S S Vol Osservazioni ̅ e non V Quando si scrive la qdm lungo le tre direzioni si proietta V ̅ ∙ n̅ ̅ ∙ n̅ è legato al flusso totale attraverso la superficie S e fornisce tutti e tre i contributi V per ogni direzione di proiezione. 7  ∫(p ∙ n̅) dS = ∫ ∇p dVol S Vol ∂p ∂p ∂p Il gradiente è dato dalla relazione: ∇p = ∂x i̅ + j̅ + k̅ ∂y ∂z Proiezione della equazione nella direzione x: ̅ ∙ i̅ = u V ∂ ∂p ∫ ρu dVol = − ∫ρu (V ̅ ∙ n̅) dS − ∫ dVol + ∫ ρ fx dVol ∂t Vol S Vol ∂x Vol Trasformazione: integrali di Superficie in integrali di Volume o ρu : risulta una quantità scalare e quindi figura come costante moltiplicativa della ̅ Allora si scrive: velocità V. ̅ ∙ n̅) dS = ∫(ρu V ∫ρu (V ̅ ∙ n̅) dS = ∫ ∇ ∙ (ρuV ̅)dVol S S Vol o Si ottiene ∂ ∂p ̅) dVol − ∫ ∫ ρu dVol = − ∫ ∇ ∙ (ρuV dVol + ∫ ρ fx dVol ∂t Vol Vol ∂x Vol Vol o Seguendo i ragionamenti fatti prima si ottiene lungo x la forma differenziale ∂(ρu) ∂p ̅) + + ∇ ∙ (ρuV − ρfx = 0 ∂t ∂x Analogamente lungo le direzioni y e z ∂(ρv) ∂p ̅) + + ∇ ∙ (ρvV − ρfy = 0 ∂t ∂y ∂(ρw) ∂p ̅) + + ∇ ∙ (ρwV − ρfz = 0 ∂t ∂z Risultato: ∂(ρuu) ∂(ρuv) ∂(ρuw) ̅) = ∇ ∙ (ρuV + + ∂x ∂y ∂z ∂(ρvu) ∂(ρvv) ∂(ρvw) ̅) = ∇ ∙ (ρvV + + ∂x ∂y ∂z 8  ∂(ρwu) ∂(ρwv) ∂(ρww) ̅) = ∇ ∙ (ρwV + + ∂x ∂y ∂z N Equazioni finali nella forma Differenziale & Euleriana [m3 ] ∂(ρu) ∂(ρuu) ∂(ρuv) ∂(ρuw) ∂p + + + =− + ρfx ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂(ρu) ∂(ρvu) ∂(ρvv) ∂(ρvw) ∂p + + + =− + ρfy ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂(ρu) ∂(ρwu) ∂(ρwv) ∂(ρww) ∂p + + + = − + ρfz ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z Passaggio alla forma Lagrangiana ∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ρ[ +u +v +w ]=− + ρfx ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂v ∂v ∂v ∂v ∂p ρ[ +u +v +w ] = − + ρfy ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p ρ[ +u +v +w ]=− + ρfz ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z N Equazione finale nella forma differenziale & Lagrangiana [m3 ] Du ∂p ρ =− + ρfx Dt ∂x Dv ∂p ρ = − + ρfy Dt ∂y Dw ∂p ρ =− + ρfz Dt ∂z Forma di scrittura compatta (vettoriale) Lagrangiana ̅ DV ρ = −∇p + ρf̅ Dt 9  o L’equazione in forma Lagrangiana coincide con il secondo principio della dinamica scritto per unità di volume o Caso incomprimibile e stazionario → ρ = costante o Caso comprimibile e stazionario → ρ = ρ(x, y, z) Fluido in quiete: ̅ = 0, V u=v=w=0 o Equazione di quantità di moto in forma differenziale lungo y ∂p 0=− + ρfy ∂y o Tale relazione una volta integrata conduce alla legge di Stevino o Viene utilizzata per la misura della pressione utilizzando manometri ∆p = ρ g ∆y = γ ∆y o Dove γ è il peso specifico del fluido manometrico: p − priferimento = γ ∆y ∆y → lettura della scala graduata del manometro; ∆p → calcolo Conservazione dell’energia Equazione dell’energia in forma integrale ed Euleriana ∂ V2 V2 ̅ ∙ n̅) dS − ∫p(V ∫ ρ (e + ) dVol = − ∫ ρ (e + ) (V ̅ ∙ n̅) dS + ∂t Vol 2 S 2 S + ∫ ρ(f̅ ∙ V ̅) dVol + ∫ ρq̇ dVol Vol Vol Trasformazione integrali: Superficie → Volume V2 V2 ∫ ρ (e + ̅ ∙ n̅) dS = ∫ ∇ ∙ (ρ (e + ) V ) (V ̅) dVol S 2 Vol 2 ̅ ∙ n̅) dS = ∫ ∇ ∙ (pV ∫p(V ̅) dVol S Vol Equazione dell’energia in forma differenziale Euleriana ∂ V2 V2 (ρ (e + )) + ∇ ∙ (ρ (e + ) V ̅) + ρq̇ + ρ(f̅ ∙ V ̅) = −∇ ∙ (pV ̅) ∂t 2 2 10  Equazione dell’energia in forma differenziale lagrangiana V2 D (e + 2 ) ρ ̅) + ρq̇ + ρ(f̅ ∙ V = −∇ ∙ (pV ̅) Dt De Equazione dell’energia interna ̅) + ρq̇ ρ Dt = −p (∇ ∙ V V2 D( 2 ) Equazione dell’energia cinetica ρ Dt ̅ ∙ ∇p + ρ(f̅ ∙ V = −V ̅) p Dh Dp Equazione dell’entalpia statica (h = e + ρ ) → ρ Dt = + ρq̇ Dt V2 Equazione dell’entalpia totale (H = h + ) 2 DH ∂p ρ = + ρq̇ + ρ(f̅ ∙ V ̅) + vis + cond Dt ∂t DH ∂p a) Se q̇ = 0, f̅ = 0 → ρ = Dt ∂t ∂p DH V2 b) Se q̇ = 0, f̅ = 0, =0 → ρ Dt = 0 → H = cost → h+ = cost ∂t 2 Commenti 1 o Pressione totale in campo incompressibile po = p + 2 ρV 2 γ γ−1 2 γ−1 o Pressione totale in campo compressibile po = p (1 + M ) 2 ▪ Quest’ultima relazione descrive anche la pressione totale nel caso di flusso incompressibile. Basta espandere in serie per M→ 0 V2∞ V2∞ o Entalpia totale a monte H∞ = h∞ + 2 = 𝑐𝑝 T∞ + 2 = cp To ∞ o Entalpia totale lungo una linea di corrente proveniente: H = cp To o Se la linea di corrente proviene dall’infinito a monte allora H si mantiene costante e risulta: V2∞ V2 H∞ = H = cp T∞ + = cp T + → To∞ = To 2 2 11  2 V∞ To∞ = T∞ + = 𝑇0 2cp Relazioni tra velocità caratteristiche V2 V2 H = cost = h + = cp T + = cp To 2 2 V2 cp To = cp T + 2 o Essendo γ R cp = γ−1M R γ T = a2 M a2 V2 o a2 o Si ottiene + = γ−1 γ−1 2 V Velocità limite (T → 0, a → 0, M= → ∞) a 2 Vlim a2o = 2 γ−1 Velocità critica (M = 1, V = a∗ , a = a∗ ) 2 2 2 a2 V2 a∗ a∗ γ + 1 a∗ + = + = γ−1 2 γ−1 2 γ−1 2 Legami tra le velocità (H = costante) 2 2 a2 V2 a2o Vlim γ + 1 a∗ + = = = γ−1 2 γ−1 2 γ−1 2 Vlim 2 Vlim γ+1 a∗ 2 = √γ−1 ; = √γ−1 ; = √γ+1 ao a∗ ao 12  ARIA (γ = 1.4) Vlim a∗ Vlim = √6 = 2.449 ; = 0.913 ; = 2.236 a∗ ao ao Legame tra numero di Mach effettivo e Mach riferito alle condizioni critiche 2 a2 V2 γ+1 a∗ Si riprende la relazione + = γ−1 γ−1 2 2 o Dividendo a primo e secondo membro per V 2 si ottiene 2 1 a2 1 γ + 1 a∗ 1 + = V2 γ − 1 2 γ − 1 2 V2 1 1 1 1 γ+1 1 o Introducendo M = V/a, risulta : + = M2 γ−1 2 2 γ−1 M∗2 2 o Da cui si esplicita M in funzione di M*: M = √ γ+1 [ 2 ]−(γ−1) M∗ M2 (γ+1) o E viceversa: M ∗ = √2+M2 (γ−1) M=1 → M∗ = 1 M>1 → M∗ > 1 {M < 1 → M∗ < 1 Vlim (γ+1) o Se M → ∞ risulta M∗ → = √(γ−1) a∗ o Nel caso dell’aria (γ = 1.4) ∶ M∗ → 2.449 Relazione velocità del suono in condizioni critiche e in condizioni di arresto 2 γ + 1 a∗ a2o = γ−1 2 γ−1 o Dato che la velocità del suono dipende dalla temperatura 2 R R a∗ = γ T ∗ a2o = γ To M M 2 a∗ T∗ 2 o Si ottiene: = T = γ+1 a2o o 13  o Allo stesso rapporto di temperature si giunge partendo dalla relazione γ−1 2 To = T (1 + M ) 2 o Scrivendo l’equazione per condizioni critiche (M ∗ = 1), si ottiene il rapporto tra temperatura critica e temperatura di arresto T∗ 2 = To γ + 1 o Si considerano le relazioni isentropiche γ p2 T2 γ−1 =( ) p1 T1 1 ρ2 T2 γ−1 =( ) ρ1 T1 o Considerando i valori in 2 come valori critici e i valori in 1 come valori di arresto, si ottengono i seguenti rapporti γ γ p∗ T ∗ γ−1 2 γ−1 =( ) =( ) po To γ+1 1 1 ρ∗ T ∗ γ−1 2 γ−1 =( ) =( ) ρo To γ+1 ARIA (γ = 1.4) T∗ p∗ ρ∗ = 0.833 = 0.528 = 0.634 To po ρo ❑ Teorema di Crocco Richiami o Vettore velocità: ̅V = u i̅ + v j̅ + w k̅ o Rotore della velocità: i̅ j̅ k̅ ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u ̅ =|∂ ∂ ∂|=( ∇xV − ) i̅ + ( − ) j̅ + ( − ) k̅ ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y u v w 14  1 o Vorticità ̅); ̅ = 2 (∇xV ω o Esempio di campo vorticoso e non: Vortice di Rankine vθ = ω r se 0 ≤ r ≤ r0 cuore del vortice: rotazionale