Termodinamica e fluidodinamica

Certo, ecco gli appunti di studio:

• POLITECNICO DI TORINO*
• Gasdinamica è un corso del Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Aerospaziale.
• Il corso è tenuto da G. Iuso per il Corso di Studi in Ingegneria Aerospaziale, Laurea Magistrale, A.A. 2024/2025.
• Le note qui presentate sono la Parte A1.

Struttura di un gas

• Il gas è uno stato della materia con molecole libere di muoversi senza restrizioni dovute a forze di coesione.
• I gas non hanno una forma propria.
• I gas possono essere incomprimibili o comprimibili a seconda del numero di Mach.
• Il Numero di Mach è M = V / a che adimensiona i flussi ad alta velocità.

Particella fluida

• Una particella fluida è un insieme di molecole in un volume "quasi puntiforme".
• La grandezza elementare deve contenere un elevato numero di molecole.
• La grandezza elementare deve essere sufficientemente grande per valutare statisticamente le grandezze termofluidodinamiche medie.
• La grandezza elementare inoltre deve essere sufficientemente piccola per ritenere costanti le proprietà del fluido al suo interno.
• La dimensione della particella è associata al volume infinitesimo dx, dy, dz.
• La particella porta tutte le informazioni relative alle proprietà del fluido, ritenute puntiformi e distribuite con continuità nel volume occupato dal fluido.

Numero di Avogadro

• Una mole di gas contiene un numero di molecole pari al numero di Avogadro: Na= 6.023·1023 molecole.
• Una chilomole è una grandezza riferita a 1000 moli.
• Una chilomole di un gas contiene Na= 6.023·1026 molecole.
• Una chilomole in condizioni normali occupa 22.4 m³.
• Una piccola mole in condizioni normali occupa 22.4 dm³ = 22.4 litri.

Densità Volumetrica

• Il numero di molecole per unità di volume è la densità volumetrica.
• n=Na/22.4=2.69·10^25 molecole/m³ è la denisità volumetrica.
• 1 mm³ contiene 2.69·10^16 molecole.
• Un cubetto di 1μm di lato contiene 27.000.000 molecole.
• Un elevato numero di molecole contenuto all'interno delle particelle consente di ritenere continue le proprietà del gas nello spazio (Ipotesi del continuo).

Libero cammino medio molecolare

• La distanza media tra due collisioni consecutive è definito come libero cammino medio molecolare l.
• l = 1/(√2 πα²n) per gas monocomponente in equilibrio con molecole sferiche non attrattive, dove σ è la sezione d'urto e n è il numero di molecole per unità di volume.
• l = mmolecola/(σρ) dove σ è la sezione d'urto.
• Per l'aria in condizioni standard, l = 6.35 · 10~5mm.

Numero di Knudsen

• Confronta la condizione locale tra urti successivi e la condizione globale del moto baricentrale dell'insieme di molecole.
• Definito come Kn=l/L, dove L è la lunghezza caratteristica del corpo.
• Kn < 0.01 flusso continuo.
• 0.01<Kn <0.1 flusso con slittamento (Slightly rarified).
• 0.1< Kn <10 flusso transitorio (Moderately rarified).
• Kn > 10 flusso molecolare libero (Highly rarified).

Velocità macroscopica e velocità di agitazione termica

• La velocità con cui le molecole si urtano è la velocità di agitazione termica che dipende dalla termperatura.
• V = V + V' è la somma di componente media statistica Ve di una componente fluttuante V' dovuta all'agitazione termica.
• V è il valore medio statistico valutato su un insieme elevato di molecole.
• V' corrisponde alla temperatura e al moto caotico molecolare.
• La misurazione della velocità si esprime con u = u + u', v = v + ν', W = w+w , componenti di un sistema di coordinate cartesiane lungo le tre direzioni.
• L'energia cinetica traslazionale che compete alla singola molecola di massa m vale Et = 1/2 m (u² + v² + w² ).
• L'energia cinetica traslazionale può essere espressa come 1/2 m (u² + vv + w̄w) + 1/2m (u'u' + v'v' + w'w').
• Il primo termine rappresenta l'energia cinetica media macroscopica del baricentro dell'insieme di molecole.
• Il secondo termine descrive l'energia cinetica caotica traslazionale di un insieme di molecole e si indica conet.
• Et = 1/2 m ( u'u' + v'v' + w'w' ) [J/molecola] è l'energia caotica traslazionale di un insieme di molecole e si indica conet.
• Et, energia delle fluttuazioni molecolari, non è l'unico contributo che costituisce l'energia interna, ma a questa si aggiunge il contributo degli altri gradi di libertà (rotazionale, vibrazionale) delle molecole.

Velocità di agitazione termica

• Et = 1/2 m Vat² dove Vat è la velocità di agitazione termica.
• Vat= √(2Et/m) = √u'u' + v'v' + w'w'

Costante universale dei gas

• R=8314 J/Mole K= 8.314 J/mole Kè la quantità di energia da fornire ad una Mole di un gas qualsiasi per incrementarne la temperatura di un grado.

Costante di Boltzmann

• Definita dal rapporto tra la costante universale dei gas R e il numero di Avogadro Na.
• kB=R/Na=1.380 · 10^-23 J/(molecola K) è la quantità di energia da fornire ad una molecola di un gas necessaria ad incrementare la sua temperatura di un grado.

Equipartizione dell'energia

• L'energia si distribuisce in modo uniforme lungo le tre direzioni.
• u'u' = v'v' = w'w' = kBT/m risulta dall'arbitrarietà delle direzioni lungo le quali le molecole si agitano a livello microscopico.
• u'u' + v'v' + w'w' = 3kBT/m = vat (solo per le traslazioni).
• L'energia caotica traslazionale vale Et=3/2, è traslazionale di una molecola.

Legame pressione-fluttuazioni molecolari

• u'u' + v'v' + w'w' = 3kBT/m = vat² = 3R/M T.
• p = ρ/M RT dove p è la densità.
• u'ū + v'v' + w'w' = 3p/ρ.
• p = 1/3ρ (u'u' + v'v' + w'w').

Legame velocità del suono-velocità di agitazione termica

• a = √∂p/∂ρ =(pV/VM = √γT è la legge termica.

Gradi di Libertà energetici

• Rappresentano i vari modi di incamerare energia da parte della molecola.
• L, gradi di libertà energetici, esprimono l'energia interna e l'entalpia del gas.
• I gas sono caratterizzati da:
• Traslazionali.
• Rotazionali (temperatura dell'ordine di 1000 K).
• Vibrazionali (T >1000K).
• Elettronici.
• Di Legame.
• Ogni molecola ha tre gradi di libertà traslazionali.
• Le molecole biatomiche e triatomiche con atomi allineati hanno due gradi di libertà rotazionali.
• Le molecole triatomiche hanno tre gradi di libertà rotazionali.

Altri gradi di libertà energetici

• A temperature elevate si evidenziano vibrazioni a livello strutturale.
• Essendoci variazioni di distanza fra gli atomi, si incamera energia.

Relazione finale per il numero di gradi di libertà energetici

• L = Lt + Lr per una temperatura T < 1000 K.
• n = 1, Molecole monoatomiche:Lt = 3.
• n = 2, Molecole con n = 2 e pluriatomiche lineariLt = 5.
• n = 3, Molecole pluriatomiche con n = 3Lt = 6.
• Per l'aria, 80% N2 + 20% O2, molecole biatomiche Lt = 5.

Gradi di libertà energetici – Energia interna

• L'energia caotica per ogni direzione di fluttuazione vale ε = 1/2 kBT [J/molecola].
• Et=1/2 kBT descrive le fluttuazioni di energia cinetica caotica traslazionale per le possibili direzioni di fluttuazione sono tre.
• EL = 1/2 LkBT [J/molecola].
• Il numero di molecole in una mole è pari al numero di Avogadro Na=6.023·10^26,pertanto ci si può fare riferimento all'energia che compete ad 1 Mole.
• E = NAEL = NAL/2kBT = L/2RT [J/Mole] esprime l'energia interna molare.
• L'energia interna molare e l'entalpia molare sono legate tra loro attraverso la costante universale e la temperatura.
• H = ε + RT = L+3/2 RT [J/Mole].
• ɛ = L/2RT/M T = cvT, e h = L+3/2 RT/MD T = Cp T esprimono l'energia interna ed entalpia specifica in J/kg e riassumono l'energia caotica accumulata dalla molecola del gas.

Gas caloricamente perfetti

• I calori specifici si mantengono costanti con la temperatura fino 1000K
• Sono direttamente legati a tutta l'energia interna a volume costante e all'entalpia a pressione costante.
• Cv è il calore specifico per unità di massa espresso in J/kg K.
• Cv = (∂e/∂T)v =1/2 RT/M
• Cp è il calore specifico a pressione costante J/kg K.
• Cp =1/2(L+2) R/M
• Cv = (∂e/∂T) - CvT è il calore specifico molecolare espresso in J/Mole K.
• CD = (∂e/∂T)p = Cp/M = 1/2(L+2) R è il calore specifico.
• ε = L/2 RT = CvTesprime la riscrittura energia ed entalpia molare.
• HE = 1/2(L+2)RT = CpT

Rapporto tra calori specifici

• γ = Cp/Cv = L+2/L.
• Anche y può essere espressa attraverso il numero di gradi di libertà energetici L attraverso le relazioni dei calori specifici.
• n=1: Molecole monoatomiche:L=3 γ = 1.67.
• n =2: molecole biatomiche con n =2 e pluriatomiche allineate:L=5 γ = 1.40.
• molecole pluriatomiche con n ≥ 3:L=6 γ = 1.33.

Legami tra i due calori specifici

• Tale legame passa anche attraverso la costante universale R dei gas e la propria massa molare M.
• h = e + p/p = e + R/MT la relazione.
• CpT = CvT + R/MT, Cp - Cv = R/M ricavati dalla relazione precedente.
• Cp = γR/γ-1 Μ, Cp = Y Cv, Cv= 1/γ-1 Μ

Aria

• O2 (≈20 %) e specie entrambe biatomiche N2 (≈80 %).
• L = 5 (Temperatura ambiente).
• M = 29 kg / Mole.
• R = 8314 J/ Mole K.
• Cv = 5/2*R/M = 717 J/kg K.
• Cp = 7/2*R/M = 1003 J / kg K.
• Cv = cv M = 20793 J / Mole K.
• Cp = cp M = 29087 / Mole K.
• y = Cp/Cv = 1.4.

Compressibilità

• I gas possono essere altamente compressibili, a differenza dei liquidi.
• Definita come la variazione percentuale del volume iniziale per una variazione unitaria di pressione applicata.
• β = -1/v *dv/dp [m²/N].
• • dp produce riduzioni di volume mentre - dp produce un aumento di volume.
• Bisogna anche aggiungere come è avvenuta la trasformazione: a temperatura costante В=Вт oppure ad entropia costante β=ẞs.
• Per i liquidi il valore di ẞ è molto piccolo per l'acqua pertanto sono considerati incomprimibili.
• Per l'aria in quiete altamente compressibili:βт = 7 ·10 -6 m²/N.
• β = 1/ρ *dρ/dp se si fa riferimento alle variazioni di densità.
• dp/ρ = β dp se si rende più leggibile la variazione di massa.

Variazione di densità in relazione alla variazione di velocità della corrente

• dp = pVdV si ricava dall'equazione di Eulero che descrive la legge del moto lungo una linea corrente incompressibile o compressibile.
• se p = costante l'integrazione conduce a p +1/2 pV2 = costante
• Dividendo la relazione a) per dp: dp/dp*p/dp =
• dp22
• Il termine a sinistra rappresenta la velocità del suono al quadrato a² se la derivata è valutata ad entropia costante.
• Tale condizione è verificata lungo una linea di corrente all'esterno dello strato limite, e/o in assenza di fenomenologie dissipative, quali le onde d'urto.
• dp/ρ = -M2 dv/V se riorganizzando.
• dp/ρ = -M2 se si considera consider dv/V≈1 che esprime il termine frazionario della densità.
• M = 0.1 ≈ 34m/s conΔρ/ρ = = - 0.01 → -1%.
• M = 0.3 ≈ 98m/s con Δρ/ρ = = - 0.09 ⇒ -9%.
• M = 0.4 ≈ 136m/s M2=0.16 con conΔρ/ρ = - 0.16 ⇒ -16%.
• M = 1 ≈ 340m/s con Δρ/ρ = = -1 ⇒ -100%.
• M = 2 ≈ 680m/s M2=4 con per Δρ/ρ = = -4 ⇒ - 400%.
• Il limite di una corrente gassosa incomprimibile è circa M≈0.3.

Classificazione dei campi di velocità

• Flussi incompressibili: 0 < M ≈ 0.3 - 0.4.
• Flussi compressibili: M > 0.4
• Alto subsonico : 0.4 < M < 1.
• Transonico: 0.8 < M < 1.2.
• Supersonico: 1.2 < M < 4-5.
• Ipersonico: M>4-5.

Proprietà di Trasporto dei fluidi

• Ogni molecola ha le stesse sue caratteriche nel moto macroscopico e caotico di quantità di moto, energia e massa
• Le grandezze vengono trasportate dalle singole molecole nel loro moto.
• In un campo di moto “non uniforme” si generano flussi di quantità di moto, di energia e di massa.
• Un flusso è definito come grandezza / (superficie x tempo).

Trasporto molecolare in correnti gassose e gradienti

• Quantità di moto genera sforzi viscosi.
• Energia genera flussi di calore.
• Massa genera flussi di massa.
• Le tre fenomenologie di trasporto fanno capo a proprietà dei fluido come la viscosità dinamica μ. la conducibilità termica λ, la diffusione di massa D

Viscosità dinamica

• In presenza di gradienti di velocità, la viscosità dinamica genera sforzi viscosi.
• La viscosità dinamica si esprime come la tensione di taglio in funzione al gradiente di velocità, la viscosità dinamica.

Spero che questo sia utile!