Kapitel 2: Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik PDF

Kapitel 2: Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Motivation Definitionen, Annahmen und Voraussetzungen Grundgleichungen für stationäre Strömungsprozesse...

Kapitel 2: Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Motivation Definitionen, Annahmen und Voraussetzungen Grundgleichungen für stationäre Strömungsprozesse Adiabate Strömungsprozesse Strömungsprozesse mit Wärmeübertragung Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 1  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Als Strömungsprozesse werden stationäre Fließprozesse verstanden, bei denen keinerlei technische Arbeit ausgetauscht wird. Wir beschränken uns auf die eindimensionale Betrachtung. Somit sind Strömungsprozesse gekennzeichnet durch: Wt12  0 Im Gegensatz zur klassischen Strömungsmechanik sollen hier gerade auch kompressible Fluide betrachtet werden, somit auch Hochgeschwindigkeitsströmungen. So kann dieses Kapitel neben der rein thermodynamischen Anwendung auch als Einführung in die Gasdynamik dienen. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 4  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Vereinfachende Voraussetzungen Behandlung der Strömungsprozesse nur unter folgenden Voraussetzungen: 1. Strömung „im wesentlichen“ eindimensional parallel zur Rohr- oder Kanalachse 2. Strömung ist stationär:   const m Auch alle anderen Zustands- und Prozessgrößen sind unabhängig von der Zeit. Weiterhin gilt: P12  0 ; Wt12  0 3. Zustandsgrößen sind über den Querschnitt der Strömung konstant.  es wird mit Mittelwerten gearbeitet. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 5  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Vereinfachende Voraussetzungen Definition der Mittelwerte: Eigentlich liegt ein Geschwindigkeitsprofil vor, wie z.B. die parabolische Geschwindig- keitsverteilung einer laminaren Rohrströmung. Innerhalb des Rohres ist die Geschwindigkeit damit eine Funktion des Ortes: c = f (Ort) Definition einer mittleren Geschwindigkeit cMittel über die Querschnittsfläche A gemäß    c    dA  c Mittel  Mittel  A m A Schema der Strömung Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 6  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Vereinfachende Voraussetzungen Mittel  f pMittel, TMittel  mit pmittel = p = konstant über den Querschnitt (bei nichtgekrümmten Rohren, etc)  H Tmittel folgt aus 1.HS mit H  1 1a H1    c    h dA  H  m 1a   hp,TMittel 1 Hinweis: Zur Vereinfachung der Schreibweise wird im Folgenden der Index „Mittel“ weggelassen. Zur Definition der Mitteltemperatur Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 7  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Vereinfachende Voraussetzungen Mit den Voraussetzungen 1-3 („eindimensional, stationär, Verwendung von Mittelwerten“) ist eine thermodynamische Behandlung von Strömungen in Rohrleitungen oder Kanälen, Düsen, Diffusoren, Drosselstellen usw. möglich. 2 Beispiel: Darstellung eines Strömungsproblems Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 8  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen Grundgleichungen für stationäre Strömungen Kontinuitätsgleichung 1. und 2. Hauptsatz Gleichung für die Schallgeschwindigkeit Die Kontinuitätsgleichung Diese berücksichtigt die Tatsache, dass beim stationären Prozess durch jeden Querschnitt einer Rohrleitung derselbe Massenstrom fließt. Sie lautet also:   c    A  konst. m bzw.   c1  1  A  c 2  2  A m Die Kontinuitätsgleichung lässt sich auch vorteilhaft in ihrer differentiellen Form anwenden. Durch Differenzieren ergibt sich: dm dc dρ dA dc dv dA       0 m c ρ A c v A Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 9  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen Aussagen des 1. HS und des 2. HS auf Strömungsprozesse Mit der Voraussetzung Wt12 = 0 ergibt sich aus der allgemeinen Schreibweise des 1. HS in der Anwendung auf stationäre Fließprozesse für Strömungsprozesse folgende spezielle Form: q12  h2  h1  1 2 2  c 2  c 1  gz 2  z1  2  Kopplung des 1. HS und 2. HS: Dissipationsenergie beim Strömungsprozess:   const. gilt ganz allgemein Mit m 1. 1. Teil des 2. HS in der Enthalpieform: dh  Tds  vdp Dissipationsenergie 2 2. Erkenntnis, wodurch eine Änderung der Entropie entsteht:  Tds  q 1 12  12 Einsetzen in den 1. HS liefert die wichtige Kopplung von 1. HS und 2. HS für Strömungsprozesse:   2 1 2   vdp  12  c 2  c1  gz 2  z1  2 1 2 Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 10  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen   2 1 2   vdp  12  c 2  c1  gz 2  z1  2 1 2 Folgerung: Diese Beziehung zeigt, welche Energieformen beim Strömungsprozess mit der Dissipationsenergie in Zusammenhang stehen. Die Bernoulli-Gleichung Als Verbindung zur traditionellen „Strömungsmechanik“ soll hier die dort wichtige Bernoulli- Gleichung hergeleitet werden. Annahme: reibungsbehaftete Strömung mit Wärmeübertragung aber inkompressibles Fluid  v  konst  v 0  1/ 0 Damit folgt die allgemeine Bernoulli-Gleichung p 1 2  p 1 2    c  gz     c  gz   12  0 2 2  0 2 1 Darstellung eines Strömungsproblems Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 11  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen p 1 2  p 1 2    c  gz     c  gz   12  0 2 2  0 2 1 Einschränkung auf reibungsfreie Strömungen liefert die übliche Form der Bernoulli- Gleichung (sog. Höhenform der Strömungsmechanik) 2 2 p2 c p c  2  z 2  1  1  z1 g  0 2g g  0 2g „Druckhöhe“ „Geschwindigkeitshöhe“ „geodätische Höhe“ Anwendung z.B. zur Berechnung der Geschwindigkeit 1. in bestimmten Rohrabschnitten 2. beim Ausfluss aus einem Behälter Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 12  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen Beispiel: Venturirohr  Geschwindigkeitsmessung Technische Anwendung:  verbreitet Pitotrohr Bildquellen: Wikipedia Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 13  Wasserstrahlpumpe 𝜌𝑐 𝐴 𝑝 𝑝 1 2 𝐴 𝐴 ≪𝐴 1 2 𝜌𝑐 𝐴 𝑝 𝑝 2 𝐴 Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 14  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen Die Schallgeschwindigkeit In einem kompressiblen Fluid haben Dichteänderungen häufig ihre Ursache im Auftreten von Druckänderungen:  Der Dichte-Druck-Gradient ist wichtiger Parameter bei Strömungsprozessen kom- pressibler Medien  Es besteht eine enge Verknüpfung zur Schallgeschwindigkeit Schallwelle: Periodische Druck- und Dichteschwankungen geringer Amplitude, die sich im einem kompressiblen Medien mit einer bestimmten Geschwindigkeit, der Schallgeschwindigkeit, fortpflanzen. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 15  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen Ein ruhendes Gas mit den Zustandsgrößen p und  befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht in einem Rohr. Ein Kolben im Rohr wird plötzlich mit der Geschwindigkeit c bewegt.  Kolben schiebt eine wachsende Gassäule vor sich her. Die resultierende Druckwelle pflanzt sich mit der Geschwindigkeit c’ fort. Bei einer Beschreibung durch einen Beobachter, der sich mit der Wellenaus- breitungsgeschwindigkeit c’ bewegt, welche der Schallgeschwindigkeit entspricht, ruht die Wellenfront. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 16  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen Anwenden der Kontinuitätsgleichung: Mit der Druckwelle sich bewegendes Kontrollvolumen Für den grauen Kontrollraum liefert die Kontinuitätsgleichung Ac  A      c  c  c   c   c   c  c vernachlässigbar gegenüber c, da 𝑐∆𝜌 ≪ 𝑐𝜌 c  c  Anwenden des Impulssatzes: eintretender Impulsstrom:   c   A    c 2 m austretender Impulsstrom:   (c  c )  A  (  )  (c  c )2 m Differenz von ein- und austretenden Impulsstrom muss gleich der Summe der auf das Element wirkenden Druckkräfte sein.   c  m m   (c  c )  A  (p  p)  A  p Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 17  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen   c  m m   (c  c )  A  (p  p)  A  p   c  A  p m   A    c folgt mit m c    c  p mit c    c   folgt c  2  p  Frage: Durch welchen Differentialquotienten kann p/ ersetzt werden, damit die Schall- geschwindigkeit als Zustandsgröße eines Fluids anzusehen ist? Antwort: Bei Vorgängen, die mit Schallgeschwindigkeit ablaufen, bleibt keine Zeit, wesentliche Wärmeströme zu übertragen. Wegen der geringen Amplituden der Schwingung kann der Prozess als weitgehend reversibel angenommen werden.  Schallausbreitung = reversibel und adiabat  isentrop Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 18  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen (isentrope) Schallgeschwindigkeit: 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑐 𝑎 𝑣 𝜕𝜌 1 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑣 Hinweis: Zur Näherungsberechnung realer Fluide kann der Differentialquotient durch den Differenzenquotienten ersetzt werden (z.B. (p/v)s  (p/v)s für kleine p,v); dann Anwendung einer Dampftafel. Die Schallgeschwindigkeit idealer Gase Für die reversible adiabate Zustandsänderung idealer Gase gilt  p  p p  v   konst        v  s v R   a   p  v   R  T     m   T M Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 19  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen R   a   p  v   R  T     m   T M Folgerungen: 1. Für ideale Gase ist die Schallgeschwindigkeit wegen   c p0 ( T ) / c 0v ( T ) eine reine Temperaturfunktion 2. Weil sich  nur schwach mit T ändert  a  konst  T1/ 2 3. Schallgeschwindigkeit ist für diejenigen idealen Gase groß, deren Molmasse klein ist (z.B. H2, He) Tabelle: Schallgeschwindigkeit idealer Gase bei 0°C Gas He Ar H2 N2 O2 Luft CO2 H2 O A in m/s 970 307 1234 337 315 333 259 410 Don‘t do that at home! https://www.youtube.com/watch?v=BWGTyHqA3Ws Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 20  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Grundgleichungen für stationäre Strömungen Mach-Zahl Die Mach-Zahl ist das Verhältnis von Fluidgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit bei gegebenem thermodynamischen Zustand und an gleicher Position. c Ma  a Fluidströmungen werden oftmals in Relation zur Mach-Zahl beschrieben. Die Grenze zwischen super- und hypersonisch ist nicht klar definiert. Mach-Zahl Strömungscharakterisierung Ma < 1 subsonisch Ma  1 transonisch Ma > 1 supersonisch Ma >> 1 hypersonisch Strömungseinteilung über die Mach-Zahl Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 21  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Strömungsprozesse Adiabate Strömungsprozesse sind die wohl in der Technik am häufigsten auftretenden Strömungsprozesse, weil für die meisten Anwendungsfälle die Wärmeübertragung gegenüber den anderen Energieänderungen während des Strömungsvorganges vernachlässigt werden kann. 1 𝑤 𝑞 ℎ ℎ 𝑐 𝑐 g 𝑧 𝑧 2 adiabat  Adiabate Strömungsprozesse Strömungen in Rohrleitungen, Düsen, Diffusoren, Drosselorganen (Blenden, Ventile) Gerader Verdichtungsstoß Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 22  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Strömungsprozesse Adiabate Strömungsprozesse 1 0 ℎ ℎ 𝑐 𝑐 g 𝑧 𝑧 2 Hinweis: Vernachlässigung der Wärmeübertragung gilt natürlich nicht, wenn die Wärmezufuhr oder Wärmeabfuhr einen wesentlichen Gesichtspunkt des Gesamtprozesses darstellt.  Strömung mit Wärmeübertragung wird separat behandelt Weil hier der Schwerpunkt mehr auf Strömungen von Gasen als auf Flüssigkeitsströmungen liegt, kann für die meisten Anwendungsfälle die Änderung der potentiellen Energie vernachlässigt werden.  Vereinfachung: Epot  0 Hinweise: 1. trifft auch auf Flüssigkeitsströmung zu, wenn die Höhendifferenz z klein ist. 2. ist Epot nicht zu vernachlässigen, kann dies leicht in die folgenden Gleichungen eingearbeitet werden. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 23  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Strömungsprozesse Grundsätzliche Aussagen 1 2 1 2 Mit Epot  0 folgt aus dem 1. HS die einfache Energiebilanz h2  c 2  h1  c 1 2 2 Mit der Definition der Totalenthalpie 1 h  h  c 2 [h]=? [h]=J/kg 2 1 2 1 2 folgt h2  h2  c 2  h1  c1  h1 2 2 Folgerung: Bei adiabaten Strömungsprozessen mit Epot  0 bleibt die Totalenthalpie h+ konstant; die Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der Abnahme der Enthalpie des Fluids. Ausströmgeschwindigkeit c 2  2h1  h 2   c 1 2 Hinweis: Beide Gleichungen drücken nur die Energieerhaltung aus und gelten für reversible und irreversible Prozesse, also auch für Strömungen mit Reibung. Darstellung der Totalenthalpie im h,s-Diagramm Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 24  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Strömungsprozesse Arten der adiabaten Strömung Steigung der Isobaren Nach 2. HS gilt für adiabate Prozesse: si  s1 im h,s-Diagramm:  h    2 1 2    T   vdp  12  c 2  c1  gz 2  z1  2 Weiterhin folgt aus 1 2  s p   i 1 2 c i  c 1    vdp  1i 2 mit Epot  0 2 1 Arten der adiabaten Strömung Damit kann man, ausgehend von einem beliebigen Anfangszustand 1 im h,s-Diagramm, die möglichen Strömungsprozesse darstellen, wel- che die beiden obigen Gleichungen erfüllen. Folgerungen Aufgrund si  s1 können alle Zustände, die im h,s-Diagramm links vom Anfangszustand 1 liegen, nicht erreicht werden. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 25  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Strömungsprozesse 1  2: Beschleunigte Strömung c2 > c1  p2 < p1 1  2s: Zustandsänderung entspricht einer reversibel adiabat beschleunigten Strömung 1  3: Verzögerte Strömung mit Druckabfall: Fluid wird trotz Druckabfall verzögert, weil 3 13    vdp ; also c3 < c1 wegen starker Irreversibilität, obwohl p3 < p1 1 1  4: Verzögerte Strömung mit Arten der adiabaten Strömung Druckanstieg: Fluid wird so stark verzögert, dass die Abnahme der kinetischen Energie die Dissipation überwiegt, c4 < c1 bei p4 > p1 1  4s: Zustandsänderung ent- spricht rev. adiab. verzö- gerter Strömung 1  5: Sonderfall: adiabate und isenthalpe Drosselung c5 = c1, h5 = h1 bei p5 < p1 Prozess ist mit sehr starken Irreversibilitäten verbunden. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 26  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Rohrströmung bei konst. Querschnitt – Fanno-Kurve Rohrströmung bei A = konst. (Unterschall bei 1) 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑚 𝑐 𝑐 𝑐 ,𝑝 ,𝑣 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝 𝑝 𝐴 𝑣 𝑣 1 2 Anwendung der Bilanzgleichungen für Masse, Energie und Impuls: a) Konstanz der Massenstromdichte (Kontinuitätsgleichung für A1 = A2 = A): m c c  c 1  1  1  c 2   2  2 A v1 v2 b) 1. HS 1 2 1 2 h2  c 2  h1  c1 bzw. h2  h1 2 2 c) Impulsänderung = resultierende Kräfte   c 2  c1   A  p1  p2  m mit 𝑝 Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 27  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Rohrströmung bei konst. Querschnitt – Fanno-Kurve Rohrströmung bei A = konst.: Alle Zustände liegen auf der Fanno-Kurve FANNO-Kurve als Kopplung von a) konstanter Massenstromdichte und b) Erhaltung der Totalenthalpie bei reibungsbehafteter Strömung. 𝑚 𝑐 𝑚 𝑐 →𝑐 𝑣→𝑣 1 2 ℎ ℎ 𝐴 𝑣 𝐴 𝑚 𝐴 𝑣 𝜌 𝑚 1 𝐴 ℎ ℎ 𝑐 →𝑐 2 ℎ ℎ 2 Aus Kombination folgt die Gleichung der FANNO-Kurve 1 𝑚 1 𝑚 ℎ ℎ 𝑣 ℎ 𝑣 2 𝐴 2 𝐴 Betrachtung der Entropie für die Darstellung im h,s-Diagramm (ideales Gas): 𝑇 𝑣 ℎ 2 ℎ ℎ 𝑠 𝑠 𝑐 𝑙𝑛 𝑅𝑙𝑛 * 𝑐 𝑙𝑛 𝑅𝑙𝑛 𝑚 𝑇 𝑣 ℎ 𝑣 𝐴 𝑇 𝑝 𝑠 𝑠 𝑐 𝑙𝑛 𝑅𝑙𝑛 𝑇 𝑝 s wird aus ℎ, 𝑣 und 𝑠 berechnet. *Zur Vereinfachung wird hier h(0K)=0 gesetzt; bei anderem Bezugszustand analog, aber komplizierter Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 28  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Rohrströmung bei konst. Querschnitt – Fanno-Kurve FANNO-Kurve als Kopplung von konstanter Massenstromdichte und Erhaltung der Totalenthalpie bei reibungsbehafteter Strömung. →𝑐 𝑣 1 ℎ ℎ 𝑐 2 FANNO-Kurve verbindet alle Zustände, die dieselbe Massenstromdichte und zugleich dieselbe Totalenthalpie aufweisen. Achtung: mit Irreversibilitäten, aber keine WÜ ! 1 𝑚 1 𝑚 ℎ ℎ 𝑣 ℎ 𝑣 2 𝐴 2 𝐴 Unterschiedliche Fanno-Kurven für unterschiedliche Massenstromdichten Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 29  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Rohrströmung bei konst. Querschnitt – Fanno-Kurve FANNO-Kurve als Kopplung von konstanter Massenstromdichte und Erhaltung der Totalenthalpie bei reibungsbehafteter Strömung. dℎ 𝑣d𝑝 0 dℎ 𝑐d𝑐  𝑇d𝑠 dℎ 𝑣d𝑝 0 d𝑠 0 bei 𝑠 𝑐d𝑐 = 𝑣d𝑝 𝑓ü𝑟 d𝑠 0 dℎ 0 dℎ 𝑐d𝑐 𝑐 𝑚 d𝑐 𝑐 d d 0 d𝑣 | ⋅ 𝑐 𝑣 𝐴 𝑣 𝑣 0 d𝑣 |𝑐d𝑐 𝑣d𝑝 =- d𝑣 𝜕𝑝 𝑐 𝑣 𝑎 Schallgeschwindigkeit a an 𝜕𝑣 der Stelle A der Fanno-Kurve Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 30  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Rohrströmung bei konst. Querschnitt – Fanno-Kurve Einströmen mit Unterschallgeschwindigkeit (Rohrströmung bei A = konst.) Entsprechend den Folgerungen nach 𝜕𝑝 𝑐 𝑣 𝑎 𝜕𝑣 muss der thermodynamische Zustand eines solchen Fluids auf dem oberen Ast der Fanno- Kurve liegen. Ausgehend vom Anfangszustand (1) gehört zu jeder eingezeichneten Fanno-Kurve eine unterschiedliche Massenstromdichte m  / A. Folgerungen und Definitionen (siehe z.B. mittlere Kurve) 1. Ausgehend vom Zustand 1 steigt die Ge- schwindigkeit unter Druckabnahme in Richtung auf Punkt A, wo Schallgeschwindigkeit a erreicht wird. 2. Eine weitere Geschwindigkeitssteigerung ist nicht möglich, weil dann die Entropie des adiabat strömenden Fluids abnehmen müsste Unterschiedliche Fanno-Kurven für (widerspricht 2. HS) unterschiedliche Massenstromdichten Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 31  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Rohrströmung bei konst. Querschnitt – Fanno-Kurve 3. Der sogenannte Schalldruck p* entspricht dem Druck am Austrittsquerschnitt eines adiaba- ten Rohres, der gerade auf die Schallgeschwindigkeit a als Austrittsgeschwindigkeit führt. 4. Zustände vor und hinter einer Drosselstelle liegen ebenfalls auf der Fanno-Kurve.  streng genommen gilt dabei h2  h1, nämlich h2 < h1  für die adiabate Drosselung gilt: a) h2  h1 nur für kleine c = c2 - c1 b) h2 = h1 nur wenn Ekin = 0, also c2 = c1 Eine adiabate Strömung kann in einer Rohrleitung konstanten Querschnitts nur bis zur Schallgeschwindigkeit beschleunigt werden.  Sinkt der Druck außerhalb eines Rohres unter den Schalldruck p* ab, so ändert sich der Strömungszustand im Rohr nicht; c = a und p = p* bleiben erhalten. Das Fluid expandiert erst außerhalb des Rohres irreversibel unter Wirbelbildung auf den niedrigeren Druck. Unterschiedliche Fanno-Kurven für unterschiedliche Massenstromdichten Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 32  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Drosselkapillare: Verlauf der Zustandsänderung Anwendung: Drosselung einer siedenden Flüssigkeit in einer Drosselkapillare In Kleinkälteanlagen (z.B. Haushaltskühlschrank) geschieht die Drosselung der siedenden Flüssigkeit zwischen Kondensator und Verdampfer mit einem Kapillarrohr. 1. HS: q14  w t14  h 4  h1  1 2 2  c 4  c 1  gz 4  z1  2  =0 =0 = 0 (c4 = c1) vernachlässigbar  h4 = h1, wie bekannt, aber Frage: Exakter Verlauf der Zustandsänderung 1  4 im h,s-Diagramm? c1  0 c2  c1 c3 > c2 c4  0 p1 p2  p1 q14 = 0 p3 < p2 p4 < p1 t1 t2  t1 wt14 = 0 t3 < t2 t4 < t1 Drosselung einer siedenden Flüssigkeit in einer Drosselkapillare Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 33  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Drosselkapillare: Verlauf der Zustandsänderung Zustandsänderung 2  3 (Kapillare) p fällt in Kapillare von p2 auf p3  Druckabsenkung über der siedenden Flüssigkeit führt zur Verdampfung  t sinkt, x steigt, v = xv’’ + (1-x)v’ steigt Aus Kontinuitäts-Gleichung bei konstantem A m / A   c / v   konst. folgt  c steigt, weil v steigt  Zustandsänderung 2  3 Zustandsänderungen beim liegt auf der Fanno-Kurve Drosselprozess in einer Drosselkapillare Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 34  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Drosselkapillare: Verlauf der Zustandsänderung Zustandsänderung 3  4 (Verdampfer) Im Zustand 3 schießt das Fluid mit hoher Geschwindigkeit in den Verdampfer. Der Freistrahl trifft auf die Wand bzw. Flüssig- keitsoberfläche und wird unter Druckanstieg (Diffusorwirkung des Freistrahls) auf c4 = 0 abgebremst. Die dabei auftretende Dissipation erhöht die Enthalpie gerade bis zum Zustand 4, wobei wegen c4 = c1 = 0 nach der Erhaltung der Enthalpie auch gelten muss: h4 = h1 Zustandsänderungen beim Drosselprozess in einer Drosselkapillare Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 35  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Der gerade Verdichtungsstoß Definition: Ein gerader Verdichtungsstoß tritt dann auf, wenn sich eine ebene Störungsfront in Richtung ihres Lotes fortpflanzt und das Fortschreiten dieser Störungsfront relativ zur Strömungsgeschwindigkeit des Fluids mit Überschallgeschwindigkeit erfolgt. Ersatzsystem: Fluid bewegt sich mit Überschall- geschwindigkeit c1 auf den (ruhenden) Verdichtungsstoß zu und strömt nach Durchlaufen der Stoßfront mit der Geschwindigkeit c2 ab. Hinweis: Stoßfront ist sehr dünn; ihre Dicke beträgt nur einige mittlere freie Weglängen der Moleküle. Darstellung eines Verdichtungsstoßes Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 36  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Anwendung der Bilanzgleichungen für Masse, Energie und Impuls auf das Ersatzsystem: a) Konstanz der Massenstromdichte (Kontinuitätsgleichung für A1 = A2 = A): m c c  c 1  1  1  c 2   2  2 A v1 v2 b) 1. HS 1 2 1 2 h2  c 2  h1  c1 bzw. h2  h1 2 2 c) Impulsänderung = resultierende Kräfte   c 2  c1   A  p1  p2  m liefert mit der Kontinuitätsgleichung 2 2 p 2   2c 2  p1  1c 1 Mit den Gleichungen a) - c) kann die folgende Problemstellung gelöst werden: gegeben: Zustandsgrößen weit vor dem Stoß (0), eine Zustandsgrößen bei (1) oder (2) gesucht: Zustandsgrößen vor und nach dem Stoß, z.B. T, p, c. Über Zustandsgleichungen sind damit alle anderen Zustandsgrößen bekannt. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 37  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Darstellung des Verdichtungsstoßes im h,s-Diagramm - Fanno und Rayleigh-Kurve- Wie gezeigt: Kopplung von Gleichung a) und b) ergibt die Gleichung der Fanno-Kurve zur Beschreibung der Zustände vor und nach dem Verdichtungsstoß. 1m 2 2 1m 2 2 Gleichung der Fanno-Kurve h2    v 2  h1    v 1 2 A  2 A  Fanno-Kurve verbindet alle Zustände, die dieselbe Massenstromdichte und zugleich dieselbe Totalenthalpie aufweisen. Überschallströmungen liegen auf unterem Ast. Frage: Wo auf der Fanno-Kurve liegen die Zustände vor dem Stoß (1) und nach dem Stoß (2)? Ersetzt man in Gleichung c) die Geschwindigkeit über Gleichung a), so erhält man eine weitere Beziehungsgleichung.   2 m   2 m Gleichung der Rayleigh-Kurve p2    v 2  p1    v1 A A Rayleigh-Kurve verbindet Impulserhaltung bei Vernachlässigung der Wandreibung mit Konstanz der Massenstromdichte. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 38  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Gerader Verdichtungsstoß (Überschall bei 1‘) 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑚 Überschall 𝑝 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 Unterschall 𝐴 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 1’ 1 2 2’ Gerader Verdichtungsstoß RAYLEIGH-Kurve als Kopplung von a) konstanter Massenstromdichte u. c) Impulserhaltung unter Vernachlässigung der Wandreibung. 𝑚 𝑐 𝑚 →𝑐 𝑣 𝑚· 𝑐 𝑐 𝐴· 𝑝 𝑝 𝐴 𝑣 𝐴 𝑚 𝑚 𝑝 ·𝑐 𝑝 ·𝑐 𝐴 𝐴 Aus Kombination folgt die Gleichung der RAYLEIGH-Kurve 𝑚 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑣 𝐴 𝐴 Darstellung im h,s-Diagramm: Im nächsten Schritt werden Druck p und spezifisches Volumen v eliminiert, indem sie als Funktionen der spezifischen Enthalpie h und der spezifischen Entropie s ersetzt werden. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 39  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve 𝑚 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑣 𝐴 𝐴 𝑇 𝑝 𝑇 𝑣 𝑠 𝑠 𝑐 𝑙𝑛 𝑅𝑙𝑛 𝑠 𝑠 𝑐 𝑙𝑛 𝑅𝑙𝑛 𝑇 𝑝 𝑇 𝑣 ℎ ℎ 𝑠 𝑠 𝜅 ℎ 𝑝 ℎ 𝑠 𝑠 1 ℎ 𝑣 ℎ 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑝 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑣 𝑅 𝜅 1 ℎ 𝑝 𝑅 𝜅 1 ℎ 𝑣 𝑝 𝑣 ℎ ℎ 𝑝 𝑝 𝑒 𝑣 𝑣 𝑒 ℎ ℎ Zur Vereinfachung wird hier h(0K)=0 gesetzt; bei anderem Bezugszustand analog, aber komplizierter Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 40  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Gerader Verdichtungsstoß (Überschall bei 1‘) 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑚 Überschall 𝑝 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 Unterschall 𝐴 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 1’ 1 2 2’ Gerader Verdichtungsstoß 𝑚 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑣 𝐴 𝐴 ℎ ℎ 𝑝 𝑝 𝑒 𝑣 𝑣 𝑒 ℎ ℎ ℎ 𝑚 ℎ 𝑝 𝑒 1 𝑣 1 𝑒 ℎ 𝐴 ℎ Darstellung der Rayleigh-Kurve im h,s-Diagramm : Für den Verdichtungsstoß müssen die Zustandsgrößen in Pkt 1 (𝑝1, 𝑠1, 𝑣1, ℎ1) gefunden werden, die auf der Fanno-Kurve liegen, für die aber auch die Rayleigh-Gleichung lösbar ist! Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 41  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Gerader Verdichtungsstoß (Überschall bei 1‘) 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑀𝑎 1 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑚 Überschall 𝑝 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 Unterschall 𝐴 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 1’ 1 2 2’ Gerader Verdichtungsstoß ℎ 𝑚 ℎ 𝑝 𝑒 1 𝑣 1 𝑒 ℎ 𝐴 ℎ Darstellung des Verdichtungsstoßes im h-s-Diagramm: Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 42  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Anmerkungen 1. Wenn im Punkt A Schallgeschwindigkeit a herrscht, muss auf dem unteren Ast wegen h1 < hA Überschallgeschwindigkeit herrschen, also c1 > a 2. Zum oberen Ast der Fanno-Kurve gehören Zustände mit Unterschallgeschwindigkeit, also c2 < a  Durch den Verdichtungsstoß erreicht das mit Überschallgeschwindigkeit anströmende Fluid sprunghaft Unterschallgeschwindigkeit. Veranschaulichung des „Überschallknalles“ durch eine Stoßwelle (Verdichtungsstoß) vor einem mit Überschallgeschwindigkeit fliegenden Flugkörper Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 43  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Einströmen mit Überschallgeschwindigkeit (Rohrströmung bei A = konst.) Zustandsänderungen im Rohr 1  2: Verzögerung der Strömung unter Enthalpie- und Druckerhöhung 2  A: Ist Druck am Rohrende gerade p*, könnte Punkt A erreicht werden 2  3: Ist Druck am Rohrende größer als p*, „springt“ der Fluidzustand von 2  3, wodurch sich Enthalpie und Druck unstetig erhöhen und die Ge- schwindigkeit vom Überschall in den Unterschallbereich abfällt. Folgerung Bei einer adiabaten Strömung in einer Rohrleitung konstanten Querschnitts ist eine Druckerhöhung nur möglich, wenn das Fluid Strömungsentwicklung beim Einströmen bereits mit Überschallgeschwindigkeit in das mit Überschallgeschwindigkeit Rohr einströmt. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 44  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Gerader Verdichtungsstoß: Fanno- und Rayleigh-Kurve Überschallknall (sonic boom): Flugzeug bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit durch Luft, durch den Wolkenscheibeneffekt wird die Stoßwelle sichtbar. Die Abkühlung der Unterdruckzone (adiabatisch) hinter der Stoßwelle führt zum Unterschreiten der Taupunkttemperatur → Kondensation Machscheiben: Abgas kommt mit Überschall und Überdruck aus dem Triebwerk → Verdichtungsstoß. Unverbrannter Treibstoff brennt in den Machscheiben. Bildquellen: https://www.nasa.gov/centers/armstrong/news/FactSheets/FS-030-DFRC.html http://www.airliners.net/photo/Malaysia-Air-Force/Mikoya-Gurevich-MiG-29N-9-12SD/1630495 Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 45  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung Adiabate Düsen- und Diffusorströmung Bei vielen technischen Anwendungen spielt die Strömung in Düsen und Diffusoren eine ganz entscheidende Rolle. Düse: Geeignet geformter Strömungskanal, um eine Strömung zu beschleunigen. Diffusor: Geeignet geformter Strömungskanal, um eine Druckerhöhung in Strö- mungsrichtung zu erreichen zunächst: Betrachtung für isentrope Strömung später: Umrechnung auf „reale“ Strömungen Querschnittsflächen, Zustands- und Prozessgrößen bei isentroper Düsen- und Diffusor- Strömung Aufgabe: Die Querschnittsflächen A der Düse bzw. des Diffusors sollen derart bestimmt werden, dass bei gegebenem Eintritts- und Austrittsdruck sowie isentroper Strömung auch tatsächlich der gewünschte Massenstrom durchgesetzt werden kann. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 46  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung Benutzt man die Differentialform der Kontinuitätsgleichung dA dc   d cdc dv cdc    2   2 A c   c v c so erkennt man, dass die Änderung der Querschnittsfläche von der Änderung der Massenstromdichte cꞏ, also von der Zustandsänderung des Fluids abhängt. Mit Annahme einer rev. adiab. Strömung (12 = 0) folgt aus Kombination/Kopplung von 1. HS und 2. HS:   i 1 2 c i  c 1    vdp  1i 2 2 1  c2  d   c  dc   v  dp 2 Einsetzen in die Kontinuitätsgleichung liefert dA dv vdp   2 A v c Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 47  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Bauvorschrift  v   v  v  v(p, s)  dv    dp    ds  p  s  s p 𝜕𝑝 Aus der Definition der Schallgeschwindigkeit folgt 𝑎 𝑣 𝜕𝑣 dA dv vdp dv  v  dp v 2 dp vdp   2    2  2 A v c v  p s v a v a Oben eingesetzt liefert dies die Änderung der Querschnittsfläche über die Länge der Düse bzw. des Diffusors, oder pragmatisch ausgedrückt, ihre „Bauvorschrift“ (rev. adiab.) dA  1 1     vdp A  c 2 a2  dA dc 𝑐d𝑐 = 𝑣d𝑝 Man kann leicht zeigen, dass auch gilt  (Ma2  1) A c Im folgenden soll aus dieser Gleichung die eigentliche Bauform einer Düse bzw. eines Diffusors gewonnen werden, wenn das Fluid diese Bauteile isentrop durchströmt, aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit eintritt, nämlich für die Fälle c1  a / c1  a / c1  a Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 48  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Bauvorschrift Die beschleunigte isentrope Strömung ( Laval-Düse) Querschnittsveränderung für eine beschleunigte isentrope In einer Düse soll die Strömung beschleunigt werden. Strömung  dc > 0 und mit  c2  d   c  dc   v  dp 2 folgt dp < 0. Fall (a): immer c < a: dA  1 1     vdp solange c < a A  c 2 a2  dA < 0 aus "Bauvorschrift" Der Kanalquerschnitt muss sich bei beschleunigter Strömung verengen!  konvergente Düse Fall (b): Unterschall- soll auf Überschallgeschwindigkeit beschleunigt werden ) solange c < a  dA < 0:  konvergenter Düsenteil ) für c > a  dA > 0 aus Bauvorschrift  Der Düsenquerschnitt muss sich erweitern (divergenter Düsenabschnitt) Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 49  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Bauvorschrift Es ergibt sich als Bauform für die Gesamtdüse die sogenannte Laval-Düse. Bauform einer Laval-Düse Zur isentropen Beschleunigung auf Überschallgeschwindigkeit benötigt man also eine Laval- Düse, in deren engstem Querschnitt automatisch Schallgeschwindigkeit auftritt, sofern der Austrittsdruck genügend klein ist. Im Überschallbereich muss sich die Laval-Düse erweitern. Mit Bezug auf den engsten Querschnitt gilt: a1 > ae > a2 weil T1 > Te > T2 wegen h+ = konst. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 50  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Bauvorschrift Die verzögerte isentrope Strömung (Diffusor) Im Diffusor soll das Medium auf höheren Druck gebracht werden.  dp > 0  dc < 0 Im Gegensatz zur Düse, wo in der Regel die Eintrittsgeschwindigkeit immer unterhalb der Schallgeschwindigkeit liegt, können beim Diffusor, abhängig von der Eintrittsgeschwindig- keit die folgenden drei Fälle auftreten: c 1  a1 / c 1  a1 / c 1  a1 Fall a: Eintrittsgeschwindigkeit c1 > a1 Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 51  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Bauvorschrift Fall b: Eintrittsgeschwindigkeit c1 = a1 = ae Fall c: Eintrittsgeschwindigkeit c1 < a1 Analog zu den Betrachtungen bei der isentropen Düsenströmung lassen sich auch für die isentrope Diffusorströmung mit Hilfe der „Bauvorschrift“ Angaben über die Querschnittsverän- derungen (konvergent oder divergent) machen. Als Ergebnis erhält man die dargestellten Bauformen eines Diffusors, abhängig von der Größe der Eintrittsgeschwindigkeit der Strömung cEintritt >/=/< aEintritt. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 52  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Isentrope Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Besonders einfache Verhältnisse ergeben sich bei isentropen Düsen- und Diffusorströmungen idealer Gase mit cp0 = konst. Für diese Fälle sollen im folgenden die wichtigsten Gebrauchsgleichungen (c, T, p für einen bestimmten Querschnitt, Verhältnisse im engsten Querschnitt) hergeleitet bzw. angegeben werden. Düse: Je nach gewünschter Austrittsgeschwindigkeit (c2 >/=/< a2) wird Austrittsquerschnitt 2 vor oder hinter Ae* liegen. Diffusor: Je nach gegebener Eintrittsgeschwindigkeit (c1 >/=/< a1) wird Eintrittsquerschnitt 1 vor, bei oder hinter Ae* liegen. Ansonsten können Düse und Diffusor vollkommen gleich behandelt werden, so dass auch die folgenden Gleichungen exakt für beide Apparate gelten. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 53  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Aus dem 1. HS (Epot = 0) folgt für die Austrittsgeschwindigkeit c 22  c 12  2  h1  h2  Mit cp = (∂h/∂T)p und Anwendung auf ideale Gase folgt mit cp = konst. c 22  c 12  2  c p  T1  T2  0 Unter Berücksichtigung der Zusammenhänge für isentrope Strömungen  1 T2  p 2       und c p0  R T1  p1   1 folgt für die isentrope Ausströmgeschwindigkeit idealer Gase (cp0 = konst.)   1   p   c 2s  c 1  2  c p  T1  1     2 0 2 2   p1       1  2    R  T1   p 2    c 2s  c1  2  1    2  1   p1     Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 54  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase   1  2    R  T1   p   c 2s  c 12   1   2   2  1   p1     Für p2 0 ergibt sich die maximale Ausströmgeschwindigkeit 2    R  T1 c 22,max  c12   1 Beim Diffusor ist insbesondere der Austrittsdruck interessant. Aus obenstehender Gleichung folgt für den Austrittsdruck     1 c 1  c s  1 2 2  p s  p1  1   2  2   2 RT 1  Für c 2 s  0 folgt daraus der maximale Austrittsdruck    1 c  2  1 p 2,max  p1  1   1   2RT1  Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 55  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Verhältnisse im engsten Querschnitt Ae*: Zentrale Frage: welcher Massenstrom kann durchgesetzt werden? Die folgenden Beziehungen ergeben sich durch Anwendung von   1  2    R  T1   p 2    c 2s  c1  2  1    2  1   p1     auf den engsten Querschnitt mit A2 = Ae* und Berücksichtigung der Kontinuitätsgleichung sowie der Schallgeschwindigkeit idealer Gase. Aus c 2  ae  RTe *  1/ 2   c12  2c p0 T1  Te *   1/ 2 folgt c12  2c p0 T1c 12 2c p0 T1 Te *    2c p0  R 2c p0  R 2c p0  R Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 56  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase  c 2 2c T 0 RT1 2 2  Te *  0 1  p 1 c   1 c p0  R   1  1 2c p  R 2c p0  R   2 R  R 2 R  R  1  1 2T1 c 2  1 2T1  1   1  c 12   Te * 2R   R  R 2    1 2 R  1   1  1  1  1  ae  RT *   a 2e  c12  2RT1 1/ 2  1  1  1 T *  1  p   p*  p1   e  v e *  v 1   1   T1   pe *  1 A e * a e A e *  2   1 2RT1  1/ 2  2 c 2   1   m m    c1     1  v 1    1   1     1 T1 2c p  R  0 ve *  m  = f(Ae*, Gasart, Zustand 1) Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 57  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Verlauf von A, c, , cꞏ  als Funktion des Druckes bei isentroper Düsen- bzw. Diffusorströmung (Index „0“ bezieht sich auf den Ruhezustand mit c = 0) Der Ruhezustand bezieht sich auf den Zustand des Fluids, wenn dieses reversibel und adiabat (isentrop) zur Ruhe (Geschwindigkeit = 0) gebracht wurde. So bezeichnet die Ruhe- Enthalpie die Totalenthalpie mit c = 0. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 58  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Kritisches oder Laval-Druckverhältnis: pe *  f (Gasart ) p0 mit p0 = p1 wenn c1 = 0 κ pe *  2  1 κ   p 0  κ  1 Hierbei gilt: pe * Näherungsweise ergibt sich dabei:  0,5 p0 Folgerung: Ist p2/p0 > pe*/p0, braucht die Düse nicht erweitert zu werden, weil dann c2 < a2. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 59  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Beispielaufgabe Ein Druckbehälter (V = 1 m3) ist mit einem Rohr verbunden, an dessen Ende sich eine Laval-Düse befindet. Der Behälter ist mit Luft (ideales Gas; RL = 287 J/(kg K)) von 20°C gefüllt. Der Druck im Austrittsquerschnitt der Laval-Düse ist gleich dem Umgebungsdruck (p1 = 1 bar). Die Temperatur der ausströmenden Luft beträgt ϑ1 = -60°C. Die Strömung kann als isentrop betrachtet werden. Die Temperatur der Luft im Behälter bleibt während des Ausströmungsvorgangs konstant. a. Welche Geschwindigkeit wird zu Beginn des Ausströmungsvorgangs im Austrittsquerschnitt erreicht? b. Welcher Druck herrscht zu Anfang im Behälter? c. Welche Geschwindigkeit wird im engsten Querschnitt erreicht?  1   a 2e  c12  2RT1  1  1 Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 60  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Die reale Düsen- und Diffusor-Strömung Bisher: Adiabat reversible (isentrope) Strömung  Dissipationsenergie 12 = 0. Jetzt: Berücksichtigung realer Strömungsverhältnisse (reibungsbehaftete Strömung)  Dissipationsenergie 12 > 0  s2 > s1 Bei der Berechnung der realen Strömungsgeschwindigkeit c 22  c 12  2  h1  h2  aus der isentropen Strömungsgeschwindigkeit c2s gemäß   1  2    R  T1   p 2    c 2s  c1  2  1    2  1   p1     werden die Verluste durch Wirkungsgrade berücksichtigt. Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 61  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung idealer Gase Ideale und reale Düsen-Strömung Ideale und reale Diffusor-Strömung h h h1+ h2+ h2+ h1+ c1s /2 1 p c2 /2 2 c2s2/2 2 1 2 h1 h1 c2 /2 s h2 2 c2s2/2 2 h2s c1 /2 2 p2 2 p h2 2 h2s s h1 2 p1 1 s1 s2 s s1 s2 s Isentroper Düsenwirkungsgrad Isentroper Diffusorwirkungsgrad 2 2 h  h1 c 2  c 1 2 2 h s  h1 c  c1 S,Dü  2  S,Diff  2  2 s h s  h1 c s 2  c 12 h 2  h1 2 c 2  c1 2 2 2 Schritt 1: zunächst Berechnung der isentropen Strömung Schritt 2: Verluste über Wirkungsgradgleichung einarbeiten Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 62  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Anwendungen Technische Anwendungen mit einer Kopplung der verschiedenen Bauteile Das Staustrahltriebwerk Das Staustrahltriebwerk dient als Raketenantrieb und besteht aus Überschalldiffusor: cEintr. = cTriebw.  cAustr. klein  pAustr. > p1 Brennkammer: isobare Wärmezufuhr durch Einspritzen und Verbrennen von Treibstoff Überschalldüse: cEintr. klein  cAustr. groß >> c1 𝜗 Staustrahltriebwerk Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 63  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Anwendungen Schub des Triebwerkes: Schub = Kraft des Rückstoßes = Impuls/t  Brennstoff gegenüber m Bei Vernachlässigung von m  Luft  L  c 4  c1  Fm Leistung des Triebwerkes: Leistung = Arbeit/Zeitraum = Kraft ꞏ Geschwindigkeit  L  c1  c 4  c1  Pm Vorteil: Robuster, einfacher und billiger Aufbau Nachteil: Start nur mit Hilfsantrieb möglich, z.B. Feststoffrakete Hinweis: Prozess kann in ein h,s-Diagramm eines reinen Stoffes nur unter der Annahme eingetragen werden, dass die Wärmezufuhr von außen und nicht durch Verbrennung erfolgt. Prozess im h,s-Diagramm Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 64  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Anwendungen Turbinenstrahltriebwerk (Grundprinzip) Das Turbinenstrahltriebwerk dient zum Antrieb moderner Flugzeuge. Die Turbine treibt den Kompressor an, dieser ersetzt teilweise den Diffusor. Prozess im h,s-Diagramm 1 1a Strömungsprozesse 3a 4 Aufbau eines 1a 2 Turbinenstrahltriebwerkes Arbeitsprozesse 3 3a h 3 p 3a 2 2’ 3’ 3a p2 4 1’ 1a p 1a 4’ p 1=p U 1 s Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 65  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Anwendungen Der Wirkungsgrad des idealisierten Strahltriebwerks (idealer Prozess: 1-1’-2’-3-3’-4’-1) ergibt sich zu 1 th,TJ  1  (  1)  p2    p   1 Um den Einfluss der Fluggeschwindigkeit zu zeigen, entwickeln wir weiter 1 th,TJ  1  (  1) (  1)  p2     p1a    p  p1   1a   h 3 p 3a 2 2’ 3’ 3a realer und idealisierter Prozess im p2 4 h,s-Diagramm 1’ 1a p 1a 4’ p 1=p U 1 s Prof. Dr.-Ing. Stefan Will Technische Thermodynamik für CBI und CEN Folie 66  Strömungsprozesse und Einführung in die Gasdynamik Adiabate Düsen- und Diffusorströmung: Anwendungen Aus  1 1  p1a   T1' th,TJ  1  (  1) (  1)     p2      p1a   p1  T1  p  p1   1a   und der Konstanz der Totalenthalpie h 2 2 3 c c p 3a h1'  h1  c p  (